(4) is rational and \(\sqrt{13}\) is irrational, so the sum is irrational. In exams identify square roots of perfect squares first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(4+\sqrt{13}\). (4) is rational and \(\sqrt{13}\) is irrational, so the sum is irrational. In exams identify square roots of perfect squares first.
Step 3
Exam Tip
(4) परिमेय है और \(\sqrt{13}\) अपरिमेय है, इसलिए योग अपरिमेय है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग के वर्गमूल को पहले पहचानें।
\(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\), which is irrational. Multiplying equal roots can often give a rational number.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\times\sqrt{5}\). \(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\), which is irrational. Multiplying equal roots can often give a rational number.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\) है जो अपरिमेय है। समान जड़ों का गुणन अक्सर परिमेय दे सकता है।
A. जब (a) कोई भी परिमेय संख्या हो/When (a) is any rational number
Step 1
Concept
Adding a rational number to an irrational number gives an irrational result. This simple property often appears in MCQs.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. जब (a) कोई भी परिमेय संख्या हो / When (a) is any rational number. Adding a rational number to an irrational number gives an irrational result. This simple property often appears in MCQs.
Step 3
Exam Tip
परिमेय में अपरिमेय जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। यह आसान गुण अक्सर MCQ में आता है।
\(\sqrt{5}\) is irrational and \(2-\sqrt{5}\) is also irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (2) which is rational.
Step 3
Exam Tip
There is no single always rule for the sum of two irrational numbers. चरण 1: \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है और \(2-\sqrt{5}\) भी अपरिमेय है। चरण 2: उनका योग (2) है जो परिमेय है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं के योग के लिए एक ही नियम हर बार लागू नहीं होता।
Its reciprocal \(\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\) is also irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not assume the reciprocal of a non-zero irrational surd is rational. चरण 1: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 2: इसका व्युत्क्रम \(\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\) भी अपरिमेय है। चरण 3: अशून्य अपरिमेय मूल के व्युत्क्रम को परिमेय मानने की गलती न करें।
The sum of two irrational numbers can be rational.
Step 2
Why this answer is correct
For example, (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0). Therefore, saying (a+b) is always irrational is false.
Step 3
Exam Tip
Be careful with universal statements about two irrational numbers. चरण 1: दो अपरिमेय संख्याओं का योग कभी परिमेय भी हो सकता है। चरण 2: उदाहरण (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) है। इसलिए (a+b) हमेशा अपरिमेय कहना गलत है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं पर हमेशा वाले नियम बहुत सावधानी से लगाएँ।
A rational number minus an irrational number is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
If (r-s) were rational, then (s=r-(r-s)) would be rational, which is impossible.
Step 3
Exam Tip
Use the same reasoning for subtraction as for addition. चरण 1: परिमेय संख्या में से अपरिमेय संख्या घटाने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। चरण 2: यदि (r-s) परिमेय हो, तो (s=r-(r-s)) परिमेय हो जाएगा, जो असंभव है। चरण 3: घटाव में भी वही सोच रखें जो योग में रखते हैं।
A. \(\sqrt{8}\) और \(-\sqrt{8}\)/\(\sqrt{8}\) and \(-\sqrt{8}\)
Step 1
Concept
(\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), which is rational. In exams one counterexample is enough to disprove a universal statement.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{8}\) और \(-\sqrt{8}\) / \(\sqrt{8}\) and \(-\sqrt{8}\). (\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), which is rational. In exams one counterexample is enough to disprove a universal statement.
Step 3
Exam Tip
(\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), जो परिमेय है। परीक्षा में गलत सार्वत्रिक कथन तोड़ने के लिए एक प्रतिउदाहरण काफी है।
(5) is a non zero rational number so \(5\sqrt{3}\) is irrational. Remember multiplication by (0) gives (0).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(5\times\sqrt{3}\). (5) is a non zero rational number so \(5\sqrt{3}\) is irrational. Remember multiplication by (0) gives (0).
Step 3
Exam Tip
(5) गैर शून्य परिमेय है इसलिए \(5\sqrt{3}\) अपरिमेय है। ध्यान रखें (0) से गुणा करने पर परिणाम (0) होता है।
A. \(\sqrt{12}\) और \(\sqrt{3}\)/\(\sqrt{12}\) and \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{3}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their product is \(\sqrt{36}=6\), which is rational, and their sum is \(3\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Check the nature of the sum and product separately. चरण 1: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका गुणन \(\sqrt{36}=6\) परिमेय है, और योग \(3\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 3: योग और गुणन की प्रकृति अलग-अलग जाँचें।
B. \(\sqrt{3}\) और \(2\sqrt{3}\)/\(\sqrt{3}\) and \(2\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) and \(2\sqrt{3}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is \(3\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
In sum questions, identify whether like surds cancel or combine. चरण 1: \(\sqrt{3}\) और \(2\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग \(3\sqrt{3}\) है, जो अपरिमेय है। चरण 3: योग वाले प्रश्नों में कटने वाले और जुड़ने वाले समान मूल अलग-अलग पहचानें।
(6) is a non-zero rational number and \(\sqrt{19}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(6\sqrt{19}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Multiplication by zero is a special case, so focus on non-zero rational factors. चरण 1: (6) अशून्य परिमेय है और \(\sqrt{19}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(6\sqrt{19}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: शून्य से गुणा करने का मामला अलग है, इसलिए अशून्य परिमेय पर ध्यान दें।
(4) is a non-zero rational number and \(\sqrt{13}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(4\sqrt{13}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Multiplication by zero is a special case, so focus on non-zero rational factors. चरण 1: (4) अशून्य परिमेय है और \(\sqrt{13}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(4\sqrt{13}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: शून्य से गुणा करने का मामला अलग है, इसलिए अशून्य परिमेय पर ध्यान दें।
(3) is a non-zero rational number and \(\sqrt{7}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(3\sqrt{7}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Multiplication by zero is a special case, so focus on non-zero rational factors. चरण 1: (3) अशून्य परिमेय है और \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(3\sqrt{7}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: शून्य से गुणा करने का मामला अलग होता है, इसलिए अशून्य परिमेय पर ध्यान दें।
A. (m) पूर्ण वर्ग नहीं है/(m) is not a perfect square
Step 1
Concept
The square root of a perfect square is an integer, so for an irrational square root (m) is not a perfect square. In exams identifying perfect squares is important.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (m) पूर्ण वर्ग नहीं है / (m) is not a perfect square. The square root of a perfect square is an integer, so for an irrational square root (m) is not a perfect square. In exams identifying perfect squares is important.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है, इसलिए अपरिमेय वर्गमूल के लिए (m) पूर्ण वर्ग नहीं होगा। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना जरूरी है।
A. (k) पूर्ण वर्ग नहीं है/(k) is not a perfect square
Step 1
Concept
If a positive integer is not a perfect square its square root is irrational. So (k) is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (k) पूर्ण वर्ग नहीं है / (k) is not a perfect square. If a positive integer is not a perfect square its square root is irrational. So (k) is not a perfect square.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक पूर्णांक पूर्ण वर्ग न हो तो उसकी वर्गमूल अपरिमेय होती है। इसलिए (k) पूर्ण वर्ग नहीं होगा।
A. (n) पूर्ण वर्ग नहीं है/(n) is not a perfect square
Step 1
Concept
The square root of a positive integer is irrational when it is not a perfect square. Remember this simple rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (n) पूर्ण वर्ग नहीं है / (n) is not a perfect square. The square root of a positive integer is irrational when it is not a perfect square. Remember this simple rule.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक पूर्णांक की वर्गमूल अपरिमेय तब होती है जब वह पूर्ण वर्ग नहीं होता। यह सरल नियम याद रखें।
\(\sqrt{15}\) is irrational because (15) is not a perfect square. Identifying perfect squares is very useful in exams.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{15}\). \(\sqrt{15}\) is irrational because (15) is not a perfect square. Identifying perfect squares is very useful in exams.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{15}\) में (15) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना बहुत उपयोगी है।
A prime number is not a perfect square, so \(\sqrt{11}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
For the square root of a prime, use the non-perfect-square idea directly. चरण 1: (11) अभाज्य संख्या है। चरण 2: कोई अभाज्य संख्या पूर्ण वर्ग नहीं होती, इसलिए \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है। चरण 3: अभाज्य संख्या के वर्गमूल पर सीधे अपूर्ण वर्ग का विचार लगाएँ।
\(\sqrt{a}\) is irrational only when (a) is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
(36) is a perfect square and \(\sqrt{36}=6\), so it is not suitable.
Step 3
Exam Tip
Quickly identify perfect squares among the options. चरण 1: \(\sqrt{a}\) अपरिमेय तभी होगा जब (a) पूर्ण वर्ग न हो। चरण 2: (36) पूर्ण वर्ग है और \(\sqrt{36}=6\), इसलिए यह उपयुक्त नहीं है। चरण 3: विकल्पों में पूर्ण वर्ग को तुरंत पहचानें।
(90) is not a perfect square, so \(\sqrt{90}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
To decide the nature of a square root, first check perfect squares. चरण 1: (49), (81) और (121) पूर्ण वर्ग हैं। चरण 2: (90) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{90}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले पूर्ण वर्ग जाँचें।
If (k) is a perfect square, then \(\sqrt{k}\) is rational and the fraction becomes rational.
Step 2
Why this answer is correct
(18) is not a perfect square, so \(\sqrt{18}\) is irrational and \(\frac{5}{\sqrt{18}}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
In such questions, first check whether (k) is a perfect square. चरण 1: यदि (k) पूर्ण वर्ग हो, तो \(\sqrt{k}\) परिमेय होगा और भिन्न परिमेय बन जाएगी। चरण 2: (18) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{18}\) अपरिमेय है और \(\frac{5}{\sqrt{18}}\) भी अपरिमेय रहेगा। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले (k) के पूर्ण वर्ग होने की जाँच करें।
From \(x^2=7\), \(x=\sqrt{7}\) or \(x=-\sqrt{7}\).
Step 2
Why this answer is correct
Among the options, \(\sqrt{7}\) is present and it is irrational.
Step 3
Exam Tip
Remember both positive and negative roots, then match the given options. चरण 1: \(x^2=7\) से \(x=\sqrt{7}\) या \(x=-\sqrt{7}\) हो सकता है। चरण 2: दिए गए विकल्पों में \(\sqrt{7}\) है, जो अपरिमेय है। चरण 3: वर्ग समीकरण में धन और ऋण दोनों मूल याद रखें, पर विकल्प के अनुसार चुनें।
\(\sqrt{45}=\sqrt{9}\sqrt{5}=3\sqrt{5}\), and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Separate the largest perfect square factor while simplifying surds. चरण 1: \(45=9\times5\) है। चरण 2: \(\sqrt{45}=\sqrt{9}\sqrt{5}=3\sqrt{5}\), और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: मूल को सरल करते समय सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड को अलग करें।
B. (n) पूर्ण वर्ग नहीं है/(n) is not a perfect square
Step 1
Concept
The square root of a perfect square is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
If (n) is not a perfect square, then \(\sqrt{n}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not judge only by evenness or primality; check whether it is a perfect square. चरण 1: किसी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है। चरण 2: यदि (n) पूर्ण वर्ग नहीं है, तो \(\sqrt{n}\) अपरिमेय होता है। चरण 3: केवल सम या अभाज्य देखकर निर्णय न लें; पूर्ण वर्ग की जाँच करें।
(99) is not a perfect square, so \(\sqrt{99}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In such questions, first separate the perfect squares. चरण 1: पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होता है। चरण 2: (99) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{99}\) अपरिमेय होगा। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले पूर्ण वर्गों को अलग कर दें।
(52) is not a perfect square, so \(\sqrt{52}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In such questions, eliminate perfect squares first. चरण 1: किसी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होता है। चरण 2: (52) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{52}\) अपरिमेय होगा। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में दिए गए मानों में पूर्ण वर्गों को पहले हटा दें।
An irrational number cannot be written exactly in the form \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
(14) is not a perfect square, so \(\sqrt{14}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In square-root questions, first check whether the number inside is a perfect square. चरण 1: अपरिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में ठीक-ठीक नहीं लिखा जा सकता। चरण 2: (14) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{14}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल में अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, पहले यही जांचें।
An irrational number cannot be written exactly as a fraction.
Step 2
Why this answer is correct
(15) is not a perfect square, so \(\sqrt{15}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
For square-root options, first check whether the number inside is a perfect square. चरण 1: अपरिमेय संख्या को ठीक-ठीक भिन्न रूप में नहीं लिखा जा सकता। चरण 2: (15) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{15}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल वाले विकल्पों में अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, पहले यही देखें।
(10) is not a perfect square, so \(\sqrt{10}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Use nearby perfect squares to locate square roots. चरण 1: (9<10<16), इसलिए \(3<\sqrt{10}<4\)। चरण 2: (10) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{10}\) अपरिमेय है। चरण 3: दो पूर्ण वर्गों के बीच की संख्या का वर्गमूल अंतराल बताता है।
An irrational number cannot be written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}\) is not the square root of a perfect square, so it is irrational.
Step 3
Exam Tip
If the number under a square root is not a perfect square, it is usually irrational. चरण 1: अपरिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में नहीं लिखा जा सकता। चरण 2: \(\sqrt{2}\) पूर्ण वर्ग का वर्गमूल नहीं है, इसलिए यह अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल में संख्या पूर्ण वर्ग न हो तो वह अक्सर अपरिमेय होती है।
If \(\frac{s}{r}\) were rational then \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) would be rational which is false. In exams check the non-zero condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अपरिमेय / Irrational. If \(\frac{s}{r}\) were rational then \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) would be rational which is false. In exams check the non-zero condition.
Step 3
Exam Tip
यदि \(\frac{s}{r}\) परिमेय हो तो \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) परिमेय हो जाएगा जो गलत है। परीक्षा में शून्येतर शर्त जरूर देखें।
(\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=4-3=1) which is rational. In exams remember conjugate multiplication as a counterexample.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)). (\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=4-3=1) which is rational. In exams remember conjugate multiplication as a counterexample.
Step 3
Exam Tip
(\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=4-3=1) है जो परिमेय है। परीक्षा में संयुग्मी गुणन को प्रतिउदाहरण के रूप में याद रखें।
A. \(\sqrt{2}\) और \(3\sqrt{2}\)/\(\sqrt{2}\) and \(3\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), which is rational. In exams remember counterexamples for products of irrational numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\) और \(3\sqrt{2}\) / \(\sqrt{2}\) and \(3\sqrt{2}\). \(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), which is rational. In exams remember counterexamples for products of irrational numbers.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), जो परिमेय है। परीक्षा में अपरिमेय संख्याओं के गुणनफल के लिए प्रतिउदाहरण याद रखें।
The like (x) terms cancel and the value left is \(2\sqrt{2}\). In exams do not be confused by the type of number during algebraic simplification.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2\sqrt{2}\). The like (x) terms cancel and the value left is \(2\sqrt{2}\). In exams do not be confused by the type of number during algebraic simplification.
Step 3
Exam Tip
समान (x) पद कट जाते हैं और मान \(2\sqrt{2}\) बचता है। परीक्षा में बीजीय सरलीकरण में संख्या के प्रकार से भ्रमित न हों।
A. \(2+\sqrt{5}\) और \(2-\sqrt{5}\)/\(2+\sqrt{5}\) and \(2-\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
The sum is (\(2+\sqrt{5}\)+\(2-\sqrt{5}\)=4), which is rational. In exams remember conjugate pairs as counterexamples.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2+\sqrt{5}\) और \(2-\sqrt{5}\) / \(2+\sqrt{5}\) and \(2-\sqrt{5}\). The sum is (\(2+\sqrt{5}\)+\(2-\sqrt{5}\)=4), which is rational. In exams remember conjugate pairs as counterexamples.
Step 3
Exam Tip
योग (\(2+\sqrt{5}\)+\(2-\sqrt{5}\)=4) है, जो परिमेय है। परीक्षा में संयुग्मी जोड़ों को प्रतिउदाहरण के रूप में याद रखें।
For (k=2), the discriminant is (16-8=8), positive but not a perfect square. Therefore the roots are real and irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (k=2). For (k=2), the discriminant is (16-8=8), positive but not a perfect square. Therefore the roots are real and irrational.
Step 3
Exam Tip
(k=2) पर विविक्तकर (16-8=8), जो धनात्मक पर पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए मूल वास्तविक और अपरिमेय होंगे।
For \(x^2-8x+3\), (D=64-12=52), positive and not a perfect square. The other options give equal rational, non-real, or rational zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2-8x+3\). For \(x^2-8x+3\), (D=64-12=52), positive and not a perfect square. The other options give equal rational, non-real, or rational zeroes.
Step 3
Exam Tip
\(x^2-8x+3\) के लिए (D=64-12=52), जो धनात्मक अपूर्ण वर्ग है। बाकी विकल्पों में शून्यक समान परिमेय, अवास्तविक या परिमेय हैं।
In \(x^2-4x+1\), the sum is (4) and (D=16-4=12), so the zeroes are irrational. A rational sum does not mean rational zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2-4x+1\). In \(x^2-4x+1\), the sum is (4) and (D=16-4=12), so the zeroes are irrational. A rational sum does not mean rational zeroes.
Step 3
Exam Tip
\(x^2-4x+1\) में योग (4) है और (D=16-4=12) से शून्यक अपरिमेय हैं। परिमेय योग का अर्थ परिमेय शून्यक होना नहीं है।
B. (k) धनात्मक हो लेकिन पूर्ण वर्ग न हो/(k) is positive but not a perfect square
Step 1
Concept
The zeroes are \(x=\pm\sqrt{k}\). They are irrational real when (k>0) and (k) is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (k) धनात्मक हो लेकिन पूर्ण वर्ग न हो / (k) is positive but not a perfect square. The zeroes are \(x=\pm\sqrt{k}\). They are irrational real when (k>0) and (k) is not a perfect square.
Step 3
Exam Tip
शून्यक \(x=\pm\sqrt{k}\) हैं। ये अपरिमेय वास्तविक तभी होंगे जब (k>0) और (k) पूर्ण वर्ग न हो।
For (r=2), (D=16-8=8). It is positive and not a perfect square, so the zeroes are real and irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. कथन सही है / The statement is true. For (r=2), (D=16-8=8). It is positive and not a perfect square, so the zeroes are real and irrational.
Step 3
Exam Tip
(r=2) पर (D=16-8=8) है। यह धनात्मक और अपूर्ण वर्ग है, इसलिए शून्यक वास्तविक और अपरिमेय हैं।
B. जब (25-4c) धनात्मक हो पर पूर्ण वर्ग न हो/When (25-4c) is positive but not a perfect square
Step 1
Concept
For real distinct zeroes, (D>0) is required. For irrational zeroes, (D) must not be a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. जब (25-4c) धनात्मक हो पर पूर्ण वर्ग न हो / When (25-4c) is positive but not a perfect square. For real distinct zeroes, (D>0) is required. For irrational zeroes, (D) must not be a perfect square.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक भिन्न शून्यकों के लिए (D>0) चाहिए। अपरिमेय शून्यकों के लिए (D) पूर्ण वर्ग नहीं होना चाहिए।
(180) is not a perfect square so \(\sqrt{180}\) is irrational. Subtracting an irrational from a rational gives an irrational result.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (m=180). (180) is not a perfect square so \(\sqrt{180}\) is irrational. Subtracting an irrational from a rational gives an irrational result.
Step 3
Exam Tip
(180) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{180}\) अपरिमेय है। परिमेय से अपरिमेय घटाने पर परिणाम अपरिमेय होता है।
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the sum is \(3\sqrt{2}\). A non zero rational multiple of \(\sqrt{2}\) remains irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह \(3\sqrt{2}\) है / It is \(3\sqrt{2}\). \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the sum is \(3\sqrt{2}\). A non zero rational multiple of \(\sqrt{2}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए योग \(3\sqrt{2}\) है। गैर शून्य परिमेय गुणक के साथ \(\sqrt{2}\) अपरिमेय रहता है।
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\) is irrational and lies between (0) and (1). Dividing by a non zero rational keeps irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{\sqrt{3}}{3}\). \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) is irrational and lies between (0) and (1). Dividing by a non zero rational keeps irrationality.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\) अपरिमेय है और इसका मान (0) और (1) के बीच है। गैर शून्य परिमेय से भाग देने पर अपरिमेयता रहती है।
A. गुणनफल परिमेय या अपरिमेय दोनों हो सकता है/The product can be rational or irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\) is rational but \(\sqrt{5}\times\sqrt{2}=\sqrt{10}\) is irrational. So it depends on the case.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. गुणनफल परिमेय या अपरिमेय दोनों हो सकता है / The product can be rational or irrational. \(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\) is rational but \(\sqrt{5}\times\sqrt{2}=\sqrt{10}\) is irrational. So it depends on the case.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\) परिमेय है पर \(\sqrt{5}\times\sqrt{2}=\sqrt{10}\) अपरिमेय है। इसलिए स्थिति पर निर्भर करता है।
A. योग परिमेय या अपरिमेय दोनों हो सकता है/The sum can be rational or irrational
Step 1
Concept
(\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) is rational but \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational. So there is no single fixed rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. योग परिमेय या अपरिमेय दोनों हो सकता है / The sum can be rational or irrational. (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) is rational but \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational. So there is no single fixed rule.
Step 3
Exam Tip
(\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) परिमेय है पर \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय है। इसलिए एक ही स्थायी नियम नहीं है।
The first decimal is non terminating and non repeating. A non terminating non repeating decimal is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (0.3030030003...). The first decimal is non terminating and non repeating. A non terminating non repeating decimal is irrational.
Step 3
Exam Tip
पहला दशमलव अनंत और अनावर्ती है। अनंत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है।
\(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\). The product of two irrational numbers is not always irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{12}\times\sqrt{3}\). \(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\). The product of two irrational numbers is not always irrational.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\) है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता।
\(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\), and \(\sqrt{12}\) are all irrational. Remove options with perfect squares and rational numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \({\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{12}}\). \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\), and \(\sqrt{12}\) are all irrational. Remove options with perfect squares and rational numbers.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{12}\) सभी अपरिमेय हैं। पूर्ण वर्ग और परिमेय संख्या वाले विकल्प हटाएँ।
A non zero rational multiplier keeps an irrational number irrational. The condition \(r\neq0\) is important.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अपरिमेय संख्या / Irrational number. A non zero rational multiplier keeps an irrational number irrational. The condition \(r\neq0\) is important.
Step 3
Exam Tip
गैर शून्य परिमेय गुणक अपरिमेय संख्या को अपरिमेय ही रखता है। शर्त \(r\neq0\) महत्वपूर्ण है।
The difference of a rational and an irrational number is irrational. This property helps identify mixed expressions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अपरिमेय संख्या / Irrational number. The difference of a rational and an irrational number is irrational. This property helps identify mixed expressions.
Step 3
Exam Tip
परिमेय और अपरिमेय का अंतर अपरिमेय होता है। यह गुण गैर मिश्रित संख्याओं को पहचानने में मदद करता है।
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) is irrational and its value lies between (0) and (1). The root part makes it irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) is irrational and its value lies between (0) and (1). The root part makes it irrational.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) अपरिमेय है और इसका मान (0) और (1) के बीच है। जड़ वाला भाग इसे अपरिमेय बनाता है।
\(\sqrt{18}\) is irrational and its negative is also real irrational. A negative sign does not change rationality.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(-\sqrt{18}\). \(\sqrt{18}\) is irrational and its negative is also real irrational. A negative sign does not change rationality.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{18}\) अपरिमेय है और उसका ऋण भी वास्तविक अपरिमेय है। ऋण चिह्न परिमेयता नहीं बदलता।
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\), and \(\pi\) are all irrational. Identify square roots of perfect squares and fractions separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\), \(\pi\). \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\), and \(\pi\) are all irrational. Identify square roots of perfect squares and fractions separately.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\) और \(\pi\) सभी अपरिमेय हैं। पूर्ण वर्ग की जड़ और भिन्न को अलग पहचानें।
\(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) is rational but \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\) is irrational. So it is not always one type.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हमेशा निश्चित नहीं / Not always fixed. \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) is rational but \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\) is irrational. So it is not always one type.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) परिमेय है लेकिन \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\) अपरिमेय है। इसलिए हमेशा एक जैसा नहीं होता।
(\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) is rational but \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational. So there is no fixed always rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हमेशा निश्चित नहीं / Not always fixed. (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) is rational but \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational. So there is no fixed always rule.
Step 3
Exam Tip
(\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) परिमेय है लेकिन \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय है। इसलिए हमेशा एक जैसा नियम नहीं है।
A. अनंत और अनावर्ती/Non terminating and non repeating
Step 1
Concept
The decimal of an irrational number neither ends nor repeats. This is the easiest identification.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अनंत और अनावर्ती / Non terminating and non repeating. The decimal of an irrational number neither ends nor repeats. This is the easiest identification.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेय संख्या का दशमलव न खत्म होता है और न दोहराता है। यही सबसे आसान पहचान है।
(\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)=6-2=4), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Identifying conjugates helps remove radicals quickly. चरण 1: पहला विकल्प संयुग्मी पदों का गुणनफल है। चरण 2: (\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)=6-2=4), जो परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी पद पहचानने से वर्गमूल जल्दी हट जाते हैं।
B. क्योंकि परिमेय संख्या में अपरिमेय संख्या जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय होता है/Because adding an irrational number to a rational number gives an irrational result
Step 1
Concept
\(\frac{3}{2}\) is rational and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
If their sum were rational, then \(\sqrt{5}\) would become the difference of two rational numbers, which is impossible.
Step 3
Exam Tip
For rational-plus-irrational questions, contradiction is a very useful method. चरण 1: \(\frac{3}{2}\) परिमेय संख्या है और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय संख्या है। चरण 2: यदि उनका योग परिमेय मानें तो \(\sqrt{5}\) को दो परिमेय संख्याओं के अंतर के रूप में लिखना पड़ेगा जो असंभव है। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय के योग वाले प्रश्नों में विरोधाभास विधि बहुत उपयोगी है।
A. क्या वह पूर्ण वर्ग के वर्गमूल में बदल रही है/Whether it becomes the square root of a perfect square
Step 1
Concept
In square-root questions first check whether the number inside is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
A perfect square may give a rational square root while a non-perfect square often gives an irrational value.
Step 3
Exam Tip
Simplifying is the safest first step in identification questions. चरण 1: वर्गमूल वाले प्रश्नों में पहले देखें कि अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं। चरण 2: पूर्ण वर्ग हो तो वर्गमूल परिमेय हो सकता है और पूर्ण वर्ग न हो तो अक्सर अपरिमेय होता है। चरण 3: पहचान वाले प्रश्नों में सरल करना सबसे सुरक्षित शुरुआत है।
From (r+s=s), subtract (s) from both sides to get (r=0).
Step 2
Why this answer is correct
(0) is rational, so the condition is possible.
Step 3
Exam Tip
Form a simple equation before judging number types. चरण 1: (r+s=s) से दोनों ओर (s) घटाने पर (r=0) मिलता है। चरण 2: (0) परिमेय है इसलिए स्थिति संभव है। चरण 3: सरल समीकरण बनाकर संख्या के प्रकार की जांच करें।
\(\sqrt{11}\) is irrational because (11) is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
(\(\sqrt{11}\)2=11) which is rational.
Step 3
Exam Tip
Squaring may remove the radical. चरण 1: \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है क्योंकि (11) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: (\(\sqrt{11}\)2=11) परिमेय है। चरण 3: वर्ग करने पर वर्गमूल हट सकता है।
Hence \(1<\sqrt{2}<2\) and \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
To locate an irrational number compare squares. चरण 1: (1<2<4) है। चरण 2: इसलिए \(1<\sqrt{2}<2\) और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: अपरिमेय संख्या को स्थान देने के लिए वर्ग करके तुलना करें।
Therefore \(2<\sqrt{5}<3\) and since (5) is not a perfect square \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Use squares to locate irrational square roots between integers. चरण 1: (4<5<9) है। चरण 2: इसलिए \(2<\sqrt{5}<3\) और (5) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: बीच की संख्या खोजते समय वर्गों से सीमा बनाएं।
B. \(\sqrt{18}\) और \(\sqrt{2}\)/\(\sqrt{18}\) and \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{18}\) and \(\sqrt{2}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3\) which is rational.
Step 3
Exam Tip
In quotients check whether the ratio inside the radical becomes a perfect square. चरण 1: \(\sqrt{18}\) और \(\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: \(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3\) परिमेय है। चरण 3: भाग में मूल के अंदर अनुपात पूर्ण वर्ग बन रहा है या नहीं यह देखें।
C. अनंत अनावर्ती दशमलव/Non-terminating non-recurring decimal
Step 1
Concept
Rational numbers have terminating or recurring decimals.
Step 2
Why this answer is correct
Irrational numbers have non-terminating and non-recurring decimals.
Step 3
Exam Tip
If a repeating block is visible the number may be rational. चरण 1: परिमेय संख्याओं का दशमलव समाप्त या आवर्ती होता है। चरण 2: अपरिमेय संख्याओं का दशमलव अनंत और अनावर्ती होता है। चरण 3: दशमलव में बार-बार आने वाला समूह दिखाई दे तो वह परिमेय हो सकता है।
Dividing by a non-zero rational number is the same as multiplying by its reciprocal.
Step 2
Why this answer is correct
An irrational number multiplied by a non-zero rational number remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Convert division questions into multiplication for easier reasoning. चरण 1: शून्य रहित परिमेय से भाग देना उसी के व्युत्क्रम से गुणा करना है। चरण 2: अपरिमेय संख्या को शून्य रहित परिमेय से गुणा करने पर अपरिमेय संख्या मिलती है। चरण 3: भाग के प्रश्नों को गुणा में बदलकर सोचें।
Multiplying it by \(\sqrt{13}\) gives an irrational number.
Step 3
Exam Tip
In products check first whether square roots combine to a perfect square. चरण 1: \(\frac{3}{5}\) शून्य रहित परिमेय है। चरण 2: शून्य रहित परिमेय संख्या से \(\sqrt{13}\) को गुणा करने पर अपरिमेय संख्या मिलती है। चरण 3: गुणनफल में पहले देखें कि वर्गमूल मिलकर पूर्ण वर्ग तो नहीं बना रहे।
