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राष्ट्रीय सांख्यिकी दिवस 29 जून को पी सी महालनोबिस की जयंती पर मनाया जाता है। इसे योजना और आंकड़ों से जोड़ें। / National Statistics Day is observed on 29 June on P C Mahalanobis's birth anniversary. Link it with planning and statistics.
यह पहले (100) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। \(S_{100}=\frac{100\cdot101}{2}=5050\)। / This is the sum of the first (100) natural numbers. \(S_{100}=\frac{100\cdot101}{2}=5050\).
(999-900=99), इसलिए शेषफल (99) है। / (999-900=99), so the remainder is (99).
Step 3
Exam Tip
(100) से भाग में अंतिम दो अंक अक्सर शेषफल बताते हैं, पर शर्त (r<100) भी देखें। / In division by (100), the last two digits often give the remainder, but still check (r<100).
कपड़े की बिक्री \(100,125,150,\ldots\) है और \(S_9=1800\)। परीक्षा में सभी दिनों की बिक्री के लिए योग सूत्र लगाएं। / The cloth sales form \(100,125,150,\ldots\) and \(S_9=1800\). Exam tip: use the sum formula for sales across all days.
किराया \(100,125,150,\ldots\) है और \(S_9=1800\)। परीक्षा में प्रत्येक किलोमीटर का किराया एक पद मानें। / The fares are \(100,125,150,\ldots\) and \(S_9=1800\). Exam tip: treat the fare for each kilometre as one term.
दान राशि \(200,300,400,\ldots\) है और \(S_n=5400\) से (n=9)। परीक्षा में लक्ष्य कुल राशि के लिए \(S_n\) का समीकरण बनाएं। / The donation amounts are \(200,300,400,\ldots\) and \(S_n=5400\) gives (n=9). Exam tip: form an \(S_n\) equation for the target total.
पानी की मात्रा \(100,125,150,\ldots\) है और \(S_7=1225\)। परीक्षा में प्रति घंटे भरे पानी को ए.पी. के पद मानें। / The water amounts are \(100,125,150,\ldots\) and \(S_7=1225\). Exam tip: treat hourly filled water as AP terms.
आय \(500,600,700,\ldots\) है और \(S_{10}=9500\)। परीक्षा में दैनिक आय को ए.पी. के पदों की तरह जोड़ें। / The income is \(500,600,700,\ldots\) and \(S_{10}=9500\). Exam tip: add daily income as AP terms.
एक बचत योजना में पहले महीने (100) रुपये जमा होते हैं और (12) महीनों की कुल बचत (4500) रुपये है। यदि हर महीने बचत समान रूप से बढ़ती है तो मासिक वृद्धि कितनी है?
\(S_{12}=4500\) और (a=100) रखने पर (d=50) मिलता है। परीक्षा में कुल और प्रथम पद से सार्व अंतर निकालें। / Using \(S_{12}=4500\) and (a=100) gives (d=50). Exam tip: find the common difference from total and first term.
दान राशि \(100,150,200,\ldots\) है और \(S_n=3250\) से (n=10)। परीक्षा में लक्ष्य कुल राशि के लिए \(S_n\) का समीकरण बनाएं। / The donation amounts are \(100,150,200,\ldots\), and \(S_n=3250\) gives (n=10). Exam tip: form an \(S_n\) equation for the target total.
उत्पादन \(100,95,90,\ldots\) घटती समान्तर श्रेणी है और \(S_{10}=775\)। परीक्षा में घटती उत्पादन दर के लिए (d) ऋणात्मक होता है। / The production is the decreasing AP \(100,95,90,\ldots\) and \(S_{10}=775\). Exam tip: for decreasing production rate, (d) is negative.
\(a_n=700\) रखने पर (100+(n-1)50=700) से (n=13)। परीक्षा में किसी खास महीने की राशि के लिए (n)वाँ पद लगाएं। / Putting \(a_n=700\), (100+(n-1)50=700), gives (n=13). Exam tip: use the (n)th term for a particular month's amount.
यूज़र संख्या \(100,150,200,\ldots\) है। \(S_5=1000\) इसलिए कुल (1000) यूज़र जुड़ेंगे। / The user numbers are \(100,150,200,\ldots\). \(S_5=1000\) so (1000) users join.
दान राशि \(100,120,140,\ldots\) है। (S_7=\frac{7}{2}[200+6(20)]=1120)। / The donation amounts are \(100,120,140,\ldots\). (S_7=\frac{7}{2}[200+6(20)]=1120).
पद \(112,126,\ldots,350\) हैं और कुल (18) पद बनते हैं। परीक्षा में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें। / The terms are \(112,126,\ldots,350\), making (18) terms. Exam tip: choose the first and last valid terms carefully.
योग (S_n=n(103-3n)) है और (n=17) पर अधिकतम (901) मिलता है। परीक्षा में शीर्ष के पास वाले पूर्णांक जांचें। / The sum is (S_n=n(103-3n)), and the maximum (901) occurs at (n=17). Exam tip: check integer values near the vertex.
(10) के गुणजों के योग से (50) के गुणजों का योग घटाने पर (39600) मिलता है। दोनों शर्तों के साझा गुणजों को हटाएँ। / Subtracting the sum of multiples of (50) from the sum of multiples of (10) gives (39600). Remove the common multiples of both conditions.
(8) के गुणजों के योग से (24) के गुणजों का योग घटाने पर (33368) मिलता है। but not वाली शर्त में पूरक घटाएँ। / Subtracting the sum of multiples of (24) from the sum of multiples of (8) gives (33368). In a but-not condition, subtract the complement.
संख्याएँ \(110,121,\ldots,495\) हैं और उनका योग (10890) है। between लिखे होने पर सिरों को शामिल करना है या नहीं यह ध्यान से देखें। / The numbers are \(110,121,\ldots,495\), and their sum is (10890). When between is written, check carefully whether endpoints are included.
अंतिम पद (45) है, इसलिए (S_{12}=\frac{12}{2}(100+45)=870)। अंतिम पद मिल जाए तो योग तेजी से निकलेगा। / The last term is (45), so (S_{12}=\frac{12}{2}(100+45)=870). Once the last term is found, the sum is quick.
संख्याएँ \(105,110,\ldots,195\) हैं और (19) पदों का योग (2850) है। बीच का अर्थ अक्सर सिरों को शामिल नहीं करता। / The numbers are \(105,110,\ldots,195\), and the sum of (19) terms is (2850). The word between often excludes endpoints.
यह (a=500), (d=100), (n=12) वाली श्रेढ़ी है और कुल योग (12600) है। वास्तविक जीवन प्रश्नों में राशि को पद मानें। / This is an AP with (a=500), (d=100), (n=12), and the total is (12600). In real-life questions, treat each amount as a term.
(\frac{n}{2}(4+100)=1040) से (n=20) आता है। अंतिम पद और योग दिए हों तो (S_n=\frac{n}{2}(a+l)) लगाएँ। / From (\frac{n}{2}(4+100)=1040), (n=20). When last term and sum are given, use (S_n=\frac{n}{2}(a+l)).
संख्याएँ \(112,126,\ldots,336\) हैं और (17) पद हैं, इसलिए योग (3808) है। पहले और अंतिम उपयुक्त गुणज ढूँढ़ें। / The numbers are \(112,126,\ldots,336\), and there are (17) terms, so the sum is (3808). Find the first and last suitable multiples.
संख्याएँ \(104,112,\ldots,248\) हैं और (19) पद हैं, इसलिए योग (3192) है। सीमा वाले प्रश्न में पहला और अंतिम पद सावधानी से चुनें। / The numbers are \(104,112,\ldots,248\), and there are (19) terms, so the sum is (3192). In boundary questions, choose the first and last terms carefully.
यह (4) के पहले (25) गुणजों का योग है, इसलिए \(4\times\frac{25\times26}{2}=1300\)। गुणजों में प्राकृतिक संख्याओं का योग लगाएँ। / This is the sum of the first (25) multiples of (4), so \(4\times\frac{25\times26}{2}=1300\). Use the sum of natural numbers for multiples.
गुणज (6) से (96) तक हैं और (16) पद हैं, इसलिए योग (816) है। सीमा वाले प्रश्न में अंतिम पद पहले तय करें। / The multiples are from (6) to (96), and there are (16) terms, so the sum is (816). In boundary questions, decide the last term first.
यहाँ (a=100), (d=50), (n=6), इसलिए कुल बचत (1350) रुपये है। राशि वाले प्रश्नों में इकाई भी ध्यान रखें। / Here (a=100), (d=50), and (n=6), so the total saving is (1350) rupees. In money questions, keep the unit in mind.
पहला पद (100) और आठवाँ पद (30) है, इसलिए (S_8=\frac{8}{2}(130)=520)। घटती श्रेढ़ी में भी वही सूत्र लागू होता है। / The first term is (100), and the eighth term is (30), so (S_8=\frac{8}{2}(130)=520). The same formula applies to decreasing progressions.
इस AP में (d=-15) है। (-100) के बाद अगला पद (-115) है, इसलिए पहला छोटा पद (-115) है। / Here (d=-15). After (-100), the next term is (-115), so the first smaller term is (-115).
इस श्रेणी में (d=-7) है। (-94) के बाद (-101) आता है, इसलिए यही पहला पद है जो (-100) से छोटा है। / Here (d=-7). After (-94), the next term is (-101), so it is the first term less than (-100).
(a_7+a_{11}=\(a_3+4d\)+\(a_3+8d\)=28+12d=100) इसलिए (d=6)। \(a_{19}=14+16d=110\)। / (a_7+a_{11}=\(a_3+4d\)+\(a_3+8d\)=28+12d=100), so (d=6). \(a_{19}=14+16d=110\).
पहले योग से (2a+18d=100) और दूसरे से (2a+26d=164)। (d=8) और \(a_{27}=210\)। / The first sum gives (2a+18d=100) and the second gives (2a+26d=164). (d=8) and \(a_{27}=210\).
\(a_6\) और \(a_{14}\) के बीच का पद \(a_{10}\) है इसलिए \(a_{10}=\frac{100}{2}=50\)। समान दूरी वाले पदों का औसत बीच वाला पद होता है। / \(a_{10}\) is the middle term between \(a_6\) and \(a_{14}\), so \(a_{10}=\frac{100}{2}=50\). The average of equally spaced terms is the middle term.
तीन अंकों वाली पहली संख्या (100) है जो (7) से विभाज्य नहीं है, लेकिन \(105,112,119,\ldots\) तीन अंकों वाली (7) की गुणज AP है। इस AP का (50)वां पद क्या होगा?
इस AP में (a=105), (d=7), इसलिए \(a_{50}=105+49\times7=448\)। गुणजों की AP में पहला सही गुणज चुनें। / In this AP, (a=105), (d=7), so \(a_{50}=105+49\times7=448\). In an AP of multiples, choose the first correct multiple.
यहां (d=-8), इसलिए (a_{15}=100+14(-8)=-12)। बड़े घटते अंतर में गुणा पहले करें। / Here (d=-8), so (a_{15}=100+14(-8)=-12). In large decreasing differences, multiply first.
यहाँ (d=-3) है इसलिए (a_{25}=100+24(-3)=28)। (25)वें पद तक (24) अंतर जुड़ते हैं। / Here (d=-3), so (a_{25}=100+24(-3)=28). Up to the (25)th term, (24) differences are added.
यहाँ (d=-10) है इसलिए (a_{12}=100+11(-10)=-10)। बड़े अंतर में भी वही सूत्र लगता है। / Here (d=-10), so (a_{12}=100+11(-10)=-10). The same formula works for large differences too.
यहाँ (a=100), (d=50) है, इसलिए \(a_8=100+7\times50=450\)। कुल जमा नहीं, केवल (8)वें महीने की राशि पूछी गई है। / Here (a=100), (d=50), so \(a_8=100+7\times50=450\). The question asks only the (8)th month's deposit, not the total.
यहाँ (d=-10) है, इसलिए (a_6=100+5(-10)=50)। पहले चार पद देखकर (d) सही पहचानें। / Here (d=-10), so (a_6=100+5(-10)=50). Identify (d) correctly from the first terms.
हर पद पिछले से (2.5) कम है, इसलिए (d=-2.5)। परीक्षा में घटते दशमलव अनुक्रम में ऋणात्मक चिन्ह न भूलें। / Each term is (2.5) less than the previous one, so (d=-2.5). In exams, do not forget the negative sign in decreasing decimal sequences.
क्रमागत अंतर (150-100=50) है। वास्तविक जीवन के प्रश्नों में समान बढ़ोतरी ही (d) होती है। / The consecutive difference is (150-100=50). In real-life questions the equal increase is (d).
सार्व अंतर (90-100=-10) है। घटते अनुक्रम में उत्तर का चिह्न जरूर देखें। / The common difference is (90-100=-10). In a decreasing sequence carefully check the sign.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों शर्तें एक ही जानकारी देती हैं और अनंत हल होते हैं। / The second equation is (2) times the first. Therefore, both conditions give the same information and have infinitely many solutions.
समीकरण (x+y=100) और (y-x=20) हैं, जिनसे (x=40), (y=60)। शब्द-प्रश्न में पहले दो सही रेखीय समीकरण बनाएं। / The equations are (x+y=100) and (y-x=20), giving (x=40), (y=60). In word problems, first form the two correct linear equations.
\( \sqrt{3}\approx1.732 \), इसलिए \( \frac{a}{100} \) को (1.732) और (1.74) के बीच होना चाहिए। (a=173) से (1.73) मिलता है जो थोड़ा छोटा है, इसलिए सीमा सावधानी से जाँचें। / \( \sqrt{3}\approx1.732 \), so \( \frac{a}{100} \) must be between (1.732) and (1.74). (a=173) gives (1.73), which is slightly smaller, so check the bound carefully.
\( \sqrt{2}\approx1.414 \), इसलिए \( \frac{a}{100} \) को (1.414) और (1.42) के बीच होना चाहिए। (a=141) से (1.41) मिलता है जो सही नहीं है। / \( \sqrt{2}\approx1.414 \), so \( \frac{a}{100} \) must be between (1.414) and (1.42). (a=141) gives (1.41), which is not correct.
\(1000^{2}=10^{6}\) और \(100=10^{2}\), इसलिए बाएँ पक्ष की घात (k+6-2=k+4) है। (k+4=9) से (k=5)। / Since \(1000^{2}=10^{6}\) and \(100=10^{2}\), the exponent on the left is (k+6-2=k+4). From (k+4=9), (k=5).
संयुग्म गुणनफल (13-3=10) है और \(\sqrt{100}=10\), इसलिए अंतर (0) है। परीक्षा में संयुग्म गुणनफल को तुरंत परिमेय करें। / The conjugate product is (13-3=10), and \(\sqrt{100}=10\), so the difference is (0). In exams, simplify conjugate products directly.
यदि चौड़ाई (x) है तो लंबाई (100-2x) और क्षेत्रफल (A=x(100-2x)) है। अधिकतम के लिए \(x=\frac{100}{4}=25\) है। / If breadth is (x), length is (100-2x) and area is (A=x(100-2x)). For maximum area, \(x=\frac{100}{4}=25\).
((x-7)2=100) और (x-7=10), इसलिए (x=17) है। वर्ग वाले प्रश्नों में शर्त ध्यान से पढ़ें। / ((x-7)2=100) and (x-7=10), so (x=17). In square-based questions, read the condition carefully.
((x+3)2=100) से (x+3=10), इसलिए (x=7) है। प्रश्न में धनात्मक मूल कहा हो तो (10) लें। / ((x+3)2=100) gives (x+3=10), so (x=7). If the question says positive root, take (10).
A. मूल वास्तविक, परिमेय और असमान हैं/Roots are real, rational, and distinct
Explanation
Simple Explanation
(D=100) धनात्मक पूर्ण वर्ग है। इसलिए मूल परिमेय और असमान होंगे। / (D=100) is a positive perfect square. Therefore the roots will be rational and distinct.
\(100=10^2\), इसलिए यह वर्गों के अंतर का रूप है। परीक्षा में सही पहचान चुनना सबसे तेज तरीका है। / \(100=10^2\), so it is a difference of squares form. In exams, choosing the correct identity is the fastest method.
समीकरण \(x^2-20x+100=0\) है जो ((x-10)2=0) बनता है। इसलिए दोनों मूल (10) हैं। / The equation is \(x^2-20x+100=0\), which becomes ((x-10)2=0). Therefore both roots are (10).
\(x^2-100=0\) के मूल (10) और (-10) हैं। (0) रखने पर समीकरण सत्य नहीं होता। / The roots of \(x^2-100=0\) are (10) and (-10). Substituting (0) does not make the equation true.
दोनों मूल (-10) हैं, इसलिए योग (-20) है। यहाँ मूलों का योग (-b) है, अतः (b=20)। / Both roots are (-10), so the sum is (-20). Here the sum of roots is (-b), so (b=20).
\(\sqrt{99}\) लगभग (9.95) है और \(\sqrt{100}=10\) है। (9.98) इनके बीच की परिमेय संख्या है। / \(\sqrt{99}\) is about (9.95) and \(\sqrt{100}=10\). (9.98) is a rational number between them.
(x-2+20x+100=(x+10)2) है, इसलिए स्पर्श बिंदु ((-10,0)) है। टिप: पूर्ण वर्ग में चिह्न बदलकर शून्यक मिलता है। / (x-2+20x+100=(x+10)2), so the touching point is ((-10,0)). Tip: change the sign in a perfect square to get the zero.
ऐसी सबसे छोटी संख्या तीनों संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य होगी। / Such a smallest number is the LCM of the three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(36=2^2\times3^2\), \(100=2^2\times5^2\), \(150=2\times3\times5^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^2\times5^2=900\) है। / \(36=2^2\times3^2\), \(100=2^2\times5^2\), and \(150=2\times3\times5^2\), so LCM \(=2^2\times3^2\times5^2=900\).
Step 3
Exam Tip
हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात लें। / Take the highest power of each prime.
सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। / The smallest number divisible by all is the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(36=2^2\times3^2\), \(100=2^2\times5^2\), \(150=2\times3\times5^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^2\times5^2=900\) है। / \(36=2^2\times3^2\), \(100=2^2\times5^2\), and \(150=2\times3\times5^2\), so LCM \(=2^2\times3^2\times5^2=900\).
Step 3
Exam Tip
विकल्प चुनने से पहले अंतिम गुणन अवश्य जाँचें। / Always verify the final multiplication before choosing an option.
मानक रूप में शेषफल नकारात्मक नहीं होता। / In standard form, the remainder is not negative.
Step 2
Why this answer is correct
\(100\times9=900\), इसलिए (999=900+99) और 99, 100 से छोटा है। / \(100\times9=900\), so (999=900+99), and 99 is less than 100.
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक शेषफल वाला रूप गणना जैसा दिख सकता है, पर यूक्लिडीय रूप नहीं है। / A form with a negative remainder may look computationally close, but it is not Euclidean form.
A. वे एक बिंदु पर कटेंगी/They will intersect at one point
Explanation
Simple Explanation
यहां \(5/10 \ne 2/3\), इसलिए रेखाएं कटेंगी। कटती रेखाएं एक अद्वितीय हल देती हैं। / Here \(5/10 \ne 2/3\), so the lines will intersect. Intersecting lines give one unique solution.
प्रतिच्छेदी रेखाओं के लिए (x) और (y) के गुणांक अनुपात बराबर नहीं होते। यही अद्वितीय समाधान की शर्त है। / For intersecting lines, the coefficient ratios of (x) and (y) are not equal. This is the condition for a unique solution.
((0,0)) दोनों समीकरण (x+y=0) और (2x-y=0) को संतुष्ट करता है। बाकी विकल्पों में प्रतिच्छेद मूलबिंदु नहीं है या रेखाएं संपाती हैं। / ((0,0)) satisfies both (x+y=0) and (2x-y=0). In the other options, the intersection is not the origin or the lines are coincident.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए रेखाएं संपाती हैं। संपाती रेखाओं में हर बिंदु समाधान होता है। / The second equation is (2) times the first, so the lines are coincident. In coincident lines, every point is a solution.
B. वे समांतर और अलग हैं/They are parallel and distinct
Explanation
Simple Explanation
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (10x-6y=20), जबकि दूसरा (10x-6y=25) है। इसलिए रेखाएँ समांतर और अलग हैं। / Multiplying the first equation by (2) gives (10x-6y=20), while the second is (10x-6y=25). Hence the lines are parallel and distinct.
पहला समीकरण (4) से भाग देने पर (2x-3y=5) बनता है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं और अनंत हल हैं। / Dividing the first equation by (4) gives (2x-3y=5). Therefore both are the same line and have infinitely many solutions.
B. वे समांतर और अलग हैं/They are parallel and distinct
Explanation
Simple Explanation
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (6x-4y=12), जबकि दूसरा (6x-4y=18) है। इसलिए रेखाएँ समांतर और अलग हैं। / Multiplying the first equation by (2) gives (6x-4y=12), while the second is (6x-4y=18). Hence the lines are parallel and distinct.
पहला समीकरण (3) से भाग देने पर (2x-3y=5) बनता है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं और अनंत हल हैं। / Dividing the first equation by (3) gives (2x-3y=5). Therefore both are the same line and have infinitely many solutions.
पहला समीकरण (5) से भाग देने पर (x-2y=4) बनता है। इसलिए दोनों रेखाओं के अनंत सामान्य बिंदु हैं। / Dividing the first equation by (5) gives (x-2y=4). Therefore the two lines have infinitely many common points.
B. संपाती रेखाओं को एक हल वाला मानना/Treating coincident lines as having one solution
Explanation
Simple Explanation
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए रेखाएँ संपाती हैं। संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं, केवल (1) नहीं। / The second equation is (2) times the first, so the lines are coincident. Coincident lines have infinitely many solutions, not only (1).
B. वे समांतर और अलग हैं/They are parallel and distinct
Explanation
Simple Explanation
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (4x+6y=14), जबकि दूसरा (4x+6y=20) है। इसलिए रेखाएँ समांतर और अलग हैं। / Multiplying the first equation by (2) gives (4x+6y=14), while the second is (4x+6y=20). Hence the lines are parallel and distinct.
पहला समीकरण (3) से भाग देने पर (x+y=8) बनता है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं। / Dividing the first equation by (3) gives (x+y=8). Therefore, both are the same line.
पहला समीकरण (2) से भाग देने पर (x+y=9) बनता है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं। / Dividing the first equation by (2) gives (x+y=9). Therefore, both are the same line.
