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To disprove one-one, it is enough to find two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=1) and (f\(\sqrt{3}\)=1), while \(0\neq\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
For polynomial functions, one clear counterexample quickly settles one-one behaviour. चरण 1: एकैकी न होने के लिए दो अलग आगतों पर समान मान दिखाना पर्याप्त है। चरण 2: (f(0)=1) और (f\(\sqrt{3}\)=1), जबकि \(0\neq\sqrt{3}\)। चरण 3: बहुपद फलन में एक छोटा प्रतिवाद एकैकीपन को तुरंत तोड़ देता है।
\(x^3+x+5\) is strictly increasing, so different inputs give different outputs.
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
A strictly increasing function covering all real values is bijective. चरण 1: \(x^3+x+5\) वास्तविक रेखा पर लगातार बढ़ता है, इसलिए अलग आगत अलग निर्गत देते हैं। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: बढ़ता हुआ और पूरा वास्तविक परास लेने वाला फलन द्विआधारी होता है।
Hence \(x=\frac{2y+1}{y-3}\), and replacing (y) by (x) gives the inverse. चरण 1: \(y=\frac{3x+1}{x-2}\) मानकर (x) को अलग करें। चरण 2: (y(x-2)=3x+1) से (x(y-3)=2y+1) मिलता है। चरण 3: इसलिए \(x=\frac{2y+1}{y-3}\), और चर बदलने पर प्रतिलोम मिल जाता है।
A. (a=1,b=0) या \(a=-1,b\in\mathbb{R}\)/(a=1,b=0) or \(a=-1,b\in\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
(f(f(x))=a(ax+b)+b=a-2x+b(a+1)).
Step 2
Why this answer is correct
Equating it with (x) gives \(a^2=1\) and (b(a+1)=0).
Step 3
Exam Tip
Hence (a=1,b=0), or (a=-1) with any real (b). चरण 1: (f(f(x))=a(ax+b)+b=a-2x+b(a+1))। चरण 2: इसे (x) के बराबर करने पर \(a^2=1\) और (b(a+1)=0) मिलता है। चरण 3: इसलिए (a=1) पर (b=0), और (a=-1) पर (b) कोई भी वास्तविक हो सकता है।
Completing the square is the safest method for range questions. चरण 1: (x-2-6x+11=(x-3)2+2) लिखें। चरण 2: ((x-3)2\geq0), इसलिए न्यूनतम मान (2) है। चरण 3: वर्ग पूरा करना परास निकालने में सबसे सुरक्षित तरीका है।
The expression is the sum of distances of (x) from (1) and (-1).
Step 2
Why this answer is correct
For \(-1\leq x\leq1\), the sum is (2), and outside this interval it increases.
Step 3
Exam Tip
A distance interpretation helps solve absolute value range questions quickly. चरण 1: यह अभिव्यक्ति संख्या रेखा पर (x) की (1) और (-1) से दूरियों का योग है। चरण 2: \(-1\leq x\leq1\) पर योग (2) रहता है और बाहर जाने पर बढ़ता है। चरण 3: दूरी वाले निरपेक्ष मान में ज्यामितीय सोच जल्दी उत्तर देती है।
Since \(x^2\geq0\), the function value cannot be negative.
Step 2
Why this answer is correct
At (x=0), the value is (0), and for large (|x|), it approaches (1) but never equals (1).
Step 3
Exam Tip
Distinguish between approaching a value and attaining it. चरण 1: \(x^2\geq0\), इसलिए फलन का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता। चरण 2: (x=0) पर मान (0) मिलता है और बड़े (|x|) पर मान (1) के पास जाता है पर (1) नहीं बनता। चरण 3: सीमा के पास जाने और वास्तव में मान लेने में अंतर रखें।
Choose the (2) elements of the range in \(\binom{3}{2}=3\) ways.
Step 2
Why this answer is correct
Onto functions onto these two chosen elements are \(2^5-2=30\).
Step 3
Exam Tip
Total number is \(3\cdot30=90\). चरण 1: परास के (2) अवयव चुनने के तरीके \(\binom{3}{2}=3\) हैं। चरण 2: चुने हुए दो अवयवों पर आच्छादी फलन \(2^5-2=30\) होंगे। चरण 3: कुल संख्या \(3\cdot30=90\) होगी।
यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\begin{cases}x+2,&x\geq0\x-2+2,&x<0\end{cases}) से दिया गया है, तो (f) के एकैकी होने के बारे में सही कथन कौन सा है?
B. यह एकैकी नहीं है क्योंकि (f(-1)=f(1))/It is not one-one because (f(-1)=f(1))
Step 1
Concept
For a piecewise function, values from different pieces must also be compared.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=(-1)2+2=3) and (f(1)=1+2=3).
Step 3
Exam Tip
Equal outputs for different inputs break one-one behaviour. चरण 1: खंडों में दिए फलन में अलग-अलग खंडों के मान भी मिलाने पड़ते हैं। चरण 2: (f(-1)=(-1)2+2=3) और (f(1)=1+2=3)। चरण 3: दो अलग आगतों पर समान मान मिलते ही एकैकीपन टूट जाता है।
A. परास \([0,\infty\)) है और यह एकैकी है/Range is \([0,\infty\)) and it is one-one
Step 1
Concept
(x-2+2x=x(x+2)), and for \(x\geq0\) it starts at (0) and increases.
Step 2
Why this answer is correct
The minimum value is (0) at (x=0), so the range is \([0,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
A quadratic can become one-one after restricting its domain. चरण 1: (x-2+2x=x(x+2)) और \(x\geq0\) होने पर यह (0) से शुरू होकर बढ़ता है। चरण 2: (x=0) पर न्यूनतम मान (0) है, इसलिए परास \([0,\infty\)) है। चरण 3: सीमित प्रांत पर द्विघात फलन एकैकी बन सकता है।
Since (f) is odd, (f(-x)=-f(x)); since (g) is even, (g(-f(x))=g(f(x))).
Step 3
Exam Tip
Therefore \(g\circ f\) is even. चरण 1: (\(g\circ f\)(-x)=g(f(-x)))। चरण 2: (f) विषम है, इसलिए (f(-x)=-f(x)); और (g) सम है, इसलिए (g(-f(x))=g(f(x)))। चरण 3: इसलिए \(g\circ f\) सम फलन है।
At (x=0), the denominator becomes zero, so it must be removed.
Step 3
Exam Tip
For fractional functions, always exclude values that make the denominator zero. चरण 1: \(\frac{1}{x}\) तभी परिभाषित है जब \(x\neq0\)। चरण 2: (x=0) पर हर शून्य हो जाएगा, इसलिए उसे हटाना जरूरी है। चरण 3: भिन्न वाले फलन में हर को शून्य बनाने वाले मान हमेशा हटाएँ।
The AM-GM idea is very useful for such range questions. चरण 1: धनात्मक (x) के लिए \(x+\frac{1}{x}\geq2\) होता है। चरण 2: (x=1) पर मान (2) मिल जाता है। चरण 3: ऐसे प्रश्न में गुणोत्तर और अंकगणितीय माध्य का विचार बहुत उपयोगी है।
The (x)-coordinate of the vertex is \(-\frac{p}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
From \(-\frac{p}{2}=2\), we get (p=-4).
Step 3
Exam Tip
Using (f(2)=5), (4-8+q=5), so (q=9). चरण 1: शीर्ष का (x)-निर्देशांक \(-\frac{p}{2}\) होता है। चरण 2: \(-\frac{p}{2}=2\) से (p=-4) मिलता है। चरण 3: (f(2)=5) रखने पर (4-8+q=5), इसलिए (q=9)।
Therefore no real (m) makes it one-one on all of \(\mathbb{R}\). चरण 1: यदि \(m\neq0\), तो (f(1)=f(-1)) होगा। चरण 2: यदि (m=0), तो फलन स्थिर (1) बन जाता है। चरण 3: इसलिए किसी भी वास्तविक (m) के लिए यह पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं हो सकता।
A value making the denominator zero must be removed from the domain. चरण 1: भिन्न में हर (x+3) है। चरण 2: (x+3=0) से (x=-3) मिलता है। चरण 3: हर को शून्य करने वाला मान प्रांत से हटाया जाता है।
From \(y=\frac{2x-1}{x+3}\), we get \(x=\frac{1+3y}{2-y}\).
Step 2
Why this answer is correct
For every \(y\neq2\), there is a unique (x), and \(x\neq-3\).
Step 3
Exam Tip
A function with exactly one preimage for every codomain value is bijective. चरण 1: \(y=\frac{2x-1}{x+3}\) से \(x=\frac{1+3y}{2-y}\) मिलता है। चरण 2: हर \(y\neq2\) के लिए एक अद्वितीय (x) मिलता है और \(x\neq-3\) रहता है। चरण 3: जब हर मान का ठीक एक पूर्वप्रतिबिंब हो, फलन द्विआधारी होता है।
The difference is ((x+1)2-\(x^2+1\)=2x). चरण 1: (\(f\circ g\)(x)=f(x+1)=(x+1)2)। चरण 2: (\(g\circ f\)(x)=g\(x^2\)=x-2+1)। चरण 3: अंतर ((x+1)2-\(x^2+1\)=2x) है।
In such questions, use repeated addition of the given value. चरण 1: योग गुण के अनुसार (f(5)=f(1+1+1+1+1))। चरण 2: यह (5f(1)=5\cdot3=15) होगा। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में दिए हुए मान को बार-बार जोड़कर उपयोग करें।
To minimize the maximum, make (x) and (1-x) equal.
Step 2
Why this answer is correct
Solving (x=1-x) gives \(x=\frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
At this point both values are \(\frac{1}{2}\), so the minimum is \(\frac{1}{2}\). चरण 1: अधिकतम मान को छोटा करने के लिए (x) और (1-x) को बराबर करना चाहिए। चरण 2: (x=1-x) से \(x=\frac{1}{2}\) मिलता है। चरण 3: उस बिंदु पर दोनों मान \(\frac{1}{2}\) हैं, इसलिए न्यूनतम \(\frac{1}{2}\) है।
When \(x^2\geq4\), the function takes the value (4).
Step 3
Exam Tip
Hence all values from (0) to (4) are attained, including both endpoints. चरण 1: \(x^2\) का मान (0) से शुरू होकर बढ़ता है। चरण 2: \(x^2\geq4\) होने पर फलन (4) ही लेता है। चरण 3: इसलिए (0) से (4) तक सभी मान मिलते हैं और दोनों सिरों के मान शामिल हैं।
For \(x\geq0\), (f(x)=x-2), and for (x<0), (f(x)=-x-2).
Step 2
Why this answer is correct
Negative inputs give negative outputs and positive inputs give positive outputs, with ordered growth.
Step 3
Exam Tip
Every real (y) has exactly one preimage, so the function is bijective. चरण 1: \(x\geq0\) पर (f(x)=x-2) और (x<0) पर (f(x)=-x-2) होता है। चरण 2: ऋणात्मक आगत ऋणात्मक मान और धनात्मक आगत धनात्मक मान देते हैं, तथा मान क्रम से बढ़ते हैं। चरण 3: हर वास्तविक (y) के लिए ठीक एक (x) मिलता है, इसलिए फलन द्विआधारी है।
Since (4) is positive, the input (x) must be positive.
Step 2
Why this answer is correct
For positive (x), (f(x)=x-2), so \(x^2=4\).
Step 3
Exam Tip
The positive solution is (x=2). चरण 1: (4) धनात्मक है, इसलिए आगत (x) भी धनात्मक होगा। चरण 2: धनात्मक (x) पर (f(x)=x-2), इसलिए \(x^2=4\)। चरण 3: धनात्मक हल (x=2) है।
If (f\(a_1\)=f\(a_2\)), then (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(g\circ f\) is one-one, \(a_1=a_2\).
Step 3
Exam Tip
Hence (f) must be one-one, while (g) need not be one-one on all of (B). चरण 1: यदि (f\(a_1\)=f\(a_2\)), तो (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))) होगा। चरण 2: \(g\circ f\) एकैकी है, इसलिए \(a_1=a_2\)। चरण 3: इसलिए (f) का एकैकी होना अनिवार्य है, पर (g) पूरे (B) पर जरूरी नहीं।
Since \(g\circ f\) is onto, every element of (C) is of the form (g(f(a))).
Step 2
Why this answer is correct
That same element is also of the form (g(b)), where (b=f(a)).
Step 3
Exam Tip
Hence (g) must be onto. चरण 1: \(g\circ f\) आच्छादी है, इसलिए (C) का हर अवयव (g(f(a))) के रूप में आता है। चरण 2: इसका अर्थ है कि वही अवयव (g(b)) के रूप में भी आता है, जहाँ (b=f(a))। चरण 3: इसलिए (g) अवश्य आच्छादी है।
Even after cancellation, the value making the original denominator zero must be excluded. चरण 1: (x-2-1=(x-1)(x+1)) है। चरण 2: \(x\neq1\) होने पर \(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\) बनता है। चरण 3: काटने से पहले जिस मान पर हर शून्य है, उसे प्रांत से हटाना नहीं भूलें।
Since (x=1) is removed, the value (x+1=2) cannot occur.
Step 3
Exam Tip
Even after simplification, removed domain points can affect the range. चरण 1: \(x\neq1\) पर फलन (x+1) के बराबर है। चरण 2: (x=1) हट जाने से (x+1=2) वाला मान नहीं मिल सकता। चरण 3: सरलीकरण के बाद भी हटे हुए प्रांत का असर परास पर पड़ सकता है।
B. (g) (f) के \(x\geq0\) तक सीमित रूप का प्रतिलोम है/(g) is the inverse of (f) restricted to \(x\geq0\)
Step 1
Concept
(f(x)=x-2+1) is not one-one on all of \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
If its domain is restricted to \(x\geq0\), then \(y=x^2+1\) gives \(x=\sqrt{y-1}\).
Step 3
Exam Tip
To define an inverse, the domain often needs a suitable restriction. चरण 1: (f(x)=x-2+1) पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं है। चरण 2: यदि प्रांत \(x\geq0\) तक सीमित करें, तो \(y=x^2+1\) से \(x=\sqrt{y-1}\) मिलता है। चरण 3: प्रतिलोम बनाने के लिए कई बार प्रांत को उचित रूप से सीमित करना पड़ता है।
Every real (x) is the sum of its greatest integer part and fractional part.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(\lfloor x\rfloor+{x}=x\).
Step 3
Exam Tip
For greatest integer questions, remember this basic identity. चरण 1: किसी भी वास्तविक (x) को पूर्णांक भाग और भिन्नांश भाग के योग के रूप में लिखा जाता है। चरण 2: इसलिए \(\lfloor x\rfloor+{x}=x\)। चरण 3: पूर्णांक भाग से जुड़े प्रश्नों में मूल पहचान याद रखें।
For every integer (n), choosing (x=n) gives \(\lfloor x\rfloor=n\), so it is onto.
Step 2
Why this answer is correct
\(\lfloor 2.1\rfloor=\lfloor 2.9\rfloor=2\), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
Taking codomain \(\mathbb{Z}\) changes onto behaviour. चरण 1: हर पूर्णांक (n) के लिए (x=n) लेने पर \(\lfloor x\rfloor=n\), इसलिए आच्छादी है। चरण 2: \(\lfloor 2.1\rfloor=\lfloor 2.9\rfloor=2\), इसलिए एकैकी नहीं है। चरण 3: सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) लेने से आच्छादिता बदल जाती है।
Its values are always odd integers, so even integers are not obtained.
Step 3
Exam Tip
One-one and onto must be checked separately. चरण 1: (2n+1) अलग-अलग (n) के लिए अलग-अलग मान देता है। चरण 2: इसका मान हमेशा विषम पूर्णांक होता है, इसलिए सम पूर्णांक नहीं मिलते। चरण 3: एकैकी और आच्छादी को अलग-अलग जांचना जरूरी है।
On integers, \(n^3\) is increasing, so different (n) give different values.
Step 2
Why this answer is correct
(2) is not the cube of any integer, so not every codomain value is reached.
Step 3
Exam Tip
For power functions on integers, check the range carefully. चरण 1: पूर्णांकों पर \(n^3\) बढ़ता है, इसलिए अलग (n) अलग मान देते हैं। चरण 2: (2) किसी पूर्णांक का घन नहीं है, इसलिए सहप्रांत का हर मान नहीं मिलता। चरण 3: पूर्णांक प्रांत में घात फलन का परास अलग से जांचें।
On natural numbers, \(n^2\) increases, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(2) is not the square of any natural number, so it is not onto.
Step 3
Exam Tip
In natural numbers, not every value is a perfect square. चरण 1: प्राकृतिक संख्याओं पर \(n^2\) बढ़ता है, इसलिए यह एकैकी है। चरण 2: (2) किसी प्राकृतिक संख्या का वर्ग नहीं है, इसलिए आच्छादी नहीं है। चरण 3: प्राकृतिक संख्याओं में सभी मान वर्ग नहीं होते।
Hence (\ln\(1+x^2\)\geq\ln1=0), and (0) occurs at (x=0).
Step 3
Exam Tip
For logarithmic functions, first check the minimum of the inside expression. चरण 1: \(1+x^2\geq1\) हर वास्तविक (x) के लिए। चरण 2: इसलिए (\ln\(1+x^2\)\geq\ln1=0), और (x=0) पर (0) मिलता है। चरण 3: लघुगणकीय फलन में अंदर की मात्रा का न्यूनतम पहले देखें।
\(\ln x\) is strictly increasing on (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
For every real (y), choosing \(x=e^y>0\) gives \(\ln x=y\).
Step 3
Exam Tip
Hence it is bijective from (\(0,\infty\)) to \(\mathbb{R}\). चरण 1: \(\ln x\) (\(0,\infty\)) पर सख्ती से बढ़ता है। चरण 2: हर वास्तविक (y) के लिए \(x=e^y>0\) लेने पर \(\ln x=y\) मिलता है। चरण 3: इसलिए यह (\(0,\infty\)) से \(\mathbb{R}\) पर द्विआधारी है।
Hence the range is \([-\sqrt{2},\sqrt{2}]\). चरण 1: (\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left\(x+\frac{\pi}{4}\right\)) लिखा जा सकता है। चरण 2: \(\sin\) का मान ([-1,1]) में रहता है। चरण 3: इसलिए परास \([-\sqrt{2},\sqrt{2}]\) है।
On the given interval, \(\sin x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
It attains every value from (-1) to (1).
Step 3
Exam Tip
With a suitable domain and codomain, a trigonometric function can be bijective. चरण 1: दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) सख्ती से बढ़ता है। चरण 2: इस अंतराल में (-1) से (1) तक सभी मान मिलते हैं। चरण 3: उचित प्रांत और सहप्रांत लेने से त्रिकोणमितीय फलन द्विआधारी बन सकता है।
The solution of \(\cos x=0\) is \(x=\frac{\pi}{2}\).
Step 3
Exam Tip
On a restricted domain, the inverse value is unique. चरण 1: दिए गए प्रांत \([0,\pi]\) में \(\cos x\) एकैकी है। चरण 2: \(\cos x=0\) का हल \(x=\frac{\pi}{2}\) है। चरण 3: सीमित प्रांत में प्रतिलोम मान एक ही होता है।
For the inverse relation to be a function, each output must come from only one input.
Step 2
Why this answer is correct
If (f) is not one-one, one output has two inputs.
Step 3
Exam Tip
Therefore, if \(f^{-1}\) is a function, (f) must be one-one. चरण 1: प्रतिलोम संबंध के फलन होने के लिए हर निर्गत से एक ही आगत जुड़ना चाहिए। चरण 2: यदि (f) एकैकी नहीं होगा, तो किसी निर्गत के दो आगत होंगे। चरण 3: इसलिए \(f^{-1}\) के फलन होने से (f) का एकैकी होना निश्चित है।
For finite sets, a bijection exists only when domain and codomain have equal sizes.
Step 3
Exam Tip
Hence (B) also has (6) elements. चरण 1: द्विआधारी फलन एकैकी और आच्छादी दोनों होता है। चरण 2: सीमित समुच्चयों में ऐसे फलन के लिए प्रांत और सहप्रांत में बराबर अवयव होते हैं। चरण 3: इसलिए (B) में भी (6) अवयव होंगे।
A bijection from (A) to (A) is a permutation of the elements.
Step 2
Why this answer is correct
The number of permutations of (n) elements is (n!).
Step 3
Exam Tip
For bijections on the same finite set, use (n!). चरण 1: (A) से (A) में द्विआधारी फलन अवयवों का क्रमचय होता है। चरण 2: (n) अवयवों के क्रमचय (n!) होते हैं। चरण 3: स्वसमुच्चय पर द्विआधारी फलनों की गिनती में सीधे (n!) याद रखें।
To be not onto, one element of (B) must be completely missed.
Step 2
Why this answer is correct
There are two possibilities: all elements map to (a), or all map to (b).
Step 3
Exam Tip
Therefore the number of not onto functions is (2). चरण 1: आच्छादी नहीं होने के लिए (B) का कोई एक अवयव पूरी तरह छूटना चाहिए। चरण 2: दो संभावनाएँ हैं: सभी अवयव (a) पर जाएँ या सभी (b) पर जाएँ। चरण 3: इसलिए आच्छादी नहीं फलनों की संख्या (2) है।
Treat \(yx^2-x+y=0\) as a quadratic in (x) and require its discriminant to be non-negative.
Step 3
Exam Tip
From \(1-4y^2\geq0\), we get \(-\frac{1}{2}\leq y\leq\frac{1}{2}\). चरण 1: \(y=\frac{x}{1+x^2}\) मानें। चरण 2: \(yx^2-x+y=0\) को (x) में द्विघात मानकर विविक्तकर \(\geq0\) रखें। चरण 3: \(1-4y^2\geq0\) से \(-\frac{1}{2}\leq y\leq\frac{1}{2}\) मिलता है।
As (|x|) increases, the value approaches (1) but never reaches it, so the range is \(\left[\frac{1}{2},1\right\)). चरण 1: (f(x)=1-\frac{1}{x-2+2}) लिखें। चरण 2: (x=0) पर मान \(\frac{1}{2}\) मिलता है। चरण 3: (|x|) बढ़ने पर मान (1) के पास जाता है पर (1) नहीं लेता, इसलिए परास \(\left[\frac{1}{2},1\right\)) है।
The cubic ((x-2)3) is strictly increasing on \(\mathbb{R}\) and takes all real values.
Step 3
Exam Tip
Shifting does not change bijectivity. चरण 1: (x-3-6x-2+12x+1=(x-2)3+9) है। चरण 2: घन फलन ((x-2)3) पूरे \(\mathbb{R}\) पर सख्ती से बढ़ता और सभी वास्तविक मान लेता है। चरण 3: स्थानांतरण से द्विआधारिता नहीं बदलती।
यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\begin{cases}2x+1,&x<1\x-2+2,&x\geq1\end{cases}) से दिया गया है, तो (f) के परास के बारे में सही कथन कौन सा है?
A. परास (\(-\infty,3\)\cup[3,\infty)=\mathbb{R}) है/The range is (\(-\infty,3\)\cup[3,\infty)=\mathbb{R})
Step 1
Concept
For (x<1), (2x+1<3), giving the range part (\(-\infty,3\)).
Step 2
Why this answer is correct
For \(x\geq1\), \(x^2+2\geq3\), and (3) occurs at (x=1).
Step 3
Exam Tip
Combining both parts gives all of \(\mathbb{R}\). चरण 1: (x<1) पर (2x+1<3), इसलिए परास का भाग (\(-\infty,3\)) है। चरण 2: \(x\geq1\) पर \(x^2+2\geq3\), और (x=1) पर (3) मिलता है। चरण 3: दोनों भाग मिलाकर पूरा \(\mathbb{R}\) मिल जाता है।
(f^{-1}(5)) means the input (x) for which (f(x)=5).
Step 2
Why this answer is correct
From \(\frac{2x+3}{x-1}=5\), we get (2x+3=5x-5), so (3x=8).
Step 3
Exam Tip
Hence \(x=\frac{8}{3}\); for inverse values, set the original function equal to the target value and solve. चरण 1: (f^{-1}(5)) का अर्थ है वह आगत (x), जिसके लिए (f(x)=5) हो। चरण 2: \(\frac{2x+3}{x-1}=5\) से (2x+3=5x-5), इसलिए (3x=8)। चरण 3: इसलिए \(x=\frac{8}{3}\); प्रतिलोम मान निकालते समय पहले मूल फलन में लक्ष्य मान रखकर हल करें।
Each element of (A) must choose exactly one image in (B).
Step 2
Why this answer is correct
Since (A) has (3) elements and (B) has (2) elements, the number of functions is \(2^3=8\).
Step 3
Exam Tip
Remember that the number of functions from (A) to (B) is \(|B|^{|A|}\). चरण 1: (A) के प्रत्येक अवयव के लिए (B) में कोई एक प्रतिबिंब चुनना होता है। चरण 2: (A) में (3) अवयव और (B) में (2) अवयव हैं, इसलिए कुल फलन \(2^3=8\) होंगे। चरण 3: परीक्षा में याद रखें कि (A) से (B) तक फलनों की संख्या \(|B|^{|A|}\) होती है।
In a one-one function, distinct elements must have distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
Here (A) has (4) elements but (B) has only (3) elements, so (4) distinct images are impossible.
Step 3
Exam Tip
First compare the sizes of domain and codomain in such questions. चरण 1: एकैकी फलन में अलग-अलग अवयवों के प्रतिबिंब अलग-अलग होने चाहिए। चरण 2: यहाँ (A) में (4) अवयव हैं लेकिन (B) में केवल (3) अवयव हैं, इसलिए (4) अलग प्रतिबिंब नहीं मिल सकते। चरण 3: परीक्षा में पहले प्रांत और सहप्रांत के अवयवों की संख्या की तुलना करें।
D. यह न एकैकी है न आच्छादक/It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(1)=2) and (f(-1)=2), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(x^2+1\ge 1\), negative numbers and (0) are not attained, so it is not onto.
Step 3
Exam Tip
Always test one-one and onto separately. चरण 1: (f(1)=2) और (f(-1)=2), इसलिए यह एकैकी नहीं है। चरण 2: \(x^2+1\ge 1\), इसलिए ऋणात्मक संख्याएँ और (0) प्रतिबिंब नहीं बन सकते, अतः यह आच्छादक भी नहीं है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में एकैकी और आच्छादकता को अलग-अलग जाँचें।
Replace (y) by (x), so (f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}). चरण 1: मान लें (y=3x-5)। चरण 2: (x) को (y) के पदों में लिखने पर \(x=\frac{y+5}{3}\) मिलता है। चरण 3: अंत में (y) की जगह (x) रखने से (f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}) होगा।
The function \(x^3\) is strictly increasing on real numbers, so distinct inputs give distinct outputs.
Step 2
Why this answer is correct
For every real (y), \(x=\sqrt[3]{y}\) exists, so every (y) has a preimage.
Step 3
Exam Tip
The cube function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is bijective. चरण 1: \(x^3\) हर वास्तविक (x) पर लगातार बढ़ता है, इसलिए अलग (x) पर अलग मान मिलते हैं। चरण 2: हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y}\) मौजूद है, इसलिए हर (y) का पूर्वप्रतिबिंब है। चरण 3: घन फलन \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर द्वैक होता है।
B. यह आच्छादक है पर एकैकी नहीं/It is onto but not one-one
Step 1
Concept
(f(2)=4) and (f(-2)=4), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain is \([0,\infty\)), and for every \(y\ge 0\), \(x=\sqrt{y}\) exists.
Step 3
Exam Tip
Onto property depends on the codomain, so always check it carefully. चरण 1: (f(2)=4) और (f(-2)=4), इसलिए फलन एकैकी नहीं है। चरण 2: सहप्रांत \([0,\infty\)) है और हर \(y\ge 0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) मिलता है। चरण 3: सहप्रांत बदलने से आच्छादकता बदल सकती है, इसलिए सहप्रांत अवश्य देखें।
(|x|) is never negative, so negative real numbers are not attained.
Step 3
Exam Tip
In absolute value functions, opposite inputs may give the same output. चरण 1: (f(3)=3) और (f(-3)=3), इसलिए यह एकैकी नहीं है। चरण 2: (|x|) कभी ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए कोई ऋणात्मक वास्तविक संख्या प्रतिबिंब नहीं बन सकती। चरण 3: परिमाप वाले फलन में संकेत बदलने पर समान मान मिल सकता है।
For finite sets, a bijection is possible only when both sets have the same number of elements.
Step 3
Exam Tip
Therefore (|B|=|A|=7). चरण 1: द्वैक फलन एकैकी और आच्छादक दोनों होता है। चरण 2: सीमित समुच्चयों में द्वैक फलन तभी संभव है जब दोनों समुच्चयों में बराबर अवयव हों। चरण 3: इसलिए (|B|=|A|=7) होगा।
Put (f(x)=2x+1) into (g), giving (g(2x+1)=(2x+1)2).
Step 3
Exam Tip
Expanding gives \(4x^2+4x+1\). चरण 1: (\(g\circ f\)(x)) का अर्थ (g(f(x))) है। चरण 2: (f(x)=2x+1) को (g) में रखने पर (g(2x+1)=(2x+1)2) मिलेगा। चरण 3: विस्तार करने पर \(4x^2+4x+1\) प्राप्त होता है।
The difference is (3x+1-(3x+5)=-4), so order matters in composition. चरण 1: (f(g(x))=f(3x-1)=3x+1)। चरण 2: (g(f(x))=g(x+2)=3x+5)। चरण 3: अंतर (3x+1-(3x+5)=-4) है, इसलिए क्रम बदलने से मान बदल सकता है।
Hence the range is \([3,\infty\)). चरण 1: (x-2-4x+7=(x-2)2+3)। चरण 2: ((x-2)2\ge 0), इसलिए न्यूनतम मान (3) है। चरण 3: ऊपर की ओर खुलने वाले वर्ग फलन का परास न्यूनतम मान से अनंत तक होता है।
C. एकैकी और आच्छादक दोनों है/Both one-one and onto
Step 1
Concept
(5-2x) is a linear function with non-zero slope, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
For any real (y), \(x=\frac{5-y}{2}\) is real, so it is onto.
Step 3
Exam Tip
A non-constant linear function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is bijective. चरण 1: (5-2x) एक रैखिक फलन है जिसकी ढाल शून्य नहीं है, इसलिए यह एकैकी है। चरण 2: किसी भी वास्तविक (y) के लिए \(x=\frac{5-y}{2}\) वास्तविक है, इसलिए यह आच्छादक है। चरण 3: \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर अशून्य ढाल वाला रैखिक फलन द्वैक होता है।
In a constant function, every input has the same image (c).
Step 2
Why this answer is correct
Different inputs give the same output, so the one-one condition fails.
Step 3
Exam Tip
A constant function on an infinite domain is never one-one. चरण 1: स्थिर फलन में हर (x) का प्रतिबिंब (c) ही होता है। चरण 2: अलग-अलग आगतों के समान प्रतिबिंब मिलते हैं, इसलिए एकैकी होने की शर्त टूट जाती है। चरण 3: अनंत प्रांत पर स्थिर फलन कभी एकैकी नहीं होता।
Its values are positive, and for every (y>0), \(x=\ln y\) exists.
Step 3
Exam Tip
With codomain (\(0,\infty\)), the function is bijective. चरण 1: \(e^x\) सख्ती से बढ़ता है, इसलिए यह एकैकी है। चरण 2: इसका हर मान धनात्मक होता है और प्रत्येक (y>0) के लिए \(x=\ln y\) मौजूद है। चरण 3: सहप्रांत (\(0,\infty\)) लेने पर यह द्वैक हो जाता है।
\(\ln x\) is strictly increasing on (\(0,\infty\)), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
For every real (y), \(x=e^y>0\), so it is onto.
Step 3
Exam Tip
The logarithmic function is the inverse of the exponential function. चरण 1: \(\ln x\) अपने प्रांत (\(0,\infty\)) पर सख्ती से बढ़ता है, इसलिए एकैकी है। चरण 2: हर वास्तविक (y) के लिए \(x=e^y>0\) मिलता है, इसलिए यह आच्छादक है। चरण 3: लघुगणकीय फलन घातीय फलन का प्रतिलोम होता है।
\(x^3+x\) is strictly increasing because its value keeps increasing with (x).
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
Hence every real value is attained and the function is bijective. चरण 1: \(x^3+x\) सख्ती से बढ़ता है क्योंकि (x) बढ़ने पर मान लगातार बढ़ता है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: इसलिए हर वास्तविक मान मिलता है और फलन द्वैक है।
Since (f) is one-one, distinct elements of (A) have distinct images in (B).
Step 2
Why this answer is correct
Since (g) is also one-one, those distinct images remain distinct in (C).
Step 3
Exam Tip
The composition of one-one functions is one-one. चरण 1: (f) एकैकी है, इसलिए अलग (A) अवयवों के प्रतिबिंब (B) में अलग होंगे। चरण 2: (g) भी एकैकी है, इसलिए उन अलग प्रतिबिंबों के आगे के प्रतिबिंब (C) में अलग रहेंगे। चरण 3: एकैकी फलनों का संयोजन एकैकी होता है।
D. यह न एकैकी है न आच्छादक/It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(1)=1) and (f(-1)=1), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(x^4\ge 0\), negative real values are not attained.
Step 3
Exam Tip
For even power functions, check both repeated outputs and restricted range. चरण 1: (f(1)=1) और (f(-1)=1), इसलिए एकैकी नहीं है। चरण 2: \(x^4\ge 0\), इसलिए ऋणात्मक वास्तविक मान नहीं मिलते। चरण 3: सम घात वाले फलनों में अक्सर समान प्रतिबिंब और सीमित परास दोनों बातों पर ध्यान दें।
The domain is \([0,\infty\)), so (x) cannot be negative.
Step 2
Why this answer is correct
From \(y=x^2\), we get \(x=\sqrt{y}\).
Step 3
Exam Tip
\(-\sqrt{y}\) is not allowed because the domain has no negative numbers. चरण 1: प्रांत \([0,\infty\)) है, इसलिए (x) ऋणात्मक नहीं हो सकता। चरण 2: \(y=x^2\) से \(x=\sqrt{y}\) मिलेगा। चरण 3: यहाँ \(-\sqrt{y}\) नहीं लिया जाएगा क्योंकि प्रांत में ऋणात्मक संख्या नहीं है।
Such a function behaves like its own inverse. चरण 1: (f(x)=\frac{1}{x}) है। चरण 2: (f(f(x))=f\left\(\frac{1}{x}\right\)=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x)। चरण 3: ऐसा फलन अपने ही प्रतिलोम जैसा व्यवहार करता है।
A constant function is neither one-one nor onto on \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
Therefore a linear function is bijective only when \(a\ne 0\). चरण 1: यदि (a=0), तो फलन (f(x)=b) स्थिर हो जाएगा। चरण 2: स्थिर फलन न एकैकी होगा और न \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक होगा। चरण 3: इसलिए रैखिक फलन को द्वैक होने के लिए \(a\ne 0\) चाहिए।
Completing the square quickly gives range and minimum value. चरण 1: (x-2+2x+2=(x+1)2+1)। चरण 2: ((x+1)2\ge 0), इसलिए सबसे छोटा मान (1) है। चरण 3: वर्ग पूर्ण करने से परास और न्यूनतम मान जल्दी मिलते हैं।
Since \(x^2+1\ge 1\), and for every \(y\ge 1\), \(x=\sqrt{y-1}\) works.
Step 3
Exam Tip
Reading the codomain correctly is the key. चरण 1: (f(1)=2) और (f(-1)=2), इसलिए यह एकैकी नहीं है। चरण 2: \(x^2+1\ge 1\) और हर \(y\ge 1\) के लिए \(x=\sqrt{y-1}\) मिल जाता है। चरण 3: सहप्रांत को सही पढ़ना इस प्रश्न की मुख्य बात है।
The image of (2) must be different, so (2) choices remain.
Step 3
Exam Tip
Total one-one functions are \(3\times2=6\). चरण 1: (1) का प्रतिबिंब चुनने के (3) तरीके हैं। चरण 2: (2) का प्रतिबिंब अलग होना चाहिए, इसलिए (2) तरीके बचते हैं। चरण 3: कुल एकैकी फलन \(3\times2=6\) होंगे।
For finite sets with equal size, a bijection is like a permutation.
Step 2
Why this answer is correct
There are (3!) ways to assign (3) distinct images.
Step 3
Exam Tip
Since (3!=6), there are (6) bijective functions. चरण 1: समान संख्या वाले सीमित समुच्चयों में द्वैक फलन एक प्रकार का क्रमविन्यास होता है। चरण 2: (3) अवयवों को (3) अलग प्रतिबिंब देने के (3!) तरीके हैं। चरण 3: (3!=6), इसलिए कुल द्वैक फलन (6) होंगे।
D. यह न एकैकी न आच्छादक/It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
\(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
The range of \(\sin x\) is ([-1,1]), so it is not onto \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
For trigonometric functions, check periodicity and range. चरण 1: \(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\), इसलिए यह एकैकी नहीं है। चरण 2: \(\sin x\) का परास ([-1,1]) है, इसलिए यह पूरी \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक नहीं है। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलनों में आवर्तिता और परास दोनों जाँचें।
On the given interval, \(\sin x\) is strictly increasing, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Its range on this interval is exactly ([-1,1]).
Step 3
Exam Tip
Restricting the domain can make the same function bijective. चरण 1: दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) सख्ती से बढ़ता है, इसलिए एकैकी है। चरण 2: इस अंतराल में इसका परास ठीक ([-1,1]) है। चरण 3: प्रांत को सीमित करने से वही फलन द्वैक बन सकता है।
\(\cos 0=1\) and \(\cos 2\pi=1\), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
The range of \(\cos x\) is ([-1,1]), so it is not onto \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
If codomain is \(\mathbb{R}\), a bounded range function is not onto. चरण 1: \(\cos 0=1\) और \(\cos 2\pi=1\), इसलिए फलन एकैकी नहीं है। चरण 2: \(\cos x\) का परास ([-1,1]) है, इसलिए यह \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक नहीं है। चरण 3: सहप्रांत यदि \(\mathbb{R}\) हो तो सीमित परास वाले फलन आच्छादक नहीं होंगे।
On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
On this interval, it takes all values from (1) to (-1).
Step 3
Exam Tip
Hence it is also onto the codomain ([-1,1]). चरण 1: \([0,\pi]\) पर \(\cos x\) सख्ती से घटता है, इसलिए एकैकी है। चरण 2: इस अंतराल पर यह (1) से (-1) तक सभी मान लेता है। चरण 3: इसलिए यह दिए गए सहप्रांत ([-1,1]) पर आच्छादक भी है।
In inverse function questions, translate the statement into the original function. चरण 1: (f^{-1}(k)=4) का अर्थ है (f(4)=k)। चरण 2: (f(4)=2\cdot4+3=11)। चरण 3: प्रतिलोम वाले प्रश्नों में कथन को मूल फलन की भाषा में बदलें।
In composition, always evaluate the inner function first. चरण 1: पहले (g(2)=2+1=3) निकालें। चरण 2: अब (f(g(2))=f(3)=32-1=8)। चरण 3: संयोजन में हमेशा भीतर वाले फलन को पहले हल करें।
Therefore the range is \([1,\infty\)). चरण 1: (x-2-6x+10=(x-3)2+1)। चरण 2: ((x-3)2\ge 0), इसलिए न्यूनतम मान (1) है। चरण 3: अतः परास \([1,\infty\)) होगा।
\(\lfloor 1.2\rfloor=1\) and \(\lfloor 1.8\rfloor=1\), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Its range is only the integers, not all real numbers.
Step 3
Exam Tip
For the greatest integer function, check the range carefully. चरण 1: \(\lfloor 1.2\rfloor=1\) और \(\lfloor 1.8\rfloor=1\), इसलिए यह एकैकी नहीं है। चरण 2: इसका परास केवल पूर्णांक हैं, सभी वास्तविक संख्याएँ नहीं। चरण 3: महानतम पूर्णांक फलन में परास को ध्यान से देखें।
If \(n_1+5=n_2+5\), then \(n_1=n_2\), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
For any \(m\in\mathbb{Z}\), \(n=m-5\in\mathbb{Z}\), so every (m) is attained.
Step 3
Exam Tip
Adding a fixed integer gives a bijection on integers. चरण 1: यदि \(n_1+5=n_2+5\), तो \(n_1=n_2\), इसलिए यह एकैकी है। चरण 2: किसी भी \(m\in\mathbb{Z}\) के लिए \(n=m-5\in\mathbb{Z}\), इसलिए हर (m) मिल जाता है। चरण 3: पूर्णांकों पर नियत जोड़ वाला फलन द्वैक होता है।
From \(2n_1=2n_2\), we get \(n_1=n_2\), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
But odd integers like (1) are not of the form (2n).
Step 3
Exam Tip
On integers, (2n) produces only even integers. चरण 1: \(2n_1=2n_2\) से \(n_1=n_2\), इसलिए फलन एकैकी है। चरण 2: लेकिन विषम पूर्णांक जैसे (1) किसी (2n) के रूप में नहीं मिलते। चरण 3: पूर्णांकों पर (2n) केवल सम पूर्णांक देता है।
(n+1) gives different values for different (n), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
If \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), then (1) is not of the form (n+1).
Step 3
Exam Tip
On natural numbers, always check the first element of the codomain. चरण 1: (n+1) अलग (n) के लिए अलग मान देता है, इसलिए एकैकी है। चरण 2: यदि \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), तो (1) किसी (n+1) के रूप में नहीं मिलेगा। चरण 3: प्राकृतिक संख्याओं पर आरंभिक अवयव की जाँच जरूर करें।
C. नहीं क्योंकि अलग आगत समान प्रतिबिंब दे सकते हैं/No because different inputs can give the same image
Step 1
Concept
(f(0)=0) and (f(-2)=0).
Step 2
Why this answer is correct
Two different inputs (0) and (-2) have the same image.
Step 3
Exam Tip
To disprove one-one property, one counterexample is enough. चरण 1: (f(0)=0) और (f(-2)=0) मिलते हैं। चरण 2: दो अलग आगतों (0) और (-2) का प्रतिबिंब समान है। चरण 3: एकैकी न होने को सिद्ध करने के लिए एक ही मान देने वाले दो अलग आगत दिखाना पर्याप्त है।
The smallest value occurs when (|x-2|=0), that is (x=2), giving minimum (3).
Step 3
Exam Tip
The range of this absolute value function starts from its minimum value. चरण 1: \(|x-2|\ge 0\) होता है। चरण 2: सबसे छोटा मान तब मिलेगा जब (|x-2|=0), अर्थात (x=2), इसलिए न्यूनतम मान (3) है। चरण 3: परिमाप वाले फलन का परास उसके न्यूनतम मान से आगे जाता है।
Substitute (g(x)=x-1) into (f), giving (f(x-1)=|x-1|).
Step 3
Exam Tip
Keep the entire inner expression inside the absolute value. चरण 1: (\(f\circ g\)(x)=f(g(x))) होता है। चरण 2: (g(x)=x-1) को (f) में रखने पर (f(x-1)=|x-1|) मिलेगा। चरण 3: परिमाप में पूरा भीतरी व्यंजक रखना चाहिए।
Two distinct inputs have the same image, so the function is not one-one. चरण 1: (f(0)=03-3\cdot0=0)। चरण 2: (f\(\sqrt{3}\)=\(\sqrt{3}\)3-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0)। चरण 3: दो अलग आगतों का समान प्रतिबिंब मिल गया, इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
In an onto function, every element of (B) is the image of some element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (f(A)=B).
Step 3
Exam Tip
Hence (f(A)) has (5) elements. चरण 1: आच्छादक फलन में (B) का हर अवयव (A) के किसी अवयव का प्रतिबिंब होता है। चरण 2: इसलिए (f(A)=B) होता है। चरण 3: अतः (f(A)) में भी (5) अवयव होंगे।
In a one-one function, distinct elements of (A) have distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
Since (A) has (6) elements, there will be (6) distinct images.
Step 3
Exam Tip
Therefore (f(A)) has (6) elements. चरण 1: एकैकी फलन में अलग-अलग (A) अवयवों के प्रतिबिंब अलग-अलग होते हैं। चरण 2: (A) में (6) अवयव हैं, इसलिए (6) अलग प्रतिबिंब मिलेंगे। चरण 3: अतः (f(A)) में (6) अवयव होंगे।
B. क्योंकि (-2) कोई प्रतिबिंब नहीं है/Because (-2) is not an image
Step 1
Concept
Since \(x^2\ge 0\), we have \(x^2-1\ge -1\).
Step 2
Why this answer is correct
A value like (-2) is less than (-1), so it can never be attained.
Step 3
Exam Tip
To disprove onto property, one missing codomain element is enough. चरण 1: \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2-1\ge -1\)। चरण 2: (-2) जैसा मान (-1) से छोटा है, इसलिए वह कभी नहीं मिल सकता। चरण 3: आच्छादक न होने के लिए सहप्रांत का एक छूटा हुआ अवयव दिखाना काफी है।
For (x>0), the value is \(\frac{x}{1+x}\), which lies between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
For (x<0), the value is \(\frac{x}{1-x}\), which lies between (-1) and (0).
Step 3
Exam Tip
The values (1) and (-1) are approached but not attained, so the range is ((-1,1)). चरण 1: (x>0) पर मान \(\frac{x}{1+x}\) होता है, जो (0) से (1) के बीच रहता है। चरण 2: (x<0) पर मान \(\frac{x}{1-x}\) होता है, जो (-1) से (0) के बीच रहता है। चरण 3: मान (1) और (-1) तक पहुँचते नहीं, इसलिए परास ((-1,1)) है।
The function is strictly increasing because the odd power terms along with (x) increase consistently.
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to\infty\), the function goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
Hence it is both one-one and onto on \(\mathbb{R}\). चरण 1: यह फलन सख्ती से बढ़ता है क्योंकि उच्च विषम घातों के साथ (x) का प्रभाव लगातार बढ़ता है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर फलन \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: इसलिए यह एकैकी भी है और \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक भी है।
For (x<0), values lie in (\(-\infty,-1\)), and for \(x\ge0\), values lie in \([1,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
The two parts do not overlap, so the function is one-one.
Step 3
Exam Tip
But values in ((-1,1)) are missing, so it is not onto. चरण 1: (x<0) पर मान (\(-\infty,-1\)) में आते हैं और \(x\ge0\) पर मान \([1,\infty\)) में आते हैं। चरण 2: दोनों भागों के मान आपस में नहीं मिलते, इसलिए फलन एकैकी है। चरण 3: लेकिन ((-1,1)) के मान नहीं मिलते, इसलिए यह आच्छादक नहीं है।
The cubic expression ((x-2)3) is strictly increasing, so distinct inputs give distinct outputs and every real value is attained.
Step 3
Exam Tip
In exams, convert such polynomials into shifted cubic form to identify one-one and onto properties quickly. चरण 1: (x-3-6x-2+12x+1=(x-2)3+9) लिखा जा सकता है। चरण 2: घन फलन ((x-2)3) सख्ती से बढ़ता है, इसलिए अलग आगतों पर अलग मान मिलते हैं और हर वास्तविक मान प्राप्त होता है। चरण 3: परीक्षा में ऐसे बहुपद को पहले घन रूप में बदलकर एकैकी और आच्छादकता जल्दी पहचानें।
For (x<0), (2x+1) gives values in (\(-\infty,1\)), and for \(x\ge0\), \(x^2+1\) gives values in \([1,\infty\)), so the range is all of \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
Both parts are increasing on their domains, and their ranges do not overlap, so different inputs cannot have the same output.
Step 3
Exam Tip
Hence the function is both one-one and onto, so it is bijective. चरण 1: (x<0) पर (2x+1) के मान (\(-\infty,1\)) में आते हैं और \(x\ge0\) पर \(x^2+1\) के मान \([1,\infty\)) में आते हैं, इसलिए परास पूरी \(\mathbb{R}\) है। चरण 2: लेकिन (f(0)=1) और (f\left\(-\frac{1}{2}\right\)=0) अलग मान हैं, इसलिए एकैकी जाँच के लिए बेहतर उदाहरण लें: (f\left\(-\frac{1}{4}\right\)=\frac{1}{2}) और यह मान दूसरे भाग से नहीं आता; फिर भी पहले भाग सख्ती से बढ़ता है और दूसरे भाग भी सख्ती से बढ़ता है तथा दोनों परास अलग हैं। चरण 3: अतः यह वास्तव में एकैकी और आच्छादक दोनों है, इसलिए सही निष्कर्ष द्वैक होना चाहिए।
The expression \(x^3+x\) increases continuously as (x) increases, so two different inputs cannot give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
Its values cover all real numbers from very negative to very positive.
Step 3
Exam Tip
A function that is both one-one and onto is also invertible. चरण 1: \(x^3+x\) में (x) बढ़ने पर मान लगातार बढ़ता है इसलिए दो अलग (x) का मान समान नहीं हो सकता। चरण 2: बहुत बड़े ऋणात्मक से बहुत बड़े धनात्मक मान तक फलन सभी वास्तविक मान ले सकता है। चरण 3: जब फलन एकैकी और आच्छादी दोनों हो तो वह व्युत्क्रमणीय भी होता है।
(f(1)=2) and (f(-1)=2), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(x^2+1\geq 1\), real values like (0) are not in the range.
Step 3
Exam Tip
For square functions, always check both domain and codomain before deciding the type. चरण 1: (f(1)=2) और (f(-1)=2) इसलिए यह एकैकी नहीं है। चरण 2: \(x^2+1\geq 1\) होता है इसलिए (0) जैसे वास्तविक मान परास में नहीं आते। चरण 3: वर्ग वाले फलनों में प्रांत और सहप्रांत ध्यान से देखकर ही निष्कर्ष निकालें।
On both negative and positive sides, the function increases and the order remains consistent at (0).
Step 2
Why this answer is correct
Its values always lie between (-1) and (1), and every value in that interval is attained.
Step 3
Exam Tip
When the codomain is exactly the natural range, check for onto carefully. चरण 1: ऋणात्मक भाग और धनात्मक भाग दोनों में फलन बढ़ता है और (0) पर भी क्रम बना रहता है। चरण 2: इसका मान सदैव (-1) और (1) के बीच रहता है और बीच का हर मान मिल जाता है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में सहप्रांत अगर परास के बराबर दिया हो तो आच्छादी होने की संभावना जाँचें।
Adding (1) to different natural numbers gives different values, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(1) is in the codomain, but no \(n\in\mathbb{N}\) satisfies (n+1=1).
Step 3
Exam Tip
In natural number functions, the first element often helps test onto. चरण 1: अलग प्राकृतिक संख्याओं में (1) जोड़ने पर अलग मान मिलते हैं इसलिए फलन एकैकी है। चरण 2: (1) सहप्रांत में है पर किसी \(n\in\mathbb{N}\) के लिए (n+1=1) नहीं हो सकता। चरण 3: प्राकृतिक संख्याओं वाले प्रश्नों में पहला तत्व अक्सर आच्छादीपन को तोड़ देता है।
A. यह एकैकी है पर आच्छादी नहीं/It is one-one but not onto
Step 1
Concept
(2n+1) gives different odd integers for different integers, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Even integers such as (0) are in the codomain but are not obtained from any integer (n).
Step 3
Exam Tip
For linear functions, the codomain can change whether the function is onto. चरण 1: (2n+1) में अलग पूर्णांकों पर अलग विषम पूर्णांक मिलते हैं इसलिए फलन एकैकी है। चरण 2: (0) जैसे सम पूर्णांक सहप्रांत में हैं पर किसी (n) से (2n+1=0) पूर्णांक (n) नहीं देता। चरण 3: रैखिक फलन में सहप्रांत बदलने से आच्छादीपन बदल सकता है।
\(e^x\) is strictly increasing, so different inputs give different outputs.
Step 2
Why this answer is correct
It is never (0) or negative, and every positive value can occur.
Step 3
Exam Tip
Because the codomain is (\(0,\infty\)), the function is onto. चरण 1: \(e^x\) सदा बढ़ने वाला फलन है इसलिए अलग (x) पर अलग मान मिलते हैं। चरण 2: इसका मान कभी (0) या ऋणात्मक नहीं होता और हर धनात्मक मान मिल सकता है। चरण 3: सहप्रांत (\(0,\infty\)) होने से यह आच्छादी बन जाता है।
Do not reverse the order in composition because \(g\circ f\) and \(f\circ g\) are usually different. चरण 1: (\(g\circ f\)(x)) का अर्थ है (g(f(x)))। चरण 2: (g(2x-3)=(2x-3)2+1=4x-2-12x+10)। चरण 3: समिश्र फलन में क्रम न बदलें क्योंकि \(g\circ f\) और \(f\circ g\) सामान्यतः अलग होते हैं।
Replace (y) by (x) to get (f^{-1}(x)=\frac{x-4}{3}). चरण 1: (y=3x+4) लिखकर (x) को (y) के रूप में निकालें। चरण 2: (y-4=3x) इसलिए \(x=\frac{y-4}{3}\)। चरण 3: अंत में (y) की जगह (x) लिखने से (f^{-1}(x)=\frac{x-4}{3}) मिलता है।
For (y=1), the equation becomes impossible, so (1) is not in the range. चरण 1: मान लें \(y=\frac{x-2}{x+3}\)। चरण 2: (yx+3y=x-2) से (x(y-1)=-(2+3y)) मिलता है। चरण 3: (y=1) रखने पर समीकरण असंभव हो जाता है इसलिए (1) परास में नहीं आता।
Therefore (f) must be one-one, but (g) need not always be one-one. चरण 1: यदि (f(a)=f(b)) हो तो (g(f(a))=g(f(b))) होगा। चरण 2: \(g\circ f\) एकैकी है इसलिए (a=b) होना पड़ेगा। चरण 3: इसलिए (f) अवश्य एकैकी है पर (g) के लिए ऐसा निष्कर्ष हमेशा नहीं निकलता।
If \(g\circ f\) is onto, every element of the final codomain is obtained as (g(f(x))).
Step 2
Why this answer is correct
Hence every such element is also obtained as a value of (g).
Step 3
Exam Tip
Therefore (g) must be onto, but (f) need not be onto. चरण 1: \(g\circ f\) आच्छादी है तो अंतिम सहप्रांत का हर तत्व (g(f(x))) के रूप में मिलता है। चरण 2: इसका अर्थ है वही तत्व (g) के मान के रूप में भी मिल रहा है। चरण 3: इसलिए (g) आच्छादी होना आवश्यक है लेकिन (f) के बारे में हमेशा ऐसा नहीं कहा जा सकता।
In a one-one function, different elements of (A) must go to different elements of (B).
Step 2
Why this answer is correct
The count is \(^{6}P_{4}=6\cdot5\cdot4\cdot3=360\).
Step 3
Exam Tip
Repetition of images is not allowed in one-one functions. चरण 1: एकैकी फलन में (A) के अलग तत्वों को (B) के अलग तत्वों से जोड़ना होता है। चरण 2: संख्या \(^{6}P_{4}=6\cdot5\cdot4\cdot3=360\) होगी। चरण 3: एकैकी फलनों में पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं होती।
For (3) elements, the total number is \(5^3=125\).
Step 3
Exam Tip
In total functions, repeated images are allowed. चरण 1: (A) के हर तत्व के लिए (B) में (5) चुनाव हैं। चरण 2: कुल (3) तत्वों के लिए संख्या \(5^3=125\) होगी। चरण 3: कुल फलनों में एक ही प्रतिबिंब कई तत्वों के लिए आ सकता है।
Non-onto functions send all elements of (A) to only one element of (B), so there are (2) such functions.
Step 3
Exam Tip
Hence the number of onto functions is (8-2=6). चरण 1: कुल फलन \(2^3=8\) हैं। चरण 2: आच्छादी न होने वाले फलनों में सभी तत्व (B) के केवल एक ही तत्व पर जाते हैं ऐसे (2) फलन हैं। चरण 3: इसलिए आच्छादी फलन (8-2=6) हैं।
For finite sets of equal size, bijective functions correspond to permutations.
Step 2
Why this answer is correct
The number is (4!=24).
Step 3
Exam Tip
A bijection uses every image exactly once. चरण 1: समान संख्या वाले सीमित समुच्चयों में द्वैकीय फलन क्रमचयों के बराबर होते हैं। चरण 2: संख्या (4!=24) होगी। चरण 3: द्वैकीय फलन में हर तत्व का अलग और पूरा उपयोग होता है।
An invertible function must be both one-one and onto.
Step 2
Why this answer is correct
If (a=0), the function becomes constant and is not one-one.
Step 3
Exam Tip
Therefore the linear function is invertible when \(a\neq0\). चरण 1: व्युत्क्रमणीय फलन के लिए एकैकी और आच्छादी दोनों होना आवश्यक है। चरण 2: यदि (a=0) तो फलन स्थिर हो जाएगा और एकैकी नहीं रहेगा। चरण 3: इसलिए \(a\neq0\) होने पर रैखिक फलन व्युत्क्रमणीय है।
(f(2)=2) and (f(-2)=2), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Every value \(y\geq0\) in the codomain is obtained by taking (x=y).
Step 3
Exam Tip
In modulus functions, opposite signs can give the same output. चरण 1: (f(2)=2) और (f(-2)=2) इसलिए यह एकैकी नहीं है। चरण 2: सहप्रांत का हर मान \(y\geq0\) किसी (x=y) से मिल जाता है। चरण 3: मापांक फलन में चिन्ह बदलने से समान मान आ सकता है।
(f(2)=\frac{5}{2}) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{5}{2}), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(x+\frac{1}{x}\geq2\) for (x>0), negative values are not obtained.
Step 3
Exam Tip
For such functions, compare (x) and \(\frac{1}{x}\). चरण 1: (f(1)=2) और (f\left\(\frac{1}{1}\right\)=2) से अलग उदाहरण नहीं मिलता लेकिन (f(2)=\frac{5}{2}) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{5}{2}) से एकैकीपन टूटता है। चरण 2: \(x+\frac{1}{x}\geq2\) इसलिए ऋणात्मक मान नहीं मिलते। चरण 3: ऐसे फलनों में (x) और \(\frac{1}{x}\) की जोड़ी पर ध्यान दें।
On \(x\geq0\), \(x^2\) is increasing, so different inputs give different outputs.
Step 2
Why this answer is correct
Every \(y\geq0\) is obtained by \(x=\sqrt{y}\).
Step 3
Exam Tip
Restricting the domain to \([0,\infty\)) makes the square function invertible. चरण 1: \(x\geq0\) पर \(x^2\) बढ़ता है इसलिए अलग (x) पर अलग मान मिलते हैं। चरण 2: सहप्रांत का हर \(y\geq0\) मान \(x=\sqrt{y}\) से मिल जाता है। चरण 3: प्रांत को \([0,\infty\)) करने से वर्ग फलन व्युत्क्रमणीय बन जाता है।
A. फलन एकैकी और आच्छादी है/The function is one-one and onto
Step 1
Concept
From \(y=\frac{2x+3}{x-1}\), we get \(x=\frac{y+3}{y-2}\).
Step 2
Why this answer is correct
For every \(y\neq2\), exactly one (x) is obtained.
Step 3
Exam Tip
Therefore with codomain \(\mathbb{R}-{2}\), the function is bijective. चरण 1: \(y=\frac{2x+3}{x-1}\) से \(x=\frac{y+3}{y-2}\) मिलता है। चरण 2: (y=2) को छोड़कर हर (y) के लिए ठीक एक (x) मिलता है। चरण 3: इसलिए दिए गए सहप्रांत \(\mathbb{R}-{2}\) में फलन द्वैकीय है।
Thus \(x=\frac{5y+1}{3-2y}\), and replacing (y) by (x) gives the inverse. चरण 1: \(y=\frac{3x-1}{2x+5}\) लिखें। चरण 2: (2xy+5y=3x-1) से (x(3-2y)=5y+1) मिलता है। चरण 3: अतः \(x=\frac{5y+1}{3-2y}\) और (y) की जगह (x) रखने पर व्युत्क्रम मिलता है।
Substitute the inner function first, then apply the outer function. चरण 1: (\(g\circ f\)(x)=g(f(x))) होता है। चरण 2: (g\(x^2+1\)=2\(x^2+1\)-3=2x-2-1)। चरण 3: पहले अंदर वाले फलन का मान रखें फिर बाहर वाले फलन को लगाएँ।
B. दोनों सामान्यतः अलग हैं/They are generally different
Step 1
Concept
(\(f\circ g\)(x)=x-2+2).
Step 2
Why this answer is correct
(\(g\circ f\)(x)=(x+2)2).
Step 3
Exam Tip
Changing the order of composition generally changes the result. चरण 1: (\(f\circ g\)(x)=x-2+2) है। चरण 2: (\(g\circ f\)(x)=(x+2)2) है। चरण 3: समिश्र फलनों में क्रम बदलने से परिणाम सामान्यतः बदल जाता है।
If (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\)), then (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))).
Step 2
Why this answer is correct
Since (g) is one-one, (f\(a_1\)=f\(a_2\)), and since (f) is one-one, \(a_1=a_2\).
Step 3
Exam Tip
The composition of two one-one functions is one-one. चरण 1: यदि (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\)) हो तो (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\)))। चरण 2: (g) एकैकी है इसलिए (f\(a_1\)=f\(a_2\)), और (f) एकैकी है इसलिए \(a_1=a_2\)। चरण 3: दो एकैकी फलनों का समिश्र भी एकैकी होता है।
Since (g) is onto, it is the image of some element of (B), and since (f) is onto, that element of (B) comes from some element of (A).
Step 3
Exam Tip
Therefore \(g\circ f\) reaches every element of (C). चरण 1: (C) का कोई भी तत्व लें। चरण 2: (g) आच्छादी है इसलिए वह किसी (B) के तत्व का प्रतिबिंब है और (f) आच्छादी है इसलिए वह (B) का तत्व किसी (A) से आता है। चरण 3: इसलिए \(g\circ f\) भी (C) के हर तत्व तक पहुँचता है।
A. द्वैकीय लेकिन सर्वसमिका नहीं/Bijective but not identity
Step 1
Concept
Every element of (A) has exactly one image, so it is a function.
Step 2
Why this answer is correct
The images (2,3,1) are distinct and cover all of (A).
Step 3
Exam Tip
Since (1) does not map to (1), it is not the identity function. चरण 1: (A) के हर तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब है इसलिए यह फलन है। चरण 2: प्रतिबिंब (2,3,1) अलग-अलग हैं और पूरा (A) मिल जाता है। चरण 3: क्योंकि (1) का प्रतिबिंब (1) नहीं है इसलिए यह सर्वसमिका फलन नहीं है।
In a function, each element of the domain must have exactly one image.
Step 2
Why this answer is correct
In the first option, both (1) and (2) have exactly one image.
Step 3
Exam Tip
If an element has two images or is missing, it is not a function. चरण 1: फलन में प्रांत के हर तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब होना चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में (1) और (2) दोनों का एक-एक प्रतिबिंब है। चरण 3: किसी तत्व के दो प्रतिबिंब हों या कोई तत्व छूट जाए तो वह फलन नहीं होता।
A. एक ही प्रांत तत्व के दो अलग प्रतिबिंब हों/One domain element has two different images
Step 1
Concept
The basic condition for a function is that each input has exactly one output.
Step 2
Why this answer is correct
If one input has two different outputs, the rule is not well-defined.
Step 3
Exam Tip
Two inputs may have the same output, but then the function is not one-one. चरण 1: फलन की मूल शर्त है कि हर आगत का ठीक एक निर्गत हो। चरण 2: यदि एक ही आगत के दो अलग निर्गत हैं तो नियम निश्चित नहीं है। चरण 3: दो आगतों का एक ही निर्गत हो सकता है पर तब फलन एकैकी नहीं होगा।
The expression inside the square root must be non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
\(x-4\geq0\) gives \(x\geq4\).
Step 3
Exam Tip
For square-root functions, set the radicand greater than or equal to (0). चरण 1: वर्गमूल के अंदर की मात्रा ऋणात्मक नहीं होनी चाहिए। चरण 2: \(x-4\geq0\) से \(x\geq4\) मिलता है। चरण 3: वर्गमूल वाले फलनों में अंदर की मात्रा को (0) से बड़ा या बराबर रखें।
Since the square root is in the denominator, (x-2=0) is not allowed.
Step 3
Exam Tip
Combining both conditions gives (x>2). चरण 1: वर्गमूल के लिए \(x-2\geq0\) चाहिए। चरण 2: हर में वर्गमूल है इसलिए (x-2=0) नहीं हो सकता। चरण 3: दोनों शर्तों से (x>2) मिलता है।
The expression inside the square root must satisfy \(9-x^2\geq0\).
Step 2
Why this answer is correct
This gives \(x^2\leq9\), so \(-3\leq x\leq3\).
Step 3
Exam Tip
In square inequalities, remember both lower and upper bounds. चरण 1: वर्गमूल के अंदर \(9-x^2\geq0\) होना चाहिए। चरण 2: इससे \(x^2\leq9\) यानी \(-3\leq x\leq3\) मिलता है। चरण 3: वर्ग वाले असमानताओं में दोनों ओर की सीमा याद रखें।
(f(1)=1) and (f(-1)=1), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(x^4\geq0\), negative real numbers are not in the range.
Step 3
Exam Tip
For even powers, check both sign symmetry and range. चरण 1: (f(1)=1) और (f(-1)=1) इसलिए फलन एकैकी नहीं है। चरण 2: \(x^4\geq0\) इसलिए ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ परास में नहीं आतीं। चरण 3: सम घात वाले फलनों में चिन्ह और परास दोनों जाँचें।
Every \(y\geq0\) is obtained using \(x=\sqrt[4]{y}\).
Step 3
Exam Tip
Changing the codomain can make the same function onto. चरण 1: (f(2)=16) और (f(-2)=16) इसलिए यह एकैकी नहीं है। चरण 2: सहप्रांत का हर \(y\geq0\) मान \(x=\sqrt[4]{y}\) से मिल जाता है। चरण 3: सहप्रांत बदलने से वही फलन आच्छादी बन सकता है।
A. यह एकैकी है पर आच्छादी नहीं/It is one-one but not onto
Step 1
Concept
Cubes of different integers are different, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Not every integer is a cube; for example, (2) is not the cube of any integer.
Step 3
Exam Tip
For power functions on integers, examine the range carefully. चरण 1: अलग पूर्णांकों के घन अलग होते हैं इसलिए फलन एकैकी है। चरण 2: सभी पूर्णांक घन नहीं होते जैसे (2) किसी पूर्णांक का घन नहीं है। चरण 3: पूर्णांक प्रांत में घात फलन का परास ध्यान से देखें।
Adding (1) to different rational numbers gives different rational numbers.
Step 2
Why this answer is correct
For any rational (y), (x=y-1) is also rational, so every (y) is obtained.
Step 3
Exam Tip
Rational numbers are closed under addition and subtraction. चरण 1: अलग परिमेय संख्याओं में (1) जोड़ने पर अलग परिमेय संख्याएँ मिलती हैं। चरण 2: किसी भी परिमेय (y) के लिए (x=y-1) भी परिमेय है इसलिए हर (y) मिल जाता है। चरण 3: परिमेय संख्याओं में जोड़ और घटाव बंद रहते हैं।
Negative rational numbers cannot be squares of rational numbers.
Step 3
Exam Tip
In square functions, positive and negative inputs can give the same value. चरण 1: (f(1)=1) और (f(-1)=1) इसलिए एकैकी नहीं है। चरण 2: ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ किसी परिमेय के वर्ग के रूप में नहीं मिलतीं। चरण 3: वर्ग फलन में ऋणात्मक और धनात्मक दोनों आगतों से समान मान मिल सकता है।
For an inverse function, every output must correspond back to exactly one input.
Step 2
Why this answer is correct
One-one prevents multiple inputs, and onto ensures every codomain element is covered.
Step 3
Exam Tip
Hence being bijective is necessary and sufficient for an inverse function. चरण 1: व्युत्क्रम के लिए हर निर्गत से ठीक एक आगत वापस मिलना चाहिए। चरण 2: एकैकीपन एक से अधिक आगतों को रोकता है और आच्छादीपन हर सहप्रांत तत्व को कवर करता है। चरण 3: इसलिए व्युत्क्रम फलन के लिए द्वैकीय होना आवश्यक और पर्याप्त है।
Then \(f^{-1}\) brings it back to the original element.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(f^{-1}\circ f\) is the identity function on (A). चरण 1: पहले (f) किसी (A) के तत्व को (B) में भेजता है। चरण 2: फिर \(f^{-1}\) उसे वापस उसी मूल तत्व पर ले आता है। चरण 3: इसलिए \(f^{-1}\circ f\) प्रांत (A) पर सर्वसमिका फलन है।
A binary operation on (A) is a function from \(A\times A\) to (A).
Step 2
Why this answer is correct
\(A\times A\) has \(n^2\) ordered pairs, and each pair has (n) choices.
Step 3
Exam Tip
Therefore the total number is \(n^{n^2}\). चरण 1: द्विचर संक्रिया \(A\times A\) से (A) में एक फलन होती है। चरण 2: \(A\times A\) में \(n^2\) क्रमित युग्म होते हैं और हर युग्म के लिए (n) चुनाव हैं। चरण 3: इसलिए कुल संख्या \(n^{n^2}\) होती है।
Each element of the domain has (3) choices in the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
Since there are (3) elements, the count is \(3^3=27\).
Step 3
Exam Tip
In counting all functions, repeated images are allowed. चरण 1: प्रांत के प्रत्येक तत्व के लिए सहप्रांत में (3) चुनाव हैं। चरण 2: कुल (3) तत्व होने से संख्या \(3^3=27\) है। चरण 3: कुल फलनों की गिनती में प्रतिबिंब दोहराए जा सकते हैं।
In a constant function, all elements of (A) go to the same element of (B).
Step 2
Why this answer is correct
That single element can be any of the (5) elements of (B).
Step 3
Exam Tip
Hence the number of constant functions equals the number of elements in the codomain. चरण 1: स्थिर फलन में (A) के सभी तत्व (B) के एक ही तत्व पर जाते हैं। चरण 2: वह एक तत्व (B) के (5) तत्वों में से कोई भी हो सकता है। चरण 3: इसलिए स्थिर फलनों की संख्या सहप्रांत के तत्वों की संख्या के बराबर होती है।
For a finite set, a one-one function from (A) to (A) gives distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
Since the domain and codomain have the same number of elements, all codomain elements are used.
Step 3
Exam Tip
On finite equal sets, one-one implies onto. चरण 1: सीमित समुच्चय में (A) से (A) तक एकैकी फलन अलग-अलग प्रतिबिंब देता है। चरण 2: जितने तत्व प्रांत में हैं उतने ही सहप्रांत में हैं इसलिए सभी सहप्रांत तत्व उपयोग हो जाते हैं। चरण 3: सीमित समान समुच्चय पर एकैकी और आच्छादी बराबर प्रभाव रखते हैं।
For finite equal sets, if two domain elements had the same image, some codomain element would be left unused.
Step 3
Exam Tip
Therefore an onto function from (A) to (A) is also one-one. चरण 1: आच्छादी होने से सहप्रांत का हर तत्व उपयोग होता है। चरण 2: सीमित समान समुच्चय में यदि कोई दो प्रांत तत्व एक ही प्रतिबिंब लेते तो कोई सहप्रांत तत्व छूट जाता। चरण 3: इसलिए (A) से (A) में आच्छादी फलन एकैकी भी होता है।
In fractional compositions, simplify the denominator carefully. चरण 1: (\(f\circ f\)(x)=f(f(x))) है। चरण 2: (f(f(x))=\frac{1}{\frac{1}{x+1}+1}=\frac{x+1}{x+2})। चरण 3: भिन्न वाले समिश्र फलनों में हर को सावधानी से सरल करें।
Squaring both sides gives \(y^2=x-2\), so \(x=y^2+2\).
Step 3
Exam Tip
When writing the inverse, the domain and range are interchanged. चरण 1: \(y=\sqrt{x-2}\) लिखें। चरण 2: दोनों ओर वर्ग करने पर \(y^2=x-2\) इसलिए \(x=y^2+2\)। चरण 3: व्युत्क्रम लिखते समय नए प्रांत और परास भी बदल जाते हैं।
(f(0)=0), (f\(\sqrt{3}\)=0), and (f\(-\sqrt{3}\)=0), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
A cubic polynomial goes from very negative to very positive values, so every real value is attained.
Step 3
Exam Tip
A cubic function need not always be one-one. चरण 1: (f(0)=0), (f\(\sqrt{3}\)=0) और (f\(-\sqrt{3}\)=0) से एकैकीपन टूटता है। चरण 2: घन बहुपद के मान बहुत ऋणात्मक से बहुत धनात्मक तक जाते हैं इसलिए हर वास्तविक मान मिलता है। चरण 3: घन फलन हमेशा एकैकी हो यह जरूरी नहीं है।
A. एकैकी फलन संभव नहीं पर आच्छादी फलन संभव है/One-one function is impossible but onto function is possible
Step 1
Concept
(A) has (5) elements and (B) has (3), so it is impossible to assign distinct images to all (5) elements.
Step 2
Why this answer is correct
But it is possible to cover all (3) elements of (B) using (5) elements of (A).
Step 3
Exam Tip
For finite sets, first compare cardinalities. चरण 1: (A) में (5) तत्व और (B) में (3) तत्व हैं इसलिए सभी (5) तत्वों को अलग प्रतिबिंब देना संभव नहीं है। चरण 2: लेकिन (B) के (3) तत्वों को (A) के (5) तत्वों से कवर करना संभव है। चरण 3: सीमित समुच्चयों में तत्वों की संख्या से पहले संभावना जाँचें।
Therefore \(|x-2|+3\geq3\), and at (x=2), the value is (3).
Step 3
Exam Tip
For modulus functions, the minimum is found by making the inside expression zero. चरण 1: \(|x-2|\geq0\) हमेशा होता है। चरण 2: इसलिए \(|x-2|+3\geq3\) और (x=2) पर मान (3) मिलता है। चरण 3: मापांक फलन का न्यूनतम मान अंदर की मात्रा शून्य करके मिलता है।
A. यह स्वयं का व्युत्क्रम है/It is its own inverse
Step 1
Concept
If \(x\neq0\), then \(\frac{1}{x}\neq0\), so the function is well-defined.
Step 2
Why this answer is correct
(f(f(x))=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x).
Step 3
Exam Tip
When \(f\circ f\) is the identity, the function is its own inverse. चरण 1: \(x\neq0\) होने पर \(\frac{1}{x}\) भी शून्य नहीं होता इसलिए फलन ठीक से परिभाषित है। चरण 2: (f(f(x))=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x) मिलता है। चरण 3: जब \(f\circ f\) सर्वसमिका हो तो फलन स्वयं का व्युत्क्रम होता है।
A. फलन एकैकी और आच्छादी है/The function is one-one and onto
Step 1
Concept
The function \(x^5+x^3+x\) is strictly increasing because its derivative \(5x^4+3x^2+1\) is always positive.
Step 2
Why this answer is correct
For very large negative (x), the value becomes very negative, and for very large positive (x), the value becomes very positive, so every real value is attained.
Step 3
Exam Tip
For increasing odd-power polynomials, check both one-one and onto carefully. चरण 1: \(x^5+x^3+x\) में (x) बढ़ने पर फलन लगातार बढ़ता है क्योंकि इसकी ढाल \(5x^4+3x^2+1\) हमेशा धनात्मक रहती है। चरण 2: बहुत बड़े ऋणात्मक (x) पर मान बहुत ऋणात्मक और बहुत बड़े धनात्मक (x) पर मान बहुत धनात्मक हो जाता है, इसलिए हर वास्तविक मान मिल जाता है। चरण 3: विषम घातों वाले बढ़ते बहुपद में एकैकीपन और आच्छादीपन दोनों ध्यान से जाँचें।
