Choosing the largest perfect square factor makes simplification faster. चरण 1: \(18=9 \times 2\) है। चरण 2: \(\sqrt{18}=\sqrt{9 \times 2}=3\sqrt{2}\)। चरण 3: सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड चुनने से उत्तर जल्दी सरल होता है।
B. सरलतम परिमेय रूप लो, वर्ग करो, अभाज्य विभाज्यता लगाओ, सहअभाज्यता से विरोधाभास लिखो/Take lowest rational form, square, apply prime divisibility, write contradiction with coprimality
Step 1
Concept
First assume \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\) in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
Square and use the related prime (r) to show \(r\mid p\) and \(r\mid q\).
Step 3
Exam Tip
Finally write the contradiction with coprimality. चरण 1: पहले \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में मानें। चरण 2: वर्ग करके संबंधित अभाज्य (r) की विभाज्यता से \(r\mid p\) और \(r\mid q\) दिखाएँ। चरण 3: अंत में सहअभाज्यता से विरोधाभास लिखें।
A. मान लें \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), जहाँ (a,b) सहअभाज्य पूर्णांक हैं और \(b\neq0\)/Assume \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), where (a,b) are coprime integers and \(b\neq0\)
Step 1
Concept
For contradiction, first assume \(\sqrt{5}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
Write the rational form as a lowest-form fraction with \(b\neq0\).
Step 3
Exam Tip
This start makes the later contradiction strong. चरण 1: विरोधाभास के लिए पहले \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानते हैं। चरण 2: परिमेय रूप को सरलतम भिन्न में लिखते हैं, जहाँ \(b\neq0\)। चरण 3: यह शुरुआत बाद के विरोधाभास को मजबूत बनाती है।
A. क्योंकि हर शून्य होगा तो \(\frac{p}{q}\) परिभाषित नहीं होगा/Because if the denominator is zero, \(\frac{p}{q}\) is not defined
Step 1
Concept
The rational form \(\frac{p}{q}\) is valid only when \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
If the denominator is zero, the fraction is not defined.
Step 3
Exam Tip
This condition must be written at the beginning of the proof. चरण 1: परिमेय संख्या का रूप \(\frac{p}{q}\) तभी मान्य है जब \(q\neq0\)। चरण 2: हर शून्य होने पर भिन्न परिभाषित नहीं रहती। चरण 3: प्रमाण की शुरुआत में यह शर्त लिखना जरूरी है।
A. सरलतम परिमेय रूप, वर्ग, अभाज्य विभाज्यता और सहअभाज्यता का विरोधाभास क्रम से लिखें/Write lowest rational form, squaring, prime divisibility, and coprime contradiction in order
Step 1
Concept
First write \(\frac{p}{q}\) in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
Then square and use the related prime factor to show divisibility of both numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
Finally state the contradiction with coprimality clearly. चरण 1: पहले \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिखें। चरण 2: फिर वर्ग करके संबंधित अभाज्य गुणनखंड से अंश और हर दोनों की विभाज्यता दिखाएँ। चरण 3: अंत में सहअभाज्यता से विरोधाभास साफ लिखें।
A. क्योंकि \(\frac{p}{q}\) में हर शून्य नहीं हो सकता/Because the denominator in \(\frac{p}{q}\) cannot be zero
Step 1
Concept
A fraction is not valid if the denominator is zero.
Step 2
Why this answer is correct
So in the rational form \(\frac{p}{q}\), writing \(q\neq0\) is necessary.
Step 3
Exam Tip
Complete conditions make the proof stronger. चरण 1: किसी भिन्न में हर शून्य होने पर रूप मान्य नहीं रहता। चरण 2: इसलिए परिमेय रूप \(\frac{p}{q}\) में \(q\neq0\) लिखना जरूरी है। चरण 3: प्रमाण की शर्तें पूरी लिखने से उत्तर मजबूत बनता है।
A. \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\), \(p^2=5q^2\), \(5\mid p\), \(5\mid q\)
Step 1
Concept
The correct order begins with the rational form.
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives \(p^2=5q^2\), then (5) divides first (p) and then (q).
Step 3
Exam Tip
Remembering the order makes the proof clear and complete. चरण 1: सही क्रम परिमेय रूप से शुरू होता है। चरण 2: वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) आता है, फिर (5) पहले (p) और फिर (q) को भाग देता है। चरण 3: क्रम याद रखने से प्रमाण साफ और पूरा बनता है।
A. परिमेय संख्या के रूप की आवश्यक शर्त अधूरी रह जाती है/The necessary condition of the rational form is incomplete
Step 1
Concept
\(\frac{p}{q}\) is valid only when \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
This condition is necessary when writing the rational form.
Step 3
Exam Tip
Small conditions make the proof complete. चरण 1: \(\frac{p}{q}\) तभी मान्य है जब \(q\neq0\) हो। चरण 2: परिमेय रूप लिखते समय यह शर्त जरूरी है। चरण 3: छोटी शर्तें भी प्रमाण को पूर्ण बनाती हैं।
A. \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहां (p) और (q) सहअभाज्य हैं तथा \(q\neq 0\)/\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where (p) and (q) are coprime and \(q\neq 0\)
Step 1
Concept
A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
In lowest form, numerator and denominator are coprime and denominator is non-zero.
Step 3
Exam Tip
This form starts the contradiction proof. चरण 1: परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जाती है। चरण 2: सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं और हर शून्य नहीं होता। चरण 3: यही रूप विरोधाभास विधि की शुरुआत करता है।
A. भिन्न \(\frac{p}{q}\) में हर शून्य नहीं हो सकता/The denominator in \(\frac{p}{q}\) cannot be zero
Step 1
Concept
A rational number is written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator of a fraction cannot be zero.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(q\neq 0\) must be written. चरण 1: परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जाता है। चरण 2: भिन्न का हर शून्य नहीं हो सकता। चरण 3: इसलिए \(q\neq 0\) लिखना आवश्यक है।
Do not forget this small condition while writing the rational form. चरण 1: किसी भी भिन्न का हर शून्य नहीं हो सकता। चरण 2: इसलिए \(\frac{p}{q}\) में \(q\neq 0\) लिखना जरूरी है। चरण 3: परिमेय संख्या का रूप लिखते समय यह छोटी शर्त न भूलें।
A. क्योंकि भिन्न को सरलतम रूप में लिया जाता है/Because the fraction is taken in lowest form
Step 1
Concept
A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
In the proof, it is taken in lowest form, so (m) and (n) are coprime.
Step 3
Exam Tip
Later, finding a common factor gives the contradiction. चरण 1: परिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जाता है। चरण 2: प्रमाण में उसे सरलतम रूप में लेते हैं, इसलिए (m) और (n) सहअभाज्य होते हैं। चरण 3: बाद में साझा गुणनखंड मिलने पर यही बात विरोधाभास देती है।
So while writing \(\frac{a}{b}\), the condition \(b\neq 0\) is necessary.
Step 3
Exam Tip
Write this condition when expressing a rational number. चरण 1: किसी भिन्न में हर शून्य नहीं हो सकता। चरण 2: इसलिए \(\frac{a}{b}\) लिखते समय \(b\neq 0\) जरूरी है। चरण 3: परिमेय संख्या का रूप लिखते समय यह शर्त साथ लिखें।
A rational number is written as the ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
In lowest form, those integers are coprime.
Step 3
Exam Tip
Therefore (p) and (q) are taken as integers and coprime. चरण 1: परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखी जाती है। चरण 2: सरलतम रूप में वे सहअभाज्य होते हैं। चरण 3: इसलिए (p) और (q) पूर्णांक और सहअभाज्य लिखे जाते हैं।
A. क्योंकि \(\frac{p}{q}\) में हर शून्य नहीं हो सकता/Because the denominator in \(\frac{p}{q}\) cannot be zero
Step 1
Concept
A rational number is written in the form \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator of a fraction cannot be zero.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(q\neq 0\) must be written in the proof. चरण 1: परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जाती है। चरण 2: किसी भिन्न का हर शून्य नहीं हो सकता। चरण 3: इसलिए प्रमाण में \(q\neq 0\) लिखना आवश्यक है।
A. क्योंकि परिमेय संख्या को सबसे सरल रूप में लिखा जाता है/Because a rational number is written in its simplest form
Step 1
Concept
A rational number is written as \(\frac{p}{q}\) in its simplest form.
Step 2
Why this answer is correct
In simplest form, (p) and (q) have only (1) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
Getting another common factor later contradicts this condition. चरण 1: परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में सबसे सरल रूप में लिखी जाती है। चरण 2: सबसे सरल रूप में (p) और (q) का साझा गुणनखंड (1) ही होता है। चरण 3: बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी शर्त से टकराता है।
A. \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहां (p) और (q) सहअभाज्य हैं/\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where (p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
A rational number can be written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
In the simplest form, (p) and (q) are coprime.
Step 3
Exam Tip
This form is used later to create a contradiction. चरण 1: परिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जा सकता है। चरण 2: सबसे सरल रूप में (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। चरण 3: इसी रूप से बाद में विरोधाभास बनाया जाता है।
