C. सिर्फ \(\sqrt{2}\) ही अकेला अपरिमेय शून्यक हो और गुणांक परिमेय रहें/Only \(\sqrt{2}\) is the sole irrational zero while coefficients stay rational
Step 1
Concept
In a quadratic with rational coefficients an irrational zero comes with its conjugate. In exams be suspicious of a lone irrational root.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. सिर्फ \(\sqrt{2}\) ही अकेला अपरिमेय शून्यक हो और गुणांक परिमेय रहें / Only \(\sqrt{2}\) is the sole irrational zero while coefficients stay rational. In a quadratic with rational coefficients an irrational zero comes with its conjugate. In exams be suspicious of a lone irrational root.
Step 3
Exam Tip
परिमेय गुणांकों वाले द्विघात में अपरिमेय शून्यक अपने संयुग्मी के साथ आता है। परीक्षा में अकेले अपरिमेय मूल पर संदेह करें।
For (k=2), the discriminant is (16-8=8), positive but not a perfect square. Therefore the roots are real and irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (k=2). For (k=2), the discriminant is (16-8=8), positive but not a perfect square. Therefore the roots are real and irrational.
Step 3
Exam Tip
(k=2) पर विविक्तकर (16-8=8), जो धनात्मक पर पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए मूल वास्तविक और अपरिमेय होंगे।
C. कोई वास्तविक मूल नहीं है/There are no real roots
Step 1
Concept
The discriminant is (4-20=-16), which is negative, so there are no real roots. In exams do not treat a negative discriminant as real zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. कोई वास्तविक मूल नहीं है / There are no real roots. The discriminant is (4-20=-16), which is negative, so there are no real roots. In exams do not treat a negative discriminant as real zeroes.
Step 3
Exam Tip
विविक्तकर (4-20=-16) ऋणात्मक है, इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में ऋणात्मक विविक्तकर को वास्तविक शून्यक नहीं मानें।
The discriminant is (16-16=0), so the roots are equal and (x=2) is rational. In exams (D=0) means equal roots.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दो समान परिमेय / Two equal rational roots. The discriminant is (16-16=0), so the roots are equal and (x=2) is rational. In exams (D=0) means equal roots.
Step 3
Exam Tip
विविक्तकर (16-16=0), इसलिए मूल समान हैं और (x=2) परिमेय है। परीक्षा में (D=0) का अर्थ समान मूल होता है।
C. दो अलग अपरिमेय वास्तविक/Two distinct irrational real values
Step 1
Concept
The discriminant is (36-4=32), positive but not a perfect square. So there are two distinct irrational real roots.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. दो अलग अपरिमेय वास्तविक / Two distinct irrational real values. The discriminant is (36-4=32), positive but not a perfect square. So there are two distinct irrational real roots.
Step 3
Exam Tip
विविक्तकर (36-4=32) है, जो पूर्ण वर्ग नहीं है और धनात्मक है। इसलिए दो अलग अपरिमेय वास्तविक मूल मिलते हैं।
A. दोनों परिमेय वास्तविक हैं/Both are rational real
Step 1
Concept
From \(x^2-16=0\), \(x=\pm4\), which are rational real. Not every square-root type question gives irrational roots.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों परिमेय वास्तविक हैं / Both are rational real. From \(x^2-16=0\), \(x=\pm4\), which are rational real. Not every square-root type question gives irrational roots.
Step 3
Exam Tip
\(x^2-16=0\) से \(x=\pm4\), जो परिमेय वास्तविक हैं। हर वर्गमूल वाला प्रश्न अपरिमेय नहीं होता।
A. यदि (a) पूर्ण वर्ग नहीं है तो \(\sqrt{a}\) अपरिमेय है/If (a) is not a perfect square then \(\sqrt{a}\) is irrational
Step 1
Concept
The square root of a positive integer is rational only when the number is a perfect square. So a non perfect square gives an irrational root.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यदि (a) पूर्ण वर्ग नहीं है तो \(\sqrt{a}\) अपरिमेय है / If (a) is not a perfect square then \(\sqrt{a}\) is irrational. The square root of a positive integer is rational only when the number is a perfect square. So a non perfect square gives an irrational root.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक पूर्णांक की वर्गमूल परिमेय तभी होती है जब संख्या पूर्ण वर्ग हो। इसलिए पूर्ण वर्ग न हो तो जड़ अपरिमेय होगी।
Integers and terminating decimals are rational. Options containing irrational roots or \(\pi\) are not only rational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (4), (-2), (0.75). Integers and terminating decimals are rational. Options containing irrational roots or \(\pi\) are not only rational.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक और सांत दशमलव परिमेय होते हैं। जिन विकल्पों में अपरिमेय जड़ या \(\pi\) है वे केवल परिमेय नहीं हैं।
A. क्योंकि (2), (3), और (5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं/Because (2), (3), and (5) are not perfect squares
Step 1
Concept
The square root of a perfect square is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
(2), (3), and (5) are not perfect squares.
Step 3
Exam Tip
Therefore their square roots are proved irrational. चरण 1: किसी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है। चरण 2: (2), (3), और (5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं। चरण 3: इसलिए इनके वर्गमूलों की अपरिमेयता सिद्ध की जाती है।
A. क्योंकि (2), (3), और (5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं/Because (2), (3), and (5) are not perfect squares
Step 1
Concept
Square roots of perfect squares are integers.
Step 2
Why this answer is correct
(2), (3), and (5) are not perfect squares.
Step 3
Exam Tip
That is why irrationality proofs are studied for their square roots. चरण 1: पूर्ण वर्गों के वर्गमूल पूर्णांक होते हैं। चरण 2: (2), (3), और (5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं। चरण 3: इसलिए इनके वर्गमूलों के लिए अपरिमेयता का प्रमाण पढ़ाया जाता है।
\(\sqrt{a}\) is irrational only when (a) is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
(36) is a perfect square and \(\sqrt{36}=6\), so it is not suitable.
Step 3
Exam Tip
Quickly identify perfect squares among the options. चरण 1: \(\sqrt{a}\) अपरिमेय तभी होगा जब (a) पूर्ण वर्ग न हो। चरण 2: (36) पूर्ण वर्ग है और \(\sqrt{36}=6\), इसलिए यह उपयुक्त नहीं है। चरण 3: विकल्पों में पूर्ण वर्ग को तुरंत पहचानें।
(90) is not a perfect square, so \(\sqrt{90}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
To decide the nature of a square root, first check perfect squares. चरण 1: (49), (81) और (121) पूर्ण वर्ग हैं। चरण 2: (90) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{90}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले पूर्ण वर्ग जाँचें।
From \(x^2=7\), \(x=\sqrt{7}\) or \(x=-\sqrt{7}\).
Step 2
Why this answer is correct
Among the options, \(\sqrt{7}\) is present and it is irrational.
Step 3
Exam Tip
Remember both positive and negative roots, then match the given options. चरण 1: \(x^2=7\) से \(x=\sqrt{7}\) या \(x=-\sqrt{7}\) हो सकता है। चरण 2: दिए गए विकल्पों में \(\sqrt{7}\) है, जो अपरिमेय है। चरण 3: वर्ग समीकरण में धन और ऋण दोनों मूल याद रखें, पर विकल्प के अनुसार चुनें।
