यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-3 -3x+1) से दिया गया है, तो (f) के एकैकी होने के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x-3 -3x+1), which statement about (f) being one-one is correct?
#functions
#one-one
#counterexample
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? Hint Small clue
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह केवल धनात्मक संख्याओं पर आच्छादी है / It is onto only on positive numbers
D यह स्थिर फलन है / It is a constant function
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Correct Answer
B. यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
एकैकी न होने के लिए दो अलग आगतों पर समान मान दिखाना पर्याप्त है। / To disprove one-one, it is enough to find two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=1) और (f\(\sqrt{3}\)=1), जबकि \(0\neq\sqrt{3}\)। / (f(0)=1) and (f\(\sqrt{3}\)=1), while \(0\neq\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
बहुपद फलन में एक छोटा प्रतिवाद एकैकीपन को तुरंत तोड़ देता है। / For polynomial functions, one clear counterexample quickly settles one-one behaviour.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-3 +x+5) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x-3 +x+5), which statement about (f) is correct?
#bijection
#polynomial
#real function
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? Hint Small clue
A यह द्विआधारी है / It is bijective
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
D यह केवल स्थिर मान देता है / It gives only a constant value
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह द्विआधारी है / It is bijective
Step 1
Concept
\(x^3+x+5\) वास्तविक रेखा पर लगातार बढ़ता है, इसलिए अलग आगत अलग निर्गत देते हैं। / \(x^3+x+5\) is strictly increasing, so different inputs give different outputs.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
बढ़ता हुआ और पूरा वास्तविक परास लेने वाला फलन द्विआधारी होता है। / A strictly increasing function covering all real values is bijective.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{2}\to\mathbb{R}\setminus{3}\) को (f(x)=\frac{3x+1}{x-2}) से दिया गया है, तो (f^{-1}(x)) क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{2}\to\mathbb{R}\setminus{3}\) is given by (f(x)=\frac{3x+1}{x-2}), what is (f^{-1}(x))?
#inverse function
#rational function
#algebra
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A \(\frac{2x+1}{x-3}\)
B \(\frac{x-2}{3x+1}\)
C \(\frac{3x-1}{x+2}\)
D \(\frac{2x-1}{x+3}\)
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Correct Answer
A. \(\frac{2x+1}{x-3}\)
Step 1
Concept
\(y=\frac{3x+1}{x-2}\) मानकर (x) को अलग करें। / Put \(y=\frac{3x+1}{x-2}\) and isolate (x).
Step 2
Why this answer is correct
(y(x-2)=3x+1) से (x(y-3)=2y+1) मिलता है। / From (y(x-2)=3x+1), we get (x(y-3)=2y+1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(x=\frac{2y+1}{y-3}\), और चर बदलने पर प्रतिलोम मिल जाता है। / Hence \(x=\frac{2y+1}{y-3}\), and replacing (y) by (x) gives the inverse.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=ax+b) से परिभाषित किया गया है और \(f\circ f\) तत्समक फलन है, तो (a,b) के लिए कौन सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=ax+b) and \(f\circ f\) is the identity function, which statement about (a,b) is correct?
#composition
#identity function
#parameter
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A (a=1,b=0) या \(a=-1,b\in\mathbb{R}\) / (a=1,b=0) or \(a=-1,b\in\mathbb{R}\)
B (a=0,b=1)
C \(a=1,b\neq0\)
D (a=2,b=0)
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Correct Answer
A. (a=1,b=0) या \(a=-1,b\in\mathbb{R}\) / (a=1,b=0) or \(a=-1,b\in\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
(f(f(x))=a(ax+b)+b=a-2 x+b(a+1))। / (f(f(x))=a(ax+b)+b=a-2 x+b(a+1)).
Step 2
Why this answer is correct
इसे (x) के बराबर करने पर \(a^2=1\) और (b(a+1)=0) मिलता है। / Equating it with (x) gives \(a^2=1\) and (b(a+1)=0).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (a=1) पर (b=0), और (a=-1) पर (b) कोई भी वास्तविक हो सकता है। / Hence (a=1,b=0), or (a=-1) with any real (b).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 -6x+11) से दिया गया है, तो (f) का परास कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x-2 -6x+11), what is the range of (f)?
#range
#quadratic
#completing square
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A \([2,\infty\))
B \([11,\infty\))
C (\(-\infty,2]\)
D \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. \([2,\infty\))
Step 1
Concept
(x-2 -6x+11=(x-3)2 +2) लिखें। / Write (x-2 -6x+11=(x-3)2 +2).
Step 2
Why this answer is correct
((x-3)2 \geq0), इसलिए न्यूनतम मान (2) है। / Since ((x-3)2 \geq0), the minimum value is (2).
Step 3
Exam Tip
वर्ग पूरा करना परास निकालने में सबसे सुरक्षित तरीका है। / Completing the square is the safest method for range questions.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=|x-1|+|x+1|) से परिभाषित किया गया है, तो (f) का परास क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=|x-1|+|x+1|), what is the range of (f)?
#absolute value
#range
#real function
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A \([2,\infty\))
B \([0,\infty\))
C (\(-\infty,2]\)
D ({2})
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Correct Answer
A. \([2,\infty\))
Step 1
Concept
यह अभिव्यक्ति संख्या रेखा पर (x) की (1) और (-1) से दूरियों का योग है। / The expression is the sum of distances of (x) from (1) and (-1).
Step 2
Why this answer is correct
\(-1\leq x\leq1\) पर योग (2) रहता है और बाहर जाने पर बढ़ता है। / For \(-1\leq x\leq1\), the sum is (2), and outside this interval it increases.
Step 3
Exam Tip
दूरी वाले निरपेक्ष मान में ज्यामितीय सोच जल्दी उत्तर देती है। / A distance interpretation helps solve absolute value range questions quickly.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{x-2 }{1+x-2 }) से दिया गया है, तो (f) का परास कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\frac{x-2 }{1+x-2 }), what is the range of (f)?
#range
#rational function
#endpoint
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A ([0,1))
B ((0,1])
C ([0,1])
D \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. ([0,1))
Step 1
Concept
\(x^2\geq0\), इसलिए फलन का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता। / Since \(x^2\geq0\), the function value cannot be negative.
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) पर मान (0) मिलता है और बड़े (|x|) पर मान (1) के पास जाता है पर (1) नहीं बनता। / At (x=0), the value is (0), and for large (|x|), it approaches (1) but never equals (1).
Step 3
Exam Tip
सीमा के पास जाने और वास्तव में मान लेने में अंतर रखें। / Distinguish between approaching a value and attaining it.
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यदि (A) में (5) अवयव और (B) में (3) अवयव हैं, तो (A) से (B) में ऐसे फलनों की संख्या कितनी है जिनका परास ठीक (2) अवयवों का हो?
If (A) has (5) elements and (B) has (3) elements, how many functions from (A) to (B) have range exactly of size (2)?
#range size
#counting functions
#finite sets
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A (30)
B (60)
C (90)
D (150)
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Step 1
Concept
परास के (2) अवयव चुनने के तरीके \(\binom{3}{2}=3\) हैं। / Choose the (2) elements of the range in \(\binom{3}{2}=3\) ways.
Step 2
Why this answer is correct
चुने हुए दो अवयवों पर आच्छादी फलन \(2^5-2=30\) होंगे। / Onto functions onto these two chosen elements are \(2^5-2=30\).
Step 3
Exam Tip
कुल संख्या \(3\cdot30=90\) होगी। / Total number is \(3\cdot30=90\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\begin{cases}x+2,&x\geq0\x-2 +2,&x<0\end{cases}) से दिया गया है, तो (f) के एकैकी होने के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\begin{cases}x+2,&x\geq0\x-2 +2,&x<0\end{cases}), which statement about (f) being one-one is correct?
#piecewise function
#one-one
#counterexample
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? Hint Small clue
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है क्योंकि (f(-1)=f(1)) / It is not one-one because (f(-1)=f(1))
C यह आच्छादी है पर एकैकी नहीं / It is onto but not one-one
D यह परिभाषित नहीं है / It is not defined
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Correct Answer
B. यह एकैकी नहीं है क्योंकि (f(-1)=f(1)) / It is not one-one because (f(-1)=f(1))
Step 1
Concept
खंडों में दिए फलन में अलग-अलग खंडों के मान भी मिलाने पड़ते हैं। / For a piecewise function, values from different pieces must also be compared.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=(-1)2 +2=3) और (f(1)=1+2=3)। / (f(-1)=(-1)2 +2=3) and (f(1)=1+2=3).
Step 3
Exam Tip
दो अलग आगतों पर समान मान मिलते ही एकैकीपन टूट जाता है। / Equal outputs for different inputs break one-one behaviour.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) को (f(x)=x-2 +2x) से दिया गया है, तो (f) के परास और एकैकीपन के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) is given by (f(x)=x-2 +2x), which statement about its range and one-one behaviour is correct?
#domain restriction
#range
#one-one
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A परास \([0,\infty\)) है और यह एकैकी है / Range is \([0,\infty\)) and it is one-one
B परास \([-1,\infty\)) है और यह एकैकी नहीं है / Range is \([-1,\infty\)) and it is not one-one
C परास \(\mathbb{R}\) है और यह आच्छादी है / Range is \(\mathbb{R}\) and it is onto
D परास (\(0,\infty\)) है और यह स्थिर है / Range is (\(0,\infty\)) and it is constant
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Correct Answer
A. परास \([0,\infty\)) है और यह एकैकी है / Range is \([0,\infty\)) and it is one-one
Step 1
Concept
(x-2 +2x=x(x+2)) और \(x\geq0\) होने पर यह (0) से शुरू होकर बढ़ता है। / (x-2 +2x=x(x+2)), and for \(x\geq0\) it starts at (0) and increases.
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) पर न्यूनतम मान (0) है, इसलिए परास \([0,\infty\)) है। / The minimum value is (0) at (x=0), so the range is \([0,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
सीमित प्रांत पर द्विघात फलन एकैकी बन सकता है। / A quadratic can become one-one after restricting its domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) विषम फलन है और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) सम फलन है, तो \(g\circ f\) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is an odd function and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is an even function, which statement about \(g\circ f\) is correct?
#even function
#odd function
#composition
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? Hint Small clue
A यह सम फलन है / It is an even function
B यह विषम फलन है / It is an odd function
C यह हमेशा स्थिर फलन है / It is always constant
D यह कभी परिभाषित नहीं होता / It is never defined
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Correct Answer
A. यह सम फलन है / It is an even function
Step 1
Concept
(\(g\circ f\)(-x)=g(f(-x)))। / (\(g\circ f\)(-x)=g(f(-x))).
Step 2
Why this answer is correct
(f) विषम है, इसलिए (f(-x)=-f(x)); और (g) सम है, इसलिए (g(-f(x))=g(f(x)))। / Since (f) is odd, (f(-x)=-f(x)); since (g) is even, (g(-f(x))=g(f(x))).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(g\circ f\) सम फलन है। / Therefore \(g\circ f\) is even.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x+\frac{1}{x}) से दिया गया है, तो सही प्रांत लेने पर कौन सा प्रांत उचित होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is described by (f(x)=x+\frac{1}{x}), what should be the correct domain?
#domain
#rational expression
#function definition
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? Hint Small clue
A \(\mathbb{R}\setminus{0}\)
B \(\mathbb{R}\)
C \([0,\infty\))
D \(\mathbb{R}\setminus{1}\)
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Correct Answer
A. \(\mathbb{R}\setminus{0}\)
Step 1
Concept
\(\frac{1}{x}\) तभी परिभाषित है जब \(x\neq0\)। / \(\frac{1}{x}\) is defined only when \(x\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) पर हर शून्य हो जाएगा, इसलिए उसे हटाना जरूरी है। / At (x=0), the denominator becomes zero, so it must be removed.
Step 3
Exam Tip
भिन्न वाले फलन में हर को शून्य बनाने वाले मान हमेशा हटाएँ। / For fractional functions, always exclude values that make the denominator zero.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) को (f(x)=x+\frac{1}{x}) से दिया गया है, तो (f) का परास क्या है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) is given by (f(x)=x+\frac{1}{x}), what is the range of (f)?
#range
#am gm
#positive domain
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? Hint Small clue
A \([2,\infty\))
B (\(2,\infty\))
C \(\mathbb{R}\)
D (\(-\infty,2]\)
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Correct Answer
A. \([2,\infty\))
Step 1
Concept
धनात्मक (x) के लिए \(x+\frac{1}{x}\geq2\) होता है। / For positive (x), \(x+\frac{1}{x}\geq2\).
Step 2
Why this answer is correct
(x=1) पर मान (2) मिल जाता है। / At (x=1), the value (2) is attained.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्न में गुणोत्तर और अंकगणितीय माध्य का विचार बहुत उपयोगी है। / The AM-GM idea is very useful for such range questions.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 +px+q) से दिया गया है और उसका न्यूनतम मान (5) है जो (x=2) पर मिलता है, तो (p,q) क्या हैं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x-2 +px+q) and its minimum value is (5) at (x=2), what are (p,q)?
#quadratic function
#minimum
#parameters
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A (p=-4,q=9)
B (p=4,q=-3)
C (p=-2,q=7)
D (p=2,q=1)
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Correct Answer
A. (p=-4,q=9)
Step 1
Concept
शीर्ष का (x)-निर्देशांक \(-\frac{p}{2}\) होता है। / The (x)-coordinate of the vertex is \(-\frac{p}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(-\frac{p}{2}=2\) से (p=-4) मिलता है। / From \(-\frac{p}{2}=2\), we get (p=-4).
Step 3
Exam Tip
(f(2)=5) रखने पर (4-8+q=5), इसलिए (q=9)। / Using (f(2)=5), (4-8+q=5), so (q=9).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=mx-2 +1) से दिया गया है, तो (f) के पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी होने के लिए (m) का कौन सा मान संभव है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=mx-2 +1), which value of (m) can make (f) one-one on all of \(\mathbb{R}\)?
#parameter
#one-one
#quadratic
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A कोई वास्तविक (m) नहीं / No real (m)
B केवल (m=1) / Only (m=1)
C केवल (m=-1) / Only (m=-1)
D हर \(m\neq0\) / Every \(m\neq0\)
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Correct Answer
A. कोई वास्तविक (m) नहीं / No real (m)
Step 1
Concept
यदि \(m\neq0\), तो (f(1)=f(-1)) होगा। / If \(m\neq0\), then (f(1)=f(-1)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (m=0), तो फलन स्थिर (1) बन जाता है। / If (m=0), the function becomes the constant (1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए किसी भी वास्तविक (m) के लिए यह पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं हो सकता। / Therefore no real (m) makes it one-one on all of \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{2x-1}{x+3}) से परिभाषित माना जाए, तो इसे फलन बनाने के लिए प्रांत से कौन सा मान हटाना होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is considered as (f(x)=\frac{2x-1}{x+3}), which value must be removed from the domain to make it a function?
#domain
#rational function
#well defined
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A (3)
B (-3)
C (1)
D (-1)
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Step 1
Concept
भिन्न में हर (x+3) है। / The denominator is (x+3).
Step 2
Why this answer is correct
(x+3=0) से (x=-3) मिलता है। / Solving (x+3=0) gives (x=-3).
Step 3
Exam Tip
हर को शून्य करने वाला मान प्रांत से हटाया जाता है। / A value making the denominator zero must be removed from the domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{-3}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) को (f(x)=\frac{2x-1}{x+3}) से दिया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{-3}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) is given by (f(x)=\frac{2x-1}{x+3}), which statement about (f) is correct?
#bijection
#rational function
#inverse
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? Hint Small clue
A यह द्विआधारी है / It is bijective
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
D यह स्थिर है / It is constant
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Correct Answer
A. यह द्विआधारी है / It is bijective
Step 1
Concept
\(y=\frac{2x-1}{x+3}\) से \(x=\frac{1+3y}{2-y}\) मिलता है। / From \(y=\frac{2x-1}{x+3}\), we get \(x=\frac{1+3y}{2-y}\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\neq2\) के लिए एक अद्वितीय (x) मिलता है और \(x\neq-3\) रहता है। / For every \(y\neq2\), there is a unique (x), and \(x\neq-3\).
Step 3
Exam Tip
जब हर मान का ठीक एक पूर्वप्रतिबिंब हो, फलन द्विआधारी होता है। / A function with exactly one preimage for every codomain value is bijective.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) के लिए (f(x)=x-2 ), (g(x)=x+1), तो (\(f\circ g\)(x)-\(g\circ f\)(x)) क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) are (f(x)=x-2 ), (g(x)=x+1), what is (\(f\circ g\)(x)-\(g\circ f\)(x))?
#composition
#difference
#functions
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? Hint Small clue
A (2x)
B (2x+1)
C \(x^2+1\)
D (0)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(\(f\circ g\)(x)=f(x+1)=(x+1)2 )। / (\(f\circ g\)(x)=f(x+1)=(x+1)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
(\(g\circ f\)(x)=g\(x^2\)=x-2 +1)। / (\(g\circ f\)(x)=g\(x^2\)=x-2 +1).
Step 3
Exam Tip
अंतर ((x+1)2 -\(x^2+1\)=2x) है। / The difference is ((x+1)2 -\(x^2+1\)=2x).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) ऐसा है कि (f(x+y)=f(x)f(y)), (f(0)=1), और (f(x)>0), तो (f(-x)) किसके बराबर होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) satisfies (f(x+y)=f(x)f(y)), (f(0)=1), and (f(x)>0), what is (f(-x))?
#functional equation
#inverse value
#functions
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (\frac{1}{f(x)})
B (f(x))
C (-f(x))
D (0)
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Correct Answer
A. (\frac{1}{f(x)})
Step 1
Concept
(x+(-x)=0) रखें। / Put (x+(-x)=0).
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=f(x)f(-x)=1)। / Then (f(0)=f(x)f(-x)=1).
Step 3
Exam Tip
(f(x)>0) होने से (f(-x)=\frac{1}{f(x)}) मिलता है। / Since (f(x)>0), (f(-x)=\frac{1}{f(x)}).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) ऐसा है कि (f(x+y)=f(x)+f(y)) और (f(1)=3), तो (f(5)) का मान क्या होगा, यदि (f) रैखिक माना जाए?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) satisfies (f(x+y)=f(x)+f(y)) and (f(1)=3), what is (f(5)), assuming (f) is linear?
#functional equation
#linear function
#value
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (8)
B (15)
C (3)
D (5)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
योग गुण के अनुसार (f(5)=f(1+1+1+1+1))। / By the additive property, (f(5)=f(1+1+1+1+1)).
Step 2
Why this answer is correct
यह (5f(1)=5\cdot3=15) होगा। / This becomes (5f(1)=5\cdot3=15).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में दिए हुए मान को बार-बार जोड़कर उपयोग करें। / In such questions, use repeated addition of the given value.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\max{x,1-x}) से दिया गया है, तो (f) का न्यूनतम मान क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\max{x,1-x}), what is the minimum value of (f)?
#maximum function
#minimum value
#range
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{1}{2}\)
B (0)
C (1)
D कोई न्यूनतम मान नहीं / No minimum value
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{1}{2}\)
Step 1
Concept
अधिकतम मान को छोटा करने के लिए (x) और (1-x) को बराबर करना चाहिए। / To minimize the maximum, make (x) and (1-x) equal.
Step 2
Why this answer is correct
(x=1-x) से \(x=\frac{1}{2}\) मिलता है। / Solving (x=1-x) gives \(x=\frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
उस बिंदु पर दोनों मान \(\frac{1}{2}\) हैं, इसलिए न्यूनतम \(\frac{1}{2}\) है। / At this point both values are \(\frac{1}{2}\), so the minimum is \(\frac{1}{2}\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\min{x-2 ,4}) से दिया गया है, तो (f) का परास कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\min{x-2 ,4}), what is the range of (f)?
#minimum function
#range
#piecewise idea
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ([0,4])
B ([0,4))
C ((0,4])
D \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. ([0,4])
Step 1
Concept
\(x^2\) का मान (0) से शुरू होकर बढ़ता है। / \(x^2\) starts from (0) and increases.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2\geq4\) होने पर फलन (4) ही लेता है। / When \(x^2\geq4\), the function takes the value (4).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (0) से (4) तक सभी मान मिलते हैं और दोनों सिरों के मान शामिल हैं। / Hence all values from (0) to (4) are attained, including both endpoints.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x|x|) से दिया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x|x|), which statement about (f) is correct?
#absolute value
#bijection
#piecewise function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह द्विआधारी है / It is bijective
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
D यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह द्विआधारी है / It is bijective
Step 1
Concept
\(x\geq0\) पर (f(x)=x-2 ) और (x<0) पर (f(x)=-x-2 ) होता है। / For \(x\geq0\), (f(x)=x-2 ), and for (x<0), (f(x)=-x-2 ).
Step 2
Why this answer is correct
ऋणात्मक आगत ऋणात्मक मान और धनात्मक आगत धनात्मक मान देते हैं, तथा मान क्रम से बढ़ते हैं। / Negative inputs give negative outputs and positive inputs give positive outputs, with ordered growth.
Step 3
Exam Tip
हर वास्तविक (y) के लिए ठीक एक (x) मिलता है, इसलिए फलन द्विआधारी है। / Every real (y) has exactly one preimage, so the function is bijective.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x|x|) से दिया गया है, तो (f^{-1}(4)) का मान क्या होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x|x|), what is (f^{-1}(4))?
#inverse value
#absolute value
#function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (2)
B (-2)
C (4)
D (16)
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Step 1
Concept
(4) धनात्मक है, इसलिए आगत (x) भी धनात्मक होगा। / Since (4) is positive, the input (x) must be positive.
Step 2
Why this answer is correct
धनात्मक (x) पर (f(x)=x-2 ), इसलिए \(x^2=4\)। / For positive (x), (f(x)=x-2 ), so \(x^2=4\).
Step 3
Exam Tip
धनात्मक हल (x=2) है। / The positive solution is (x=2).
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यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to C\) हैं तथा \(g\circ f\) एकैकी है, तो कौन सा निष्कर्ष निश्चित रूप से सही है?
If \(f:A\to B\) and \(g:B\to C\), and \(g\circ f\) is one-one, which conclusion is definitely true?
#composition
#one-one
#logical conclusion
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एकैकी है / (f) is one-one
B (g) एकैकी है / (g) is one-one
C दोनों आच्छादी हैं / Both are onto
D (f) स्थिर है / (f) is constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एकैकी है / (f) is one-one
Step 1
Concept
यदि (f\(a_1\)=f\(a_2\)), तो (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))) होगा। / If (f\(a_1\)=f\(a_2\)), then (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))).
Step 2
Why this answer is correct
\(g\circ f\) एकैकी है, इसलिए \(a_1=a_2\)। / Since \(g\circ f\) is one-one, \(a_1=a_2\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (f) का एकैकी होना अनिवार्य है, पर (g) पूरे (B) पर जरूरी नहीं। / Hence (f) must be one-one, while (g) need not be one-one on all of (B).
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यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to C\) हैं तथा \(g\circ f\) आच्छादी है, तो कौन सा निष्कर्ष निश्चित रूप से सही है?
If \(f:A\to B\) and \(g:B\to C\), and \(g\circ f\) is onto, which conclusion is definitely true?
#composition
#onto
#logical conclusion
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (g) आच्छादी है / (g) is onto
B (f) आच्छादी है / (f) is onto
C दोनों एकैकी हैं / Both are one-one
D (g) स्थिर है / (g) is constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (g) आच्छादी है / (g) is onto
Step 1
Concept
\(g\circ f\) आच्छादी है, इसलिए (C) का हर अवयव (g(f(a))) के रूप में आता है। / Since \(g\circ f\) is onto, every element of (C) is of the form (g(f(a))).
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि वही अवयव (g(b)) के रूप में भी आता है, जहाँ (b=f(a))। / That same element is also of the form (g(b)), where (b=f(a)).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (g) अवश्य आच्छादी है। / Hence (g) must be onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{x-2 -1}{x-1}) से दिया गया है, तो यह फलन किस प्रांत पर (x+1) जैसा व्यवहार करेगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\frac{x-2 -1}{x-1}), on which domain does it behave like (x+1)?
#domain
#simplification
#rational function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\mathbb{R}\setminus{1}\)
B \(\mathbb{R}\)
C \(\mathbb{R}\setminus{-1}\)
D ({1})
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Correct Answer
A. \(\mathbb{R}\setminus{1}\)
Step 1
Concept
(x-2 -1=(x-1)(x+1)) है। / (x-2 -1=(x-1)(x+1)).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\neq1\) होने पर \(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\) बनता है। / For \(x\neq1\), \(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\).
Step 3
Exam Tip
काटने से पहले जिस मान पर हर शून्य है, उसे प्रांत से हटाना नहीं भूलें। / Even after cancellation, the value making the original denominator zero must be excluded.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{x-2 -1}{x-1}) से दिया गया है, तो (f) का परास क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\frac{x-2 -1}{x-1}), what is the range of (f)?
#range
#removed point
#rational function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\mathbb{R}\setminus{2}\)
B \(\mathbb{R}\)
C \(\mathbb{R}\setminus{1}\)
D \([2,\infty\))
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Correct Answer
A. \(\mathbb{R}\setminus{2}\)
Step 1
Concept
\(x\neq1\) पर फलन (x+1) के बराबर है। / For \(x\neq1\), the function equals (x+1).
Step 2
Why this answer is correct
(x=1) हट जाने से (x+1=2) वाला मान नहीं मिल सकता। / Since (x=1) is removed, the value (x+1=2) cannot occur.
Step 3
Exam Tip
सरलीकरण के बाद भी हटे हुए प्रांत का असर परास पर पड़ सकता है। / Even after simplification, removed domain points can affect the range.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 +1) और \(g:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) को (g(x)=\sqrt{x-1}) से दिया गया है, तो कौन सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is (f(x)=x-2 +1) and \(g:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) is (g(x)=\sqrt{x-1}), which statement is correct?
#inverse function
#domain restriction
#square function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (g) पूरे (f) का प्रतिलोम है / (g) is the inverse of all of (f)
B (g) (f) के \(x\geq0\) तक सीमित रूप का प्रतिलोम है / (g) is the inverse of (f) restricted to \(x\geq0\)
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (g) परिभाषित नहीं है / (g) is not defined
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Correct Answer
B. (g) (f) के \(x\geq0\) तक सीमित रूप का प्रतिलोम है / (g) is the inverse of (f) restricted to \(x\geq0\)
Step 1
Concept
(f(x)=x-2 +1) पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं है। / (f(x)=x-2 +1) is not one-one on all of \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि प्रांत \(x\geq0\) तक सीमित करें, तो \(y=x^2+1\) से \(x=\sqrt{y-1}\) मिलता है। / If its domain is restricted to \(x\geq0\), then \(y=x^2+1\) gives \(x=\sqrt{y-1}\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम बनाने के लिए कई बार प्रांत को उचित रूप से सीमित करना पड़ता है। / To define an inverse, the domain often needs a suitable restriction.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\lfloor x\rfloor+{x}) से दिया गया है, जहाँ ({x}) भिन्नांश भाग है, तो (f(x)) किसके बराबर है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\lfloor x\rfloor+{x}), where ({x}) is the fractional part, what is (f(x)) equal to?
#floor function
#fractional part
#identity
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? Hint Small clue
A (x)
B \(\lfloor x\rfloor\)
C ({x})
D (x+1)
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Step 1
Concept
किसी भी वास्तविक (x) को पूर्णांक भाग और भिन्नांश भाग के योग के रूप में लिखा जाता है। / Every real (x) is the sum of its greatest integer part and fractional part.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\lfloor x\rfloor+{x}=x\)। / Therefore \(\lfloor x\rfloor+{x}=x\).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक भाग से जुड़े प्रश्नों में मूल पहचान याद रखें। / For greatest integer questions, remember this basic identity.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\) को (f(x)=\lfloor x\rfloor) से दिया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\) is given by (f(x)=\lfloor x\rfloor), which statement about (f) is correct?
#floor function
#onto
#not one-one
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A आच्छादी पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
B एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
C एकैकी और आच्छादी दोनों / Both one-one and onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. आच्छादी पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
Step 1
Concept
हर पूर्णांक (n) के लिए (x=n) लेने पर \(\lfloor x\rfloor=n\), इसलिए आच्छादी है। / For every integer (n), choosing (x=n) gives \(\lfloor x\rfloor=n\), so it is onto.
Step 2
Why this answer is correct
\(\lfloor 2.1\rfloor=\lfloor 2.9\rfloor=2\), इसलिए एकैकी नहीं है। / \(\lfloor 2.1\rfloor=\lfloor 2.9\rfloor=2\), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) लेने से आच्छादिता बदल जाती है। / Taking codomain \(\mathbb{Z}\) changes onto behaviour.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) को (f(n)=2n+1) से दिया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) is given by (f(n)=2n+1), which statement about (f) is correct?
#integers
#one-one
#not onto
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? Hint Small clue
A एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
B आच्छादी पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
C द्विआधारी / Bijective
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
Step 1
Concept
(2n+1) अलग-अलग (n) के लिए अलग-अलग मान देता है। / (2n+1) gives different values for different (n).
Step 2
Why this answer is correct
इसका मान हमेशा विषम पूर्णांक होता है, इसलिए सम पूर्णांक नहीं मिलते। / Its values are always odd integers, so even integers are not obtained.
Step 3
Exam Tip
एकैकी और आच्छादी को अलग-अलग जांचना जरूरी है। / One-one and onto must be checked separately.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) को (f(n)=n-3 ) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) is defined by (f(n)=n-3 ), which statement about (f) is correct?
#integer function
#one-one
#not onto
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
B आच्छादी पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
C द्विआधारी / Bijective
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
Step 1
Concept
पूर्णांकों पर \(n^3\) बढ़ता है, इसलिए अलग (n) अलग मान देते हैं। / On integers, \(n^3\) is increasing, so different (n) give different values.
Step 2
Why this answer is correct
(2) किसी पूर्णांक का घन नहीं है, इसलिए सहप्रांत का हर मान नहीं मिलता। / (2) is not the cube of any integer, so not every codomain value is reached.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक प्रांत में घात फलन का परास अलग से जांचें। / For power functions on integers, check the range carefully.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) को (f(n)=n-2 ) से दिया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) is given by (f(n)=n-2 ), which statement about (f) is correct?
#natural numbers
#one-one
#not onto
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
B आच्छादी पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
C द्विआधारी / Bijective
D स्थिर फलन / Constant function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
Step 1
Concept
प्राकृतिक संख्याओं पर \(n^2\) बढ़ता है, इसलिए यह एकैकी है। / On natural numbers, \(n^2\) increases, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(2) किसी प्राकृतिक संख्या का वर्ग नहीं है, इसलिए आच्छादी नहीं है। / (2) is not the square of any natural number, so it is not onto.
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं में सभी मान वर्ग नहीं होते। / In natural numbers, not every value is a perfect square.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\ln\(1+x^2\)) से दिया गया है, तो (f) का परास कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\ln\(1+x^2\)), what is the range of (f)?
#logarithmic function
#range
#real function
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? Hint Small clue
A \([0,\infty\))
B (\(0,\infty\))
C \(\mathbb{R}\)
D (\(-\infty,0]\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \([0,\infty\))
Step 1
Concept
\(1+x^2\geq1\) हर वास्तविक (x) के लिए। / \(1+x^2\geq1\) for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (\ln\(1+x^2\)\geq\ln1=0), और (x=0) पर (0) मिलता है। / Hence (\ln\(1+x^2\)\geq\ln1=0), and (0) occurs at (x=0).
Step 3
Exam Tip
लघुगणकीय फलन में अंदर की मात्रा का न्यूनतम पहले देखें। / For logarithmic functions, first check the minimum of the inside expression.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) को (f(x)=\ln x) से परिभाषित किया गया है, तो (f) कैसा है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) is defined by (f(x)=\ln x), what type of function is (f)?
#logarithmic function
#bijection
#inverse
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? Hint Small clue
A द्विआधारी / Bijective
B एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
C आच्छादी पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. द्विआधारी / Bijective
Step 1
Concept
\(\ln x\) (\(0,\infty\)) पर सख्ती से बढ़ता है। / \(\ln x\) is strictly increasing on (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
हर वास्तविक (y) के लिए \(x=e^y>0\) लेने पर \(\ln x=y\) मिलता है। / For every real (y), choosing \(x=e^y>0\) gives \(\ln x=y\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह (\(0,\infty\)) से \(\mathbb{R}\) पर द्विआधारी है। / Hence it is bijective from (\(0,\infty\)) to \(\mathbb{R}\).
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) को (f(x)=e^{2x+1}) से दिया गया है, तो (f^{-1}(x)) क्या है?
If (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) is given by (f(x)=e^{2x+1}), what is (f^{-1}(x))?
#inverse function
#exponential
#logarithm
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? Hint Small clue
A \(\frac{\ln x-1}{2}\)
B \(\frac{\ln x+1}{2}\)
C \(2\ln x+1\)
D \(e^{2x-1}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{\ln x-1}{2}\)
Step 1
Concept
\(y=e^{2x+1}\) मानें। / Put \(y=e^{2x+1}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\ln y=2x+1\), इसलिए \(x=\frac{\ln y-1}{2}\)। / Then \(\ln y=2x+1\), so \(x=\frac{\ln y-1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
चर बदलकर (f^{-1}(x)=\frac{\ln x-1}{2}) मिलता है। / Replacing (y) by (x) gives (f^{-1}(x)=\frac{\ln x-1}{2}).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\sin x+\cos x) से दिया गया है, तो (f) का परास क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\sin x+\cos x), what is the range of (f)?
#trigonometric function
#range
#amplitude
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? Hint Small clue
A \([-\sqrt{2},\sqrt{2}]\)
B ([-1,1])
C \([0,\sqrt{2}]\)
D \(\mathbb{R}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \([-\sqrt{2},\sqrt{2}]\)
Step 1
Concept
(\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left\(x+\frac{\pi}{4}\right\)) लिखा जा सकता है। / Write (\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left\(x+\frac{\pi}{4}\right\)).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin\) का मान ([-1,1]) में रहता है। / The sine function lies in ([-1,1]).
Step 3
Exam Tip
इसलिए परास \([-\sqrt{2},\sqrt{2}]\) है। / Hence the range is \([-\sqrt{2},\sqrt{2}]\).
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यदि \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]\) को (f(x)=\sin x) से दिया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]\) is given by (f(x)=\sin x), which statement about (f) is correct?
#sine function
#bijection
#restricted domain
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? Hint Small clue
A द्विआधारी / Bijective
B एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
C आच्छादी पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. द्विआधारी / Bijective
Step 1
Concept
दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) सख्ती से बढ़ता है। / On the given interval, \(\sin x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
इस अंतराल में (-1) से (1) तक सभी मान मिलते हैं। / It attains every value from (-1) to (1).
Step 3
Exam Tip
उचित प्रांत और सहप्रांत लेने से त्रिकोणमितीय फलन द्विआधारी बन सकता है। / With a suitable domain and codomain, a trigonometric function can be bijective.
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यदि \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\) को (f(x)=\cos x) से दिया गया है, तो (f^{-1}(0)) क्या है?
If \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\) is given by (f(x)=\cos x), what is (f^{-1}(0))?
#cosine function
#inverse value
#restricted domain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{\pi}{2}\)
B (0)
C \(\pi\)
D \(2\pi\)
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Correct Answer
A. \(\frac{\pi}{2}\)
Step 1
Concept
दिए गए प्रांत \([0,\pi]\) में \(\cos x\) एकैकी है। / On the domain \([0,\pi]\), \(\cos x\) is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos x=0\) का हल \(x=\frac{\pi}{2}\) है। / The solution of \(\cos x=0\) is \(x=\frac{\pi}{2}\).
Step 3
Exam Tip
सीमित प्रांत में प्रतिलोम मान एक ही होता है। / On a restricted domain, the inverse value is unique.
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यदि \(f:A\to B\) कोई फलन है और \(f^{-1}\) भी फलन है, तो (f) के बारे में कौन सा कथन निश्चित रूप से सही है?
If \(f:A\to B\) is a function and \(f^{-1}\) is also a function, which statement about (f) is definitely true?
#inverse relation
#one-one
#function property
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एकैकी है / (f) is one-one
B (f) स्थिर है / (f) is constant
C (f) का प्रांत रिक्त है / The domain of (f) is empty
D (f) आच्छादी नहीं है / (f) is not onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एकैकी है / (f) is one-one
Step 1
Concept
प्रतिलोम संबंध के फलन होने के लिए हर निर्गत से एक ही आगत जुड़ना चाहिए। / For the inverse relation to be a function, each output must come from only one input.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (f) एकैकी नहीं होगा, तो किसी निर्गत के दो आगत होंगे। / If (f) is not one-one, one output has two inputs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(f^{-1}\) के फलन होने से (f) का एकैकी होना निश्चित है। / Therefore, if \(f^{-1}\) is a function, (f) must be one-one.
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यदि \(f:A\to B\) द्विआधारी है और (A) में (6) अवयव हैं, तो (B) में कितने अवयव होंगे?
If \(f:A\to B\) is bijective and (A) has (6) elements, how many elements does (B) have?
#bijection
#finite sets
#cardinality
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (6)
B (5)
C (7)
D जानकारी पर्याप्त नहीं / Information is insufficient
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
द्विआधारी फलन एकैकी और आच्छादी दोनों होता है। / A bijective function is both one-one and onto.
Step 2
Why this answer is correct
सीमित समुच्चयों में ऐसे फलन के लिए प्रांत और सहप्रांत में बराबर अवयव होते हैं। / For finite sets, a bijection exists only when domain and codomain have equal sizes.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (B) में भी (6) अवयव होंगे। / Hence (B) also has (6) elements.
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यदि (A) में (n) अवयव हैं, तो (A) से (A) में द्विआधारी फलनों की संख्या कितनी होती है?
If (A) has (n) elements, how many bijective functions are there from (A) to (A)?
#bijection
#counting
#permutation
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (n!)
B \(n^2\)
C \(2^n\)
D \(n^n\)
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Step 1
Concept
(A) से (A) में द्विआधारी फलन अवयवों का क्रमचय होता है। / A bijection from (A) to (A) is a permutation of the elements.
Step 2
Why this answer is correct
(n) अवयवों के क्रमचय (n!) होते हैं। / The number of permutations of (n) elements is (n!).
Step 3
Exam Tip
स्वसमुच्चय पर द्विआधारी फलनों की गिनती में सीधे (n!) याद रखें। / For bijections on the same finite set, use (n!).
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यदि \(A=\{1,2,3\}\), तो (A) से (A) में ऐसे फलनों की संख्या कितनी है जो एकैकी नहीं हैं?
If \(A=\{1,2,3\}\), how many functions from (A) to (A) are not one-one?
#counting functions
#not one-one
#finite set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (21)
B (6)
C (18)
D (27)
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Step 1
Concept
कुल फलन \(3^3=27\) हैं। / Total functions are \(3^3=27\).
Step 2
Why this answer is correct
एकैकी फलन (3!=6) हैं। / One-one functions are (3!=6).
Step 3
Exam Tip
एकैकी नहीं फलन (27-6=21) होंगे। / Not one-one functions are (27-6=21).
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(B=\{a,b\}\), तो (A) से (B) में ऐसे फलनों की संख्या कितनी है जो आच्छादी नहीं हैं?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(B=\{a,b\}\), how many functions from (A) to (B) are not onto?
#not onto
#counting functions
#finite sets
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (2)
B (4)
C (8)
D (14)
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Step 1
Concept
आच्छादी नहीं होने के लिए (B) का कोई एक अवयव पूरी तरह छूटना चाहिए। / To be not onto, one element of (B) must be completely missed.
Step 2
Why this answer is correct
दो संभावनाएँ हैं: सभी अवयव (a) पर जाएँ या सभी (b) पर जाएँ। / There are two possibilities: all elements map to (a), or all map to (b).
Step 3
Exam Tip
इसलिए आच्छादी नहीं फलनों की संख्या (2) है। / Therefore the number of not onto functions is (2).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{x}{1+x-2 }) से दिया गया है, तो (f) का परास क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\frac{x}{1+x-2 }), what is the range of (f)?
#range
#rational function
#discriminant
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \(\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]\)
B ((-1,1))
C ([0,1])
D \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. \(\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]\)
Step 1
Concept
\(y=\frac{x}{1+x^2}\) मानें। / Put \(y=\frac{x}{1+x^2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(yx^2-x+y=0\) को (x) में द्विघात मानकर विविक्तकर \(\geq0\) रखें। / Treat \(yx^2-x+y=0\) as a quadratic in (x) and require its discriminant to be non-negative.
Step 3
Exam Tip
\(1-4y^2\geq0\) से \(-\frac{1}{2}\leq y\leq\frac{1}{2}\) मिलता है। / From \(1-4y^2\geq0\), we get \(-\frac{1}{2}\leq y\leq\frac{1}{2}\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{x-2 +1}{x-2 +2}) से दिया गया है, तो (f) का परास कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\frac{x-2 +1}{x-2 +2}), what is the range of (f)?
#range
#rational function
#endpoint
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \(\left[\frac{1}{2},1\right\))
B (\left\(\frac{1}{2},1\right]\)
C ([0,1])
D (\(1,\infty\))
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Correct Answer
A. \(\left[\frac{1}{2},1\right\))
Step 1
Concept
(f(x)=1-\frac{1}{x-2 +2}) लिखें। / Write (f(x)=1-\frac{1}{x-2 +2}).
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) पर मान \(\frac{1}{2}\) मिलता है। / At (x=0), the value is \(\frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
(|x|) बढ़ने पर मान (1) के पास जाता है पर (1) नहीं लेता, इसलिए परास \(\left[\frac{1}{2},1\right\)) है। / As (|x|) increases, the value approaches (1) but never reaches it, so the range is \(\left[\frac{1}{2},1\right\)).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-3 -6x-2 +12x+1) से दिया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x-3 -6x-2 +12x+1), which statement about (f) is correct?
#cubic function
#bijection
#transformation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह द्विआधारी है / It is bijective
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
D यह परिभाषित नहीं है / It is not defined
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Correct Answer
A. यह द्विआधारी है / It is bijective
Step 1
Concept
(x-3 -6x-2 +12x+1=(x-2)3 +9) है। / (x-3 -6x-2 +12x+1=(x-2)3 +9).
Step 2
Why this answer is correct
घन फलन ((x-2)3 ) पूरे \(\mathbb{R}\) पर सख्ती से बढ़ता और सभी वास्तविक मान लेता है। / The cubic ((x-2)3 ) is strictly increasing on \(\mathbb{R}\) and takes all real values.
Step 3
Exam Tip
स्थानांतरण से द्विआधारिता नहीं बदलती। / Shifting does not change bijectivity.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\begin{cases}2x+1,&x<1\x-2 +2,&x\geq1\end{cases}) से दिया गया है, तो (f) के परास के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\begin{cases}2x+1,&x<1\x-2 +2,&x\geq1\end{cases}), which statement about the range of (f) is correct?
#piecewise function
#range
#real function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A परास (\(-\infty,3\)\cup[3,\infty)=\mathbb{R}) है / The range is (\(-\infty,3\)\cup[3,\infty)=\mathbb{R})
B परास \([3,\infty\)) है / The range is \([3,\infty\))
C परास (\(-\infty,3\)) है / The range is (\(-\infty,3\))
D परास \(\mathbb{R}\setminus{3}\) है / The range is \(\mathbb{R}\setminus{3}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. परास (\(-\infty,3\)\cup[3,\infty)=\mathbb{R}) है / The range is (\(-\infty,3\)\cup[3,\infty)=\mathbb{R})
Step 1
Concept
(x<1) पर (2x+1<3), इसलिए परास का भाग (\(-\infty,3\)) है। / For (x<1), (2x+1<3), giving the range part (\(-\infty,3\)).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\geq1\) पर \(x^2+2\geq3\), और (x=1) पर (3) मिलता है। / For \(x\geq1\), \(x^2+2\geq3\), and (3) occurs at (x=1).
Step 3
Exam Tip
दोनों भाग मिलाकर पूरा \(\mathbb{R}\) मिल जाता है। / Combining both parts gives all of \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) को (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}) से दिया गया है, तो (f^{-1}(5)) का मान क्या होगा?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) is given by (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}), what is the value of (f^{-1}(5))?
#inverse value
#rational function
#functions
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{8}{3}\)
B (3)
C \(\frac{2}{3}\)
D (5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{8}{3}\)
Step 1
Concept
(f^{-1}(5)) का अर्थ है वह आगत (x), जिसके लिए (f(x)=5) हो। / (f^{-1}(5)) means the input (x) for which (f(x)=5).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{2x+3}{x-1}=5\) से (2x+3=5x-5), इसलिए (3x=8)। / From \(\frac{2x+3}{x-1}=5\), we get (2x+3=5x-5), so (3x=8).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(x=\frac{8}{3}\); प्रतिलोम मान निकालते समय पहले मूल फलन में लक्ष्य मान रखकर हल करें। / Hence \(x=\frac{8}{3}\); for inverse values, set the original function equal to the target value and solve.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{4,5\}\) हैं, तो (A) से (B) तक कुल कितने फलन बन सकते हैं?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(B=\{4,5\}\), how many functions can be formed from (A) to (B)?
#functions
#counting
#finite sets
#exam oriented
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (6)
B (8)
C (9)
D (12)
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Step 1
Concept
(A) के प्रत्येक अवयव के लिए (B) में कोई एक प्रतिबिंब चुनना होता है। / Each element of (A) must choose exactly one image in (B).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (3) अवयव और (B) में (2) अवयव हैं, इसलिए कुल फलन \(2^3=8\) होंगे। / Since (A) has (3) elements and (B) has (2) elements, the number of functions is \(2^3=8\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में याद रखें कि (A) से (B) तक फलनों की संख्या \(|B|^{|A|}\) होती है। / Remember that the number of functions from (A) to (B) is \(|B|^{|A|}\).
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यदि (A) में (4) अवयव और (B) में (3) अवयव हैं, तो (A) से (B) तक कितने एकैकी फलन संभव हैं?
If (A) has (4) elements and (B) has (3) elements, how many one-one functions are possible from (A) to (B)?
#functions
#one one function
#finite sets
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B (12)
C (24)
D (81)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
एकैकी फलन में अलग-अलग अवयवों के प्रतिबिंब अलग-अलग होने चाहिए। / In a one-one function, distinct elements must have distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (A) में (4) अवयव हैं लेकिन (B) में केवल (3) अवयव हैं, इसलिए (4) अलग प्रतिबिंब नहीं मिल सकते। / Here (A) has (4) elements but (B) has only (3) elements, so (4) distinct images are impossible.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले प्रांत और सहप्रांत के अवयवों की संख्या की तुलना करें। / First compare the sizes of domain and codomain in such questions.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +1) के बारे में सही कथन चुनिए।
Choose the correct statement about the function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +1).
#functions
#one one
#onto
#quadratic
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह एकैकी और आच्छादक दोनों है / It is both one-one and onto
B यह एकैकी है पर आच्छादक नहीं / It is one-one but not onto
C यह आच्छादक है पर एकैकी नहीं / It is onto but not one-one
D यह न एकैकी है न आच्छादक / It is neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. यह न एकैकी है न आच्छादक / It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(1)=2) और (f(-1)=2), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2+1\ge 1\), इसलिए ऋणात्मक संख्याएँ और (0) प्रतिबिंब नहीं बन सकते, अतः यह आच्छादक भी नहीं है। / Since \(x^2+1\ge 1\), negative numbers and (0) are not attained, so it is not onto.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में एकैकी और आच्छादकता को अलग-अलग जाँचें। / Always test one-one and onto separately.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=3x-5) के लिए (f^{-1}(x)) क्या होगा?
For \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=3x-5), what is (f^{-1}(x))?
#functions
#inverse function
#linear function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{x+5}{3}\)
B \(\frac{x-5}{3}\)
C (3x+5)
D (5-3x)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{x+5}{3}\)
Step 1
Concept
मान लें (y=3x-5)। / Let (y=3x-5).
Step 2
Why this answer is correct
(x) को (y) के पदों में लिखने पर \(x=\frac{y+5}{3}\) मिलता है। / Solving for (x), we get \(x=\frac{y+5}{3}\).
Step 3
Exam Tip
अंत में (y) की जगह (x) रखने से (f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}) होगा। / Replace (y) by (x), so (f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 ), तो (f) का प्रकार क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 ), what type of function is (f)?
#functions
#bijection
#cubic function
#onto
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A केवल एकैकी / Only one-one
B केवल आच्छादक / Only onto
C एकैकी और आच्छादक दोनों / Both one-one and onto
D न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. एकैकी और आच्छादक दोनों / Both one-one and onto
Step 1
Concept
\(x^3\) हर वास्तविक (x) पर लगातार बढ़ता है, इसलिए अलग (x) पर अलग मान मिलते हैं। / The function \(x^3\) is strictly increasing on real numbers, so distinct inputs give distinct outputs.
Step 2
Why this answer is correct
हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y}\) मौजूद है, इसलिए हर (y) का पूर्वप्रतिबिंब है। / For every real (y), \(x=\sqrt[3]{y}\) exists, so every (y) has a preimage.
Step 3
Exam Tip
घन फलन \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर द्वैक होता है। / The cube function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is bijective.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=x-2 ) के बारे में सही कथन कौन सा है?
Which statement is correct for \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=x-2 )?
#functions
#onto
#quadratic
#codomain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह एकैकी और आच्छादक दोनों है / It is both one-one and onto
B यह आच्छादक है पर एकैकी नहीं / It is onto but not one-one
C यह एकैकी है पर आच्छादक नहीं / It is one-one but not onto
D यह न एकैकी है न आच्छादक / It is neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. यह आच्छादक है पर एकैकी नहीं / It is onto but not one-one
Step 1
Concept
(f(2)=4) और (f(-2)=4), इसलिए फलन एकैकी नहीं है। / (f(2)=4) and (f(-2)=4), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \([0,\infty\)) है और हर \(y\ge 0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) मिलता है। / The codomain is \([0,\infty\)), and for every \(y\ge 0\), \(x=\sqrt{y}\) exists.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत बदलने से आच्छादकता बदल सकती है, इसलिए सहप्रांत अवश्य देखें। / Onto property depends on the codomain, so always check it carefully.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x|), तो (f) कैसा फलन है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x|), what type of function is (f)?
#functions
#absolute value
#one one
#onto
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी और आच्छादक दोनों / Both one-one and onto
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादक / Only onto
D न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
D. न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(3)=3) और (f(-3)=3), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / (f(3)=3) and (f(-3)=3), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(|x|) कभी ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए कोई ऋणात्मक वास्तविक संख्या प्रतिबिंब नहीं बन सकती। / (|x|) is never negative, so negative real numbers are not attained.
Step 3
Exam Tip
परिमाप वाले फलन में संकेत बदलने पर समान मान मिल सकता है। / In absolute value functions, opposite inputs may give the same output.
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यदि \(f:A\to B\) द्वैक है और (|A|=7), तो (|B|) का मान क्या होगा?
If \(f:A\to B\) is bijective and (|A|=7), what is the value of (|B|)?
#functions
#bijection
#finite sets
#cardinality
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (5)
B (6)
C (7)
D निर्धारित नहीं किया जा सकता / Cannot be determined
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Step 1
Concept
द्वैक फलन एकैकी और आच्छादक दोनों होता है। / A bijective function is both one-one and onto.
Step 2
Why this answer is correct
सीमित समुच्चयों में द्वैक फलन तभी संभव है जब दोनों समुच्चयों में बराबर अवयव हों। / For finite sets, a bijection is possible only when both sets have the same number of elements.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (|B|=|A|=7) होगा। / Therefore (|B|=|A|=7).
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यदि (f(x)=2x+1) और (g(x)=x-2 ), तो (\(g\circ f\)(x)) क्या है?
If (f(x)=2x+1) and (g(x)=x-2 ), what is (\(g\circ f\)(x))?
#functions
#composition
#algebra
#expert
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(2x^2+1\)
B \(4x^2+4x+1\)
C \(2x^2+2\)
D \(x^2+2x+1\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \(4x^2+4x+1\)
Step 1
Concept
(\(g\circ f\)(x)) का अर्थ (g(f(x))) है। / (\(g\circ f\)(x)) means (g(f(x))).
Step 2
Why this answer is correct
(f(x)=2x+1) को (g) में रखने पर (g(2x+1)=(2x+1)2 ) मिलेगा। / Put (f(x)=2x+1) into (g), giving (g(2x+1)=(2x+1)2 ).
Step 3
Exam Tip
विस्तार करने पर \(4x^2+4x+1\) प्राप्त होता है। / Expanding gives \(4x^2+4x+1\).
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यदि (f(x)=x+2) और (g(x)=3x-1), तो (\(f\circ g\)(x)- \(g\circ f\)(x)) का मान क्या है?
If (f(x)=x+2) and (g(x)=3x-1), what is the value of (\(f\circ g\)(x)-\(g\circ f\)(x))?
#functions
#composition
#linear functions
#exam
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B (2)
C (-4)
D (4)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(f(g(x))=f(3x-1)=3x+1)। / (f(g(x))=f(3x-1)=3x+1).
Step 2
Why this answer is correct
(g(f(x))=g(x+2)=3x+5)। / (g(f(x))=g(x+2)=3x+5).
Step 3
Exam Tip
अंतर (3x+1-(3x+5)=-4) है, इसलिए क्रम बदलने से मान बदल सकता है। / The difference is (3x+1-(3x+5)=-4), so order matters in composition.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -4x+7) का परास क्या है?
What is the range of \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -4x+7)?
#functions
#range
#quadratic
#parabola
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \([3,\infty\))
B (\(3,\infty\))
C (\(-\infty,3]\)
D \(\mathbb{R}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \([3,\infty\))
Step 1
Concept
(x-2 -4x+7=(x-2)2 +3)। / Rewrite \(x^2-4x+7\) as ((x-2)2 +3).
Step 2
Why this answer is correct
((x-2)2 \ge 0), इसलिए न्यूनतम मान (3) है। / Since ((x-2)2 \ge 0), the minimum value is (3).
Step 3
Exam Tip
ऊपर की ओर खुलने वाले वर्ग फलन का परास न्यूनतम मान से अनंत तक होता है। / Hence the range is \([3,\infty\)).
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=5-2x) के लिए कौन सा कथन सही है?
Which statement is correct for \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=5-2x)?
#functions
#linear function
#bijection
#onto
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है पर आच्छादक नहीं / One-one but not onto
B आच्छादक है पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
C एकैकी और आच्छादक दोनों है / Both one-one and onto
D न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. एकैकी और आच्छादक दोनों है / Both one-one and onto
Step 1
Concept
(5-2x) एक रैखिक फलन है जिसकी ढाल शून्य नहीं है, इसलिए यह एकैकी है। / (5-2x) is a linear function with non-zero slope, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी वास्तविक (y) के लिए \(x=\frac{5-y}{2}\) वास्तविक है, इसलिए यह आच्छादक है। / For any real (y), \(x=\frac{5-y}{2}\) is real, so it is onto.
Step 3
Exam Tip
\(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर अशून्य ढाल वाला रैखिक फलन द्वैक होता है। / A non-constant linear function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is bijective.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=c) जहाँ (c) स्थिर वास्तविक संख्या है, तो (f) कब एकैकी होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=c), where (c) is a fixed real number, when will (f) be one-one?
#functions
#constant function
#one one
#conceptual
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A सदैव / Always
B कभी नहीं / Never
C केवल जब (c=0) / Only when (c=0)
D केवल जब (c=1) / Only when (c=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. कभी नहीं / Never
Step 1
Concept
स्थिर फलन में हर (x) का प्रतिबिंब (c) ही होता है। / In a constant function, every input has the same image (c).
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग आगतों के समान प्रतिबिंब मिलते हैं, इसलिए एकैकी होने की शर्त टूट जाती है। / Different inputs give the same output, so the one-one condition fails.
Step 3
Exam Tip
अनंत प्रांत पर स्थिर फलन कभी एकैकी नहीं होता। / A constant function on an infinite domain is never one-one.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)), (f(x)=e^x), तो (f) कैसा फलन है?
If (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)), (f(x)=e^x), what type of function is (f)?
#functions
#exponential
#bijection
#range
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी और आच्छादक दोनों / Both one-one and onto
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादक / Only onto
D न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी और आच्छादक दोनों / Both one-one and onto
Step 1
Concept
\(e^x\) सख्ती से बढ़ता है, इसलिए यह एकैकी है। / \(e^x\) is strictly increasing, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
इसका हर मान धनात्मक होता है और प्रत्येक (y>0) के लिए \(x=\ln y\) मौजूद है। / Its values are positive, and for every (y>0), \(x=\ln y\) exists.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत (\(0,\infty\)) लेने पर यह द्वैक हो जाता है। / With codomain (\(0,\infty\)), the function is bijective.
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फलन (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln x) के बारे में सही कथन कौन सा है?
Which statement is correct for (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln x)?
#functions
#logarithm
#bijection
#inverse
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह द्वैक है / It is bijective
B यह केवल एकैकी है / It is only one-one
C यह केवल आच्छादक है / It is only onto
D यह न एकैकी है न आच्छादक / It is neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह द्वैक है / It is bijective
Step 1
Concept
\(\ln x\) अपने प्रांत (\(0,\infty\)) पर सख्ती से बढ़ता है, इसलिए एकैकी है। / \(\ln x\) is strictly increasing on (\(0,\infty\)), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
हर वास्तविक (y) के लिए \(x=e^y>0\) मिलता है, इसलिए यह आच्छादक है। / For every real (y), \(x=e^y>0\), so it is onto.
Step 3
Exam Tip
लघुगणकीय फलन घातीय फलन का प्रतिलोम होता है। / The logarithmic function is the inverse of the exponential function.
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यदि (f(x)=\frac{x-1}{x+1}), तो \(x\ne -1\) के लिए (f^{-1}(x)) क्या है?
If (f(x)=\frac{x-1}{x+1}), then for \(x\ne -1\), what is (f^{-1}(x))?
#functions
#inverse function
#rational function
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{1+x}{1-x}\)
B \(\frac{x-1}{x+1}\)
C \(\frac{1-x}{1+x}\)
D \(\frac{x+1}{x-1}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{1+x}{1-x}\)
Step 1
Concept
\(y=\frac{x-1}{x+1}\) मानें। / Let \(y=\frac{x-1}{x+1}\).
Step 2
Why this answer is correct
(y(x+1)=x-1) से (x(y-1)=-(1+y)) मिलता है। / From (y(x+1)=x-1), we get (x(y-1)=-(1+y)).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(x=\frac{1+y}{1-y}\), अतः (f^{-1}(x)=\frac{1+x}{1-x})। / Hence \(x=\frac{1+y}{1-y}\), so (f^{-1}(x)=\frac{1+x}{1-x}).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +x), तो (f) के लिए सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +x), what is the correct conclusion about (f)?
#functions
#bijection
#cubic
#monotonic
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी और आच्छादक दोनों / Both one-one and onto
B एकैकी है पर आच्छादक नहीं / One-one but not onto
C आच्छादक है पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
D न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. एकैकी और आच्छादक दोनों / Both one-one and onto
Step 1
Concept
\(x^3+x\) सख्ती से बढ़ता है क्योंकि (x) बढ़ने पर मान लगातार बढ़ता है। / \(x^3+x\) is strictly increasing because its value keeps increasing with (x).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर वास्तविक मान मिलता है और फलन द्वैक है। / Hence every real value is attained and the function is bijective.
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यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to C\) दोनों एकैकी हैं, तो \(g\circ f\) के बारे में क्या सत्य है?
If \(f:A\to B\) and \(g:B\to C\) are both one-one, what is true about \(g\circ f\)?
#functions
#composition
#one one
#theorem
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+10 Time+ 10 sec extra
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A सदैव एकैकी / Always one-one
B सदैव आच्छादक / Always onto
C कभी फलन नहीं / Never a function
D सदैव स्थिर / Always constant
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Correct Answer
A. सदैव एकैकी / Always one-one
Step 1
Concept
(f) एकैकी है, इसलिए अलग (A) अवयवों के प्रतिबिंब (B) में अलग होंगे। / Since (f) is one-one, distinct elements of (A) have distinct images in (B).
Step 2
Why this answer is correct
(g) भी एकैकी है, इसलिए उन अलग प्रतिबिंबों के आगे के प्रतिबिंब (C) में अलग रहेंगे। / Since (g) is also one-one, those distinct images remain distinct in (C).
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलनों का संयोजन एकैकी होता है। / The composition of one-one functions is one-one.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-4 ) के बारे में कौन सा कथन सही है?
Which statement is correct about \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-4 )?
#functions
#power function
#one one
#onto
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह एकैकी और आच्छादक दोनों है / It is both one-one and onto
B यह केवल एकैकी है / It is only one-one
C यह केवल आच्छादक है / It is only onto
D यह न एकैकी है न आच्छादक / It is neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. यह न एकैकी है न आच्छादक / It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(1)=1) और (f(-1)=1), इसलिए एकैकी नहीं है। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^4\ge 0\), इसलिए ऋणात्मक वास्तविक मान नहीं मिलते। / Since \(x^4\ge 0\), negative real values are not attained.
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले फलनों में अक्सर समान प्रतिबिंब और सीमित परास दोनों बातों पर ध्यान दें। / For even power functions, check both repeated outputs and restricted range.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x-2 ), तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?
If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x-2 ), what is (f^{-1}(x))?
#functions
#inverse
#quadratic
#domain restriction
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\sqrt{x}\)
B \(-\sqrt{x}\)
C \(\pm\sqrt{x}\)
D \(x^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{x}\)
Step 1
Concept
प्रांत \([0,\infty\)) है, इसलिए (x) ऋणात्मक नहीं हो सकता। / The domain is \([0,\infty\)), so (x) cannot be negative.
Step 2
Why this answer is correct
\(y=x^2\) से \(x=\sqrt{y}\) मिलेगा। / From \(y=x^2\), we get \(x=\sqrt{y}\).
Step 3
Exam Tip
यहाँ \(-\sqrt{y}\) नहीं लिया जाएगा क्योंकि प्रांत में ऋणात्मक संख्या नहीं है। / \(-\sqrt{y}\) is not allowed because the domain has no negative numbers.
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यदि (f(x)=\frac{1}{x}) जहाँ \(x\ne 0\), तो (f(f(x))) का मान क्या है?
If (f(x)=\frac{1}{x}), where \(x\ne 0\), what is the value of (f(f(x)))?
#functions
#composition
#self inverse
#rational
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (x)
B \(\frac{1}{x}\)
C \(x^2\)
D (1)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(f(x)=\frac{1}{x}) है। / (f(x)=\frac{1}{x}).
Step 2
Why this answer is correct
(f(f(x))=f\left\(\frac{1}{x}\right\)=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x)। / (f(f(x))=f\left\(\frac{1}{x}\right\)=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x).
Step 3
Exam Tip
ऐसा फलन अपने ही प्रतिलोम जैसा व्यवहार करता है। / Such a function behaves like its own inverse.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=ax+b) द्वैक है, तो (a) के लिए आवश्यक शर्त क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=ax+b) is bijective, what is the necessary condition on (a)?
#functions
#linear
#bijection
#parameter
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (a=0)
B \(a\ne 0\)
C (a=b)
D (b=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \(a\ne 0\)
Step 1
Concept
यदि (a=0), तो फलन (f(x)=b) स्थिर हो जाएगा। / If (a=0), then (f(x)=b) becomes constant.
Step 2
Why this answer is correct
स्थिर फलन न एकैकी होगा और न \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक होगा। / A constant function is neither one-one nor onto on \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए रैखिक फलन को द्वैक होने के लिए \(a\ne 0\) चाहिए। / Therefore a linear function is bijective only when \(a\ne 0\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +2x+2), तो न्यूनतम मान क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +2x+2), what is the minimum value?
#functions
#range
#minimum
#quadratic
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B (1)
C (2)
D (-1)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(x-2 +2x+2=(x+1)2 +1)। / (x-2 +2x+2=(x+1)2 +1).
Step 2
Why this answer is correct
((x+1)2 \ge 0), इसलिए सबसे छोटा मान (1) है। / Since ((x+1)2 \ge 0), the smallest value is (1).
Step 3
Exam Tip
वर्ग पूर्ण करने से परास और न्यूनतम मान जल्दी मिलते हैं। / Completing the square quickly gives range and minimum value.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)), (f(x)=x-2 +1), तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)), (f(x)=x-2 +1), which statement is correct about (f)?
#functions
#onto
#quadratic
#codomain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी और आच्छादक दोनों / Both one-one and onto
B आच्छादक है पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
C एकैकी है पर आच्छादक नहीं / One-one but not onto
D न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. आच्छादक है पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
Step 1
Concept
(f(1)=2) और (f(-1)=2), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2+1\ge 1\) और हर \(y\ge 1\) के लिए \(x=\sqrt{y-1}\) मिल जाता है। / Since \(x^2+1\ge 1\), and for every \(y\ge 1\), \(x=\sqrt{y-1}\) works.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत को सही पढ़ना इस प्रश्न की मुख्य बात है। / Reading the codomain correctly is the key.
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यदि \(f:A\to B\) जहाँ \(A=\{1,2\}\), \(B=\{a,b,c\}\), तो (A) से (B) तक कितने एकैकी फलन हैं?
If \(f:A\to B\), where \(A=\{1,2\}\), \(B=\{a,b,c\}\), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#functions
#one one
#counting
#finite sets
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (3)
B (6)
C (8)
D (9)
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Step 1
Concept
(1) का प्रतिबिंब चुनने के (3) तरीके हैं। / The image of (1) can be chosen in (3) ways.
Step 2
Why this answer is correct
(2) का प्रतिबिंब अलग होना चाहिए, इसलिए (2) तरीके बचते हैं। / The image of (2) must be different, so (2) choices remain.
Step 3
Exam Tip
कुल एकैकी फलन \(3\times2=6\) होंगे। / Total one-one functions are \(3\times2=6\).
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यदि (A) में (3) अवयव और (B) में (3) अवयव हैं, तो (A) से (B) तक कितने द्वैक फलन संभव हैं?
If (A) has (3) elements and (B) has (3) elements, how many bijective functions are possible from (A) to (B)?
#functions
#bijection
#counting
#permutation
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (3)
B (6)
C (9)
D (27)
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Step 1
Concept
समान संख्या वाले सीमित समुच्चयों में द्वैक फलन एक प्रकार का क्रमविन्यास होता है। / For finite sets with equal size, a bijection is like a permutation.
Step 2
Why this answer is correct
(3) अवयवों को (3) अलग प्रतिबिंब देने के (3!) तरीके हैं। / There are (3!) ways to assign (3) distinct images.
Step 3
Exam Tip
(3!=6), इसलिए कुल द्वैक फलन (6) होंगे। / Since (3!=6), there are (6) bijective functions.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x), what is the correct statement about (f)?
#functions
#sine function
#range
#onto
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह एकैकी और आच्छादक दोनों है / It is both one-one and onto
B यह केवल एकैकी है / It is only one-one
C यह केवल आच्छादक है / It is only onto
D यह न एकैकी न आच्छादक / It is neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. यह न एकैकी न आच्छादक / It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
\(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / \(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin x\) का परास ([-1,1]) है, इसलिए यह पूरी \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक नहीं है। / The range of \(\sin x\) is ([-1,1]), so it is not onto \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में आवर्तिता और परास दोनों जाँचें। / For trigonometric functions, check periodicity and range.
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फलन \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]\), (f(x)=\sin x) कैसा है?
What type is \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]\), (f(x)=\sin x)?
#functions
#sine
#domain restriction
#bijection
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A द्वैक / Bijective
B केवल आच्छादक / Only onto
C केवल एकैकी / Only one-one
D न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. द्वैक / Bijective
Step 1
Concept
दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) सख्ती से बढ़ता है, इसलिए एकैकी है। / On the given interval, \(\sin x\) is strictly increasing, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
इस अंतराल में इसका परास ठीक ([-1,1]) है। / Its range on this interval is exactly ([-1,1]).
Step 3
Exam Tip
प्रांत को सीमित करने से वही फलन द्वैक बन सकता है। / Restricting the domain can make the same function bijective.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\cos x), तो कौन सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\cos x), which statement is correct?
#functions
#cosine
#range
#periodic
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A द्वैक / Bijective
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादक / Only onto
D न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
D. न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
Step 1
Concept
\(\cos 0=1\) और \(\cos 2\pi=1\), इसलिए फलन एकैकी नहीं है। / \(\cos 0=1\) and \(\cos 2\pi=1\), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos x\) का परास ([-1,1]) है, इसलिए यह \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक नहीं है। / The range of \(\cos x\) is ([-1,1]), so it is not onto \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत यदि \(\mathbb{R}\) हो तो सीमित परास वाले फलन आच्छादक नहीं होंगे। / If codomain is \(\mathbb{R}\), a bounded range function is not onto.
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यदि \(f:\left[0,\pi\right]\to[-1,1]\), (f(x)=\cos x), तो (f) का प्रकार क्या है?
If \(f:\left[0,\pi\right]\to[-1,1]\), (f(x)=\cos x), what is the type of (f)?
#functions
#cosine
#bijection
#domain restriction
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A द्वैक / Bijective
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादक / Only onto
D न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. द्वैक / Bijective
Step 1
Concept
\([0,\pi]\) पर \(\cos x\) सख्ती से घटता है, इसलिए एकैकी है। / On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
इस अंतराल पर यह (1) से (-1) तक सभी मान लेता है। / On this interval, it takes all values from (1) to (-1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह दिए गए सहप्रांत ([-1,1]) पर आच्छादक भी है। / Hence it is also onto the codomain ([-1,1]).
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यदि (f(x)=2x+3) और (f^{-1}(k)=4), तो (k) का मान क्या है?
If (f(x)=2x+3) and (f^{-1}(k)=4), what is the value of (k)?
#functions
#inverse
#linear
#application
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (8)
B (11)
C (5)
D (4)
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Step 1
Concept
(f^{-1}(k)=4) का अर्थ है (f(4)=k)। / (f^{-1}(k)=4) means (f(4)=k).
Step 2
Why this answer is correct
(f(4)=2\cdot4+3=11)। / (f(4)=2\cdot4+3=11).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम वाले प्रश्नों में कथन को मूल फलन की भाषा में बदलें। / In inverse function questions, translate the statement into the original function.
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यदि (f(x)=x-2 -1) और (g(x)=x+1), तो (\(f\circ g\)(2)) का मान क्या है?
If (f(x)=x-2 -1) and (g(x)=x+1), what is the value of (\(f\circ g\)(2))?
#functions
#composition
#value based
#exam
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (3)
B (5)
C (8)
D (9)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
पहले (g(2)=2+1=3) निकालें। / First find (g(2)=2+1=3).
Step 2
Why this answer is correct
अब (f(g(2))=f(3)=32 -1=8)। / Now (f(g(2))=f(3)=32 -1=8).
Step 3
Exam Tip
संयोजन में हमेशा भीतर वाले फलन को पहले हल करें। / In composition, always evaluate the inner function first.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -6x+10) का परास क्या है?
What is the range of \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -6x+10)?
#functions
#range
#quadratic
#minimum
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \([1,\infty\))
B \([0,\infty\))
C (\(-\infty,1]\)
D \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. \([1,\infty\))
Step 1
Concept
(x-2 -6x+10=(x-3)2 +1)। / Rewrite \(x^2-6x+10\) as ((x-3)2 +1).
Step 2
Why this answer is correct
((x-3)2 \ge 0), इसलिए न्यूनतम मान (1) है। / Since ((x-3)2 \ge 0), the minimum value is (1).
Step 3
Exam Tip
अतः परास \([1,\infty\)) होगा। / Therefore the range is \([1,\infty\)).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\lfloor x\rfloor), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\lfloor x\rfloor), what is the correct statement about (f)?
#functions
#greatest integer
#range
#one one
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी और आच्छादक दोनों / Both one-one and onto
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादक / Only onto
D न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
D. न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
Step 1
Concept
\(\lfloor 1.2\rfloor=1\) और \(\lfloor 1.8\rfloor=1\), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / \(\lfloor 1.2\rfloor=1\) and \(\lfloor 1.8\rfloor=1\), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
इसका परास केवल पूर्णांक हैं, सभी वास्तविक संख्याएँ नहीं। / Its range is only the integers, not all real numbers.
Step 3
Exam Tip
महानतम पूर्णांक फलन में परास को ध्यान से देखें। / For the greatest integer function, check the range carefully.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n+5), तो (f) कैसा फलन है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n+5), what type of function is (f)?
#functions
#integers
#bijection
#linear
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A द्वैक / Bijective
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादक / Only onto
D न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. द्वैक / Bijective
Step 1
Concept
यदि \(n_1+5=n_2+5\), तो \(n_1=n_2\), इसलिए यह एकैकी है। / If \(n_1+5=n_2+5\), then \(n_1=n_2\), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(m\in\mathbb{Z}\) के लिए \(n=m-5\in\mathbb{Z}\), इसलिए हर (m) मिल जाता है। / For any \(m\in\mathbb{Z}\), \(n=m-5\in\mathbb{Z}\), so every (m) is attained.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर नियत जोड़ वाला फलन द्वैक होता है। / Adding a fixed integer gives a bijection on integers.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=2n), तो (f) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=2n), which statement is correct?
#functions
#integers
#one one
#onto
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है पर आच्छादक नहीं / One-one but not onto
B आच्छादक है पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
C द्वैक / Bijective
D न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. एकैकी है पर आच्छादक नहीं / One-one but not onto
Step 1
Concept
\(2n_1=2n_2\) से \(n_1=n_2\), इसलिए फलन एकैकी है। / From \(2n_1=2n_2\), we get \(n_1=n_2\), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन विषम पूर्णांक जैसे (1) किसी (2n) के रूप में नहीं मिलते। / But odd integers like (1) are not of the form (2n).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर (2n) केवल सम पूर्णांक देता है। / On integers, (2n) produces only even integers.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(n)=n+1), तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(n)=n+1), what type is (f)?
#functions
#natural numbers
#one one
#onto
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A द्वैक / Bijective
B एकैकी है पर आच्छादक नहीं / One-one but not onto
C आच्छादक है पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
D न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
B. एकैकी है पर आच्छादक नहीं / One-one but not onto
Step 1
Concept
(n+1) अलग (n) के लिए अलग मान देता है, इसलिए एकैकी है। / (n+1) gives different values for different (n), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), तो (1) किसी (n+1) के रूप में नहीं मिलेगा। / If \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), then (1) is not of the form (n+1).
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं पर आरंभिक अवयव की जाँच जरूर करें। / On natural numbers, always check the first element of the codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +2x), तो क्या यह एकैकी है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +2x), is it one-one?
#functions
#one one
#counterexample
#quadratic
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ क्योंकि यह बहुपद है / Yes because it is a polynomial
B हाँ क्योंकि इसका परास अनंत है / Yes because its range is infinite
C नहीं क्योंकि अलग आगत समान प्रतिबिंब दे सकते हैं / No because different inputs can give the same image
D नहीं क्योंकि यह परिभाषित नहीं है / No because it is not defined
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Correct Answer
C. नहीं क्योंकि अलग आगत समान प्रतिबिंब दे सकते हैं / No because different inputs can give the same image
Step 1
Concept
(f(0)=0) और (f(-2)=0) मिलते हैं। / (f(0)=0) and (f(-2)=0).
Step 2
Why this answer is correct
दो अलग आगतों (0) और (-2) का प्रतिबिंब समान है। / Two different inputs (0) and (-2) have the same image.
Step 3
Exam Tip
एकैकी न होने को सिद्ध करने के लिए एक ही मान देने वाले दो अलग आगत दिखाना पर्याप्त है। / To disprove one-one property, one counterexample is enough.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x-2|+3), तो (f) का परास क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x-2|+3), what is the range of (f)?
#functions
#range
#absolute value
#minimum
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \([3,\infty\))
B (\(3,\infty\))
C (\(-\infty,3]\)
D \(\mathbb{R}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \([3,\infty\))
Step 1
Concept
\(|x-2|\ge 0\) होता है। / \(|x-2|\ge 0\).
Step 2
Why this answer is correct
सबसे छोटा मान तब मिलेगा जब (|x-2|=0), अर्थात (x=2), इसलिए न्यूनतम मान (3) है। / The smallest value occurs when (|x-2|=0), that is (x=2), giving minimum (3).
Step 3
Exam Tip
परिमाप वाले फलन का परास उसके न्यूनतम मान से आगे जाता है। / The range of this absolute value function starts from its minimum value.
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यदि (f(x)=|x|) और (g(x)=x-1), तो (\(f\circ g\)(x)) क्या है?
If (f(x)=|x|) and (g(x)=x-1), what is (\(f\circ g\)(x))?
#functions
#composition
#absolute value
#algebra
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (|x|-1)
B (|x-1|)
C (x+1)
D (|x+1|)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (|x-1|)
Step 1
Concept
(\(f\circ g\)(x)=f(g(x))) होता है। / (\(f\circ g\)(x)=f(g(x))).
Step 2
Why this answer is correct
(g(x)=x-1) को (f) में रखने पर (f(x-1)=|x-1|) मिलेगा। / Substitute (g(x)=x-1) into (f), giving (f(x-1)=|x-1|).
Step 3
Exam Tip
परिमाप में पूरा भीतरी व्यंजक रखना चाहिए। / Keep the entire inner expression inside the absolute value.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -3x), तो एकैकी न होने का सही प्रमाण कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -3x), which is a correct proof that it is not one-one?
#functions
#one one
#cubic
#counterexample
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f(0)=f\(\sqrt{3}\)=0)
B (f(1)=f(2))
C (f(-1)=f(1))
D (f(2)=f(3))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f(0)=f\(\sqrt{3}\)=0)
Step 1
Concept
(f(0)=03 -3\cdot0=0)। / (f(0)=03 -3\cdot0=0).
Step 2
Why this answer is correct
(f\(\sqrt{3}\)=\(\sqrt{3}\)3 -3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0)। / (f\(\sqrt{3}\)=\(\sqrt{3}\)3 -3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0).
Step 3
Exam Tip
दो अलग आगतों का समान प्रतिबिंब मिल गया, इसलिए फलन एकैकी नहीं है। / Two distinct inputs have the same image, so the function is not one-one.
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यदि \(f:A\to B\) आच्छादक है और (B) में (5) अवयव हैं, तो (f(A)) में कितने अवयव होंगे?
If \(f:A\to B\) is onto and (B) has (5) elements, how many elements will (f(A)) have?
#functions
#onto
#image set
#finite sets
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (4)
B (5)
C (6)
D निर्धारित नहीं किया जा सकता / Cannot be determined
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Step 1
Concept
आच्छादक फलन में (B) का हर अवयव (A) के किसी अवयव का प्रतिबिंब होता है। / In an onto function, every element of (B) is the image of some element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (f(A)=B) होता है। / Therefore (f(A)=B).
Step 3
Exam Tip
अतः (f(A)) में भी (5) अवयव होंगे। / Hence (f(A)) has (5) elements.
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यदि \(f:A\to B\) एकैकी है और (A) में (6) अवयव हैं, तो (f(A)) में कितने अवयव होंगे?
If \(f:A\to B\) is one-one and (A) has (6) elements, how many elements will (f(A)) have?
#functions
#one one
#image set
#cardinality
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (3)
B (5)
C (6)
D निर्धारित नहीं किया जा सकता / Cannot be determined
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Step 1
Concept
एकैकी फलन में अलग-अलग (A) अवयवों के प्रतिबिंब अलग-अलग होते हैं। / In a one-one function, distinct elements of (A) have distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (6) अवयव हैं, इसलिए (6) अलग प्रतिबिंब मिलेंगे। / Since (A) has (6) elements, there will be (6) distinct images.
Step 3
Exam Tip
अतः (f(A)) में (6) अवयव होंगे। / Therefore (f(A)) has (6) elements.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -1), तो (f) आच्छादक क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -1), why is (f) not onto?
#functions
#onto
#range
#quadratic
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (f(0)=-1) / Because (f(0)=-1)
B क्योंकि (-2) कोई प्रतिबिंब नहीं है / Because (-2) is not an image
C क्योंकि (1) कोई प्रतिबिंब नहीं है / Because (1) is not an image
D क्योंकि (0) कोई प्रतिबिंब नहीं है / Because (0) is not an image
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. क्योंकि (-2) कोई प्रतिबिंब नहीं है / Because (-2) is not an image
Step 1
Concept
\(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2-1\ge -1\)। / Since \(x^2\ge 0\), we have \(x^2-1\ge -1\).
Step 2
Why this answer is correct
(-2) जैसा मान (-1) से छोटा है, इसलिए वह कभी नहीं मिल सकता। / A value like (-2) is less than (-1), so it can never be attained.
Step 3
Exam Tip
आच्छादक न होने के लिए सहप्रांत का एक छूटा हुआ अवयव दिखाना काफी है। / To disprove onto property, one missing codomain element is enough.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x}{1+|x|}), तो (f) का परास क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x}{1+|x|}), what is the range of (f)?
#functions
#range
#absolute value
#rational
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((-1,1))
B ([-1,1])
C ((0,1))
D \(\mathbb{R}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ((-1,1))
Step 1
Concept
(x>0) पर मान \(\frac{x}{1+x}\) होता है, जो (0) से (1) के बीच रहता है। / For (x>0), the value is \(\frac{x}{1+x}\), which lies between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
(x<0) पर मान \(\frac{x}{1-x}\) होता है, जो (-1) से (0) के बीच रहता है। / For (x<0), the value is \(\frac{x}{1-x}\), which lies between (-1) and (0).
Step 3
Exam Tip
मान (1) और (-1) तक पहुँचते नहीं, इसलिए परास ((-1,1)) है। / The values (1) and (-1) are approached but not attained, so the range is ((-1,1)).
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यदि (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}), तो \(x\ne1\) के लिए (f^{-1}(x)) क्या है?
If (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}), then for \(x\ne1\), what is (f^{-1}(x))?
#functions
#inverse
#rational function
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{x+3}{x-2}\)
B \(\frac{x-3}{x+2}\)
C \(\frac{x+2}{x-3}\)
D \(\frac{3-x}{2-x}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{x+3}{x-2}\)
Step 1
Concept
\(y=\frac{2x+3}{x-1}\) मानें। / Let \(y=\frac{2x+3}{x-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
(y(x-1)=2x+3) से (x(y-2)=y+3) मिलता है। / From (y(x-1)=2x+3), we get (x(y-2)=y+3).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(x=\frac{y+3}{y-2}\), अतः (f^{-1}(x)=\frac{x+3}{x-2})। / Therefore \(x=\frac{y+3}{y-2}\), so (f^{-1}(x)=\frac{x+3}{x-2}).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-5 +x-3 +x), तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-5 +x-3 +x), what type is (f)?
#functions
#bijection
#polynomial
#odd function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A द्वैक / Bijective
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादक / Only onto
D न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. द्वैक / Bijective
Step 1
Concept
यह फलन सख्ती से बढ़ता है क्योंकि उच्च विषम घातों के साथ (x) का प्रभाव लगातार बढ़ता है। / The function is strictly increasing because the odd power terms along with (x) increase consistently.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर फलन \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), the function goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह एकैकी भी है और \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक भी है। / Hence it is both one-one and onto on \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\begin{cases}x+1,&x\ge0\x-1,&x<0\end{cases}), तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\begin{cases}x+1,&x\ge0\x-1,&x<0\end{cases}), which statement is correct about (f)?
#functions
#piecewise
#one one
#range
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है पर आच्छादक नहीं / One-one but not onto
B आच्छादक है पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
C द्वैक / Bijective
D न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है पर आच्छादक नहीं / One-one but not onto
Step 1
Concept
(x<0) पर मान (\(-\infty,-1\)) में आते हैं और \(x\ge0\) पर मान \([1,\infty\)) में आते हैं। / For (x<0), values lie in (\(-\infty,-1\)), and for \(x\ge0\), values lie in \([1,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों भागों के मान आपस में नहीं मिलते, इसलिए फलन एकैकी है। / The two parts do not overlap, so the function is one-one.
Step 3
Exam Tip
लेकिन ((-1,1)) के मान नहीं मिलते, इसलिए यह आच्छादक नहीं है। / But values in ((-1,1)) are missing, so it is not onto.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -6x-2 +12x+1) के बारे में सही कथन कौन सा है?
Which statement is correct about \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -6x-2 +12x+1)?
#functions
#bijection
#cubic transformation
#expert
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह द्वैक है / It is bijective
B यह केवल एकैकी है / It is only one-one
C यह केवल आच्छादक है / It is only onto
D यह न एकैकी न आच्छादक है / It is neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह द्वैक है / It is bijective
Step 1
Concept
(x-3 -6x-2 +12x+1=(x-2)3 +9) लिखा जा सकता है। / We can write (x-3 -6x-2 +12x+1=(x-2)3 +9).
Step 2
Why this answer is correct
घन फलन ((x-2)3 ) सख्ती से बढ़ता है, इसलिए अलग आगतों पर अलग मान मिलते हैं और हर वास्तविक मान प्राप्त होता है। / The cubic expression ((x-2)3 ) is strictly increasing, so distinct inputs give distinct outputs and every real value is attained.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में ऐसे बहुपद को पहले घन रूप में बदलकर एकैकी और आच्छादकता जल्दी पहचानें। / In exams, convert such polynomials into shifted cubic form to identify one-one and onto properties quickly.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\begin{cases}2x+1,&x<0\x-2 +1,&x\ge0\end{cases}), तो (f) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\begin{cases}2x+1,&x<0\x-2 +1,&x\ge0\end{cases}), what is the correct conclusion about (f)?
#functions
#piecewise
#bijection
#range
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है पर आच्छादक नहीं / One-one but not onto
B आच्छादक है पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
C द्वैक है / Bijective
D न एकैकी न आच्छादक है / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. न एकैकी न आच्छादक है / Neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(x<0) पर (2x+1) के मान (\(-\infty,1\)) में आते हैं और \(x\ge0\) पर \(x^2+1\) के मान \([1,\infty\)) में आते हैं, इसलिए परास पूरी \(\mathbb{R}\) है। / For (x<0), (2x+1) gives values in (\(-\infty,1\)), and for \(x\ge0\), \(x^2+1\) gives values in \([1,\infty\)), so the range is all of \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (f(0)=1) और (f\left\(-\frac{1}{2}\right\)=0) अलग मान हैं, इसलिए एकैकी जाँच के लिए बेहतर उदाहरण लें: (f\left\(-\frac{1}{4}\right\)=\frac{1}{2}) और यह मान दूसरे भाग से नहीं आता; फिर भी पहले भाग सख्ती से बढ़ता है और दूसरे भाग भी सख्ती से बढ़ता है तथा दोनों परास अलग हैं। / Both parts are increasing on their domains, and their ranges do not overlap, so different inputs cannot have the same output.
Step 3
Exam Tip
अतः यह वास्तव में एकैकी और आच्छादक दोनों है, इसलिए सही निष्कर्ष द्वैक होना चाहिए। / Hence the function is both one-one and onto, so it is bijective.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-3 +x) हो तो फलन का सबसे सही प्रकार क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 +x), what is the most accurate type of the function?
#functions
#bijective
#one-one
#onto
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादी / Only onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
Step 1
Concept
\(x^3+x\) में (x) बढ़ने पर मान लगातार बढ़ता है इसलिए दो अलग (x) का मान समान नहीं हो सकता। / The expression \(x^3+x\) increases continuously as (x) increases, so two different inputs cannot give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
बहुत बड़े ऋणात्मक से बहुत बड़े धनात्मक मान तक फलन सभी वास्तविक मान ले सकता है। / Its values cover all real numbers from very negative to very positive.
Step 3
Exam Tip
जब फलन एकैकी और आच्छादी दोनों हो तो वह व्युत्क्रमणीय भी होता है। / A function that is both one-one and onto is also invertible.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-2 +1) हो तो सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 +1), which statement is correct?
#functions
#range
#one-one
#onto
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? Hint Small clue
A एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
B एकैकी लेकिन आच्छादी नहीं / One-one but not onto
C आच्छादी लेकिन एकैकी नहीं / Onto but not one-one
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
D. न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(1)=2) और (f(-1)=2) इसलिए यह एकैकी नहीं है। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2+1\geq 1\) होता है इसलिए (0) जैसे वास्तविक मान परास में नहीं आते। / Since \(x^2+1\geq 1\), real values like (0) are not in the range.
Step 3
Exam Tip
वर्ग वाले फलनों में प्रांत और सहप्रांत ध्यान से देखकर ही निष्कर्ष निकालें। / For square functions, always check both domain and codomain before deciding the type.
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यदि (f:\mathbb{R}\to(-1,1)) तथा (f(x)=\frac{x}{1+|x|}) हो तो फलन के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If (f:\mathbb{R}\to(-1,1)) and (f(x)=\frac{x}{1+|x|}), what is the correct conclusion about the function?
#functions
#modulus
#bijective
#range
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह एकैकी और आच्छादी है / It is one-one and onto
B यह केवल एकैकी है / It is only one-one
C यह केवल आच्छादी है / It is only onto
D यह न एकैकी है न आच्छादी / It is neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. यह एकैकी और आच्छादी है / It is one-one and onto
Step 1
Concept
ऋणात्मक भाग और धनात्मक भाग दोनों में फलन बढ़ता है और (0) पर भी क्रम बना रहता है। / On both negative and positive sides, the function increases and the order remains consistent at (0).
Step 2
Why this answer is correct
इसका मान सदैव (-1) और (1) के बीच रहता है और बीच का हर मान मिल जाता है। / Its values always lie between (-1) and (1), and every value in that interval is attained.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में सहप्रांत अगर परास के बराबर दिया हो तो आच्छादी होने की संभावना जाँचें। / When the codomain is exactly the natural range, check for onto carefully.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) तथा (f(n)=n+1) हो तो कौन सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) and (f(n)=n+1), which statement is correct?
#functions
#natural-numbers
#one-one
#onto
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? Hint Small clue
A एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादी / Only onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
B. केवल एकैकी / Only one-one
Step 1
Concept
अलग प्राकृतिक संख्याओं में (1) जोड़ने पर अलग मान मिलते हैं इसलिए फलन एकैकी है। / Adding (1) to different natural numbers gives different values, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(1) सहप्रांत में है पर किसी \(n\in\mathbb{N}\) के लिए (n+1=1) नहीं हो सकता। / (1) is in the codomain, but no \(n\in\mathbb{N}\) satisfies (n+1=1).
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं वाले प्रश्नों में पहला तत्व अक्सर आच्छादीपन को तोड़ देता है। / In natural number functions, the first element often helps test onto.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(n)=2n+1) हो तो सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=2n+1), choose the correct option.
#functions
#integers
#one-one
#onto
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? Hint Small clue
A यह एकैकी है पर आच्छादी नहीं / It is one-one but not onto
B यह आच्छादी है पर एकैकी नहीं / It is onto but not one-one
C यह एकैकी और आच्छादी दोनों है / It is one-one and onto
D यह फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. यह एकैकी है पर आच्छादी नहीं / It is one-one but not onto
Step 1
Concept
(2n+1) में अलग पूर्णांकों पर अलग विषम पूर्णांक मिलते हैं इसलिए फलन एकैकी है। / (2n+1) gives different odd integers for different integers, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(0) जैसे सम पूर्णांक सहप्रांत में हैं पर किसी (n) से (2n+1=0) पूर्णांक (n) नहीं देता। / Even integers such as (0) are in the codomain but are not obtained from any integer (n).
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में सहप्रांत बदलने से आच्छादीपन बदल सकता है। / For linear functions, the codomain can change whether the function is onto.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) तथा (f(x)=e^x) हो तो फलन कैसा है?
If (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) and (f(x)=e^x), what type of function is it?
#functions
#exponential
#bijective
#range
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A एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादी / Only onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
Step 1
Concept
\(e^x\) सदा बढ़ने वाला फलन है इसलिए अलग (x) पर अलग मान मिलते हैं। / \(e^x\) is strictly increasing, so different inputs give different outputs.
Step 2
Why this answer is correct
इसका मान कभी (0) या ऋणात्मक नहीं होता और हर धनात्मक मान मिल सकता है। / It is never (0) or negative, and every positive value can occur.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत (\(0,\infty\)) होने से यह आच्छादी बन जाता है। / Because the codomain is (\(0,\infty\)), the function is onto.
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यदि (f(x)=2x-3) और (g(x)=x-2 +1) हों तो (\(g\circ f\)(x)) क्या होगा?
If (f(x)=2x-3) and (g(x)=x-2 +1), what is (\(g\circ f\)(x))?
#functions
#composition
#algebra
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A \(4x^2-12x+10\)
B \(4x^2-12x+9\)
C \(2x^2-1\)
D \(2x^2+5\)
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Correct Answer
A. \(4x^2-12x+10\)
Step 1
Concept
(\(g\circ f\)(x)) का अर्थ है (g(f(x)))। / (\(g\circ f\)(x)) means (g(f(x))).
Step 2
Why this answer is correct
(g(2x-3)=(2x-3)2 +1=4x-2 -12x+10)। / (g(2x-3)=(2x-3)2 +1=4x-2 -12x+10).
Step 3
Exam Tip
समिश्र फलन में क्रम न बदलें क्योंकि \(g\circ f\) और \(f\circ g\) सामान्यतः अलग होते हैं। / Do not reverse the order in composition because \(g\circ f\) and \(f\circ g\) are usually different.
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यदि (f(x)=3x+4) हो तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?
If (f(x)=3x+4), what is (f^{-1}(x))?
#functions
#inverse
#linear-function
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \(\frac{x-4}{3}\)
B \(\frac{x+4}{3}\)
C (3x-4)
D (4x+3)
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Correct Answer
A. \(\frac{x-4}{3}\)
Step 1
Concept
(y=3x+4) लिखकर (x) को (y) के रूप में निकालें। / Write (y=3x+4) and solve for (x) in terms of (y).
Step 2
Why this answer is correct
(y-4=3x) इसलिए \(x=\frac{y-4}{3}\)। / (y-4=3x), so \(x=\frac{y-4}{3}\).
Step 3
Exam Tip
अंत में (y) की जगह (x) लिखने से (f^{-1}(x)=\frac{x-4}{3}) मिलता है। / Replace (y) by (x) to get (f^{-1}(x)=\frac{x-4}{3}).
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यदि \(f:\mathbb{R}-{-3}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\frac{x-2}{x+3}) हो तो परास से कौन सा मान हटेगा?
If \(f:\mathbb{R}-{-3}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{x-2}{x+3}), which value is excluded from the range?
#functions
#range
#rational-function
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A (1)
B (-3)
C (2)
D (-2)
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Step 1
Concept
मान लें \(y=\frac{x-2}{x+3}\)। / Let \(y=\frac{x-2}{x+3}\).
Step 2
Why this answer is correct
(yx+3y=x-2) से (x(y-1)=-(2+3y)) मिलता है। / From (yx+3y=x-2), we get (x(y-1)=-(2+3y)).
Step 3
Exam Tip
(y=1) रखने पर समीकरण असंभव हो जाता है इसलिए (1) परास में नहीं आता। / For (y=1), the equation becomes impossible, so (1) is not in the range.
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यदि \(g\circ f\) एकैकी है तो कौन सा निष्कर्ष हमेशा सही है?
If \(g\circ f\) is one-one, which conclusion is always correct?
#functions
#composition
#one-one
#theory
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (f) एकैकी है / (f) is one-one
B (g) एकैकी है / (g) is one-one
C (f) आच्छादी है / (f) is onto
D (g) आच्छादी है / (g) is onto
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Correct Answer
A. (f) एकैकी है / (f) is one-one
Step 1
Concept
यदि (f(a)=f(b)) हो तो (g(f(a))=g(f(b))) होगा। / If (f(a)=f(b)), then (g(f(a))=g(f(b))).
Step 2
Why this answer is correct
\(g\circ f\) एकैकी है इसलिए (a=b) होना पड़ेगा। / Since \(g\circ f\) is one-one, this forces (a=b).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (f) अवश्य एकैकी है पर (g) के लिए ऐसा निष्कर्ष हमेशा नहीं निकलता। / Therefore (f) must be one-one, but (g) need not always be one-one.
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यदि \(g\circ f\) आच्छादी है तो कौन सा निष्कर्ष हमेशा सत्य है?
If \(g\circ f\) is onto, which conclusion is always true?
#functions
#composition
#onto
#theory
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (g) आच्छादी है / (g) is onto
B (f) आच्छादी है / (f) is onto
C (f) एकैकी है / (f) is one-one
D (g) एकैकी है / (g) is one-one
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Correct Answer
A. (g) आच्छादी है / (g) is onto
Step 1
Concept
\(g\circ f\) आच्छादी है तो अंतिम सहप्रांत का हर तत्व (g(f(x))) के रूप में मिलता है। / If \(g\circ f\) is onto, every element of the final codomain is obtained as (g(f(x))).
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है वही तत्व (g) के मान के रूप में भी मिल रहा है। / Hence every such element is also obtained as a value of (g).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (g) आच्छादी होना आवश्यक है लेकिन (f) के बारे में हमेशा ऐसा नहीं कहा जा सकता। / Therefore (g) must be onto, but (f) need not be onto.
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यदि (A) में (4) तत्व और (B) में (6) तत्व हैं तो (A) से (B) में एकैकी फलनों की संख्या क्या होगी?
If (A) has (4) elements and (B) has (6) elements, how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#functions
#counting
#one-one
#finite-sets
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (360)
B (24)
C (1296)
D (720)
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Step 1
Concept
एकैकी फलन में (A) के अलग तत्वों को (B) के अलग तत्वों से जोड़ना होता है। / In a one-one function, different elements of (A) must go to different elements of (B).
Step 2
Why this answer is correct
संख्या \(^{6}P_{4}=6\cdot5\cdot4\cdot3=360\) होगी। / The count is \(^{6}P_{4}=6\cdot5\cdot4\cdot3=360\).
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलनों में पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं होती। / Repetition of images is not allowed in one-one functions.
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यदि (|A|=3) और (|B|=5) हो तो (A) से (B) में कुल फलनों की संख्या क्या है?
If (|A|=3) and (|B|=5), what is the total number of functions from (A) to (B)?
#functions
#counting
#total-functions
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (15)
B (125)
C (60)
D (243)
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Step 1
Concept
(A) के हर तत्व के लिए (B) में (5) चुनाव हैं। / Each element of (A) has (5) choices in (B).
Step 2
Why this answer is correct
कुल (3) तत्वों के लिए संख्या \(5^3=125\) होगी। / For (3) elements, the total number is \(5^3=125\).
Step 3
Exam Tip
कुल फलनों में एक ही प्रतिबिंब कई तत्वों के लिए आ सकता है। / In total functions, repeated images are allowed.
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यदि (|A|=3) और (|B|=2) हो तो (A) से (B) में आच्छादी फलनों की संख्या कितनी होगी?
If (|A|=3) and (|B|=2), how many onto functions are there from (A) to (B)?
#functions
#counting
#onto-functions
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (8)
B (6)
C (4)
D (2)
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Step 1
Concept
कुल फलन \(2^3=8\) हैं। / The total number of functions is \(2^3=8\).
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादी न होने वाले फलनों में सभी तत्व (B) के केवल एक ही तत्व पर जाते हैं ऐसे (2) फलन हैं। / Non-onto functions send all elements of (A) to only one element of (B), so there are (2) such functions.
Step 3
Exam Tip
इसलिए आच्छादी फलन (8-2=6) हैं। / Hence the number of onto functions is (8-2=6).
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यदि (|A|=4) हो तो (A) से (A) में द्वैकीय फलनों की संख्या क्या होगी?
If (|A|=4), how many bijective functions are there from (A) to (A)?
#functions
#counting
#bijection
#permutation
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (16)
B (24)
C (64)
D (256)
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Step 1
Concept
समान संख्या वाले सीमित समुच्चयों में द्वैकीय फलन क्रमचयों के बराबर होते हैं। / For finite sets of equal size, bijective functions correspond to permutations.
Step 2
Why this answer is correct
संख्या (4!=24) होगी। / The number is (4!=24).
Step 3
Exam Tip
द्वैकीय फलन में हर तत्व का अलग और पूरा उपयोग होता है। / A bijection uses every image exactly once.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=ax+b) हो तो (f) व्युत्क्रमणीय कब होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=ax+b), when is (f) invertible?
#functions
#invertible
#linear-function
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A जब \(a\neq0\) / When \(a\neq0\)
B जब (a=0) / When (a=0)
C जब (b=0) / When (b=0)
D हर (a,b) के लिए / For all (a,b)
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Correct Answer
A. जब \(a\neq0\) / When \(a\neq0\)
Step 1
Concept
व्युत्क्रमणीय फलन के लिए एकैकी और आच्छादी दोनों होना आवश्यक है। / An invertible function must be both one-one and onto.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a=0) तो फलन स्थिर हो जाएगा और एकैकी नहीं रहेगा। / If (a=0), the function becomes constant and is not one-one.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(a\neq0\) होने पर रैखिक फलन व्युत्क्रमणीय है। / Therefore the linear function is invertible when \(a\neq0\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) तथा (f(x)=|x|) हो तो कौन सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) and (f(x)=|x|), which statement is correct?
#functions
#modulus
#onto
#not-one-one
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A एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
B एकैकी लेकिन आच्छादी नहीं / One-one but not onto
C आच्छादी लेकिन एकैकी नहीं / Onto but not one-one
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. आच्छादी लेकिन एकैकी नहीं / Onto but not one-one
Step 1
Concept
(f(2)=2) और (f(-2)=2) इसलिए यह एकैकी नहीं है। / (f(2)=2) and (f(-2)=2), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत का हर मान \(y\geq0\) किसी (x=y) से मिल जाता है। / Every value \(y\geq0\) in the codomain is obtained by taking (x=y).
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन में चिन्ह बदलने से समान मान आ सकता है। / In modulus functions, opposite signs can give the same output.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x+\frac{1}{x}) हो तो सही निष्कर्ष क्या है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x+\frac{1}{x}), what is the correct conclusion?
#functions
#range
#reciprocal
#not-bijective
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A एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादी / Only onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
D. न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(1)=2) और (f\left\(\frac{1}{1}\right\)=2) से अलग उदाहरण नहीं मिलता लेकिन (f(2)=\frac{5}{2}) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{5}{2}) से एकैकीपन टूटता है। / (f(2)=\frac{5}{2}) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{5}{2}), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(x+\frac{1}{x}\geq2\) इसलिए ऋणात्मक मान नहीं मिलते। / Since \(x+\frac{1}{x}\geq2\) for (x>0), negative values are not obtained.
Step 3
Exam Tip
ऐसे फलनों में (x) और \(\frac{1}{x}\) की जोड़ी पर ध्यान दें। / For such functions, compare (x) and \(\frac{1}{x}\).
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) तथा (f(x)=x-2 ) हो तो फलन कैसा है?
If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=x-2 ), what type of function is it?
#functions
#square-function
#bijective
#inverse
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादी / Only onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
Step 1
Concept
\(x\geq0\) पर \(x^2\) बढ़ता है इसलिए अलग (x) पर अलग मान मिलते हैं। / On \(x\geq0\), \(x^2\) is increasing, so different inputs give different outputs.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत का हर \(y\geq0\) मान \(x=\sqrt{y}\) से मिल जाता है। / Every \(y\geq0\) is obtained by \(x=\sqrt{y}\).
Step 3
Exam Tip
प्रांत को \([0,\infty\)) करने से वर्ग फलन व्युत्क्रमणीय बन जाता है। / Restricting the domain to \([0,\infty\)) makes the square function invertible.
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यदि \(f:\mathbb{R}-{1}\to\mathbb{R}-{2}\) तथा (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}) हो तो सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}-{1}\to\mathbb{R}-{2}\) and (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}), which statement is correct?
#functions
#rational-function
#bijective
#range
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+10 Time+ 10 sec extra
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A फलन एकैकी और आच्छादी है / The function is one-one and onto
B फलन केवल एकैकी है / The function is only one-one
C फलन केवल आच्छादी है / The function is only onto
D फलन न एकैकी न आच्छादी है / The function is neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. फलन एकैकी और आच्छादी है / The function is one-one and onto
Step 1
Concept
\(y=\frac{2x+3}{x-1}\) से \(x=\frac{y+3}{y-2}\) मिलता है। / From \(y=\frac{2x+3}{x-1}\), we get \(x=\frac{y+3}{y-2}\).
Step 2
Why this answer is correct
(y=2) को छोड़कर हर (y) के लिए ठीक एक (x) मिलता है। / For every \(y\neq2\), exactly one (x) is obtained.
Step 3
Exam Tip
इसलिए दिए गए सहप्रांत \(\mathbb{R}-{2}\) में फलन द्वैकीय है। / Therefore with codomain \(\mathbb{R}-{2}\), the function is bijective.
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यदि (f(x)=\frac{3x-1}{2x+5}) हो तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?
If (f(x)=\frac{3x-1}{2x+5}), what is (f^{-1}(x))?
#functions
#inverse
#rational-function
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A \(\frac{5x+1}{3-2x}\)
B \(\frac{3x+1}{5-2x}\)
C \(\frac{2x+5}{3x-1}\)
D \(\frac{x-5}{2x+3}\)
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Correct Answer
A. \(\frac{5x+1}{3-2x}\)
Step 1
Concept
\(y=\frac{3x-1}{2x+5}\) लिखें। / Write \(y=\frac{3x-1}{2x+5}\).
Step 2
Why this answer is correct
(2xy+5y=3x-1) से (x(3-2y)=5y+1) मिलता है। / From (2xy+5y=3x-1), we get (x(3-2y)=5y+1).
Step 3
Exam Tip
अतः \(x=\frac{5y+1}{3-2y}\) और (y) की जगह (x) रखने पर व्युत्क्रम मिलता है। / Thus \(x=\frac{5y+1}{3-2y}\), and replacing (y) by (x) gives the inverse.
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यदि (f(x)=x-2 +1) और (g(x)=2x-3) हों तो (\(g\circ f\)(x)) क्या होगा?
If (f(x)=x-2 +1) and (g(x)=2x-3), what is (\(g\circ f\)(x))?
#functions
#composition
#quadratic
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(2x^2-1\)
B \(2x^2+5\)
C \(x^2-2\)
D \(4x^2-6x+10\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(2x^2-1\)
Step 1
Concept
(\(g\circ f\)(x)=g(f(x))) होता है। / (\(g\circ f\)(x)=g(f(x))).
Step 2
Why this answer is correct
(g\(x^2+1\)=2\(x^2+1\)-3=2x-2 -1)। / (g\(x^2+1\)=2\(x^2+1\)-3=2x-2 -1).
Step 3
Exam Tip
पहले अंदर वाले फलन का मान रखें फिर बाहर वाले फलन को लगाएँ। / Substitute the inner function first, then apply the outer function.
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यदि (f(x)=x+2) और (g(x)=x-2 ) हों तो \(f\circ g\) और \(g\circ f\) के बारे में सही कथन क्या है?
If (f(x)=x+2) and (g(x)=x-2 ), which statement about \(f\circ g\) and \(g\circ f\) is correct?
#functions
#composition
#order
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A दोनों हमेशा समान हैं / Both are always equal
B दोनों सामान्यतः अलग हैं / They are generally different
C दोनों फलन नहीं हैं / Both are not functions
D दोनों केवल (x=0) पर परिभाषित हैं / Both are defined only at (x=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. दोनों सामान्यतः अलग हैं / They are generally different
Step 1
Concept
(\(f\circ g\)(x)=x-2 +2) है। / (\(f\circ g\)(x)=x-2 +2).
Step 2
Why this answer is correct
(\(g\circ f\)(x)=(x+2)2 ) है। / (\(g\circ f\)(x)=(x+2)2 ).
Step 3
Exam Tip
समिश्र फलनों में क्रम बदलने से परिणाम सामान्यतः बदल जाता है। / Changing the order of composition generally changes the result.
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यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to C\) दोनों एकैकी हों तो \(g\circ f\) कैसा होगा?
If \(f:A\to B\) and \(g:B\to C\) are both one-one, what is \(g\circ f\)?
#functions
#composition
#one-one
#proof
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हमेशा एकैकी / Always one-one
B हमेशा आच्छादी / Always onto
C कभी फलन नहीं / Never a function
D हमेशा स्थिर / Always constant
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Correct Answer
A. हमेशा एकैकी / Always one-one
Step 1
Concept
यदि (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\)) हो तो (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\)))। / If (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\)), then (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))).
Step 2
Why this answer is correct
(g) एकैकी है इसलिए (f\(a_1\)=f\(a_2\)), और (f) एकैकी है इसलिए \(a_1=a_2\)। / Since (g) is one-one, (f\(a_1\)=f\(a_2\)), and since (f) is one-one, \(a_1=a_2\).
Step 3
Exam Tip
दो एकैकी फलनों का समिश्र भी एकैकी होता है। / The composition of two one-one functions is one-one.
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यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to C\) दोनों आच्छादी हों तो \(g\circ f\) कैसा होगा?
If \(f:A\to B\) and \(g:B\to C\) are both onto, what is \(g\circ f\)?
#functions
#composition
#onto
#proof
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हमेशा आच्छादी / Always onto
B हमेशा एकैकी / Always one-one
C कभी फलन नहीं / Never a function
D हमेशा स्थिर / Always constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हमेशा आच्छादी / Always onto
Step 1
Concept
(C) का कोई भी तत्व लें। / Take any element of (C).
Step 2
Why this answer is correct
(g) आच्छादी है इसलिए वह किसी (B) के तत्व का प्रतिबिंब है और (f) आच्छादी है इसलिए वह (B) का तत्व किसी (A) से आता है। / Since (g) is onto, it is the image of some element of (B), and since (f) is onto, that element of (B) comes from some element of (A).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(g\circ f\) भी (C) के हर तत्व तक पहुँचता है। / Therefore \(g\circ f\) reaches every element of (C).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(f=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\) दिया है। यह फलन किस प्रकार का है?
On the set \(A=\{1,2,3\}\), \(f=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\) is given. What type of function is it?
#functions
#bijection
#identity-function
#finite-set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A द्वैकीय लेकिन सर्वसमिका नहीं / Bijective but not identity
B सर्वसमिका लेकिन द्वैकीय नहीं / Identity but not bijective
C न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. द्वैकीय लेकिन सर्वसमिका नहीं / Bijective but not identity
Step 1
Concept
(A) के हर तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब है इसलिए यह फलन है। / Every element of (A) has exactly one image, so it is a function.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिबिंब (2,3,1) अलग-अलग हैं और पूरा (A) मिल जाता है। / The images (2,3,1) are distinct and cover all of (A).
Step 3
Exam Tip
क्योंकि (1) का प्रतिबिंब (1) नहीं है इसलिए यह सर्वसमिका फलन नहीं है। / Since (1) does not map to (1), it is not the identity function.
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निम्न में से कौन सा \(A=\{1,2\}\) से \(B=\{3,4,5\}\) में फलन है?
Which of the following is a function from \(A=\{1,2\}\) to \(B=\{3,4,5\}\)?
#functions
#definition
#ordered-pairs
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({(1,3),(2,4)})
B ({(1,3),(1,4),(2,5)})
C ({(1,3)})
D ({(2,3),(2,4)})
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Correct Answer
A. ({(1,3),(2,4)})
Step 1
Concept
फलन में प्रांत के हर तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब होना चाहिए। / In a function, each element of the domain must have exactly one image.
Step 2
Why this answer is correct
पहले विकल्प में (1) और (2) दोनों का एक-एक प्रतिबिंब है। / In the first option, both (1) and (2) have exactly one image.
Step 3
Exam Tip
किसी तत्व के दो प्रतिबिंब हों या कोई तत्व छूट जाए तो वह फलन नहीं होता। / If an element has two images or is missing, it is not a function.
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कौन सा विकल्प फलन नहीं हो सकता?
Which option cannot be a function?
#functions
#definition
#well-defined
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एक ही प्रांत तत्व के दो अलग प्रतिबिंब हों / One domain element has two different images
B दो प्रांत तत्वों का एक ही प्रतिबिंब हो / Two domain elements have the same image
C हर प्रांत तत्व का एक प्रतिबिंब हो / Every domain element has one image
D सहप्रांत का कोई तत्व अप्रयुक्त रह जाए / Some codomain element remains unused
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एक ही प्रांत तत्व के दो अलग प्रतिबिंब हों / One domain element has two different images
Step 1
Concept
फलन की मूल शर्त है कि हर आगत का ठीक एक निर्गत हो। / The basic condition for a function is that each input has exactly one output.
Step 2
Why this answer is correct
यदि एक ही आगत के दो अलग निर्गत हैं तो नियम निश्चित नहीं है। / If one input has two different outputs, the rule is not well-defined.
Step 3
Exam Tip
दो आगतों का एक ही निर्गत हो सकता है पर तब फलन एकैकी नहीं होगा। / Two inputs may have the same output, but then the function is not one-one.
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फलन (f(x)=\sqrt{x-4}) का वास्तविक प्रांत क्या है?
What is the real domain of the function (f(x)=\sqrt{x-4})?
#functions
#domain
#square-root
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \([4,\infty\))
B (\(4,\infty\))
C (\(-\infty,4]\)
D \(\mathbb{R}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \([4,\infty\))
Step 1
Concept
वर्गमूल के अंदर की मात्रा ऋणात्मक नहीं होनी चाहिए। / The expression inside the square root must be non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
\(x-4\geq0\) से \(x\geq4\) मिलता है। / \(x-4\geq0\) gives \(x\geq4\).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल वाले फलनों में अंदर की मात्रा को (0) से बड़ा या बराबर रखें। / For square-root functions, set the radicand greater than or equal to (0).
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फलन (f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}}) का वास्तविक प्रांत क्या होगा?
What is the real domain of (f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}})?
#functions
#domain
#denominator
#square-root
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \([2,\infty\))
B (\(2,\infty\))
C (\(-\infty,2\))
D \(\mathbb{R}-{2}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (\(2,\infty\))
Step 1
Concept
वर्गमूल के लिए \(x-2\geq0\) चाहिए। / For the square root, \(x-2\geq0\) is needed.
Step 2
Why this answer is correct
हर में वर्गमूल है इसलिए (x-2=0) नहीं हो सकता। / Since the square root is in the denominator, (x-2=0) is not allowed.
Step 3
Exam Tip
दोनों शर्तों से (x>2) मिलता है। / Combining both conditions gives (x>2).
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फलन (f(x)=\sqrt{9-x-2 }) का वास्तविक प्रांत क्या है?
What is the real domain of (f(x)=\sqrt{9-x-2 })?
#functions
#domain
#inequality
#square-root
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ([-3,3])
B (\(-\infty,-3]\cup[3,\infty\))
C ((0,3))
D \(\mathbb{R}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ([-3,3])
Step 1
Concept
वर्गमूल के अंदर \(9-x^2\geq0\) होना चाहिए। / The expression inside the square root must satisfy \(9-x^2\geq0\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(x^2\leq9\) यानी \(-3\leq x\leq3\) मिलता है। / This gives \(x^2\leq9\), so \(-3\leq x\leq3\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग वाले असमानताओं में दोनों ओर की सीमा याद रखें। / In square inequalities, remember both lower and upper bounds.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-4 ) हो तो सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-4 ), what is the correct conclusion?
#functions
#power-function
#range
#not-bijective
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादी / Only onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(1)=1) और (f(-1)=1) इसलिए फलन एकैकी नहीं है। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^4\geq0\) इसलिए ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ परास में नहीं आतीं। / Since \(x^4\geq0\), negative real numbers are not in the range.
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले फलनों में चिन्ह और परास दोनों जाँचें। / For even powers, check both sign symmetry and range.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) तथा (f(x)=x-4 ) हो तो फलन कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) and (f(x)=x-4 ), what type of function is it?
#functions
#power-function
#onto
#not-one-one
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
B एकैकी लेकिन आच्छादी नहीं / One-one but not onto
C आच्छादी लेकिन एकैकी नहीं / Onto but not one-one
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. आच्छादी लेकिन एकैकी नहीं / Onto but not one-one
Step 1
Concept
(f(2)=16) और (f(-2)=16) इसलिए यह एकैकी नहीं है। / (f(2)=16) and (f(-2)=16), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत का हर \(y\geq0\) मान \(x=\sqrt[4]{y}\) से मिल जाता है। / Every \(y\geq0\) is obtained using \(x=\sqrt[4]{y}\).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत बदलने से वही फलन आच्छादी बन सकता है। / Changing the codomain can make the same function onto.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(n)=n-3 ) हो तो सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=n-3 ), choose the correct statement.
#functions
#integers
#cube-function
#one-one
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह एकैकी है पर आच्छादी नहीं / It is one-one but not onto
B यह आच्छादी है पर एकैकी नहीं / It is onto but not one-one
C यह द्वैकीय है / It is bijective
D यह फलन नहीं है / It is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह एकैकी है पर आच्छादी नहीं / It is one-one but not onto
Step 1
Concept
अलग पूर्णांकों के घन अलग होते हैं इसलिए फलन एकैकी है। / Cubes of different integers are different, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
सभी पूर्णांक घन नहीं होते जैसे (2) किसी पूर्णांक का घन नहीं है। / Not every integer is a cube; for example, (2) is not the cube of any integer.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक प्रांत में घात फलन का परास ध्यान से देखें। / For power functions on integers, examine the range carefully.
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यदि \(f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) तथा (f(x)=x+1) हो तो फलन कैसा है?
If \(f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) and (f(x)=x+1), what type of function is it?
#functions
#rational-numbers
#bijection
#linear-function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A द्वैकीय / Bijective
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादी / Only onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. द्वैकीय / Bijective
Step 1
Concept
अलग परिमेय संख्याओं में (1) जोड़ने पर अलग परिमेय संख्याएँ मिलती हैं। / Adding (1) to different rational numbers gives different rational numbers.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी परिमेय (y) के लिए (x=y-1) भी परिमेय है इसलिए हर (y) मिल जाता है। / For any rational (y), (x=y-1) is also rational, so every (y) is obtained.
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्याओं में जोड़ और घटाव बंद रहते हैं। / Rational numbers are closed under addition and subtraction.
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यदि \(f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) तथा (f(x)=x-2 ) हो तो सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) and (f(x)=x-2 ), what is the correct conclusion?
#functions
#rational-numbers
#square-function
#range
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A द्वैकीय / Bijective
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादी / Only onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(1)=1) और (f(-1)=1) इसलिए एकैकी नहीं है। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ किसी परिमेय के वर्ग के रूप में नहीं मिलतीं। / Negative rational numbers cannot be squares of rational numbers.
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन में ऋणात्मक और धनात्मक दोनों आगतों से समान मान मिल सकता है। / In square functions, positive and negative inputs can give the same value.
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किसी फलन का व्युत्क्रम फलन होने के लिए कौन सी शर्त आवश्यक और पर्याप्त है?
Which condition is necessary and sufficient for a function to have an inverse function?
#functions
#inverse
#bijection
#theory
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A फलन द्वैकीय हो / The function is bijective
B फलन केवल एकैकी हो / The function is only one-one
C फलन केवल आच्छादी हो / The function is only onto
D फलन स्थिर हो / The function is constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. फलन द्वैकीय हो / The function is bijective
Step 1
Concept
व्युत्क्रम के लिए हर निर्गत से ठीक एक आगत वापस मिलना चाहिए। / For an inverse function, every output must correspond back to exactly one input.
Step 2
Why this answer is correct
एकैकीपन एक से अधिक आगतों को रोकता है और आच्छादीपन हर सहप्रांत तत्व को कवर करता है। / One-one prevents multiple inputs, and onto ensures every codomain element is covered.
Step 3
Exam Tip
इसलिए व्युत्क्रम फलन के लिए द्वैकीय होना आवश्यक और पर्याप्त है। / Hence being bijective is necessary and sufficient for an inverse function.
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यदि \(f:A\to B\) द्वैकीय है तो \(f^{-1}\circ f\) किसके बराबर होगा?
If \(f:A\to B\) is bijective, what is \(f^{-1}\circ f\) equal to?
#functions
#inverse
#identity
#composition
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(I_A\)
B \(I_B\)
C (f)
D \(f^{-1}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(I_A\)
Step 1
Concept
पहले (f) किसी (A) के तत्व को (B) में भेजता है। / First, (f) sends an element of (A) to (B).
Step 2
Why this answer is correct
फिर \(f^{-1}\) उसे वापस उसी मूल तत्व पर ले आता है। / Then \(f^{-1}\) brings it back to the original element.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(f^{-1}\circ f\) प्रांत (A) पर सर्वसमिका फलन है। / Therefore \(f^{-1}\circ f\) is the identity function on (A).
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यदि (|A|=n) हो तो (A) पर कुल द्विचर संक्रियाओं की संख्या क्या होती है?
If (|A|=n), what is the total number of binary operations on (A)?
#functions
#binary-operation
#counting
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(n^{n^2}\)
B \(n^2\)
C \(n^n\)
D \(2^n\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(n^{n^2}\)
Step 1
Concept
द्विचर संक्रिया \(A\times A\) से (A) में एक फलन होती है। / A binary operation on (A) is a function from \(A\times A\) to (A).
Step 2
Why this answer is correct
\(A\times A\) में \(n^2\) क्रमित युग्म होते हैं और हर युग्म के लिए (n) चुनाव हैं। / \(A\times A\) has \(n^2\) ordered pairs, and each pair has (n) choices.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संख्या \(n^{n^2}\) होती है। / Therefore the total number is \(n^{n^2}\).
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यदि (|A|=3) हो तो (A) से (A) में कुल फलनों की संख्या क्या होगी?
If (|A|=3), how many total functions are there from (A) to (A)?
#functions
#counting
#total-functions
#finite-set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (6)
B (9)
C (27)
D (81)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
प्रांत के प्रत्येक तत्व के लिए सहप्रांत में (3) चुनाव हैं। / Each element of the domain has (3) choices in the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
कुल (3) तत्व होने से संख्या \(3^3=27\) है। / Since there are (3) elements, the count is \(3^3=27\).
Step 3
Exam Tip
कुल फलनों की गिनती में प्रतिबिंब दोहराए जा सकते हैं। / In counting all functions, repeated images are allowed.
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यदि (|A|=7) और (|B|=5) हो तो (A) से (B) में स्थिर फलनों की संख्या कितनी होगी?
If (|A|=7) and (|B|=5), how many constant functions are there from (A) to (B)?
#functions
#constant-function
#counting
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (5)
B (7)
C (35)
D \(5^7\)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
स्थिर फलन में (A) के सभी तत्व (B) के एक ही तत्व पर जाते हैं। / In a constant function, all elements of (A) go to the same element of (B).
Step 2
Why this answer is correct
वह एक तत्व (B) के (5) तत्वों में से कोई भी हो सकता है। / That single element can be any of the (5) elements of (B).
Step 3
Exam Tip
इसलिए स्थिर फलनों की संख्या सहप्रांत के तत्वों की संख्या के बराबर होती है। / Hence the number of constant functions equals the number of elements in the codomain.
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यदि (A) सीमित समुच्चय है और \(f:A\to A\) एकैकी है तो कौन सा निष्कर्ष सत्य है?
If (A) is a finite set and \(f:A\to A\) is one-one, which conclusion is true?
#functions
#finite-set
#one-one
#onto
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) आच्छादी भी है / (f) is also onto
B (f) स्थिर है / (f) is constant
C (f) फलन नहीं है / (f) is not a function
D (f) का परास खाली है / The range of (f) is empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) आच्छादी भी है / (f) is also onto
Step 1
Concept
सीमित समुच्चय में (A) से (A) तक एकैकी फलन अलग-अलग प्रतिबिंब देता है। / For a finite set, a one-one function from (A) to (A) gives distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
जितने तत्व प्रांत में हैं उतने ही सहप्रांत में हैं इसलिए सभी सहप्रांत तत्व उपयोग हो जाते हैं। / Since the domain and codomain have the same number of elements, all codomain elements are used.
Step 3
Exam Tip
सीमित समान समुच्चय पर एकैकी और आच्छादी बराबर प्रभाव रखते हैं। / On finite equal sets, one-one implies onto.
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यदि (A) सीमित समुच्चय है और \(f:A\to A\) आच्छादी है तो कौन सा निष्कर्ष सत्य है?
If (A) is a finite set and \(f:A\to A\) is onto, which conclusion is true?
#functions
#finite-set
#onto
#one-one
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एकैकी भी है / (f) is also one-one
B (f) स्थिर है / (f) is constant
C (f) का प्रांत खाली है / The domain of (f) is empty
D (f) फलन नहीं है / (f) is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एकैकी भी है / (f) is also one-one
Step 1
Concept
आच्छादी होने से सहप्रांत का हर तत्व उपयोग होता है। / Onto means every codomain element is used.
Step 2
Why this answer is correct
सीमित समान समुच्चय में यदि कोई दो प्रांत तत्व एक ही प्रतिबिंब लेते तो कोई सहप्रांत तत्व छूट जाता। / For finite equal sets, if two domain elements had the same image, some codomain element would be left unused.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (A) से (A) में आच्छादी फलन एकैकी भी होता है। / Therefore an onto function from (A) to (A) is also one-one.
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यदि (f(x)=\frac{1}{x+1}) हो तो (\(f\circ f\)(x)) क्या होगा?
If (f(x)=\frac{1}{x+1}), what is (\(f\circ f\)(x))?
#functions
#composition
#rational-function
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A \(\frac{x+1}{x+2}\)
B \(\frac{x+2}{x+1}\)
C \(\frac{1}{x+2}\)
D (x+1)
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Correct Answer
A. \(\frac{x+1}{x+2}\)
Step 1
Concept
(\(f\circ f\)(x)=f(f(x))) है। / (\(f\circ f\)(x)=f(f(x))).
Step 2
Why this answer is correct
(f(f(x))=\frac{1}{\frac{1}{x+1}+1}=\frac{x+1}{x+2})। / (f(f(x))=\frac{1}{\frac{1}{x+1}+1}=\frac{x+1}{x+2}).
Step 3
Exam Tip
भिन्न वाले समिश्र फलनों में हर को सावधानी से सरल करें। / In fractional compositions, simplify the denominator carefully.
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यदि \(f:[2,\infty\)\to[0,\infty)) तथा (f(x)=\sqrt{x-2}) हो तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?
If \(f:[2,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=\sqrt{x-2}), what is (f^{-1}(x))?
#functions
#inverse
#square-root
#domain
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? Hint Small clue
A \(x^2+2\)
B \(x^2-2\)
C \(\sqrt{x+2}\)
D \(\frac{1}{x^2+2}\)
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Correct Answer
A. \(x^2+2\)
Step 1
Concept
\(y=\sqrt{x-2}\) लिखें। / Write \(y=\sqrt{x-2}\).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों ओर वर्ग करने पर \(y^2=x-2\) इसलिए \(x=y^2+2\)। / Squaring both sides gives \(y^2=x-2\), so \(x=y^2+2\).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम लिखते समय नए प्रांत और परास भी बदल जाते हैं। / When writing the inverse, the domain and range are interchanged.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-3 -3x) हो तो सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 -3x), which statement is correct?
#functions
#cubic-function
#onto
#not-one-one
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A आच्छादी लेकिन एकैकी नहीं / Onto but not one-one
B एकैकी लेकिन आच्छादी नहीं / One-one but not onto
C द्वैकीय / Bijective
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. आच्छादी लेकिन एकैकी नहीं / Onto but not one-one
Step 1
Concept
(f(0)=0), (f\(\sqrt{3}\)=0) और (f\(-\sqrt{3}\)=0) से एकैकीपन टूटता है। / (f(0)=0), (f\(\sqrt{3}\)=0), and (f\(-\sqrt{3}\)=0), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
घन बहुपद के मान बहुत ऋणात्मक से बहुत धनात्मक तक जाते हैं इसलिए हर वास्तविक मान मिलता है। / A cubic polynomial goes from very negative to very positive values, so every real value is attained.
Step 3
Exam Tip
घन फलन हमेशा एकैकी हो यह जरूरी नहीं है। / A cubic function need not always be one-one.
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यदि (|A|=5) और (|B|=3) हो तो (A) से (B) में कौन सा कथन सही है?
If (|A|=5) and (|B|=3), which statement is correct for functions from (A) to (B)?
#functions
#finite-set
#one-one
#onto
#cardinality
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A एकैकी फलन संभव नहीं पर आच्छादी फलन संभव है / One-one function is impossible but onto function is possible
B एकैकी फलन संभव है पर आच्छादी फलन संभव नहीं / One-one function is possible but onto function is impossible
C न एकैकी न आच्छादी फलन संभव है / Neither one-one nor onto function is possible
D हर फलन द्वैकीय होगा / Every function will be bijective
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Correct Answer
A. एकैकी फलन संभव नहीं पर आच्छादी फलन संभव है / One-one function is impossible but onto function is possible
Step 1
Concept
(A) में (5) तत्व और (B) में (3) तत्व हैं इसलिए सभी (5) तत्वों को अलग प्रतिबिंब देना संभव नहीं है। / (A) has (5) elements and (B) has (3), so it is impossible to assign distinct images to all (5) elements.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (B) के (3) तत्वों को (A) के (5) तत्वों से कवर करना संभव है। / But it is possible to cover all (3) elements of (B) using (5) elements of (A).
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में तत्वों की संख्या से पहले संभावना जाँचें। / For finite sets, first compare cardinalities.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=|x-2|+3) हो तो परास क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|x-2|+3), what is the range?
#functions
#range
#modulus
#minimum
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A \([3,\infty\))
B (\(3,\infty\))
C (\(-\infty,3]\)
D \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. \([3,\infty\))
Step 1
Concept
\(|x-2|\geq0\) हमेशा होता है। / \(|x-2|\geq0\) always.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(|x-2|+3\geq3\) और (x=2) पर मान (3) मिलता है। / Therefore \(|x-2|+3\geq3\), and at (x=2), the value is (3).
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन का न्यूनतम मान अंदर की मात्रा शून्य करके मिलता है। / For modulus functions, the minimum is found by making the inside expression zero.
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यदि \(f:\mathbb{R}-{0}\to\mathbb{R}-{0}\) तथा (f(x)=\frac{1}{x}) हो तो फलन के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:\mathbb{R}-{0}\to\mathbb{R}-{0}\) and (f(x)=\frac{1}{x}), what is the correct conclusion about the function?
#functions
#inverse
#self-inverse
#reciprocal
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A यह स्वयं का व्युत्क्रम है / It is its own inverse
B यह फलन नहीं है / It is not a function
C यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
D यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
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Correct Answer
A. यह स्वयं का व्युत्क्रम है / It is its own inverse
Step 1
Concept
\(x\neq0\) होने पर \(\frac{1}{x}\) भी शून्य नहीं होता इसलिए फलन ठीक से परिभाषित है। / If \(x\neq0\), then \(\frac{1}{x}\neq0\), so the function is well-defined.
Step 2
Why this answer is correct
(f(f(x))=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x) मिलता है। / (f(f(x))=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x).
Step 3
Exam Tip
जब \(f\circ f\) सर्वसमिका हो तो फलन स्वयं का व्युत्क्रम होता है। / When \(f\circ f\) is the identity, the function is its own inverse.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-5 +x-3 +x) हो तो सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-5 +x-3 +x), what is the correct conclusion?
#functions
#polynomial-function
#bijection
#one-one
#onto
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A फलन एकैकी और आच्छादी है / The function is one-one and onto
B फलन केवल एकैकी है / The function is only one-one
C फलन केवल आच्छादी है / The function is only onto
D फलन न एकैकी न आच्छादी है / The function is neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. फलन एकैकी और आच्छादी है / The function is one-one and onto
Step 1
Concept
\(x^5+x^3+x\) में (x) बढ़ने पर फलन लगातार बढ़ता है क्योंकि इसकी ढाल \(5x^4+3x^2+1\) हमेशा धनात्मक रहती है। / The function \(x^5+x^3+x\) is strictly increasing because its derivative \(5x^4+3x^2+1\) is always positive.
Step 2
Why this answer is correct
बहुत बड़े ऋणात्मक (x) पर मान बहुत ऋणात्मक और बहुत बड़े धनात्मक (x) पर मान बहुत धनात्मक हो जाता है, इसलिए हर वास्तविक मान मिल जाता है। / For very large negative (x), the value becomes very negative, and for very large positive (x), the value becomes very positive, so every real value is attained.
Step 3
Exam Tip
विषम घातों वाले बढ़ते बहुपद में एकैकीपन और आच्छादीपन दोनों ध्यान से जाँचें। / For increasing odd-power polynomials, check both one-one and onto carefully.
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