(2) is not a perfect square, so \(\sqrt{2}\) is proved irrational.
Step 3
Exam Tip
First identify perfect and non-perfect squares. चरण 1: (4), (9) और (25) पूर्ण वर्ग हैं। चरण 2: (2) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय सिद्ध किया जाता है। चरण 3: पूर्ण वर्ग और अपूर्ण वर्ग की पहचान पहले करें।
A. (m) पूर्ण वर्ग नहीं है/(m) is not a perfect square
Step 1
Concept
The square root of a perfect square is an integer, so for an irrational square root (m) is not a perfect square. In exams identifying perfect squares is important.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (m) पूर्ण वर्ग नहीं है / (m) is not a perfect square. The square root of a perfect square is an integer, so for an irrational square root (m) is not a perfect square. In exams identifying perfect squares is important.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है, इसलिए अपरिमेय वर्गमूल के लिए (m) पूर्ण वर्ग नहीं होगा। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना जरूरी है।
If (k) is a perfect square, then \(\sqrt{k}\) is rational and the fraction becomes rational.
Step 2
Why this answer is correct
(18) is not a perfect square, so \(\sqrt{18}\) is irrational and \(\frac{5}{\sqrt{18}}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
In such questions, first check whether (k) is a perfect square. चरण 1: यदि (k) पूर्ण वर्ग हो, तो \(\sqrt{k}\) परिमेय होगा और भिन्न परिमेय बन जाएगी। चरण 2: (18) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{18}\) अपरिमेय है और \(\frac{5}{\sqrt{18}}\) भी अपरिमेय रहेगा। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले (k) के पूर्ण वर्ग होने की जाँच करें।
B. (n) पूर्ण वर्ग नहीं है/(n) is not a perfect square
Step 1
Concept
The square root of a perfect square is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
If (n) is not a perfect square, then \(\sqrt{n}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not judge only by evenness or primality; check whether it is a perfect square. चरण 1: किसी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है। चरण 2: यदि (n) पूर्ण वर्ग नहीं है, तो \(\sqrt{n}\) अपरिमेय होता है। चरण 3: केवल सम या अभाज्य देखकर निर्णय न लें; पूर्ण वर्ग की जाँच करें।
\(\sqrt{11}\) is irrational because (11) is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
(\(\sqrt{11}\)2=11) which is rational.
Step 3
Exam Tip
Squaring may remove the radical. चरण 1: \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है क्योंकि (11) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: (\(\sqrt{11}\)2=11) परिमेय है। चरण 3: वर्ग करने पर वर्गमूल हट सकता है।
Its square is (\(\sqrt{13}\)2=13), which is rational.
Step 3
Exam Tip
The square of an irrational number is not always irrational, so examine examples carefully. चरण 1: \(\sqrt{13}\) अपरिमेय है। चरण 2: इसका वर्ग (\(\sqrt{13}\)2=13) परिमेय है। चरण 3: हर अपरिमेय संख्या का वर्ग अपरिमेय नहीं होता, इसलिए उदाहरण ध्यान से देखें।
(4) is rational and \(\sqrt{13}\) is irrational, so the sum is irrational. In exams identify square roots of perfect squares first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(4+\sqrt{13}\). (4) is rational and \(\sqrt{13}\) is irrational, so the sum is irrational. In exams identify square roots of perfect squares first.
Step 3
Exam Tip
(4) परिमेय है और \(\sqrt{13}\) अपरिमेय है, इसलिए योग अपरिमेय है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग के वर्गमूल को पहले पहचानें।
\(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\), which is irrational. Multiplying equal roots can often give a rational number.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\times\sqrt{5}\). \(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\), which is irrational. Multiplying equal roots can often give a rational number.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\) है जो अपरिमेय है। समान जड़ों का गुणन अक्सर परिमेय दे सकता है।
A. जब (a) कोई भी परिमेय संख्या हो/When (a) is any rational number
Step 1
Concept
Adding a rational number to an irrational number gives an irrational result. This simple property often appears in MCQs.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. जब (a) कोई भी परिमेय संख्या हो / When (a) is any rational number. Adding a rational number to an irrational number gives an irrational result. This simple property often appears in MCQs.
Step 3
Exam Tip
परिमेय में अपरिमेय जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। यह आसान गुण अक्सर MCQ में आता है।
\(\sqrt{5}\) is irrational and \(2-\sqrt{5}\) is also irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (2) which is rational.
Step 3
Exam Tip
There is no single always rule for the sum of two irrational numbers. चरण 1: \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है और \(2-\sqrt{5}\) भी अपरिमेय है। चरण 2: उनका योग (2) है जो परिमेय है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं के योग के लिए एक ही नियम हर बार लागू नहीं होता।
Its reciprocal \(\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\) is also irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not assume the reciprocal of a non-zero irrational surd is rational. चरण 1: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 2: इसका व्युत्क्रम \(\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\) भी अपरिमेय है। चरण 3: अशून्य अपरिमेय मूल के व्युत्क्रम को परिमेय मानने की गलती न करें।
The sum of two irrational numbers can be rational.
Step 2
Why this answer is correct
For example, (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0). Therefore, saying (a+b) is always irrational is false.
Step 3
Exam Tip
Be careful with universal statements about two irrational numbers. चरण 1: दो अपरिमेय संख्याओं का योग कभी परिमेय भी हो सकता है। चरण 2: उदाहरण (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) है। इसलिए (a+b) हमेशा अपरिमेय कहना गलत है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं पर हमेशा वाले नियम बहुत सावधानी से लगाएँ।
A rational number minus an irrational number is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
If (r-s) were rational, then (s=r-(r-s)) would be rational, which is impossible.
Step 3
Exam Tip
Use the same reasoning for subtraction as for addition. चरण 1: परिमेय संख्या में से अपरिमेय संख्या घटाने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। चरण 2: यदि (r-s) परिमेय हो, तो (s=r-(r-s)) परिमेय हो जाएगा, जो असंभव है। चरण 3: घटाव में भी वही सोच रखें जो योग में रखते हैं।
In such questions, identify the form \(m+n+2\sqrt{mn}\). चरण 1: (\(2+\sqrt{3}\)2=4+4\sqrt{3}+3)। चरण 2: यह \(7+4\sqrt{3}\) के बराबर है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में \(m+n+2\sqrt{mn}\) का रूप पहचानें।
(4,9,25) are perfect squares, so their square roots are integers.
Step 2
Why this answer is correct
(5) is not a perfect square, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In options, identify perfect squares first. चरण 1: (4,9,25) पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए उनके वर्गमूल पूर्णांक हैं। चरण 2: (5) पूर्ण वर्ग नहीं है और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: विकल्पों में पहले पूर्ण वर्ग पहचानें।
A. (k) पूर्ण वर्ग नहीं है/(k) is not a perfect square
Step 1
Concept
If a positive integer is not a perfect square its square root is irrational. So (k) is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (k) पूर्ण वर्ग नहीं है / (k) is not a perfect square. If a positive integer is not a perfect square its square root is irrational. So (k) is not a perfect square.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक पूर्णांक पूर्ण वर्ग न हो तो उसकी वर्गमूल अपरिमेय होती है। इसलिए (k) पूर्ण वर्ग नहीं होगा।
A. (n) पूर्ण वर्ग नहीं है/(n) is not a perfect square
Step 1
Concept
The square root of a positive integer is irrational when it is not a perfect square. Remember this simple rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (n) पूर्ण वर्ग नहीं है / (n) is not a perfect square. The square root of a positive integer is irrational when it is not a perfect square. Remember this simple rule.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक पूर्णांक की वर्गमूल अपरिमेय तब होती है जब वह पूर्ण वर्ग नहीं होता। यह सरल नियम याद रखें।
\(\sqrt{15}\) is irrational because (15) is not a perfect square. Identifying perfect squares is very useful in exams.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{15}\). \(\sqrt{15}\) is irrational because (15) is not a perfect square. Identifying perfect squares is very useful in exams.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{15}\) में (15) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना बहुत उपयोगी है।
A prime number is not a perfect square, so \(\sqrt{11}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
For the square root of a prime, use the non-perfect-square idea directly. चरण 1: (11) अभाज्य संख्या है। चरण 2: कोई अभाज्य संख्या पूर्ण वर्ग नहीं होती, इसलिए \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है। चरण 3: अभाज्य संख्या के वर्गमूल पर सीधे अपूर्ण वर्ग का विचार लगाएँ।
\(\sqrt{a}\) is irrational only when (a) is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
(36) is a perfect square and \(\sqrt{36}=6\), so it is not suitable.
Step 3
Exam Tip
Quickly identify perfect squares among the options. चरण 1: \(\sqrt{a}\) अपरिमेय तभी होगा जब (a) पूर्ण वर्ग न हो। चरण 2: (36) पूर्ण वर्ग है और \(\sqrt{36}=6\), इसलिए यह उपयुक्त नहीं है। चरण 3: विकल्पों में पूर्ण वर्ग को तुरंत पहचानें।
(90) is not a perfect square, so \(\sqrt{90}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
To decide the nature of a square root, first check perfect squares. चरण 1: (49), (81) और (121) पूर्ण वर्ग हैं। चरण 2: (90) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{90}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले पूर्ण वर्ग जाँचें।
From \(x^2=7\), \(x=\sqrt{7}\) or \(x=-\sqrt{7}\).
Step 2
Why this answer is correct
Among the options, \(\sqrt{7}\) is present and it is irrational.
Step 3
Exam Tip
Remember both positive and negative roots, then match the given options. चरण 1: \(x^2=7\) से \(x=\sqrt{7}\) या \(x=-\sqrt{7}\) हो सकता है। चरण 2: दिए गए विकल्पों में \(\sqrt{7}\) है, जो अपरिमेय है। चरण 3: वर्ग समीकरण में धन और ऋण दोनों मूल याद रखें, पर विकल्प के अनुसार चुनें।
\(\sqrt{45}=\sqrt{9}\sqrt{5}=3\sqrt{5}\), and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Separate the largest perfect square factor while simplifying surds. चरण 1: \(45=9\times5\) है। चरण 2: \(\sqrt{45}=\sqrt{9}\sqrt{5}=3\sqrt{5}\), और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: मूल को सरल करते समय सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड को अलग करें।
(99) is not a perfect square, so \(\sqrt{99}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In such questions, first separate the perfect squares. चरण 1: पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होता है। चरण 2: (99) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{99}\) अपरिमेय होगा। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले पूर्ण वर्गों को अलग कर दें।
(52) is not a perfect square, so \(\sqrt{52}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In such questions, eliminate perfect squares first. चरण 1: किसी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होता है। चरण 2: (52) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{52}\) अपरिमेय होगा। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में दिए गए मानों में पूर्ण वर्गों को पहले हटा दें।
An irrational number cannot be written exactly in the form \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
(14) is not a perfect square, so \(\sqrt{14}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In square-root questions, first check whether the number inside is a perfect square. चरण 1: अपरिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में ठीक-ठीक नहीं लिखा जा सकता। चरण 2: (14) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{14}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल में अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, पहले यही जांचें।
An irrational number cannot be written exactly as a fraction.
Step 2
Why this answer is correct
(15) is not a perfect square, so \(\sqrt{15}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
For square-root options, first check whether the number inside is a perfect square. चरण 1: अपरिमेय संख्या को ठीक-ठीक भिन्न रूप में नहीं लिखा जा सकता। चरण 2: (15) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{15}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल वाले विकल्पों में अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, पहले यही देखें।
(10) is not a perfect square, so \(\sqrt{10}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Use nearby perfect squares to locate square roots. चरण 1: (9<10<16), इसलिए \(3<\sqrt{10}<4\)। चरण 2: (10) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{10}\) अपरिमेय है। चरण 3: दो पूर्ण वर्गों के बीच की संख्या का वर्गमूल अंतराल बताता है।
An irrational number cannot be written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}\) is not the square root of a perfect square, so it is irrational.
Step 3
Exam Tip
If the number under a square root is not a perfect square, it is usually irrational. चरण 1: अपरिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में नहीं लिखा जा सकता। चरण 2: \(\sqrt{2}\) पूर्ण वर्ग का वर्गमूल नहीं है, इसलिए यह अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल में संख्या पूर्ण वर्ग न हो तो वह अक्सर अपरिमेय होती है।
(\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)=6-2=4), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Identifying conjugates helps remove radicals quickly. चरण 1: पहला विकल्प संयुग्मी पदों का गुणनफल है। चरण 2: (\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)=6-2=4), जो परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी पद पहचानने से वर्गमूल जल्दी हट जाते हैं।
\(\sqrt{19}\) is irrational because (19) is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
(\(\sqrt{19}\)2=19), which is rational.
Step 3
Exam Tip
The square of an irrational number can sometimes be rational. चरण 1: \(\sqrt{19}\) अपरिमेय है क्योंकि (19) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: (\(\sqrt{19}\)2=19), जो परिमेय है। चरण 3: किसी अपरिमेय संख्या का वर्ग कभी-कभी परिमेय हो सकता है।
A. \(\sqrt{n}\) अपरिमेय होगी/\(\sqrt{n}\) will be irrational
Step 1
Concept
If positive integer (n) is not a perfect square then \(\sqrt{n}\) is irrational. This is an easy exam rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{n}\) अपरिमेय होगी / \(\sqrt{n}\) will be irrational. If positive integer (n) is not a perfect square then \(\sqrt{n}\) is irrational. This is an easy exam rule.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक पूर्णांक (n) पूर्ण वर्ग न हो तो \(\sqrt{n}\) अपरिमेय होती है। यह आसान परीक्षा नियम है।
The square root of a perfect square is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
If (n) is not a perfect square, \(\sqrt{n}\) is not rational.
Step 3
Exam Tip
This rule is very useful in Class 10 irrational number questions. चरण 1: पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है। चरण 2: यदि (n) पूर्ण वर्ग नहीं है, तो \(\sqrt{n}\) परिमेय नहीं होता। चरण 3: यह नियम कक्षा दस के अपरिमेय संख्या प्रश्नों में बहुत उपयोगी है।
A. \(\sqrt{8}\) और \(-\sqrt{8}\)/\(\sqrt{8}\) and \(-\sqrt{8}\)
Step 1
Concept
(\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), which is rational. In exams one counterexample is enough to disprove a universal statement.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{8}\) और \(-\sqrt{8}\) / \(\sqrt{8}\) and \(-\sqrt{8}\). (\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), which is rational. In exams one counterexample is enough to disprove a universal statement.
Step 3
Exam Tip
(\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), जो परिमेय है। परीक्षा में गलत सार्वत्रिक कथन तोड़ने के लिए एक प्रतिउदाहरण काफी है।
(5) is a non zero rational number so \(5\sqrt{3}\) is irrational. Remember multiplication by (0) gives (0).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(5\times\sqrt{3}\). (5) is a non zero rational number so \(5\sqrt{3}\) is irrational. Remember multiplication by (0) gives (0).
Step 3
Exam Tip
(5) गैर शून्य परिमेय है इसलिए \(5\sqrt{3}\) अपरिमेय है। ध्यान रखें (0) से गुणा करने पर परिणाम (0) होता है।
A. \(\sqrt{12}\) और \(\sqrt{3}\)/\(\sqrt{12}\) and \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{3}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their product is \(\sqrt{36}=6\), which is rational, and their sum is \(3\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Check the nature of the sum and product separately. चरण 1: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका गुणन \(\sqrt{36}=6\) परिमेय है, और योग \(3\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 3: योग और गुणन की प्रकृति अलग-अलग जाँचें।
B. \(\sqrt{3}\) और \(2\sqrt{3}\)/\(\sqrt{3}\) and \(2\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) and \(2\sqrt{3}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is \(3\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
In sum questions, identify whether like surds cancel or combine. चरण 1: \(\sqrt{3}\) और \(2\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग \(3\sqrt{3}\) है, जो अपरिमेय है। चरण 3: योग वाले प्रश्नों में कटने वाले और जुड़ने वाले समान मूल अलग-अलग पहचानें।
(6) is a non-zero rational number and \(\sqrt{19}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(6\sqrt{19}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Multiplication by zero is a special case, so focus on non-zero rational factors. चरण 1: (6) अशून्य परिमेय है और \(\sqrt{19}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(6\sqrt{19}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: शून्य से गुणा करने का मामला अलग है, इसलिए अशून्य परिमेय पर ध्यान दें।
(4) is a non-zero rational number and \(\sqrt{13}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(4\sqrt{13}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Multiplication by zero is a special case, so focus on non-zero rational factors. चरण 1: (4) अशून्य परिमेय है और \(\sqrt{13}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(4\sqrt{13}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: शून्य से गुणा करने का मामला अलग है, इसलिए अशून्य परिमेय पर ध्यान दें।
(3) is a non-zero rational number and \(\sqrt{7}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(3\sqrt{7}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Multiplication by zero is a special case, so focus on non-zero rational factors. चरण 1: (3) अशून्य परिमेय है और \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(3\sqrt{7}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: शून्य से गुणा करने का मामला अलग होता है, इसलिए अशून्य परिमेय पर ध्यान दें।
Squaring a square root gives the number inside it.
Step 2
Why this answer is correct
(\(\sqrt{13}\)2=13).
Step 3
Exam Tip
Apply (\(\sqrt{a}\)2=a) directly. चरण 1: वर्गमूल का वर्ग करने पर अंदर की संख्या मिलती है। चरण 2: (\(\sqrt{13}\)2=13)। चरण 3: (\(\sqrt{a}\)2=a) को सीधे लागू करें।
(180) is not a perfect square so \(\sqrt{180}\) is irrational. Subtracting an irrational from a rational gives an irrational result.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (m=180). (180) is not a perfect square so \(\sqrt{180}\) is irrational. Subtracting an irrational from a rational gives an irrational result.
Step 3
Exam Tip
(180) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{180}\) अपरिमेय है। परिमेय से अपरिमेय घटाने पर परिणाम अपरिमेय होता है।
In the square of three terms, pairwise products appear along with individual squares.
Step 2
Why this answer is correct
Thus \(a^2=10+2\sqrt{6}+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}\).
Step 3
Exam Tip
While squaring a sum of many surds, write all pairwise products. चरण 1: तीन पदों के वर्ग में अलग-अलग वर्गों के साथ दो-दो पदों के गुणन भी आते हैं। चरण 2: इसलिए \(a^2=10+2\sqrt{6}+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}\) होगा। चरण 3: कई मूलों के योग का वर्ग करते समय सभी जोड़ीदार गुणन लिखें।
(2) is rational. So \(2+\sqrt{n}\) is irrational when \(\sqrt{n}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
(40) is not a perfect square, so \(\sqrt{40}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
First eliminate perfect squares from the given integers. चरण 1: (2) परिमेय है। इसलिए \(2+\sqrt{n}\) अपरिमेय तभी होगा जब \(\sqrt{n}\) अपरिमेय हो। चरण 2: (40) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{40}\) अपरिमेय है। चरण 3: दिए गए पूर्णांकों में पूर्ण वर्गों को पहले हटाएँ।
When asked for not irrational, carefully check perfect-square options. चरण 1: \(\sqrt{225}=15\) है। चरण 2: \(\sqrt{225}-8=7\), जो परिमेय संख्या है। चरण 3: अपरिमेय नहीं पूछे जाने पर पूर्ण वर्ग वाले विकल्प ध्यान से देखें।
Multiplying a square root by itself gives the number inside.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{k}\times\sqrt{k}=k\), which is rational if (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
The square of an irrational square root can be rational. चरण 1: किसी वर्गमूल को उसी वर्गमूल से गुणा करने पर अंदर की संख्या मिलती है। चरण 2: \(\sqrt{k}\times\sqrt{k}=k\), जो पूर्णांक होने पर परिमेय होता है। चरण 3: अपरिमेय वर्गमूल का वर्ग परिमेय परिणाम दे सकता है।
When asked for not irrational, carefully check perfect-square options. चरण 1: \(\sqrt{196}=14\) है। चरण 2: \(\sqrt{196}-5=9\), जो परिमेय संख्या है। चरण 3: अपरिमेय नहीं पूछे जाने पर पूर्ण वर्ग वाले विकल्प ध्यान से देखें।
(\(\sqrt{b}\)2=b), and if (b) is an integer, it is rational.
Step 3
Exam Tip
The square of an irrational square root can give a rational result. चरण 1: वर्गमूल का वर्ग करने पर अंदर की संख्या मिलती है। चरण 2: (\(\sqrt{b}\)2=b), और (b) पूर्णांक हो तो परिमेय होता है। चरण 3: अपरिमेय वर्गमूल का वर्ग परिमेय परिणाम दे सकता है।
In not-irrational questions, check perfect squares carefully. चरण 1: \(\sqrt{121}=11\) है। चरण 2: \(\sqrt{121}-2=9\), जो परिमेय संख्या है। चरण 3: अपरिमेय नहीं वाले प्रश्न में पूर्ण वर्गों को खास ध्यान से देखें।
Multiplying a square root by itself gives the number inside.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a\), and if (a) is an integer, it is rational.
Step 3
Exam Tip
The square of an irrational number can be rational. चरण 1: किसी वर्गमूल को उसी वर्गमूल से गुणा करने पर अंदर की संख्या मिलती है। चरण 2: \(\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a\), और (a) पूर्णांक हो तो परिमेय है। चरण 3: अपरिमेय संख्या का वर्ग कई बार परिमेय हो सकता है।
The question asks for the number that is not irrational, so look for a rational number.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{64}=8\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Read negative wording carefully in such questions. चरण 1: प्रश्न अपरिमेय नहीं पूछ रहा है, इसलिए परिमेय संख्या खोजें। चरण 2: \(\sqrt{64}=8\), जो परिमेय है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में नकारात्मक शब्दों को ध्यान से पढ़ें।
The question asks for the number that is not irrational, so find the rational one.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{36}=6\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Read negative wording carefully in MCQs. चरण 1: प्रश्न अपरिमेय नहीं पूछ रहा है, इसलिए परिमेय संख्या खोजें। चरण 2: \(\sqrt{36}=6\), जो परिमेय है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में नकारात्मक भाषा को ध्यान से पढ़ें।
(49) is a perfect square, so \(\sqrt{49}=7\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
(50) is not a perfect square, so \(\sqrt{50}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Even for nearby numbers, check perfect squares carefully. चरण 1: (49) पूर्ण वर्ग है, इसलिए \(\sqrt{49}=7\) परिमेय है। चरण 2: (50) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{50}\) अपरिमेय है। चरण 3: पास-पास की संख्याओं में भी पूर्ण वर्ग पहचानना जरूरी है।
The question asks for the number that is not irrational, so look for a rational option.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{25}=5\), so it is rational.
Step 3
Exam Tip
Be careful with negative wording in MCQs. चरण 1: प्रश्न अपरिमेय नहीं पूछ रहा है, इसलिए परिमेय विकल्प खोजें। चरण 2: \(\sqrt{25}=5\), इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: नकारात्मक शब्दों वाले प्रश्नों में जल्दबाजी न करें।
A. \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) हमेशा/\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) always
Step 1
Concept
\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) is generally false, for example \(\sqrt{9+16}\ne3+4\). In exams do not split addition inside a radical.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) हमेशा / \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) always. \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) is generally false, for example \(\sqrt{9+16}\ne3+4\). In exams do not split addition inside a radical.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) सामान्यतः गलत है, जैसे \(\sqrt{9+16}\ne3+4\)। परीक्षा में मूल के अंदर योग को अलग-अलग न तोड़ें।
Choosing the largest perfect square factor makes simplification faster. चरण 1: \(18=9 \times 2\) है। चरण 2: \(\sqrt{18}=\sqrt{9 \times 2}=3\sqrt{2}\)। चरण 3: सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड चुनने से उत्तर जल्दी सरल होता है।
Square roots of perfect squares are rational. चरण 1: (4) पूर्ण वर्ग है। चरण 2: \(\sqrt{4}=2\), जो परिमेय संख्या है। चरण 3: पूर्ण वर्गों के वर्गमूल परिमेय होते हैं।
A square root of a perfect square does not need an irrationality proof. चरण 1: (9) पूर्ण वर्ग है। चरण 2: \(\sqrt{9}=3\), जो परिमेय है। चरण 3: पूर्ण वर्ग के वर्गमूल को अपरिमेय सिद्ध करने की जरूरत नहीं होती।
The square root of a perfect square is not proved irrational. चरण 1: (4) पूर्ण वर्ग है। चरण 2: \(\sqrt{4}=2\), जो परिमेय संख्या है। चरण 3: पूर्ण वर्ग के वर्गमूल को अपरिमेय सिद्ध नहीं करते।
(43) is not a perfect square so \(\sqrt{43}\) is irrational. Watch the root when the number is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह अपरिमेय है / It is irrational. (43) is not a perfect square so \(\sqrt{43}\) is irrational. Watch the root when the number is not a perfect square.
Step 3
Exam Tip
(43) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{43}\) अपरिमेय है। पूर्ण वर्ग न होने पर जड़ पर ध्यान दें।
(37) is not a perfect square so \(\sqrt{37}\) is irrational. Remember the list of perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह अपरिमेय है / It is irrational. (37) is not a perfect square so \(\sqrt{37}\) is irrational. Remember the list of perfect squares.
Step 3
Exam Tip
(37) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{37}\) अपरिमेय है। पूर्ण वर्गों की सूची याद रखें।
(11) is not a perfect square so \(\sqrt{11}\) is irrational. Identify such roots in simplest form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह अपरिमेय है / It is irrational. (11) is not a perfect square so \(\sqrt{11}\) is irrational. Identify such roots in simplest form.
Step 3
Exam Tip
(11) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है। ऐसी जड़ों को सरल रूप में पहचानें।
B. \(\sqrt{72}\) अपरिमेय है क्योंकि (72) पूर्ण वर्ग नहीं है/\(\sqrt{72}\) is irrational because (72) is not a perfect square
Step 1
Concept
The square root of a positive integer is rational only when the integer is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
(72) is not a perfect square, so \(\sqrt{72}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Being even does not make a square root rational. चरण 1: धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल परिमेय तभी होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। चरण 2: (72) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{72}\) अपरिमेय है। चरण 3: सम संख्या होना वर्गमूल को परिमेय नहीं बनाता।
A. ऐसी अभाज्य संख्या का वर्गमूल जो पूर्ण वर्ग नहीं है/The square root of a prime number that is not a perfect square
Step 1
Concept
(2,3,5) are prime numbers and not perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
Assuming their square roots rational creates the same prime as a common factor of numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
Understand the difference between a perfect square and a prime number. चरण 1: (2,3,5) अभाज्य हैं और पूर्ण वर्ग नहीं हैं। चरण 2: इनके वर्गमूल को परिमेय मानने से अंश और हर में वही अभाज्य साझा गुणनखंड बनता है। चरण 3: पूर्ण वर्ग और अभाज्य संख्या का फर्क जरूर समझें।
Since (m) is not a perfect square, \(\sqrt{m}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
(4) is rational, and adding it to an irrational number gives an irrational number.
Step 3
Exam Tip
Connect the non-perfect-square condition directly with the nature of the square root. चरण 1: (m) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{m}\) अपरिमेय है। चरण 2: (4) परिमेय है, और अपरिमेय में परिमेय जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय होता है। चरण 3: पूर्ण वर्ग न होने की जानकारी को सीधे वर्गमूल की प्रकृति से जोड़ें।
(2) is rational because it can be written as \(\frac{2}{1}\).
Step 3
Exam Tip
The square of an irrational number can sometimes be rational. चरण 1: (\(\sqrt{2}\)2=2)। चरण 2: (2) परिमेय संख्या है क्योंकि इसे \(\frac{2}{1}\) लिखा जा सकता है। चरण 3: अपरिमेय संख्या का वर्ग कभी-कभी परिमेय हो सकता है।
A. यदि प्राकृतिक संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है और अभाज्य है, तो उसका वर्गमूल अपरिमेय होता है/If a natural number is not a perfect square and is prime, its square root is irrational
Step 1
Concept
(2,3,5) are not perfect squares and are prime.
Step 2
Why this answer is correct
Assuming their square roots rational creates a common-factor contradiction.
Step 3
Exam Tip
Identifying perfect squares is the first task in such questions. चरण 1: (2,3,5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं और अभाज्य हैं। चरण 2: इनके वर्गमूल को परिमेय मानने पर साझा गुणनखंड का विरोधाभास मिलता है। चरण 3: पूर्ण वर्ग पहचानना ऐसे प्रश्नों में पहला काम है।
If \(\frac{s}{r}\) were rational then \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) would be rational which is false. In exams check the non-zero condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अपरिमेय / Irrational. If \(\frac{s}{r}\) were rational then \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) would be rational which is false. In exams check the non-zero condition.
Step 3
Exam Tip
यदि \(\frac{s}{r}\) परिमेय हो तो \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) परिमेय हो जाएगा जो गलत है। परीक्षा में शून्येतर शर्त जरूर देखें।
(\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=4-3=1) which is rational. In exams remember conjugate multiplication as a counterexample.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)). (\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=4-3=1) which is rational. In exams remember conjugate multiplication as a counterexample.
Step 3
Exam Tip
(\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=4-3=1) है जो परिमेय है। परीक्षा में संयुग्मी गुणन को प्रतिउदाहरण के रूप में याद रखें।
A. \(\sqrt{2}\) और \(3\sqrt{2}\)/\(\sqrt{2}\) and \(3\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), which is rational. In exams remember counterexamples for products of irrational numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\) और \(3\sqrt{2}\) / \(\sqrt{2}\) and \(3\sqrt{2}\). \(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), which is rational. In exams remember counterexamples for products of irrational numbers.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), जो परिमेय है। परीक्षा में अपरिमेय संख्याओं के गुणनफल के लिए प्रतिउदाहरण याद रखें।
The like (x) terms cancel and the value left is \(2\sqrt{2}\). In exams do not be confused by the type of number during algebraic simplification.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2\sqrt{2}\). The like (x) terms cancel and the value left is \(2\sqrt{2}\). In exams do not be confused by the type of number during algebraic simplification.
Step 3
Exam Tip
समान (x) पद कट जाते हैं और मान \(2\sqrt{2}\) बचता है। परीक्षा में बीजीय सरलीकरण में संख्या के प्रकार से भ्रमित न हों।
A. \(2+\sqrt{5}\) और \(2-\sqrt{5}\)/\(2+\sqrt{5}\) and \(2-\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
The sum is (\(2+\sqrt{5}\)+\(2-\sqrt{5}\)=4), which is rational. In exams remember conjugate pairs as counterexamples.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2+\sqrt{5}\) और \(2-\sqrt{5}\) / \(2+\sqrt{5}\) and \(2-\sqrt{5}\). The sum is (\(2+\sqrt{5}\)+\(2-\sqrt{5}\)=4), which is rational. In exams remember conjugate pairs as counterexamples.
Step 3
Exam Tip
योग (\(2+\sqrt{5}\)+\(2-\sqrt{5}\)=4) है, जो परिमेय है। परीक्षा में संयुग्मी जोड़ों को प्रतिउदाहरण के रूप में याद रखें।
For (k=2), the discriminant is (16-8=8), positive but not a perfect square. Therefore the roots are real and irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (k=2). For (k=2), the discriminant is (16-8=8), positive but not a perfect square. Therefore the roots are real and irrational.
Step 3
Exam Tip
(k=2) पर विविक्तकर (16-8=8), जो धनात्मक पर पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए मूल वास्तविक और अपरिमेय होंगे।
For \(x^2-8x+3\), (D=64-12=52), positive and not a perfect square. The other options give equal rational, non-real, or rational zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2-8x+3\). For \(x^2-8x+3\), (D=64-12=52), positive and not a perfect square. The other options give equal rational, non-real, or rational zeroes.
Step 3
Exam Tip
\(x^2-8x+3\) के लिए (D=64-12=52), जो धनात्मक अपूर्ण वर्ग है। बाकी विकल्पों में शून्यक समान परिमेय, अवास्तविक या परिमेय हैं।
In \(x^2-4x+1\), the sum is (4) and (D=16-4=12), so the zeroes are irrational. A rational sum does not mean rational zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2-4x+1\). In \(x^2-4x+1\), the sum is (4) and (D=16-4=12), so the zeroes are irrational. A rational sum does not mean rational zeroes.
Step 3
Exam Tip
\(x^2-4x+1\) में योग (4) है और (D=16-4=12) से शून्यक अपरिमेय हैं। परिमेय योग का अर्थ परिमेय शून्यक होना नहीं है।
B. (k) धनात्मक हो लेकिन पूर्ण वर्ग न हो/(k) is positive but not a perfect square
Step 1
Concept
The zeroes are \(x=\pm\sqrt{k}\). They are irrational real when (k>0) and (k) is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (k) धनात्मक हो लेकिन पूर्ण वर्ग न हो / (k) is positive but not a perfect square. The zeroes are \(x=\pm\sqrt{k}\). They are irrational real when (k>0) and (k) is not a perfect square.
Step 3
Exam Tip
शून्यक \(x=\pm\sqrt{k}\) हैं। ये अपरिमेय वास्तविक तभी होंगे जब (k>0) और (k) पूर्ण वर्ग न हो।
For (r=2), (D=16-8=8). It is positive and not a perfect square, so the zeroes are real and irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. कथन सही है / The statement is true. For (r=2), (D=16-8=8). It is positive and not a perfect square, so the zeroes are real and irrational.
Step 3
Exam Tip
(r=2) पर (D=16-8=8) है। यह धनात्मक और अपूर्ण वर्ग है, इसलिए शून्यक वास्तविक और अपरिमेय हैं।
B. जब (25-4c) धनात्मक हो पर पूर्ण वर्ग न हो/When (25-4c) is positive but not a perfect square
Step 1
Concept
For real distinct zeroes, (D>0) is required. For irrational zeroes, (D) must not be a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. जब (25-4c) धनात्मक हो पर पूर्ण वर्ग न हो / When (25-4c) is positive but not a perfect square. For real distinct zeroes, (D>0) is required. For irrational zeroes, (D) must not be a perfect square.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक भिन्न शून्यकों के लिए (D>0) चाहिए। अपरिमेय शून्यकों के लिए (D) पूर्ण वर्ग नहीं होना चाहिए।
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the sum is \(3\sqrt{2}\). A non zero rational multiple of \(\sqrt{2}\) remains irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह \(3\sqrt{2}\) है / It is \(3\sqrt{2}\). \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the sum is \(3\sqrt{2}\). A non zero rational multiple of \(\sqrt{2}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए योग \(3\sqrt{2}\) है। गैर शून्य परिमेय गुणक के साथ \(\sqrt{2}\) अपरिमेय रहता है।
