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((0,14)) में (y=14) है, इसलिए यह (x)-अक्ष पर नहीं है। टिप: शून्यक बिंदु में दूसरा निर्देशांक (0) होना चाहिए। / ((0,14)) has (y=14), so it is not on the (x)-axis. Tip: a zero point must have second coordinate (0).
((0,12)) में (y=12) है, इसलिए यह (x)-अक्ष पर नहीं है। टिप: शून्यक बिंदु में दूसरा निर्देशांक (0) होना चाहिए। / ((0,12)) has (y=12), so it is not on the (x)-axis. Tip: a zero point must have second coordinate (0).
A. बहुपद का मान \(P(x)\)/Value of the polynomial \(P(x)\)
Explanation
Simple Explanation
यदि किसी बहुपद के लिए कोई मान \(x=a\) शून्यक है तो बहुपद का मान वहाँ पर \(P(a)=0\) होगा। इसलिए शून्यक पहचानने के लिए बहुपद का मान शून्य होना आवश्यक है। स्थिर पद (option D) कभी-कभी शून्य हो सकता है पर यह आवश्यक शर्त नहीं है — उदाहरण के लिए \(P(x)=x-1\) का स्थिर पद \(-1\) है पर शून्यक \(x=1\) है। चर के गुणांक या घातांक का शून्य होना शून्यक की परिभाषा नहीं बताता। परीक्षा-सुझाव: ग्राफ पर शून्यक वे बिंदु होते हैं जहाँ \(y=0\) अर्थात x-अक्ष से मिलान होता है; सीधे x-अक्ष पर कटने वाले बिंदु खोजें। / For a number \(x=a\) to be a root of a polynomial we must have \(P(a)=0\). Thus the value of the polynomial at that x must be zero, so option A is correct. The constant term (option D) may be zero in some polynomials but it is not a necessary condition (e.g. \(P(x)=x-1\) has constant term \(-1\) yet root at \(x=1\)). Coefficients or exponents being zero do not by themselves indicate a root. Exam tip: on the graph, roots are the x-intercepts where \(y=0\); read off x-coordinates of those intercepts.
किसी बहुपद का शून्यक वह x‑मान होता है जहाँ ग्राफ x‑अक्ष को छूता यानी \(y=0\) होता है। बिंदु (4, 2) में \(y=2\) है, न कि 0, इसलिए \(x=4\) शून्यक नहीं है। विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि बहुपद की डिग्री या ग्राफ का प्रकार (रेखा या गैर‑रेखा) शून्यक होने की परिभाषा को बदलते नहीं हैं। परीक्षा टिप: किसी भी दिए बिंदु के लिए पहले y‑निर्देशांक देखिए — शून्यक तभी जब y=0 हो। / A zero of a polynomial is an x‑value where the graph meets the x‑axis, i.e. where \(y=0\). The point (4, 2) has \(y=2\), not 0, so \(x=4\) is not a zero. Options C and D are incorrect because degree or whether the graph is a straight line does not change the definition of a zero. Exam tip: always check the y‑coordinate — zeros occur only when y = 0 (x‑intercepts).
शून्यक प्रतिच्छेद का (x)-निर्देशांक होता है। अपरिमेय संख्या भी शून्यक हो सकती है। / A zero is the (x)-coordinate of the intercept. An irrational number can also be a zero.
शून्यक संख्या होता है बिंदु नहीं। बिंदु ((2.5,0)) है लेकिन शून्यक (2.5) है। / A zero is a number not a point. The point is ((2.5,0)) but the zero is (2.5).
कटान का पहला निर्देशांक (r) है और (r>0) है। टिप: ((r,0)) से शून्यक (r) पढ़ें। / The first coordinate of the intersection is (r), and (r>0). Tip: read the zero (r) from ((r,0)).
शून्यक (-6), (-2), (4) हैं और (4) सबसे बड़ा है। टिप: संख्या रेखा पर दाईं ओर का मान बड़ा होता है। / The zeroes are (-6), (-2), (4), and (4) is the greatest. Tip: the value to the right on the number line is greater.
कटान का पहला निर्देशांक (r) ही शून्यक है और (r<0) है। टिप: प्रतीकात्मक प्रश्न में भी नियम वही रहता है। / The first coordinate (r) of the intersection is the zero, and (r<0). Tip: the same rule works in symbolic questions.
((0,-1)) में \(y\neq0\) है इसलिए यह शून्यक नहीं दिखाता। टिप: यह (y)-अक्ष कटान है। / ((0,-1)) has \(y\neq0\), so it does not show a zero. Tip: it is a (y)-axis intercept.
दूरी (6-(-2)=8) इकाई है। टिप: (x)-अक्ष पर दूरी (x)-मानों के अंतर का परिमाण है। / The distance is (6-(-2)=8) units. Tip: distance on the (x)-axis is the absolute difference of (x)-values.
शून्यक (7) होने का अर्थ (p(7)=0) है। टिप: शून्यक को पहले निर्देशांक में रखें। / A zero (7) means (p(7)=0). Tip: place the zero as the first coordinate.
B. जो (x)-अक्ष को एक ही बिंदु पर स्पर्श करे/One that touches the (x)-axis at only one point
Explanation
Simple Explanation
एक ही स्पर्श बिंदु एक वास्तविक शून्यक देता है। टिप: शून्यक (x)-अक्ष से मिलने पर निर्भर है। / One touching point gives one real zero. Tip: zeroes depend on meeting the (x)-axis.
(x)-अक्ष कटान का (x)-निर्देशांक ही शून्यक होता है। टिप: चिह्न को ध्यान से पढ़ें। / The (x)-coordinate of the (x)-axis intersection is the zero. Tip: read the sign carefully.
मूल बिंदु पर (x=0) और (p(x)=0) होता है। टिप: origin पर जाने वाला आलेख (0) को शून्यक बनाता है। / At the origin (x=0) and (p(x)=0). Tip: a graph through the origin has (0) as a zero.
A. न तो काटेगा न छुएगा/It will neither cut nor touch it
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष से मिलने पर दिखता है। कोई वास्तविक शून्यक न होने पर ग्राफ (x)-अक्ष से नहीं मिलेगा। / A real zero appears when the graph meets the (x)-axis. With no real zero, the graph will not meet the (x)-axis.
A. नहीं, क्योंकि \(y\ne 0\) है — शून्यक होने के लिए \(y=0\) होना चाहिए/No, because \(y\ne 0\) — to be a zero we must have \(y=0\).
Explanation
Simple Explanation
किसी फलन का शून्यक वह \(x\)-मान है जहाँ फलन का मान \(y=0\) होता है (यानी x‑अक्ष पर बिंदु)। बिंदु \((0,4)\) में \(y=4\) है, अतः \(x=0\) शून्यक नहीं है। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प (B) गलत है क्योंकि केवल \(x=0\) होना पर्याप्त नहीं; \(y\) का शून्य होना आवश्यक है। परीक्षा‑टिप: किसी बिंदु से शून्यक जानने के लिए हमेशा उसकी \(y\)-कोऑर्डिनेट देखें — यदि वह \(0\) है तो वही x‑मान शून्यक है। / A zero (root) is an x‑value where the function's value is \(y=0\) (an x‑intercept). At \((0,4)\) the value is \(y=4\), so \(x=0\) is not a zero. The closest distractor (B) is wrong because \(x=0\) alone does not imply a zero unless \(y=0\). Exam tip: to check if an x‑value is a root, check the corresponding y‑coordinate — it must be zero for a root.
(p(x)=5) का ग्राफ (x)-अक्ष के समानांतर रेखा है जो (x)-अक्ष को नहीं काटती। इसलिए इसका कोई शून्यक नहीं है। / The graph of (p(x)=5) is a line parallel to the (x)-axis and does not cut it. Hence it has no zero.
कोई भी बिंदु जहाँ ग्राफ \(x\)-अक्ष को काटता है, उस बिंदु का \(x\)-मान उस बहुपद का शून्यक (root) होता है क्योंकि उस स्थान पर बहुपद का मान शून्य होता है। प्रश्न में कटने का स्थान \(x=3\) दिया है, इसलिए शून्यक 3 है। निकटवर्ती भ्रामक विकल्प −3 गलत है क्योंकि इसका संकेत विपरीत है; 0 और 1 भी दिए हुए स्थान से मेल नहीं खाते। परीक्षा-सूचना: ध्यान दें कि अगर ग्राफ केवल स्पर्श करता है (cuts नहीं करता) तो भी वह बिंदु शून्यक है, पर वहाँ की गुणज (multiplicity) सम (even) हो सकती है। / The x-value where the graph intersects the x-axis is a root of the polynomial because the polynomial's value is zero at that x. Here the graph intersects at x = 3, so the zero is 3. The closest distractor −3 is wrong because the sign is opposite; 0 and 1 do not match the given intersection point. Exam tip: note the difference between 'cuts' and 'touches' — both give zeros, but touching usually indicates even multiplicity while cutting indicates odd multiplicity.
(x-2+kx+25=(x-5)2) होने पर (k=-10)। पूर्ण वर्ग में मध्य पद (2ab) होता है। / For (x-2+kx+25=(x-5)2), (k=-10). In a perfect square, the middle term is (2ab).
(x-2+kx+16=(x-4)2) होने पर (k=-8)। पूर्ण वर्ग में मध्य पद (2ab) होता है। / For (x-2+kx+16=(x-4)2), (k=-8). In a perfect square, the middle term is (2ab).
(x-2+10x+25=(x+5)2) है। पहले और अंतिम पद के वर्ग तथा मध्य पद (2ab) को जांचें। / (x-2+10x+25=(x+5)2). Check the squares of first and last terms and the middle term (2ab).
A. वास्तविक, परिमेय और भिन्न/Real, rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
धनात्मक पूर्ण वर्ग (D) से वास्तविक, परिमेय और भिन्न मूल मिलते हैं। (D) का चिन्ह और पूर्ण वर्ग दोनों देखें। / A positive perfect square (D) gives real, rational and distinct roots. Check both the sign and perfect square condition of (D).
(49x-2-42x+9=(7x-3)2), इसलिए यह पूर्ण वर्ग है। परीक्षा में \(2\cdot7x\cdot3=42x\) जांचें। / (49x-2-42x+9=(7x-3)2), so it is a perfect square. In exams, check \(2\cdot7x\cdot3=42x\).
(36x-2-60x+25=(6x-5)2), इसलिए यह पूर्ण वर्ग है। परीक्षा में ((a-b)2) का पैटर्न पहचानें। / (36x-2-60x+25=(6x-5)2), so it is a perfect square. In exams, recognize the pattern ((a-b)2).
(25x-2-20x+4=(5x-2)2), इसलिए यह पूर्ण वर्ग है। परीक्षा में \(2\cdot5x\cdot2=20x\) जांचें। / (25x-2-20x+4=(5x-2)2), so it is a perfect square. In exams, check \(2\cdot5x\cdot2=20x\).
(16x-2-24x+9=(4x-3)2), इसलिए यह पूर्ण वर्ग है। परीक्षा में ((a-b)2) का पैटर्न पहचानें। / (16x-2-24x+9=(4x-3)2), so it is a perfect square. In exams, recognize the pattern ((a-b)2).
(9x-2-30x+25=(3x-5)2) है। परीक्षा में \(2\cdot3x\cdot5=30x\) से पैटर्न जांचें। / (9x-2-30x+25=(3x-5)2). In exams, check the pattern using \(2\cdot3x\cdot5=30x\).
(4x-2-12x+9=(2x-3)2), इसलिए यह पूर्ण वर्ग है। परीक्षा में ((a-b)2) का पैटर्न पहचानें। / (4x-2-12x+9=(2x-3)2), so it is a perfect square. In exams, recognize the pattern ((a-b)2).
((x+5)2=x-2+10x+25), इसलिए (k=25) है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग विस्तार याद रखें। / ((x+5)2=x-2+10x+25), so (k=25). In exams, remember perfect square expansion.
(4x-2+4x+1=(2x+1)2), इसलिए यह पूर्ण वर्ग समीकरण है। परीक्षा में ((a+b)2) पहचानकर जल्दी हल करें। / (4x-2+4x+1=(2x+1)2), so it is a perfect square equation. In exams, recognize ((a+b)2) to solve quickly.
((x-3)2=x-2-6x+9), इसलिए (k=9) है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग विस्तार याद रखें। / ((x-3)2=x-2-6x+9), so (k=9). In exams, remember perfect square expansion.
(x-2-12x+36=(x-6)2), इसलिए यह पूर्ण वर्ग है। परीक्षा में \(36=6^2\) और \(-12x=-2\cdot6x\) जांचें। / (x-2-12x+36=(x-6)2), so it is a perfect square. In exams, check \(36=6^2\) and \(-12x=-2\cdot6x\).
(x-2-18x+81=(x-9)2) होता है। पूर्ण वर्ग पहचानने के लिए मध्य पद (2ab) से मिलाएं। / (x-2-18x+81=(x-9)2). To identify a perfect square, match the middle term with (2ab).
(x-2+12x+36=(x+6)2) होता है। पूर्ण वर्ग पहचानने के लिए मध्य पद (2ab) से मिलाएं। / (x-2+12x+36=(x+6)2). To identify a perfect square, match the middle term with (2ab).
(x-2-4x+4=(x-2)2) होता है। पूर्ण वर्ग पहचानने के लिए मध्य पद (2ab) से मिलाएं। / (x-2-4x+4=(x-2)2). To identify a perfect square, match the middle term with (2ab).
A. \(\sqrt{n}\) अपरिमेय होगी/\(\sqrt{n}\) will be irrational
Explanation
Simple Explanation
धनात्मक पूर्णांक (n) पूर्ण वर्ग न हो तो \(\sqrt{n}\) अपरिमेय होती है। यह आसान परीक्षा नियम है। / If positive integer (n) is not a perfect square then \(\sqrt{n}\) is irrational. This is an easy exam rule.
A. यह समझ के लिए ठीक संकेत है, पर पूर्ण प्रमाण में परिमेय मानकर विरोधाभास दिखाना चाहिए/It is a useful hint for understanding, but a full proof should assume rationality and show contradiction
Step 1
Concept
(2) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{2}\) पूर्णांक नहीं है। / Since (2) is not a perfect square, \(\sqrt{2}\) is not an integer.
Step 2
Why this answer is correct
पर अपरिमेयता के लिए यह भी सिद्ध करना होता है कि वह कोई परिमेय भिन्न नहीं है। / But irrationality needs proving it is not any rational fraction.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सहअभाज्य भिन्न वाला विरोधाभास प्रमाण लिखें। / Therefore write the contradiction proof using a coprime fraction.
A. यह बताता है कि \(\sqrt{5}\) पूर्णांक नहीं है, पर पूर्ण अपरिमेयता के लिए विरोधाभास प्रमाण चाहिए/It shows \(\sqrt{5}\) is not an integer, but full irrationality needs contradiction proof
Step 1
Concept
(5) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{5}\) पूर्णांक नहीं हो सकता। / Since (5) is not a perfect square, \(\sqrt{5}\) cannot be an integer.
Step 2
Why this answer is correct
पर अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए यह दिखाना भी जरूरी है कि वह कोई परिमेय भिन्न नहीं है। / But to prove irrationality, we must also show it is not any rational fraction.
Step 3
Exam Tip
इसलिए विरोधाभास वाला प्रमाण लिखा जाता है। / That is why the contradiction proof is written.
A. यदि प्राकृतिक संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है और अभाज्य है, तो उसका वर्गमूल अपरिमेय होता है/If a natural number is not a perfect square and is prime, its square root is irrational
Step 1
Concept
(2,3,5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं और अभाज्य हैं। / (2,3,5) are not perfect squares and are prime.
Step 2
Why this answer is correct
इनके वर्गमूल को परिमेय मानने पर साझा गुणनखंड का विरोधाभास मिलता है। / Assuming their square roots rational creates a common-factor contradiction.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग पहचानना ऐसे प्रश्नों में पहला काम है। / Identifying perfect squares is the first task in such questions.
(m) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{m}\) अपरिमेय है। / Since (m) is not a perfect square, \(\sqrt{m}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
(4) परिमेय है, और अपरिमेय में परिमेय जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय होता है। / (4) is rational, and adding it to an irrational number gives an irrational number.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग न होने की जानकारी को सीधे वर्गमूल की प्रकृति से जोड़ें। / Connect the non-perfect-square condition directly with the nature of the square root.
पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। / In a perfect square, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^4\) ठीक है, \(3^3\) को \(3^4\) और (5) को \(5^2\) बनाने के लिए \(3 \times 5=15\) चाहिए। / \(2^4\) is fine, while \(3^3\) needs one (3) and (5) needs one (5), so the multiplier is (15).
Step 3
Exam Tip
केवल विषम घातों वाले अभाज्यों को एक बार और गुणा करें। / Multiply only by primes with odd exponents.
पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। / In a perfect square, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^3\) को \(2^4\) और (3) को \(3^2\) बनाने के लिए \(2 \times 3=6\) से गुणा करना होगा। / To make \(2^3\) into \(2^4\) and (3) into \(3^2\), multiply by \(2 \times 3=6\).
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग के लिए विषम घातों को एक-एक बढ़ाकर सम करें। / For a square, increase odd exponents by one to make them even.
पूर्ण वर्ग में सभी अभाज्य घातें सम होती हैं। / In a perfect square, all prime exponents are even.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^5\) में घात विषम है, इसलिए एक (2) और गुणा करने पर \(2^6\) हो जाएगा; \(7^2\) पहले से ठीक है। / \(2^5\) has an odd exponent, so multiplying by (2) makes it \(2^6\); \(7^2\) is already even.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग के लिए केवल विषम घातों को ठीक करें। / For squares, fix only the odd exponents.
D. कोई भी मान संभव नहीं है/None of the values is possible
Step 1
Concept
पूर्ण वर्ग में सभी अभाज्य घातें सम होनी चाहिए। / A perfect square requires all prime exponents to be even.
Step 2
Why this answer is correct
यहां \(2^3\) की घात पहले से विषम है, इसलिए केवल (x) बदलने से संख्या पूर्ण वर्ग नहीं बन सकती। / The exponent of (2) is already (3), which is odd, so changing only (x) cannot make the number a perfect square.
Step 3
Exam Tip
पूरी अभाज्य रचना देखें, केवल अज्ञात घात पर ध्यान न दें। / Check the whole prime factorisation, not only the unknown exponent.
पूर्ण वर्ग में हर घात सम चाहिए। / A perfect square needs every exponent even.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^3\) और \(5^1\) की घात विषम है, इसलिए (2) और (5) से गुणा करने पर \(2^4\times3^2\times5^2\) बनेगा। / \(2^3\) and \(5^1\) have odd powers, so multiply by \(2\times5\).
Step 3
Exam Tip
सम घात वाली अभाज्य संख्या को फिर से गुणा न करें। / Do not multiply the prime whose exponent is already even.
पूर्ण वर्ग में सभी घातें सम होनी चाहिए। / A perfect square needs all exponents to be even.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^2\) ठीक है, \(3^3\) को \(3^4\) बनाने के लिए (3) और \(5^1\) को \(5^2\) बनाने के लिए (5) चाहिए। / \(2^2\) is already fine, \(3^3\) needs one (3), and \(5^1\) needs one (5).
Step 3
Exam Tip
केवल विषम घातों को एक-एक बढ़ाकर सम बनाएं। / Make only the odd exponents even.
\(63504=2^4\times3^4\times7^2\) नहीं, बल्कि \(63504=16\times3969=2^4\times3^4\times7^2\) है। / \(63504=16\times3969=2^4\times3^4\times7^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सभी घातें सम हैं, इसलिए संख्या पहले से पूर्ण वर्ग है। / All exponents are even, so the number is already a perfect square.
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटा भाजक 1 होना चाहिए, पर विकल्पों में 1 नहीं है; इसलिए कोई दिया विकल्प सही नहीं है। / The smallest divisor should be 1, but 1 is not listed; therefore no given option is correct.
\(26460=2^2\times3^3\times5\times7^2\) है। / \(26460=2^2\times3^3\times5\times7^2\).
Step 2
Why this answer is correct
पूर्ण वर्ग के लिए 3 और 5 की विषम घातें घटानी होंगी। / For a perfect square, the odd powers of 3 and 5 must be reduced.
Step 3
Exam Tip
\(3\times5=15\) से भाग देने पर \(2^2\times3^2\times7^2\) बचेगा, इसलिए सबसे छोटी संख्या 15 है। / Dividing by \(3\times5=15\) leaves \(2^2\times3^2\times7^2\), so the smallest number is 15.
\(13230=2\times3^3\times5\times7^2\) है। / \(13230=2\times3^3\times5\times7^2\).
Step 2
Why this answer is correct
पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम चाहिए, इसलिए 2, 3 और 5 की विषम घातें घटानी होंगी। / For a perfect square, all exponents must be even, so the odd powers of 2, 3, and 5 must be reduced.
Step 3
Exam Tip
\(2\times3\times5=30\) से भाग देने पर \(3^2\times7^2\) बचेगा, जो पूर्ण वर्ग है। / Dividing by \(2\times3\times5=30\) leaves \(3^2\times7^2\), a perfect square.
पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, लेकिन 3 और 5 की घातें विषम हैं। / For a perfect square, all exponents must be even, but powers of 3 and 5 are odd.
Step 3
Exam Tip
\(3\times5=15\) से भाग देने पर \(3^2\times7^2\) बचेगा, जो पूर्ण वर्ग है। / Dividing by \(3\times5=15\) leaves \(3^2\times7^2\), a perfect square.
\(13230=2\times3^3\times5\times7^2\) है। / \(13230=2\times3^3\times5\times7^2\).
Step 2
Why this answer is correct
पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम चाहिए, इसलिए 2, 3 और 5 की विषम घातें हटानी होंगी। / For a perfect square, all exponents must be even, so the odd powers of 2, 3, and 5 must be reduced.
Step 3
Exam Tip
\(2\times3\times5=30\) से नहीं, बल्कि \(2\times3\times5=30\) से भाग देने पर \(3^2\times7^2\) मिलेगा; इसलिए सही सबसे छोटी संख्या 30 है। / Dividing by \(2\times3\times5=30\) leaves \(3^2\times7^2\), so the smallest number is 30.
पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, लेकिन 2 की घात 3 है। / For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 2 is 3.
Step 3
Exam Tip
2 से भाग देने पर \(2^2\times3^2\times7^2\) मिलेगा, इसलिए सबसे छोटी संख्या 2 है। / Dividing by 2 gives \(2^2\times3^2\times7^2\), so the smallest number is 2.
\(4x^3-7x\) में (x=0) रखने पर (0) मिलता है और यह शून्य बहुपद नहीं है। (x=0) के लिए अचर पद (0) होना चाहिए। / Substituting (x=0) in \(4x^3-7x\) gives (0), and it is not the zero polynomial. For (x=0), the constant term must be (0).
पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, पर 2 और 3 की घातें विषम हैं। / For a perfect square, all exponents must be even, but powers of 2 and 3 are odd.
Step 3
Exam Tip
\(2\times3=6\) से गुणा करने पर सभी घातें सम हो जाएंगी। / Multiplying by \(2\times3=6\) makes all powers even.
(x-2+20x+100=(x+10)2) है, इसलिए स्पर्श बिंदु ((-10,0)) है। टिप: पूर्ण वर्ग में चिह्न बदलकर शून्यक मिलता है। / (x-2+20x+100=(x+10)2), so the touching point is ((-10,0)). Tip: change the sign in a perfect square to get the zero.
(x-2-18x+81=(x-9)2) है, इसलिए स्पर्श बिंदु ((9,0)) है। टिप: पूर्ण वर्ग में चिह्न बदलकर शून्यक मिलता है। / (x-2-18x+81=(x-9)2), so the touching point is ((9,0)). Tip: change the sign in a perfect square to get the zero.
(x-2+14x+49=(x+7)2) है इसलिए स्पर्श बिंदु ((-7,0)) है। टिप: पूर्ण वर्ग में चिह्न बदलकर शून्यक मिलता है। / (x-2+14x+49=(x+7)2), so the touching point is ((-7,0)). Tip: in a perfect square, change the sign to get the zero.
(x-2-12x+36=(x-6)2) है, इसलिए स्पर्श बिंदु ((6,0)) है। टिप: पूर्ण वर्ग में चिह्न बदलकर शून्यक मिलता है। / (x-2-12x+36=(x-6)2), so the touching point is ((6,0)). Tip: in a perfect square, change the sign to get the zero.
(x-2+8x+16=(x+4)2), इसलिए स्पर्श बिंदु ((-4,0)) है। टिप: पूर्ण वर्ग में चिह्न बदलकर शून्यक मिलता है। / (x-2+8x+16=(x+4)2), so the touching point is ((-4,0)). Tip: in a perfect square the sign changes to get the zero.
शून्यक (-9), (-1), (4) हैं और सबसे बड़ा (4) है। टिप: संख्या रेखा पर दाईं ओर वाला मान बड़ा होता है। / The zeroes are (-9), (-1), (4) and the greatest is (4). Tip: the value to the right on the number line is greater.
शून्यक (-3), (2), (8) हैं और सबसे छोटा (-3) है। टिप: ऋणात्मक संख्या धनात्मक से छोटी होती है। / The zeroes are (-3), (2), (8), and the smallest is (-3). Tip: a negative number is smaller than a positive number.
शून्यक के लिए फलन मान (0) होना चाहिए। टिप: बीच में होना शून्यक होने की गारंटी नहीं देता। / For a zero, the function value must be (0). Tip: being between zeroes does not guarantee being a zero.
A. यह (x)-अक्ष के समांतर है और उसे नहीं काटता/It is parallel to the (x)-axis and does not cut it
Explanation
Simple Explanation
(p(x)=5) कभी (0) नहीं होता इसलिए शून्यक नहीं है। टिप: अशून्य स्थिर बहुपद का शून्यक नहीं होता। / The value (p(x)=5) is never (0) so it has no zero. Tip: a non-zero constant polynomial has no zero.
A. जहाँ आलेख (x)-अक्ष को काटता है/Where the graph cuts the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
शून्यक पर (p(x)=0) होता है इसलिए बिंदु (x)-अक्ष पर होता है। टिप: (x)-अक्ष पर (y=0) होता है। / At a zero (p(x)=0) so the point lies on the (x)-axis. Tip: on the (x)-axis (y=0).
किसी बिंदु को शून्यक (root) तब माना जाता है जब उस बिंदु के लिए \(y=0\) हो (यानि ग्राफ \(x\)-अक्ष को छूता/काटता है)। बिंदु \((0,7)\) में \(y=7\) है, अतः \(x=0\) पर बहुपद का मान शून्य नहीं है — इसलिए \(x=0\) शून्यक नहीं है। विकल्प C निकटतम ग़लत विकल्प है क्योंकि \(y\)-अक्ष पर होना केवल यह दर्शाता है कि \(x=0\) है, परंतु शून्यक होने के लिये \(y\) का मान \(0\) होना आवश्यक है। परीक्षा संकेत: किसी संभावित शून्य के लिये हमेशा देखिये कि संबंधित \(y\)-मान \(0\) है या नहीं (या बहुपद में उस \(x\) का मान 0 दीखता है)। / A root means the polynomial's value is zero at that x, i.e. the graph meets the x-axis where \(y=0\). The point \((0,7)\) has \(y=7\), so the polynomial is not zero at \(x=0\); therefore \(x=0\) is not a root. The closest wrong distractor is C: lying on the y-axis only indicates \(x=0\), not that \(y=0\). Exam tip: to test a root substitute the x-value into the polynomial and check whether the result is 0 (or check that the graph is on the x-axis).
x-अक्ष पर स्पर्श करने वाला बिंदु उस बहुपद का शून्यक (root) होता है क्योंकि उस बिंदु पर \,p(x)=0\\ होता है। "स्पर्श" का अर्थ यह है कि जड़ की गुणनशीलता (multiplicity) सम (even) हो सकती है, परन्तु वह अंक फिर भी वास्तविक शून्यक ही है। इसलिए अलग वास्तविक शून्यक x = -2 है। विकल्प B (2) गलत है क्योंकि वह बिंदु +2 पर होगा, विकल्प C (0) गलत है क्योंकि शून्य (origin) दिया ही नहीं गया, और विकल्प D (कोई नहीं) गलत है क्योंकि स्पर्श करने वाला बिंदु निश्चित रूप से शून्यक देता है। टिप: परीक्षा में "touches" = even multiplicity; "cuts" = odd multiplicity। / A point where the graph touches the x-axis is a real root because at that point p(x)=0. "Touches" usually indicates an even multiplicity root, but regardless of multiplicity it is still a zero of the polynomial. Thus the distinct real zero is x = -2. Option B (2) is wrong because the given x-coordinate is -2, not +2; option C (0) is wrong because the origin is not the given intercept; option D (None) is wrong because a touching point is indeed a root. Exam tip: remember that "touches" implies an even multiplicity root, while "cuts" implies an odd multiplicity.
शून्यक पर बहुपद का मान (0) होता है। इसलिए ग्राफ पर उस बिंदु का (y)-मान (0) होगा। / At a zero, the value of the polynomial is (0). Therefore the (y)-value at that point on the graph is (0).
शून्यक वह x-मूल है जहाँ बहुपद की मान शून्य हो जाती है। इसलिए \(p(x)=0\) रखें: \(x-4=0\) से \(x=4\) मिलता है। इसका मतलब है कि ग्राफ \(x\)-अक्ष को \(x=4\) पर काटेगा। निकटतम विकर्षक \(-4\) गलत है क्योंकि \(p(-4)=-4-4=-8\), जो शून्य नहीं है। परीक्षा-सुझाव: हमेशा बहुपद के शून्य खोजने के लिए उसे शून्य के बराबर रखकर हल करें। / A zero (root) is an x-value where the polynomial equals zero. Set \(p(x)=0\): \(x-4=0\) gives \(x=4\). Thus the graph meets the x-axis at \(x=4\). The nearest distractor \(-4\) is incorrect because \(p(-4)=-4-4=-8\), not zero. Exam tip: to find zeros, always solve \(p(x)=0\) directly rather than inspecting coefficients.
यह ((x-(b-4))2) है इसलिए दोहराया शून्यक (b-4) है। टिप: पूर्ण वर्ग रूप में शून्यक तुरंत दिखता है। / It is ((x-(b-4))2), so the repeated zero is (b-4). Tip: a perfect square form shows the zero quickly.
यह ((x-(a+3))2) है, इसलिए दोहराया शून्यक (a+3) है। टिप: पूर्ण वर्ग रूप में शून्यक तुरंत दिखता है। / It is ((x-(a+3))2), so the repeated zero is (a+3). Tip: a perfect square form shows the zero quickly.
यह ((x-3k)2) है इसलिए दोहराया शून्यक (3k) है। टिप: पूर्ण वर्ग रूप को तुरंत पहचानें। / It is ((x-3k)2), so the repeated zero is (3k). Tip: identify the perfect square form quickly.
यह ((x-2k)2) है इसलिए दोहराया शून्यक (2k) है। टिप: पूर्ण वर्ग पहचानना तेज तरीका है। / It is ((x-2k)2), so the repeated zero is (2k). Tip: recognizing a perfect square is a quick method.
यह ((x-k)2) है, इसलिए दोहराया शून्यक (k) है। टिप: पूर्ण वर्ग रूप तुरंत पहचानें। / It is ((x-k)2), so the repeated zero is (k). Tip: recognize the perfect square form quickly.
केवल (p(1)=0) सीधे शून्यक बताता है। धनात्मक या ऋणात्मक मान शून्यक नहीं होते। / Only (p(1)=0) directly gives a zero. Positive or negative values are not zeroes.
