(2) is not a perfect square, so \(\sqrt{2}\) is proved irrational.
Step 3
Exam Tip
First identify perfect and non-perfect squares. चरण 1: (4), (9) और (25) पूर्ण वर्ग हैं। चरण 2: (2) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय सिद्ध किया जाता है। चरण 3: पूर्ण वर्ग और अपूर्ण वर्ग की पहचान पहले करें।
(4,9,25) are perfect squares, so their square roots are integers.
Step 2
Why this answer is correct
(5) is not a perfect square, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In options, identify perfect squares first. चरण 1: (4,9,25) पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए उनके वर्गमूल पूर्णांक हैं। चरण 2: (5) पूर्ण वर्ग नहीं है और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: विकल्पों में पहले पूर्ण वर्ग पहचानें।
A. वास्तविक, परिमेय और भिन्न/Real, rational and distinct
Step 1
Concept
A positive perfect square (D) gives real, rational and distinct roots. Check both the sign and perfect square condition of (D).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वास्तविक, परिमेय और भिन्न / Real, rational and distinct. A positive perfect square (D) gives real, rational and distinct roots. Check both the sign and perfect square condition of (D).
Step 3
Exam Tip
धनात्मक पूर्ण वर्ग (D) से वास्तविक, परिमेय और भिन्न मूल मिलते हैं। (D) का चिन्ह और पूर्ण वर्ग दोनों देखें।
A. \(\sqrt{n}\) अपरिमेय होगी/\(\sqrt{n}\) will be irrational
Step 1
Concept
If positive integer (n) is not a perfect square then \(\sqrt{n}\) is irrational. This is an easy exam rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{n}\) अपरिमेय होगी / \(\sqrt{n}\) will be irrational. If positive integer (n) is not a perfect square then \(\sqrt{n}\) is irrational. This is an easy exam rule.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक पूर्णांक (n) पूर्ण वर्ग न हो तो \(\sqrt{n}\) अपरिमेय होती है। यह आसान परीक्षा नियम है।
A. यह समझ के लिए ठीक संकेत है, पर पूर्ण प्रमाण में परिमेय मानकर विरोधाभास दिखाना चाहिए/It is a useful hint for understanding, but a full proof should assume rationality and show contradiction
Step 1
Concept
Since (2) is not a perfect square, \(\sqrt{2}\) is not an integer.
Step 2
Why this answer is correct
But irrationality needs proving it is not any rational fraction.
Step 3
Exam Tip
Therefore write the contradiction proof using a coprime fraction. चरण 1: (2) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{2}\) पूर्णांक नहीं है। चरण 2: पर अपरिमेयता के लिए यह भी सिद्ध करना होता है कि वह कोई परिमेय भिन्न नहीं है। चरण 3: इसलिए सहअभाज्य भिन्न वाला विरोधाभास प्रमाण लिखें।
A. यह बताता है कि \(\sqrt{5}\) पूर्णांक नहीं है, पर पूर्ण अपरिमेयता के लिए विरोधाभास प्रमाण चाहिए/It shows \(\sqrt{5}\) is not an integer, but full irrationality needs contradiction proof
Step 1
Concept
Since (5) is not a perfect square, \(\sqrt{5}\) cannot be an integer.
Step 2
Why this answer is correct
But to prove irrationality, we must also show it is not any rational fraction.
Step 3
Exam Tip
That is why the contradiction proof is written. चरण 1: (5) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{5}\) पूर्णांक नहीं हो सकता। चरण 2: पर अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए यह दिखाना भी जरूरी है कि वह कोई परिमेय भिन्न नहीं है। चरण 3: इसलिए विरोधाभास वाला प्रमाण लिखा जाता है।
A. यदि प्राकृतिक संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है और अभाज्य है, तो उसका वर्गमूल अपरिमेय होता है/If a natural number is not a perfect square and is prime, its square root is irrational
Step 1
Concept
(2,3,5) are not perfect squares and are prime.
Step 2
Why this answer is correct
Assuming their square roots rational creates a common-factor contradiction.
Step 3
Exam Tip
Identifying perfect squares is the first task in such questions. चरण 1: (2,3,5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं और अभाज्य हैं। चरण 2: इनके वर्गमूल को परिमेय मानने पर साझा गुणनखंड का विरोधाभास मिलता है। चरण 3: पूर्ण वर्ग पहचानना ऐसे प्रश्नों में पहला काम है।
Since (m) is not a perfect square, \(\sqrt{m}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
(4) is rational, and adding it to an irrational number gives an irrational number.
Step 3
Exam Tip
Connect the non-perfect-square condition directly with the nature of the square root. चरण 1: (m) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{m}\) अपरिमेय है। चरण 2: (4) परिमेय है, और अपरिमेय में परिमेय जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय होता है। चरण 3: पूर्ण वर्ग न होने की जानकारी को सीधे वर्गमूल की प्रकृति से जोड़ें।
In a perfect square, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^4\) is fine, while \(3^3\) needs one (3) and (5) needs one (5), so the multiplier is (15).
Step 3
Exam Tip
Multiply only by primes with odd exponents. चरण 1: पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: \(2^4\) ठीक है, \(3^3\) को \(3^4\) और (5) को \(5^2\) बनाने के लिए \(3 \times 5=15\) चाहिए। चरण 3: केवल विषम घातों वाले अभाज्यों को एक बार और गुणा करें।
In a perfect square, all prime exponents must be even.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^2\) is already even, and \(3^3\) needs one more (3) to become \(3^4\).
Step 3
Exam Tip
Multiply only by the prime that has an odd exponent. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी अभाज्य घातें सम होनी चाहिए। चरण 2: \(2^2\) पहले से सम है और \(3^3\) को \(3^4\) बनाने के लिए (3) चाहिए। चरण 3: केवल विषम घात वाले अभाज्य को एक बार और गुणा करें।
In a perfect square, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
To make \(2^3\) into \(2^4\) and (3) into \(3^2\), multiply by \(2 \times 3=6\).
Step 3
Exam Tip
For a square, increase odd exponents by one to make them even. चरण 1: पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: \(2^3\) को \(2^4\) और (3) को \(3^2\) बनाने के लिए \(2 \times 3=6\) से गुणा करना होगा। चरण 3: पूर्ण वर्ग के लिए विषम घातों को एक-एक बढ़ाकर सम करें।
In a perfect square, all prime exponents are even.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^5\) has an odd exponent, so multiplying by (2) makes it \(2^6\); \(7^2\) is already even.
Step 3
Exam Tip
For squares, fix only the odd exponents. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी अभाज्य घातें सम होती हैं। चरण 2: \(2^5\) में घात विषम है, इसलिए एक (2) और गुणा करने पर \(2^6\) हो जाएगा; \(7^2\) पहले से ठीक है। चरण 3: पूर्ण वर्ग के लिए केवल विषम घातों को ठीक करें।
D. कोई भी मान संभव नहीं है/None of the values is possible
Step 1
Concept
A perfect square requires all prime exponents to be even.
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) is already (3), which is odd, so changing only (x) cannot make the number a perfect square.
Step 3
Exam Tip
Check the whole prime factorisation, not only the unknown exponent. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी अभाज्य घातें सम होनी चाहिए। चरण 2: यहां \(2^3\) की घात पहले से विषम है, इसलिए केवल (x) बदलने से संख्या पूर्ण वर्ग नहीं बन सकती। चरण 3: पूरी अभाज्य रचना देखें, केवल अज्ञात घात पर ध्यान न दें।
\(2^3\) and \(5^1\) have odd powers, so multiply by \(2\times5\).
Step 3
Exam Tip
Do not multiply the prime whose exponent is already even. चरण 1: पूर्ण वर्ग में हर घात सम चाहिए। चरण 2: \(2^3\) और \(5^1\) की घात विषम है, इसलिए (2) और (5) से गुणा करने पर \(2^4\times3^2\times5^2\) बनेगा। चरण 3: सम घात वाली अभाज्य संख्या को फिर से गुणा न करें।
\(2^2\) is already fine, \(3^3\) needs one (3), and \(5^1\) needs one (5).
Step 3
Exam Tip
Make only the odd exponents even. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी घातें सम होनी चाहिए। चरण 2: \(2^2\) ठीक है, \(3^3\) को \(3^4\) बनाने के लिए (3) और \(5^1\) को \(5^2\) बनाने के लिए (5) चाहिए। चरण 3: केवल विषम घातों को एक-एक बढ़ाकर सम बनाएं।
All powers are even, so the number is already a perfect square.
Step 3
Exam Tip
If it is already a perfect square, the smallest divisor is 1. चरण 1: \(254016=2^6\times3^4\times7^2\)। चरण 2: सभी घातें सम हैं, इसलिए यह संख्या पहले से पूर्ण वर्ग है। चरण 3: पहले से पूर्ण वर्ग होने पर सबसे छोटा भाजक 1 होता है।
For a perfect square, odd powers of 3 and 5 must be reduced.
Step 3
Exam Tip
Dividing by \(3\times5=15\) leaves \(2^4\times3^2\times7^2\). चरण 1: \(105840=2^4\times3^3\times5\times7^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए 3 और 5 की विषम घातें घटानी होंगी। चरण 3: \(3\times5=15\) से भाग देने पर \(2^4\times3^2\times7^2\) बचेगा।
All exponents are even, so the number is already a perfect square.
Step 3
Exam Tip
If it is already a perfect square, the smallest divisor is 1. चरण 1: \(254016=64\times3969=2^6\times3^4\times7^2\)। चरण 2: सभी घातें सम हैं, इसलिए यह संख्या पहले से पूर्ण वर्ग है। चरण 3: पहले से पूर्ण वर्ग होने पर सबसे छोटा भाजक 1 होता है।
For a perfect square, odd powers of 2, 3, and 5 must be reduced.
Step 3
Exam Tip
Dividing by \(2\times3\times5=30\) leaves \(2^2\times3^2\times7^2\). चरण 1: \(52920=2^3\times3^3\times5\times7^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए 2, 3 और 5 की विषम घातें घटानी होंगी। चरण 3: \(2\times3\times5=30\) से भाग देने पर \(2^2\times3^2\times7^2\) बचेगा।
All exponents are even, so the number is already a perfect square.
Step 3
Exam Tip
The smallest divisor should be 1, but 1 is not listed; therefore no given option is correct. चरण 1: \(63504=2^4\times3^4\times7^2\) नहीं, बल्कि \(63504=16\times3969=2^4\times3^4\times7^2\) है। चरण 2: सभी घातें सम हैं, इसलिए संख्या पहले से पूर्ण वर्ग है। चरण 3: सबसे छोटा भाजक 1 होना चाहिए, पर विकल्पों में 1 नहीं है; इसलिए कोई दिया विकल्प सही नहीं है।
For a perfect square, the odd powers of 3 and 5 must be reduced.
Step 3
Exam Tip
Dividing by \(3\times5=15\) leaves \(2^2\times3^2\times7^2\), so the smallest number is 15. चरण 1: \(26460=2^2\times3^3\times5\times7^2\) है। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए 3 और 5 की विषम घातें घटानी होंगी। चरण 3: \(3\times5=15\) से भाग देने पर \(2^2\times3^2\times7^2\) बचेगा, इसलिए सबसे छोटी संख्या 15 है।
For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 3 is 3.
Step 3
Exam Tip
Dividing by 3 gives \(2^4\times3^2\times7^2\), a perfect square. चरण 1: \(21168=2^4\times3^3\times7^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, लेकिन 3 की घात 3 है। चरण 3: 3 से भाग देने पर \(2^4\times3^2\times7^2\) मिलेगा, जो पूर्ण वर्ग है।
For a perfect square, all exponents must be even, so the odd powers of 2, 3, and 5 must be reduced.
Step 3
Exam Tip
Dividing by \(2\times3\times5=30\) leaves \(3^2\times7^2\), a perfect square. चरण 1: \(13230=2\times3^3\times5\times7^2\) है। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम चाहिए, इसलिए 2, 3 और 5 की विषम घातें घटानी होंगी। चरण 3: \(2\times3\times5=30\) से भाग देने पर \(3^2\times7^2\) बचेगा, जो पूर्ण वर्ग है।
For a perfect square, all exponents must be even, but powers of 3 and 5 are odd.
Step 3
Exam Tip
Dividing by \(3\times5=15\) leaves \(3^2\times7^2\), a perfect square. चरण 1: \(6615=3^3\times5\times7^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, लेकिन 3 और 5 की घातें विषम हैं। चरण 3: \(3\times5=15\) से भाग देने पर \(3^2\times7^2\) बचेगा, जो पूर्ण वर्ग है।
For a perfect square, all exponents must be even, so the odd powers of 2, 3, and 5 must be reduced.
Step 3
Exam Tip
Dividing by \(2\times3\times5=30\) leaves \(3^2\times7^2\), so the smallest number is 30. चरण 1: \(13230=2\times3^3\times5\times7^2\) है। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम चाहिए, इसलिए 2, 3 और 5 की विषम घातें हटानी होंगी। चरण 3: \(2\times3\times5=30\) से नहीं, बल्कि \(2\times3\times5=30\) से भाग देने पर \(3^2\times7^2\) मिलेगा; इसलिए सही सबसे छोटी संख्या 30 है।
For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 2 is 3.
Step 3
Exam Tip
Dividing by 2 gives \(2^2\times3^2\times7^2\), so the smallest number is 2. चरण 1: \(3528=72\times49=2^3\times3^2\times7^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, लेकिन 2 की घात 3 है। चरण 3: 2 से भाग देने पर \(2^2\times3^2\times7^2\) मिलेगा, इसलिए सबसे छोटी संख्या 2 है।
For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 5 is 1.
Step 3
Exam Tip
Dividing by 5 makes all remaining exponents even, so the smallest number is 5. चरण 1: \(8820=2^2\times3^2\times5\times7^2\) होता है। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम चाहिए, लेकिन 5 की घात 1 है। चरण 3: 5 से भाग देने पर शेष घातें सम रहेंगी, इसलिए सबसे छोटी संख्या 5 है।
A. वह बड़े जन विरोध और राजनीतिक मांगों का केंद्र बना/It became a center of mass protest and political demands
Step 1
Concept
Tahrir Square gave visible and organized form to public protest. For exams remember symbolic importance of places.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वह बड़े जन विरोध और राजनीतिक मांगों का केंद्र बना / It became a center of mass protest and political demands. Tahrir Square gave visible and organized form to public protest. For exams remember symbolic importance of places.
Step 3
Exam Tip
तहरीर चौक ने जनता के विरोध को दृश्य और संगठित रूप दिया। परीक्षा में स्थानों का प्रतीकात्मक महत्व याद रखें।
For a perfect square, all exponents must be even, but powers of 2 and 3 are odd.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by \(2\times3=6\) makes all powers even. चरण 1: \(86400=2^7\times3^3\times5^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, पर 2 और 3 की घातें विषम हैं। चरण 3: \(2\times3=6\) से गुणा करने पर सभी घातें सम हो जाएंगी।
For a perfect square, all exponents must be even, but powers of 2 and 3 are odd.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by \(2\times3=6\) makes all powers even. चरण 1: \(21600=216\times100=2^5\times3^3\times5^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम चाहिए, पर 2 और 3 की घातें विषम हैं। चरण 3: \(2\times3=6\) से गुणा करने पर सभी घातें सम हो जाएंगी।
For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 3 is 3.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by 3 makes it 4, so the smallest number is 3. चरण 1: \(43200=432\times100=2^6\times3^3\times5^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, पर 3 की घात 3 विषम है। चरण 3: 3 से गुणा करने पर 3 की घात 4 हो जाएगी, इसलिए सबसे छोटी संख्या 3 है।
For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 3 is 3.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by 3 makes the exponent 4, so the smallest number is 3. चरण 1: \(10800=108\times100=2^4\times3^3\times5^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, पर 3 की घात 3 विषम है। चरण 3: 3 से गुणा करने पर 3 की घात 4 हो जाएगी, इसलिए सबसे छोटी संख्या 3 है।
For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 2 is 3.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by 2 makes the exponent 4, so the smallest number is 2. चरण 1: \(3528=72\times49=2^3\times3^2\times7^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, लेकिन 2 की घात 3 विषम है। चरण 3: 2 से गुणा करने पर घात 4 हो जाएगी, इसलिए सबसे छोटी संख्या 2 है।
For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 2 is 3.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by 2 makes it 4, so the smallest number is 2. चरण 1: \(1800=18\times100=2^3\times3^2\times5^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, पर 2 की घात 3 विषम है। चरण 3: 2 से गुणा करने पर घात 4 हो जाएगी, इसलिए सबसे छोटी संख्या 2 है।
A. यह औपनिवेशिक स्मृति की जगह राष्ट्रीय स्मृति और स्थानीय नायकों को स्थान देता है/It replaces colonial memory with national memory and local heroes
Step 1
Concept
Monuments and names are linked with memory identity and power. For exams do not forget cultural symbols.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह औपनिवेशिक स्मृति की जगह राष्ट्रीय स्मृति और स्थानीय नायकों को स्थान देता है / It replaces colonial memory with national memory and local heroes. Monuments and names are linked with memory identity and power. For exams do not forget cultural symbols.
Step 3
Exam Tip
स्मारक और नाम स्मृति पहचान और सत्ता से जुड़े होते हैं। परीक्षा में सांस्कृतिक प्रतीकों को न भूलें।
D. औपनिवेशिक भाषा प्रशासन शिक्षा और प्रतिष्ठा से जुड़ जाती थी/Colonial language became linked with administration education and prestige
Step 1
Concept
Language affected both rule and social prestige. For exams remember cultural control.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. औपनिवेशिक भाषा प्रशासन शिक्षा और प्रतिष्ठा से जुड़ जाती थी / Colonial language became linked with administration education and prestige. Language affected both rule and social prestige. For exams remember cultural control.
Step 3
Exam Tip
भाषा शासन और सामाजिक प्रतिष्ठा दोनों को प्रभावित करती थी। परीक्षा में सांस्कृतिक नियंत्रण याद रखें।
A. औपनिवेशिक भाषा को प्रशासन शिक्षा और उच्च प्रतिष्ठा से जोड़कर/By linking colonial language with administration education and high status
Step 1
Concept
Language affected both rule and social prestige. For exams connect language with cultural power.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. औपनिवेशिक भाषा को प्रशासन शिक्षा और उच्च प्रतिष्ठा से जोड़कर / By linking colonial language with administration education and high status. Language affected both rule and social prestige. For exams connect language with cultural power.
Step 3
Exam Tip
भाषा शासन और सामाजिक प्रतिष्ठा दोनों को प्रभावित करती थी। परीक्षा में भाषा को सांस्कृतिक शक्ति से जोड़ें।
A. इसने सत्ता परिवर्तन की मांग को नागरिक वैधता दी/It gave civic legitimacy to demand for power change
Step 1
Concept
Symbolic and nonviolent protest gave the movement wider acceptance. For exams see method and symbol together in color revolutions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. इसने सत्ता परिवर्तन की मांग को नागरिक वैधता दी / It gave civic legitimacy to demand for power change. Symbolic and nonviolent protest gave the movement wider acceptance. For exams see method and symbol together in color revolutions.
Step 3
Exam Tip
प्रतीकात्मक और अहिंसक विरोध ने आंदोलन को व्यापक स्वीकार्यता दी। परीक्षा में रंग क्रांतियों में पद्धति और प्रतीक साथ देखें।
A. सांस्कृतिक स्मृति और जन परंपरा का साधन/A tool of cultural memory and popular tradition
Step 1
Concept
A flag is seen by the eyes.
Step 2
Why this answer is correct
Folklore preserves memories and values of generations through stories.
Step 3
Exam Tip
Identify the nature of different symbols. चरण 1: झंडा आंखों से दिखाई देता है। चरण 2: लोककथा कहानी के रूप में पीढ़ियों की स्मृति और मूल्य संभालती है। चरण 3: अलग अलग प्रतीकों की प्रकृति पहचानें।
A. क्योंकि यह औपनिवेशिक वस्तुओं को सार्वजनिक रूप से अस्वीकार करता था/Because it publicly rejected colonial goods
Step 1
Concept
Foreign cloth was linked with the colonial economy.
Step 2
Why this answer is correct
Burning it was a visible form of public protest.
Step 3
Exam Tip
Therefore it was both economic boycott and symbolic nationalism. चरण 1: विदेशी कपड़ा औपनिवेशिक अर्थव्यवस्था से जुड़ा था। चरण 2: उसे जलाना सार्वजनिक विरोध का दृश्य रूप था। चरण 3: इसलिए यह आर्थिक बहिष्कार और प्रतीकात्मक राष्ट्रवाद दोनों था।
A. औपनिवेशिक सम्मान और वैधता को अस्वीकार करना/Rejecting colonial honour and legitimacy
Step 1
Concept
Titles were granted by the colonial government.
Step 2
Why this answer is correct
Returning them meant rejecting colonial recognition.
Step 3
Exam Tip
It was an important symbolic act of non-cooperation. चरण 1: उपाधियाँ औपनिवेशिक शासन द्वारा दी जाती थीं। चरण 2: उन्हें लौटाना शासन की मान्यता को ठुकराना था। चरण 3: यह असहयोग का आरंभिक प्रतीकात्मक कदम था।
B. बंधन का टूटना स्वतंत्रता का संकेत है/Breaking bondage is a sign of liberty
Step 1
Concept
Chains show bondage and subordination.
Step 2
Why this answer is correct
Their breaking shows the end of bondage.
Step 3
Exam Tip
Therefore broken chains become a simple and powerful symbol of liberty. चरण 1: बेड़ियां बंधन और अधीनता को दिखाती हैं। चरण 2: उनका टूटना बंधन के अंत को दिखाता है। चरण 3: इसलिए टूटी बेड़ियां स्वतंत्रता का सरल और शक्तिशाली प्रतीक बनती हैं।
A. चित्र के राजनीतिक अर्थ को गलत समझना/Misunderstanding the political meaning of the image
Step 1
Concept
Symbols express the main message of an image.
Step 2
Why this answer is correct
Without understanding them the conclusion may be wrong.
Step 3
Exam Tip
In exams read symbolic language carefully. चरण 1: प्रतीक चित्र का मुख्य संदेश बताते हैं। चरण 2: उनके अर्थ न समझने पर निष्कर्ष गलत हो सकता है। चरण 3: परीक्षा में प्रतीकात्मक भाषा को ध्यान से पढ़ें।
A. लाल टोपी स्वतंत्रता और तिरंगा फ्रांसीसी पहचान दिखाता है/Red cap shows liberty and tricolour shows French identity
Step 1
Concept
Marianne is the symbolic image of the French nation.
Step 2
Why this answer is correct
The red cap and tricolour show liberty and national identity.
Step 3
Exam Tip
In exams do not confuse Marianne's symbols with Germania's. चरण 1: मैरिआन फ्रांसीसी राष्ट्र की प्रतीकात्मक छवि है। चरण 2: लाल टोपी और तिरंगा स्वतंत्रता तथा राष्ट्रीय पहचान दिखाते हैं। चरण 3: परीक्षा में मैरिआन के प्रतीकों को जर्मानिया से न मिलाएँ।
A. बलूत पत्ते वीरता तलवार शक्ति और जैतून की डाली शांति दिखाती है/Oak leaves show heroism sword shows strength and olive branch shows peace
Step 1
Concept
Germania has many symbols with different meanings.
Step 2
Why this answer is correct
These symbols create an image of strength heroism and peace in German nationalism.
Step 3
Exam Tip
In exams read symbolic language with correct meanings. चरण 1: जर्मानिया के कई प्रतीक अलग अलग अर्थ रखते हैं। चरण 2: ये प्रतीक जर्मन राष्ट्रवाद की शक्ति वीरता और शांति की छवि बनाते हैं। चरण 3: परीक्षा में प्रतीकों की भाषा को सही अर्थों से पढ़ें।
A. चित्र के राजनीतिक अर्थ को गलत समझना/Misunderstanding the political meaning of the image
Step 1
Concept
Symbols express the main message of an image.
Step 2
Why this answer is correct
Without understanding them the conclusion may be wrong.
Step 3
Exam Tip
In exams read symbolic language carefully. चरण 1: प्रतीक चित्र का मुख्य संदेश बताते हैं। चरण 2: उनके अर्थ न समझने पर निष्कर्ष गलत हो सकता है। चरण 3: परीक्षा में प्रतीकात्मक भाषा को ध्यान से पढ़ें।
A. लाल टोपी स्वतंत्रता और तिरंगा फ्रांसीसी पहचान दिखाता है/Red cap shows liberty and tricolour shows French identity
Step 1
Concept
Marianne is the symbolic image of the French nation.
Step 2
Why this answer is correct
The red cap and tricolour show liberty and national identity.
Step 3
Exam Tip
In exams do not confuse Marianne's symbols with Germania's. चरण 1: मैरिआन फ्रांसीसी राष्ट्र की प्रतीकात्मक छवि है। चरण 2: लाल टोपी और तिरंगा स्वतंत्रता तथा राष्ट्रीय पहचान दिखाते हैं। चरण 3: परीक्षा में मैरिआन के प्रतीकों को जर्मानिया से न मिलाएँ।
A. बलूत पत्ते वीरता तलवार शक्ति और जैतून की डाली शांति दिखाती है/Oak leaves show heroism sword shows strength and olive branch shows peace
Step 1
Concept
Germania has many symbols with different meanings.
Step 2
Why this answer is correct
These symbols create an image of strength heroism and peace in German nationalism.
Step 3
Exam Tip
In exams read symbolic language with correct meanings. चरण 1: जर्मानिया के कई प्रतीक अलग अलग अर्थ रखते हैं। चरण 2: ये प्रतीक जर्मन राष्ट्रवाद की शक्ति वीरता और शांति की छवि बनाते हैं। चरण 3: परीक्षा में प्रतीकों की भाषा को सही अर्थों से पढ़ें।
A. बंधन का टूटना स्वतंत्रता का संकेत है/The breaking of bondage is a sign of liberty
Step 1
Concept
Chains are linked with bondage and subordination.
Step 2
Why this answer is correct
Their breaking shows the end of bondage.
Step 3
Exam Tip
Therefore broken chains become a simple and powerful symbol of liberty. चरण 1: बेड़ियां बंधन और अधीनता से जुड़ी हैं। चरण 2: उनका टूटना बंधन के अंत को दिखाता है। चरण 3: इसलिए टूटी बेड़ियां स्वतंत्रता का सरल और शक्तिशाली प्रतीक बनती हैं।
A. लाल टोपी स्वतंत्रता और तिरंगा फ्रांसीसी पहचान दिखाता है/Red cap shows liberty and tricolour shows French identity
Step 1
Concept
Marianne was the national image of France.
Step 2
Why this answer is correct
The red cap and tricolour with her showed liberty and French identity.
Step 3
Exam Tip
In exams connect Marianne's symbols with correct meanings. चरण 1: मैरिआन फ्रांस की राष्ट्रीय छवि थी। चरण 2: उसके साथ लाल टोपी और तिरंगा स्वतंत्रता और फ्रांस की पहचान दिखाते थे। चरण 3: परीक्षा में मैरिआन के प्रतीकों को सही अर्थों से जोड़ें।
A. बलूत पत्ते वीरता तलवार शक्ति और जैतून की डाली शांति दिखाती है/Oak leaves show heroism sword shows strength and olive branch shows peace
Step 1
Concept
Every symbol of Germania has a different meaning.
Step 2
Why this answer is correct
Oak sword and olive branch show different sides of German nationalism.
Step 3
Exam Tip
In exams read symbolic language with correct meanings. चरण 1: जर्मानिया के हर प्रतीक का अलग अर्थ है। चरण 2: बलूत तलवार और जैतून की डाली जर्मन राष्ट्रवाद के अलग पक्ष दिखाते हैं। चरण 3: परीक्षा में प्रतीकात्मक भाषा को सही अर्थों के साथ पढ़ें।
A. क्योंकि वह बिना लंबे लेख के राजनीतिक संदेश दे सकती थी/Because it could give a political message without long writing
Step 1
Concept
Symbols express big ideas in few signs.
Step 2
Why this answer is correct
Nationalist images connected people through these signs.
Step 3
Exam Tip
In exams write symbolic language as a method of communication. चरण 1: प्रतीक कम शब्दों में बड़ा विचार व्यक्त करते हैं। चरण 2: राष्ट्रवादी चित्र इन्हीं संकेतों से लोगों को जोड़ते थे। चरण 3: परीक्षा में प्रतीकात्मक भाषा को संदेश देने की विधि लिखें।
B. अमूर्त विचार को दृश्य चिह्न से समझाना/Explaining an abstract idea through a visual sign
Step 1
Concept
Justice is not an object that can be seen directly.
Step 2
Why this answer is correct
Scales explain justice by showing balance and fairness.
Step 3
Exam Tip
In exams write scales as a visual symbol of justice. चरण 1: न्याय सीधे दिखाई देने वाली वस्तु नहीं है। चरण 2: तराजू संतुलन और निष्पक्षता दिखाकर न्याय को समझाता है। चरण 3: परीक्षा में तराजू को न्याय के दृश्य प्रतीक के रूप में लिखें।
A. क्योंकि उनमें प्रशासनिक कानूनी आर्थिक और भाषाई सुधार भी शामिल थे/Because they also included administrative legal economic and language reforms
Step 1
Concept
The tricolour and songs were symbolic measures.
Step 2
Why this answer is correct
Uniform laws administration taxes and language reforms were practical measures.
Step 3
Exam Tip
Therefore, understand revolutionary nation-building at many levels. चरण 1: तिरंगा और गीत प्रतीकात्मक उपाय थे। चरण 2: समान कानून प्रशासन कर और भाषा सुधार व्यावहारिक उपाय थे। चरण 3: इसलिए क्रांति के राष्ट्र निर्माण को कई स्तरों पर समझें।
The tricolour became the symbol of the new French nation.
Step 3
Exam Tip
Therefore, it was a symbolic measure of nation-building. चरण 1: प्रतीक पहचान और भावनाओं को व्यक्त करते हैं। चरण 2: तिरंगा झंडा नए फ्रांसीसी राष्ट्र का प्रतीक बना। चरण 3: इसलिए यह राष्ट्र निर्माण का प्रतीकात्मक उपाय था।
A. जर्मनी के लिए वर्साय और इटली के लिए रोम/Versailles for Germany and Rome for Italy
Step 1
Concept
The German Empire was proclaimed at Versailles.
Step 2
Why this answer is correct
Rome became Italy's capital and symbol of national unity.
Step 3
Exam Tip
Therefore both places are symbolically linked with their unifications. चरण 1: वर्साय में जर्मन साम्राज्य की घोषणा हुई। चरण 2: रोम इटली की राजधानी और राष्ट्रीय एकता का प्रतीक बना। चरण 3: इसलिए दोनों स्थान अपने अपने एकीकरण से प्रतीकात्मक रूप से जुड़े हैं।
A. जर्मनी के लिए वर्साय और इटली के लिए रोम/Versailles for Germany and Rome for Italy
Step 1
Concept
The German Empire was proclaimed at Versailles.
Step 2
Why this answer is correct
Rome became Italy's national capital and symbol of unity.
Step 3
Exam Tip
Therefore both places are symbolically linked with their unifications. चरण 1: वर्साय में जर्मन साम्राज्य की घोषणा हुई। चरण 2: रोम इटली की राष्ट्रीय राजधानी और एकता का प्रतीक बना। चरण 3: इसलिए दोनों स्थान अपने अपने एकीकरण से प्रतीकात्मक रूप में जुड़े हैं।
The square root of a perfect square is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
If (n) is not a perfect square, \(\sqrt{n}\) is not rational.
Step 3
Exam Tip
This rule is very useful in Class 10 irrational number questions. चरण 1: पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है। चरण 2: यदि (n) पूर्ण वर्ग नहीं है, तो \(\sqrt{n}\) परिमेय नहीं होता। चरण 3: यह नियम कक्षा दस के अपरिमेय संख्या प्रश्नों में बहुत उपयोगी है।
Make \(2^3\) into \(2^4\) and (5) into \(5^2\); \(3^2\) is already fine.
Step 3
Exam Tip
For the smallest square multiple, increase only the necessary exponents. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी घातें सम होनी चाहिए। चरण 2: \(2^3\) को \(2^4\) और (5) को \(5^2\) बनाना होगा; \(3^2\) पहले से सही है। चरण 3: सबसे छोटे पूर्ण वर्ग गुणज में केवल जरूरी घातें ही बढ़ाएं।
Square roots of perfect squares are rational. चरण 1: (4) पूर्ण वर्ग है। चरण 2: \(\sqrt{4}=2\), जो परिमेय संख्या है। चरण 3: पूर्ण वर्गों के वर्गमूल परिमेय होते हैं।
A square root of a perfect square does not need an irrationality proof. चरण 1: (9) पूर्ण वर्ग है। चरण 2: \(\sqrt{9}=3\), जो परिमेय है। चरण 3: पूर्ण वर्ग के वर्गमूल को अपरिमेय सिद्ध करने की जरूरत नहीं होती।
The square root of a perfect square is not proved irrational. चरण 1: (4) पूर्ण वर्ग है। चरण 2: \(\sqrt{4}=2\), जो परिमेय संख्या है। चरण 3: पूर्ण वर्ग के वर्गमूल को अपरिमेय सिद्ध नहीं करते।
A. दो वास्तविक अपरिमेय और असमान/Two real irrational and distinct
Step 1
Concept
Positive (D) gives two distinct real roots. If (D) is not a perfect square, the roots are irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दो वास्तविक अपरिमेय और असमान / Two real irrational and distinct. Positive (D) gives two distinct real roots. If (D) is not a perfect square, the roots are irrational.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक (D) दो असमान वास्तविक मूल देता है। (D) पूर्ण वर्ग न हो तो मूल अपरिमेय होते हैं।
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान/Two real rational and distinct
Step 1
Concept
A positive perfect-square discriminant gives two distinct rational real roots. In exams check not only (D>0) but also whether (D) is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दो वास्तविक परिमेय और असमान / Two real rational and distinct. A positive perfect-square discriminant gives two distinct rational real roots. In exams check not only (D>0) but also whether (D) is a perfect square.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक पूर्ण वर्ग विविक्तकर से दो अलग परिमेय वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा में केवल (D>0) नहीं, (D) का पूर्ण वर्ग होना भी देखें।
A. दो वास्तविक अपरिमेय और असमान/Two real irrational and distinct
Step 1
Concept
Two intersections mean (D>0). If (D) is not a perfect square, the roots are irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दो वास्तविक अपरिमेय और असमान / Two real irrational and distinct. Two intersections mean (D>0). If (D) is not a perfect square, the roots are irrational.
Step 3
Exam Tip
दो कटावों से (D>0) होता है। (D) पूर्ण वर्ग न हो तो मूल अपरिमेय होते हैं।
A. दो वास्तविक अपरिमेय और असमान/Two real irrational and distinct
Step 1
Concept
When (D>0), the roots are real and distinct. If (D) is not a perfect square, they are irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दो वास्तविक अपरिमेय और असमान / Two real irrational and distinct. When (D>0), the roots are real and distinct. If (D) is not a perfect square, they are irrational.
Step 3
Exam Tip
(D>0) होने से मूल वास्तविक और असमान होते हैं। (D) पूर्ण वर्ग न हो तो वे अपरिमेय होते हैं।
A. वास्तविक, अपरिमेय और भिन्न/Real, irrational and distinct
Step 1
Concept
A positive non-perfect-square (D) gives real, irrational and distinct roots. Only (D>0) tells distinctness.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वास्तविक, अपरिमेय और भिन्न / Real, irrational and distinct. A positive non-perfect-square (D) gives real, irrational and distinct roots. Only (D>0) tells distinctness.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक लेकिन अपूर्ण वर्ग (D) से मूल वास्तविक, अपरिमेय और भिन्न होते हैं। केवल (D>0) से भिन्नता पता चलती है।
A. शून्यक \(a+\sqrt{b}\) और \(a-\sqrt{b}\) हैं, दोनों वास्तविक अपरिमेय हो सकते हैं/Zeroes are \(a+\sqrt{b}\) and \(a-\sqrt{b}\), both can be real irrational
Step 1
Concept
The polynomial equals ((x-a)2-b), so \(x=a\pm\sqrt{b}\). When (b) is not a perfect square, \(\sqrt{b}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. शून्यक \(a+\sqrt{b}\) और \(a-\sqrt{b}\) हैं, दोनों वास्तविक अपरिमेय हो सकते हैं / Zeroes are \(a+\sqrt{b}\) and \(a-\sqrt{b}\), both can be real irrational. The polynomial equals ((x-a)2-b), so \(x=a\pm\sqrt{b}\). When (b) is not a perfect square, \(\sqrt{b}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
बहुपद ((x-a)2-b) के बराबर है, इसलिए \(x=a\pm\sqrt{b}\) है। जब (b) पूर्ण वर्ग नहीं है तो \(\sqrt{b}\) अपरिमेय होता है।
B. यह \(2\sqrt{a}\) के बराबर अपरिमेय है/It equals \(2\sqrt{a}\) and is irrational
Step 1
Concept
Like terms give \(\sqrt{a}+\sqrt{a}=2\sqrt{a}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (a) is not a perfect square \(\sqrt{a}\) is irrational and its double is irrational.
Step 3
Exam Tip
Add like radicals like algebraic terms. चरण 1: समान पद जोड़ने पर \(\sqrt{a}+\sqrt{a}=2\sqrt{a}\)। चरण 2: (a) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{a}\) अपरिमेय है और उसका दुगुना भी अपरिमेय है। चरण 3: समान वर्गमूलों को बीजगणितीय पदों की तरह जोड़ें।
यदि (a) और (b) धनात्मक पूर्णांक हैं तथा \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) परिमेय है, जबकि (a) पूर्ण वर्ग नहीं है, तो (b) के बारे में कौन-सा निष्कर्ष निश्चित रूप से सही हो सकता है?
Since (a) is not a perfect square, \(\sqrt{a}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
A sum of two positive square roots could become rational only if irrational parts cancel, but both terms are positive here.
Step 3
Exam Tip
Without opposite signs, irrational surd parts remain in the sum. चरण 1: (a) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{a}\) अपरिमेय है। चरण 2: दो धनात्मक वर्गमूलों का योग परिमेय तभी हो सकता है जब अपरिमेय भाग कटे, पर यहाँ दोनों पद धनात्मक हैं इसलिए कटना संभव नहीं है। चरण 3: धनात्मक मूलों के योग में विपरीत चिह्न न होने पर अपरिमेय भाग बचता है।
Dividing by \(3\times7=21\) makes the powers 4 and 2. चरण 1: पूर्ण वर्ग के लिए घातें सम चाहिए। चरण 2: 3 की घात 5 और 7 की घात 3 विषम हैं। चरण 3: \(3\times7=21\) से भाग देने पर घातें 4 और 2 हो जाएंगी।
Multiplying by \(2\times11=22\) makes both powers even. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी घातें सम होती हैं। चरण 2: 2 की घात 7 और 11 की घात 3 विषम हैं। चरण 3: \(2\times11=22\) से गुणा करने पर दोनों घातें सम हो जाएंगी।
Dividing by \(2\times5\) makes the powers 8 and 6. चरण 1: पूर्ण वर्ग के लिए घातें सम चाहिए। चरण 2: 2 की घात 9 और 5 की घात 7 विषम हैं। चरण 3: \(2\times5\) से भाग देने पर घातें 8 और 6 हो जाएंगी।
In a perfect square, all exponents should be even.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of 3 and 7 are odd.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by \(3\times7=21\) makes both powers even. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी घातें सम होनी चाहिए। चरण 2: 3 की घात 5 और 7 की घात 3 विषम हैं। चरण 3: \(3\times7=21\) से गुणा करने पर दोनों घातें सम हो जाएंगी।
In a perfect square, every prime factor must have an even exponent.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^4\) and \(5^2\) are already even powers, but \(3^3\) is odd. Dividing by (3) leaves \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
Fix only the prime factor with an odd exponent. चरण 1: पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य गुणनखंड की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: \(2^4\) और \(5^2\) की घात सम है, पर \(3^3\) विषम है। (3) से भाग देने पर \(3^2\) रह जाएगा। चरण 3: केवल विषम घात वाले गुणनखंड को ठीक करें, पूरी संख्या को नहीं।
In a perfect square, all exponents should be even.
Step 2
Why this answer is correct
Only the power of 3 is odd.
Step 3
Exam Tip
Dividing by 3 makes the power of 3 equal to 4 and the number becomes a perfect square. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी घातें सम होनी चाहिए। चरण 2: केवल 3 की घात 5 विषम है। चरण 3: 3 से भाग देने पर 3 की घात 4 हो जाएगी और संख्या पूर्ण वर्ग बनेगी।
Multiplying by \(2\times5\times11=110\) makes all exponents even. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी घातें सम होती हैं। चरण 2: 2 की घात 7, 5 की घात 3 और 11 की घात 1 विषम हैं। चरण 3: \(2\times5\times11=110\) से गुणा करने पर सभी घातें सम हो जाएंगी।
