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हर \(x\in A\) की ठीक एक छवि (B) में है। परीक्षा में पहले domain के हर element की उपस्थिति और uniqueness जांचें। / Every \(x\in A\) has exactly one image in (B). In exams, first check presence and uniqueness for each domain element.
(A) के हर (4) element के लिए (B) में (2) choices हैं, इसलिए कुल \(2^4=16\) फलन हैं। सूत्र याद रखें: (A) से (B) तक फलन \(=|B|^{|A|}\)। / Each of the (4) elements of (A) has (2) choices in (B), so total functions are \(2^4=16\). Remember the formula: functions from (A) to (B) \(=|B|^{|A|}\).
एक input की ठीक एक output होना जरूरी है; अलग inputs की same output हो सकती है। common mistake: same image को function rule का violation न मानें। / A function needs exactly one output for each input; different inputs may have the same output. Common mistake: do not treat same image as a violation of function rule.
यहां \(2\in A\) की दो images (q) और (r) हैं। फलन में एक input की दो अलग outputs नहीं हो सकतीं। / Here \(2\in A\) has two images (q) and (r). In a function, one input cannot have two different outputs.
हर ordered pair में (y=2x+1) satisfies करता है। दिए गए pairs से rule पहचानते समय सभी pairs पर rule जांचें। / Every ordered pair satisfies (y=2x+1). While identifying a rule from pairs, test the rule on all pairs.
(x=0,1,2,3) रखने पर outputs (1,3,5,7) मिलते हैं। range हमेशा actual images का set होता है, पूरा codomain जरूरी नहीं। / Putting (x=0,1,2,3) gives outputs (1,3,5,7). The range is the set of actual images, not necessarily the whole codomain.
A. हर \(a\in A\) से (B) के ठीक एक element तक arrow है/Every \(a\in A\) has exactly one arrow to an element of (B)
Explanation
Simple Explanation
फलन में domain के प्रत्येक element से ठीक एक arrow निकलना चाहिए। diagram में arrows की direction और count दोनों देखें। / In a function, exactly one arrow must start from each domain element. In diagrams, check both arrow direction and arrow count.
A. \(4\in A\) की कोई image नहीं है/\(4\in A\) has no image
Explanation
Simple Explanation
(A) के हर element की image होनी चाहिए, लेकिन (4) missing है। codomain का कोई unused element होना function को गलत नहीं बनाता। / Every element of (A) must have an image, but (4) is missing. An unused element of the codomain does not make a function invalid.
A. (x=3) के लिए (y=0,1,2) possible हैं/For (x=3), (y=0,1,2) are possible
Explanation
Simple Explanation
(x=3) की कई images हैं, इसलिए uniqueness टूटती है। inequality वाले relations में एक input पर possible outputs गिनें। / For (x=3), there are many images, so uniqueness fails. In inequality relations, count possible outputs for one input.
(f(4)=1), इसलिए ((4,0)) relation में नहीं है। ordered pair जांचते समय first coordinate को rule में रखकर image निकालें। / (f(4)=1), so ((4,0)) is not in the relation. To test an ordered pair, put the first coordinate into the rule.
(x=1,3,5,7) पर (y=1,2,3,4) मिलता है। range निकालने में केवल outputs लिखें। / For (x=1,3,5,7), we get (y=1,2,3,4). To find range, write only the outputs.
A. हर \(a\in A\) के लिए ठीक एक \(b\in B\) हो ताकि \((a,b)\in R\)/For every \(a\in A\), there is exactly one \(b\in B\) such that \((a,b)\in R\)
Explanation
Simple Explanation
फलन की शर्त domain elements पर लगती है, codomain elements पर नहीं। definition questions में exactly one शब्द सबसे जरूरी है। / The condition for a function is on domain elements, not codomain elements. In definition questions, the words exactly one are most important.
(x=1,2,3) के लिए pairs ((1,1),(2,4),(3,9)) मिलते हैं। rule relation में domain values को systematically substitute करें। / For (x=1,2,3), pairs are ((1,1),(2,4),(3,9)). In rule-based relations, substitute domain values systematically.
किसी भी फलन में ordered pairs की संख्या domain के elements की संख्या के बराबर होती है। यहां (|A|=3), इसलिए pairs (3) हैं। / In any function, the number of ordered pairs equals the number of elements in the domain. Here (|A|=3), so there are (3) pairs.
A. यह constant function है/It is a constant function
Explanation
Simple Explanation
हर input की image (2) है, इसलिए यह constant function है। एक ही output बार-बार आना function को invalid नहीं बनाता। / Every input has image (2), so it is a constant function. Repeated output does not make a function invalid.
identity function में हर \(x\in A\) की image वही (x) होती है। इसे (I_A(x)=x) से पहचानें। / In an identity function, every \(x\in A\) maps to the same (x). Identify it by (I_A(x)=x).
domain first coordinates का set है और यहां \(A=\{1,2,3\}\) है। ordered pairs और domain को अलग-अलग पहचानें। / The domain is the set of first coordinates, and here \(A=\{1,2,3\}\). Distinguish ordered pairs from the domain.
A. हर \(a\in A\) के लिए \(f(a)\in B\) unique होता है/For every \(a\in A\), \(f(a)\in B\) is unique
Explanation
Simple Explanation
function में हर domain element की unique image codomain में होती है। यह जरूरी नहीं कि पूरा codomain range बन जाए। / In a function, every domain element has a unique image in the codomain. The whole codomain need not become the range.
outputs (5,0,-3,-4,-3) हैं, इसलिए distinct values ({-4,-3,0,5}) range हैं। set में repeated values नहीं लिखते। / The outputs are (5,0,-3,-4,-3), so distinct values ({-4,-3,0,5}) form the range. Repeated values are not written in a set.
domain के हर (m) element के लिए codomain में (n) choices हैं, इसलिए कुल \(n^m\) फलन हैं। exponent हमेशा domain size पर होता है। / Each of the (m) domain elements has (n) choices in the codomain, so total functions are \(n^m\). The exponent is always the domain size.
यहां (|A|=2) और (|B|=3), इसलिए functions \(=3^2=9\)। counting में base codomain size और exponent domain size रखें। / Here (|A|=2) and (|B|=3), so functions \(=3^2=9\). In counting, keep codomain size as base and domain size as exponent.
\(y^2=x\) में (x=4) पर (y=2) और (y=-2) दोनों मिलते हैं। एक (x) की दो (y) values function नहीं बनातीं। / In \(y^2=x\), for (x=4), both (y=2) and (y=-2) are possible. Two (y)-values for one (x) do not define a function.
absolute value में (|-1|=1), (|0|=0), (|1|=1), (|2|=2)। ordered pair में first coordinate input ही रहता है। / For absolute value, (|-1|=1), (|0|=0), (|1|=1), and (|2|=2). In an ordered pair, the first coordinate remains the input.
हर \(x\in A\) के लिए (y=5-x) unique और (A) में है। equation relation को function बनाने के लिए uniqueness check करें। / For every \(x\in A\), (y=5-x) is unique and lies in (A). For an equation relation, check uniqueness to decide function status.
A. (x=2) के लिए (y=1) और (y=2) दोनों possible हैं/For (x=2), both (y=1) and (y=2) are possible
Explanation
Simple Explanation
(x=2) की दो images बनती हैं, इसलिए uniqueness नहीं रहती। divisibility relations में एक input के सभी divisors in codomain देखें। / (x=2) gets two images, so uniqueness fails. In divisibility relations, check all divisors in the codomain for one input.
(f(1)=3), (f(2)=4), और (f(3)=5)। rule से relation बनाते समय हर domain element की image लिखें। / (f(1)=3), (f(2)=4), and (f(3)=5). When forming a relation from a rule, write the image of every domain element.
outputs (2,4,6) हैं, इसलिए smallest codomain इन्हीं images का set हो सकता है। codomain में सभी possible outputs होने चाहिए। / The outputs are (2,4,6), so the smallest codomain can be the set of these images. The codomain must contain all possible outputs.
A. हाँ, क्योंकि हर (x) की exactly one parity है/Yes, because every (x) has exactly one parity
Explanation
Simple Explanation
हर number या तो even है या odd, दोनों नहीं। many inputs की same parity होना allowed है। / Every number is either even or odd, not both. Many inputs having the same parity is allowed.
ordered pairs से (f(3)=7) और (f(4)=9), इसलिए sum (16) है। function value पढ़ते समय input first coordinate होता है। / From the ordered pairs, (f(3)=7) and (f(4)=9), so the sum is (16). While reading function values, the input is the first coordinate.
domain ordered pairs के first components का set है। यहां \(A=\{a,b,c,d\}\) है। / The domain is the set of first components of ordered pairs. Here \(A=\{a,b,c,d\}\).
यह empty नहीं है, लेकिन (1) की दो images हैं और (3) की image missing है। hard MCQ में दोनों conditions अलग-अलग जांचें। / It is not empty, but (1) has two images and (3) has no image. In hard MCQs, check both conditions separately.
(x=2) पर denominator (0) हो जाता है, इसलिए (f(2)) defined नहीं है। rational function में denominator zero न हो, यह जरूरी है। / At (x=2), the denominator becomes (0), so (f(2)) is not defined. In a rational function, the denominator must not be zero.
A. नहीं, क्योंकि \(f(3)=9\notin{1,2,3,4,5}\)/No, because \(f(3)=9\notin{1,2,3,4,5}\)
Explanation
Simple Explanation
output unique तो है, लेकिन (f(3)=9) codomain में नहीं है। function के लिए image codomain के अंदर भी होनी चाहिए। / The output is unique, but (f(3)=9) is not in the codomain. For a function, every image must also lie in the codomain.
\(0^2=0\), \(1^2=1\), और \(2^2=4\)। function का graph finite case में ordered pairs का set है। / \(0^2=0\), \(1^2=1\), and \(2^2=4\). In a finite case, the graph of a function is the set of ordered pairs.
A. (2) की दो different images (b) और (c) हैं/(2) has two different images (b) and (c)
Explanation
Simple Explanation
एक input (2) दो outputs से जुड़ा है, इसलिए यह function नहीं है। function check में repeated first coordinate पर सबसे पहले ध्यान दें। / One input (2) is related to two outputs, so it is not a function. In function checks, first notice repeated first coordinates.
(f(x)=0) even inputs (2) और (4) पर मिलता है। preimage हमेशा domain के elements का set होता है। / (f(x)=0) occurs for even inputs (2) and (4). A preimage is always a set of domain elements.
A. identity में \(x\mapsto x\), constant में हर \(x\mapsto 1\)/In identity, \(x\mapsto x\); in constant, every \(x\mapsto 1\)
Explanation
Simple Explanation
identity input को उसी पर map करती है, जबकि constant function हर input को same value पर भेजता है। दोनों valid functions हो सकते हैं। / Identity maps each input to itself, while a constant function sends every input to the same value. Both can be valid functions.
outputs (2,1,0,1,2) हैं, इसलिए distinct range ({0,1,2}) है। set में order और repetition important नहीं होते। / The outputs are (2,1,0,1,2), so the distinct range is ({0,1,2}). In a set, order and repetition are not important.
हर pair में second coordinate first coordinate का (4) times है। rule पहचानने के लिए सभी given values पर verify करें। / In every pair, the second coordinate is (4) times the first coordinate. To identify a rule, verify it on all given values.
actual outputs (2,3,4,5) हैं, जबकि codomain given (B) है। range हमेशा codomain का subset होती है। / The actual outputs are (2,3,4,5), while the codomain is the given set (B). The range is always a subset of the codomain.
कुल relations \(2^{|A\times B|}=2^6=64\) हैं और functions \(2^3=8\) हैं। not functions (=64-8=56)। / Total relations are \(2^{|A\times B|}=2^6=64\), and functions are \(2^3=8\). Hence not functions (=64-8=56).
\(|A\times B|=6\), इसलिए relations \(2^6\) और functions \(3^2\) हैं। relation और function counting formulas अलग रखें। / \(|A\times B|=6\), so relations are \(2^6\) and functions are \(3^2\). Keep relation and function counting formulas separate.
A. (x=3) के लिए \(y=4\notin B\), इसलिए image नहीं बनती/For (x=3), \(y=4\notin B\), so no image is formed
Explanation
Simple Explanation
(x=3) का required output (4) codomain में नहीं है, इसलिए domain का हर element mapped नहीं है। codomain restriction relation को बदल सकती है। / The required output for (x=3) is (4), which is not in the codomain, so every domain element is not mapped. A codomain restriction can change the relation.
A. जब repeated first coordinate की image वही same हो और duplicate pair हटाने पर uniqueness रहे/When the repeated first coordinate has the same image and uniqueness remains after removing duplicate pairs
Explanation
Simple Explanation
set में duplicate ordered pair अलग element नहीं माना जाता। यदि same input same output ही दे रहा है, तो uniqueness नहीं टूटती। / A duplicate ordered pair is not a separate element in a set. If the same input gives the same output, uniqueness is not broken.
A. हाँ, duplicate ((1,2)) same pair है/Yes, duplicate ((1,2)) is the same pair
Explanation
Simple Explanation
sets में repeated pair count नहीं होता, इसलिए each input की unique image है। duplicate pair और different image को अलग-अलग समझें। / In sets, a repeated pair is not counted, so each input has a unique image. Understand duplicate pair and different image separately.
A. (f) फिर भी function हो सकता है/(f) may still be a function
Explanation
Simple Explanation
दो अलग inputs की same image होना function rule का violation नहीं है। violation तभी होता है जब एक input की दो अलग images हों। / Two different inputs having the same image does not violate the function rule. Violation occurs when one input has two different images.
A. valid function with graph ({(1,3),(2,2),(3,1)})
Explanation
Simple Explanation
हर \(x\in A\) पर \(4-x\in A\) और output unique है। closed output और uniqueness दोनों check करें। / For every \(x\in A\), \(4-x\in A\) and the output is unique. Check both closed output and uniqueness.
A. (x=1) की images (y=-1) और (y=1) दोनों हैं/(x=1) has images (y=-1) and (y=1)
Explanation
Simple Explanation
(x=1) के लिए दो possible (y) values हैं, इसलिए uniqueness टूटती है। absolute value relation को direction के साथ पढ़ें। / For (x=1), two possible (y)-values exist, so uniqueness fails. Read an absolute value relation with direction carefully.
A. (R) (A) से (B) में function है और range (=B) है/(R) is a function from (A) to (B) and range (=B)
Explanation
Simple Explanation
हर \(x\in A\) की unique image (1,4,9,16) में है और सभी codomain elements images हैं। इस case में range और codomain equal हैं। / Every \(x\in A\) has a unique image in (1,4,9,16), and all codomain elements are images. In this case, range and codomain are equal.
A. यह (A) से (B) में फलन है/It is a function from (A) to (B)
Explanation
Simple Explanation
हर \(x \in A\) की ठीक एक छवि है, इसलिए यह फलन है। परीक्षा में पहले प्रांत के हर अवयव को जांचें। / Each \(x \in A\) has exactly one image, so it is a function. In exams, first check every element of the domain.
A. क्योंकि (1) की दो अलग छवियां हैं/Because (1) has two different images
Explanation
Simple Explanation
फलन में किसी एक प्रथम अवयव की दो अलग छवियां नहीं हो सकतीं। परीक्षा में दोहराए गए प्रथम अवयव पर ध्यान दें। / In a function, one first element cannot have two different images. In exams, watch for repeated first elements.
फलन में प्रांत के प्रत्येक अवयव के लिए ठीक एक युग्म होता है। इसलिए युग्मों की संख्या (|A|) होती है। / A function has exactly one pair for every element of the domain. Hence the number of pairs is (|A|).
प्रांत के हर अवयव के लिए (B) में (4) विकल्प हैं, इसलिए कुल \(4^3\) फलन हैं। सूत्र याद रखें: \(|B|^{|A|}\)। / Each domain element has (4) choices in (B), so total functions are \(4^3\). Remember the formula: \(|B|^{|A|}\).
फलन के लिए (A) के हर अवयव को (B) की एक छवि मिलती है, इसलिए \(3^2\) फलन हैं। सभी संबंधों की संख्या से भ्रमित न हों। / For a function, each element of (A) gets one image in (B), so there are \(3^2\) functions. Do not confuse this with all relations.
दिए गए (x) मानों पर (f(x)) के मान ({3,0,-1,0,3}) हैं। अलग मानों का समुच्चय ही परिसर है। / For the given (x)-values, (f(x)) values are ({3,0,-1,0,3}). The set of distinct values is the range.
B. यह फलन है और यह अनेक-से-एक हो सकता है/It is a function and it can be many-one
Explanation
Simple Explanation
अलग प्रथम अवयवों की समान छवि हो सकती है, इसलिए अनेक-से-एक फलन मान्य है। गलती यह है कि समान छवि को दोष मान लिया जाता है। / Different first elements may have the same image, so a many-one function is valid. The common mistake is treating the same image as an error.
हर \(x \in A\) के लिए (y=x+1) का ठीक एक मान (B) में है। इसलिए यह (A) से (B) में फलन है। / For every \(x \in A\), (y=x+1) gives exactly one value in (B). Hence it is a function from (A) to (B).
A. \(R=\{(1,1),(2,4),(3,9)\}\) और यह फलन है/\(R=\{(1,1),(2,4),(3,9)\}\) and it is a function
Explanation
Simple Explanation
\(y=x^2\) रखने पर हर (x) की ठीक एक छवि मिलती है। सूत्र आधारित संबंध में भी प्रांत पूरा जांचना जरूरी है। / Using \(y=x^2\), each (x) gets exactly one image. Even in formula-based relations, check the whole domain.
यदि \(f:{1,2,3,4}\to{0,1}\) और (f(x)) को (x) के सम-विषम होने से परिभाषित किया गया है, (f(x)=0) जब (x) सम है और (f(x)=1) जब (x) विषम है, तो परिसर क्या है?
विषम संख्याओं से (1) और सम संख्याओं से (0) मिलता है। इसलिए परिसर ({0,1}) है। / Odd numbers give (1) and even numbers give (0). Therefore the range is ({0,1}).
विकल्प (D) में \(3 \in A\) की कोई छवि नहीं है। फलन में प्रांत का कोई अवयव छूटना नहीं चाहिए। / In option (D), \(3 \in A\) has no image. In a function, no domain element may be left out.
B. यह फलन नहीं है क्योंकि (2) की दो छवियां हैं/It is not a function because (2) has two images
Explanation
Simple Explanation
(2) से (3) और (4) दोनों जुड़े हैं, इसलिए एकल छवि की शर्त टूटती है। केवल सभी प्रथम अवयव आना पर्याप्त नहीं है। / The element (2) is linked to both (3) and (4), so the single-image condition fails. Having all first elements is not enough.
A. हर \(a \in A\) के लिए ठीक एक ((a,b)) वाला उपसमुच्चय/A subset with exactly one ((a,b)) for every \(a \in A\)
Explanation
Simple Explanation
फलन संबंध का विशेष रूप है जिसमें हर प्रांत अवयव की ठीक एक छवि होती है। यह परिभाषा आधारित प्रश्नों में सबसे महत्वपूर्ण बिंदु है। / A function is a special relation where each domain element has exactly one image. This is the key point in definition-based questions.
फलनों की संख्या \(2^3=8\) और संबंधों की संख्या \(2^{3\cdot2}=64\) है। अनुपात लेते समय क्रम को ध्यान रखें। / The number of functions is \(2^3=8\) and the number of relations is \(2^{3\cdot2}=64\). Keep the order of the ratio in mind.
B. यह फलन है क्योंकि हर (x) की ठीक एक छवि है/It is a function because every (x) has exactly one image
Explanation
Simple Explanation
दो अलग (x) की समान छवि होना फलन के विरुद्ध नहीं है। शर्त केवल हर (x) की एक छवि है। / Two different (x)-values having the same image does not violate being a function. The condition is only one image for each (x).
A. क्योंकि \(f(3)=6\notin{1,2,3,4,5}\)/Because \(f(3)=6\notin{1,2,3,4,5}\)
Explanation
Simple Explanation
फलन की हर छवि सहप्रांत में होनी चाहिए। यहां (3) की छवि (6) सहप्रांत से बाहर है। / Every image of a function must lie in the codomain. Here the image of (3) is (6), outside the codomain.
(4) को (3) से भाग देने पर शेषफल (1) है। ऐसे प्रश्नों में नियम को सीधे दिए गए अवयव पर लगाएं। / When (4) is divided by (3), the remainder is (1). In such questions, apply the rule directly to the given element.
विकल्प (B) में (1,2,3) प्रत्येक प्रथम अवयव के रूप में ठीक एक बार आया है। यही वैध फलन की पहचान है। / In option (B), each of (1,2,3) appears exactly once as a first element. This identifies a valid function.
आने वाली वास्तविक छवियां (1) और (2) हैं, इसलिए परिसर ({1,2}) है। परिसर को प्रांत से अलग रखें। / The actual images obtained are (1) and (2), so the range is ({1,2}). Keep range separate from domain.
A. क्योंकि (x=4) पर (y=2) और (y=-2) दोनों संभव हैं/Because for (x=4), both (y=2) and (y=-2) are possible
Explanation
Simple Explanation
एक ही (x) के लिए दो अलग (y) मिल रहे हैं, इसलिए यह फलन नहीं है। वर्ग वाले संबंधों में धन और ऋण मूल जांचें। / For the same (x), two different (y)-values occur, so it is not a function. In square relations, check positive and negative roots.
हर प्राकृतिक (x) के लिए (x+2) एक प्राकृतिक संख्या है और एक ही मान देता है। इसलिए यह फलन है। / For every natural (x), (x+2) is a natural number and gives one value. Hence it is a function.
मान क्रमशः (0,1,1,2,2) मिलते हैं। अलग मानों को लिखने से परिसर ({0,1,2}) मिलता है। / The values are (0,1,1,2,2). Listing distinct values gives the range ({0,1,2}).
(f(1)) तय है, इसलिए बाकी (2) अवयवों के लिए (3) विकल्प हैं। कुल \(3^2=9\) फलन होंगे। / Since (f(1)) is fixed, the remaining (2) elements each have (3) choices. Total functions are \(3^2=9\).
B. यह फलन है और इसका परिसर (B) है/It is a function and its range is (B)
Explanation
Simple Explanation
हर प्रांत अवयव की एक छवि है और दोनों (a,b) प्राप्त होते हैं। अतः यह फलन है और परिसर (B) है। / Every domain element has one image and both (a,b) occur. Hence it is a function and its range is (B).
A. क्योंकि (x=2) पर मान अपरिभाषित है/Because it is undefined at (x=2)
Explanation
Simple Explanation
(x=2) रखने पर हर शून्य हो जाता है, इसलिए मान परिभाषित नहीं है। फलन के लिए हर प्रांत अवयव पर मान होना चाहिए। / At (x=2), the denominator becomes zero, so the value is undefined. A function must have a value at every domain element.
B. हर फलन संबंध होता है, पर हर संबंध फलन नहीं होता/Every function is a relation, but every relation is not a function
Explanation
Simple Explanation
फलन संबंध का विशेष प्रकार है जिसमें एकल छवि की शर्त होती है। यह मूल परिभाषा परीक्षा में बार-बार पूछी जाती है। / A function is a special type of relation with the single-image condition. This basic definition is asked often in exams.
(x=1,2,3) पर (x-1) क्रमशः (0,1,2) देता है। ग्राफ में क्रम ((x,f(x))) ही रखें। / For (x=1,2,3), (x-1) gives (0,1,2). In the graph, keep the order as ((x,f(x))).
A. सहप्रांत \(B=\{2,4,6,8\}\), परिसर ({2,4,6})/Codomain \(B=\{2,4,6,8\}\), range ({2,4,6})
Explanation
Simple Explanation
सहप्रांत दिया हुआ (B) है, जबकि परिसर वास्तविक प्राप्त छवियां हैं। यहां (8) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं। / The codomain is the given set (B), while the range is the set of actual images. Here (8) is in the codomain but not in the range.
दो फलन समान होते हैं जब उनका प्रांत, सहप्रांत और हर अवयव पर मान समान हो। यहां दी गई शर्त (f=g) देती है। / Two functions are equal when their domain, codomain, and values at every element are the same. The given condition gives (f=g).
(y=3x-5) हर वास्तविक (x) के लिए ठीक एक वास्तविक (y) देता है। बाकी विकल्पों में कुछ (x) पर शून्य या अनेक (y) मिलते हैं। / (y=3x-5) gives exactly one real (y) for every real (x). The other options give zero or multiple (y)-values for some (x).
(f(1)=f(2)) के लिए (2) विकल्प हैं और (3,4) के लिए अलग-अलग (2) विकल्प हैं। कुल \(2\cdot2\cdot2=8\) फलन हैं। / There are (2) choices for (f(1)=f(2)), and (2) choices each for (3) and (4). Total functions are \(2\cdot2\cdot2=8\).
A. यह \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) में फलन है/It is a function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
हर वास्तविक (x) के लिए (|x|) का एक ही वास्तविक मान होता है। समान छवि वाले अलग इनपुट फलन को अमान्य नहीं बनाते। / For every real (x), (|x|) has one real value. Different inputs with the same image do not make a function invalid.
(f(3)=9-9+2=2), इसलिए ((3,1)) ग्राफ में नहीं है। हमेशा दिए गए युग्म में दूसरा घटक जांचें। / (f(3)=9-9+2=2), so ((3,1)) is not in the graph. Always check the second component of the given pair.
(f(1)) तय है, (f(2)) के लिए (2) विकल्प और (f(3)) के लिए (3) विकल्प हैं। इसलिए कुल \(2\cdot3=6\) फलन हैं। / (f(1)) is fixed, (f(2)) has (2) choices, and (f(3)) has (3) choices. Hence total functions are \(2\cdot3=6\).
A. किसी \(a\in A\) के लिए कोई छवि नहीं है/Some \(a\in A\) has no image
Explanation
Simple Explanation
प्रांत का कोई अवयव बिना छवि के रह जाए तो फलन नहीं बनता। समान छवि या अतिरिक्त सहप्रांत अवयव सामान्यतः समस्या नहीं हैं। / If any domain element has no image, it is not a function. Same images or extra codomain elements are usually not a problem.
A. क्योंकि \(f(4)=4\notin B\)/Because \(f(4)=4\notin B\)
Explanation
Simple Explanation
सहप्रांत (B) में (4) नहीं है, इसलिए (4) की छवि बाहर चली जाती है। फलन में छवि सहप्रांत के अंदर होनी चाहिए। / The codomain (B) does not contain (4), so the image of (4) goes outside. In a function, each image must lie in the codomain.
(4) के धनात्मक गुणनखंड (1,2,4) हैं, इसलिए (f(4)=3)। नियम आधारित फलन में पहले नियम को स्पष्ट समझें। / The positive factors of (4) are (1,2,4), so (f(4)=3). In rule-based functions, first understand the rule clearly.
A. हाँ, क्योंकि हर (x) के लिए \(y=\sqrt[3]{x}\) अद्वितीय है/Yes, because for every (x), \(y=\sqrt[3]{x}\) is unique
Explanation
Simple Explanation
हर वास्तविक (x) का वास्तविक घनमूल अद्वितीय होता है। इसलिए यह संबंध \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) में फलन है। / Every real (x) has a unique real cube root. Hence this relation is a function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
कुल फलन \(2^3=8\) हैं और दो स्थिर फलनों में परिसर केवल ({0}) या ({1}) है। इसलिए (8-2=6) फलन बचते हैं। / There are \(2^3=8\) total functions, and two constant functions have range only ({0}) or ({1}). Hence (8-2=6) functions remain.
एक प्रांत अवयव से दो तीर एकल छवि की शर्त तोड़ते हैं। तीर आरेख में यह सबसे तेज जांच है। / Two arrows from one domain element break the single-image condition. In arrow diagrams, this is the fastest check.
विषम (x) पर मान (-1) और सम (x) पर (1) मिलता है। इसलिए परिसर ({-1,1}) है। / For odd (x), the value is (-1), and for even (x), it is (1). Therefore the range is ({-1,1}).
B. नहीं, क्योंकि सहप्रांत अलग हैं/No, because the codomains are different
Explanation
Simple Explanation
फलन की समानता में सहप्रांत भी समान होना चाहिए। केवल समान सूत्र पर्याप्त नहीं है। / Equality of functions also requires the codomain to be the same. The same formula alone is not sufficient.
विकल्प (A) में प्रत्येक प्रांत अवयव की ठीक एक छवि है। अन्य विकल्पों में या तो छवि छूटी है या दो छवियां हैं। / In option (A), every domain element has exactly one image. In the others, an image is missing or two images occur.
A. यह फलन है क्योंकि \(x+5\in\mathbb{Z}\) हर \(x\in\mathbb{Z}\) के लिए/It is a function because \(x+5\in\mathbb{Z}\) for every \(x\in\mathbb{Z}\)
Explanation
Simple Explanation
पूर्णांक में (5) जोड़ने पर फिर पूर्णांक मिलता है और मान अद्वितीय होता है। अनंत प्रांत फलन होने में बाधा नहीं है। / Adding (5) to an integer gives an integer and the value is unique. An infinite domain is not a problem for being a function.
पहले तीन अवयवों की समान छवि के लिए (3) विकल्प हैं और (4) की छवि के लिए (3) विकल्प हैं। कुल \(3\cdot3=9\) फलन हैं। / There are (3) choices for the common image of the first three elements and (3) choices for the image of (4). Total functions are \(3\cdot3=9\).
A. क्योंकि (x<0) के लिए \(\sqrt{x}\) वास्तविक नहीं है/Because for (x<0), \(\sqrt{x}\) is not real
Explanation
Simple Explanation
पूरे \(\mathbb{R}\) को प्रांत लेने पर ऋणात्मक (x) के लिए वास्तविक मान नहीं मिलता। इसलिए यह दिए गए प्रांत पर फलन नहीं है। / With the whole \(\mathbb{R}\) as domain, negative (x)-values have no real image. Hence it is not a function on the given domain.
(5-x) के मान (4,3,2,1) मिलते हैं। ग्राफ में प्रांत के सभी चार अवयव शामिल होने चाहिए। / The values of (5-x) are (4,3,2,1). The graph must include all four elements of the domain.
A. हर \(x\in A\) के लिए (f(x)=c) होता है, जहां \(c\in B\)/For every \(x\in A\), (f(x)=c), where \(c\in B\)
Explanation
Simple Explanation
स्थिर फलन में सभी प्रांत अवयवों की छवि एक ही सहप्रांत अवयव होती है। यह वैध अनेक-से-एक फलन का सरल उदाहरण है। / In a constant function, all domain elements have the same codomain element as image. It is a simple valid many-one function.
स्थिर फलन के लिए सभी अवयवों की समान छवि (B) से चुनी जाती है। (B) में (3) विकल्प हैं, इसलिए (3) स्थिर फलन हैं। / For a constant function, the common image is chosen from (B). Since (B) has (3) choices, there are (3) constant functions.
रिक्त प्रांत से किसी भी समुच्चय में ठीक एक रिक्त फलन होता है। सूत्र से भी \(|B|^0=1\) मिलता है। / From the empty domain to any set, there is exactly one empty function. The formula also gives \(|B|^0=1\).
B. यह फलन नहीं है क्योंकि (2) की दो छवियां हैं/It is not a function because (2) has two images
Explanation
Simple Explanation
फलन में (A) के हर अवयव की ठीक एक छवि होनी चाहिए। परीक्षा में पहले किसी इनपुट की दो छवियां जांचें। / In a function every element of (A) must have exactly one image. In exams first check whether any input has two images.
यदि (|A|=3) और (|B|=3) हो, तो फलनों की संख्या \(3^3=27\) होती है। परीक्षा में सूत्र \(|B|^{|A|}\) याद रखें। / If (|A|=3) and (|B|=3), the number of functions is \(3^3=27\). Remember the formula \(|B|^{|A|}\) for exams.
B. क्योंकि (4) की दो छवियां हैं/Because (4) has two images
Explanation
Simple Explanation
(4) के लिए (y=2) और (y=-2) दोनों मिलते हैं। एक इनपुट की दो छवियां फलन को अस्वीकार कर देती हैं। / For (4), both (y=2) and (y=-2) occur. Two images for one input reject a function.
A. डोमेन को \([2,\infty\)) कर दें/Change the domain to \([2,\infty\))
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{x-2}\) वास्तविक तभी है जब \(x\ge 2\) हो। ऐसे प्रश्नों में सूत्र से पहले डोमेन की वैधता जांचें। / The value \(\sqrt{x-2}\) is real only when \(x\ge 2\). In such questions check domain validity before the formula.
(p) और (q) तय हैं, इसलिए (r,s) के लिए \(2^2=4\) विकल्प हैं। तय इनपुट हटाकर बाकी पर सूत्र लगाएं। / The values of (p) and (q) are fixed, so (r,s) have \(2^2=4\) choices. Remove fixed inputs and apply the formula to the rest.
हर \(x\in X\) के लिए ठीक एक (y) मिलता है। यहां उल्टा वर्ग संबंध भी दिए गए सीमित समुच्चयों में फलन बन रहा है। / For every \(x\in X\), exactly one (y) is obtained. Here the reverse square relation becomes a function on the given finite sets.
(f(1)=4), (f(2)=3), (f(3)=2), (f(4)=1) है। परिसर केवल वास्तविक प्राप्त मानों का समुच्चय होता है। / Here (f(1)=4), (f(2)=3), (f(3)=2), and (f(4)=1). The range is the set of actually obtained values.
विकल्प (C) में (A) का हर अवयव ठीक एक बार प्रथम घटक के रूप में आता है। फलन में कई इनपुटों की एक ही छवि हो सकती है। / In option (C), every element of (A) appears exactly once as the first component. Many inputs may have the same image in a function.
B. यह फलन है और परिसर ({3,4,6,12}) है/It is a function and range is ({3,4,6,12})
Explanation
Simple Explanation
प्रत्येक दिए गए (x) के लिए \(\frac{12}{x}\) प्राकृतिक संख्या है। प्राप्त मान ({12,6,4,3}) हैं। / For each given (x), \(\frac{12}{x}\) is a natural number. The obtained values are ({12,6,4,3}).
हर में \(x^2-9\ne0\) चाहिए, इसलिए \(x\ne -3,3\)। भिन्न वाले फलनों में हर को शून्य न होने दें। / The denominator needs \(x^2-9\ne0\), so \(x\ne -3,3\). In rational functions never allow the denominator to be zero.
B. यह फलन है और परिसर ({0,1}) है/It is a function and range is ({0,1})
Explanation
Simple Explanation
विषम संख्याओं की छवि (1) और सम संख्या की छवि (0) है। समान छवि होना फलन के लिए बाधा नहीं है। / Odd numbers have image (1) and the even number has image (0). Having the same image is not a problem for a function.
(ax+6) सभी वास्तविक (x) के लिए अऋण तभी रहेगा जब (a=0) हो। पूरे \(\mathbb{R}\) पर मूल फलन में रैखिक भाग स्थिर अऋण होना चाहिए। / The expression (ax+6) stays non-negative for all real (x) only when (a=0). For a square-root function on all \(\mathbb{R}\), the linear part must be constant non-negative.
(2,3,5) के लिए मान (1) और (1,4) के लिए मान (0) है। परिसर सहप्रांत का वह भाग है जो सच में प्राप्त होता है। / For (2,3,5), the value is (1), and for (1,4), the value is (0). The range is the part of the codomain that is actually obtained.
A. फलन है और परिसर ({1,2,3,4}) है/It is a function and range is ({1,2,3,4})
Explanation
Simple Explanation
हर (x) के लिए (y=5-x) अद्वितीय और (B) में है। सीमित समुच्चय में हर इनपुट की छवि अलग से जांचें। / For every (x), (y=5-x) is unique and lies in (B). In finite sets check each input image separately.
A. प्रत्येक \(a\in A\) के लिए ठीक एक \(b\in B\) ऐसा है कि \((a,b)\in f\)/For each \(a\in A\), exactly one \(b\in B\) has \((a,b)\in f\)
Explanation
Simple Explanation
फलन संबंध का विशेष रूप है जिसमें प्रथम समुच्चय का हर अवयव ठीक एक बार मैप होता है। सहप्रांत का हर अवयव आना आवश्यक नहीं है। / A function is a special relation where each element of the first set maps exactly once. Every codomain element need not occur.
A. यह (A) से (B) में फलन है और परिसर ({2,3,4}) है/It is a function from (A) to (B) and range is ({2,3,4})
Explanation
Simple Explanation
(1,2,3) की छवियां क्रमशः (2,3,4) हैं और सभी (B) में हैं। सहप्रांत और परिसर में अंतर याद रखें। / The images of (1,2,3) are (2,3,4), all lying in (B). Remember the difference between codomain and range.
A. ((2,3)) या ((2,4)) में से एक हटाएं/Remove one of ((2,3)) or ((2,4))
Explanation
Simple Explanation
केवल (2) की दो छवियां हैं, इसलिए उनमें से एक हटाना पर्याप्त है। फलन बनाने के लिए हर प्रथम घटक को ठीक एक छवि दें। / Only (2) has two images, so removing one of them is enough. To make a function, give each first component exactly one image.
\(|x-2|\ge0\), इसलिए न्यूनतम मान (3) है। मापांक वाले फलनों में न्यूनतम मान से परिसर निकालें। / Since \(|x-2|\ge0\), the minimum value is (3). For modulus functions find the minimum value to get the range.
(f(x)=\frac{1}{x}) में (x=0) पर मान परिभाषित नहीं है। \(\mathbb{R}\) से फलन के लिए हर वास्तविक (x) पर मान चाहिए। / For (f(x)=\frac{1}{x}), the value is undefined at (x=0). A function from \(\mathbb{R}\) must have a value for every real (x).
(f(1)=f(2)) के लिए (3) विकल्प हैं और (3,4) के लिए \(3^2\) विकल्प हैं। कुल \(3\cdot3^2=27\) फलन हैं। / There are (3) choices for the common value of (f(1)=f(2)) and \(3^2\) choices for (3,4). Total functions are \(3\cdot3^2=27\).
A. यह फलन है और परिसर ({0,1,2}) है/It is a function and range is ({0,1,2})
Explanation
Simple Explanation
हर इनपुट का केवल एक मापांक मान है, भले दो इनपुटों की छवि समान हो। प्राप्त मान (0,1,2) हैं। / Each input has only one absolute value, even if two inputs share an image. The obtained values are (0,1,2).
B. क्योंकि (x=0) पर मान \(\frac{1}{2}\notin\mathbb{Z}\) है/Because at (x=0), the value is \(\frac{1}{2}\notin\mathbb{Z}\)
Explanation
Simple Explanation
(x=0) देने पर मान \(\frac{1}{2}\) आता है, जो सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में नहीं है। फलन में हर मान सहप्रांत में होना चाहिए। / Putting (x=0) gives \(\frac{1}{2}\), which is not in the codomain \(\mathbb{Z}\). Every value of a function must lie in the codomain.
B. यह फलन है और परिसर ({1,4,9}) है/It is a function and range is ({1,4,9})
Explanation
Simple Explanation
हर \(x\in A\) की एक छवि \(x^2\in B\) है। (16) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं आता। / Every \(x\in A\) has one image \(x^2\in B\). The element (16) is in the codomain but not in the range.
B. नहीं, क्योंकि \(f(4)=8\notin{1,2,3,4}\)/No, because \(f(4)=8\notin{1,2,3,4}\)
Explanation
Simple Explanation
(f(4)=16-12+4=8) है, जो सहप्रांत में नहीं है। सीमित प्रांत में सभी मानों की जांच करना सुरक्षित तरीका है। / Here (f(4)=16-12+4=8), which is not in the codomain. For finite domains, checking all values is the safe method.
विकल्प (B) में (0) और (1) दोनों की छवि (1) है और हर इनपुट की एक ही छवि है। समान छवि फलन को नहीं रोकती। / In option (B), both (0) and (1) have image (1), and every input has exactly one image. A common image does not prevent a function.
A. क्योंकि (x=2) पर सूत्र अपरिभाषित है/Because the formula is undefined at (x=2)
Explanation
Simple Explanation
भले सरलीकरण (x+2) जैसा दिखे, मूल सूत्र (x=2) पर परिभाषित नहीं है। प्रांत तय करते समय मूल हर को देखें। / Even though simplification looks like (x+2), the original formula is undefined at (x=2). When deciding domain, check the original denominator.
हर (x) का वास्तविक घनमूल अद्वितीय है और दिए गए (Y) में है। घनमूल संबंध वर्गमूल वाले संबंध जैसा दो मान नहीं देता। / Each (x) has a unique real cube root lying in the given (Y). A cube-root relation does not give two values like a square-root relation.
परिसर ठीक ({1}) होने के लिए हर इनपुट की छवि (1) ही होनी चाहिए। इसलिए केवल एक स्थिर फलन संभव है। / For the range to be exactly ({1}), every input must have image (1). So only one constant function is possible.
विकल्प (C) में (4) की दो छवियां (a) और (b) हैं। केवल सभी प्रथम घटकों का होना काफी नहीं, अद्वितीयता भी चाहिए। / In option (C), (4) has two images (a) and (b). Having all first components is not enough; uniqueness is also required.
A. क्योंकि (1) की पूर्वछवियां (1) और (-1) दोनों हैं/Because (1) has preimages (1) and (-1)
Explanation
Simple Explanation
उल्टे संबंध में (1) से (1) और (-1) दोनों जुड़ते हैं। एक इनपुट की दो छवियां होने से उल्टा संबंध फलन नहीं रहता। / In the inverse relation, (1) is related to both (1) and (-1). Two images for one input make the inverse relation not a function.
(0) वे इनपुट देते हैं जो सम हैं, यानी (2) और (4)। पूर्वछवि में डोमेन के अवयव आते हैं, सहप्रांत के नहीं। / The value (0) is produced by even inputs, namely (2) and (4). A preimage contains elements of the domain, not of the codomain.
A. क्योंकि \(f(2)=4\notin B\)/Because \(f(2)=4\notin B\)
Explanation
Simple Explanation
(2) की छवि (4) है जो सहप्रांत (B) में नहीं है। फलन के लिए हर छवि सहप्रांत में होनी चाहिए। / The image of (2) is (4), which is not in the codomain (B). For a function, every image must lie in the codomain.
ऋणात्मक (x) के लिए मान (-1) और धनात्मक (x) के लिए (1) है। (x=0) प्रांत में नहीं है, इसलिए समस्या नहीं है। / For negative (x), the value is (-1), and for positive (x), it is (1). Since (x=0) is not in the domain, there is no issue.
वास्तविक मान के लिए \(4-x^2\ge0\), इसलिए \(-2\le x\le2\)। मूल वाले प्रश्नों में भीतर की राशि अऋण रखें। / For real values, \(4-x^2\ge0\), so \(-2\le x\le2\). In square-root questions keep the radicand non-negative.
(a) की छवि तय है, इसलिए (b,c) के लिए \(4^2=16\) विकल्प हैं। प्रतिबंधित फलनों में मुक्त इनपुट गिनें। / The image of (a) is fixed, so (b,c) have \(4^2=16\) choices. In restricted functions count the free inputs.
प्रत्येक प्राकृतिक (n) के लिए (2n+1) प्राकृतिक संख्या है। अन्य विकल्प सभी (n) के लिए \(\mathbb{N}\) में मान नहीं देते। / For every natural (n), (2n+1) is a natural number. The other options do not give values in \(\mathbb{N}\) for all (n).
A. यह फलन है और परिसर ([0,4]) है/It is a function and range is ([0,4])
Explanation
Simple Explanation
हर (x) की छवि \(x^2\) अद्वितीय है और ([0,4]) में है। समान आउटपुट फलन होने में बाधा नहीं है। / Each (x) has a unique image \(x^2\) lying in ([0,4]). Equal outputs do not prevent a relation from being a function.
\(0\ge0\) है, इसलिए दूसरा नियम लागू होगा और (f(0)=02=0)। खंडित फलन में सीमा चिह्न ध्यान से पढ़ें। / Since \(0\ge0\), the second rule applies and (f(0)=02=0). In piecewise functions read the boundary symbol carefully.
C. (f(x)=\begin{cases}x-2,&x\le2\x+3,&x\ge2\end{cases})
Explanation
Simple Explanation
विकल्प (C) में (x=2) दोनों नियमों में आता है और मान (4) तथा (5) मिलते हैं। एक ही इनपुट पर दो मान फलन नहीं बनाते। / In option (C), (x=2) belongs to both rules and gives values (4) and (5). Two values for one input do not define a function.
फलन \(A\times B\) का ऐसा उपसमुच्चय है जिसमें (A) के हर अवयव के लिए (2) में से एक जोड़ी चुनी जाती है। कुल \(2^3=8\) हैं। / A function is a subset of \(A\times B\) where one pair is chosen for each element of (A) from (2) choices. Total is \(2^3=8\).
(f(1)=4), (f(2)=2), (f(3)=2), (f(4)=4), इसलिए परिसर ({2,4}) है। खंडित नियम में हर इनपुट का मान लिखें। / Here (f(1)=4), (f(2)=2), (f(3)=2), and (f(4)=4), so the range is ({2,4}). For a piecewise rule list every input value.
फलनों की संख्या \(|B|^{|A|}=2^5=32\) होती है। कुल संबंधों और कुल फलनों के सूत्र अलग रखें। / The number of functions is \(|B|^{|A|}=2^5=32\). Keep the formulas for all relations and all functions separate.
B. फलन नहीं है क्योंकि (1) की छवियां (-1) और (1) हैं/It is not a function because (1) has images (-1) and (1)
Explanation
Simple Explanation
(x=1) के लिए (y=-1) और (y=1) दोनों संभव हैं। एक (x) के दो (y) होने से संबंध फलन नहीं है। / For (x=1), both (y=-1) and (y=1) are possible. Two (y)-values for one (x) mean the relation is not a function.
(x-2+2x+2=(x+1)2+1), इसलिए न्यूनतम मान (1) है। वर्ग पूरा करना परिसर निकालने का उपयोगी तरीका है। / Since (x-2+2x+2=(x+1)2+1), the minimum value is (1). Completing the square is useful for finding range.
(0,1,2,3) के शेषफल क्रमशः (0,1,2,0) हैं। शेषफल अद्वितीय होता है, इसलिए यह फलन है। / The remainders of (0,1,2,3) are (0,1,2,0). The remainder is unique, so this is a function.
A. यह पूरे \(\mathbb{R}\) पर कभी फलन नहीं होगा/It will never be a function on all of \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
हर \(x^2-4\) शून्य होता है जब \(x=\pm2\), इसलिए मूल सूत्र वहां अपरिभाषित है। हर की शून्यता को घटाने से पूरी तरह नहीं हटाया जा सकता। / The denominator \(x^2-4\) is zero at \(x=\pm2\), so the original formula is undefined there. A zero denominator cannot be fully removed for all real inputs.
B. \((R={(x,y):y=0\) यदि \(x<3,\ y=1\) यदि \(x\ge3})\)/\((R={(x,y):y=0\) if \(x<3,\ y=1\) if \(x\ge3})\)
Explanation
Simple Explanation
विकल्प (B) हर (x) को ठीक एक मान देता है। बाकी विकल्पों में कुछ इनपुट छूटते हैं या कई मान मिलते हैं। / Option (B) assigns exactly one value to every (x). The other options miss some inputs or give multiple values.
A. यह फलन है और परिसर ({1,3,5}) है/It is a function and range is ({1,3,5})
Explanation
Simple Explanation
मान (1,3,5) मिलते हैं और सभी सहप्रांत में हैं। सहप्रांत के सभी अवयवों का आना आवश्यक नहीं होता। / The values obtained are (1,3,5), and all lie in the codomain. Not every element of the codomain needs to occur.
B. यह फलन नहीं है क्योंकि (A) के अवयवों की छवि नहीं है/It is not a function because elements of (A) have no images
Explanation
Simple Explanation
जब \(A\ne\emptyset\) हो, तो खाली संबंध (A) के किसी अवयव को छवि नहीं देता। फलन के लिए हर इनपुट की छवि आवश्यक है। / When \(A\ne\emptyset\), the empty relation gives no image to any element of (A). A function requires an image for every input.
रिक्त प्रांत से किसी भी समुच्चय में एक ही खाली फलन होता है। सूत्र \(|B|^{|A|}=3^0=1\) भी यही देता है। / From the empty domain to any set, there is exactly one empty function. The formula \(|B|^{|A|}=3^0=1\) gives the same result.
