For a terminating decimal, the denominator must be made only from (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
So its form is \(2^m5^n\).
Step 3
Exam Tip
(m) or (n) may be zero, so only (2) or only (5) is also allowed. चरण 1: समाप्त दशमलव के लिए भाजक केवल (2) और (5) से बनना चाहिए। चरण 2: इसलिए उसका रूप \(2^m5^n\) होता है। चरण 3: (m) या (n) शून्य भी हो सकते हैं, इसलिए केवल (2) या केवल (5) भी चलेगा।
The denominator \(2^4\cdot 5^6\) lacks \(2^2\). So multiply numerator and denominator by \(2^2\).
Step 3
Exam Tip
Complete the deficiency of the prime with the smaller exponent. चरण 1: \(10^6=2^6\cdot 5^6\) होता है। चरण 2: हर \(2^4\cdot 5^6\) में \(2^2\) की कमी है। इसलिए अंश और हर को \(2^2\) से गुणा करेंगे। चरण 3: जिसकी घात कम हो, उसी की कमी पूरी करें।
\(0.\overline{216}=\frac{216}{999}=\frac{8}{37}\). For a purely recurring decimal, first use a denominator of (9)'s and then reduce fully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (37). \(0.\overline{216}=\frac{216}{999}=\frac{8}{37}\). For a purely recurring decimal, first use a denominator of (9)'s and then reduce fully.
Step 3
Exam Tip
\(0.\overline{216}=\frac{216}{999}=\frac{8}{37}\) है। पूर्ण आवर्ती दशमलव में पहले (9) वाला हर बनाएं और फिर पूरा सरल करें।
\(0.\overline{108}=\frac{108}{999}=\frac{4}{37}\). First form the denominator with (9)'s according to the repeating digits and then reduce.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (37). \(0.\overline{108}=\frac{108}{999}=\frac{4}{37}\). First form the denominator with (9)'s according to the repeating digits and then reduce.
Step 3
Exam Tip
\(0.\overline{108}=\frac{108}{999}=\frac{4}{37}\) है। आवर्ती अंकों की संख्या के अनुसार पहले (9) वाला हर बनाएं फिर सरल करें।
\(0.3\overline{18}=0.3181818\ldots=\frac{315}{990}=\frac{7}{22}\). Always reduce the final fraction in mixed recurring decimals.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (22). \(0.3\overline{18}=0.3181818\ldots=\frac{315}{990}=\frac{7}{22}\). Always reduce the final fraction in mixed recurring decimals.
Step 3
Exam Tip
\(0.3\overline{18}=0.3181818\ldots=\frac{315}{990}=\frac{7}{22}\)। मिश्रित आवर्ती दशमलव में अंतिम उत्तर हमेशा सरल करें।
कथन: सरल रूप में \(\frac{p}{q}\) का भाजक \(2^a5^b\) हो तो दशमलव विस्तार समाप्त होता है। कारण: ऐसी स्थिति में भाजक को \(10^k\) के रूप में बदला जा सकता है। सही विकल्प चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण कथन को समझाता है/Both assertion and reason are true, and the reason explains the assertion
Step 1
Concept
A denominator made of powers of (2) and (5) can be converted into a power of (10).
Step 2
Why this answer is correct
When the denominator becomes like \(10^k\), the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
In assertion-reason questions, check whether the reason also explains the assertion. चरण 1: (2) और (5) की घातों से बना भाजक (10) की घात में बदला जा सकता है। चरण 2: जब भाजक \(10^k\) जैसा हो जाता है, तो दशमलव समाप्त होता है। चरण 3: कारण-प्रकार प्रश्नों में देखें कि कारण सच होने के साथ कथन को समझा भी रहा है या नहीं।
The exponent of (2) is (3) and the exponent of (5) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
The larger exponent is (3), so the decimal terminates within three places.
Step 3
Exam Tip
Choose the larger exponent, not the smaller one. चरण 1: भाजक में (2) की घात (3) और (5) की घात (2) है। चरण 2: बड़ी घात (3) है, इसलिए दशमलव अधिकतम तीन स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: ऐसी स्थितियों में छोटी नहीं, बड़ी घात चुनें।
\(0.015625=\frac{15625}{1000000}=\frac{1}{64}\). Convert a terminating decimal to a fraction and reduce the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (64). \(0.015625=\frac{15625}{1000000}=\frac{1}{64}\). Convert a terminating decimal to a fraction and reduce the denominator.
Step 3
Exam Tip
\(0.015625=\frac{15625}{1000000}=\frac{1}{64}\) है। सांत दशमलव को भिन्न में बदलकर हर को सरलतम रूप में देखें।
\(0.00\overline{63}=\frac{63}{9900}=\frac{7}{1100}\), so the denominator is (1100). In recurring decimals, the first denominator formed may not be final.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (110). \(0.00\overline{63}=\frac{63}{9900}=\frac{7}{1100}\), so the denominator is (1100). In recurring decimals, the first denominator formed may not be final.
Step 3
Exam Tip
\(0.00\overline{63}=\frac{63}{9900}=\frac{7}{1100}\) है इसलिए हर (1100) है। आवर्ती दशमलव में पहले बना हर हमेशा अंतिम हर नहीं होता।
\(0.00096=\frac{96}{100000}=\frac{3}{3125}\), so the denominator is (3125). Convert the decimal to a fraction and reduce fully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (3125). \(0.00096=\frac{96}{100000}=\frac{3}{3125}\), so the denominator is (3125). Convert the decimal to a fraction and reduce fully.
Step 3
Exam Tip
\(0.00096=\frac{96}{100000}=\frac{3}{3125}\) है इसलिए हर (3125) है। दशमलव को भिन्न में बदलकर पूरा सरल करें।
\(0.0625=\frac{625}{10000}=\frac{1}{16}\). Convert a terminating decimal to a fraction and always reduce the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (16). \(0.0625=\frac{625}{10000}=\frac{1}{16}\). Convert a terminating decimal to a fraction and always reduce the denominator.
Step 3
Exam Tip
\(0.0625=\frac{625}{10000}=\frac{1}{16}\)। सांत दशमलव को भिन्न में बदलकर हर को सरलतम रूप में अवश्य देखें।
\(0.00\overline{72}=\frac{72}{9900}=\frac{2}{275}\). The correct denominator is (275), so choose (275) from the options.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (1375). \(0.00\overline{72}=\frac{72}{9900}=\frac{2}{275}\). The correct denominator is (275), so choose (275) from the options.
Step 3
Exam Tip
\(0.00\overline{72}=\frac{72}{9900}=\frac{2}{275}\)। सही हर (275) है, इसलिए विकल्पों में केवल (275) को चुनना चाहिए।
For exactly (4) places, the larger exponent must be (4).
Step 2
Why this answer is correct
\(16=2^4\), \(625=5^4\), and \(80=2^4\cdot 5\) give exactly (4) places. \(125=5^3\) gives only (3) places.
Step 3
Exam Tip
For exact places, the larger exponent must match the required number. चरण 1: ठीक (4) स्थानों के लिए बड़ी घात (4) होनी चाहिए। चरण 2: \(16=2^4\), \(625=5^4\), और \(80=2^4\cdot 5\) ठीक (4) स्थान देंगे। \(125=5^3\) केवल (3) स्थान देता है। चरण 3: ठीक स्थानों में बड़ी घात बराबर होनी चाहिए।
The powers of (2) and (5) are (2) and (1), so the larger exponent is (2). The decimal terminates after (2) places.
Step 3
Exam Tip
If the reduced denominator is given, check its exponents directly. चरण 1: \(20=2^2\cdot 5\) है। चरण 2: (2) की घात (2) और (5) की घात (1) है, इसलिए बड़ी घात (2) होगी। दशमलव (2) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: सरलतम हर दिया हो तो सीधे उसकी घातें देखें।
This equals \(\frac{1}{300}\). So the reduced denominator is (300).
Step 3
Exam Tip
Two zeros before the recurring digit introduce the effect of (100) in the denominator. चरण 1: \(0.00\overline{3}=0.003333\ldots\) है। चरण 2: यह \(\frac{1}{300}\) के बराबर है। इसलिए सरलतम हर (300) है। चरण 3: आवर्ती अंक से पहले दो शून्य हों तो हर में (100) का प्रभाव आता है।
\(\frac{9}{99}=\frac{1}{11}\), so the reduced denominator is (11).
Step 3
Exam Tip
If a zero is part of the repeating block, count it as a digit. चरण 1: \(0.\overline{09}=\frac{09}{99}=\frac{9}{99}\) है। चरण 2: \(\frac{9}{99}=\frac{1}{11}\), इसलिए सरलतम हर (11) है। चरण 3: आवर्ती भाग में शून्य हो तो भी उसे अंकों में गिनें।
\(9=3^2\), so the reduced denominator contains the prime factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
If a reduced denominator has a prime other than (2) and (5), the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
Break composite factors into primes first. चरण 1: \(9=3^2\), इसलिए सरलतम हर में (3) का गुणनखंड है। चरण 2: हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड हो तो दशमलव असांत आवर्ती होता है। चरण 3: संयुक्त संख्याओं को पहले अभाज्य रूप में तोड़ें।
The greatest common factor of (48) and (10000) is (16), so \(\frac{48}{10000}=\frac{3}{625}\). The denominator is (625).
Step 3
Exam Tip
Even for small decimals, reduce to lowest form. चरण 1: \(0.0048=\frac{48}{10000}\) है। चरण 2: (48) और (10000) का महत्तम सामान्य गुणनखंड (16) है, इसलिए \(\frac{48}{10000}=\frac{3}{625}\)। हर (625) है। चरण 3: छोटे दशमलव में भी सरलतम रूप निकालना जरूरी है।
For a purely recurring decimal, before reducing, the denominator has the same number of (9)'s. So it is (999999).
Step 3
Exam Tip
The number of repeating digits tells the number of (9)'s. चरण 1: आवर्ती भाग (142857) में (6) अंक हैं। चरण 2: पूर्ण आवर्ती दशमलव के लिए सरल करने से पहले हर में उतने ही (9) लिखे जाते हैं। इसलिए हर (999999) होगा। चरण 3: आवर्ती अंकों की संख्या सीधे (9) की संख्या बताती है।
A. हर में केवल (2) का गुणनखंड होगा/The denominator will have only factor (2)
Step 1
Concept
\(6.375=\frac{6375}{1000}=\frac{51}{8}\).
Step 2
Why this answer is correct
The reduced denominator is \(8=2^3\).
Step 3
Exam Tip
The reduced denominator of a terminating decimal is made only of (2) and (5). चरण 1: \(6.375=\frac{6375}{1000}=\frac{51}{8}\) है। चरण 2: सरलतम हर \(8=2^3\) है। चरण 3: समाप्त दशमलव का सरलतम हर केवल (2) और (5) से बनता है।
To make \(10^5\), the denominator should be \(2^5\times5^5\).
Step 2
Why this answer is correct
It already has \(2^3\times5^5\), so it lacks \(2^2\).
Step 3
Exam Tip
Making the denominator a power of (10) reveals the decimal places clearly. चरण 1: \(10^5\) बनाने के लिए हर में \(2^5\times5^5\) चाहिए। चरण 2: पहले से \(2^3\times5^5\) है, इसलिए \(2^2\) की कमी है। चरण 3: हर को (10) की घात बनाने से दशमलव स्थान स्पष्ट हो जाते हैं।
A. हर में केवल (2) के गुणनखंड होंगे/The denominator will have only factors of (2)
Step 1
Concept
\(4.125=\frac{4125}{1000}=\frac{33}{8}\).
Step 2
Why this answer is correct
The reduced denominator is \(8=2^3\).
Step 3
Exam Tip
The reduced denominator of a terminating decimal is made only of (2) and (5). चरण 1: \(4.125=\frac{4125}{1000}=\frac{33}{8}\) है। चरण 2: सरलतम हर \(8=2^3\) है। चरण 3: समाप्त दशमलव का सरलतम हर केवल (2) और (5) से बनता है।
Hence the decimal terminates within (4) places. चरण 1: \(2500=2^2\times5^4\) है। चरण 2: बड़ी घात (4) है। चरण 3: इसलिए दशमलव अधिकतम (4) स्थानों पर समाप्त होगा।
Check the denominator of the fraction in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
\(14=2\times7\), and factor (7) prevents termination.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: If (2) is joined by another prime like (7), the decimal will recur. चरण 1: सरल भिन्न में हर को जाँचते हैं। चरण 2: \(14=2\times7\), और (7) के कारण दशमलव समाप्त नहीं होगा। चरण 3: परीक्षा सुझाव: (2) के साथ कोई दूसरा अभाज्य जैसे (7) हो तो उत्तर आवर्ती होगा।
The larger exponent is (3), so the decimal ends after (3) places.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: Thinking of converting (250) to (1000) gives the same answer. चरण 1: \(250=2\times5^3\) है। चरण 2: बड़ी घात (3) है, इसलिए दशमलव (3) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: परीक्षा सुझाव: हर (250) को (1000) बनाने की सोच से भी यही उत्तर मिलता है।
For a terminating decimal, the denominator must have only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(100=2^2\times5^2\), so it is suitable.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: Denominators like (10), (100), and (1000) give terminating decimals. चरण 1: समाप्त दशमलव के लिए हर में केवल (2) और (5) होने चाहिए। चरण 2: \(100=2^2\times5^2\), इसलिए यह हर उपयुक्त है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: (10), (100), (1000) जैसे हर समाप्त दशमलव देते हैं।
For a terminating decimal, the denominator should have only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
If (3) remains, the decimal will not terminate and will be recurring because the number is rational.
Step 3
Exam Tip
The remaining factors in lowest form decide the result. चरण 1: समाप्त दशमलव के लिए भाजक में केवल (2) और (5) होने चाहिए। चरण 2: (3) बचने पर दशमलव समाप्त नहीं होगा और परिमेय होने से आवर्ती होगा। चरण 3: सरल रूप में बचे गुणनखंड ही निर्णय करते हैं।
The larger exponent is (3), so the decimal terminates within three places.
Step 3
Exam Tip
Comparing exponents saves time in exams. चरण 1: \(250=2\times5^3\) है। चरण 2: बड़ी घात (3) है, इसलिए दशमलव अधिकतम तीन स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: घातों की तुलना करने की आदत परीक्षा में समय बचाती है।
The factor (7) prevents termination, and because the number is rational, the decimal is recurring.
Step 3
Exam Tip
Even one extra prime factor stops termination. चरण 1: \(14=2\times7\) है। चरण 2: भाजक में (7) होने से दशमलव समाप्त नहीं होगा और परिमेय होने से आवर्ती होगा। चरण 3: केवल एक अतिरिक्त गुणनखंड भी समाप्ति रोक देता है।
Let the numerator be (x) and denominator be (x+5). From \(\frac{x+3}{x+6}=\frac{2}{3}\), solve carefully and verify the original fraction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{7}{12}\). Let the numerator be (x) and denominator be (x+5). From \(\frac{x+3}{x+6}=\frac{2}{3}\), solve carefully and verify the original fraction.
Step 3
Exam Tip
अंश (x) और हर (x+5) लें। \(\frac{x+3}{x+6}=\frac{2}{3}\) से (x=3), इसलिए मूल भिन्न \(\frac{3}{8}\) नहीं; विकल्प जांचें।
Let the denominator be (y), so the numerator is (y-3). From \(\frac{y-1}{y+2}=\frac{4}{5}\), (y=13), so the fraction is \(\frac{10}{13}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\frac{10}{13}\). Let the denominator be (y), so the numerator is (y-3). From \(\frac{y-1}{y+2}=\frac{4}{5}\), (y=13), so the fraction is \(\frac{10}{13}\).
Step 3
Exam Tip
मान लें हर (y) है तो अंश (y-3)। \(\frac{y-1}{y+2}=\frac{4}{5}\) से (y=13), इसलिए भिन्न \(\frac{10}{13}\) है।
Let the numerator be (x) and denominator be (y), giving (y-x=3) and \(\frac{x+2}{y+1}=\frac{3}{4}\). In exams, solve the simple linear equations after cross multiplication.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\frac{7}{10}\). Let the numerator be (x) and denominator be (y), giving (y-x=3) and \(\frac{x+2}{y+1}=\frac{3}{4}\). In exams, solve the simple linear equations after cross multiplication.
Step 3
Exam Tip
अंश (x) और हर (y) मानकर (y-x=3) और \(\frac{x+2}{y+1}=\frac{3}{4}\) बनता है। परीक्षा में क्रॉस गुणा के बाद सरल रैखिक समीकरण हल करें।
Let the numerator be (x) and denominator be (y), so (y=x+5) and \(\frac{x+1}{y+1}=\frac{2}{3}\). In exams, cross multiply when converting a fraction into an equation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{9}{14}\). Let the numerator be (x) and denominator be (y), so (y=x+5) and \(\frac{x+1}{y+1}=\frac{2}{3}\). In exams, cross multiply when converting a fraction into an equation.
Step 3
Exam Tip
अंश (x) और हर (y) मानकर (y=x+5) और \(\frac{x+1}{y+1}=\frac{2}{3}\) बनता है। परीक्षा में भिन्न को समीकरण में बदलते समय क्रॉस गुणा करें।
For exactly (6) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (6). Since \(3125=5^5\), it gives only (5) decimal places.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (3125). For exactly (6) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (6). Since \(3125=5^5\), it gives only (5) decimal places.
Step 3
Exam Tip
ठीक (6) स्थानों के लिए (2) और (5) की बड़ी घात (6) होनी चाहिए। \(3125=5^5\) है, इसलिए यह केवल (5) दशमलव स्थान देगा।
At most (9) decimal places means the fraction can be written with denominator \(10^9\). Therefore the reduced denominator must divide \(10^9\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(10^9\). At most (9) decimal places means the fraction can be written with denominator \(10^9\). Therefore the reduced denominator must divide \(10^9\).
Step 3
Exam Tip
अधिकतम (9) दशमलव स्थानों का अर्थ है भिन्न को \(10^9\) हर के साथ लिखा जा सकता है। इसलिए सरलतम हर \(10^9\) का भाजक होगा।
For exactly (8) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (8). Only \(2^8\cdot 5^3\) satisfies this.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(2^8\cdot 5^3\). For exactly (8) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (8). Only \(2^8\cdot 5^3\) satisfies this.
Step 3
Exam Tip
ठीक (8) स्थानों के लिए (2) और (5) की बड़ी घात (8) होनी चाहिए। दिए विकल्पों में केवल \(2^8\cdot 5^3\) यह शर्त पूरी करता है।
At most (7) decimal places means the fraction can be written with denominator \(10^7\). Therefore the reduced denominator must divide \(10^7\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(10^7\). At most (7) decimal places means the fraction can be written with denominator \(10^7\). Therefore the reduced denominator must divide \(10^7\).
Step 3
Exam Tip
अधिकतम (7) दशमलव स्थानों का अर्थ है भिन्न को \(10^7\) हर के साथ लिखा जा सकता है। इसलिए सरलतम हर \(10^7\) का भाजक होगा।
For exactly (7) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (7). Only \(2^7\cdot 5^3\) satisfies this.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(2^7\cdot 5^3\). For exactly (7) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (7). Only \(2^7\cdot 5^3\) satisfies this.
Step 3
Exam Tip
ठीक (7) स्थानों के लिए (2) और (5) की बड़ी घात (7) होनी चाहिए। दिए विकल्पों में केवल \(2^7\cdot 5^3\) यह शर्त पूरी करता है।
At most (5) decimal places means the fraction can be written with denominator \(10^5\). The reduced denominator must divide \(10^5\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(10^5\). At most (5) decimal places means the fraction can be written with denominator \(10^5\). The reduced denominator must divide \(10^5\).
Step 3
Exam Tip
अधिकतम (5) दशमलव स्थानों का अर्थ है भिन्न को \(10^5\) हर के साथ लिखा जा सकता है। सरलतम हर \(10^5\) का भाजक होगा।
For exactly (6) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (6). Only \(2^6\cdot 5^2\) has larger exponent (6).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(2^6\cdot 5^2\). For exactly (6) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (6). Only \(2^6\cdot 5^2\) has larger exponent (6).
Step 3
Exam Tip
ठीक (6) स्थानों के लिए (2) और (5) की बड़ी घात (6) होनी चाहिए। केवल \(2^6\cdot 5^2\) में बड़ी घात (6) है।
The full factor \(3^3\) cancels from the denominator, leaving \(2^3\cdot 5^2\).
Step 3
Exam Tip
Decide the decimal type from the denominator left after cancellation. चरण 1: \(27=3^3\) है। चरण 2: हर का \(3^3\) पूरा कट जाएगा, इसलिए हर \(2^3\cdot 5^2\) बचेगा। चरण 3: कटौती के बाद बचे हर से ही दशमलव का प्रकार तय करें।
For a non-terminating recurring decimal, the reduced denominator must have a prime factor other than (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^4\cdot 5\cdot 23\) contains (23). Hence it gives a non-terminating recurring decimal.
Step 3
Exam Tip
Even one extra prime factor prevents termination. चरण 1: असांत आवर्ती दशमलव के लिए सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड होना चाहिए। चरण 2: \(2^4\cdot 5\cdot 23\) में (23) मौजूद है। इसलिए यह असांत आवर्ती दशमलव देगा। चरण 3: केवल एक अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड भी सांतता रोक देता है।
For exactly (4) decimal places, the larger power of (2) or (5) in the reduced denominator must be (4).
Step 2
Why this answer is correct
\(625=5^4\), so it gives exactly (4) places. \(80=2^4\cdot 5\) also gives (4) places, so the choices would need checking if only one answer is expected.
Step 3
Exam Tip
Factorise all options in such questions. चरण 1: ठीक (4) दशमलव स्थानों के लिए सरलतम हर में (2) या (5) की बड़ी घात (4) होनी चाहिए। चरण 2: \(625=5^4\), इसलिए यह ठीक (4) स्थान देगा। \(80=2^4\cdot 5\) भी (4) स्थान देता है, पर एक से अधिक सही होने पर विकल्प जाँचनी होगी। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में सभी विकल्पों की घातें निकालें।
The given denominator is \(2^5\cdot 5^8\), so it lacks \(2^3\).
Step 3
Exam Tip
To form \(10^k\), increase the prime factor with the smaller exponent. चरण 1: \(10^8=2^8\cdot 5^8\) होता है। चरण 2: दिए गए हर में \(2^5\cdot 5^8\) है, इसलिए \(2^3\) की कमी है। चरण 3: \(10^k\) बनाने के लिए कम घात वाले अभाज्य गुणनखंड को बढ़ाएँ।
\(45=3^2\cdot 5\), so \(\frac{45}{720}\) reduces to \(\frac{1}{16}\). The denominator is \(16=2^4\).
Step 3
Exam Tip
To get a target denominator, check which factors the numerator cancels. चरण 1: \(720=2^4\cdot 3^2\cdot 5\) है। चरण 2: \(45=3^2\cdot 5\), इसलिए \(\frac{45}{720}\) सरल होकर \(\frac{1}{16}\) बनता है। हर \(16=2^4\) है। चरण 3: लक्ष्य हर पाने के लिए देखें कि अंश कौन-कौन से गुणनखंड काट रहा है।
For exactly (5) decimal places, the larger exponent of (2) and (5) in the reduced denominator must be (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(3125=5^5\), so it gives (5) places. (250) and (40) give fewer places, while \(1600=2^6\cdot 5^2\) gives (6) places.
Step 3
Exam Tip
Compare the prime exponents of the denominator. चरण 1: ठीक (5) दशमलव स्थानों के लिए सरलतम हर में (2) और (5) की बड़ी घात (5) होनी चाहिए। चरण 2: \(3125=5^5\), इसलिए यह (5) स्थान देता है। (250) और (40) कम स्थान देते हैं, जबकि \(1600=2^6\cdot 5^2\) (6) स्थान देगा। चरण 3: हर के अभाज्य घातों की तुलना करें।
Therefore the decimal expansion is terminating. चरण 1: सरल करने के बाद हर (20) है। चरण 2: \(20=2^2\times5\), इसलिए हर में केवल (2) और (5) हैं। चरण 3: इसलिए दशमलव समाप्त होगा।
Always make the final decision from the reduced denominator. चरण 1: सरल करने के बाद हर (8) है। चरण 2: \(8=2^3\), इसलिए हर में केवल (2) है। चरण 3: अंतिम निर्णय हमेशा घटे हुए हर से करें।
The denominator has factors other than (2) and (5), so the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
In options, check denominator factors first. चरण 1: \(39=3\times13\) है। चरण 2: भाजक में (2) और (5) के अलावा गुणनखंड हैं, इसलिए दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। चरण 3: विकल्पों में पहले भाजक के गुणनखंड जांचें।
\(0.00072=\frac{72}{100000}\), and reducing by (8) gives \(\frac{9}{12500}\). So the correct denominator is (12500); check the common factor carefully in small decimals.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (1250). \(0.00072=\frac{72}{100000}\), and reducing by (8) gives \(\frac{9}{12500}\). So the correct denominator is (12500); check the common factor carefully in small decimals.
Step 3
Exam Tip
\(0.00072=\frac{72}{100000}\) और (72) से सरल करने पर \(\frac{9}{12500}\) मिलता है। इसलिए सही हर (12500) है, छोटे दशमलवों में महत्तम सामान्य गुणनखंड ध्यान से देखें।
\(10x=24.666\ldots\) and \(100x=246.666\ldots\), so (90x=222) and \(x=\frac{222}{90}=\frac{37}{15}\).
Step 3
Exam Tip
Align the recurring parts before subtracting. चरण 1: मान लें \(x=2.4666\ldots\)। चरण 2: \(10x=24.666\ldots\) और \(100x=246.666\ldots\), इसलिए (90x=222) और \(x=\frac{222}{90}=\frac{37}{15}\)। चरण 3: घटाने से पहले आवर्ती भाग को एक जैसी स्थिति में लाएँ।
Reducing by (25) gives \(\frac{3}{400}\). So the denominator is (400).
Step 3
Exam Tip
Even with many zeros in a decimal, find the greatest common factor carefully. चरण 1: \(0.0075=\frac{75}{10000}\) है। चरण 2: (75) से सरल करने पर \(\frac{3}{400}\) मिलता है। इसलिए हर (400) है। चरण 3: दशमलव में कई शून्य हों तो भी महत्तम सामान्य गुणनखंड खोजें।
\(\frac{36}{99}=\frac{4}{11}\), so the reduced denominator is (11).
Step 3
Exam Tip
For a purely recurring decimal, first use a denominator of (9)'s and then reduce. चरण 1: \(0.\overline{36}=\frac{36}{99}\) है। चरण 2: \(\frac{36}{99}=\frac{4}{11}\), इसलिए सरलतम हर (11) है। चरण 3: पूर्ण आवर्ती दशमलव में पहले (9) वाला हर बनाइए, फिर सरल कीजिए।
Reducing by the greatest common factor (32) gives \(\frac{2}{3125}\). So the denominator is (3125).
Step 3
Exam Tip
Reduce carefully; repeated division by (2) is safe here. चरण 1: \(0.00064=\frac{64}{100000}\) है। चरण 2: \(100000=10^5=2^5\cdot 5^5\) और \(64=2^6\), इसलिए सरल करने पर \(\frac{2}{3125}\) नहीं बल्कि \(\frac{1}{1562.5}\) नहीं बन सकता। सही रूप \(\frac{64}{100000}=\frac{8}{12500}=\frac{4}{6250}=\frac{2}{3125}\) है। अतः हर (3125) है। चरण 3: बार-बार (2) से भाग देकर सुरक्षित सरलता करें।
Reducing gives \(\frac{5}{16}\). Hence the denominator is (16).
Step 3
Exam Tip
Do not decide the final denominator only from the number of decimal digits. चरण 1: \(0.3125=\frac{3125}{10000}\) है। चरण 2: सरल करने पर \(\frac{5}{16}\) मिलता है। इसलिए हर (16) है। चरण 3: दशमलव के अंकों की संख्या देखकर अंतिम हर तय न करें।
Dividing both by (125) gives \(\frac{1}{8000}\). So the denominator is (8000).
Step 3
Exam Tip
Even when a decimal has many zeros, reduce the fraction fully. चरण 1: \(0.000125=\frac{125}{1000000}\) है। चरण 2: दोनों को (125) से भाग देने पर \(\frac{1}{8000}\) मिलता है। इसलिए हर (8000) है। चरण 3: छोटे दशमलवों में शून्य अधिक हों तो भी भिन्न को सरल करना जरूरी है।
Dividing numerator and denominator by (125) gives \(\frac{3}{8}\). So the denominator is (8).
Step 3
Exam Tip
Always reduce after converting a decimal to a fraction. चरण 1: \(0.375=\frac{375}{1000}\) है। चरण 2: (375) और (1000) को (125) से भाग देने पर \(\frac{3}{8}\) मिलता है। इसलिए हर (8) है। चरण 3: दशमलव को भिन्न में बदलने के बाद हमेशा सरल करें।
Write a terminating decimal over a power of (10), then reduce it. चरण 1: \(0.0625=\frac{625}{10000}\) है। चरण 2: इसे सरल करने पर \(\frac{1}{16}\) मिलता है। चरण 3: समाप्त दशमलव को पहले (10) की घात वाले हर में लिखकर घटाइए।
कथन: \(\frac{p}{q}\) सरल रूप में हो और (q) में (7) का गुणनखंड हो, तो दशमलव समाप्त नहीं होगा। कारण: समाप्त दशमलव के लिए सरल रूप का भाजक केवल (2) और (5) से बनना चाहिए। सही विकल्प चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण कथन को समझाता है/Both assertion and reason are true, and the reason explains the assertion
Step 1
Concept
For a terminating decimal, the denominator in lowest form must be made only of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
If (7) remains, this condition fails and the decimal will not terminate.
Step 3
Exam Tip
The reason correctly explains the assertion, so the first option is correct. चरण 1: समाप्त दशमलव के लिए सरल रूप का भाजक केवल (2) और (5) से बना होना चाहिए। चरण 2: यदि (7) बचा है, तो यह शर्त पूरी नहीं होती और दशमलव समाप्त नहीं होगा। चरण 3: कारण कथन को ठीक से समझा रहा है, इसलिए पहला विकल्प सही है।
Lowest form means the fraction cannot be reduced further.
Step 2
Why this answer is correct
So the numerator and denominator have only (1) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
This fact is important in irrationality proofs. चरण 1: सरलतम रूप का अर्थ है कि भिन्न को और छोटा नहीं किया जा सकता। चरण 2: इसलिए अंश और हर का साझा गुणनखंड केवल (1) होता है। चरण 3: अपरिमेयता के प्रमाण में यही बात जरूरी होती है।
Multiplying by \(2+\sqrt{3}\) makes the denominator (4-3=1). In exams, multiply both numerator and denominator by the conjugate.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(,6+3\sqrt{3},\). Multiplying by \(2+\sqrt{3}\) makes the denominator (4-3=1). In exams, multiply both numerator and denominator by the conjugate.
Step 3
Exam Tip
हर को \(2+\sqrt{3}\) से गुणा करने पर हर (4-3=1) हो जाता है। परीक्षा में conjugate से numerator और denominator दोनों को गुणा करें।
Multiplying by \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\) makes the denominator (7-5=2) and gives \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\). In exams, use the conjugate.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(,\sqrt{7}-\sqrt{5},\). Multiplying by \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\) makes the denominator (7-5=2) and gives \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\). In exams, use the conjugate.
Step 3
Exam Tip
हर को \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\) से गुणा करने पर हर (7-5=2) होता है और उत्तर \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\) मिलता है। परीक्षा में conjugate का प्रयोग करें।
Multiplying by \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) makes the denominator (3-2=1). In exams, remember to multiply by the conjugate.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(,\sqrt{3}+\sqrt{2},\). Multiplying by \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) makes the denominator (3-2=1). In exams, remember to multiply by the conjugate.
Step 3
Exam Tip
हर को \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) से गुणा करने पर हर (3-2=1) हो जाता है। परीक्षा में conjugate से गुणा करना न भूलें।
\(0.\overline{045}=\frac{45}{999}=\frac{5}{111}\), so the denominator is (111). An initial zero inside the repeating block is also counted as a digit.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (37). \(0.\overline{045}=\frac{45}{999}=\frac{5}{111}\), so the denominator is (111). An initial zero inside the repeating block is also counted as a digit.
Step 3
Exam Tip
\(0.\overline{045}=\frac{45}{999}=\frac{5}{111}\) है इसलिए हर (111) है। आवर्ती भाग में आरंभिक शून्य को भी अंक माना जाता है।
A. सांत और (5) दशमलव स्थान/Terminating with (5) decimal places
Step 1
Concept
\(7^0=1\), so there is no actual factor (7) in the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The denominator is \(2^5\cdot 5^3\), so the decimal terminates with (5) places.
Step 3
Exam Tip
Do not get confused by a zero exponent. चरण 1: \(7^0=1\), इसलिए हर में (7) का वास्तविक गुणनखंड नहीं है। चरण 2: हर \(2^5\cdot 5^3\) है, इसलिए दशमलव सांत होगा और बड़ी घात (5) स्थान देगी। चरण 3: शून्य घात को देखकर भ्रमित न हों।
A rational number has a terminating decimal only when the denominator in lowest form has prime factors only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
Here the denominator also contains (7), so the decimal will not terminate, but since the number is rational, it will repeat.
Step 3
Exam Tip
In exams, always reduce the fraction first and then check the prime factors of the denominator. चरण 1: परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार तभी सांत होता है जब सरलतम रूप में हर के अभाज्य गुणनखंड केवल (2) और (5) हों। चरण 2: यहां हर में (7) भी है, इसलिए दशमलव प्रसार सांत नहीं होगा, पर परिमेय संख्या होने के कारण वह आवर्ती होगा। चरण 3: परीक्षा में पहले भिन्न को सरलतम रूप में जांचें, फिर हर के अभाज्य गुणनखंड देखें।
The denominator has only (5), so the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
Since the exponent of (5) is (5), it terminates after (5) places. चरण 1: \(3125=5^5\) है। चरण 2: हर में केवल (5) है, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। चरण 3: (5) की घात (5) होने से दशमलव (5) स्थानों पर समाप्त होगा।
The number of places in a terminating decimal is decided by the larger exponent of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
Here the larger exponent is (7).
Step 3
Exam Tip
Therefore the decimal terminates after (7) places. चरण 1: समाप्त दशमलव के स्थानों की संख्या (2) और (5) की घातों में बड़ी घात से तय होती है। चरण 2: यहां बड़ी घात (7) है। चरण 3: इसलिए दशमलव (7) स्थानों पर समाप्त होगा।
The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
The larger exponent is (6), so it terminates within (6) places. चरण 1: \(320=2^6\times5\) है। चरण 2: हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। चरण 3: बड़ी घात (6) होने से दशमलव अधिकतम (6) स्थानों पर समाप्त होगा।
For a terminating decimal, the number of places is decided by the larger exponent of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
Here the exponent of (2) is (4), and the exponent of (5) is (6).
Step 3
Exam Tip
The larger exponent is (6), so the decimal terminates after (6) places. चरण 1: समाप्त दशमलव में स्थानों की संख्या (2) और (5) की घातों में बड़ी घात से तय होती है। चरण 2: यहां (2) की घात (4) और (5) की घात (6) है। चरण 3: बड़ी घात (6) है, इसलिए दशमलव (6) स्थानों पर समाप्त होगा।
The number of decimal places is decided by the larger exponent of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The larger exponent must be (4), so (n=4).
Step 3
Exam Tip
In such questions, identify the larger exponent directly. चरण 1: दशमलव स्थानों की संख्या (2) और (5) की घातों में बड़ी घात से तय होती है। चरण 2: यहां बड़ी घात (4) चाहिए, इसलिए (n=4) होगा। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में बड़ी घात को सीधे पहचानें।
A. हर में केवल (2) आता है/Only (2) occurs in the denominator
Step 1
Concept
\(0.375=\frac{375}{1000}=\frac{3}{8}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(8=2^3\), the denominator has only (2).
Step 3
Exam Tip
Convert a terminating decimal to a fraction and check the denominator factors. चरण 1: \(0.375=\frac{375}{1000}=\frac{3}{8}\) है। चरण 2: \(8=2^3\), इसलिए हर में केवल (2) है। चरण 3: समाप्त दशमलव को भिन्न में बदलकर हर के गुणनखंड जांचें।
The larger exponent is (3), so the decimal terminates within (3) places.
Step 3
Exam Tip
For the number of decimal places, use the larger exponent of (2) and (5). चरण 1: \(200=2^3\times5^2\) है। चरण 2: घातों में सबसे बड़ी घात (3) है, इसलिए दशमलव अधिकतम (3) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: स्थानों की संख्या के लिए (2) और (5) की बड़ी घात देखें।
The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 2
Why this answer is correct
The exponents are (5) and (3), and the larger exponent is (5).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: For a terminating decimal, decimal places come from the larger exponent of (2) and (5). चरण 1: हर में केवल (2) और (5) के गुणनखंड हैं, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। चरण 2: घातें (5) और (3) हैं, इनमें बड़ी घात (5) है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: समाप्त दशमलव में स्थानों की संख्या (2) और (5) की बड़ी घात से मिलती है।
The denominator contains only (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 2
Why this answer is correct
The exponents are (6) and (2), and the larger exponent is (6).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: The maximum number of decimal places is decided by the larger exponent. चरण 1: हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। चरण 2: घातें (6) और (2) हैं, इनमें बड़ी घात (6) है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: समाप्त दशमलव के अधिकतम स्थान बड़ी घात से तय होते हैं।
The denominator contains only (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 2
Why this answer is correct
The exponents are (3) and (5), and the larger exponent is (5).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: For a terminating decimal, the number of places comes from the larger exponent of (2) and (5). चरण 1: हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। चरण 2: घातें (3) और (5) हैं, इनमें बड़ी घात (5) है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: समाप्त दशमलव में स्थानों की संख्या (2) और (5) की बड़ी घात से मिलती है।
The denominator has only (2) and (5) as prime factors, so the decimal terminates.
Step 2
Why this answer is correct
The exponents are (2) and (4), and the larger exponent is (4).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: For a terminating decimal, use the larger exponent of (2) and (5) to count decimal places. चरण 1: हर में केवल (2) और (5) के गुणनखंड हैं, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। चरण 2: घातें (2) और (4) हैं, इनमें बड़ी घात (4) है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: समाप्त दशमलव में स्थानों की संख्या के लिए (2) और (5) की बड़ी घात देखें।
To make (125) into (1000), multiply by (8), so there are (3) decimal places.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: A \(5^n\) denominator usually gives (n) decimal places. चरण 1: \(5^3=125\) है। चरण 2: (125) को (1000) बनाने के लिए (8) से गुणा करते हैं, इसलिए (3) दशमलव स्थान होंगे। चरण 3: परीक्षा सुझाव: \(5^n\) वाले हर में प्रायः (n) स्थान मिलते हैं।
The denominator has only (2), with exponent (4), so the decimal ends after (4) places.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: Think of converting a \(2^n\) denominator into \(10^n\). चरण 1: \(2^4=16\) है। चरण 2: हर में केवल (2) है और घात (4) है, इसलिए दशमलव (4) स्थानों तक समाप्त होगा। चरण 3: परीक्षा सुझाव: \(2^n\) वाले हर को \(10^n\) तक पहुंचाने की सोच रखें।
The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 2
Why this answer is correct
The exponents are (3) and (2), and the larger one is (3).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: Maximum decimal places equal the larger exponent. चरण 1: हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। चरण 2: घातें (3) और (2) हैं, बड़ी घात (3) है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: अधिकतम दशमलव स्थान बड़ी घात के बराबर होते हैं।
The denominator has exponent (2) on (2) and exponent (4) on (5).
Step 2
Why this answer is correct
The larger exponent is (4), so the decimal terminates within four places.
Step 3
Exam Tip
In such questions, the larger exponent gives the answer. चरण 1: भाजक में (2) की घात (2) और (5) की घात (4) है। चरण 2: बड़ी घात (4) है, इसलिए दशमलव अधिकतम चार स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: ऐसी स्थितियों में बड़ी घात ही उत्तर देती है।
After rationalising, simplify the answer completely. चरण 1: ऊपर और नीचे \(\sqrt{3}\) से गुणा करें। चरण 2: \(\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\)। चरण 3: परिमेयकरण के बाद उत्तर को पूरी तरह सरल करें।
Use the conjugate of the denominator for rationalisation. चरण 1: हर \(4+\sqrt{15}\) का संयुग्म \(4-\sqrt{15}\) है। चरण 2: \(\frac{1}{4+\sqrt{15}}\times\frac{4-\sqrt{15}}{4-\sqrt{15}}=\frac{4-\sqrt{15}}{16-15}=4-\sqrt{15}\)। चरण 3: परिमेयकरण में हर का संयुग्म प्रयोग करें।
After rationalising, simplify the answer completely. चरण 1: ऊपर और नीचे \(\sqrt{2}\) से गुणा करें। चरण 2: \(\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\)। चरण 3: परिमेयकरण के बाद उत्तर को पूरी तरह सरल करें।
Use the conjugate of the denominator for rationalisation. चरण 1: हर \(3+\sqrt{8}\) का संयुग्म \(3-\sqrt{8}\) है। चरण 2: \(\frac{1}{3+\sqrt{8}}\times\frac{3-\sqrt{8}}{3-\sqrt{8}}=\frac{3-\sqrt{8}}{9-8}=3-\sqrt{8}\)। चरण 3: परिमेयकरण में हर का संयुग्म प्रयोग करें।
Multiply numerator and denominator by \(\sqrt{3}\) to remove the square root from the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\).
Step 3
Exam Tip
After rationalising, the denominator should not contain a square root. चरण 1: हर से वर्गमूल हटाने के लिए ऊपर और नीचे \(\sqrt{3}\) से गुणा करें। चरण 2: \(\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)। चरण 3: परिमेयकरण के बाद हर में वर्गमूल नहीं रहना चाहिए।
For rationalisation, multiply by the conjugate. चरण 1: हर का संयुग्म \(2-\sqrt{3}\) है। चरण 2: \(\frac{1}{2+\sqrt{3}}\times\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}\)। चरण 3: परिमेयकरण में संयुग्म से गुणा करें।
A. ठीक (7) स्थानों पर समाप्त/Terminates exactly after (7) places
Step 1
Concept
The reduced denominator is \(10^7\), so the decimal terminates exactly after (7) places. If the denominator is reduced, do not assume further cancellation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ठीक (7) स्थानों पर समाप्त / Terminates exactly after (7) places. The reduced denominator is \(10^7\), so the decimal terminates exactly after (7) places. If the denominator is reduced, do not assume further cancellation.
Step 3
Exam Tip
सरलतम हर \(10^7\) है इसलिए दशमलव ठीक (7) स्थानों पर समाप्त होगा। सरलतम हर दिया हो तो अंश से और कटौती नहीं माननी चाहिए।
A. ठीक (6) स्थानों पर समाप्त/Terminates exactly after (6) places
Step 1
Concept
The reduced denominator is \(10^6\), so the decimal terminates exactly after (6) places. If the denominator is reduced, do not assume further cancellation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ठीक (6) स्थानों पर समाप्त / Terminates exactly after (6) places. The reduced denominator is \(10^6\), so the decimal terminates exactly after (6) places. If the denominator is reduced, do not assume further cancellation.
Step 3
Exam Tip
सरलतम हर \(10^6\) है इसलिए दशमलव ठीक (6) स्थानों पर समाप्त होगा। सरलतम हर दिया हो तो अंश से और कटौती नहीं माननी चाहिए।
A. ठीक (5) स्थानों पर समाप्त/Terminates exactly after (5) places
Step 1
Concept
The reduced denominator is \(10^5\), so the decimal terminates exactly after (5) places. The numerator condition indicates no further cancellation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ठीक (5) स्थानों पर समाप्त / Terminates exactly after (5) places. The reduced denominator is \(10^5\), so the decimal terminates exactly after (5) places. The numerator condition indicates no further cancellation.
Step 3
Exam Tip
सरलतम हर \(10^5\) है, इसलिए दशमलव ठीक (5) स्थानों पर समाप्त होगा। अंश की दी गई बात अतिरिक्त कटौती न होने का संकेत देती है।
The denominator has power (4) of (2) and power (2) of (5).
Step 2
Why this answer is correct
Decimal places in a terminating decimal equal the larger exponent, which is (4).
Step 3
Exam Tip
If the denominator is already reduced, do not assume further cancellation. चरण 1: हर में (2) की घात (4) और (5) की घात (2) है। चरण 2: सांत दशमलव के स्थान बड़ी घात के बराबर होते हैं, यानी (4)। चरण 3: सरलतम हर होने पर अंश से कोई और कटौती नहीं माननी चाहिए।
C. हर में (2) और (5) के अलावा कम से कम एक अभाज्य गुणनखंड होगा/The denominator has at least one prime factor other than (2) and (5)
Step 1
Concept
A non-terminating decimal of a rational number is recurring.
Step 2
Why this answer is correct
This happens when the reduced denominator has at least one prime factor other than (2) and (5). So option (C) is correct.
Step 3
Exam Tip
(2) or (5) may also be present, but some other prime must remain. चरण 1: परिमेय संख्या का असांत दशमलव आवर्ती होता है। चरण 2: ऐसा तब होता है जब सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड बचता है। इसलिए विकल्प (C) सही है। चरण 3: (2) या (5) साथ में हो सकते हैं, पर कोई अन्य गुणनखंड भी होगा।
The terminating decimal rule applies to the denominator in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The original denominator may contain factors that cancel out.
Step 3
Exam Tip
So reduce the fraction first, then factorise the denominator. चरण 1: समाप्त दशमलव का नियम सरलतम रूप के हर पर लागू होता है। चरण 2: मूल हर में ऐसे गुणनखंड हो सकते हैं जो काटने के बाद हट जाएं। चरण 3: इसलिए पहले भिन्न घटाइए, फिर हर का गुणनखंडन कीजिए।
The fraction is \(\frac{x}{x+3}\). From \(\frac{x}{x+3}+\frac{x+3}{x}=\frac{29}{10}\), (x=2) or (x=15), and among the options (2) is correct.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (2). The fraction is \(\frac{x}{x+3}\). From \(\frac{x}{x+3}+\frac{x+3}{x}=\frac{29}{10}\), (x=2) or (x=15), and among the options (2) is correct.
Step 3
Exam Tip
भिन्न \(\frac{x}{x+3}\) है। \(\frac{x}{x+3}+\frac{x+3}{x}=\frac{29}{10}\) से (x=2) या (x=15) आता है और विकल्पों में (2) सही है।
