100 results found for "even whole numbers" in Class 10.
Which option is not a whole number but is a real number?
A. (-3)
(-3) वास्तविक संख्या है लेकिन पूर्ण संख्या नहीं है। पूर्ण संख्याएँ (0) से शुरू होती हैं। / (-3) is a real number but not a whole number. Whole numbers start from (0).
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Which number is not a whole number but is rational?
A. \(\frac{3}{8}\)
\(\frac{3}{8}\) परिमेय है लेकिन पूर्ण संख्या नहीं है। पूर्ण संख्या \(0,1,2,\ldots\) होती हैं। / \(\frac{3}{8}\) is rational but not a whole number. Whole numbers are \(0,1,2,\ldots\).
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Why is (p) considered even when \(p^2\) is even in the proof for \(\sqrt{2}\)?
A. क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता हैBecause the square of an odd number is odd
यदि (p) विषम होता, तो \(p^2\) भी विषम होता। / If (p) were odd, then \(p^2\) would also be odd.
पर \(p^2\) सम मिला है, इसलिए (p) विषम नहीं हो सकता और (p) सम होगा। / Since \(p^2\) is even, (p) cannot be odd, so (p) is even.
यह छोटी सी सम-विषम बात प्रमाण में बहुत महत्त्वपूर्ण है। / This parity fact is very important in the proof.
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B. (680)
शेष योग \(28\times29-11\times12=680\) है। सम संख्याओं के योग के लिए (n(n+1)) लगाएँ। / The remaining sum is \(28\times29-11\times12=680\). Use (n(n+1)) for the sum of even numbers.
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B. (660)
शेष योग \(24\times25-9\times10=510\) नहीं बल्कि (600-90=510) है, इसलिए दिए विकल्प गलत हैं। प्रश्न आयात से पहले सुधारें। / The remaining sum is \(24\times25-9\times10=510\), not any listed option. This question should be corrected before import.
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In the proof of \(\sqrt{2}\), if \(a^2\) is even, why must (a) be even?
A. क्योंकि यदि (a) विषम होता तो \(a^2\) भी विषम होताBecause if (a) were odd, then \(a^2\) would also be odd
विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। / The square of an odd number is odd.
यहां \(a^2\) सम मिला है, इसलिए (a) विषम नहीं हो सकता। / Here \(a^2\) is even, so (a) cannot be odd.
अतः (a) सम होना निश्चित है। / Hence (a) must be even.
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Which statement justifies that (a) is even when \(a^2\) is even in the proof of \(\sqrt{2}\)?
A. यदि (a) विषम होता, तो \(a^2\) भी विषम होताIf (a) were odd, then \(a^2\) would also be odd
विषम संख्या का वर्ग हमेशा विषम होता है। / The square of an odd number is always odd.
यहां \(a^2\) सम मिला है, इसलिए (a) विषम नहीं हो सकता। / Here \(a^2\) is even, so (a) cannot be odd.
अतः (a) सम होना चाहिए। / Therefore (a) must be even.
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A. क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता हैBecause the square of an odd number is odd
यदि (p) विषम होता, तो \(p^2\) भी विषम होता। / If (p) were odd, then \(p^2\) would also be odd.
लेकिन \(p^2\) सम मिला है, इसलिए (p) विषम नहीं हो सकता। / But \(p^2\) is even, so (p) cannot be odd.
इस तरह (p) सम होना तय है। / Thus (p) must be even.
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A. दो बारTwice
पहले \(p^2\) सम होने से (p) सम सिद्ध होता है। / First \(p^2\) even proves (p) even.
फिर \(q^2\) सम होने से (q) सम सिद्ध होता है। / Then \(q^2\) even proves (q) even.
इसलिए यह नियम प्रमाण में दो बार महत्वपूर्ण रूप से आता है। / Therefore this fact is used twice in an important way.
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The product of two consecutive positive even numbers is (224). Which numbers are they?
C. (14) और (16)(14) and (16)
संख्याएँ (x) और (x+2) मानें। (x(x+2)=224) से (x=14) है। / Let the numbers be (x) and (x+2). From (x(x+2)=224), (x=14).
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A. पूर्ण संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होताThe square root of a whole number is not always rational
(5) पूर्ण संख्या है, लेकिन उसका वर्गमूल पूर्ण वर्ग न होने पर परिमेय नहीं होता। / (5) is a whole number, but its square root need not be rational unless it is a perfect square.
(5) किसी पूर्ण संख्या का वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{5}\) परिमेय नहीं माना जा सकता। / Since (5) is not the square of an integer, \(\sqrt{5}\) is not rational.
परीक्षा में संख्या और उसके वर्गमूल को अलग-अलग पहचानें। / In exams, distinguish a number from its square root.
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A. क्योंकि (b) सम सिद्ध करने के लिए (a=2k) को समीकरण में रखना होगाBecause to prove (b) even, (a=2k) must be substituted in the equation
(a) सम होने से (b) अपने आप सम नहीं होता। / (a) being even does not automatically make (b) even.
(a=2k) रखने पर \(b^2=2k^2\) मिलता है। / After substituting (a=2k), we get \(b^2=2k^2\).
तभी (b) सम सिद्ध किया जा सकता है। / Only then can (b) be proved even.
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The sum of the first (n) positive even numbers is (650). What is (n)?
D. (25)
पहली (n) सम संख्याओं का योग (n(n+1)) होता है इसलिए (n=25)। परीक्षा में इसे समान्तर श्रेणी \(2,4,6,\ldots\) भी मान सकते हैं। / The sum of the first (n) even numbers is (n(n+1)), so (n=25). Exam tip: you can also treat it as the AP \(2,4,6,\ldots\).
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What is the sum of the first (40) positive even numbers?
C. (1640)
पहली (n) सम संख्याओं का योग (n(n+1)) होता है, इसलिए \(40\times41=1640\)। इसे सम संख्या वाले प्रश्नों में याद रखें। / The sum of the first (n) even numbers is (n(n+1)), so \(40\times41=1640\). Remember it for even-number AP questions.
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What is the sum of the first (16) even natural numbers?
A. (272)
पहली (n) सम संख्याओं का योग (n(n+1)) होता है। \(16\cdot17=272\)। / The sum of the first (n) even numbers is (n(n+1)). \(16\cdot17=272\).
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A. (x(x+2)=48)
लगातार सम संख्या (x+2) होगी। इसलिए गुणनफल का समीकरण (x(x+2)=48) है। / The next consecutive even number is (x+2). So the product equation is (x(x+2)=48).
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Which option gives the correct basis for proving (q) even in the proof for \(\sqrt{2}\)?
A. (p=2k) रखने से \(q^2=2k^2\) मिलता हैPutting (p=2k) gives \(q^2=2k^2\)
पहले (p) सम सिद्ध होता है, इसलिए (p=2k)। / First (p) is proved even, so (p=2k).
इसे \(p^2=2q^2\) में रखने से \(q^2=2k^2\) मिलता है। / Substituting in \(p^2=2q^2\) gives \(q^2=2k^2\).
इससे \(q^2\) सम और इसलिए (q) सम होता है। / Thus \(q^2\) is even and hence (q) is even.
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In the proof for \(\sqrt{2}\), why is (q) called even after getting \(q^2=2k^2\)?
A. क्योंकि \(q^2\) सम है और सम वर्ग का आधार सम होता हैBecause \(q^2\) is even and the base of an even square is even
\(q^2=2k^2\) से \(q^2\) सम है। / From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is even.
यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। / If the square of an integer is even, the integer is also even.
इस तरह (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं। / Thus both (p) and (q) are found even.
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If \(x^2\) is even, what is the correct conclusion about (x)?
A. (x) सम है(x) is even
यदि (x) विषम होता, तो \(x^2\) विषम होता। / If (x) were odd, then \(x^2\) would be odd.
दिया है कि \(x^2\) सम है, इसलिए (x) सम होना चाहिए। / Since \(x^2\) is given even, (x) must be even.
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यह नियम तुरंत काम आता है। / This rule is used immediately in the proof of \(\sqrt{2}\).
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In the proof of \(\sqrt{2}\), both (p) and (q) are found even. Why is this called a contradiction?
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है, जबकि वे सहअभाज्य माने गए थेBecause both have common factor (2), while they were assumed coprime
सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। / An even number is divisible by (2).
दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड है। / If both are even, (2) is a common factor.
सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। / Coprime numbers cannot have such a common factor.
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If both (p) and (q) are found even, why can they not be coprime?
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड हैBecause both have (2) as a common factor
सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। / An even number is divisible by (2).
यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। / If both (p) and (q) are even, both have (2) as a common factor.
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor except (1).
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In which proof are both (p) and (q) found even?
A. \(\sqrt{2}\) के प्रमाण मेंIn the proof of \(\sqrt{2}\)
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में समीकरण \(p^2=2q^2\) मिलता है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), we get \(p^2=2q^2\).
इससे (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं। / This makes both (p) and (q) even.
(2) वाला साझा गुणनखंड ही विरोधाभास बनाता है। / The common factor (2) creates the contradiction.
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If (p) and (q) are both even, why can they not be coprime?
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगाBecause both will have (2) as a common factor
सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। / An even number is divisible by (2).
यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। / If both (p) and (q) are even, both have (2) as a common factor.
सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता। / Coprime numbers do not have a common factor other than (1).
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How many factors of \(2^3 \times 3^2 \times 5\) will be even?
B. 18
सम गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। / An even factor must have exponent of (2) at least (1).
(2) की घात (1,2,3) के (3) विकल्प, (3) की घात (0,1,2) के (3) विकल्प और (5) की घात (0,1) के (2) विकल्प देती है। कुल \(3 \times 3 \times 2=18\)। / (2) has (3) choices (1,2,3), (3) has (3) choices (0,1,2), and (5) has (2) choices (0,1). Total (18).
सम गुणनखंड गिनते समय (2) की घात (0) न लें। / While counting even factors, do not take exponent (0) for (2).
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What will be the smallest even multiple of \(3^3 \times 7\)?
B. \(2 \times 3^3 \times 7\)
दी गई संख्या में (2) नहीं है, इसलिए वह विषम है। / The given number has no (2), so it is odd.
सबसे छोटा सम गुणज बनाने के लिए केवल एक (2) गुणा करना पर्याप्त है। / Multiplying by just one (2) gives the smallest even multiple.
सबसे छोटा गुणज पूछे जाने पर अनावश्यक घात न बढ़ाएं। / When the smallest multiple is asked, do not increase exponents unnecessarily.
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Which prime factorisation represents an even number?
D. \(2 \times 3 \times 13\)
सम संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में (2) अवश्य होता है। / An even number must contain (2) in its prime factorisation.
केवल चौथे विकल्प में (2) है, इसलिए वही सम संख्या दर्शाता है। / Only the fourth option contains (2), so it represents an even number.
समता जांचने के लिए पूरी संख्या निकालने की जरूरत नहीं होती। / You do not need to calculate the whole number to check evenness.
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How many factors of \(2^2 \times 3 \times 5\) will be even?
C. 8
सम गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। / An even factor must have exponent of (2) at least (1).
(2) की घात (1,2) के (2) विकल्प, (3) की घात (0,1) के (2) विकल्प और (5) की घात (0,1) के (2) विकल्प देती है। कुल \(2 \times 2 \times 2=8\)। / The exponent of (2) has (2) choices (1,2), while (3) has (2) choices and (5) has (2) choices. Total \(2 \times 2 \times 2=8\).
सम गुणनखंड गिनते समय (2) की घात शून्य न लें। / While counting even factors, do not take exponent (0) for (2).
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What will be the smallest even multiple of \(3^2 \times 5 \times 7\)?
B. \(2 \times 3^2 \times 5 \times 7\)
दी गई संख्या में (2) नहीं है, इसलिए वह विषम है। / The given number has no (2), so it is odd.
सबसे छोटा सम गुणज बनाने के लिए केवल एक (2) गुणा करना पर्याप्त है। / To make the smallest even multiple, multiplying by one (2) is enough.
सबसे छोटा गुणज पूछे जाने पर अनावश्यक घात न बढ़ाएं। / When the smallest multiple is asked, do not increase exponents unnecessarily.
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Which prime factorisation represents an even number?
C. \(2^2 \times 3 \times 5\)
सम संख्या में (2) अभाज्य गुणनखंड अवश्य होता है। / An even number must have (2) as a prime factor.
केवल तीसरे विकल्प में (2) मौजूद है, इसलिए वही सम संख्या को दर्शाता है। / Only the third option contains (2), so it represents an even number.
समता जांचने के लिए पूरी संख्या निकालने की जरूरत नहीं है। / To check evenness, calculating the whole number is not necessary.
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Which prime factorisation will form an even number?
C. \(2 \times 3 \times 7\)
सम संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में (2) अवश्य होता है। / An even number must have (2) in its prime factorisation.
केवल तीसरे विकल्प में (2) है, इसलिए वही सम संख्या बनाएगा। / Only the third option contains (2), so it forms an even number.
सम या विषम पहचानने के लिए पूरी संख्या निकालने की जरूरत नहीं होती। / You do not need to calculate the whole number to check even or odd.
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What is the smallest even multiple of \(3^2 \times 5^2 \times 7\)?
A. \(2 \times 3^2 \times 5^2 \times 7\)
दी गई संख्या विषम है क्योंकि इसमें (2) नहीं है। / The given number is odd because it has no factor (2).
सबसे छोटा सम गुणज बनाने के लिए केवल एक (2) गुणा करना पर्याप्त है। / To make the smallest even multiple, multiply by only one (2).
सबसे छोटी शर्त पूरी करने के लिए अनावश्यक घात न बढ़ाएं। / Do not increase exponents unnecessarily when the smallest value is asked.
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Which prime factorisation represents an even number?
A. \(2 \times 3^2 \times 5\)
कोई संख्या सम तभी होती है जब उसमें (2) अभाज्य गुणनखंड हो। / A number is even if its prime factorisation contains (2).
केवल पहले विकल्प में (2) मौजूद है, इसलिए वह सम संख्या है। / Only the first option contains (2), so it represents an even number.
समता जांचने के लिए पूरे गुणा की जरूरत नहीं, केवल (2) देखें। / To check evenness, look only for the factor (2).
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A. (16)
सम गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। / An even factor must contain at least one (2).
(2) की घात (1,2) यानी (2) तरीके; (3,5,7) प्रत्येक के लिए (2) तरीके। कुल \(2\times2\times2\times2=16\)। / Power of (2) has (2) choices, (1) or (2); each of (3,5,7) has (2) choices. Total (=16).
सम गुणनखंड गिनते समय \(2^0\) वाला मामला छोड़ दें। / For even factors, exclude the case \(2^0\).
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Which option gives the correct Euclidean form of an even number?
A. (2q)
किसी संख्या को (2) से भाग देने पर शेषफल (0) या (1) हो सकता है। / When a number is divided by (2), the remainder can be (0) or (1).
सम संख्या में शेषफल (0) होता है, इसलिए रूप (2q) है। / An even number has remainder (0), so its form is (2q).
सम और विषम के प्रश्न में (2q) और (2q+1) याद रखें। / Remember (2q) and (2q+1) for even and odd number questions.
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Using Euclid’s Division Lemma, in which form can an even number be written?
A. (2q)
सम संख्या (2) से पूर्ण विभाजित होती है। / An even number is exactly divisible by (2).
इसलिए शेषफल (0) होगा और रूप (a=2q+0) बनेगा। / So the remainder is (0), giving (a=2q+0).
इसे सरल करके (2q) लिखा जाता है। / This simplifies to (2q).
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A. \(\frac{91}{2^2\cdot 5\cdot 13}\)
\(91=7\cdot 13\), इसलिए हर का (13) कट जाएगा। / \(91=7\cdot 13\), so the factor (13) in the denominator cancels.
सरलतम हर \(2^2\cdot 5\) बचेगा, जिसमें केवल (2) और (5) हैं। इसलिए दशमलव सांत होगा। / The reduced denominator is \(2^2\cdot 5\), containing only (2) and (5). Hence the decimal terminates.
अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड अंश से कट सकता है। / An extra prime factor may cancel with the numerator.
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A. \(\frac{21}{42}\)
\(\frac{21}{42}=\frac{1}{2}\) हो जाता है। / \(\frac{21}{42}=\frac{1}{2}\).
सरलतम रूप में हर (2) है, इसलिए दशमलव सांत होगा। बाकी विकल्पों में (3) या (7) जैसे गुणनखंड पूरी तरह नहीं कटते। / The reduced denominator is (2), so the decimal terminates. In the other options, factors like (3) or (7) do not cancel completely.
ऐसे प्रश्न सरलतम रूप की जाँच करवाते हैं। / Such questions test whether you reduce the fraction first.
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Which number is rational even though irrational square roots appear in it?
A. (\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\))
पहला विकल्प संयुग्मी पदों का गुणनफल है। / The first option is a product of conjugate terms.
(\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)=6-2=4), जो परिमेय है। / (\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)=6-2=4), which is rational.
संयुग्मी पद पहचानने से वर्गमूल जल्दी हट जाते हैं। / Identifying conjugates helps remove radicals quickly.
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Which option gives a rational decimal even though it does not terminate?
B. \(0.37373737\ldots\)
असांत दशमलव परिमेय भी हो सकता है, यदि उसमें आवर्तन हो। / A non-terminating decimal can still be rational if it is recurring.
\(0.37373737\ldots\) में (37) बार-बार आ रहा है, इसलिए यह परिमेय है। / In \(0.37373737\ldots\), the block (37) repeats, so it is rational.
असांत देखकर तुरंत अपरिमेय न मानें; आवर्ती भाग को ध्यान से पहचानें। / Do not call a decimal irrational just because it is non-terminating; check for a repeating block.
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Which of the following numbers is rational?
C. \(\sqrt{9}\)
पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय संख्या होता है। / The square root of a perfect square is rational.
(9) पूर्ण वर्ग है और \(\sqrt{9}=3\), इसलिए यह परिमेय है। / (9) is a perfect square and \(\sqrt{9}=3\), so it is rational.
वर्गमूल वाले प्रश्न में पहले देखें कि अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं। / In square root questions, first check whether the number inside is a perfect square.
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A. (22)
यदि बीच वाला (x) है, तो पहले और तीसरे (x-2) तथा (x+2) होंगे। ((x-2)(x+2)=480) से (x=22)। / If the middle one is (x), the first and third are (x-2) and (x+2). From ((x-2)(x+2)=480), (x=22).
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A. (18)
यदि बीच वाला (x) है, तो पहले और तीसरे (x-2) तथा (x+2) होंगे। ((x-2)(x+2)=320) से (x=18)। / If the middle one is (x), the first and third are (x-2) and (x+2). From ((x-2)(x+2)=320), (x=18).
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The sum of squares of two consecutive even positive numbers is (3044). What is the larger number?
C. (40)
लगातार सम संख्याएँ (x) और (x+2) हैं। (x-2+(x+2)2=3044) से (x=38), इसलिए बड़ी संख्या (40) है। / Consecutive even numbers are (x) and (x+2). From (x-2+(x+2)2=3044), (x=38), so the larger number is (40).
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The sum of squares of two consecutive even positive numbers is (2452). What is the larger number?
C. (36)
लगातार सम संख्याएँ (x) और (x+2) हैं। (x-2+(x+2)2=2452) से (x=34), इसलिए बड़ी संख्या (36) है। / Consecutive even numbers are (x) and (x+2). From (x-2+(x+2)2=2452), (x=34), so the larger number is (36).
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The sum of squares of two consecutive even positive numbers is (1924). What is the larger number?
C. (32)
लगातार सम संख्याएँ (x) और (x+2) मानें। (x-2+(x+2)2=1924) से (x=30), इसलिए बड़ी संख्या (32) है। / Let the consecutive even numbers be (x) and (x+2). From (x-2+(x+2)2=1924), (x=30), so the larger number is (32).
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The sum of squares of two consecutive even positive numbers is (1060). What is the larger number?
C. (24)
लगातार सम संख्याएँ (x) और (x+2) मानें। (x-2+(x+2)2=1060) से (x=22), इसलिए बड़ी संख्या (24) है। / Let the consecutive even numbers be (x) and (x+2). From (x-2+(x+2)2=1060), (x=22), so the larger number is (24).
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The product of two consecutive even positive numbers is (728). What is the larger number?
C. (28)
लगातार सम संख्याएँ (x) और (x+2) होंगी। (x(x+2)=728) से (x=26), इसलिए बड़ी संख्या (28) है। / Consecutive even numbers are (x) and (x+2). From (x(x+2)=728), (x=26), so the larger number is (28).
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The product of two consecutive even numbers is (528). What is the smaller number?
B. (22)
(x(x+2)=528) से (x=22) मिलता है। सम लगातार संख्याओं का अंतर (2) याद रखें। / (x(x+2)=528) gives (x=22). Remember that consecutive even numbers differ by (2).
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The product of two consecutive even positive numbers is (360). What is the larger number?
B. (20)
लगातार सम संख्याएँ (x) और (x+2) होंगी, तब (x(x+2)=360) से (x=18) है। इसलिए बड़ी संख्या (20) है। / Consecutive even numbers are (x) and (x+2), then (x(x+2)=360) gives (x=18). So the larger number is (20).
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The product of two consecutive even numbers is (224). What is the smaller number?
B. (14)
(x(x+2)=224) से (x=14) मिलता है। सम लगातार संख्याओं में (2) का अंतर रखें। / (x(x+2)=224) gives (x=14). Keep a difference of (2) for consecutive even numbers.
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The product of two consecutive even positive numbers is (168). What is the larger number?
C. (14)
लगातार सम संख्याएँ (x) और (x+2) लें, तब (x(x+2)=168) से (x=12) है। इसलिए बड़ी संख्या (14) है। / Take consecutive even numbers as (x) and (x+2), then (x(x+2)=168) gives (x=12). Hence the larger number is (14).
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Which statement gives the correct basis for proving (q) even in the proof of \(\sqrt{2}\)?
A. (p=2k) रखने के बाद \(q^2=2k^2\) मिलता हैAfter substituting (p=2k), \(q^2=2k^2\) is obtained
पहले \(p^2=2q^2\) से (p) सम सिद्ध होता है। / First (p) is proved even from \(p^2=2q^2\).
(p=2k) रखने पर \(q^2=2k^2\) मिलता है। / Substituting (p=2k) gives \(q^2=2k^2\).
इससे \(q^2\) सम और फिर (q) सम सिद्ध होता है। / This proves \(q^2\), and then (q), is even.
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In which proof does finding both (p) and (q) even give the final contradiction?
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता मेंIn the irrationality of \(\sqrt{2}\)
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) मिलता है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), \(p^2=2q^2\) is obtained.
इससे (p) और (q) दोनों सम सिद्ध होते हैं। / This proves both (p) and (q) even.
दोनों सम होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है। / Both even contradict the coprime condition.
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In proving \(\sqrt{2}\), if (q) is also proved even, what conclusion follows about (p) and (q)?
A. दोनों में (2) साझा गुणनखंड हैBoth have (2) as a common factor
पहले (p) सम सिद्ध होता है। / First (p) is proved even.
यदि (q) भी सम सिद्ध हो जाए, तो दोनों (2) से विभाज्य होंगे। / If (q) is also proved even, both are divisible by (2).
साझा गुणनखंड (2) सहअभाज्य शर्त को तोड़ता है। / Common factor (2) breaks the coprime condition.
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In the proof of \(\sqrt{2}\), after (p) is found even, what type of number is (k) in (p=2k)?
A. पूर्णांकInteger
सम पूर्णांक को (2) गुणा किसी पूर्णांक के रूप में लिखा जाता है। / An even integer is written as (2) times an integer.
इसलिए (p=2k) में (k) पूर्णांक है। / Therefore in (p=2k), (k) is an integer.
(k) का प्रकार लिखना प्रमाण को स्पष्ट बनाता है। / Mentioning the type of (k) makes the proof clear.
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A. (2)
सम संख्या हमेशा (2) से विभाज्य होती है। / An even number is always divisible by (2).
दोनों सम हैं, इसलिए (2) दोनों का साझा गुणनखंड है। / Both are even, so (2) is their common factor.
साझा गुणनखंड मिलना सरलतम रूप की शर्त से टकराता है। / Finding a common factor contradicts the lowest-form condition.
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In the proof of \(\sqrt{2}\), when (a) is even, we write (a=2k). What type of number is (k)?
A. पूर्णांकInteger
सम पूर्णांक को (2) गुणा किसी पूर्णांक के रूप में लिखा जाता है। / An even integer is written as (2) times an integer.
इसलिए (a=2k) में (k) पूर्णांक होता है। / So in (a=2k), (k) is an integer.
ऐसे रूपों में (k) का प्रकार साफ लिखना अच्छा होता है। / It is good to mention the type of (k) in such forms.
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If (p) is even, in which form can (p) be written?
A. (p=2k), जहां (k) पूर्णांक है(p=2k), where (k) is an integer
सम संख्या (2) से पूरी तरह विभाजित होती है। / An even number is completely divisible by (2).
इसलिए (p) सम होने पर (p=2k) लिखा जा सकता है। / Therefore if (p) is even, we can write (p=2k).
प्रमाण में सम संख्या को (2k) लिखना आसान रास्ता देता है। / Writing an even number as (2k) makes the proof easier.
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If \(p^2\) is even, which conclusion about (p) is correct?
A. (p) सम है(p) is even
किसी पूर्णांक का वर्ग सम हो तो वह पूर्णांक भी सम होता है। / If the square of an integer is even, then the integer itself is even.
इसलिए \(p^2\) सम होने पर (p) भी सम होगा। / So if \(p^2\) is even, (p) is also even.
यह छोटी बात \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में बहुत महत्वपूर्ण है। / This small fact is very important in the proof of \(\sqrt{2}\).
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Which fraction has a terminating decimal even though the given denominator contains (31)?
A. \(\frac{62}{2^4\cdot 5^3\cdot 31}\)
\(62=2\cdot 31\) है इसलिए (31) कट जाता है और सरल हर \(2^3\cdot 5^3\) बचता है। अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड दिखे तो पहले कटौती देखें। / Since \(62=2\cdot 31\), the factor (31) cancels and the reduced denominator is \(2^3\cdot 5^3\). If an extra prime appears, check cancellation first.
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Which fraction has a terminating decimal even though the given denominator contains (29)?
A. \(\frac{58}{2^3\cdot 5^2\cdot 29}\)
\(58=2\cdot 29\) है इसलिए (29) कट जाता है और सरल हर \(2^2\cdot 5^2\) बचता है। अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड दिखे तो पहले कटौती देखें। / Since \(58=2\cdot 29\), the factor (29) cancels and the reduced denominator is \(2^2\cdot 5^2\). If an extra prime appears, check cancellation first.
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Which fraction has a terminating decimal even though the given denominator contains (19)?
B. \(\frac{38}{2^2\cdot 5^3\cdot 19}\)
\(38=2\cdot 19\), इसलिए (19) कट जाता है और सरल हर \(2\cdot 5^3\) बचता है। अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड दिखे तो भी पहले कटौती देखें। / Since \(38=2\cdot 19\), the factor (19) cancels and the reduced denominator is \(2\cdot 5^3\). Even if an extra prime appears, check cancellation first.
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Which option contains only rational numbers?
A. (0.125), (-4), \(\sqrt{169}\)
(0.125) सांत है और \(\sqrt{169}=13\) है। पहले विकल्प की सभी संख्याएँ परिमेय हैं। / (0.125) is terminating and \(\sqrt{169}=13\). All numbers in the first option are rational.
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Which option shows only irrational numbers?
A. \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\), \(\pi\)
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\) और \(\pi\) सभी अपरिमेय हैं। पूर्ण वर्ग की जड़ और भिन्न को अलग पहचानें। / \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\), and \(\pi\) are all irrational. Identify square roots of perfect squares and fractions separately.
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Which of the following numbers is irrational?
A. \(\sqrt{14}\)
अपरिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में ठीक-ठीक नहीं लिखा जा सकता। / An irrational number cannot be written exactly in the form \(\frac{p}{q}\).
(14) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{14}\) अपरिमेय है। / (14) is not a perfect square, so \(\sqrt{14}\) is irrational.
वर्गमूल में अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, पहले यही जांचें। / In square-root questions, first check whether the number inside is a perfect square.
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Which of the following numbers is irrational?
A. \(\sqrt{15}\)
अपरिमेय संख्या को ठीक-ठीक भिन्न रूप में नहीं लिखा जा सकता। / An irrational number cannot be written exactly as a fraction.
(15) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{15}\) अपरिमेय है। / (15) is not a perfect square, so \(\sqrt{15}\) is irrational.
वर्गमूल वाले विकल्पों में अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, पहले यही देखें। / For square-root options, first check whether the number inside is a perfect square.
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Which of the following numbers lies between (3) and (4) and is irrational?
A. \(\sqrt{10}\)
(9<10<16), इसलिए \(3<\sqrt{10}<4\)। / Since (9<10<16), we get \(3<\sqrt{10}<4\).
(10) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{10}\) अपरिमेय है। / (10) is not a perfect square, so \(\sqrt{10}\) is irrational.
दो पूर्ण वर्गों के बीच की संख्या का वर्गमूल अंतराल बताता है। / Use nearby perfect squares to locate square roots.
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Which of the following numbers is irrational?
B. \(\sqrt{2}\)
अपरिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में नहीं लिखा जा सकता। / An irrational number cannot be written as \(\frac{p}{q}\).
\(\sqrt{2}\) पूर्ण वर्ग का वर्गमूल नहीं है, इसलिए यह अपरिमेय है। / \(\sqrt{2}\) is not the square root of a perfect square, so it is irrational.
वर्गमूल में संख्या पूर्ण वर्ग न हो तो वह अक्सर अपरिमेय होती है। / If the number under a square root is not a perfect square, it is usually irrational.
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What may happen if equal line weight is kept throughout the whole composition?
A. मुख्य और गौण भाग में अंतर कम हो सकता हैDifference between main and secondary parts may reduce
समान रेखा भार से प्रमुखता कम हो सकती है। परीक्षा में मुख्य भाग के लिए अलग रेखा भार रखें। / Equal line weight can reduce emphasis. In exams keep different line weight for the main area.
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If the centre is weak in radial balance what effect will it have on whole composition?
A. रेडियल व्यवस्था का जोर कम होगाEmphasis of radial arrangement will reduce
रेडियल संतुलन केंद्र से संचालित होता है। परीक्षा में radial design में centre strength देखें। / Radial balance is driven by the centre. Exam tip: observe centre strength in radial design.
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What is the deepest conclusion of this whole subtopic?
A. प्रतिनिधित्व का असंतोष पूर्ण स्वराज का लक्ष्य और नमक प्रतीक मिलकर सविनय अवज्ञा की राह बनेDissatisfaction over representation the goal of complete independence and the salt symbol together prepared the path of Civil Disobedience
साइमन आयोग के विरोध ने राष्ट्रीय असंतोष को तेज किया। / Protest against the Simon Commission intensified national dissatisfaction.
पूर्ण स्वराज ने लक्ष्य दिया और नमक ने जनता को जोड़ा। / Complete independence gave the goal and salt connected the people.
निष्कर्ष में पृष्ठभूमि लक्ष्य प्रतीक और जन कार्रवाई साथ लिखें। / In conclusion write background goal symbol and mass action together.
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What is the deepest conclusion of this whole subtopic?
A. प्रतिनिधित्व का असंतोष पूर्ण स्वराज का लक्ष्य और नमक प्रतीक मिलकर सविनय अवज्ञा की राह बनेDissatisfaction over representation the goal of complete independence and the salt symbol together prepared the path of Civil Disobedience
साइमन आयोग के विरोध ने राष्ट्रीय असंतोष को तेज किया। / Protest against the Simon Commission intensified national dissatisfaction.
पूर्ण स्वराज ने लक्ष्य दिया और नमक ने जनता को जोड़ा। / Complete independence gave the goal and salt connected the people.
निष्कर्ष में पृष्ठभूमि लक्ष्य प्रतीक और जन कार्रवाई साथ लिखें। / In conclusion write background goal symbol and mass action together.
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What is the deepest conclusion of this whole subtopic?
A. प्रतिनिधित्व के असंतोष पूर्ण स्वराज के लक्ष्य और नमक प्रतीक ने सविनय अवज्ञा को जन्म दियाDissatisfaction over representation the goal of complete independence and the salt symbol gave birth to Civil Disobedience
साइमन आयोग के विरोध ने राष्ट्रीय असंतोष को तेज किया। / Protest against the Simon Commission intensified national dissatisfaction.
पूर्ण स्वराज ने लक्ष्य दिया और नमक ने जनता को जोड़ा। / Complete independence gave the goal and salt connected the people.
निष्कर्ष में पृष्ठभूमि लक्ष्य प्रतीक और जन कार्रवाई साथ लिखें। / In conclusion write background goal symbol and mass action together.
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What is the most useful way to remember the whole subtopic?
A. अवध किसान लगान बेगार गुडेम आदिवासी वन अधिकार असम मजदूर घर वापसी की जोड़ी बनानाMaking pairs of Awadh peasants rent forced labour Gudem tribals forest rights and Assam workers return home
इस उपविषय में तीन प्रमुख सामाजिक उदाहरण हैं। / This subtopic has three major social examples.
हर उदाहरण को उसके क्षेत्र समूह और मुख्य मुद्दे से जोड़ें। / Connect each example with its region group and main issue.
याद रखने के लिए छोटी जोड़ी बनाएं और स्वराज अर्थ भी जोड़ें। / Make short pairs for memory and add the meaning of swaraj too.
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What is the most useful formula for remembering this whole subtopic?
A. क्षेत्र समूह मुद्दा और स्वराज अर्थ को साथ याद करेंRemember region group issue and meaning of swaraj together
इस उपविषय में अवध गुडेम और असम जैसे अलग क्षेत्र हैं। / This subtopic has different regions like Awadh Gudem and Assam.
हर क्षेत्र में समूह मुद्दा और स्वराज अर्थ अलग है। / Each region has a different group issue and meaning of swaraj.
परीक्षा के लिए क्षेत्र समूह मुद्दा और अर्थ की चार कड़ियां बनाकर पढ़ें। / For exams study through four links region group issue and meaning.
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What is the deepest conclusion of this whole subtopic?
A. भारतीय राष्ट्रवाद स्थानीय पीड़ाओं और साझा स्वराज कल्पना के मेल से जन आंदोलन बनाIndian nationalism became a mass movement through the meeting of local sufferings and shared imagination of swaraj
किसान आदिवासी और मजदूर अपनी अलग पीड़ाओं के साथ जुड़े। / Peasants tribals and workers joined with their different sufferings.
स्वराज की साझा आशा ने उन्हें बड़े आंदोलन से जोड़ा। / The shared hope of swaraj connected them with the larger movement.
अंतिम उत्तर में स्थानीयता विविधता और जन भागीदारी तीनों लिखें। / In the final answer write local context diversity and mass participation together.
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A. क्योंकि अलग अलग कोशिकाएं विशेष कामों के लिए बहुत अधिक विभेदित होती हैंBecause different cells are highly specialised for different functions
जटिल जीवों में शरीर के भाग अलग अलग कार्य करते हैं। / In complex organisms body parts perform different functions.
हर भाग में पूरा शरीर बनाने की क्षमता नहीं होती। / Every part cannot form the whole body.
इसलिए सरल जीवों की तुलना में पूर्ण पुनर्जनन कठिन होता है। / Therefore complete regeneration is difficult compared with simpler organisms.
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What is the deepest conclusion of the whole chapter Reproduction?
A. प्रजनन जाति को बनाए रखता है और विविधता बदलते वातावरण में सहायक हो सकती हैReproduction maintains species and variation can help in changing environments
प्रजनन से नए जीव बनते हैं और जाति बनी रहती है। / Reproduction forms new organisms and maintains the species.
आनुवंशिक सूचना संतान तक पहुंचती है। / Genetic information passes to offspring.
विशेषकर लैंगिक प्रजनन में विविधता बनती है जो अनुकूलन में सहायक हो सकती है। / Especially in sexual reproduction variation forms and can help adaptation.
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Some organisms can form a whole body again from a cut part. What is this ability called?
A. पुनर्जननRegeneration
कुछ सरल जीवों में शरीर के भाग से नया शरीर बन सकता है। / In some simple organisms a body part can form a new body.
यह केवल घाव भरना नहीं बल्कि नया जीव बनना भी हो सकता है। / It may be more than wound healing and can form a new organism.
ऐसी क्षमता को पुनर्जनन कहते हैं। / This ability is called regeneration.
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Based on the whole chapter what is the deepest meaning of life processes for survival?
A. वे कोशिकाओं को पदार्थ और ऊर्जा देकर अपशिष्ट हटाने की संगठित व्यवस्था हैंThey are an organized system that gives materials and energy to cells and removes wastes
जीवन प्रक्रियाएं केवल अलग अलग नाम नहीं हैं। / Life processes are not just separate names.
ये कोशिकाओं को पोषण ऑक्सीजन और ऊर्जा उपलब्ध कराती हैं। / They provide nutrition oxygen and energy to cells.
ये अपशिष्ट हटाकर शरीर को संतुलित रखती हैं। / They remove wastes and maintain body balance.
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What is the deepest scientific conclusion of the whole chapter?
A. जीन लक्षणों को नियंत्रित करते हैं विविधता चयन का आधार देती है और पीढ़ियों में विकास होता हैGenes control traits variation gives the basis for selection and evolution occurs across generations
जीन और गुणसूत्र लक्षणों की आनुवंशिक सूचना रखते हैं। / Genes and chromosomes carry hereditary information for traits.
विविधता जीवों में अंतर बनाती है जिस पर चयन या संयोग काम कर सकते हैं। / Variation creates differences on which selection or chance can act.
कई पीढ़ियों में ऐसे बदलाव क्रमिक विकास का रूप लेते हैं। / Across many generations such changes take the form of evolution.
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Which option gives the deepest correct conclusion of the whole chapter?
A. आनुवंशिक सूचना लक्षण बनाती है विविधता चयन को आधार देती है और लंबे समय में विकास होता हैGenetic information forms traits variation gives basis for selection and evolution occurs over long time
जीन और गुणसूत्र लक्षणों की आनुवंशिक सूचना रखते हैं। / Genes and chromosomes carry hereditary information for traits.
विविधता के कारण जीवों में अंतर बनता है जिस पर चयन काम कर सकता है। / Variation creates differences on which selection can act.
कई पीढ़ियों में ऐसे बदलाव क्रमिक विकास से जुड़ते हैं। / Across many generations such changes are linked with evolution.
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Why do fossils not tell the whole story of evolution directly yet remain useful?
A. वे अधूरे प्रमाण हो सकते हैं पर पुराने जीवन और क्रमिक बदलावों की झलक देते हैंThey may be incomplete evidence but show ancient life and gradual changes
सभी पुराने जीव जीवाश्म नहीं बनते। / All ancient organisms do not become fossils.
फिर भी मिले हुए जीवाश्म पुराने जीवन की जानकारी देते हैं। / Still the fossils found give information about ancient life.
अलग परतों से बदलावों का क्रम समझा जा सकता है। / Different layers can help understand the order of changes.
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Why can an error in any link of control and coordination change the whole response?
A. क्योंकि पहचान संदेश विश्लेषण और प्रतिक्रिया सभी एक श्रृंखला की तरह जुड़े हैंBecause detection message interpretation and response are linked like a chain
पहले उत्तेजना पहचानी जाती है। / First stimulus is detected.
फिर संदेश का विश्लेषण और आदेश बनता है। / Then the message is interpreted and command is formed.
अंत में प्रभावक प्रतिक्रिया देता है इसलिए किसी भी कड़ी की गलती पूरी क्रिया बदल सकती है। / Finally effector responds so error in any link can change the whole action.
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Hormones circulate through the whole body in blood yet why do they affect only specific organs?
A. क्योंकि केवल लक्ष्य अंगों में उन हार्मोन के प्रति प्रतिक्रिया की क्षमता होती हैBecause only target organs have the ability to respond to those hormones
हार्मोन रक्त द्वारा कई जगह पहुंच सकते हैं। / Hormones can reach many places through blood.
पर सभी कोशिकाएं हर हार्मोन पर प्रतिक्रिया नहीं देतीं। / But all cells do not respond to every hormone.
प्रतिक्रिया करने वाले विशेष अंग लक्ष्य अंग कहलाते हैं। / Specific responding organs are called target organs.
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A. ग्राही ठीक हों लेकिन प्रेरक तंत्रिका क्षतिग्रस्त हो और प्रतिक्रिया न होReceptors are normal but motor nerve is damaged and response does not occur
नियंत्रण में ग्राही संदेश मार्ग नियंत्रण केंद्र और प्रभावक सभी जरूरी हैं। / In control receptor pathway control centre and effector are all important.
किसी एक भाग में खराबी से पूरी प्रतिक्रिया रुक सकती है। / Damage in any one part can stop the whole response.
इसलिए पूरा मार्ग समझना परीक्षा में अधिक उपयोगी है। / Therefore understanding the complete pathway is more useful in exams.
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Which conclusion gives the most accurate understanding of this whole subtopic?
A. युद्धकालीन संकट दमनकारी कानून और एकता की राजनीति ने असहयोग को जन्म दियाWartime crisis repressive law and politics of unity produced Non-Cooperation
प्रथम विश्वयुद्ध ने आर्थिक और सामाजिक संकट बढ़ाया। / The First World War increased economic and social crisis.
रौलेट अधिनियम और जलियाँवाला बाग ने दमन की प्रकृति दिखाई। / The Rowlatt Act and Jallianwala Bagh revealed repression.
खिलाफत और स्वराज की राजनीति ने असहयोग को व्यापक रूप दिया। / Khilafat and swaraj politics gave Non-Cooperation a broad form.
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B. मान्यता गलत हैThe assumption is false
(p,q) को सरलतम रूप में सहअभाज्य माना गया था। / (p,q) were assumed coprime in lowest form.
दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड बनता है। / Both being even makes (2) a common factor.
इसलिए परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है। / Therefore the rational assumption is proved false.
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A. विषम संख्या का वर्ग विषम होना चाहिएThe square of an odd number should be odd
विषम पूर्णांक का वर्ग हमेशा विषम होता है। / The square of an odd integer is always odd.
यहाँ \(p^2\) सम है, इसलिए (p) विषम नहीं हो सकता। / Here \(p^2\) is even, so (p) cannot be odd.
इस प्रकार (p) सम सिद्ध होता है। / Thus (p) is proved even.
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B. (2) सेby (2)
सम होने का अर्थ (2) से विभाज्य होना है। / Even means divisible by (2).
यदि अंश और हर दोनों (2) से विभाज्य हैं, तो भिन्न (2) से घट सकती है। / If both numerator and denominator are divisible by (2), the fraction can be reduced by (2).
यह सरलतम रूप की मान्यता के विरुद्ध है। / This contradicts the lowest-form assumption.
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A. दोनों में (2) साझा गुणनखंड हैBoth have (2) as a common factor
(p=2m) बताता है कि \(2\mid p\)। / (p=2m) shows \(2\mid p\).
(q=2n) बताता है कि \(2\mid q\)। / (q=2n) shows \(2\mid q\).
दोनों मिलकर (2) को साझा गुणनखंड बनाते हैं। / Together, they make (2) a common factor.
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If someone says \(\sqrt{2}\) is irrational because (2) is even, what is the correct correction?
A. सम होना अकेले कारण नहीं है; प्रमाण में सरलतम भिन्न का विरोधाभास चाहिएBeing even alone is not the reason; the proof needs contradiction of a lowest-form fraction
केवल (2) का सम होना पर्याप्त कारण नहीं है। / The fact that (2) is even is not enough by itself.
असली प्रमाण में \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर अंश और हर दोनों सम निकलते हैं। / The real proof assumes \(\sqrt{2}\) rational and shows numerator and denominator both even.
कारण को पूरा लिखें, छोटा अनुमान नहीं। / Write the full reason, not a short guess.
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A. \(\sqrt{2}\) परिमेय है\(\sqrt{2}\) is rational
हमने शुरुआत में \(\sqrt{2}\) को परिमेय माना था। / We initially assumed that \(\sqrt{2}\) is rational.
उसी मान्यता से सरलतम भिन्न में साझा गुणनखंड आ गया। / That assumption led to a common factor in a lowest-form fraction.
इसलिए प्रारंभिक परिमेय मान्यता झूठी सिद्ध होती है। / Therefore the initial rational assumption is proved false.
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A. (2)
सम होने का अर्थ (2) से विभाज्य होना है। / Being even means being divisible by (2).
यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो \(\frac{p}{q}\) को (2) से घटाया जा सकता है। / If both (p) and (q) are even, \(\frac{p}{q}\) can be reduced by (2).
यही सरलतम रूप के विरुद्ध है। / This contradicts lowest form.
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A. यह सरलतम रूप में नहीं हो सकताIt cannot be in lowest form
दोनों सम होने का अर्थ है कि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। / Both being even means both have (2) as a common factor.
सरलतम भिन्न में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। / A fraction in lowest form cannot have such a common factor.
इसी से परिमेय मान्यता टूटती है। / This breaks the rational assumption.
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In the proof for \(\sqrt{2}\), after getting \(q^2=2r^2\), why is (q) even?
A. क्योंकि \(q^2\) सम है, इसलिए (q) सम होगाBecause \(q^2\) is even, so (q) will be even
\(q^2=2r^2\) से \(q^2\) (2) का गुणज है। / From \(q^2=2r^2\), \(q^2\) is a multiple of (2).
इसलिए \(q^2\) सम है और पूर्णांक (q) भी सम होगा। / So \(q^2\) is even and the integer (q) is also even.
यह प्रमाण का दूसरा समपन निष्कर्ष है। / This is the second evenness conclusion in the proof.
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Why is the proof for \(\sqrt{2}\) not complete by only writing that \(p^2\) is even?
A. क्योंकि (q) के सम होने और विरोधाभास तक पहुँचना भी जरूरी हैBecause proving (q) even and reaching contradiction is also necessary
\(p^2\) सम होने से केवल (p) सम मिलता है। / From \(p^2\) even, we only get that (p) is even.
पूर्ण विरोधाभास के लिए (q) का भी सम होना दिखाना पड़ता है। / For the full contradiction, (q) must also be shown even.
प्रमाण को बीच में न छोड़ें, अंतिम टकराव तक लिखें। / Do not stop the proof midway; write until the final conflict.
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A. \(\frac{p}{q}\) का सरलतम रूप होनाThe fraction \(\frac{p}{q}\) being in lowest form
सरलतम रूप में अंश और हर में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। / In lowest form, numerator and denominator have no common factor except (1).
दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड बन जाता है। / If both are even, (2) becomes a common factor.
इसलिए सरलतम रूप की शर्त टूटती है। / So the lowest-form condition fails.
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A. आरंभिक परिमेय मान्यता गलत हैThe initial rational assumption is false
दोनों सम होने का अर्थ है कि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। / Both being even means both have (2) as a common factor.
लेकिन (p) और (q) को सहअभाज्य लिया गया था। / But (p) and (q) were taken coprime.
इसलिए \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानना गलत है। / Therefore the assumption that \(\sqrt{2}\) is rational is false.
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If (p) and (q) are non-zero rational numbers and \(p+q\sqrt{3}=0\), which conclusion is correct?
A. \(\sqrt{3}=-\frac{p}{q}\) होगा जो असंभव है\(\sqrt{3}=-\frac{p}{q}\) would be true which is impossible
\(-\frac{p}{q}\) परिमेय है इसलिए इससे \(\sqrt{3}\) परिमेय हो जाएगा जो गलत है। परीक्षा में विरोधाभास विधि पहचानें। / \(-\frac{p}{q}\) is rational so it would make \(\sqrt{3}\) rational which is false. In exams recognize the contradiction method.
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