It is a multiple of (7), so it is exactly divisible by (7).
Step 3
Exam Tip
Zero remainder means exact division. चरण 1: (7q+0) को सरल करने पर (7q) मिलता है। चरण 2: यह (7) का गुणज है, इसलिए (7) से पूर्णतः विभाज्य है। चरण 3: शून्य शेषफल का अर्थ पूर्ण विभाजन होता है।
Therefore, the final remainder is 0; adding only the remainders is a quick method for multi-term expressions. चरण 1: शेषफलों को जोड़ें: (42+45+7=94)। चरण 2: 94, 47 से पूर्णतः विभाजित है। चरण 3: इसलिए अंतिम शेषफल 0 है; कई पदों में केवल शेषफलों को जोड़ना तेज तरीका है।
The remainder of \(x^2+x\) comes from \(13^2+13=182\).
Step 3
Exam Tip
Since 182 is exactly divisible by 14, the remainder is 0. चरण 1: (x) का शेषफल 13 है। चरण 2: \(x^2+x\) का शेषफल \(13^2+13=182\) से मिलेगा। चरण 3: 182, 14 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 है।
The number is exactly divisible by 79, so the remainder is 0. चरण 1: (a-140=79q+61-140=79q-79)। चरण 2: इसे (79(q-1)+0) लिखा जा सकता है। चरण 3: संख्या 79 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 है।
It is exactly divisible by 53, so the remainder is 0. चरण 1: (m=53q+12) लिखें। चरण 2: (m-118=53q+12-118=53q-106=53(q-2))। चरण 3: यह 53 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 है।
The number becomes exactly divisible by 97, so the remainder is 0. चरण 1: (a) का शेषफल 96 है, जो 97 से एक कम है। चरण 2: 1 जोड़ने पर (97q+97=97(q+1)) मिलता है। चरण 3: संख्या 97 से पूर्णतः विभाजित हो जाती है, इसलिए शेषफल 0 है।
Therefore, the final remainder is 0; adding only the remainders is a quick method for multi-term expressions. चरण 1: शेषफलों को जोड़ें: (35+37+6=78)। चरण 2: 78, 39 से पूर्णतः विभाजित है। चरण 3: इसलिए अंतिम शेषफल 0 है; कई पदों में केवल शेषफलों को जोड़ना तेज तरीका है।
The remainder of \(x^2+x\) comes from \(11^2+11=132\).
Step 3
Exam Tip
Since 132 is exactly divisible by 12, the remainder is 0. चरण 1: (x) का शेषफल 11 है। चरण 2: \(x^2+x\) का शेषफल \(11^2+11=132\) से मिलेगा। चरण 3: 132, 12 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 है।
The number is exactly divisible by 67, so the remainder is 0. चरण 1: (a-119=67q+52-119=67q-67)। चरण 2: इसे (67(q-1)+0) लिखा जा सकता है। चरण 3: संख्या 67 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 है।
It is exactly divisible by 43, so the remainder is 0. चरण 1: (m=43q+9) लिखें। चरण 2: (m-95=43q+9-95=43q-86=43(q-2))। चरण 3: यह 43 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 है।
The number becomes exactly divisible by 83, so the remainder is 0. चरण 1: (a) का शेषफल 82 है, जो 83 से एक कम है। चरण 2: 1 जोड़ने पर (83q+83=83(q+1)) मिलता है। चरण 3: संख्या 83 से पूर्णतः विभाजित हो जाती है, इसलिए शेषफल 0 है।
Therefore, the final remainder is 0; adding only the remainders is a quick method for multi-term expressions. चरण 1: शेषफलों को जोड़ें: (29+31+6=66)। चरण 2: 66, 33 से पूर्णतः विभाजित है। चरण 3: इसलिए अंतिम शेषफल 0 होगा; कई पदों में केवल शेषफलों को जोड़ना तेज तरीका है।
The remainder of \(x^2+x\) comes from \(9^2+9=90\).
Step 3
Exam Tip
Since 90 is exactly divisible by 10, the remainder is 0. चरण 1: (x) का शेषफल 9 है। चरण 2: \(x^2+x\) का शेषफल \(9^2+9=90\) से मिलेगा। चरण 3: 90, 10 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 है।
Therefore, the number is exactly divisible by 59 and the remainder is 0. चरण 1: (a-103=59q+44-103=59q-59)। चरण 2: इसे (59(q-1)+0) लिखा जा सकता है। चरण 3: इसलिए संख्या 59 से पूर्णतः विभाजित है और शेषफल 0 है।
The number becomes exactly divisible by 71, so the remainder is 0. चरण 1: (a) का शेषफल 70 है, जो 71 से एक कम है। चरण 2: 1 जोड़ने पर (71q+71=71(q+1)) मिलता है। चरण 3: संख्या 71 से पूर्णतः विभाजित हो जाती है, इसलिए शेषफल 0 है।
(42) is exactly divisible by 21, so the remainder should be 0.
Step 3
Exam Tip
In multi-term questions, add only the remainders and reduce at the end. चरण 1: शेषफलों को जोड़ें: (17+19+6=42)। चरण 2: 42, 21 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 होना चाहिए। चरण 3: कई पदों वाले प्रश्नों में केवल शेषफलों को जोड़कर अंतिम घटाव करें।
36 is exactly divisible by 18, so the remainder is 0.
Step 3
Exam Tip
In multi-term questions, add only the remainders and then reduce at the end. चरण 1: शेषफलों को जोड़ें: (13+16+7=36)। चरण 2: 36, 18 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 है। चरण 3: कई पदों वाले प्रश्न में केवल शेषफलों को जोड़कर अंतिम घटाव करें।
The remainder of \(a^2+1\) comes from \(2^2+1=5\), which is exactly divisible by 5.
Step 3
Exam Tip
After substituting the remainder in the expression, check it again by the divisor. चरण 1: (a) का शेषफल 2 है। चरण 2: \(a^2+1\) का शेषफल \(2^2+1=5\) से मिलेगा, जो 5 से पूर्णतः विभाजित है। चरण 3: व्यंजक में शेषफल रखने के बाद उत्तर को फिर भाजक से जांचें।
Adding 28 gives total remainder (26+28=54), which is exactly divisible by 27.
Step 3
Exam Tip
It is easier to reduce the added number by the divisor and combine remainders. चरण 1: मूल शेषफल 26 है। चरण 2: 28 जोड़ने पर कुल शेषफल (26+28=54), जो 27 से पूर्णतः विभाजित है। चरण 3: जोड़ी गई संख्या को भी शेषफल के रूप में घटाकर देखना आसान रहता है।
Adding 25 gives total remainder (11+25=36), and 36 is exactly divisible by 18.
Step 3
Exam Tip
After addition, divide the total remainder again by the divisor. चरण 1: (N) का शेषफल 11 है। चरण 2: 25 जोड़ने पर कुल शेषफल (11+25=36), और 36, 18 से पूर्णतः विभाजित है। चरण 3: जोड़ के बाद कुल शेषफल को भाजक से फिर भाग दें।
Adding 16 gives total remainder (14+16=30), which is exactly divisible by 15.
Step 3
Exam Tip
After addition, reduce the remainder again by the divisor. चरण 1: (x) का शेषफल 14 है। चरण 2: 16 जोड़ने पर कुल शेषफल (14+16=30), जो 15 से पूर्णतः विभाजित है। चरण 3: जोड़ के बाद शेषफल को फिर से भाजक से घटाकर छोटा करें।
Adding 29 gives total remainder (7+29=36), and 36 is exactly divisible by 12.
Step 3
Exam Tip
You may add the given number directly, then find the final remainder. चरण 1: संख्या (12q+7) है। चरण 2: 29 जोड़ने पर कुल शेषफल (7+29=36), और 36, 12 से पूर्णतः विभाजित है। चरण 3: जोड़े गए अंक को सीधे जोड़ सकते हैं, फिर अंतिम शेषफल निकालें।
A. क्योंकि 3 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2 में से एक होता है/Because division by 3 gives one of the remainders 0, 1, 2
Step 1
Concept
On division by 3, every integer is of the form (3q), (3q+1), or (3q+2).
Step 2
Why this answer is correct
Three consecutive integers cover these three remainders, so one is exactly divisible by 3.
Step 3
Exam Tip
Use the cycle of remainders for consecutive-number problems. चरण 1: 3 से भाग देने पर हर संख्या (3q), (3q+1), या (3q+2) रूप में होगी। चरण 2: तीन लगातार संख्याओं में ये तीनों शेषफल आते हैं, इसलिए एक संख्या 3 से पूर्णतः विभाजित होगी। चरण 3: लगातार संख्याओं में शेषफल चक्र का उपयोग करें।
Remainder 0 means the number is exactly divisible by the divisor. चरण 1: यूक्लिड रूप (a=bq+r) है। चरण 2: यदि शेषफल 0 है, तो (a=23q+0=23q) होगा। चरण 3: शेषफल 0 होने का अर्थ है कि संख्या भाजक से पूर्णतः विभाजित है।
When divided by 2, the remainder can only be 0 or 1.
Step 2
Why this answer is correct
An odd number is not exactly divisible by 2, so the remainder is 1 and the form is (a=2q+1).
Step 3
Exam Tip
For even-odd questions, take 2 as the divisor. चरण 1: 2 से भाग देने पर शेषफल 0 या 1 ही हो सकता है। चरण 2: विषम संख्या 2 से पूरी तरह विभाजित नहीं होती, इसलिए शेषफल 1 होगा और रूप (a=2q+1) बनेगा। चरण 3: सम और विषम के सवालों में 2 को भाजक मानना उपयोगी रहता है।
Just after an exactly divisible number, the remainder is (1). चरण 1: (a=bq) पूरी तरह (b) से विभाजित है। चरण 2: (a+1=bq+1), इसलिए शेषफल (1) होगा। चरण 3: पूर्ण विभाजित संख्या के ठीक बाद शेषफल (1) आता है।
If a number is exactly divisible by (25), the remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
The smallest possible remainder is always (0). चरण 1: शेषफल (0) से शुरू हो सकता है। चरण 2: यदि संख्या (25) से पूरी तरह विभाजित हो जाए तो शेषफल (0) होगा। चरण 3: सबसे छोटा संभव शेषफल हमेशा (0) होता है।
(11q+22=11(q+2)+0), so the correct remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
If the added part is exactly divisible by the divisor, the remainder becomes zero. चरण 1: (22), (11) का गुणज है। चरण 2: (11q+22=11(q+2)+0), इसलिए सही शेषफल (0) है। चरण 3: जोड़ा गया भाग यदि भाजक से पूरा विभाजित हो तो शेषफल शून्य हो जाता है।
(a+1=3q+3=3(q+1)), so it is exactly divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
While changing the form, add the added (1) to the remainder. चरण 1: (a=3q+2) दिया है। चरण 2: (a+1=3q+3=3(q+1)), इसलिए यह (3) से पूर्ण विभाजित है। चरण 3: रूप बदलते समय जोड़े गए (1) को शेषफल में जोड़ें।
Remainder (0) means the number is exactly divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
A number exactly divisible by (2) is even.
Step 3
Exam Tip
The general form of an even number is (2q). चरण 1: शेषफल (0) होने का अर्थ है संख्या (2) से पूरी तरह विभाजित है। चरण 2: (2) से पूरी तरह विभाजित संख्या सम होती है। चरण 3: सम संख्या का सामान्य रूप (2q) होता है।
If a number is exactly divisible by (19), the remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
The smallest possible remainder is always (0). चरण 1: शेषफल की सीमा (0) से शुरू होती है। चरण 2: यदि संख्या (19) से पूरी तरह विभाजित हो, तो शेषफल (0) होगा। चरण 3: सबसे छोटा संभव शेषफल हमेशा (0) होता है।
A. (a), (b) से पूरी तरह विभाजित है/(a) is exactly divisible by (b)
Step 1
Concept
When (r=0), the form becomes (a=bq).
Step 2
Why this answer is correct
This means (a) is exactly divisible by (b).
Step 3
Exam Tip
Zero remainder is a sign of exact divisibility. चरण 1: (r=0) होने पर (a=bq) बनता है। चरण 2: इसका अर्थ है कि (a), (b) से पूर्ण रूप से विभाजित है। चरण 3: शून्य शेषफल पूर्ण विभाज्यता का संकेत है।
Remember the form (2q) for identifying even numbers. चरण 1: (n=2q) का अर्थ है कि (n), (2) से पूरी तरह विभाजित होता है। चरण 2: (2) से विभाजित होने वाली संख्या सम संख्या होती है। चरण 3: सम संख्या पहचानने के लिए (2q) रूप याद रखें।
If the number is exactly divisible by (8), the remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
The smallest possible remainder is always (0). चरण 1: शेषफल की सीमा (0) से शुरू होती है। चरण 2: यदि संख्या (8) से पूरी तरह विभाजित हो जाए तो शेषफल (0) होगा। चरण 3: सबसे छोटा संभव शेषफल हमेशा (0) होता है।
If the number is exactly divisible by (12), the remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
The smallest possible remainder is always (0). चरण 1: शेषफल (0) से शुरू हो सकता है। चरण 2: यदि संख्या (12) से पूरी तरह विभाजित हो, तो शेषफल (0) होगा। चरण 3: सबसे छोटा संभव शेषफल हमेशा (0) होता है।
The form (2q) is very useful for identifying even numbers. चरण 1: (n=2q) का अर्थ है (n) (2) से पूरी तरह विभाजित है। चरण 2: इसलिए (n) सम संख्या है। चरण 3: सम संख्या पहचानने के लिए (2q) रूप बहुत उपयोगी है।
A number exactly divisible by (10) has the form (10q).
Step 2
Why this answer is correct
Multiples of (10) end in (0).
Step 3
Exam Tip
Euclidean forms can also be used in digit-based questions. चरण 1: (10) से पूरी तरह विभाजित संख्या (10q) के रूप में होती है। चरण 2: (10) के गुणजों का अंतिम अंक (0) होता है। चरण 3: यूक्लिड रूप को अंक पहचान के सवालों में भी प्रयोग किया जा सकता है।
Remainder (0) means the number is exactly divisible by (6).
Step 2
Why this answer is correct
So the number is (6q+0), that is (6q).
Step 3
Exam Tip
Forms with zero remainder help identify multiples. चरण 1: शेषफल (0) होने का अर्थ है संख्या (6) से पूरी तरह विभाजित हो जाती है। चरण 2: इसलिए संख्या (6q+0), अर्थात (6q) के रूप में होगी। चरण 3: शून्य शेषफल वाले रूप गुणज पहचानने में सहायक होते हैं।
The new number is exactly divisible by (5), so the remainder is (0). चरण 1: मूल संख्या (5q+1) होगी। चरण 2: (4) जोड़ने पर (5q+5=5(q+1)) मिलेगा। चरण 3: नई संख्या (5) से पूर्णतः विभाज्य होगी, इसलिए शेषफल (0) है।
A. (3) से पूर्णतः विभाज्य/Exactly divisible by (3)
Step 1
Concept
The original number is (3q+2).
Step 2
Why this answer is correct
Adding (1) gives (3q+3=3(q+1)).
Step 3
Exam Tip
Therefore, the new number is exactly divisible by (3). चरण 1: मूल संख्या (3q+2) है। चरण 2: (1) जोड़ने पर (3q+3=3(q+1)) बनती है। चरण 3: इसलिए नई संख्या (3) से पूर्णतः विभाज्य होगी।
A number exactly divisible by (10) is of the form (10q).
Step 2
Why this answer is correct
Such a number has units digit (0).
Step 3
Exam Tip
In division by (10), use the units digit for a quick decision. चरण 1: (10) से पूर्ण विभाज्य संख्या (10q) के रूप में होती है। चरण 2: ऐसी संख्या का इकाई अंक (0) होता है। चरण 3: (10) से भाग के प्रश्न में इकाई अंक देखकर जल्दी निर्णय लें।
A. (a), (b) से पूर्णतः विभाज्य है/(a) is exactly divisible by (b)
Step 1
Concept
(r=0) means nothing is left after division.
Step 2
Why this answer is correct
Then (a=bq), so (a) is exactly divisible by (b).
Step 3
Exam Tip
Use zero remainder to identify divisibility. चरण 1: (r=0) का अर्थ है कि भाग देने के बाद कुछ नहीं बचा। चरण 2: तब (a=bq) बनता है, इसलिए (a), (b) से पूर्णतः विभाज्य है। चरण 3: शून्य शेषफल देखकर विभाज्यता पहचानें।
A. नई संख्या (7) से पूर्णतः विभाज्य होगी/The new number will be exactly divisible by (7)
Step 1
Concept
The original number is (7q+6).
Step 2
Why this answer is correct
Adding (1) gives (7q+7=7(q+1)).
Step 3
Exam Tip
Therefore, the new number is exactly divisible by (7). चरण 1: मूल संख्या (7q+6) है। चरण 2: (1) जोड़ने पर (7q+7=7(q+1)) होगा। चरण 3: इसलिए नई संख्या (7) से पूर्णतः विभाज्य होगी।
Now the number is exactly divisible by (8), so the remainder is (0). चरण 1: संख्या का रूप (8q+5) है। चरण 2: (3) जोड़ने पर (8q+8=8(q+1)) बनता है। चरण 3: अब संख्या (8) से पूरी तरह विभाजित होगी, इसलिए शेषफल (0) है।
This is exactly divisible by (5), so the remainder is (0). चरण 1: मूल संख्या (5q+3) के रूप में होगी। चरण 2: (2) जोड़ने पर (5q+5=5(q+1)) बनेगा। चरण 3: यह (5) से पूर्णतः विभाज्य है, इसलिए शेषफल (0) होगा।
A. क्योंकि (12q), (12) का गुणज है और (5<12)/Because (12q) is a multiple of (12) and (5<12)
Step 1
Concept
(12q) is exactly divisible by (12).
Step 2
Why this answer is correct
The leftover part is (5), and it is less than (12), so it is the remainder.
Step 3
Exam Tip
In (bq+r), (bq) is the multiple and (r) is the remainder. चरण 1: (12q), (12) से पूर्णतः विभाजित होता है। चरण 2: बचा हुआ (5) है और यह (12) से छोटा है, इसलिए वही शेषफल है। चरण 3: (bq+r) में (bq) गुणज और (r) शेषफल होता है।
A. (a), (9) से पूर्णतः विभाज्य है/(a) is exactly divisible by (9)
Step 1
Concept
In (a=9q+0), the remainder is (0).
Step 2
Why this answer is correct
A zero remainder means the number is exactly divisible by (9).
Step 3
Exam Tip
Treat zero remainder as a sign of exact division. चरण 1: (a=9q+0) में शेषफल (0) है। चरण 2: शेषफल (0) होने पर संख्या (9) से पूर्णतः विभाज्य होती है। चरण 3: शून्य शेषफल को पूर्ण विभाजन का संकेत मानें।
A. भाज्य भाजक से पूर्णतः विभाज्य है/The dividend is exactly divisible by the divisor
Step 1
Concept
Remainder (0) means nothing is left after division.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, the dividend is exactly divisible by the divisor.
Step 3
Exam Tip
To identify exact divisibility, check the remainder. चरण 1: शेषफल (0) का अर्थ है कि कुछ भी बचा नहीं। चरण 2: इसलिए भाज्य, भाजक से पूर्णतः विभाज्य है। चरण 3: पूर्ण विभाज्यता पहचानने के लिए शेषफल देखें।
The number is exactly divisible, so the remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
In exact division, remember to write the remainder as (0). चरण 1: \(13\times7=91\) है। चरण 2: संख्या पूरी तरह विभाजित हो जाती है, इसलिए शेषफल (0) होगा। चरण 3: पूर्ण विभाजन में शेषफल (0) लिखना न भूलें।
When a number is exactly divisible, the remainder is (0). चरण 1: \(8 \times 9=72\) है। चरण 2: इसलिए \(72=8 \times 9+0\) लिखा जाएगा। चरण 3: जब संख्या पूरी तरह विभाजित हो, शेषफल (0) होता है।
In zero-remainder questions, identify the multiple directly. चरण 1: \(63=7 \times 9+0\) में शेषफल (0) है। चरण 2: इसका अर्थ है (63), (7) से पूर्णतः विभाजित होता है। चरण 3: शून्य शेषफल वाले प्रश्नों में गुणज पहचानना आसान होता है।
A. (a), (b) से पूर्णतः विभाज्य है/(a) is exactly divisible by (b)
Step 1
Concept
(r=0) means no remainder is left.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (a=bq), so (a) is exactly divisible by (b).
Step 3
Exam Tip
When the remainder is zero, think of multiples. चरण 1: (r=0) का अर्थ है कोई शेषफल नहीं बचा। चरण 2: इसलिए (a=bq) बनता है और (a), (b) से पूर्णतः विभाज्य है। चरण 3: शेषफल शून्य हो तो गुणज का विचार करें।
This simplifies to (2q). चरण 1: सम संख्या (2) से पूर्ण विभाजित होती है। चरण 2: इसलिए शेषफल (0) होगा और रूप (a=2q+0) बनेगा। चरण 3: इसे सरल करके (2q) लिखा जाता है।
When the remainder is (0), the number is exactly divisible.
Step 2
Why this answer is correct
Euclid’s form becomes (a=9q+0).
Step 3
Exam Tip
So the number can be written as (9q). चरण 1: जब शेषफल (0) हो, संख्या पूर्ण रूप से विभाजित होती है। चरण 2: यूक्लिड रूप (a=9q+0) होगा। चरण 3: इसलिए ऐसी संख्या (9q) के रूप में लिखी जाती है।
