In a symmetric relation, the (4) diagonal pairs are chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
The off-diagonal pairs form \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) mirror-pair groups.
Step 3
Exam Tip
Total independent choices are (10), so the number of relations is \(2^{10}\). चरण 1: सममित संबंध में विकर्ण के (4) युग्म स्वतंत्र होते हैं। चरण 2: विकर्ण के बाहर (4) अवयवों से \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) उलटे युग्म-जोड़े बनते हैं। चरण 3: कुल स्वतंत्र चुनाव (4+6=10) हैं, इसलिए उत्तर \(2^{10}\) है।
The (5) diagonal pairs are fixed, so they give no choice.
Step 2
Why this answer is correct
There are \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) off-diagonal mirror groups.
Step 3
Exam Tip
Each group is either included fully or excluded, so the number is \(2^{10}\). चरण 1: सभी (5) विकर्ण युग्म पहले से तय हैं, इसलिए उनमें चुनाव नहीं है। चरण 2: विकर्ण के बाहर उलटे युग्म-जोड़े \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) हैं। चरण 3: हर जोड़ा या तो पूरा लिया जाएगा या नहीं लिया जाएगा, इसलिए संख्या \(2^{10}\) है।
A symmetric relation must contain ((b,a)) whenever ((a,b)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((2,1)) are already paired, but ((2,3)) needs ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
Adding only ((3,2)) makes the relation symmetric. चरण 1: सममित संबंध में ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी होना चाहिए। चरण 2: ((1,2)) और ((2,1)) पहले से साथ हैं, पर ((2,3)) का उलटा ((3,2)) नहीं है। चरण 3: केवल ((3,2)) जोड़ने से संबंध सममित बन जाता है।
If (a+b) is even, then (b+a) is also even because addition is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
So \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
For such questions, reverse the pair and check whether the condition remains true. चरण 1: यदि (a+b) सम है, तो (b+a) भी सम होगा क्योंकि जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता। चरण 2: इसलिए \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी होगा। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में गुण की दिशा बदलकर जांचना सबसे तेज तरीका है।
A. \((2,1)\in R\) पर \((1,2)\notin R\)/\((2,1)\in R\) but \((1,2)\notin R\)
Step 1
Concept
For ((2,1)), (2-1=1), so it belongs to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
For the reverse pair ((1,2)), (1-2=-1), which is not positive.
Step 3
Exam Tip
One counterexample is enough to prove that a relation is not symmetric. चरण 1: ((2,1)) के लिए (2-1=1), इसलिए यह संबंध में है। चरण 2: उलटे युग्म ((1,2)) के लिए (1-2=-1), जो धनात्मक नहीं है। चरण 3: एक ही विरोधी उदाहरण सममितता को गलत सिद्ध कर देता है।
\((a,b)\in R\cap S\) means the pair is in both relations.
Step 2
Why this answer is correct
Since both are symmetric, ((b,a)) is also in both.
Step 3
Exam Tip
Hence \((b,a)\in R\cap S\), so the intersection is definitely symmetric. चरण 1: \((a,b)\in R\cap S\) का अर्थ है कि ((a,b)) दोनों संबंधों में है। चरण 2: दोनों सममित हैं, इसलिए ((b,a)) भी दोनों में होगा। चरण 3: अतः \((b,a)\in R\cap S\), इसलिए प्रतिच्छेद निश्चित रूप से सममित है।
In a symmetric relation, every pair appears with its reverse.
Step 2
Why this answer is correct
The inverse relation \(R^{-1}\) reverses all ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
Reversing gives the same set of pairs, so \(R^{-1}=R\). चरण 1: सममित संबंध में हर युग्म के साथ उसका उलटा युग्म भी होता है। चरण 2: प्रतिलोम संबंध \(R^{-1}\) सभी युग्मों को उलट देता है। चरण 3: उलटने के बाद भी वही युग्म मिलते हैं, इसलिए \(R^{-1}=R\)।
Exactly (3) diagonal pairs can be chosen in \(\binom{4}{3}=4\) ways.
Step 2
Why this answer is correct
There are (6) independent off-diagonal mirror groups.
Step 3
Exam Tip
Therefore the total number is \(4\cdot2^6\). चरण 1: (4) विकर्ण युग्मों में से ठीक (3) चुनने के तरीके \(\binom{4}{3}=4\) हैं। चरण 2: विकर्ण के बाहर (6) उलटे युग्म-जोड़े स्वतंत्र हैं। चरण 3: इसलिए कुल संख्या \(4\cdot2^6\) होगी।
A relation is symmetric when its matrix is symmetric about the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(m_{13}=m_{31}=1\), \(m_{23}=m_{32}=1\), and \(m_{12}=m_{21}=0\).
Step 3
Exam Tip
Hence the relation is symmetric. चरण 1: संबंध की मैट्रिक्स सममित हो तो मुख्य विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियां समान होती हैं। चरण 2: दी गई मैट्रिक्स में \(m_{13}=m_{31}=1\) और \(m_{23}=m_{32}=1\), साथ ही \(m_{12}=m_{21}=0\)। चरण 3: इसलिए संबंध सममित है।
A. \(m_{21}\) को (1) करें/Make \(m_{21}\) equal to (1)
Step 1
Concept
For a symmetric relation matrix, \(m_{ij}=m_{ji}\).
Step 2
Why this answer is correct
Here \(m_{12}=1\) but \(m_{21}=0\), while the other opposite entries match.
Step 3
Exam Tip
So changing only \(m_{21}\) to (1) makes the matrix symmetric. चरण 1: सममित मैट्रिक्स में \(m_{ij}=m_{ji}\) होना चाहिए। चरण 2: यहां \(m_{12}=1\), पर \(m_{21}=0\), बाकी विपरीत स्थान सही हैं। चरण 3: इसलिए केवल \(m_{21}\) को (1) करने से मैट्रिक्स सममित बन जाएगी।
A. (R) सममित है लेकिन परावर्ती नहीं/(R) is symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
If (|a-b|=1), then (|b-a|=1) also.
Step 2
Why this answer is correct
Hence every pair has its reverse, so the relation is symmetric.
Step 3
Exam Tip
For ((a,a)), (|a-a|=0), so it is not reflexive. चरण 1: यदि (|a-b|=1), तो (|b-a|=1) भी होगा। चरण 2: इसलिए हर युग्म का उलटा भी संबंध में आएगा और संबंध सममित है। चरण 3: ((a,a)) के लिए (|a-a|=0), इसलिए यह परावर्ती नहीं है।
A. क्योंकि \(a\equiv b \pmod{2}\) से \(b\equiv a \pmod{2}\) मिलता है/Because \(a\equiv b \pmod{2}\) gives \(b\equiv a \pmod{2}\)
Step 1
Concept
Numbers with the same remainder still have the same remainder after reversing their order.
Step 2
Why this answer is correct
Thus \(a\equiv b \pmod{2}\) implies \(b\equiv a \pmod{2}\).
Step 3
Exam Tip
Symmetry is exactly about checking this reverse pair. चरण 1: समान शेषफल वाली संख्याएं क्रम बदलने पर भी समान शेषफल वाली ही रहती हैं। चरण 2: इसलिए \(a\equiv b \pmod{2}\) होने पर \(b\equiv a \pmod{2}\) भी सही है। चरण 3: सममितता में यही उलटा युग्म जांचना होता है।
A. \((1,2)\in R\), पर \((2,1)\notin R\)/\((1,2)\in R\), but \((2,1)\notin R\)
Step 1
Concept
Since \(1\mid2\), \((1,2)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
But \(2\mid1\) is false, so \((2,1)\notin R\).
Step 3
Exam Tip
One such pair is enough to disprove symmetry. चरण 1: \(1\mid2\), इसलिए \((1,2)\in R\) है। चरण 2: \(2\mid1\) सत्य नहीं है, इसलिए \((2,1)\notin R\) है। चरण 3: सममितता तोड़ने के लिए ऐसा एक युग्म काफी है।
The (n) diagonal pairs can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
The off-diagonal mirror groups are (\frac{n(n-1)}{2}).
Step 3
Exam Tip
Total independent choices are (\frac{n(n+1)}{2}), giving \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\). चरण 1: (n) विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। चरण 2: विकर्ण के बाहर उलटे युग्म-जोड़े (\frac{n(n-1)}{2}) हैं। चरण 3: कुल स्वतंत्र चुनाव (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}), इसलिए संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) है।
For (3) elements, there are \(\frac{3\cdot4}{2}=6\) independent groups.
Step 2
Why this answer is correct
If ((1,2)) is included, symmetry forces ((2,1)), fixing one group.
Step 3
Exam Tip
The remaining (5) groups are free, so the count is \(2^5\). चरण 1: (3) अवयवों के लिए कुल स्वतंत्र समूह \(\frac{3\cdot4}{2}=6\) हैं। चरण 2: ((1,2)) होने पर सममितता के कारण ((2,1)) भी तय हो जाता है, यानी एक समूह निश्चित हो गया। चरण 3: बचे (5) समूह स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^5\) है।
The group containing ((1,2)) is fixed as included, and the diagonal pair ((1,1)) is fixed as excluded.
Step 3
Exam Tip
So (4) groups remain free, giving \(2^4\). चरण 1: कुल स्वतंत्र समूह (6) हैं। चरण 2: ((1,2)) वाला समूह लेना तय है और ((1,1)) वाला विकर्ण समूह न लेना तय है। चरण 3: दो समूह तय होने के बाद (4) समूह स्वतंत्र बचे, इसलिए संख्या \(2^4\) है।
The union of a set with itself is the same set, so it equals (R). चरण 1: सममित संबंध के लिए \(R^{-1}=R\) होता है। चरण 2: इसलिए \(R\cup R^{-1}=R\cup R\) बनेगा। चरण 3: किसी समुच्चय का अपने साथ संघ वही समुच्चय होता है, अतः उत्तर (R) है।
If \((a,b)\in R\cup R^{-1}\), it belongs to (R) or \(R^{-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
In either case, the reverse pair ((b,a)) belongs to \(R\cup R^{-1}\).
Step 3
Exam Tip
Therefore it is always symmetric. चरण 1: यदि \((a,b)\in R\cup R^{-1}\), तो यह (R) या \(R^{-1}\) में होगा। चरण 2: दोनों स्थितियों में उलटा युग्म ((b,a)) भी \(R\cup R^{-1}\) में आ जाता है। चरण 3: इसलिए यह किसी भी (R) के लिए सममित संबंध बनाता है।
A. सममित लेकिन परावर्ती नहीं/Symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
If (a+b=5), then (b+a=5) too.
Step 2
Why this answer is correct
So each pair comes with its reverse, making the relation symmetric.
Step 3
Exam Tip
Diagonal pairs like ((1,1)) are not included, so it is not reflexive. चरण 1: यदि (a+b=5), तो (b+a=5) भी होगा। चरण 2: इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में होगा, अतः यह सममित है। चरण 3: ((1,1)) जैसे विकर्ण युग्म नहीं आते, इसलिए यह परावर्ती नहीं है।
Changing the order in addition does not change the sum.
Step 2
Why this answer is correct
If (a+b) is odd, then (b+a) is also odd.
Step 3
Exam Tip
Hence every pair has its reverse, so (R) is symmetric. चरण 1: जोड़ में क्रम बदलने से योग नहीं बदलता। चरण 2: यदि (a+b) विषम है, तो (b+a) भी विषम होगा। चरण 3: इसलिए हर युग्म का उलटा भी संबंध में है और (R) सममित है।
A. (R) सममित और परावर्ती है/(R) is symmetric and reflexive
Step 1
Concept
All three diagonal pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) appears with ((2,1)), and the remaining pairs are diagonal.
Step 3
Exam Tip
Hence the relation is also symmetric. चरण 1: तीनों विकर्ण युग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। चरण 2: ((1,2)) के साथ ((2,1)) भी मौजूद है और बाकी युग्म विकर्ण हैं। चरण 3: इसलिए संबंध सममित भी है।
Symmetry requires ((2,1)) whenever ((1,2)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
The relation contains ((1,2)) but not ((2,1)).
Step 3
Exam Tip
Diagonal pairs do not break symmetry; the missing reverse pair does. चरण 1: सममितता के लिए ((1,2)) के साथ ((2,1)) होना जरूरी है। चरण 2: दिए गए संबंध में ((1,2)) है लेकिन ((2,1)) नहीं है। चरण 3: विकर्ण युग्म सममितता को खराब नहीं करते, कमी उलटे युग्म की है।
There are \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) independent off-diagonal mirror groups.
Step 3
Exam Tip
Each group has two choices, so the number is \(2^{10}\). चरण 1: सभी (5) विकर्ण युग्म न लेने हैं, इसलिए वे तय हो गए। चरण 2: विकर्ण के बाहर \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) उलटे युग्म-जोड़े स्वतंत्र हैं। चरण 3: हर जोड़े के लिए दो चुनाव हैं, इसलिए संख्या \(2^{10}\) होगी।
Choose (2) diagonal pairs from (4) in \(\binom{4}{2}\) ways.
Step 2
Why this answer is correct
Choose (2) off-diagonal mirror groups from (6) in \(\binom{6}{2}\) ways.
Step 3
Exam Tip
The choices are independent, so the total is \(\binom{4}{2}\binom{6}{2}\). चरण 1: (4) विकर्ण युग्मों में से (2) चुनने के तरीके \(\binom{4}{2}\) हैं। चरण 2: (6) विकर्ण-बाह्य उलटे युग्म-जोड़े में से (2) चुनने के तरीके \(\binom{6}{2}\) हैं। चरण 3: दोनों चुनाव स्वतंत्र हैं, इसलिए कुल संख्या \(\binom{4}{2}\binom{6}{2}\) है।
A. हाँ, क्योंकि \((b,a)\in R\) होने पर \((a,b)\in R\) होना पड़ेगा/Yes, because if \((b,a)\in R\), then \((a,b)\in R\) must hold
Step 1
Concept
Symmetry says the reverse of every present pair is also present.
Step 2
Why this answer is correct
If \((b,a)\in R\), then \((a,b)\in R\) would also have to be present.
Step 3
Exam Tip
Since \((a,b)\notin R\), \((b,a)\notin R\) must be true. चरण 1: सममितता कहती है कि किसी भी उपस्थित युग्म का उलटा भी उपस्थित होगा। चरण 2: यदि \((b,a)\in R\) होता, तो उलटकर \((a,b)\in R\) भी होना चाहिए था। चरण 3: क्योंकि \((a,b)\notin R\), इसलिए \((b,a)\notin R\) निश्चित है।
A. सममित है लेकिन परावर्ती नहीं/It is symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
((1,2)) appears with ((2,1)), and ((2,3)) appears with ((3,2)).
Step 2
Why this answer is correct
Thus every present non-diagonal pair has its reverse.
Step 3
Exam Tip
The diagonal pairs are missing, so it is not reflexive. चरण 1: ((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((2,3)) के साथ ((3,2)) है। चरण 2: इसलिए हर उपस्थित गैर-विकर्ण युग्म का उलटा मौजूद है। चरण 3: ((1,1),(2,2),(3,3)) नहीं हैं, इसलिए यह परावर्ती नहीं है।
A. (y) से (x) तक भी तीर हो/There must also be an arrow from (y) to (x)
Step 1
Concept
An arrow from (x) to (y) represents \((x,y)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
Symmetry requires \((y,x)\in R\) as well.
Step 3
Exam Tip
Therefore an arrow in the reverse direction is necessary. चरण 1: निर्देशित आकृति में तीर (x) से (y) का अर्थ \((x,y)\in R\) है। चरण 2: सममितता के लिए \((y,x)\in R\) भी होना चाहिए। चरण 3: इसलिए उलटी दिशा का तीर जरूरी है।
If \(a^2=b^2\), then reversing the equality gives \(b^2=a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
Relations based on equality are often checked by simply reversing the equality. चरण 1: यदि \(a^2=b^2\), तो समानता पलटने पर \(b^2=a^2\) भी सत्य है। चरण 2: इसलिए \((a,b)\in R\) से \((b,a)\in R\) मिलता है। चरण 3: समानता वाले संबंधों में अक्सर सममितता सीधे उलटकर जांची जाती है।
The sum does not change when the order is reversed.
Step 3
Exam Tip
So every pair's reverse also satisfies the condition, making the relation symmetric. चरण 1: \(a+b\leq5\) होने पर \(b+a\leq5\) भी होगा। चरण 2: योग क्रम बदलने से नहीं बदलता। चरण 3: इसलिए हर युग्म का उलटा भी शर्त पूरी करता है और संबंध सममित है।
A. \((1,2)\in R\) लेकिन \((2,1)\notin R\)/\((1,2)\in R\) but \((2,1)\notin R\)
Step 1
Concept
Since \(1\leq2\), ((1,2)) belongs to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
But \(2\leq1\) is false, so ((2,1)) does not belong.
Step 3
Exam Tip
Order-based inequality relations are often not symmetric. चरण 1: \(1\leq2\), इसलिए ((1,2)) संबंध में है। चरण 2: \(2\leq1\) गलत है, इसलिए ((2,1)) संबंध में नहीं है। चरण 3: क्रम-आधारित असमानता वाले संबंध अक्सर सममित नहीं होते।
In a symmetric (R), ((a,b)) and ((b,a)) are either both present or both absent.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, in the complement, reverse pairs also appear together.
Step 3
Exam Tip
Hence \(A\times A-R\) is also symmetric. चरण 1: सममित (R) में ((a,b)) और ((b,a)) साथ-साथ होते हैं या साथ-साथ अनुपस्थित होते हैं। चरण 2: इसलिए पूरक संबंध में भी दोनों उलटे युग्म साथ-साथ आएंगे। चरण 3: अतः \(A\times A-R\) भी सममित होगा।
The union keeps all reverse pairs, so it is symmetric. चरण 1: (R) में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं। चरण 2: (S) में ((2,3)) और ((3,2)) दोनों हैं। चरण 3: संघ में ये सभी उलटे युग्म बने रहते हैं, इसलिए संघ सममित है।
If \((a,b)\in R-S\), then \((a,b)\in R\) and \((a,b)\notin S\).
Step 2
Why this answer is correct
Symmetry of (R) gives \((b,a)\in R\), and symmetry of (S) ensures \((b,a)\notin S\).
Step 3
Exam Tip
Thus \((b,a)\in R-S\), so it is always symmetric. चरण 1: यदि \((a,b)\in R-S\), तो \((a,b)\in R\) और \((a,b)\notin S\)। चरण 2: (R) सममित होने से \((b,a)\in R\), और (S) सममित होने से \((a,b)\notin S\) का अर्थ \((b,a)\notin S\) है। चरण 3: इसलिए \((b,a)\in R-S\), अतः यह हमेशा सममित है।
Therefore if (|a-b|) is even, then (|b-a|) is also even.
Step 3
Exam Tip
Absolute-difference relations usually preserve symmetry because the difference value stays the same. चरण 1: (|a-b|=|b-a|) हमेशा सत्य है। चरण 2: इसलिए यदि (|a-b|) सम है, तो (|b-a|) भी सम होगा। चरण 3: निरपेक्ष अंतर वाले संबंधों में उलटा युग्म वही अंतर देता है।
So whenever ((a,b)) belongs, ((b,a)) also belongs.
Step 3
Exam Tip
The key point is that the negative of an even integer is also even. चरण 1: यदि (a-b) सम है, तो (b-a=-(a-b)) भी सम होगा। चरण 2: इसलिए ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी संबंध में होगा। चरण 3: ऋणात्मक सम संख्या भी सम ही रहती है, यह मुख्य बात है।
Thus the condition remains true after reversing the pair.
Step 3
Exam Tip
Changing the sign does not change oddness, so the relation is symmetric. चरण 1: यदि (a-b) विषम है, तो (b-a=-(a-b)) भी विषम होगा। चरण 2: इसलिए युग्म उलटने पर भी शर्त बनी रहती है। चरण 3: संकेत बदलने से विषमता नहीं बदलती, इसलिए संबंध सममित है।
A. क्योंकि (a+b=b+a) और (ab=ba)/Because (a+b=b+a) and (ab=ba)
Step 1
Concept
The condition uses addition and multiplication.
Step 2
Why this answer is correct
If (a+b=ab), reversing the order gives (b+a=ba), which is the same condition.
Step 3
Exam Tip
When the condition is unchanged by reversing the pair, the relation is symmetric. चरण 1: दी गई शर्त में जोड़ और गुणा दोनों हैं। चरण 2: (a+b=ab) होने पर क्रम बदलने से (b+a=ba) भी सही रहता है। चरण 3: जब शर्त क्रम बदलने पर वही रहे, तो संबंध सममित होता है।
A. नहीं, क्योंकि \((4,1)\in R\) पर \((1,4)\notin R\)/No, because \((4,1)\in R\) but \((1,4)\notin R\)
Step 1
Concept
For ((4,1)), \(4+2\cdot1=6\), so the pair belongs to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
For the reverse ((1,4)), \(1+2\cdot4=9\), not (6).
Step 3
Exam Tip
Unequal coefficients can break symmetry when the order is reversed. चरण 1: ((4,1)) के लिए \(4+2\cdot1=6\), इसलिए यह संबंध में है। चरण 2: उलटा ((1,4)) लेने पर \(1+2\cdot4=9\), जो (6) नहीं है। चरण 3: गुणांक अलग हों तो क्रम बदलने से शर्त बदल सकती है।
The sum is unchanged when the order is reversed, so the relation is symmetric. चरण 1: यदि \(a^2+b^2=10\), तो \(b^2+a^2=10\) भी होगा। चरण 2: इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में आएगा। चरण 3: जोड़ में क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, इसलिए यह संबंध सममित है।
For (n) elements, the number of symmetric relations is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting (n=6), we get \(\frac{6\cdot7}{2}=21\) independent choices.
Step 3
Exam Tip
Hence the total number is \(2^{21}\). चरण 1: (n) अवयवों के लिए सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। चरण 2: (n=6) रखने पर \(\frac{6\cdot7}{2}=21\) स्वतंत्र चुनाव मिलते हैं। चरण 3: इसलिए कुल संख्या \(2^{21}\) है।
For (4) elements, there are (10) independent groups.
Step 2
Why this answer is correct
The groups containing ((1,2)) and ((3,4)) are fixed as included.
Step 3
Exam Tip
The remaining (8) groups are free, so the number is \(2^8\). चरण 1: (4) अवयवों के लिए कुल स्वतंत्र समूह (10) हैं। चरण 2: ((1,2)) वाला समूह और ((3,4)) वाला समूह लेना तय हो गया। चरण 3: बचे (8) समूह स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^8\) है।
A symmetric relation must contain ((2,1)) whenever it contains ((1,2)).
Step 2
Why this answer is correct
The condition asks for ((1,2)) to be present but ((2,1)) absent, which violates symmetry.
Step 3
Exam Tip
Hence the number of such relations is (0). चरण 1: सममित संबंध में ((1,2)) के साथ ((2,1)) होना अनिवार्य है। चरण 2: प्रश्न में ((1,2)) है लेकिन ((2,1)) नहीं है, यह सममितता के विरुद्ध है। चरण 3: इसलिए ऐसे संबंधों की संख्या (0) है।
Symmetry requires (\(a_j,a_i\)), meaning \(m_{ji}=1\).
Step 3
Exam Tip
Thus \(m_{ij}=m_{ji}\) for all (i,j), so \(M=M^T\). चरण 1: संबंध में (\(a_i,a_j\)) होने का अर्थ मैट्रिक्स में \(m_{ij}=1\) है। चरण 2: सममितता के लिए (\(a_j,a_i\)) भी होना चाहिए, यानी \(m_{ji}=1\)। चरण 3: इसलिए हर (i,j) के लिए \(m_{ij}=m_{ji}\), अर्थात \(M=M^T\)।
All three reverse pairs are missing, so the minimum number to add is (3). चरण 1: ((1,2)) के लिए ((2,1)) चाहिए। चरण 2: ((2,3)) के लिए ((3,2)) चाहिए और ((3,1)) के लिए ((1,3)) चाहिए। चरण 3: तीनों उलटे युग्म अनुपस्थित हैं, इसलिए न्यूनतम (3) युग्म जोड़ने होंगे।
((1,2)) and ((2,1)) already appear as a reverse pair.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of ((3,4)), namely ((4,3)), is missing.
Step 3
Exam Tip
Adding only ((4,3)) is enough and minimal. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) पहले से युग्म बनाकर मौजूद हैं। चरण 2: ((3,4)) का उलटा ((4,3)) नहीं है। चरण 3: इसलिए केवल ((4,3)) जोड़ना पर्याप्त और न्यूनतम है।
If (a=b), then (b=a), so the reverse pair also belongs.
Step 3
Exam Tip
Equality-based relations are symmetric, while conditions like (a-b=1) change when reversed. चरण 1: (a-b=0) का अर्थ (a=b) है। चरण 2: यदि (a=b), तो (b=a) भी सत्य है, इसलिए उलटा युग्म भी संबंध में होगा। चरण 3: बराबरी पर आधारित संबंध सममित होते हैं, पर (a-b=1) जैसे संबंध उलटने पर बदल जाते हैं।
A. हर \(a,b\in A\) के लिए, \((a,b)\in R\Rightarrow(b,a)\in R\)/For every \(a,b\in A\), \((a,b)\in R\Rightarrow(b,a)\in R\)
Step 1
Concept
Symmetry is about the presence of reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
If \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\) must also hold.
Step 3
Exam Tip
The diagonal condition is reflexivity, and the three-pair condition is transitivity. चरण 1: सममितता उलटे युग्म की उपस्थिति से जुड़ी है। चरण 2: \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) होना चाहिए। चरण 3: विकर्ण वाली शर्त परावर्तिता और तीसरी शर्त संक्रामकता बताती है।
A. \(R\triangle S\) सममित है/\(R\triangle S\) is symmetric
Step 1
Concept
The difference of two symmetric relations is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (R-S) and (S-R) are both symmetric.
Step 3
Exam Tip
The union of two symmetric relations is symmetric, so \(R\triangle S\) is symmetric. चरण 1: सममित संबंधों का अंतर भी सममित रहता है। चरण 2: इसलिए (R-S) और (S-R) दोनों सममित होंगे। चरण 3: दो सममित संबंधों का संघ भी सममित होता है, इसलिए \(R\triangle S\) सममित है।
\(a\equiv -b \pmod{5}\) means \(a+b\equiv 0 \pmod{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
Reversing the order gives \(b+a\equiv 0 \pmod{5}\), the same condition.
Step 3
Exam Tip
Therefore the reverse pair also belongs, so the relation is symmetric. चरण 1: \(a\equiv -b \pmod{5}\) का अर्थ \(a+b\equiv 0 \pmod{5}\) है। चरण 2: यह शर्त क्रम बदलने पर \(b+a\equiv 0 \pmod{5}\) बनती है, जो वही है। चरण 3: इसलिए उलटा युग्म भी संबंध में होगा और संबंध सममित है।
((1,2)) and ((2,1)) are already balanced, and diagonal pairs cause no issue.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) is present but ((3,2)) is missing.
Step 3
Exam Tip
If only removal is allowed, remove ((2,3)), so the minimum number is (1). चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) पहले से संतुलित हैं, और विकर्ण युग्म समस्या नहीं बनाते। चरण 2: ((2,3)) है लेकिन ((3,2)) नहीं है। चरण 3: जोड़ने की जगह हटाने पर केवल ((2,3)) हटाना होगा, इसलिए न्यूनतम संख्या (1) है।
