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यहां \(\alpha+\beta=7\) और \(\alpha\beta=12\) है। (\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}=\frac{25}{12}) होगा। / Here \(\alpha+\beta=7\) and \(\alpha\beta=12\). (\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}=\frac{25}{12}).
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=25-24=1) है। मूलों के अंतर के लिए यह पहचान याद रखें। / (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=25-24=1). Remember this identity for difference of roots.
यह समीकरण ((x-k)2=0) बनता है। इसलिए दोनों मूल (k) और (k) बराबर हैं। / This equation becomes ((x-k)2=0). Therefore both roots are (k) and (k), which are equal.
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहां \(2\cdot3=\frac{6}{a}\) से (a=1) मिलता है। / The product of roots is \(\frac{c}{a}\). Here \(2\cdot3=\frac{6}{a}\), so (a=1).
मूलों का योग (-7) है इसलिए (-p=-7) से (p=7) और (q=10)। अतः (p+q=17) है। / The sum of roots is (-7), so (-p=-7) gives (p=7), and (q=10). Hence (p+q=17).
मूल (-2) और (-4) होने पर गुणनफल (8) है। मोनिक समीकरण में \(k=\alpha\beta=8\) होता है। / For roots (-2) and (-4), the product is (8). In a monic equation \(k=\alpha\beta=8\).
व्युत्क्रमों का योग \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) होता है। यहां \(\frac{\frac{7}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{7}{3}\) है। / The sum of reciprocals is \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here \(\frac{\frac{7}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{7}{3}\).
\(\alpha+\beta=9\) और \(\alpha\beta=20\) है। (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=729-540=189) नहीं बल्कि (189) होगा। / \(\alpha+\beta=9\) and \(\alpha\beta=20\). (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=729-540=189).
A. योग (a+1) और गुणनफल (a) है/Sum is (a+1) and product is (a)
Explanation
Simple Explanation
मूल (1) और (a) का योग (a+1) तथा गुणनफल (a) है। इसलिए मोनिक समीकरण (x-2-(a+1)x+a=0) बनता है। / The roots (1) and (a) have sum (a+1) and product (a). Therefore the monic equation is (x-2-(a+1)x+a=0).
यहां \(\alpha+\beta=6\) और \(\alpha\beta=8\) है। (\(\alpha+1\)\(\beta+1\)=\alpha\beta+\alpha+\beta+1=15) है। / Here \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha\beta=8\). (\(\alpha+1\)\(\beta+1\)=\alpha\beta+\alpha+\beta+1=15).
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)) होता है। यहां \(\alpha\beta=-10\) और \(\alpha+\beta=3\) इसलिए मान (-30) है। / (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)). Here \(\alpha\beta=-10\) and \(\alpha+\beta=3\), so the value is (-30).
यहां \(\alpha+\beta=\frac{5}{2}\) और \(\alpha\beta=1\) है। (\frac{1}{\alpha-2}+\frac{1}{\beta-2}=\frac{\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta}{\(\alpha\beta\)2}=\frac{17}{4}) है। / Here \(\alpha+\beta=\frac{5}{2}\) and \(\alpha\beta=1\). (\frac{1}{\alpha-2}+\frac{1}{\beta-2}=\frac{\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta}{\(\alpha\beta\)2}=\frac{17}{4}).
बराबर मूलों के लिए मूल (-4) और (-4) होंगे क्योंकि गुणनफल (16) है। योग (-8) है इसलिए (-p=-8) से (p=8) है। / For equal roots, the roots are (-4) and (-4) because the product is (16). The sum is (-8), so (-p=-8) gives (p=8).
(x=1) रखने पर (1+2a=0) से \(a=-\frac{1}{2}\) है। गुणनफल (a) है इसलिए दूसरा मूल \(-\frac{1}{2}\) होगा। / Putting (x=1) gives (1+2a=0), so \(a=-\frac{1}{2}\). The product is (a), so the other root is \(-\frac{1}{2}\).
मूलों का योग (5) और अंतर (1) है इसलिए मूल (3) और (2) हैं। उनका गुणनफल (q=6) है। / The sum of roots is (5) and the difference is (1), so the roots are (3) and (2). Their product is (q=6).
यहां मूलों का योग (S) और गुणनफल (P) है। इसलिए (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=S-2-2P) है। / Here the sum of roots is (S) and product is (P). Therefore (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=S-2-2P).
पुराने मूल (6) और (-2) हैं। नए मूल (7) और (-1) होंगे इसलिए समीकरण \(x^2-6x-7=0\) नहीं बल्कि \(x^2-6x-7=0\) होता है। / The old roots are (6) and (-2). The new roots are (7) and (-1), so the equation is \(x^2-6x-7=0\).
पुराने मूल (6) और (-2) हैं। नए मूल (5) और (-3) होंगे इसलिए गुणनफल (-15) है। / The old roots are (6) and (-2). The new roots are (5) and (-3), so the product is (-15).
पुराने योग (3) और गुणनफल (2) हैं। नए योग (6) और गुणनफल (8) होंगे इसलिए \(x^2-6x+8=0\) है। / The old sum is (3) and product is (2). The new sum is (6) and product is (8), so the equation is \(x^2-6x+8=0\).
पुराने मूलों का योग (5) है। नए योग (\(\alpha+2\)+\(\beta+2\)=\alpha+\beta+4=9) होगा। / The old sum of roots is (5). The new sum is (\(\alpha+2\)+\(\beta+2\)=\alpha+\beta+4=9).
यह ((x-5)2=0) है इसलिए दोनों मूल (5) और (5) हैं। अतः \(\alpha-\beta=0\) है। / This is ((x-5)2=0), so both roots are (5) and (5). Hence \(\alpha-\beta=0\).
समीकरण के मूल (3) और (-6) हैं। इसलिए (\left|\alpha-\beta\right|=\left|3-(-6)\right|=9) है। / The roots are (3) and (-6). Therefore (\left|\alpha-\beta\right|=\left|3-(-6)\right|=9).
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) है। \(20=16-2\alpha\beta\) से \(\alpha\beta=-2\) मिलता है। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta). From \(20=16-2\alpha\beta\), we get \(\alpha\beta=-2\).
मूल (t) और (2t) मानें तो योग (3t=6) से (t=2) है। मूल (2) और (4) होंगे इसलिए (c=8) है। / Let the roots be (t) and (2t). From sum (3t=6), (t=2), so roots are (2) and (4), hence (c=8).
मूल (-2) और (-6) होंगे क्योंकि गुणनफल (12) है। उनका योग (-8) है इसलिए (-p=-8) से (p=8) है। / The roots are (-2) and (-6) because the product is (12). Their sum is (-8), so (-p=-8) gives (p=8).
बराबर धनात्मक मूल (3) और (3) होंगे। योग (6) है इसलिए (-b=6) से (b=-6) है। / The equal positive roots are (3) and (3). The sum is (6), so (-b=6) gives (b=-6).
योग \(-\frac{b}{a}=\frac{2}{3}\) और गुणनफल \(\frac{k}{3}\) है। \(\frac{k}{3}=\frac{2}{3}\) से (k=2) है। / The sum is \(-\frac{b}{a}=\frac{2}{3}\) and the product is \(\frac{k}{3}\). From \(\frac{k}{3}=\frac{2}{3}\), (k=2).
अचर पद ((m+1)2) है और समीकरण ((x-(m+1))2=0) बनता है। इसलिए हर वास्तविक (m) के लिए मूल बराबर हैं। / The constant term is ((m+1)2), and the equation becomes ((x-(m+1))2=0). Hence roots are equal for every real (m).
यहां \(\alpha+\beta=7\) और \(\alpha\beta=10\) है। (\(\alpha-1\)\(\beta-1\)=10-7+1=4) है। / Here \(\alpha+\beta=7\) and \(\alpha\beta=10\). (\(\alpha-1\)\(\beta-1\)=10-7+1=4).
मूलों का गुणनफल \(\frac{q}{3}\) होता है। (2\cdot(-3)=-6) इसलिए \(\frac{q}{3}=-6\) है। / The product of roots is \(\frac{q}{3}\). Since (2\cdot(-3)=-6), \(\frac{q}{3}=-6\).
योग (3) है इसलिए (p=-3) और गुणनफल (-4) है इसलिए (q=-4)। अतः (p-q=-3-(-4)=1) है। / The sum is (3), so (p=-3), and the product is (-4), so (q=-4). Thus (p-q=-3-(-4)=1).
यहां \(\alpha+\beta=4\) और \(\alpha\beta=1\) है। \(\alpha^2+\beta^2=16-2=14\) है। / Here \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha\beta=1\). \(\alpha^2+\beta^2=16-2=14\).
यहां \(\alpha+\beta=-1\) और \(\alpha\beta=-1\) है। (\alpha-2+\alpha\beta+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-\alpha\beta=1-(-1)=2) है। / Here \(\alpha+\beta=-1\) and \(\alpha\beta=-1\). (\alpha-2+\alpha\beta+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-\alpha\beta=1-(-1)=2).
(m+(m+1)=2m+1) और (m(m+1)) गुणनफल है। इसलिए मूल (m) और (m+1) हो सकते हैं। / (m+(m+1)=2m+1) and the product is (m(m+1)). Therefore the roots can be (m) and (m+1).
मूल (3) और (5) हैं इसलिए \(\alpha-1\) और \(\beta-1\) (2) और (4) होंगे। मान \(\frac{2}{4}+\frac{4}{2}=\frac{5}{2}\) है। / The roots are (3) and (5), so \(\alpha-1\) and \(\beta-1\) are (2) and (4). The value is \(\frac{2}{4}+\frac{4}{2}=\frac{5}{2}\).
यहां \(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=15\) है। (\(\alpha-1\)\(\beta-1\)=15-8+1=8) है। / Here \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=15\). (\(\alpha-1\)\(\beta-1\)=15-8+1=8).
समीकरण के मूल (5) और (6) हैं। इसलिए छोटा मूल (5) और बड़ा मूल (6) है तथा \(\beta-\alpha=1\) है। / The roots are (5) and (6). Thus the smaller root is (5) and the larger root is (6), so \(\beta-\alpha=1\).
(\alpha-2\beta-2=\(\alpha\beta\)2) होता है। यहां \(\alpha\beta=8\) इसलिए मान (64) है। / (\alpha-2\beta-2=\(\alpha\beta\)2). Here \(\alpha\beta=8\), so the value is (64).
B. \(\frac{7}{3}\) या \(-\frac{7}{3}\)/\(\frac{7}{3}\) or \(-\frac{7}{3}\)
Explanation
Simple Explanation
मूल (5) और (2) हैं इसलिए योग (7) और अंतर \(\pm3\) हो सकता है। इसलिए मान \(\frac{7}{3}\) या \(-\frac{7}{3}\) है। / The roots are (5) and (2), so the sum is (7) and the difference can be \(\pm3\). Hence the value is \(\frac{7}{3}\) or \(-\frac{7}{3}\).
यहां \(\alpha+\beta=2\) और \(\alpha\beta=-8\) है। (\(\alpha+3\)\(\beta+3\)=-8+3(2)+9=7) है। / Here \(\alpha+\beta=2\) and \(\alpha\beta=-8\). (\(\alpha+3\)\(\beta+3\)=-8+3(2)+9=7).
बराबर ऋणात्मक मूल (-6) और (-6) हैं। योग (-12) है इसलिए (-k=-12) से (k=12) है। / The equal negative roots are (-6) and (-6). Their sum is (-12), so (-k=-12) gives (k=12).
यहां \(\alpha+\beta=12\) और \(\alpha\beta=32\) है। \(\alpha^2+\beta^2=144-64=80\) और \(\frac{80}{32}=\frac{5}{2}\) है। / Here \(\alpha+\beta=12\) and \(\alpha\beta=32\). \(\alpha^2+\beta^2=144-64=80\), and \(\frac{80}{32}=\frac{5}{2}\).
पुराने योग (5) और गुणनफल (6) हैं। उलटे मूलों का योग \(\frac{5}{6}\) और गुणनफल \(\frac{1}{6}\) होगा। / The old sum is (5) and product is (6). The reciprocal roots have sum \(\frac{5}{6}\) and product \(\frac{1}{6}\).
यहां \(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=15\) है। मान (\frac{\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}=\frac{34}{15}) होगा। / Here \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=15\). The value is (\frac{\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}=\frac{34}{15}).
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=81-80=1) है। अंतर वाले प्रश्न में यह पहचान तेज रहती है। / (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=81-80=1). This identity is quick for difference questions.
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। \(3\cdot5=\frac{15}{a}\) से (a=1) मिलता है। / The product of roots is \(\frac{c}{a}\). From \(3\cdot5=\frac{15}{a}\), we get (a=1).
मूलों का योग (-7) है इसलिए (p=7) और गुणनफल (q=12) है। अतः (p+q=19) है। / The sum of roots is (-7), so (p=7), and the product gives (q=12). Hence (p+q=19).
व्युत्क्रमों का योग \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) होता है। यहां \(\frac{\frac{10}{3}}{1}=\frac{10}{3}\) है। / The sum of reciprocals is \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here \(\frac{\frac{10}{3}}{1}=\frac{10}{3}\).
\(\alpha+\beta=10\) और \(\alpha\beta=21\) है। (\alpha-3+\beta-3=103-3(21)(10)=370) होगा। / \(\alpha+\beta=10\) and \(\alpha\beta=21\). (\alpha-3+\beta-3=103-3(21)(10)=370).
A. योग (a+2) और गुणनफल (2a) है/Sum is (a+2) and product is (2a)
Explanation
Simple Explanation
मूल (2) और (a) का योग (a+2) तथा गुणनफल (2a) है। इसलिए दिया गया मोनिक समीकरण सही बनता है। / The roots (2) and (a) have sum (a+2) and product (2a). Therefore the given monic equation is correct.
यहां \(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=12\) है। (\(\alpha+2\)\(\beta+2\)=12+2(8)+4=32) है। / Here \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=12\). (\(\alpha+2\)\(\beta+2\)=12+2(8)+4=32).
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)) होता है। यहां \(\alpha\beta=-21\) और \(\alpha+\beta=4\) इसलिए मान (-84) है। / (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)). Here \(\alpha\beta=-21\) and \(\alpha+\beta=4\), so the value is (-84).
यहां \(\alpha+\beta=\frac{8}{3}\) और \(\alpha\beta=\frac{4}{3}\) है। मान (\frac{\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta}{\(\alpha\beta\)2}=\frac{7}{4}) है। / Here \(\alpha+\beta=\frac{8}{3}\) and \(\alpha\beta=\frac{4}{3}\). The value is (\frac{\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta}{\(\alpha\beta\)2}=\frac{7}{4}).
बराबर ऋणात्मक मूल (-5) और (-5) होंगे क्योंकि गुणनफल (25) है। योग (-10) है इसलिए (p=10) है। / The equal negative roots are (-5) and (-5) because the product is (25). The sum is (-10), so (p=10).
(x=2) रखने पर (4+3a=0) से \(a=-\frac{4}{3}\) है। गुणनफल (a) है इसलिए दूसरा मूल \(-\frac{2}{3}\) होगा। / Putting (x=2) gives (4+3a=0), so \(a=-\frac{4}{3}\). The product is (a), so the other root is \(-\frac{2}{3}\).
मूलों का योग (7) और अंतर (1) है इसलिए मूल (4) और (3) हैं। उनका गुणनफल (q=12) है। / The sum of roots is (7) and the difference is (1), so the roots are (4) and (3). Their product is (q=12).
यहां मूलों का योग (S) और गुणनफल (P) है। इसलिए (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=S-2-4P) है। / Here the sum of roots is (S) and product is (P). Therefore (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=S-2-4P).
पुराने मूल (8) और (-2) हैं। नए मूल (9) और (-1) होंगे इसलिए समीकरण \(x^2-8x-9=0\) है। / The old roots are (8) and (-2). The new roots are (9) and (-1), so the equation is \(x^2-8x-9=0\).
पुराने मूल (8) और (-2) हैं। नए मूल (6) और (-4) होंगे इसलिए गुणनफल (-24) है। / The old roots are (8) and (-2). The new roots are (6) and (-4), so the product is (-24).
पुराने योग (4) और गुणनफल (3) हैं। नए योग (12) और गुणनफल (27) होंगे इसलिए \(x^2-12x+27=0\) है। / The old sum is (4) and product is (3). The new sum is (12) and product is (27), so the equation is \(x^2-12x+27=0\).
पुराने मूलों का योग (6) है। नया योग (\(\alpha+3\)+\(\beta+3\)=6+6=12) होगा। / The old sum of roots is (6). The new sum is (\(\alpha+3\)+\(\beta+3\)=6+6=12).
यह ((x-6)2=0) है इसलिए दोनों मूल (6) और (6) हैं। अतः \(\alpha-\beta=0\) है। / This is ((x-6)2=0), so both roots are (6) and (6). Hence \(\alpha-\beta=0\).
समीकरण के मूल (3) और (-7) हैं। इसलिए (\left|\alpha-\beta\right|=\left|3-(-7)\right|=10) है। / The roots are (3) and (-7). Therefore (\left|\alpha-\beta\right|=\left|3-(-7)\right|=10).
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) है। \(52=36-2\alpha\beta\) से \(\alpha\beta=-8\) मिलता है। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta). From \(52=36-2\alpha\beta\), we get \(\alpha\beta=-8\).
मूल (t) और (2t) मानें तो (3t=9) से (t=3) है। मूल (3) और (6) होंगे इसलिए (c=18) है। / Let the roots be (t) and (2t). From (3t=9), (t=3), so the roots are (3) and (6), hence (c=18).
मूल (-3) और (-6) होंगे क्योंकि गुणनफल (18) है। उनका योग (-9) है इसलिए (p=9) है। / The roots are (-3) and (-6) because the product is (18). Their sum is (-9), so (p=9).
बराबर धनात्मक मूल (4) और (4) होंगे। योग (8) है इसलिए (-b=8) से (b=-8) है। / The equal positive roots are (4) and (4). The sum is (8), so (-b=8) gives (b=-8).
योग \(-\frac{b}{a}=\frac{3}{4}\) और गुणनफल \(\frac{k}{4}\) है। \(\frac{k}{4}=\frac{3}{4}\) से (k=3) है। / The sum is \(-\frac{b}{a}=\frac{3}{4}\) and the product is \(\frac{k}{4}\). From \(\frac{k}{4}=\frac{3}{4}\), (k=3).
समीकरण ((x-(m+2))2=0) बनता है। इसलिए हर वास्तविक (m) के लिए दोनों मूल बराबर होंगे। / The equation becomes ((x-(m+2))2=0). Therefore the roots are equal for every real (m).
यहां \(\alpha+\beta=9\) और \(\alpha\beta=18\) है। (\(\alpha-2\)\(\beta-2\)=18-2(9)+4=4) है। / Here \(\alpha+\beta=9\) and \(\alpha\beta=18\). (\(\alpha-2\)\(\beta-2\)=18-2(9)+4=4).
मूलों का गुणनफल \(\frac{q}{5}\) होता है। (3\cdot(-4)=-12) इसलिए \(\frac{q}{5}=-12\) है। / The product of roots is \(\frac{q}{5}\). Since (3\cdot(-4)=-12), \(\frac{q}{5}=-12\).
योग (3) है इसलिए (p=-3) और गुणनफल (-10) है इसलिए (q=-10)। अतः (p-q=-3-(-10)=7) है। / The sum is (3), so (p=-3), and the product is (-10), so (q=-10). Thus (p-q=-3-(-10)=7).
यहां \(\alpha+\beta=6\) और \(\alpha\beta=2\) है। \(\alpha^2+\beta^2=36-4=32\) है। / Here \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha\beta=2\). \(\alpha^2+\beta^2=36-4=32\).
यहां \(\alpha+\beta=-2\) और \(\alpha\beta=-2\) है। (\alpha-2+\alpha\beta+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-\alpha\beta=6) है। / Here \(\alpha+\beta=-2\) and \(\alpha\beta=-2\). (\alpha-2+\alpha\beta+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-\alpha\beta=6).
(m+1+m+2=2m+3) और गुणनफल ((m+1)(m+2)) है। इसलिए मूल (m+1) और (m+2) हो सकते हैं। / (m+1+m+2=2m+3), and the product is ((m+1)(m+2)). Therefore the roots can be (m+1) and (m+2).
यहां \(\alpha+\beta=10\) और \(\alpha\beta=24\) है। (\(\alpha-2\)\(\beta-2\)=24-20+4=8) है। / Here \(\alpha+\beta=10\) and \(\alpha\beta=24\). (\(\alpha-2\)\(\beta-2\)=24-20+4=8).
समीकरण के मूल (6) और (7) हैं। इसलिए छोटा मूल (6) और बड़ा मूल (7) है तथा \(\beta-\alpha=1\) है। / The roots are (6) and (7). Thus the smaller root is (6) and the larger root is (7), so \(\beta-\alpha=1\).
(\alpha-2\beta-2=\(\alpha\beta\)2) होता है। यहां \(\alpha\beta=12\) इसलिए मान (144) है। / (\alpha-2\beta-2=\(\alpha\beta\)2). Here \(\alpha\beta=12\), so the value is (144).
मूल (5) और (4) हैं इसलिए योग (9) और अंतर \(\pm1\) हो सकता है। इसलिए मान (9) या (-9) है। / The roots are (5) and (4), so the sum is (9) and the difference can be \(\pm1\). Hence the value is (9) or (-9).
यहां \(\alpha+\beta=4\) और \(\alpha\beta=-5\) है। (\(\alpha+2\)\(\beta+2\)=-5+2(4)+4=7) है। / Here \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha\beta=-5\). (\(\alpha+2\)\(\beta+2\)=-5+2(4)+4=7).
यहां \(\alpha+\beta=14\) और \(\alpha\beta=45\) है। \(\alpha^2+\beta^2=196-90=106\) इसलिए मान \(\frac{106}{45}\) है। / Here \(\alpha+\beta=14\) and \(\alpha\beta=45\). \(\alpha^2+\beta^2=196-90=106\), so the value is \(\frac{106}{45}\).
पुराने योग (7) और गुणनफल (10) हैं। उलटे मूलों का योग \(\frac{7}{10}\) और गुणनफल \(\frac{1}{10}\) होगा। / The old sum is (7) and product is (10). The reciprocal roots have sum \(\frac{7}{10}\) and product \(\frac{1}{10}\).
यहां \(\alpha+\beta=5\) और \(\alpha\beta=5\) है। (\alpha-2+\beta-2+\alpha\beta=\(\alpha+\beta\)2-\alpha\beta=20) है। / Here \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha\beta=5\). (\alpha-2+\beta-2+\alpha\beta=\(\alpha+\beta\)2-\alpha\beta=20).
यहां \(\alpha+\beta=3\) और \(\alpha\beta=-28\) है। (\(\alpha+1\)\(\beta+1\)=-28+3+1=-24) है। / Here \(\alpha+\beta=3\) and \(\alpha\beta=-28\). (\(\alpha+1\)\(\beta+1\)=-28+3+1=-24).
यहां \(\alpha+\beta=11\) और \(\alpha\beta=24\) है। मान \(\frac{\alpha+\beta+2}{\alpha\beta+\alpha+\beta+1}=\frac{13}{36}\) होगा। / Here \(\alpha+\beta=11\) and \(\alpha\beta=24\). The value is \(\frac{\alpha+\beta+2}{\alpha\beta+\alpha+\beta+1}=\frac{13}{36}\).
व्युत्क्रम जड़ों के लिए गुणनफल (1) होता है और यहाँ गुणनफल (k) है। इसलिए (k=1); परीक्षा में पहले गुणनफल देखें। / For reciprocal roots, the product is (1), and here the product is (k). Hence (k=1); in exams, check the product first.
यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{5}{2}\) और \(\alpha\beta=\frac{m}{2}\) है। (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) से (m=3) मिलता है। / Here \(\alpha+\beta=\frac{5}{2}\) and \(\alpha\beta=\frac{m}{2}\). Using (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta), we get (m=3).
समान जड़ों के लिए विविक्तकर (D=0) होता है। (D=4(1-2k)) रखने पर \(k=\frac{1}{2}\) आता है। / For equal roots, the discriminant (D=0). Since (D=4(1-2k)), we get \(k=\frac{1}{2}\).
वास्तविक जड़ों के लिए \(D\ge 0\) चाहिए। यहाँ (D=8(a-1)), इसलिए \(a\ge 1\) सही है। / For real roots, \(D\ge 0\) is required. Here (D=8(a-1)), so \(a\ge 1\) is correct.
गुणनफल (36) और अंतर (5) वाली धनात्मक जड़ें (4) और (9) हैं। उनका योग (13) है, इसलिए (p=13)। / The positive roots with product (36) and difference (5) are (4) and (9). Their sum is (13), so (p=13).
यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{10}{3}\) और \(\alpha\beta=1\) है। व्युत्क्रम जड़ों का योग \(\frac{10}{3}\) और गुणनफल (1) ही रहता है। / Here \(\alpha+\beta=\frac{10}{3}\) and \(\alpha\beta=1\). The reciprocal roots also have sum \(\frac{10}{3}\) and product (1).
A. \(\frac{21+3\sqrt{33}}{4}\) या \(\frac{21-3\sqrt{33}}{4}\)/\(\frac{21+3\sqrt{33}}{4}\) or \(\frac{21-3\sqrt{33}}{4}\)
Explanation
Simple Explanation
जड़ें (r) और (2r) मानने पर (3r=3-k) और \(2r^2=k\) मिलता है। हल करने पर \(2k^2-21k+18=0\), इसलिए दिए गए दोनों मान मिलते हैं। / Taking the roots as (r) and (2r), we get (3r=3-k) and \(2r^2=k\). Solving \(2k^2-21k+18=0\) gives the two listed values.
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta) का प्रयोग करें। यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{7}{2}\) और \(\alpha\beta=\frac{3}{2}\), इसलिए मान \(\frac{25}{4}\) है। / Use (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta). Here \(\alpha+\beta=\frac{7}{2}\) and \(\alpha\beta=\frac{3}{2}\), so the value is \(\frac{25}{4}\).
समान जड़ों के लिए (D=0) रखें। इससे \(k^2-3k-4=0\) मिलता है, इसलिए (k=4) या (k=-1)। / For equal roots, put (D=0). This gives \(k^2-3k-4=0\), so (k=4) or (k=-1).
\(\alpha+\beta=6\) और \(\alpha\beta=m\) है। (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)) से (m=8) मिलता है। / Here \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha\beta=m\). Using (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), we get (m=8).
A. \(4+\sqrt{21}\) या \(4-\sqrt{21}\)/\(4+\sqrt{21}\) or \(4-\sqrt{21}\)
Explanation
Simple Explanation
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta) में (\(\alpha-\beta\)2=9) रखें। इससे \(a^2-8a-5=0\) और \(a=4\pm\sqrt{21}\) मिलता है। / Put (\(\alpha-\beta\)2=9) in (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta). This gives \(a^2-8a-5=0\), so \(a=4\pm\sqrt{21}\).
मूल जड़ें (2) और (3) हैं, इसलिए नई जड़ें (3) और (4) होंगी। उनका समीकरण \(x^2-7x+12=0\) है। / The original roots are (2) and (3), so the new roots are (3) and (4). Their equation is \(x^2-7x+12=0\).
जड़ें (r) और (4r) मानने पर \(4r^2=4\), इसलिए \(r=\pm1\)। योग \(5r=-\frac{p}{3}\) से \(p=\pm15\) मिलता है। / Let the roots be (r) and (4r). Then \(4r^2=4\), so \(r=\pm1\); using \(5r=-\frac{p}{3}\), we get \(p=\pm15\).
यहाँ (D=\(-2\sqrt{3}\)2-4(1)(3)=0) है। इसलिए दोनों जड़ें समान वास्तविक हैं। / Here (D=\(-2\sqrt{3}\)2-4(1)(3)=0). Therefore the roots are equal and real.
वास्तविक जड़ों के लिए \(D=36-36k\ge0\) होना चाहिए। इसलिए \(k\le1\) और द्विघात के लिए \(k\ne0\) भी जरूरी है। / For real roots, \(D=36-36k\ge0\) is required. Thus \(k\le1\), and \(k\ne0\) is also needed for a quadratic equation.
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\) होता है। \(\alpha+\beta=-4\) और \(\alpha\beta=1\) से मान (14) आता है। / \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\). With \(\alpha+\beta=-4\) and \(\alpha\beta=1\), the value is (14).
जड़ों का योग (\frac{2(m-1)}{m+1}) है। इसे (2) रखने पर (m-1=m+1) आता है, जो असंभव है। / The sum of roots is (\frac{2(m-1)}{m+1}). Setting it equal to (2) gives (m-1=m+1), which is impossible.
\(\alpha+\beta=3\) और \(\alpha\beta=-2\) है। इसलिए \(\alpha^2+\beta^2=13\) और \(\alpha^2\beta^2=4\), अतः समीकरण \(x^2-13x+4=0\) है। / Here \(\alpha+\beta=3\) and \(\alpha\beta=-2\). Thus \(\alpha^2+\beta^2=13\) and \(\alpha^2\beta^2=4\), so the equation is \(x^2-13x+4=0\).
जड़ों का योग (4) और गुणनफल (-1) है। \(समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) से उत्तर मिलता है। \(/ The sum of roots is (4) and the product is (-1). Use (x^2-(\)sum)x+product\(=0) to get the answer.\)
व्युत्क्रम जड़ों के लिए \(\alpha\beta=1\) होता है। यहाँ \(\alpha\beta=k\), इसलिए (k=1), और (D=12>0) से जड़ें वास्तविक भी हैं। / For reciprocal roots, \(\alpha\beta=1\). Here \(\alpha\beta=k\), so (k=1), and (D=12>0) confirms real roots.
समान जड़ों के लिए (D=0) रखें। \(\lambda^2-64=0\) से \(\lambda=\pm8\) मिलता है। / For equal roots, put (D=0). From \(\lambda^2-64=0\), we get \(\lambda=\pm8\).
हर (\(\alpha-1\)\(\beta-1\)=\alpha\beta-\(\alpha+\beta\)+1=4) है। ऊपर \(\alpha+\beta-2=5\), इसलिए मान \(\frac{5}{4}\) है। / The denominator (\(\alpha-1\)\(\beta-1\)=\alpha\beta-\(\alpha+\beta\)+1=4). The numerator is \(\alpha+\beta-2=5\), so the value is \(\frac{5}{4}\).
(\(\alpha-\beta\)2=(k+2)2-8k=(k-2)2) है। इसे (4) रखने पर (k=0) या (k=4) मिलता है। / (\(\alpha-\beta\)2=(k+2)2-8k=(k-2)2). Setting it equal to (4) gives (k=0) or (k=4).
समान वास्तविक जड़ों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होता है। इसलिए \(b^2=4ac\) सही संबंध है। / For equal real roots, the discriminant \(D=b^2-4ac=0\). Therefore \(b^2=4ac\) is the correct relation.
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)) होता है। \(\alpha\beta=-\frac{5}{2}\) और \(\alpha+\beta=-\frac{3}{2}\), इसलिए मान \(\frac{15}{4}\) है। / (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)). Since \(\alpha\beta=-\frac{5}{2}\) and \(\alpha+\beta=-\frac{3}{2}\), the value is \(\frac{15}{4}\).
A. \(\sqrt{57}\) और \(-\sqrt{57}\)/\(\sqrt{57}\) and \(-\sqrt{57}\)
Explanation
Simple Explanation
जड़ें (r) और (r+3) मानने पर (r(r+3)=12) मिलता है। इससे जड़ों का योग \(\pm\sqrt{57}\) होता है, इसलिए \(a=\mp\sqrt{57}\)। / Let the roots be (r) and (r+3). Then (r(r+3)=12), giving the sum as \(\pm\sqrt{57}\), so \(a=\mp\sqrt{57}\).
जड़ों का योग \(\frac{5}{4}\) और गुणनफल \(\frac{3}{8}\) है। समीकरण \(x^2-\frac{5}{4}x+\frac{3}{8}=0\) को (8) से गुणा करें। / The sum is \(\frac{5}{4}\) and the product is \(\frac{3}{8}\). Multiply \(x^2-\frac{5}{4}x+\frac{3}{8}=0\) by (8).
नई जड़ों का योग \(\alpha+\beta+2=5\) है, इसलिए (p=-3)। गुणनफल (q-p+1=6) से (q=2) मिलता है। / The sum of new roots is \(\alpha+\beta+2=5\), so (p=-3). From product (q-p+1=6), we get (q=2).
वास्तविक और भिन्न जड़ों के लिए (D>0) चाहिए। यहाँ (D=4(2k+1)), इसलिए \(k>-\frac{1}{2}\)। / For real and distinct roots, (D>0) is needed. Here (D=4(2k+1)), so \(k>-\frac{1}{2}\).
\(\alpha+\beta=5\) और \(\alpha\beta=1\) है। इसलिए \(\alpha^2+\beta^2=25-2=23\)। / Here \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha\beta=1\). Thus \(\alpha^2+\beta^2=25-2=23\).
मॉनिक समीकरण \(x^2-x-6=0\) है। \(x^2\) का गुणांक (2) चाहिए, इसलिए पूरे समीकरण को (2) से गुणा करें। / The monic equation is \(x^2-x-6=0\). Since the coefficient of \(x^2\) must be (2), multiply the whole equation by (2).
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta) लगाएँ। (16=\(\alpha+\beta\)2-20), इसलिए (\(\alpha+\beta\)2=36) और \(m^2=36\)। / Use (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta). Since (16=\(\alpha+\beta\)2-20), we get (\(\alpha+\beta\)2=36) and \(m^2=36\).
(x=3) रखने पर (9-3(a+3)+3a=0) मिलता है। इसलिए (3) हमेशा एक जड़ है और दूसरी जड़ (a) होती है। / Putting (x=3) gives (9-3(a+3)+3a=0). Hence (3) is always one root, and the other root is (a).
योग (10) वाली भिन्न अभाज्य जड़ें (3) और (7) हैं। उनका गुणनफल (21) है, इसलिए (k=21)। / The distinct prime roots with sum (10) are (3) and (7). Their product is (21), so (k=21).
योग (-2) और गुणनफल (c) है, इसलिए (c<-2) चाहिए। यह शर्त (D=4-4c>0) को भी पूरा करती है। / The sum is (-2) and the product is (c), so (c<-2) is needed. This condition also satisfies (D=4-4c>0).
व्युत्क्रम जड़ों के लिए \(\alpha\beta=1\) होता है। यहाँ \(\alpha\beta=m\), इसलिए (m=1)। / For reciprocal roots, \(\alpha\beta=1\). Here \(\alpha\beta=m\), so (m=1).
समान जड़ों के लिए \(k^2-16=0\), इसलिए \(k=\pm4\)। समान जड़ \(-\frac{k}{4}\) है, जो ऋणात्मक तभी होगी जब (k=4)। / For equal roots, \(k^2-16=0\), so \(k=\pm4\). The equal root is \(-\frac{k}{4}\), which is negative only when (k=4).
(\(\alpha+2\)\(\beta+2\)=\alpha\beta+2\(\alpha+\beta\)+4) है। \(\alpha+\beta=4\) और \(\alpha\beta=2\), इसलिए मान (14) है। / (\(\alpha+2\)\(\beta+2\)=\alpha\beta+2\(\alpha+\beta\)+4). Since \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha\beta=2\), the value is (14).
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta) से (20=36-4r) मिलता है। इसलिए (r=4)। / Using (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta), we get (20=36-4r). Hence (r=4).
(x=0) रखने पर समीकरण (c=0) बनता है। इसलिए शून्य जड़ होने की सीधी शर्त (c=0) है। / Putting (x=0) gives (c=0). Thus the direct condition for zero to be a root is (c=0).
गुणनफल (-18) और योग (-3) वाली संख्याएँ (3) और (-6) हैं। इसलिए यही जड़ों का सही युग्म है। / The numbers with product (-18) and sum (-3) are (3) and (-6). Hence this is the correct pair of roots.
समान जड़ों के लिए \(s^2-36=0\), इसलिए \(s=\pm6\)। समान जड़ \(\frac{s}{2}\) है, जो धनात्मक होने पर (s=6) देता है। / For equal roots, \(s^2-36=0\), so \(s=\pm6\). The equal root is \(\frac{s}{2}\), which is positive when (s=6).
(\(\alpha-2\)\(\beta-2\)=\alpha\beta-2\(\alpha+\beta\)+4) है। \(\alpha+\beta=6\) और \(\alpha\beta=8\), इसलिए मान (0) है। / (\(\alpha-2\)\(\beta-2\)=\alpha\beta-2\(\alpha+\beta\)+4). Since \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha\beta=8\), the value is (0).
