A. यह सरलतम रूप नहीं हो सकता, क्योंकि इसे (5) से घटाया जा सकता है/It cannot be in lowest form because it can be reduced by (5)
Step 1
Concept
If (p=5m) and (q=5n), both numerator and denominator have common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
So \(\frac{p}{q}=\frac{5m}{5n}=\frac{m}{n}\), meaning the fraction can be reduced.
Step 3
Exam Tip
This contradicts the lowest-form assumption, so \(\sqrt{5}\) is proved irrational. चरण 1: (p=5m) और (q=5n) होने पर अंश और हर दोनों में (5) साझा गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए \(\frac{p}{q}=\frac{5m}{5n}=\frac{m}{n}\) लिखा जा सकता है, यानी भिन्न घट सकती है। चरण 3: यह सरलतम रूप की मान्यता के विरुद्ध है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय सिद्ध होती है।
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं/Both (p) and (q) are divisible by (5)
Step 1
Concept
First (p) is proved divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
After substitution, (q) is also proved divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
After this, contradiction is written using common factor (5). चरण 1: प्रमाण में पहले (p) (5) से विभाज्य सिद्ध होता है। चरण 2: प्रतिस्थापन के बाद (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होता है। चरण 3: इसके बाद दोनों में साझा गुणनखंड (5) से विरोधाभास लिखा जाता है।
A. (5) परिमेय है, पर उसका वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं/(5) is rational, but its square root need not be rational
Step 1
Concept
(5) is rational, but it is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
The square root of a non-perfect square need not be rational.
Step 3
Exam Tip
The proof of \(\sqrt{5}\) shows it is irrational. चरण 1: (5) परिमेय है, लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: अपूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं। चरण 3: \(\sqrt{5}\) की सिद्धि दिखाती है कि यह अपरिमेय है।
A. \(p^2=5q^2\), (p=5k), \(25k^2=5q^2\), \(q^2=5k^2\)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), (p=5k) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
Substitution gives \(25k^2=5q^2\), then \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
Then (q) is proved divisible by (5). चरण 1: \(p^2=5q^2\) से (p=5k) मिलता है। चरण 2: रखने पर \(25k^2=5q^2\) और फिर \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: तब (q) (5) से विभाज्य सिद्ध होता है।
B. (p) (5) से विभाज्य है क्योंकि \(\sqrt{5}\) धनात्मक है/(p) is divisible by (5) because \(\sqrt{5}\) is positive
Step 1
Concept
(p) being divisible by (5) can be a true conclusion.
Step 2
Why this answer is correct
But its reason is not the positivity of \(\sqrt{5}\).
Step 3
Exam Tip
The correct reason is \(p^2=5q^2\) and (5) being prime. चरण 1: (p) का (5) से विभाज्य होना सही निष्कर्ष हो सकता है। चरण 2: पर इसका कारण \(\sqrt{5}\) का धनात्मक होना नहीं है। चरण 3: सही कारण \(p^2=5q^2\) और (5) का अभाज्य होना है।
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं थी/\(\frac{p}{q}\) was not in lowest form
Step 1
Concept
If both are divisible by (5), the fraction has common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced.
Step 3
Exam Tip
Therefore it cannot be in lowest form, which is the contradiction. चरण 1: दोनों (5) से विभाज्य होने पर भिन्न में (5) साझा गुणनखंड है। चरण 2: ऐसी भिन्न को घटाया जा सकता है। चरण 3: इसलिए यह सरलतम रूप में नहीं हो सकती, जो विरोधाभास है।
A. अभाज्य गुणनखंड वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है/If a prime factor divides a square, it also divides the original number
Step 1
Concept
Both (3) and (5) are prime.
Step 2
Why this answer is correct
When these factors appear in \(p^2\), they also appear in (p).
Step 3
Exam Tip
This idea finally gives a common factor in numerator and denominator. चरण 1: (3) और (5) दोनों अभाज्य हैं। चरण 2: \(p^2\) में ये गुणनखंड आने पर (p) में भी आते हैं। चरण 3: इसी विचार से अंत में अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलता है।
A. \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2), \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है/\(\sqrt{2}\) gives common factor (2), while \(\sqrt{5}\) gives common factor (5)
Step 1
Concept
In \(\sqrt{2}\), \(a^2=2b^2\) makes (2) the key factor.
Step 2
Why this answer is correct
In \(\sqrt{5}\), \(p^2=5q^2\) makes (5) the key factor.
Step 3
Exam Tip
The number inside the root decides the proof factor. चरण 1: \(\sqrt{2}\) में \(a^2=2b^2\) से (2) मुख्य गुणनखंड बनता है। चरण 2: \(\sqrt{5}\) में \(p^2=5q^2\) से (5) मुख्य गुणनखंड बनता है। चरण 3: मूल के अंदर की संख्या प्रमाण का गुणनखंड तय करती है।
A. परिमेय मानने पर सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं/Assuming rational makes both numerator and denominator of the lowest-form fraction divisible by (5)
Step 1
Concept
Assume \(\sqrt{5}\) rational and write it in lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both numerator and denominator divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This contradicts the coprime condition, so \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न में लिखते हैं। चरण 2: प्रमाण से अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 3: यह सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं/(p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
(p=5k) and (q=5r) show factor (5) in both (p) and (q).
Step 2
Why this answer is correct
So they cannot be coprime.
Step 3
Exam Tip
This breaks the initial lowest-form condition. चरण 1: (p=5k) और (q=5r) से (p) और (q) दोनों में (5) गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते। चरण 3: यह आरंभिक सरलतम रूप की शर्त को तोड़ता है।
A. केवल \(p^2=5q^2\) लिखकर रुक जाना/Stopping after only writing \(p^2=5q^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) is only a middle step.
Step 2
Why this answer is correct
After this, both (p) and (q) must be shown divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Without contradiction and final conclusion, the proof is incomplete. चरण 1: \(p^2=5q^2\) केवल मध्य चरण है। चरण 2: इसके बाद (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाने होते हैं। चरण 3: विरोधाभास और अंतिम निष्कर्ष के बिना प्रमाण पूरा नहीं होता।
Therefore (p=5k) is valid. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य होने के कारण (p) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: इसलिए (p=5k) लिखना वैध है।
If (p=5k) and (q=5r), both numerator and denominator share (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{5k}{5r}\) can be reduced to \(\frac{k}{r}\).
Step 3
Exam Tip
This shows the fraction was not in lowest form. चरण 1: (p=5k) और (q=5r) होने पर अंश और हर दोनों में (5) साझा है। चरण 2: \(\frac{5k}{5r}\) को घटाकर \(\frac{k}{r}\) लिखा जा सकता है। चरण 3: इससे साफ होता है कि भिन्न सरलतम रूप में नहीं थी।
From \(p^2=5q^2\), first \(p^2\), then (p), is proved divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Only after putting (p=5k) do we get \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
So divisibility of (q) is not immediate. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से पहले \(p^2\) और फिर (p) (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 2: (p=5k) रखने के बाद ही \(q^2=5k^2\) मिलेगा। चरण 3: इसलिए (q) की विभाज्यता तुरंत नहीं आती।
C. (p=5k) से \(p^2=5k^2\)/From (p=5k), \(p^2=5k^2\)
Step 1
Concept
The square of (p=5k) is ((5k)2).
Step 2
Why this answer is correct
((5k)2=25k-2), so writing \(5k^2\) is wrong.
Step 3
Exam Tip
Never forget to square the coefficient. चरण 1: (p=5k) का वर्ग ((5k)2) होगा। चरण 2: ((5k)2=25k-2), इसलिए \(5k^2\) लिखना गलत है। चरण 3: गुणांक का वर्ग करना कभी न भूलें।
B. (n) भी (5) से विभाज्य है दिखाना/To show (n) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
(m=5k) shows factor (5) in (m).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting it in \(m^2=5n^2\) gives \(n^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
Then (n) is also proved divisible by (5), giving contradiction. चरण 1: (m=5k) से (m) में (5) का गुणनखंड मिल चुका है। चरण 2: इसे \(m^2=5n^2\) में रखने पर \(n^2=5k^2\) मिलेगा। चरण 3: तब (n) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होकर विरोधाभास बनेगा।
A. परिमेय संख्या का वर्गमूल तभी परिमेय होना जरूरी है जब वह उपयुक्त पूर्ण वर्ग रूप में हो/The square root of a rational number is necessarily rational only when it is in a suitable perfect-square form
Step 1
Concept
(5) is rational, but it is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
If it is not a perfect square, its square root need not be rational.
Step 3
Exam Tip
The proof of \(\sqrt{5}\) shows it is actually irrational. चरण 1: (5) परिमेय है, लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: पूर्ण वर्ग न होने से उसका वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं। चरण 3: \(\sqrt{5}\) की सिद्धि बताती है कि वह वास्तव में अपरिमेय है।
A. यह परिणाम असंभव है क्योंकि भिन्न घट सकती है/This result is impossible because the fraction can be reduced
Step 1
Concept
(p=5k) and (q=5r) mean both have common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced by (5).
Step 3
Exam Tip
Hence this is an impossible result for the lowest-form assumption. चरण 1: (p=5k) और (q=5r) का अर्थ है कि दोनों में (5) साझा है। चरण 2: ऐसी भिन्न को (5) से घटाया जा सकता है। चरण 3: इसलिए यह सरलतम रूप की मान्यता के लिए असंभव परिणाम है।
A. वर्ग समीकरण से मूल समीकरण गलत तरीके से निकालना/Incorrectly taking a root-level equation from a squared equation
Step 1
Concept
(p=5q) does not directly follow from \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct conclusion is that \(p^2\) is divisible by (5), then (p) is divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Do not hastily derive a root-level equation from a squared equation. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से सीधे (p=5q) नहीं मिलता। चरण 2: सही निष्कर्ष है कि \(p^2\) (5) से विभाज्य है और फिर (p) (5) से विभाज्य है। चरण 3: वर्ग समीकरण से जल्दबाजी में मूल समीकरण न निकालें।
A. वर्ग करने के बाद \(p^2=5q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (5) मिलता है/After squaring, \(p^2=5q^2\) is formed and common factor (5) is found
Step 1
Concept
Assuming \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This (5) becomes a common factor in both (p) and (q).
Step 3
Exam Tip
This identifies the proof of \(\sqrt{5}\). चरण 1: \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 2: इसी (5) से (p) और (q) दोनों में साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 3: यही \(\sqrt{5}\) के प्रमाण की पहचान है।
Therefore this goes against (\gcd(p,q)=1). चरण 1: (\gcd(p,q)=1) का अर्थ है कि (p) और (q) सहअभाज्य हैं। चरण 2: (p=5m) और (q=5n) होने पर (5) उनका साझा गुणनखंड है। चरण 3: इसलिए यह (\gcd(p,q)=1) के विरुद्ध है।
From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is immediately divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Then (p) is divisible by (5) and (p=5k) can be written.
Step 3
Exam Tip
Divisibility of (q) comes after substituting (p=5k), not immediately. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से तुरंत \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: फिर (p) (5) से विभाज्य और (p=5k) लिखा जा सकता है। चरण 3: (q) की विभाज्यता (p=5k) रखने के बाद आती है, तुरंत नहीं।
To conclude divisibility of the original number from the square, (5) must be prime.
Step 3
Exam Tip
Therefore (q) is said to be divisible by (5). चरण 1: \(q^2=5k^2\) से \(q^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: वर्ग से मूल संख्या की विभाज्यता निकालने के लिए (5) का अभाज्य होना जरूरी है। चरण 3: इसी कारण (q) (5) से विभाज्य कहा जाता है।
A. \(p^2=5q^2\) से (p=5k), फिर (q=5r), इसलिए सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास/From \(p^2=5q^2\), (p=5k), then (q=5r), so contradiction with coprime condition
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), (p) is divisible by (5), so (p=5k).
Step 2
Why this answer is correct
Substitution gives (q) also divisible by (5), so (q=5r).
Step 3
Exam Tip
Common factor (5) contradicts the coprime condition. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य है और (p=5k)। चरण 2: रखने पर (q) भी (5) से विभाज्य मिलता है, यानी (q=5r)। चरण 3: दोनों में (5) साझा होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है।
A. ताकि दोनों में (5) साझा गुणनखंड मिलने पर स्पष्ट विरोधाभास बने/So that finding common factor (5) in both gives a clear contradiction
Step 1
Concept
A rational number is written as a lowest-form fraction, so (p) and (q) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This gives a clear contradiction to the coprime condition. चरण 1: परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है, इसलिए (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। चरण 2: प्रमाण में दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 3: यही सहअभाज्य शर्त से स्पष्ट विरोधाभास देता है।
Now both (p) and (q) have common factor (5). चरण 1: \(q^2=5k^2\) से \(q^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: अब (p) और (q) दोनों में (5) साझा गुणनखंड मिल जाता है।
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं था, इसलिए परिमेय मान्यता असंभव है/\(\frac{p}{q}\) was not in lowest form, so the rational assumption is impossible
Step 1
Concept
If both are divisible by (5), numerator and denominator have common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
Such a situation cannot occur in lowest form.
Step 3
Exam Tip
Therefore the rational assumption is impossible and \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: दोनों (5) से विभाज्य हैं, इसलिए अंश और हर में (5) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सरलतम रूप में ऐसी स्थिति नहीं हो सकती। चरण 3: इसलिए परिमेय मान्यता असंभव है और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
If a square is divisible by a prime, the original number is also divisible by that prime.
Step 3
Exam Tip
So (5) being prime is the main basis here. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: किसी अभाज्य संख्या से वर्ग विभाज्य हो, तो मूल संख्या भी उससे विभाज्य होती है। चरण 3: इसलिए (5) का अभाज्य होना यहां मुख्य आधार है।
A. (p=5k) से \(p^2=5k^2\) लिखना/Writing \(p^2=5k^2\) from (p=5k)
Step 1
Concept
Squaring (p=5k) gives ((5k)2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct value is \(25k^2\), not \(5k^2\).
Step 3
Exam Tip
Forgetting to square the coefficient can be a major proof error. चरण 1: (p=5k) का वर्ग करने पर ((5k)2) मिलता है। चरण 2: सही मान \(25k^2\) है, \(5k^2\) नहीं। चरण 3: गुणांक का वर्ग भूलना प्रमाण में बड़ी गलती बन सकता है।
A. \(p^2=5q^2\) से सीधे (q) (5) से विभाज्य है कहना/Saying directly from \(p^2=5q^2\) that (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), first \(p^2\) and then (p) are proved divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Only after substituting (p=5k) do we get \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
So directly concluding about (q) is an order mistake. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से पहले \(p^2\) और फिर (p) (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 2: (p=5k) रखने के बाद ही \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: इसलिए सीधे (q) के बारे में निष्कर्ष लेना क्रम की गलती है।
A. (q) भी (5) से विभाज्य है यह दिखाना/To show that (q) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
(p=5k) shows that (p) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting it in \(p^2=5q^2\) gives \(q^2=5k^2\), so (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
A common factor (5) in both creates the contradiction. चरण 1: (p=5k) से (p) के (5) से विभाज्य होने की बात मिलती है। चरण 2: इसे \(p^2=5q^2\) में रखने से \(q^2=5k^2\) मिलता है, जिससे (q) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: दोनों में (5) साझा गुणनखंड मिलना ही विरोधाभास बनाता है।
A. अभाज्य गुणनखंड वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है/If a prime factor divides a square, it also divides the original number
Step 1
Concept
In \(\sqrt{3}\), the prime factor is (3), and in \(\sqrt{5}\), the prime factor is (5).
Step 2
Why this answer is correct
When \(p^2\) is divisible by that prime, (p) is also divisible by the same prime.
Step 3
Exam Tip
This idea later shows a common factor in (p) and (q), creating contradiction. चरण 1: \(\sqrt{3}\) में (3) और \(\sqrt{5}\) में (5) अभाज्य गुणनखंड हैं। चरण 2: जब \(p^2\) इनसे विभाज्य होता है, तो (p) भी उसी अभाज्य संख्या से विभाज्य होता है। चरण 3: यही विचार आगे (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास बनाता है।
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है क्योंकि परिमेय मानने पर (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं/\(\sqrt{5}\) is irrational because assuming rational makes both (p) and (q) divisible by (5)
This contradicts coprime condition, so \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 3: यह सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
A. आगे (q) को भी (5) से विभाज्य दिखाना/To later show (q) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), (p) is found divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting (p=5k) gives \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
This proves (q) is divisible by (5). चरण 1: \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य मिलता है। चरण 2: (p=5k) रखने से \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: इससे (q) के (5) से विभाज्य होने का प्रमाण बनता है।
By the prime rule, (q) is said to be divisible by (5). चरण 1: (p=5k) रखने के बाद \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 2: इससे \(q^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 3: अभाज्य नियम से (q) (5) से विभाज्य कहा जाता है।
A. परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता/The square root of a rational number is not always rational
Step 1
Concept
(5) is rational but not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
The square root of a non-perfect square need not be rational, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Check a number and its square root separately. चरण 1: (5) परिमेय है लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: अपूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: संख्या और उसके वर्गमूल का प्रकार अलग-अलग जांचें।
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं था/\(\frac{p}{q}\) was not in lowest form
Step 1
Concept
If both are divisible by (5), numerator and denominator share (5).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced further.
Step 3
Exam Tip
This contradicts the assumption of lowest form. चरण 1: दोनों (5) से विभाज्य हों तो अंश और हर में (5) साझा है। चरण 2: ऐसी भिन्न को और सरल किया जा सकता है। चरण 3: यह सरलतम रूप मानने के विरुद्ध है।
A. दोनों में अभाज्य गुणनखंड से वर्ग और मूल संख्या की विभाज्यता जोड़ी जाती है/In both, a prime factor connects divisibility of the square and the original number
Step 1
Concept
In \(\sqrt{3}\), (3) is prime, and in \(\sqrt{5}\), (5) is prime.
Step 2
Why this answer is correct
In both, if the square is divisible by the prime, the original number is also divisible by it.
Step 3
Exam Tip
This common logic moves the proof forward. चरण 1: \(\sqrt{3}\) में (3) और \(\sqrt{5}\) में (5) अभाज्य हैं। चरण 2: दोनों में यदि वर्ग अभाज्य से विभाज्य है, तो मूल संख्या भी विभाज्य होगी। चरण 3: यही साझा तर्क प्रमाण को आगे बढ़ाता है।
A. \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलता है, \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है/In \(\sqrt{2}\), common factor (2) is found; in \(\sqrt{5}\), common factor (5) is found
Step 1
Concept
In \(\sqrt{2}\)'s proof, factor (2) comes from \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
In \(\sqrt{5}\)'s proof, factor (5) comes from \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
The number under the root becomes the key factor. चरण 1: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) से गुणनखंड (2) आता है। चरण 2: \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(p^2=5q^2\) से गुणनखंड (5) आता है। चरण 3: मूल के अंदर की संख्या मुख्य गुणनखंड बनती है।
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
In contradiction method, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
If the rational assumption becomes impossible, it is false.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(\sqrt{5}\) is proved irrational. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। चरण 2: यदि परिमेय मान्यता असंभव निकले, तो वह गलत है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय सिद्ध होता है।
D. \(p^2=5q^2\) से (p=5q) सीधे मिलेगा/From \(p^2=5q^2\), we directly get (p=5q)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) tells us divisibility of \(p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
By the prime rule, (p) is divisible by (5), but (p=5q) does not follow directly.
Step 3
Exam Tip
In exams, writing (p=5k) is correct. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) की विभाज्यता पता चलती है। चरण 2: अभाज्य नियम से (p) (5) से विभाज्य है, लेकिन सीधे (p=5q) नहीं मिलता। चरण 3: परीक्षा में (p=5k) लिखना सही है।
A. परिमेय मानना, \(p^2=5q^2\) पाना, (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाना/Assume rational, get \(p^2=5q^2\), show both (p) and (q) divisible by (5)
Step 1
Concept
The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
Then common factor (5) in both gives the contradiction. चरण 1: प्रमाण परिमेय मान्यता से शुरू होता है। चरण 2: वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 3: फिर दोनों में (5) साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास बनाया जाता है।
A. यदि अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करे, तो मूल संख्या को भी विभाजित करती है/If a prime divides a square, it divides the original number
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (p) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Hence (p=5k) is written. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: इसी कारण (p=5k) लिखा जाता है।
A. केवल \(p^2=5q^2\) लिखकर रुक जाना/Stopping after only writing \(p^2=5q^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) is a middle step of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
After this, both (p) and (q) must be shown divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
The proof is incomplete without contradiction and conclusion. चरण 1: \(p^2=5q^2\) प्रमाण का मध्य चरण है। चरण 2: इसके बाद (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाने होते हैं। चरण 3: विरोधाभास और निष्कर्ष लिखे बिना प्रमाण पूरा नहीं होता।
A. \(q^2\) (5) से विभाज्य है, इसलिए (q) (5) से विभाज्य है/\(q^2\) is divisible by (5), so (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(q^2=5k^2\), \(q^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This shows a common factor in (p) and (q). चरण 1: \(q^2=5k^2\) से \(q^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: यही (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखाता है।
This leads to the conclusion that (q) is divisible by (5). चरण 1: (p=5k) रखने पर \(p^2=25k^2\) होगा। चरण 2: \(25k^2=5q^2\) से \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: इसी से (q) के (5) से विभाज्य होने का निष्कर्ष आता है।
C. \(m^2\) (5) से विभाज्य है/\(m^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
In \(m^2=5n^2\), the right side has factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(m^2\) is divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
First write divisibility of the square, then conclude divisibility of (m). चरण 1: \(m^2=5n^2\) में दाईं ओर (5) गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए \(m^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 3: पहले वर्ग की विभाज्यता लिखें, फिर (m) की विभाज्यता निकालें।
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
In contradiction method, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
If the rational assumption is false, irrationality is proved.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। चरण 2: यदि परिमेय मान्यता गलत निकले, तो अपरिमेयता सिद्ध होती है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
A. यदि \(p^2\) (5) से विभाज्य है, तो (p) (5) से विभाज्य है/If \(p^2\) is divisible by (5), then (p) is divisible by (5)
Step 1
Concept
(5) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
If a prime divides a square, it also divides the original number.
Step 3
Exam Tip
This rule is applied to (p) in the proof of \(\sqrt{5}\). चरण 1: (5) अभाज्य संख्या है। चरण 2: अभाज्य संख्या यदि किसी वर्ग को विभाजित करे, तो मूल संख्या को भी विभाजित करती है। चरण 3: यह नियम \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (p) पर लगाया जाता है।
\(p^2=5q^2\) usually comes from the proof of \(\sqrt{5}\).
Step 3
Exam Tip
To identify the proof, look at the factor in the equation. चरण 1: समीकरण में मुख्य गुणनखंड (5) है। चरण 2: \(p^2=5q^2\) सामान्य रूप से \(\sqrt{5}\) के प्रमाण से आता है। चरण 3: प्रमाण पहचानने के लिए समीकरण में गुणनखंड देखें।
A. (5) परिमेय है, पर उसका वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं/(5) is rational, but its square root need not be rational
Step 1
Concept
(5) is rational but not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
Since it is not a perfect square, \(\sqrt{5}\) is not rational.
Step 3
Exam Tip
Check a number and its square root separately. चरण 1: (5) परिमेय संख्या है लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: पूर्ण वर्ग न होने के कारण \(\sqrt{5}\) परिमेय नहीं होता। चरण 3: संख्या और उसके वर्गमूल के प्रकार को अलग-अलग जांचें।
A. क्योंकि इससे (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होता है/Because it proves (q) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(q^2=5k^2\), \(q^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
By the prime rule, (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Then (p) and (q) both have common factor (5). चरण 1: \(q^2=5k^2\) से \(q^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: अभाज्य नियम से (q) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: तब (p) और (q) दोनों में (5) साझा गुणनखंड मिलता है।
A. \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य है/From \(p^2=5q^2\), (p) is divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (p) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This is the basis for writing (p=5k). चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य है। चरण 3: यही आगे (p=5k) लिखने का आधार है।
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं, इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते/Both (p) and (q) are divisible by (5), so they cannot be coprime
Step 1
Concept
In the proof, both (p) and (q) are found divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
This means their common factor is (5).
Step 3
Exam Tip
This breaks the condition of being coprime. चरण 1: प्रमाण में (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 2: इसका अर्थ है कि उनका साझा गुणनखंड (5) है। चरण 3: यह सहअभाज्य होने की शर्त को तोड़ता है।
A. (p) और (q) का महत्तम समापवर्तक (1) है/The greatest common divisor of (p) and (q) is (1)
Step 1
Concept
In lowest form, a fraction cannot be reduced further.
Step 2
Why this answer is correct
This means the greatest common divisor of (p) and (q) is (1).
Step 3
Exam Tip
Later finding (5) in both contradicts this. चरण 1: सरलतम रूप में भिन्न को और घटाया नहीं जा सकता। चरण 2: इसका अर्थ है कि (p) और (q) का महत्तम समापवर्तक (1) है। चरण 3: बाद में दोनों में (5) मिलना इसी बात से विरोधाभास बनाता है।
A. (p=5k) रखकर \(q^2=5k^2\) मिलने के बाद/After substituting (p=5k) and getting \(q^2=5k^2\)
Step 1
Concept
First, from \(p^2=5q^2\), (p) is found divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Then substituting (p=5k) gives \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
Then (q) is concluded divisible by (5). चरण 1: पहले \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य मिलता है। चरण 2: फिर (p=5k) रखने पर \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: तब (q) के (5) से विभाज्य होने का निष्कर्ष आता है।
A. \(\frac{p}{q}\) के सरलतम रूप में होने से/\(\frac{p}{q}\) being in lowest form
Step 1
Concept
In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
If both are divisible by (5), common factor (5) exists.
Step 3
Exam Tip
This contradicts lowest form. चरण 1: सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। चरण 2: दोनों (5) से विभाज्य हों तो साझा गुणनखंड (5) मिल जाता है। चरण 3: यह सरलतम रूप से विरोधाभास बनाता है।
D. \(p^2=5q^2\) से सीधे (p=5q)/From \(p^2=5q^2\), directly (p=5q)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
This gives (p) divisible by (5), but not directly (p=5q).
Step 3
Exam Tip
The correct form is (p=5k). चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: इससे (p) (5) से विभाज्य है, लेकिन सीधे (p=5q) नहीं मिलता। चरण 3: सही रूप (p=5k) है।
A. (p) और (q) का साझा गुणनखंड (5) है/(p) and (q) have common factor (5)
Step 1
Concept
(p=5k) means (p) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(q=5r) means (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Common factor (5) contradicts the coprime condition. चरण 1: (p=5k) का अर्थ है (p) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (q=5r) का अर्थ है (q) भी (5) से विभाज्य है। चरण 3: दोनों में साझा गुणनखंड (5) होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है।
A. \(p^2\) (5) से विभाज्य होने पर (p) (5) से विभाज्य कहने में/In saying (p) is divisible by (5) when \(p^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (p) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
The prime-number rule is the backbone of the proof. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: अभाज्य संख्या वाला नियम प्रमाण की रीढ़ है।
This is used to prove (q) is also divisible by (5). चरण 1: \(25k^2=5q^2\) के दोनों पक्षों को (5) से भाग दें। चरण 2: \(5k^2=q^2\), अर्थात \(q^2=5k^2\) मिलेगा। चरण 3: इससे (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध किया जाता है।
After divisibility, write (p=5k), where (k) is an integer. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (p) (5) से विभाज्य है। चरण 3: विभाज्यता मिलने पर (p=5k) लिखें, जहां (k) पूर्णांक है।
A. किसी परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता/The square root of a rational number is not always rational
Step 1
Concept
(5) is rational, but it is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
The square root of a non-perfect square need not be rational, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Check a number and its square root separately. चरण 1: (5) परिमेय है, लेकिन वह पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: पूर्ण वर्ग न होने पर उसका वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: संख्या और उसके वर्गमूल के प्रकार को अलग-अलग जांचें।
A. \(p^2=5q^2\), (p=5k), \(25k^2=5q^2\), \(q^2=5k^2\)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), (p) is divisible by (5), so (p=5k).
Step 2
Why this answer is correct
Substitution gives \(25k^2=5q^2\), then \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
This proves (q) is also divisible by (5). चरण 1: \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य है, इसलिए (p=5k)। चरण 2: रखने पर \(25k^2=5q^2\) और फिर \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: इससे (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होता है।
A. (q) को भी (5) से विभाज्य दिखाना/To show (q) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
First (p) is found to have factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting (p=5k) in the equation gives \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
This proves (q) is also divisible by (5). चरण 1: पहले (p) में (5) का गुणनखंड मिला। चरण 2: (p=5k) को समीकरण में रखने से \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: इससे (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होता है।
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
In contradiction, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
If the rational assumption becomes impossible, it is false.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(\sqrt{5}\) is proved irrational. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। चरण 2: यदि परिमेय मान्यता असंभव निकले, तो वह गलत है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय सिद्ध होता है।
A. दोनों में अभाज्य गुणनखंड का नियम प्रयोग होता है/Both use the prime factor divisibility rule
Step 1
Concept
In \(\sqrt{3}\), (3) is prime; in \(\sqrt{5}\), (5) is prime.
Step 2
Why this answer is correct
Both proofs use divisibility from square to original number.
Step 3
Exam Tip
This is their main common logic. चरण 1: \(\sqrt{3}\) में (3) और \(\sqrt{5}\) में (5) अभाज्य हैं। चरण 2: दोनों प्रमाणों में वर्ग से मूल संख्या पर विभाज्यता लाने का नियम उपयोग होता है। चरण 3: यही दोनों का मुख्य समान तर्क है।
A. \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलता है, \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है/In \(\sqrt{2}\), common factor (2) is found; in \(\sqrt{5}\), common factor (5) is found
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{2}\), (2) is the key factor.
Step 2
Why this answer is correct
In the proof of \(\sqrt{5}\), (5) is the key factor.
Step 3
Exam Tip
Pay attention to the number under the root in each proof. चरण 1: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में संख्या (2) मुख्य गुणनखंड बनती है। चरण 2: \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में संख्या (5) मुख्य गुणनखंड बनती है। चरण 3: अलग-अलग प्रमाणों में मूल के अंदर की संख्या पर ध्यान दें।
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं था/\(\frac{p}{q}\) was not in lowest form
Step 1
Concept
If both are divisible by (5), the fraction has common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced further.
Step 3
Exam Tip
This contradicts the assumption of lowest form. चरण 1: दोनों (5) से विभाज्य होने पर भिन्न में साझा गुणनखंड (5) है। चरण 2: ऐसी भिन्न को और सरल किया जा सकता है। चरण 3: यह सरलतम रूप मानने के विरुद्ध है।
A. \(p^2\) (5) से विभाज्य है/\(p^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
In \(p^2=5q^2\), \(p^2\) equals \(5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
So \(p^2\) definitely has factor (5).
Step 3
Exam Tip
Divisibility of \(q^2\) comes in a later step. चरण 1: \(p^2=5q^2\) में \(p^2\) \(5q^2\) के बराबर है। चरण 2: इसलिए \(p^2\) में (5) का गुणनखंड निश्चित है। चरण 3: \(q^2\) की विभाज्यता बाद के चरण में आती है।
B. \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य है/From \(p^2=5q^2\), (p) is divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (p) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Directly writing (p=5q) is not correct. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: सीधे (p=5q) लिखना सही नहीं है।
A. मानें \(\sqrt{5}\) परिमेय है, \(p^2=5q^2\) पाएं, (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाएं/Assume \(\sqrt{5}\) rational, get \(p^2=5q^2\), show both (p) and (q) divisible by (5)
Step 1
Concept
The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
Finally, a common factor (5) in both gives the contradiction. चरण 1: प्रमाण परिमेय मान्यता से शुरू होता है। चरण 2: वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 3: अंत में दोनों में (5) साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास बनाया जाता है।
A. इससे \(p^2\) (5) से विभाज्य होने पर (p) (5) से विभाज्य मिलता है/It lets us conclude that if \(p^2\) is divisible by (5), then (p) is divisible by (5)
Step 1
Concept
If a prime factor divides a square, it also divides the original number.
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, \(p^2\) divisible by (5) implies (p) divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This is the main logic of the proof. चरण 1: अभाज्य संख्या का गुणनखंड वर्ग में आने पर मूल संख्या में भी आता है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए \(p^2\) (5) से विभाज्य होने पर (p) (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: यही प्रमाण का मुख्य तर्क है।
A. \(n^2\) (5) से विभाज्य है, इसलिए (n) (5) से विभाज्य है/\(n^2\) is divisible by (5), so (n) is divisible by (5)
Step 1
Concept
In \(n^2=5k^2\), the right side has factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
So \(n^2\) is divisible by (5), and by the prime rule (n) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Apply the correct rule from square to original number. चरण 1: \(n^2=5k^2\) में दाईं ओर (5) गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए \(n^2\) (5) से विभाज्य है और अभाज्य नियम से (n) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: वर्ग से मूल संख्या पर सही नियम लगाएं।
Writing ((5k)2) as \(5k^2\) is a mistake. चरण 1: (m=5k) रखने पर \(m^2=25k^2\) होगा। चरण 2: इसलिए \(m^2=5n^2\) में \(25k^2=5n^2\) मिलेगा। चरण 3: ((5k)2) को \(5k^2\) लिखना गलती है।
Therefore (m=5k) is the correct next step. चरण 1: \(m^2=5n^2\) से \(m^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (m) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: इसलिए (m=5k) लिखना सही अगला कदम है।
A. परिमेय मानकर उसी अभाज्य गुणनखंड को अंश और हर दोनों में दिखाना/Assume rational and show the same prime factor in both numerator and denominator
Step 1
Concept
Factor (3) works in \(\sqrt{3}\) and factor (5) works in \(\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
The rational assumption makes that same factor appear in both numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
This common factor contradicts lowest form. चरण 1: \(\sqrt{3}\) में गुणनखंड (3) और \(\sqrt{5}\) में गुणनखंड (5) काम करता है। चरण 2: परिमेय मान्यता से वही गुणनखंड अंश और हर दोनों में आ जाता है। चरण 3: यही साझा गुणनखंड सरलतम रूप से विरोध करता है।
Having (5) in both (p) and (q) contradicts the coprime condition. चरण 1: \(q^2=5k^2\) से \(q^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: दोनों (p) और (q) में (5) आना सहअभाज्य शर्त से टकराता है।
At the beginning, (p) and (q) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
If both are divisible by (5), then (5) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
So this goes against their being coprime. चरण 1: (p) और (q) को शुरुआत में सहअभाज्य माना गया था। चरण 2: दोनों (5) से विभाज्य होने पर (5) साझा गुणनखंड बन जाता है। चरण 3: इसलिए यह सहअभाज्य होने के विरुद्ध है।
So (p) is also divisible by (5) and is written as (p=5k).
Step 3
Exam Tip
Choose the correct factor according to the number. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य है और (p=5k) लिखा जाता है। चरण 3: संख्या के अनुसार सही गुणनखंड चुनें।
