If (10^k × 1000^2) / 100 = 10^9, what is the value of k?यदि (10^k × 1000^2) / 100 = 10^9, तो k का मान क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 55
The governing concept is the laws of exponents after expressing all numerical factors with base 10. Since 1000=10³, its square is 1000²=(10³)²=10⁶. Also, 100=10². Therefore the left side becomes (10^k×10⁶)/10²=10^(k+6−2)=10^(k+4). The equation is then 10^(k+4)=10⁹. Equal powers of the same valid base 10 have equal exponents, so k+4=9 and k=5. Thus option C is correct. The alternatives can arise from forgetting the square on 1000, mishandling division by 100, or treating the final exponent 9 as the answer without accounting for the other factors. Substitution gives 10⁵×10⁶/10²=10⁹, confirming the result.यहाँ मुख्य अवधारणा सभी संख्यात्मक गुणकों को आधार 10 की घातों में लिखकर घातों के नियम लगाना है। 1000=10³ होने से 1000²=(10³)²=10⁶ प्राप्त होता है। इसी प्रकार 100=10² है। इसलिए बायाँ पक्ष (10^k×10⁶)/10²=10^(k+6−2)=10^(k+4) बन जाता है। अब समीकरण 10^(k+4)=10⁹ है। समान आधार 10 की घातें बराबर होने पर उनके घातांक बराबर होते हैं, इसलिए k+4=9 और k=5। अतः विकल्प C सही है। जाँच के लिए 10⁵×10⁶/10²=10⁹ मिलता है। अन्य विकल्प 1000 का वर्ग भूलने, 100 से भाग देने पर घात न घटाने या अंतिम घात 9 को ही उत्तर मान लेने जैसी गलतियों से उत्पन्न हो सकते हैं।
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