फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +3x+5) के लिए सही कथन चुनिए।
Choose the correct statement for the function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +3x+5).
#one-one-function
#injective
#monotonic
#cubic
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? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C केवल धनात्मक संख्याओं पर एकैकी है / It is one-one only on positive numbers
D स्थिर फलन है / It is a constant function
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
(a>b) मानने पर \(a^3>b^3\) और (3a>3b) होता है। / If (a>b), then \(a^3>b^3\) and (3a>3b).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(a^3+3a+5>b^3+3b+5\), अर्थात अलग आगत अलग छवि देंगे। / Hence \(a^3+3a+5>b^3+3b+5\), so different inputs give different images.
Step 3
Exam Tip
बढ़ते हुए फलन को पहचानना एकैकीता के कठिन प्रश्नों में बहुत उपयोगी है। / Recognising an increasing function is very useful in hard one-one questions.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -3x), तो (f) के बारे में सही विकल्प कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -3x), which option is correct about (f)?
#one-one-function
#non-injective
#cubic
#counterexample
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C केवल पूर्णांकों पर परिभाषित है / It is defined only on integers
D हर जगह घटता है / It is decreasing everywhere
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
एकैकीता को असत्य करने के लिए अलग आगतों की समान छवि खोजें। / To disprove one-one nature, find different inputs with the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f\(\sqrt{3}\)=0), जबकि \(0\neq \sqrt{3}\)। / (f(0)=0) and (f\(\sqrt{3}\)=0), while \(0\neq \sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
बहुपद में समान छवि मिलते ही एकैकीता नहीं रहती। / Once a polynomial gives the same image for different inputs, it is not one-one.
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फलन \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 -2x+4) के लिए सही कथन क्या है?
What is the correct statement for \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 -2x+4)?
#one-one-function
#restricted-domain
#quadratic
#injective
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर फलन है / It is constant
D केवल (x=1) पर परिभाषित है / It is defined only at (x=1)
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
(f(x)=(x-1)2 +3) लिखा जा सकता है। / We can write (f(x)=(x-1)2 +3).
Step 2
Why this answer is correct
क्षेत्र \([1,\infty\)) पर ((x-1)2 ) बढ़ता है, इसलिए समान छवि समान आगत से ही मिलेगी। / On \([1,\infty\)), ((x-1)2 ) increases, so equal images occur only for equal inputs.
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन में क्षेत्र का एक तरफ सीमित होना ध्यान से देखें। / For a quadratic function, carefully check whether the domain is restricted to one side.
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यदि (f:\(-\infty,1]\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -2x+4), तो (f) कैसा है?
If (f:\(-\infty,1]\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -2x+4), what is (f)?
#one-one-function
#restricted-domain
#parabola
#injective
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? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C रैखिक है / It is linear
D परिभाषित नहीं है / It is not defined
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
(f(x)=(x-1)2 +3) है। / (f(x)=(x-1)2 +3).
Step 2
Why this answer is correct
क्षेत्र \(x\leq 1\) पर केंद्र (1) के बाएँ भाग में वर्ग फलन एक दिशा में चलता है। / On the domain \(x\leq 1\), the left side of the parabola moves in one direction.
Step 3
Exam Tip
परवलय के केवल एक भाग को लेने पर एकैकीता मिल सकती है। / Taking only one side of a parabola can make the function one-one.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -2x+4) के लिए सही विकल्प चुनिए।
Choose the correct option for \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -2x+4).
#one-one-function
#non-injective
#quadratic
#complete-square
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C केवल शून्य छवि देता है / It gives only zero image
D हर जगह रैखिक है / It is linear everywhere
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
(f(x)=(x-1)2 +3) है। / (f(x)=(x-1)2 +3).
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=4) और (f(2)=4), जबकि \(0\neq 2\)। / (f(0)=4) and (f(2)=4), while \(0\neq 2\).
Step 3
Exam Tip
पूरे वास्तविक क्षेत्र पर वर्ग फलन के दोनों ओर समान छवि मिल सकती है। / On the whole real domain, both sides of a quadratic may give the same image.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=e^x+x), तो (f) की एकैकीता के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=e^x+x), which statement about the one-one nature of (f) is correct?
#one-one-function
#exponential
#monotonic
#injective
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? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C केवल (x=0) पर एकैकी है / It is one-one only at (x=0)
D स्थिर है / It is constant
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(e^x\) बढ़ता है और (x) भी बढ़ता है। / \(e^x\) is increasing and (x) is also increasing.
Step 2
Why this answer is correct
दो बढ़ते हुए भागों का योग भी बढ़ता है, इसलिए दो अलग आगत समान छवि नहीं देंगे। / The sum of two increasing parts is increasing, so two different inputs cannot have the same image.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में फलन की बढ़ने की प्रकृति जल्दी पहचानें। / In such questions, quickly identify the increasing nature of the function.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=e^x-x) के लिए सही विकल्प क्या है?
What is the correct option for \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=e^x-x)?
#one-one-function
#derivative-test
#exponential
#non-injective
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D केवल पूर्णांक क्षेत्र पर फलन है / It is a function only on integer domain
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
(f'(x)=e^x-1) है जो (x<0) पर ऋणात्मक और (x>0) पर धनात्मक होता है। / (f'(x)=e^x-1), which is negative for (x<0) and positive for (x>0).
Step 2
Why this answer is correct
फलन पहले घटता और फिर बढ़ता है, इसलिए पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं है। / The function decreases first and then increases, so it is not one-one on all of \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
यदि फलन दिशा बदलता है तो समान छवि की संभावना रहती है। / If a function changes direction, equal images may occur.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln x), तो (f) के लिए सही उत्तर चुनिए।
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln x), choose the correct answer for (f).
#one-one-function
#logarithm
#injective
#domain
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? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D केवल (x=1) पर परिभाषित है / It is defined only at (x=1)
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(\ln x\) अपने क्षेत्र (\(0,\infty\)) पर बढ़ता है। / \(\ln x\) is increasing on its domain (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\ln a=\ln b\), तो (a=b) होगा। / If \(\ln a=\ln b\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
लघुगणक फलन की बढ़ती प्रकृति याद रखें। / Remember the increasing nature of the logarithmic function.
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फलन (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x+\frac{1}{x}) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
Which statement is correct about (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x+\frac{1}{x})?
#one-one-function
#reciprocal
#non-injective
#counterexample
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर फलन है / It is a constant function
D केवल प्राकृतिक संख्याओं पर परिभाषित है / It is defined only on natural numbers
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
समान छवि के लिए दो अलग धनात्मक मान देखें। / Look for two different positive values with the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=\frac{5}{2}) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{5}{2}), जबकि \(2\neq \frac{1}{2}\)। / (f(2)=\frac{5}{2}) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{5}{2}), while \(2\neq \frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
\(x+\frac{1}{x}\) जैसे फलन में (x) और \(\frac{1}{x}\) की भूमिका ध्यान दें। / In functions like \(x+\frac{1}{x}\), notice the roles of (x) and \(\frac{1}{x}\).
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यदि \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x+\frac{1}{x}), तो (f) के लिए सही विकल्प चुनिए।
If \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x+\frac{1}{x}), choose the correct option for (f).
#one-one-function
#restricted-domain
#reciprocal
#injective
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(x\geq 1\) पर जैसे-जैसे (x) बढ़ता है, \(x+\frac{1}{x}\) भी बढ़ता है। / For \(x\geq 1\), as (x) increases, \(x+\frac{1}{x}\) also increases.
Step 2
Why this answer is correct
इस क्षेत्र में (x) और \(\frac{1}{x}\) वाले दो अलग मान समान छवि नहीं बनाते। / In this domain, two different values do not form the same image through (x) and \(\frac{1}{x}\).
Step 3
Exam Tip
वही सूत्र अलग क्षेत्र पर एकैकी बन सकता है। / The same formula can become one-one on a restricted domain.
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फलन \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}\), (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}) के लिए सही कथन क्या है?
What is the correct statement for \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}\), (f(x)=\frac{2x+3}{x-1})?
#one-one-function
#rational-function
#injective
#algebraic-test
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D केवल (x=1) पर परिभाषित है / It is defined only at (x=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) मानें। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{2a+3}{a-1}=\frac{2b+3}{b-1}\) से विस्तार करने पर (2ab-2a+3b-3=2ab-2b+3a-3), इसलिए (5b=5a)। / From \(\frac{2a+3}{a-1}=\frac{2b+3}{b-1}\), expanding gives (2ab-2a+3b-3=2ab-2b+3a-3), hence (5b=5a).
Step 3
Exam Tip
(a=b) मिलने से फलन एकैकी सिद्ध होता है। / Since (a=b), the function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{2}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x-2 -4}{x-2}), तो (f) की एकैकीता पर सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{2}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x-2 -4}{x-2}), what is the correct conclusion about the one-one nature of (f)?
#one-one-function
#rational-simplification
#injective
#domain
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? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C परिभाषित नहीं है क्योंकि हर जगह हर शून्य है / It is undefined because denominator is zero everywhere
D स्थिर है / It is constant
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(x\neq 2\) पर \(\frac{x^2-4}{x-2}=x+2\) हो जाता है। / For \(x\neq 2\), \(\frac{x^2-4}{x-2}=x+2\).
Step 2
Why this answer is correct
(x+2) में (x) का गुणांक शून्य नहीं है, इसलिए समान छवि से समान आगत मिलेगा। / In (x+2), the coefficient of (x) is non-zero, so equal images give equal inputs.
Step 3
Exam Tip
सरलीकरण करते समय हटाए गए बिंदु को क्षेत्र से बाहर ही रखें। / While simplifying, keep the removed point outside the domain.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-4 +x-2 ) के बारे में सही विकल्प चुनिए।
Choose the correct option about \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-4 +x-2 ).
#one-one-function
#even-function
#non-injective
#polynomial
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C केवल घटता है / It is only decreasing
D रैखिक है / It is linear
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
फलन में केवल सम घातें हैं। / The function contains only even powers.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=2) और (f(-1)=2), जबकि \(1\neq -1\)। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
सम फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर सामान्यतः एकैकी नहीं होता। / An even function is generally not one-one on all of \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-4 +x-2 ), तो (f) के लिए कौन-सा कथन सही है?
If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-4 +x-2 ), which statement is correct for (f)?
#one-one-function
#restricted-domain
#even-power
#injective
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D केवल (x=0) पर परिभाषित है / It is defined only at (x=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(x\geq 0\) पर \(x^4\) और \(x^2\) दोनों बढ़ते हैं। / For \(x\geq 0\), both \(x^4\) and \(x^2\) increase.
Step 2
Why this answer is correct
उनका योग भी बढ़ता है, इसलिए अलग गैर-ऋणात्मक आगत अलग छवि देंगे। / Their sum also increases, so different non-negative inputs give different images.
Step 3
Exam Tip
सम घात वाला फलन आधे वास्तविक क्षेत्र पर एकैकी हो सकता है। / A function with even powers can be one-one on half of the real domain.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-5 +x) की एकैकीता पर सही उत्तर क्या है?
What is the correct answer about the one-one nature of \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-5 +x)?
#one-one-function
#odd-power
#monotonic
#injective
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D केवल ऋणात्मक मानों पर परिभाषित है / It is defined only for negative values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
(a>b) होने पर \(a^5>b^5\) और (a>b) होता है। / If (a>b), then \(a^5>b^5\) and (a>b).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(a^5+a>b^5+b\), अतः फलन बढ़ता है। / Therefore \(a^5+a>b^5+b\), so the function is increasing.
Step 3
Exam Tip
बढ़ता हुआ फलन पूरे क्षेत्र पर एकैकी होता है। / An increasing function is one-one on its whole domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-5 -x), तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-5 -x), choose the correct statement about (f).
#one-one-function
#odd-polynomial
#non-injective
#counterexample
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C हर जगह धनात्मक है / It is positive everywhere
D स्थिर फलन है / It is a constant function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
समान छवि देने वाले अलग आगत जाँचें। / Check different inputs giving the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=0), (f(0)=0) और (f(1)=0) हैं। / (f(-1)=0), (f(0)=0), and (f(1)=0).
Step 3
Exam Tip
तीन अलग आगतों की समान छवि होने से फलन एकैकी नहीं है। / Since three different inputs have the same image, the function is not one-one.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\arctan x) के लिए सही विकल्प कौन-सा है?
Which option is correct for \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\arctan x)?
#one-one-function
#inverse-trigonometry
#arctan
#injective
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? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C आवर्ती है / It is periodic
D स्थिर है / It is constant
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(\arctan x\) पूरे वास्तविक क्षेत्र पर बढ़ता हुआ फलन है। / \(\arctan x\) is increasing on the whole real domain.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\arctan a=\arctan b\), तो दोनों ओर \(\tan\) लेने पर (a=b) मिलता है। / If \(\arctan a=\arctan b\), taking \(\tan\) on both sides gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य क्षेत्र को याद रखें। / Remember the principal domain of inverse trigonometric functions.
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यदि \(f:[-1,1]\to\mathbb{R}\), (f(x)=\arcsin x), तो (f) कैसा है?
If \(f:[-1,1]\to\mathbb{R}\), (f(x)=\arcsin x), what is (f)?
#one-one-function
#inverse-trigonometry
#arcsin
#injective
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? Hint Small clue
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D केवल (x=1) पर परिभाषित / Defined only at (x=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(\arcsin x\) अपने क्षेत्र ([-1,1]) पर बढ़ता है। / \(\arcsin x\) is increasing on its domain ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
समान \(\arcsin\) मान होने पर आगत समान होगा। / Equal \(\arcsin\) values imply equal inputs.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम फलन बनने के लिए मूल फलन को एकैकी क्षेत्र पर सीमित किया जाता है। / To make an inverse function, the original function is restricted to a one-one domain.
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फलन \(f:[0,\pi]\to\mathbb{R}\), (f(x)=\cos x) के बारे में सही कथन क्या है?
What is the correct statement about \(f:[0,\pi]\to\mathbb{R}\), (f(x)=\cos x)?
#one-one-function
#trigonometry
#restricted-domain
#cosine
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D केवल (0) और \(\pi\) पर परिभाषित है / It is defined only at (0) and \(\pi\)
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार घटता है। / On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing.
Step 2
Why this answer is correct
घटता हुआ फलन भी एकैकी होता है क्योंकि दो अलग आगत समान छवि नहीं देते। / A decreasing function is also one-one because two different inputs do not give the same image.
Step 3
Exam Tip
एकैकीता के लिए बढ़ना ही जरूरी नहीं, लगातार घटना भी पर्याप्त है। / For one-one nature, increasing is not necessary; strictly decreasing is also enough.
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यदि \(f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{R}\), (f(x)=\cos x), तो सही विकल्प चुनिए।
If \(f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{R}\), (f(x)=\cos x), choose the correct option.
#one-one-function
#cosine
#non-injective
#symmetric-inputs
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C रैखिक है / It is linear
D हर जगह बढ़ता है / It is increasing everywhere
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
\(\cos x\) सम फलन है। / \(\cos x\) is an even function.
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\) और (\cos \left\(-\frac{\pi}{3}\right\)=\frac{1}{2}), जबकि आगत अलग हैं। / \(\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\) and (\cos \left\(-\frac{\pi}{3}\right\)=\frac{1}{2}), while the inputs are different.
Step 3
Exam Tip
सम त्रिकोणमितीय फलन के सममित मानों को अवश्य जाँचें। / Always check symmetric values for an even trigonometric function.
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फलन \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x) के लिए सही उत्तर क्या है?
What is the correct answer for \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x)?
#one-one-function
#sine
#restricted-domain
#trigonometry
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? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D हर जगह अपरिभाषित है / It is undefined everywhere
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) बढ़ता है। / On the given interval, \(\sin x\) is increasing.
Step 2
Why this answer is correct
इस अंतराल में समान \(\sin\) मान समान कोण से ही मिलता है। / In this interval, the same \(\sin\) value comes only from the same angle.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलन को सही अंतराल पर सीमित करना एकैकीता देता है। / Restricting a trigonometric function to a proper interval gives one-one nature.
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यदि \(f:[0,2\pi]\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x), तो (f) के लिए सही कथन कौन-सा है?
If \(f:[0,2\pi]\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x), which statement is correct for (f)?
#one-one-function
#sine
#non-injective
#periodic
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? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C केवल \(x=\pi\) पर परिभाषित है / It is defined only at \(x=\pi\)
D रैखिक है / It is linear
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
एकैकीता जाँचने के लिए समान छवि वाले अलग कोण देखें। / To check one-one nature, look for different angles with the same image.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\), जबकि \(0\neq \pi\)। / \(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\), while \(0\neq \pi\).
Step 3
Exam Tip
बड़े त्रिकोणमितीय अंतराल पर आवृत्ति के कारण एकैकीता टूट सकती है। / On a large trigonometric interval, periodic behaviour can break one-one nature.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\begin{cases}x+2,&x<0\2x+2,&x\geq0\end{cases}) से परिभाषित किया गया है। सही विकल्प चुनिए।
The function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=\begin{cases}x+2,&x<0\2x+2,&x\geq0\end{cases}). Choose the correct option.
#one-one-function
#piecewise-function
#range-comparison
#injective
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? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
अलग-अलग भागों से समान छवि मिल सकती है। / In a piecewise function, the images from different pieces must be compared.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=1) और (f\left\(-\frac{1}{2}\right\)=\frac{3}{2}) केवल बाएँ भाग में अलग हैं, पर (f(-1)=1) और (f\left\(-\frac{1}{2}\right\)\neq1); अब (f(-1)=1) और दाएँ भाग में (2x+2=1) देने वाला \(x=-\frac{1}{2}\) क्षेत्र में नहीं है। इस जाँच से टकराव नहीं मिलता। / The left part gives values less than (2), while the right part gives values at least (2).
Step 3
Exam Tip
फिर भी सीमा पर (f(0)=2) और बाएँ भाग में (x+2=2) देने वाला (x=0) क्षेत्र में नहीं है, इसलिए दोनों भाग अलग छवि-क्षेत्र रखते हैं और फलन एकैकी है। / Since each part is one-one and their image ranges do not overlap, the function is one-one.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\begin{cases}x-2 ,&x<0\x,&x\geq0\end{cases}) से दिया गया है। (f) के लिए सही कथन चुनिए।
The function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\begin{cases}x-2 ,&x<0\x,&x\geq0\end{cases}). Choose the correct statement for (f).
#one-one-function
#piecewise-function
#non-injective
#range-overlap
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? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D केवल ऋणात्मक क्षेत्र पर परिभाषित है / It is defined only on negative domain
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
अलग भागों से समान छवि जाँचें। / Check if different pieces can give the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-2)=4) और (f(4)=4), जबकि \(-2\neq 4\)। / (f(-2)=4) and (f(4)=4), while \(-2\neq 4\).
Step 3
Exam Tip
खंडित फलन में हर भाग के परास का टकराव देखना जरूरी है। / In a piecewise function, it is important to check overlap of ranges from different pieces.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\begin{cases}2x,&x<1\x+1,&x\geq1\end{cases}), तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\begin{cases}2x,&x<1\x+1,&x\geq1\end{cases}), what is (f)?
#one-one-function
#piecewise-function
#injective
#range-split
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? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D हर जगह अपरिभाषित है / It is undefined everywhere
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
पहले भाग में (x<1) होने पर छवियाँ (2) से छोटी मिलती हैं। / For (x<1), the first part gives values less than (2).
Step 2
Why this answer is correct
दूसरे भाग में \(x\geq1\) होने पर छवियाँ (2) या उससे बड़ी मिलती हैं, पर (f(0)=0) और (f(-1)= -2) अलग हैं। इस विभाजन से टकराव नहीं दिखता। / For \(x\geq1\), the second part gives values at least (2).
Step 3
Exam Tip
दोनों भाग अपने-अपने क्षेत्र में बढ़ते हैं और परास अलग हैं, इसलिए सही निष्कर्ष एकैकी होना है। / Both parts are increasing and their ranges do not overlap, so the function is one-one.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) के लिए (f(x)=\begin{cases}x+3,&x<0\x-2 +3,&x\geq0\end{cases})। सही विकल्प चुनिए।
For the function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\begin{cases}x+3,&x<0\x-2 +3,&x\geq0\end{cases}). Choose the correct option.
#one-one-function
#piecewise-function
#range-comparison
#injective
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? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D केवल प्राकृतिक संख्याओं पर एकैकी है / It is one-one only on natural numbers
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
(x<0) पर (x+3) का परास (3) से कम है। / For (x<0), the range of (x+3) is less than (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\geq0\) पर \(x^2+3\) का परास (3) या उससे अधिक है। / For \(x\geq0\), the range of \(x^2+3\) is at least (3).
Step 3
Exam Tip
दोनों परास नहीं टकराते और दोनों भाग अपने क्षेत्र में एकैकी हैं, इसलिए पूरा फलन एकैकी है। / The two ranges do not overlap and both pieces are one-one on their domains, so the whole function is one-one.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(B=\{a,b,c,d,e\}\), तो (A) से (B) तक एकैकी फलनों की संख्या कितनी है?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(B=\{a,b,c,d,e\}\), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#one-one-function
#counting
#permutation
#finite-sets
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A (20)
B (60)
C (120)
D (625)
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Step 1
Concept
एकैकी फलन में (A) के चार तत्वों को (B) के पाँच तत्वों में अलग-अलग छवियाँ देनी हैं। / In a one-one function, the four elements of (A) must get distinct images from the five elements of (B).
Step 2
Why this answer is correct
तरीकों की संख्या \({}^5P_4=5\times4\times3\times2=120\) है। / The number of ways is \({}^5P_4=5\times4\times3\times2=120\).
Step 3
Exam Tip
एकैकी गिनती में क्रम महत्व रखता है क्योंकि प्रत्येक आगत अलग है। / In one-one counting, order matters because each input is different.
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यदि (|A|=5) और (|B|=3), तो (A) से (B) तक एकैकी फलनों की संख्या क्या होगी?
If (|A|=5) and (|B|=3), what is the number of one-one functions from (A) to (B)?
#one-one-function
#counting
#finite-sets
#impossible
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (0)
B (15)
C (60)
D (243)
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Step 1
Concept
एकैकी फलन में (A) के हर अलग तत्व को (B) में अलग छवि चाहिए। / In a one-one function, every distinct element of (A) needs a distinct image in (B).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (5) तत्व हैं लेकिन (B) में केवल (3) तत्व हैं। / (A) has (5) elements but (B) has only (3) elements.
Step 3
Exam Tip
जब क्षेत्र में तत्व अधिक और सहप्रांत में कम हों तो एकैकी फलन संभव नहीं है। / When the domain has more elements than the codomain, a one-one function is impossible.
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यदि (|A|=3) और (|B|=7), तो (A) से (B) तक एकैकी फलनों की संख्या कितनी है?
If (|A|=3) and (|B|=7), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#one-one-function
#counting
#permutation
#injective-functions
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (21)
B (35)
C (210)
D (343)
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Step 1
Concept
(A) के पहले तत्व के लिए (7) विकल्प हैं। / The first element of (A) has (7) choices.
Step 2
Why this answer is correct
दूसरे के लिए (6) और तीसरे के लिए (5) विकल्प बचेंगे। / The second has (6) choices and the third has (5) choices left.
Step 3
Exam Tip
कुल संख्या \(7\times6\times5=210\) होगी। / The total number is \(7\times6\times5=210\).
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यदि (A) और (B) दोनों में (4) तत्व हैं, तो (A) से (B) तक कितने एकैकी फलन होंगे?
If both (A) and (B) have (4) elements, how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#one-one-function
#counting
#bijection
#finite-sets
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A (4)
B (16)
C (24)
D (256)
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Step 1
Concept
बराबर आकार के सीमित समुच्चयों में एकैकी फलन छवियों का पूर्ण विन्यास देता है। / For finite sets of equal size, a one-one function gives a complete arrangement of images.
Step 2
Why this answer is correct
संख्या \(4!=4\times3\times2\times1=24\) है। / The number is \(4!=4\times3\times2\times1=24\).
Step 3
Exam Tip
जब (|A|=|B|) हो, एकैकी फलन आच्छादी भी हो जाता है। / When (|A|=|B|), a one-one function is also onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=ax-2 +bx+c) और \(a\neq0\), तो पूरे \(\mathbb{R}\) पर (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=ax-2 +bx+c) and \(a\neq0\), what is the correct statement about (f) on all of \(\mathbb{R}\)?
#one-one-function
#quadratic
#general-result
#non-injective
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A सदैव एकैकी है / It is always one-one
B सदैव एकैकी नहीं है / It is always not one-one
C केवल (b=0) पर एकैकी है / It is one-one only when (b=0)
D केवल (c=0) पर एकैकी है / It is one-one only when (c=0)
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Correct Answer
B. सदैव एकैकी नहीं है / It is always not one-one
Step 1
Concept
द्विघात फलन का आलेख परवलय होता है। / A quadratic function has a parabolic graph.
Step 2
Why this answer is correct
परवलय के शीर्ष के दोनों ओर समान ऊँचाई वाली छवियाँ मिलती हैं। / On both sides of the vertex, equal height values occur.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(a\neq0\) वाला द्विघात फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं होता। / Hence a quadratic with \(a\neq0\) is not one-one on all of \(\mathbb{R}\).
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +ax) किस शर्त पर निश्चित रूप से एकैकी होगा?
Under which condition will \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +ax), certainly be one-one?
#one-one-function
#parameter
#cubic
#monotonic
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A (a>0)
B (a=-3)
C (a<-10)
D (a=0) पर कभी नहीं / Never when (a=0)
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Step 1
Concept
(a>0) होने पर \(x^3\) और (ax) दोनों बढ़ते हुए भाग हैं। / When (a>0), both \(x^3\) and (ax) are increasing parts.
Step 2
Why this answer is correct
उनका योग भी बढ़ता है, इसलिए अलग आगत अलग छवि देंगे। / Their sum is also increasing, so different inputs give different images.
Step 3
Exam Tip
पैरामीटर वाले प्रश्नों में गुणांक का चिन्ह ध्यान से देखें। / In parameter questions, carefully observe the sign of the coefficient.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -12x), तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?
Why is \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -12x), not one-one?
#one-one-function
#cubic
#counterexample
#non-injective
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (f(0)=f\(2\sqrt{3}\)) और \(0\neq2\sqrt{3}\) / Because (f(0)=f\(2\sqrt{3}\)) and \(0\neq2\sqrt{3}\)
B क्योंकि यह परिभाषित नहीं है / Because it is not defined
C क्योंकि यह स्थिर है / Because it is constant
D क्योंकि यह केवल धनात्मक मान देता है / Because it gives only positive values
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(0)=f\(2\sqrt{3}\)) और \(0\neq2\sqrt{3}\) / Because (f(0)=f\(2\sqrt{3}\)) and \(0\neq2\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
(f(0)=0) है। / (f(0)=0).
Step 2
Why this answer is correct
(f\(2\sqrt{3}\)=\(2\sqrt{3}\)3 -12\(2\sqrt{3}\)=24\sqrt{3}-24\sqrt{3}=0)। / (f\(2\sqrt{3}\)=\(2\sqrt{3}\)3 -12\(2\sqrt{3}\)=24\sqrt{3}-24\sqrt{3}=0).
Step 3
Exam Tip
अलग आगतों की समान छवि फलन को एकैकी नहीं रहने देती। / Equal images for different inputs stop the function from being one-one.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x+\sin x) के लिए सही विकल्प चुनिए।
Choose the correct option for \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x+\sin x).
#one-one-function
#trigonometric-mix
#derivative-test
#injective
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A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D आवर्ती है / It is periodic
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
(f'(x)=1+\cos x) है जो कभी ऋणात्मक नहीं होता। / (f'(x)=1+\cos x), which is never negative.
Step 2
Why this answer is correct
फलन घटता नहीं है और (x) वाला भाग आगे बढ़ते हुए मानों को अलग रखता है। / The function does not decrease, and the (x) term keeps values separated as inputs move forward.
Step 3
Exam Tip
अवकलज शून्य हो सकता है पर ऋणात्मक न होना एकैकीता की जाँच में सहायक है। / A derivative may become zero at points, but being non-negative can help in checking one-one nature.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-\sin x), तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-\sin x), what is the correct statement for (f)?
#one-one-function
#trigonometric-mix
#monotonic
#injective
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A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D केवल \([0,\pi]\) पर परिभाषित है / It is defined only on \([0,\pi]\)
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
(f'(x)=1-\cos x) है जो हमेशा (0) या धनात्मक रहता है। / (f'(x)=1-\cos x), which is always zero or positive.
Step 2
Why this answer is correct
फलन पीछे नहीं लौटता, इसलिए दो अलग आगत समान छवि नहीं देते। / The function does not turn back, so two different inputs do not give the same image.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय मिश्रित फलनों में अवकलज की दिशा देखकर निर्णय लें। / For mixed trigonometric functions, decide by checking the direction through the derivative.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x+x-2 ) के बारे में सही विकल्प चुनिए।
Choose the correct option about \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x+x-2 ).
#one-one-function
#derivative-test
#non-injective
#trigonometric-polynomial
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A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C रैखिक है / It is linear
D हर जगह घटता है / It decreases everywhere
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
पूरे वास्तविक क्षेत्र पर \(x^2\) के कारण सममित प्रभाव आता है। / On the whole real domain, \(x^2\) introduces a symmetric growth effect.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0), पर ऋणात्मक क्षेत्र में फलन घट-बढ़ कर फिर समान मान ले सकता है। / The function changes direction because (f'(x)=\cos x+2x) is negative for some negative (x) and positive for large positive (x).
Step 3
Exam Tip
जब फलन पूरे क्षेत्र में एक दिशा में नहीं चलता, तो एकैकीता संदिग्ध होती है; यहाँ यह एकैकी नहीं है। / Since the function is not strictly in one direction on all of \(\mathbb{R}\), it is not one-one.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)), (f(x)=e^{2x+1}), तो (f) कैसा है?
If (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)), (f(x)=e^{2x+1}), what is (f)?
#one-one-function
#composition
#exponential
#injective
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A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D परिभाषित नहीं / Not defined
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(2x+1) एक बढ़ता हुआ रैखिक रूप है। / (2x+1) is an increasing linear expression.
Step 2
Why this answer is correct
\(e^t\) भी बढ़ता हुआ है, इसलिए संयोजन बढ़ता है। / \(e^t\) is also increasing, so the composition is increasing.
Step 3
Exam Tip
बढ़ते हुए फलनों का संयोजन एकैकी रहता है। / A composition of increasing one-one functions remains one-one.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=e^{x-2 }) के लिए सही कथन कौन-सा है?
Which statement is correct for \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=e^{x-2 })?
#one-one-function
#composition
#exponential
#non-injective
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+10 Time+ 10 sec extra
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A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C रैखिक है / It is linear
D हर जगह घटता है / It decreases everywhere
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
\(x^2\) में (x) और (-x) समान मान देते हैं। / In \(x^2\), (x) and (-x) give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (f(1)=e) और (f(-1)=e), जबकि \(1\neq -1\)। / Therefore (f(1)=e) and (f(-1)=e), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
बाहरी फलन एकैकी हो फिर भी अंदर का भाग एकैकी न हो तो पूरा फलन एकैकी नहीं हो सकता। / Even if the outer function is one-one, the whole function may fail if the inner part is not one-one.
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यदि \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) एकैकी है और \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=g(2x-3)), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is one-one and \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=g(2x-3)), what is the correct statement about (f)?
#one-one-function
#composition
#linear-inner
#proof
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A (f) एकैकी है / (f) is one-one
B (f) एकैकी नहीं है / (f) is not one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D निर्णय असंभव है क्योंकि (2x-3) रैखिक है / Cannot decide because (2x-3) is linear
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Correct Answer
A. (f) एकैकी है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) मानें। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
(g(2a-3)=g(2b-3)) और (g) एकैकी है, इसलिए (2a-3=2b-3)। / Then (g(2a-3)=g(2b-3)), and since (g) is one-one, (2a-3=2b-3).
Step 3
Exam Tip
इससे (a=b) मिलता है, अतः (f) एकैकी है। / This gives (a=b), so (f) is one-one.
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यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to C\) दोनों एकैकी हैं, तो \(g\circ f\) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:A\to B\) and \(g:B\to C\) are both one-one, choose the correct statement about \(g\circ f\).
#one-one-function
#composition
#injective-functions
#theorem
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A सदैव एकैकी / Always one-one
B कभी एकैकी नहीं / Never one-one
C केवल जब (A=B) / Only when (A=B)
D केवल जब (B=C) / Only when (B=C)
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Correct Answer
A. सदैव एकैकी / Always one-one
Step 1
Concept
(\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\)) मानें। / Assume (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\)).
Step 2
Why this answer is correct
(g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))) से (f\(a_1\)=f\(a_2\)), क्योंकि (g) एकैकी है। फिर \(a_1=a_2\), क्योंकि (f) एकैकी है। / From (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))), we get (f\(a_1\)=f\(a_2\)) because (g) is one-one. Then \(a_1=a_2\) because (f) is one-one.
Step 3
Exam Tip
दो एकैकी फलनों का संयोजन एकैकी होता है। / The composition of two one-one functions is one-one.
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यदि \(g\circ f\) एकैकी है, तो निम्न में से कौन-सा निष्कर्ष निश्चित रूप से सही है?
If \(g\circ f\) is one-one, which of the following conclusions is certainly true?
#one-one-function
#composition
#necessary-condition
#proof
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? Hint Small clue
A (f) एकैकी है / (f) is one-one
B (g) एकैकी है / (g) is one-one
C दोनों अवश्य एकैकी हैं / Both must be one-one
D दोनों अवश्य स्थिर हैं / Both must be constant
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Correct Answer
A. (f) एकैकी है / (f) is one-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Suppose (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
तब (g(f(a))=g(f(b))), अर्थात (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b))। / Then (g(f(a))=g(f(b))), so (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b)).
Step 3
Exam Tip
\(g\circ f\) एकैकी है, इसलिए (a=b); अतः (f) एकैकी होना निश्चित है। / Since \(g\circ f\) is one-one, (a=b); hence (f) must be one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x-2|+|x+2|), तो (f) के लिए सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x-2|+|x+2|), choose the correct option for (f).
#one-one-function
#absolute-value
#non-injective
#symmetry
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? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C रैखिक है / It is linear
D केवल ऋणात्मक मान देता है / It gives only negative values
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
अलग आगतों की समान छवि खोजें। / Find different inputs with the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=| -1|+|3|=4) और (f(-1)=| -3|+|1|=4), जबकि \(1\neq -1\)। / (f(1)=| -1|+|3|=4) and (f(-1)=| -3|+|1|=4), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष मान के योग में सममित आगतों को जरूर जाँचें। / In sums of absolute values, always check symmetric inputs.
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फलन \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=|x-2|+3) के लिए सही कथन क्या है?
What is the correct statement for \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=|x-2|+3)?
#one-one-function
#absolute-value
#restricted-domain
#injective
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? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D केवल (x=2) पर परिभाषित है / It is defined only at (x=2)
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
क्षेत्र \(x\geq2\) है, इसलिए (|x-2|=x-2)। / The domain is \(x\geq2\), so (|x-2|=x-2).
Step 2
Why this answer is correct
फलन (f(x)=x+1) बन जाता है, जो एकैकी है। / The function becomes (f(x)=x+1), which is one-one.
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष मान हटाने से पहले क्षेत्र का चिन्ह समझें। / Before removing absolute value, understand the sign from the domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\lfloor x\rfloor), तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\lfloor x\rfloor), which statement about (f) is correct?
#one-one-function
#greatest-integer-function
#non-injective
#step-function
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? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C हर जगह बढ़ता हुआ और एकैकी है / It is increasing and one-one everywhere
D केवल पूर्णांकों पर अपरिभाषित है / It is undefined only at integers
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
महत्तम पूर्णांक फलन में एक ही अंतराल के कई मानों की छवि समान होती है। / In the greatest integer function, many values in the same interval have the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1.2)=1) और (f(1.8)=1), जबकि \(1.2\neq1.8\)। / (f(1.2)=1) and (f(1.8)=1), while \(1.2\neq1.8\).
Step 3
Exam Tip
सीढ़ीनुमा फलन पूरे वास्तविक क्षेत्र पर एकैकी नहीं होता। / A step function is not one-one on the whole real domain.
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फलन \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-2 +n) के बारे में सही विकल्प चुनिए।
Choose the correct option about \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-2 +n).
#one-one-function
#integers
#quadratic
#non-injective
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? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D केवल धनात्मक पूर्णांकों पर परिभाषित है / It is defined only on positive integers
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
पूर्णांकों पर विपरीत पास के मान जाँचें। / On integers, check neighbouring opposite-side values.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f(-1)=0), जबकि \(0\neq -1\)। / (f(0)=0) and (f(-1)=0), while \(0\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक क्षेत्र में भी समान छवि वाले अलग मान मिल सकते हैं। / Even on an integer domain, different values can have the same image.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(n)=n-2 +n), तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(n)=n-2 +n), what is (f)?
#one-one-function
#natural-numbers
#domain-effect
#injective
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? Hint Small clue
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D हर दो आगतों की छवि समान / Every two inputs have the same image
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
प्राकृतिक संख्याओं में (n) बढ़ने पर \(n^2\) और (n) दोनों बढ़ते हैं। / In natural numbers, as (n) increases, both \(n^2\) and (n) increase.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(n^2+n\) भी बढ़ता है और अलग (n) अलग छवि देते हैं। / Hence \(n^2+n\) also increases and different (n) give different images.
Step 3
Exam Tip
वही सूत्र पूर्णांकों पर अलग व्यवहार कर सकता है, क्षेत्र ध्यान से पढ़ें। / The same formula may behave differently on integers, so read the domain carefully.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x|x|) के लिए सही कथन चुनिए।
Choose the correct statement for \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x|x|).
#one-one-function
#absolute-value
#piecewise-view
#injective
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? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D सम फलन है इसलिए एकैकी है / It is even, so it is one-one
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(x\geq0\) पर (f(x)=x-2 ) और (x<0) पर (f(x)=-x-2 )। / For \(x\geq0\), (f(x)=x-2 ), and for (x<0), (f(x)=-x-2 ).
Step 2
Why this answer is correct
ऋणात्मक भाग पर छवि ऋणात्मक और धनात्मक भाग पर छवि धनात्मक है, तथा दोनों भाग अपने-अपने क्षेत्र में एकैकी हैं। / The negative part gives negative images and the positive part gives positive images, while each part is one-one on its domain.
Step 3
Exam Tip
खंडों का परास अलग हो तो पूरा फलन एकैकी हो सकता है। / If the ranges of pieces are separated, the whole function can be one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x|x-2 ), तो (f) के लिए सही विकल्प कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x|x-2 ), which option is correct for (f)?
#one-one-function
#absolute-value
#even-behaviour
#non-injective
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? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C रैखिक है / It is linear
D हर जगह ऋणात्मक है / It is negative everywhere
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
\(|x|x^2\) में (x) और (-x) समान मान देते हैं। / In \(|x|x^2\), (x) and (-x) give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1) और (f(-1)=1), जबकि \(1\neq -1\)। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
यदि फलन सम व्यवहार दिखाए तो पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकीता टूटती है। / If a function behaves evenly, one-one nature fails on all of \(\mathbb{R}\).
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x}{1+|x|}) के लिए सही कथन क्या है?
What is the correct statement for \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x}{1+|x|})?
#one-one-function
#absolute-value
#rational-function
#injective
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D केवल (x=0) पर परिभाषित है / It is defined only at (x=0)
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(x\geq0\) पर (f(x)=\frac{x}{1+x}), जो बढ़ता है। / For \(x\geq0\), (f(x)=\frac{x}{1+x}), which is increasing.
Step 2
Why this answer is correct
(x<0) पर (f(x)=\frac{x}{1-x}), जो भी बढ़ता है और ऋणात्मक छवियाँ देता है। / For (x<0), (f(x)=\frac{x}{1-x}), which is also increasing and gives negative images.
Step 3
Exam Tip
दोनों भागों के परास अलग दिशा में हैं और हर भाग एकैकी है, इसलिए फलन एकैकी है। / The two pieces have separated ranges and each piece is one-one, so the function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{-1}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{x-1}{x+1}) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\setminus{-1}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=\frac{x-1}{x+1}), choose the correct statement about (f).
#one-one-function
#rational-function
#injective
#algebraic-test
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? Hint Small clue
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर फलन है / It is a constant function
D केवल धनात्मक संख्याओं पर परिभाषित है / It is defined only on positive numbers
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
एकैकीता जाँचने के लिए (f(a)=f(b)) मानते हैं। / To check one-one nature, assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a-1}{a+1}=\frac{b-1}{b+1}\) से ((a-1)(b+1)=(b-1)(a+1)) मिलेगा, सरल करने पर (2a=2b), इसलिए (a=b)। / From \(\frac{a-1}{a+1}=\frac{b-1}{b+1}\), we get ((a-1)(b+1)=(b-1)(a+1)); simplifying gives (2a=2b), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलनों में हर को शून्य करने वाले मान को क्षेत्र से बाहर रखना जरूरी है। / In rational functions, remember to exclude the value that makes the denominator zero.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) इस प्रकार है कि (f(x)=3x-7), तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=3x-7), which statement about (f) is correct?
#one-one function
#linear function
#class 12
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? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल शून्य परिभाषित है / Defined only at zero
D केवल धनात्मक संख्याओं पर एकैकी है / One-one only on positive numbers
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
एकैकी जाँचने के लिए मान लें (f(a)=f(b))। / To test one-one, assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
(3a-7=3b-7) से (a=b) मिलता है। / (3a-7=3b-7) gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में रैखिक फलन में (x) का गुणांक शून्य न हो तो वह एकैकी होता है। / In exams, a linear function with non-zero coefficient of (x) is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-2 +1), तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 +1), why is (f) not one-one?
#one-one function
#quadratic function
#counterexample
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (f(1)=f(-1)) / Because (f(1)=f(-1))
B क्योंकि (f(0)=0) / Because (f(0)=0)
C क्योंकि (f(x)) सदा ऋणात्मक है / Because (f(x)) is always negative
D क्योंकि परिभाषा-क्षेत्र खाली है / Because the domain is empty
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(1)=f(-1)) / Because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
एकैकी न होने के लिए दो अलग आगतों पर समान निर्गत दिखाना पर्याप्त है। / To disprove one-one, it is enough to find two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=2) और (f(-1)=2), जबकि \(1\ne -1\)। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\ne -1\).
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले फलनों में धन और ऋण मानों को अवश्य जाँचें। / For even power functions, always check positive and negative inputs.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) इस प्रकार है कि (f(x)=x-3 -4), तो (f) कैसा फलन है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x-3 -4), what type of function is (f)?
#one-one function
#cubic function
#increasing function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C केवल सम संख्याओं पर परिभाषित / Defined only on even numbers
D स्थिर फलन / Constant function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(a^3-4=b^3-4\) से \(a^3=b^3\), इसलिए (a=b)। / \(a^3-4=b^3-4\) gives \(a^3=b^3\), hence (a=b).
Step 3
Exam Tip
\(x^3\) जैसा बढ़ता फलन वास्तविक संख्याओं पर एकैकी रहता है। / A strictly increasing function like \(x^3\) remains one-one on real numbers.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=|x|), तो कौन-सा युग्म (f) को एकैकी न होना दिखाता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|x|), which pair shows that (f) is not one-one?
#one-one function
#absolute value
#counterexample
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? Hint Small clue
A (2) और (-2) / (2) and (-2)
B (1) और (2) / (1) and (2)
C (0) और (1) / (0) and (1)
D (3) और (4) / (3) and (4)
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Correct Answer
A. (2) और (-2) / (2) and (-2)
Step 1
Concept
निरपेक्ष मान धन और ऋण दोनों को समान मान दे सकता है। / Absolute value can give the same output for positive and negative inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=2) और (f(-2)=2), जबकि \(2\ne -2\)। / (f(2)=2) and (f(-2)=2), while \(2\ne -2\).
Step 3
Exam Tip
एकैकी जाँच में ऐसे दो अलग आगत खोजें जिनका निर्गत समान हो। / In one-one tests, search for two different inputs with equal outputs.
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फलन \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 ) के लिए सही कथन चुनिए।
Choose the correct statement for the function \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 ).
#one-one function
#domain restriction
#quadratic function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एकैकी है / (f) is one-one
B (f) एकैकी नहीं है / (f) is not one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) केवल (x=0) पर परिभाषित है / (f) is defined only at (x=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एकैकी है / (f) is one-one
Step 1
Concept
इस फलन का परिभाषा-क्षेत्र केवल \(x\ge 0\) है। / The domain is only \(x\ge 0\).
Step 2
Why this answer is correct
इस क्षेत्र में \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए \(a^2=b^2\) होने पर (a=b)। / On this domain, \(x^2\) is increasing, so \(a^2=b^2\) implies (a=b).
Step 3
Exam Tip
परिभाषा-क्षेत्र बदलने से एकैकी होने का निर्णय बदल सकता है। / Changing the domain can change whether a function is one-one.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=5) के लिए सही विकल्प कौन-सा है?
For the function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=5), which option is correct?
#one-one function
#constant function
#counterexample
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल (x=5) पर परिभाषित है / Defined only at (x=5)
D केवल पूर्णांकों पर एकैकी है / One-one only on integers
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
स्थिर फलन हर आगत को एक ही निर्गत देता है। / A constant function gives the same output for every input.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=5) और (f(2)=5), पर \(1\ne 2\)। / (f(1)=5) and (f(2)=5), but \(1\ne 2\).
Step 3
Exam Tip
स्थिर फलन तभी एकैकी हो सकता है जब परिभाषा-क्षेत्र में केवल एक तत्व हो। / A constant function can be one-one only if the domain has a single element.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=2x-3 +1), तो एकैकी जाँच में (f(a)=f(b)) से क्या निष्कर्ष निकलेगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=2x-3 +1), what conclusion follows from (f(a)=f(b)) in a one-one test?
#one-one function
#proof method
#cubic function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (a=b)
B (a=-b)
C (a+b=1)
D \(a^2=b\)
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Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) लिखें। / Write (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(2a^3+1=2b^3+1\) से \(a^3=b^3\), इसलिए (a=b)। / \(2a^3+1=2b^3+1\) gives \(a^3=b^3\), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
यह तरीका लिखित परीक्षा में एकैकी सिद्ध करने का सबसे सुरक्षित तरीका है। / This is the safest method to prove one-one in written exams.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{4,5,6,7\}\), तो \(f:A\to B\), \(f=\{(1,4),(2,5),(3,4)\}\) के लिए सही कथन कौन-सा है?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(B=\{4,5,6,7\}\), which statement is correct for \(f:A\to B\), \(f=\{(1,4),(2,5),(3,4)\}\)?
#one-one function
#set mapping
#finite set
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C फलन नहीं है / Not a function
D सभी मान (B) में नहीं हैं / All values are not in (B)
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
फलन में हर आगत का एक निर्गत है, इसलिए यह फलन है। / Each input has one output, so it is a function.
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (3) दोनों का निर्गत (4) है। / Inputs (1) and (3) both have output (4).
Step 3
Exam Tip
दो अलग आगतों का समान निर्गत मिले तो फलन एकैकी नहीं होता। / If two different inputs share an output, the function is not one-one.
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यदि \(A=\{a,b,c\}\) और \(f:A\to A\), \(f=\{(a,b),(b,c),(c,a)\}\), तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।
If \(A=\{a,b,c\}\) and \(f:A\to A\), \(f=\{(a,b),(b,c),(c,a)\}\), choose the correct statement about (f).
#one-one function
#finite mapping
#set function
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C फलन नहीं है / Not a function
D स्थिर फलन है / Constant function
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
हर आगत का केवल एक निर्गत है। / Every input has exactly one output.
Step 2
Why this answer is correct
निर्गत (b,c,a) अलग-अलग हैं, इसलिए कोई दो आगत समान निर्गत नहीं देते। / The outputs (b,c,a) are all distinct, so no two inputs have the same output.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में निर्गतों की पुनरावृत्ति देखकर एकैकी जल्दी पहचाना जा सकता है। / For finite sets, checking repeated outputs quickly identifies one-one behavior.
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फलन \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=2n+3) के बारे में सही विकल्प कौन-सा है?
Which option is correct for the function \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=2n+3)?
#one-one function
#integers
#linear function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल सम पूर्णांकों पर परिभाषित है / Defined only on even integers
D स्थिर है / Constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
मान लें (f(m)=f(n))। / Assume (f(m)=f(n)).
Step 2
Why this answer is correct
(2m+3=2n+3) से (m=n) मिलता है। / (2m+3=2n+3) gives (m=n).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर भी रैखिक फलन में गुणांक शून्य न हो तो एकैकी रहता है। / Even on integers, a linear function with non-zero coefficient is one-one.
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फलन \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-2 ) एकैकी है या नहीं?
Is the function \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-2 ), one-one?
#one-one function
#integer function
#quadratic function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल धनात्मक पूर्णांकों पर नहीं परिभाषित / Not defined on positive integers
D फलन नहीं है / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
पूर्णांकों में धन और ऋण दोनों मान आते हैं। / Integers include both positive and negative values.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=4) और (f(-2)=4), जबकि \(2\ne -2\)। / (f(2)=4) and (f(-2)=4), while \(2\ne -2\).
Step 3
Exam Tip
\(n^2\) जैसे फलन को पूर्णांकों पर एकैकी मानने से पहले विपरीत चिह्न वाले मान जाँचें। / Before calling \(n^2\) one-one on integers, test values with opposite signs.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\frac{1}{x}), तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\frac{1}{x}), what is the correct statement about (f)?
#one-one function
#reciprocal function
#domain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C शून्य पर निर्भर स्थिर फलन है / Constant depending on zero
D हर दो आगत समान निर्गत देते हैं / Every two inputs give same output
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) और (a,b>0) होने से (a=b)। / \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) with (a,b>0) gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम फलन अपने वैध क्षेत्र में अलग-अलग आगतों को अलग-अलग निर्गत देता है। / A reciprocal function gives distinct outputs for distinct inputs in its valid domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{1}{x-2 }), तो कौन-सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{1}{x-2 }), which statement is correct?
#one-one function
#reciprocal square
#counterexample
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल (x=0) पर परिभाषित है / Defined only at (x=0)
D सभी निर्गत ऋणात्मक हैं / All outputs are negative
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
परिभाषा-क्षेत्र में (1) और (-1) दोनों हैं। / The domain contains both (1) and (-1).
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1) और (f(-1)=1), जबकि \(1\ne -1\)। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), while \(1\ne -1\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग वाले हर वाले फलन में चिह्न बदलने पर निर्गत समान हो सकता है। / In reciprocal square functions, changing the sign can keep the output same.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -4x+7), तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -4x+7), why is (f) not one-one?
#one-one function
#quadratic symmetry
#counterexample
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (f(1)=f(3)) / Because (f(1)=f(3))
B क्योंकि (f(0)=0) / Because (f(0)=0)
C क्योंकि (f(2)) परिभाषित नहीं है / Because (f(2)) is not defined
D क्योंकि सभी निर्गत अलग हैं / Because all outputs are different
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (f(1)=f(3)) / Because (f(1)=f(3))
Step 1
Concept
द्विघात फलन में सममिति के कारण दो अलग आगत समान निर्गत दे सकते हैं। / A quadratic function can give equal outputs for two different inputs due to symmetry.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=4) और (f(3)=4), जबकि \(1\ne 3\)। / (f(1)=4) and (f(3)=4), while \(1\ne 3\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग पूर्ण करके या दो मान रखकर एकैकी न होना जल्दी दिखाया जा सकता है। / Completing the square or substituting two values can quickly disprove one-one.
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यदि \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 -4x+7), तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।
If \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 -4x+7), choose the correct statement about (f).
#one-one function
#restricted domain
#quadratic
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C फलन नहीं है / Not a function
D केवल ऋणात्मक निर्गत देता है / Gives only negative outputs
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
(f(x)=(x-2)2 +3) लिखा जा सकता है। / We can write (f(x)=(x-2)2 +3).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\ge 2\) पर ((x-2)2 ) बढ़ता है, इसलिए अलग आगत अलग निर्गत देंगे। / For \(x\ge 2\), ((x-2)2 ) increases, so different inputs give different outputs.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन को आधे क्षेत्र पर सीमित करने से वह एकैकी बन सकता है। / Restricting a quadratic function to one side of its vertex can make it one-one.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +x) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
Which statement is correct about the function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +x)?
#one-one function
#increasing function
#cubic plus linear
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C स्थिर है / Constant
D केवल (x=1) पर परिभाषित है / Defined only at (x=1)
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
मान लें (a>b)। / Assume (a>b).
Step 2
Why this answer is correct
\(a^3>b^3\) और (a>b), इसलिए \(a^3+a>b^3+b\)। / Then \(a^3>b^3\) and (a>b), so \(a^3+a>b^3+b\).
Step 3
Exam Tip
यदि फलन सख्ती से बढ़ता है, तो वह एकैकी होता है। / A strictly increasing function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -x), तो (f) एकैकी नहीं है। कौन-सा कारण सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -x), then (f) is not one-one. Which reason is correct?
#one-one function
#cubic function
#counterexample
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f(-1)=f(0)=f(1))
B (f(2)=f(3))
C (f(x)) परिभाषित नहीं है / (f(x)) is not defined
D (f) स्थिर है / (f) is constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f(-1)=f(0)=f(1))
Step 1
Concept
(f(x)=x-3 -x=x(x-1)(x+1))। / (f(x)=x-3 -x=x(x-1)(x+1)).
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=0), (f(0)=0), और (f(1)=0), जबकि ये आगत अलग हैं। / (f(-1)=0), (f(0)=0), and (f(1)=0), while the inputs are different.
Step 3
Exam Tip
एक ही निर्गत के लिए कई आगत मिलें तो फलन एकैकी नहीं होता। / If many inputs give the same output, the function is not one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=7-2x), तो (f) की एकैकी प्रकृति क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=7-2x), what is the one-one nature of (f)?
#one-one function
#decreasing linear function
#proof
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल (x=7) पर एकैकी है / One-one only at (x=7)
D स्थिर फलन है / Constant function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) मानें। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
(7-2a=7-2b) से (a=b) मिलता है। / (7-2a=7-2b) gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
घटता रैखिक फलन भी एकैकी होता है, क्योंकि वह हर आगत को अलग निर्गत देता है। / A decreasing linear function is also one-one because it gives distinct outputs for distinct inputs.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x), तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x), why is (f) not one-one?
#one-one function
#sine function
#periodic function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (f(0)=f\(\pi\)) / Because (f(0)=f\(\pi\))
B क्योंकि (f(0)=1) / Because (f(0)=1)
C क्योंकि \(\sin x\) परिभाषित नहीं है / Because \(\sin x\) is not defined
D क्योंकि हर निर्गत अलग है / Because every output is different
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (f(0)=f\(\pi\)) / Because (f(0)=f\(\pi\))
Step 1
Concept
त्रिकोणमितीय फलन आवर्ती होते हैं। / Trigonometric functions are periodic.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\), जबकि \(0\ne \pi\)। / \(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\), while \(0\ne \pi\).
Step 3
Exam Tip
आवर्ती फलन को पूरे वास्तविक क्षेत्र पर सामान्यतः एकैकी नहीं माना जाता। / Periodic functions are generally not one-one on the entire real domain.
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फलन \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x) के लिए सही कथन चुनिए।
Choose the correct statement for \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x).
#one-one function
#sine restricted domain
#trigonometry
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C स्थिर है / Constant
D केवल (0) पर परिभाषित है / Defined only at (0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
दिए गए क्षेत्र में \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। / On the given interval, \(\sin x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए अलग-अलग (x) मानों पर \(\sin x\) के मान अलग होते हैं। / So different (x)-values give different \(\sin x\)-values.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलन को सीमित क्षेत्र पर एकैकी बनाया जा सकता है। / A trigonometric function can become one-one when its domain is restricted properly.
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यदि \(f:[0,\pi]\to\mathbb{R}\), (f(x)=\cos x), तो (f) की एकैकी स्थिति क्या है?
If \(f:[0,\pi]\to\mathbb{R}\), (f(x)=\cos x), what is the one-one status of (f)?
#one-one function
#cosine restricted domain
#decreasing function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल (x=0) पर परिभाषित है / Defined only at (x=0)
D हर जगह समान मान देता है / Gives same value everywhere
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
\([0,\pi]\) पर \(\cos x\) सख्ती से घटता है। / On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing.
Step 2
Why this answer is correct
सख्ती से घटने वाला फलन दो अलग आगतों को समान निर्गत नहीं देता। / A strictly decreasing function does not give the same output for two different inputs.
Step 3
Exam Tip
बढ़ता या घटता होना एकैकी पहचानने का अच्छा संकेत है। / Strictly increasing or decreasing behavior is a good sign of one-one nature.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\cos x), तो (f) एकैकी नहीं है। कौन-सा उदाहरण सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\cos x), then (f) is not one-one. Which example is correct?
#one-one function
#cosine function
#periodicity
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f(0)=f\(2\pi\))
B (f(0)=f\(\frac{\pi}{2}\))
C (f(0)=0)
D (f\(\pi\)=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f(0)=f\(2\pi\))
Step 1
Concept
\(\cos x\) आवर्ती फलन है। / \(\cos x\) is periodic.
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos 0=1\) और \(\cos 2\pi=1\), जबकि \(0\ne 2\pi\)। / \(\cos 0=1\) and \(\cos 2\pi=1\), while \(0\ne 2\pi\).
Step 3
Exam Tip
पूरे वास्तविक क्षेत्र पर आवर्तिता एकैकी न होने का मजबूत प्रमाण देती है। / Periodicity on the whole real domain strongly proves the function is not one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=e^x), तो (f) के लिए सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=e^x), which statement is correct about (f)?
#one-one function
#exponential function
#increasing function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C स्थिर है / Constant
D केवल पूर्णांकों पर परिभाषित है / Defined only on integers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
\(e^x\) वास्तविक संख्याओं पर सख्ती से बढ़ता है। / \(e^x\) is strictly increasing on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(e^a=e^b\), तो (a=b) होता है। / If \(e^a=e^b\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन की बढ़ती प्रकृति एकैकी होने में मदद करती है। / The increasing nature of an exponential function helps prove one-one behavior.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\log x), तो (f) के बारे में सही विकल्प चुनिए।
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\log x), choose the correct option about (f).
#one-one function
#logarithmic function
#domain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल (x=0) पर परिभाषित है / Defined only at (x=0)
D सभी आगतों का निर्गत (1) है / Output is (1) for all inputs
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
\(\log x\) अपने परिभाषा-क्षेत्र (\(0,\infty\)) पर बढ़ता है। / \(\log x\) is increasing on its domain (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
\(\log a=\log b\) होने पर (a=b) मिलता है। / If \(\log a=\log b\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
लघुगणकीय फलन को उसके सही क्षेत्र पर एकैकी माना जाता है। / A logarithmic function is one-one on its valid domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x-2|), तो (f) एकैकी नहीं है। कौन-सा युग्म सही प्रमाण देता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x-2|), then (f) is not one-one. Which pair gives a correct proof?
#one-one function
#absolute value
#shifted function
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A (1) और (3) / (1) and (3)
B (2) और (3) / (2) and (3)
C (0) और (2) / (0) and (2)
D (4) और (5) / (4) and (5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (1) और (3) / (1) and (3)
Step 1
Concept
(x=2) के दोनों ओर समान दूरी वाले मान समान निर्गत देते हैं। / Values equally distant from (x=2) give the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1) और (f(3)=1), जबकि \(1\ne 3\)। / (f(1)=1) and (f(3)=1), while \(1\ne 3\).
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष मान वाले फलन में मध्य बिंदु के दोनों ओर जाँच करें। / For absolute value functions, test points on both sides of the center.
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फलन \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=|x-2|) के बारे में सही कथन क्या है?
What is the correct statement about \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=|x-2|)?
#one-one function
#absolute value
#restricted domain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C स्थिर है / Constant
D फलन नहीं है / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
\(x\ge 2\) होने पर (|x-2|=x-2)। / When \(x\ge 2\), (|x-2|=x-2).
Step 2
Why this answer is correct
(x-2) रैखिक रूप में बढ़ता है, इसलिए अलग आगत अलग निर्गत देते हैं। / The expression (x-2) increases linearly, so different inputs give different outputs.
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष मान फलन को एक ओर सीमित करने से वह एकैकी बन सकता है। / Restricting an absolute value function to one side can make it one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-4 ), तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-4 ), which statement about (f) is correct?
#one-one function
#even power
#counterexample
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल ऋणात्मक आगत लेता है / Takes only negative inputs
D सभी निर्गत ऋणात्मक हैं / All outputs are negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
सम घात में (x) और (-x) का मान समान हो सकता है। / In even powers, (x) and (-x) can give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=16) और (f(-2)=16), जबकि \(2\ne -2\)। / (f(2)=16) and (f(-2)=16), while \(2\ne -2\).
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले फलन पूरे वास्तविक क्षेत्र पर सामान्यतः एकैकी नहीं होते। / Even power functions are generally not one-one on the whole real domain.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-4 ), तो (f) की एकैकी स्थिति क्या है?
If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-4 ), what is the one-one status of (f)?
#one-one function
#even power
#domain restriction
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल (x=4) पर परिभाषित है / Defined only at (x=4)
D स्थिर है / Constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
परिभाषा-क्षेत्र में केवल अऋणात्मक मान हैं। / The domain contains only non-negative values.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\ge 0\) पर \(x^4\) सख्ती से बढ़ता है। / On \(x\ge 0\), \(x^4\) is strictly increasing.
Step 3
Exam Tip
क्षेत्र को अऋणात्मक मानों तक सीमित करने से सम घात फलन एकैकी बन जाता है। / Restricting an even power function to non-negative values makes it one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=2x-2 +3x+1), तो (f) एकैकी नहीं है। कौन-सा युग्म सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=2x-2 +3x+1), then (f) is not one-one. Which pair is correct?
#one-one function
#quadratic
#counterexample
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A (0) और \(-\frac{3}{2}\) / (0) and \(-\frac{3}{2}\)
B (1) और (2) / (1) and (2)
C (-1) और (1) / (-1) and (1)
D (2) और (3) / (2) and (3)
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Correct Answer
A. (0) और \(-\frac{3}{2}\) / (0) and \(-\frac{3}{2}\)
Step 1
Concept
दो अलग मान रखकर समान निर्गत खोजें। / Substitute two different values to find equal outputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=1) और (f\left\(-\frac{3}{2}\right\)=1), जबकि दोनों आगत अलग हैं। / (f(0)=1) and (f\left\(-\frac{3}{2}\right\)=1), while the inputs are different.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन पूरे वास्तविक क्षेत्र पर एकैकी नहीं होता। / A quadratic function is not one-one on the entire real domain.
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यदि \(f:[-1,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 +2x+5), तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।
If \(f:[-1,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 +2x+5), choose the correct statement about (f).
#one-one function
#quadratic
#vertex restriction
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C स्थिर है / Constant
D परिभाषा-क्षेत्र खाली है / Domain is empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
(f(x)=(x+1)2 +4)। / (f(x)=(x+1)2 +4).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\ge -1\) पर ((x+1)2 ) बढ़ता है। / For \(x\ge -1\), ((x+1)2 ) increases.
Step 3
Exam Tip
शीर्ष से दाईं ओर लिया गया द्विघात फलन एकैकी होता है। / A quadratic function restricted to the right side of its vertex is one-one.
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यदि \(f:A\to B\) एकैकी है और (A) में (5) तत्व हैं, तो (B) में कम से कम कितने तत्व होने चाहिए?
If \(f:A\to B\) is one-one and (A) has (5) elements, what is the minimum number of elements required in (B)?
#one-one function
#finite sets
#cardinality
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (5)
B (4)
C (1)
D (0)
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Step 1
Concept
एकैकी फलन में (A) के अलग-अलग तत्वों के निर्गत अलग होने चाहिए। / In a one-one function, distinct elements of (A) must have distinct outputs.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (5) तत्व हैं, इसलिए (B) में कम से कम (5) अलग निर्गतों की जगह चाहिए। / Since (A) has (5) elements, (B) must have at least (5) possible distinct outputs.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में एकैकी के लिए सहक्षेत्र का आकार परिभाषा-क्षेत्र से कम नहीं हो सकता। / For finite sets, the codomain size cannot be smaller than the domain size for a one-one function.
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यदि (A) में (4) तत्व और (B) में (3) तत्व हैं, तो (A) से (B) में एकैकी फलन के बारे में सही कथन क्या है?
If (A) has (4) elements and (B) has (3) elements, what is correct about a one-one function from (A) to (B)?
#one-one function
#finite sets
#pigeonhole idea
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ऐसा फलन संभव है / Such a function is possible
B ऐसा फलन संभव नहीं है / Such a function is not possible
C हर फलन एकैकी होगा / Every function will be one-one
D केवल स्थिर फलन एकैकी होगा / Only constant function will be one-one
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. ऐसा फलन संभव नहीं है / Such a function is not possible
Step 1
Concept
एकैकी फलन में (A) के चार तत्वों को (B) के चार अलग निर्गत चाहिए। / A one-one function needs four distinct outputs for four elements of (A).
Step 2
Why this answer is correct
(B) में केवल तीन तत्व हैं, इसलिए चार अलग निर्गत संभव नहीं। / (B) has only three elements, so four distinct outputs are impossible.
Step 3
Exam Tip
जब परिभाषा-क्षेत्र बड़ा और सहक्षेत्र छोटा हो, तो एकैकी फलन नहीं बनता। / If the domain is larger than the codomain, a one-one function cannot exist.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(B=\{p,q,r,s,t\}\), तो (A) से (B) में एकैकी फलनों की संख्या कितनी है?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(B=\{p,q,r,s,t\}\), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#one-one function
#counting functions
#finite sets
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (120)
B (20)
C (24)
D (625)
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Step 1
Concept
(A) के पहले तत्व के लिए (5) विकल्प हैं। / The first element of (A) has (5) choices.
Step 2
Why this answer is correct
अगले तत्वों के लिए क्रमशः (4,3,2) विकल्प बचते हैं। / The next elements have (4,3,2) choices respectively.
Step 3
Exam Tip
कुल संख्या \(5\times4\times3\times2=120\) होगी। / Total one-one functions are \(5\times4\times3\times2=120\).
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यदि (A) में (3) तत्व और (B) में (6) तत्व हैं, तो (A) से (B) में एकैकी फलनों की संख्या क्या होगी?
If (A) has (3) elements and (B) has (6) elements, how many one-one functions are possible from (A) to (B)?
#one-one function
#counting
#permutation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (120)
B (18)
C (216)
D (6)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
पहले तत्व के लिए (6) विकल्प मिलते हैं। / The first element has (6) choices.
Step 2
Why this answer is correct
दूसरे और तीसरे तत्व के लिए क्रमशः (5) और (4) विकल्प बचते हैं। / The second and third elements have (5) and (4) choices respectively.
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलनों की संख्या \(6\times5\times4=120\) है। / The number of one-one functions is \(6\times5\times4=120\).
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यदि \(f:A\to B\) एकैकी नहीं है, तो कौन-सा कथन हमेशा सही होगा?
If \(f:A\to B\) is not one-one, which statement will always be true?
#one-one function
#not injective
#definition
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ऐसे \(a,b\in A\) मिलेंगे जहाँ \(a\ne b\) और (f(a)=f(b)) / There exist \(a,b\in A\) with \(a\ne b\) and (f(a)=f(b))
B हर आगत का अलग निर्गत होगा / Every input will have a different output
C (A) खाली होगा / (A) will be empty
D (B) में कोई तत्व नहीं होगा / (B) will have no element
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Correct Answer
A. ऐसे \(a,b\in A\) मिलेंगे जहाँ \(a\ne b\) और (f(a)=f(b)) / There exist \(a,b\in A\) with \(a\ne b\) and (f(a)=f(b))
Step 1
Concept
एकैकी न होना परिभाषा का उल्टा है। / Not one-one is the negation of the one-one definition.
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि दो अलग आगत समान निर्गत देते हैं। / It means two distinct inputs give the same output.
Step 3
Exam Tip
प्रश्न में प्रमाण माँगा हो तो ऐसे दो आगत दिखाना काफी होता है। / If proof is needed, showing such two inputs is enough.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=kx-2 ), तो किस स्थिति में (f) पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=kx-2 ), under which condition will (f) be one-one on all of \(\mathbb{R}\)?
#one-one function
#parameter
#quadratic
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हर \(k\ne 0\) पर / For every \(k\ne 0\)
B केवल (k=1) पर / Only for (k=1)
C किसी भी (k) पर नहीं / For no value of (k)
D केवल (k=-1) पर / Only for (k=-1)
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Correct Answer
C. किसी भी (k) पर नहीं / For no value of (k)
Step 1
Concept
यदि \(k\ne 0\), तो (f(1)=k) और (f(-1)=k) होगा। / If \(k\ne 0\), then (f(1)=k) and (f(-1)=k).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (k=0), तो फलन स्थिर हो जाएगा। / If (k=0), the function becomes constant.
Step 3
Exam Tip
इसलिए पूरे वास्तविक क्षेत्र पर \(kx^2\) किसी भी (k) के लिए एकैकी नहीं है। / Therefore, \(kx^2\) is not one-one on the whole real domain for any value of (k).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +2kx), तो (f) पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +2kx), is (f) one-one on the whole of \(\mathbb{R}\)?
#one-one function
#quadratic parameter
#whole real domain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हमेशा एकैकी / Always one-one
B कभी एकैकी नहीं / Never one-one
C केवल (k=0) पर एकैकी / One-one only when (k=0)
D केवल (k=1) पर एकैकी / One-one only when (k=1)
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Correct Answer
B. कभी एकैकी नहीं / Never one-one
Step 1
Concept
(f(x)=(x+k)2 -k-2 ) है। / (f(x)=(x+k)2 -k-2 ).
Step 2
Why this answer is correct
शीर्ष के दोनों ओर समान दूरी वाले दो अलग आगत समान निर्गत देंगे। / Two different inputs at equal distance from the vertex give the same output.
Step 3
Exam Tip
कोई भी द्विघात फलन पूरे वास्तविक क्षेत्र पर एकैकी नहीं होता। / No quadratic function is one-one on the whole real domain.
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यदि \(g\circ f\) एकैकी है, तो निम्न में से कौन-सा कथन हमेशा सही है?
If \(g\circ f\) is one-one, which of the following statements is always true?
#one-one function
#composition
#logical implication
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एकैकी है / (f) is one-one
B (g) एकैकी है / (g) is one-one
C (f) और (g) दोनों स्थिर हैं / Both (f) and (g) are constant
D (f) एकैकी नहीं है / (f) is not one-one
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Correct Answer
A. (f) एकैकी है / (f) is one-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
तब (g(f(a))=g(f(b))), अर्थात (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b))। / Then (g(f(a))=g(f(b))), so (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b)).
Step 3
Exam Tip
\(g\circ f\) एकैकी है, इसलिए (a=b), अतः (f) एकैकी है। / Since \(g\circ f\) is one-one, (a=b), hence (f) is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=2x+1) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (g(x)=x-2 ), तो \(g\circ f\) एकैकी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=2x+1) and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (g(x)=x-2 ), is \(g\circ f\) one-one?
#one-one function
#composition
#counterexample
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C फलन नहीं है / Not a function
D स्थिर है / Constant
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
(\(g\circ f\)(x)=(2x+1)2 )। / (\(g\circ f\)(x)=(2x+1)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) और (x=-1) रखने पर दोनों बार मान (1) आता है। / At (x=0) and (x=-1), the output is (1) both times.
Step 3
Exam Tip
बाहरी फलन \(x^2\) पूरे वास्तविक क्षेत्र पर एकैकी नहीं है, इसलिए संयोजन भी यहाँ एकैकी नहीं है। / The outer function \(x^2\) is not one-one on the whole real domain, so this composition is also not one-one here.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x+4) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (g(x)=3x-2), तो \(g\circ f\) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x+4) and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (g(x)=3x-2), what type is \(g\circ f\)?
#one-one function
#composition
#linear functions
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D परिभाषित नहीं / Not defined
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(\(g\circ f\)(x)=g(x+4)=3(x+4)-2)। / (\(g\circ f\)(x)=g(x+4)=3(x+4)-2).
Step 2
Why this answer is correct
यह (3x+10) है, जो रैखिक फलन है और (x) का गुणांक \(3\ne 0\) है। / This is (3x+10), a linear function with coefficient \(3\ne 0\).
Step 3
Exam Tip
ऐसे रैखिक संयोजन को एकैकी माना जाएगा। / Such a linear composition is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt{x-2 +1}), तो (f) के लिए सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt{x-2 +1}), which statement about (f) is correct?
#one-one function
#square root
#even expression
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C परिभाषित नहीं है / Not defined
D सभी निर्गत ऋणात्मक हैं / All outputs are negative
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
मूल के अंदर \(x^2+1\) है, इसलिए (x) और (-x) समान निर्गत देंगे। / The expression inside the root is \(x^2+1\), so (x) and (-x) give the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=\sqrt{2}) और (f(-1)=\sqrt{2}), जबकि \(1\ne -1\)। / (f(1)=\sqrt{2}) and (f(-1)=\sqrt{2}), while \(1\ne -1\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग पर आधारित सम रूप वाले फलन को पूरे वास्तविक क्षेत्र पर सावधानी से जाँचें। / Functions based on even expressions must be checked carefully on the whole real domain.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\sqrt{x-2 +1}), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\sqrt{x-2 +1}), what is correct about (f)?
#one-one function
#square root
#restricted domain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C स्थिर है / Constant
D केवल (x=1) पर परिभाषित है / Defined only at (x=1)
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
यहाँ \(x\ge 0\) है। / Here \(x\ge 0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\ge 0\) पर \(x^2+1\) बढ़ता है और वर्गमूल भी बढ़ता है। / On \(x\ge 0\), \(x^2+1\) increases and the square root also increases.
Step 3
Exam Tip
अऋणात्मक क्षेत्र पर यह फलन अलग आगतों को अलग निर्गत देता है। / On the non-negative domain, this function gives different outputs for different inputs.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\lfloor x\rfloor), तो (f) एकैकी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\lfloor x\rfloor), is (f) one-one?
#one-one function
#greatest integer function
#step function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल पूर्णांकों पर परिभाषित है / Defined only on integers
D सदैव ऋणात्मक है / Always negative
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
\(\lfloor x\rfloor\) एक अंतराल के कई मानों को एक ही पूर्णांक देता है। / \(\lfloor x\rfloor\) sends many values in an interval to the same integer.
Step 2
Why this answer is correct
\(\lfloor 1.2\rfloor=1\) और \(\lfloor 1.8\rfloor=1\), जबकि \(1.2\ne 1.8\)। / \(\lfloor 1.2\rfloor=1\) and \(\lfloor 1.8\rfloor=1\), while \(1.2\ne 1.8\).
Step 3
Exam Tip
ऐसे चरणदार फलन पूरे वास्तविक क्षेत्र पर एकैकी नहीं होते। / Such step functions are not one-one on the whole real domain.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-3 +n), तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-3 +n), choose the correct statement about (f).
#one-one function
#integer function
#increasing
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C स्थिर है / Constant
D केवल (n=0) पर परिभाषित है / Defined only at (n=0)
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
यदि (m>n), तो \(m^3>n^3\) और (m>n)। / If (m>n), then \(m^3>n^3\) and (m>n).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(m^3+m>n^3+n\), यानी फलन बढ़ता है। / Therefore, \(m^3+m>n^3+n\), so the function is increasing.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर बढ़ता फलन एकैकी होता है। / An increasing function on integers is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(n)=n+(-1)^n), तो (f) एकैकी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(n)=n+(-1)^n), is (f) one-one?
#one-one function
#natural numbers
#parity
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C स्थिर है / Constant
D फलन नहीं है / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
प्राकृतिक संख्याओं के छोटे मान रखकर देखें। / Check the rule separately for even and odd natural numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=0) और (f(2)=3) अलग हैं, लेकिन (f(3)=2) और (f(1)=0) से निर्णय पूरा नहीं होता; बेहतर युग्म (f(2)=3) और (f(4)=5) भी अलग है, इसलिए नियम की सही जाँच चाहिए। / (f(2k)=2k+1) and (f(2k+1)=2k), so the outputs alternate but do not repeat.
Step 3
Exam Tip
(f(2k)=2k+1) और (f(2k+1)=2k), ये सभी अलग मान देते हैं; अतः यह एकैकी है। / Since no two different natural numbers give the same output, the function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\begin{cases}x+1,&x\ge 0\x-1,&x<0\end{cases}), तो (f) के लिए सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\begin{cases}x+1,&x\ge 0\x-1,&x<0\end{cases}), which statement is correct about (f)?
#one-one function
#piecewise function
#range comparison
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C स्थिर है / Constant
D केवल धनात्मक संख्याओं पर परिभाषित है / Defined only on positive numbers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
\(x\ge 0\) पर निर्गत \([1,\infty\)) में आता है। / For \(x\ge 0\), outputs lie in \([1,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
(x<0) पर निर्गत (\(-\infty,-1\)) में आता है। दोनों भागों के निर्गत अलग-अलग क्षेत्रों में हैं। / For (x<0), outputs lie in (\(-\infty,-1\)). The output ranges of the two parts do not overlap.
Step 3
Exam Tip
जब अलग भागों के निर्गत भी न टकराएँ और हर भाग एकैकी हो, तो पूरा फलन एकैकी होता है। / If each part is one-one and their output ranges do not clash, the whole piecewise function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +3x-2 ), तो (f) के लिए सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +3x-2 ), which statement about (f) is correct?
#one-one function
#cubic polynomial
#counterexample
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C स्थिर फलन है / Constant function
D केवल धनात्मक संख्याओं पर परिभाषित है / Defined only on positive numbers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
एकैकी न होने के लिए दो अलग आगतों पर समान निर्गत दिखाना पर्याप्त है। / To disprove one-one, it is enough to show two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f(-3)=0), जबकि \(0\ne -3\)। / (f(0)=0) and (f(-3)=0), while \(0\ne -3\).
Step 3
Exam Tip
घन फलन दिखने पर भी पहले समान निर्गत वाले सरल मान जाँचें। / Even if a function looks cubic, first check simple values that may give the same output.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-3 +3x), तो (f) की एकैकी स्थिति क्या है?
If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-3 +3x), what is the one-one status of (f)?
#one-one function
#increasing function
#restricted domain
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C फलन नहीं है / Not a function
D हर आगत का निर्गत (0) है / Every input has output (0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
\(x\ge 0\) पर \(x^3\) और (3x) दोनों बढ़ते हैं। / For \(x\ge 0\), both \(x^3\) and (3x) increase.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a>b\ge 0\), तो \(a^3>b^3\) और (3a>3b), इसलिए (f(a)>f(b))। / If \(a>b\ge 0\), then \(a^3>b^3\) and (3a>3b), so (f(a)>f(b)).
Step 3
Exam Tip
सख्ती से बढ़ने वाला फलन हमेशा एकैकी होता है। / A strictly increasing function is always one-one.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(B=\{a,b,c,d,e,f,g\}\), तो (A) से (B) में एकैकी फलनों की संख्या कितनी होगी?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\) and \(B=\{a,b,c,d,e,f,g\}\), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#one-one function
#counting functions
#finite sets
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (2520)
B (35)
C (120)
D (16807)
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Step 1
Concept
पहले तत्व के लिए (7) विकल्प हैं। / The first element has (7) choices.
Step 2
Why this answer is correct
एकैकी होने के कारण अगले तत्वों के लिए विकल्प क्रमशः (6,5,4,3) रहेंगे। / Because the function is one-one, the next elements have (6,5,4,3) choices respectively.
Step 3
Exam Tip
कुल संख्या \(7\times6\times5\times4\times3=2520\) होगी। / Total number is \(7\times6\times5\times4\times3=2520\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\begin{cases}2x+1,&x<1\x+2,&x\ge 1\end{cases}), तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\begin{cases}2x+1,&x<1\x+2,&x\ge 1\end{cases}), which statement about (f) is correct?
#one-one function
#piecewise function
#range comparison
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C स्थिर है / Constant
D परिभाषित नहीं है / Not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
अलग-अलग भागों में समान निर्गत आने की संभावना जाँचें। / Check whether the two pieces can produce the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=1) और (f(-1)= -1) अलग हैं, लेकिन (f(1)=3) तथा (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=2) से अभी निर्णय नहीं होगा; सही जाँच में (f(1)=3) और (f\left\(1\right\)=3) वही आगत है, इसलिए दूसरा मान लें (f(2)=4) तथा पहले भाग में (2x+1=4) से \(x=\frac{3}{2}\) आता है जो पहले भाग में नहीं है। अब देखें (f(1)=3) और पहले भाग में (2x+1=3) से (x=1) आता है जो पहले भाग में शामिल नहीं है। दोनों भागों के निर्गत नहीं टकराते, इसलिए (f) एकैकी है। / For (x<1), outputs are less than (3); for \(x\ge 1\), outputs are at least (3).
Step 3
Exam Tip
Each piece is increasing and their output ranges do not overlap, so (f) is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=3x-5) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=3x-5), which statement about (f) is correct?
#one-one function
#linear function
#class 12
#pyq pattern
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) सभी (x) पर स्थिर है / (f) is constant for all (x)
D (f) केवल धनात्मक संख्याओं पर एक-एक है / (f) is one-one only on positive numbers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
एक-एक फलन में अलग-अलग आगतों के प्रतिबिंब अलग होने चाहिए। / In a one-one function different inputs must give different images.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(3x_1-5=3x_2-5\), तो \(x_1=x_2\) मिलता है। / From \(3x_1-5=3x_2-5\), we get \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में (x) का गुणांक शून्य न हो तो वह एक-एक होता है। / A linear function with non-zero coefficient of (x) is one-one.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x-2 ) है, तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।
If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x-2 ), choose the correct statement for (f).
#restricted domain
#quadratic function
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) परिभाषित नहीं है / (f) is not defined
D (f) का प्रत्येक मान ऋणात्मक है / Every value of (f) is negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
यहां प्रांत में केवल (0) और धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं। / The domain contains only (0) and positive real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(x_1^2=x_2^2\) और \(x_1,x_2\ge 0\), तो \(x_1=x_2\) होगा। / If \(x_1^2=x_2^2\) and \(x_1,x_2\ge 0\), then \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
प्रांत बदलने से एक ही नियम वाला फलन एक-एक बन सकता है। / Changing the domain can make the same rule one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=2x-3 +1) है, तो (f) का स्वभाव क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2x-3 +1), what is the nature of (f)?
#cubic function
#one-one function
#real functions
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एक-एक / One-one
B एक-एक नहीं / Not one-one
C केवल सम संख्याओं पर परिभाषित / Defined only on even numbers
D स्थिर / Constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एक-एक / One-one
Step 1
Concept
घन फलन वास्तविक संख्याओं पर क्रम बनाए रखता है। / The cube function preserves order on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(2x_1^3+1=2x_2^3+1\) से \(x_1^3=x_2^3\), इसलिए \(x_1=x_2\) मिलता है। / From \(2x_1^3+1=2x_2^3+1\), we get \(x_1^3=x_2^3\), so \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
विषम घात वाले सरल बढ़ते फलन अक्सर एक-एक होते हैं। / Simple increasing odd-power functions are often one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=|x-2|) है, तो (f) एक-एक है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|x-2|), is (f) one-one?
#absolute value
#one-one function
#counterexample
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A नहीं क्योंकि (f(1)=f(3)) / No because (f(1)=f(3))
B हाँ क्योंकि हर मान अलग है / Yes because every value is different
C हाँ क्योंकि परास धनात्मक है / Yes because the range is positive
D नहीं क्योंकि (f(2)) परिभाषित नहीं है / No because (f(2)) is not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. नहीं क्योंकि (f(1)=f(3)) / No because (f(1)=f(3))
Step 1
Concept
निरपेक्ष मान वाले फलन में केंद्र से बराबर दूरी वाले आगत समान मान दे सकते हैं। / In an absolute value function inputs equally distant from the center can give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
\(1\neq 3\), लेकिन (f(1)=1) और (f(3)=1) है। / \(1\neq 3\), but (f(1)=1) and (f(3)=1).
Step 3
Exam Tip
समान प्रतिबिंब मिलते ही फलन एक-एक नहीं रहता। / One repeated image is enough to reject one-one nature.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) से \(B=\{a,b,c,d\}\) तक फलन (f) के लिए (f(1)=a), (f(2)=b), (f(3)=a) है। सही कथन चुनिए।
For a function (f) from \(A=\{1,2,3\}\) to \(B=\{a,b,c,d\}\), (f(1)=a), (f(2)=b), (f(3)=a). Choose the correct statement.
#finite function
#mapping
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) फलन ही नहीं है / (f) is not a function
D (f) केवल (B) पर निर्भर है / (f) depends only on (B)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
Step 1
Concept
एक-एक फलन में (A) के दो अलग तत्व (B) के एक ही तत्व पर नहीं जा सकते। / In a one-one function two different elements of (A) cannot map to the same element of (B).
Step 2
Why this answer is correct
यहां \(1\neq 3\), लेकिन दोनों का प्रतिबिंब (a) है। / Here \(1\neq 3\), but both have image (a).
Step 3
Exam Tip
तालिका वाले प्रश्न में पहले दोहराया प्रतिबिंब खोजें। / In mapping-table questions first look for repeated images.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-3 -x) है, तो (f) के बारे में सही कारण सहित कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 -x), choose the correct statement with reason.
#cubic polynomial
#counterexample
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह एक-एक नहीं है क्योंकि (f(-1)=f(0)=f(1)) / It is not one-one because (f(-1)=f(0)=f(1))
B यह एक-एक है क्योंकि इसमें \(x^3\) है / It is one-one because it contains \(x^3\)
C यह स्थिर है / It is constant
D यह केवल (x=0) पर परिभाषित है / It is defined only at (x=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह एक-एक नहीं है क्योंकि (f(-1)=f(0)=f(1)) / It is not one-one because (f(-1)=f(0)=f(1))
Step 1
Concept
केवल घन पद देखकर निष्कर्ष नहीं निकालना चाहिए। / Do not decide only by seeing the cubic term.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=0), (f(0)=0), और (f(1)=0) है। / (f(-1)=0), (f(0)=0), and (f(1)=0).
Step 3
Exam Tip
तीन अलग आगतों का समान मान मिलना एक-एक होने को तुरंत गलत कर देता है। / Same image for different inputs immediately disproves one-one nature.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) तथा (f(x)=2^x) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) and (f(x)=2^x), what is the correct statement about (f)?
#exponential function
#one-one function
#class 12
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) शून्य मान देता है / (f) gives zero value
D (f) ऋणात्मक मान देता है / (f) gives negative values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
\(2^x\) वास्तविक संख्याओं पर लगातार बढ़ता है। / \(2^x\) is strictly increasing on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(2^{x_1}=2^{x_2}\), तो \(x_1=x_2\) होता है। / If \(2^{x_1}=2^{x_2}\), then \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में आधार (1) से बड़ा हो तो वह एक-एक होता है। / An exponential function with base greater than (1) is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\) तथा (f(x)=\sin x) है, तो (f) एक-एक क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\) and (f(x)=\sin x), why is (f) not one-one?
#trigonometric function
#sine
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (f(0)=f\(\pi\)) / Because (f(0)=f\(\pi\))
B क्योंकि \(\sin x\) कभी शून्य नहीं होता / Because \(\sin x\) is never zero
C क्योंकि (f) केवल धनात्मक है / Because (f) is only positive
D क्योंकि (f) परिभाषित नहीं है / Because (f) is not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (f(0)=f\(\pi\)) / Because (f(0)=f\(\pi\))
Step 1
Concept
त्रिकोणमितीय फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर दोहराव वाला व्यवहार रखते हैं। / Trigonometric functions repeat values over the full real domain.
Step 2
Why this answer is correct
\(0\neq \pi\), लेकिन \(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\) है। / \(0\neq \pi\), but \(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\).
Step 3
Exam Tip
आवर्ती फलन अक्सर पूरे वास्तविक प्रांत पर एक-एक नहीं होते। / Periodic functions are usually not one-one on the whole real domain.
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यदि \(f:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to[-1,1]\) तथा (f(x)=\sin x) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to[-1,1]\) and (f(x)=\sin x), choose the correct statement about (f).
#restricted domain
#sine function
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) केवल (0) पर परिभाषित है / (f) is defined only at (0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। / On the given interval \(\sin x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए दो अलग (x) के लिए समान \(\sin x\) नहीं मिलता। / So two different (x)-values do not give the same sine value.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में प्रांत सीमित करना बहुत महत्वपूर्ण होता है। / Restricting the domain is very important for trigonometric functions.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\(0,\infty\)) तथा (f(x)=\frac{1}{x}) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If (f:\(0,\infty\)\to\(0,\infty\)) and (f(x)=\frac{1}{x}), what is the correct statement about (f)?
#reciprocal function
#one-one function
#domain
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) हर जगह शून्य है / (f) is zero everywhere
D (f) (x=0) पर भी परिभाषित है / (f) is also defined at (x=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
\(\frac{1}{x}\) में समान मान मानकर जांच करें। / Test the function by assuming equal images.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}\), तो \(x_1=x_2\) मिलता है। / If \(\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}\), then \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
भिन्न वाले फलन में प्रांत देखकर ही निष्कर्ष निकालें। / For reciprocal functions always check the domain first.
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यदि \(f:\mathbb{R}-{0}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\frac{1}{x}) है, तो (f) एक-एक है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}-{0}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{1}{x}), is (f) one-one?
#reciprocal function
#real domain
#one-one function
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (x>0) के लिए / Only for (x>0)
D केवल (x<0) के लिए / Only for (x<0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
प्रांत में शून्य को हटाया गया है, इसलिए फलन ठीक से परिभाषित है। / Zero is removed from the domain, so the function is well-defined.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}\) से \(x_1=x_2\) मिलता है। / From \(\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}\), we get \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक और धनात्मक दोनों भाग मिलकर भी यहां एक-एकता नहीं बिगाड़ते। / Negative and positive parts together do not destroy injectivity here.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\frac{x}{1+x-2 }) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{x}{1+x-2 }), choose the correct statement about (f).
#rational function
#counterexample
#one-one function
#class 12
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A (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\)) / (f) is not one-one because (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) परिभाषित नहीं है / (f) is not defined
D (f) स्थिर है / (f) is constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\)) / (f) is not one-one because (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))
Step 1
Concept
समान प्रतिबिंब खोजकर एक-एकता की जांच की जा सकती है। / Injectivity can be checked by finding repeated images.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=\frac{2}{5}) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{2}{5}) है, जबकि \(2\neq \frac{1}{2}\)। / (f(2)=\frac{2}{5}) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{2}{5}), while \(2\neq \frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
भिन्न रूप देखकर तुरंत एक-एक न मानें। / Do not assume a rational expression is one-one without testing.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-5 +x) है, तो (f) एक-एक क्यों है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-5 +x), why is (f) one-one?
#increasing function
#polynomial
#one-one function
#class 12
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? Hint Small clue
A क्योंकि (x) बढ़ने पर \(x^5+x\) बढ़ता है / Because \(x^5+x\) increases as (x) increases
B क्योंकि (f(1)=f(-1)) / Because (f(1)=f(-1))
C क्योंकि फलन स्थिर है / Because the function is constant
D क्योंकि हर मान ऋणात्मक है / Because every value is negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (x) बढ़ने पर \(x^5+x\) बढ़ता है / Because \(x^5+x\) increases as (x) increases
Step 1
Concept
\(x^5\) और (x) दोनों वास्तविक संख्याओं पर बढ़ते हैं। / Both \(x^5\) and (x) increase on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
इनका योग भी बढ़ने वाला फलन बनाता है, इसलिए अलग आगत अलग मान देंगे। / Their sum also increases, so different inputs give different values.
Step 3
Exam Tip
बढ़ते हुए फलन को एक-एक पहचानने में जल्दी मिलती है। / A strictly increasing function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(x)=\lfloor x\rfloor) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\) and (f(x)=\lfloor x\rfloor), what is the correct statement about (f)?
#greatest integer function
#one-one function
#counterexample
#class 12
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? Hint Small clue
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) सभी वास्तविक संख्याओं को अलग पूर्णांक देता है / (f) gives a different integer to every real number
D (f) परिभाषित नहीं है / (f) is not defined
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Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
Step 1
Concept
महत्तम पूर्णांक फलन कई वास्तविक संख्याओं को एक ही पूर्णांक देता है। / The greatest integer function maps many real numbers to the same integer.
Step 2
Why this answer is correct
जैसे (f(1.2)=1) और (f(1.8)=1), जबकि \(1.2\neq 1.8\)। / For example (f(1.2)=1) and (f(1.8)=1), while \(1.2\neq 1.8\).
Step 3
Exam Tip
सीढ़ी जैसे फलन सामान्यतः एक-एक नहीं होते। / Step-like functions are generally not one-one.
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यदि (A) में (4) तत्व और (B) में (3) तत्व हैं, तो (A) से (B) तक एक-एक फलन की संभावना के बारे में सही कथन क्या है?
If (A) has (4) elements and (B) has (3) elements, what is the correct statement about the possibility of a one-one function from (A) to (B)?
#finite sets
#pigeonhole principle
#one-one function
#class 12
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? Hint Small clue
A ऐसा एक-एक फलन संभव नहीं है / Such a one-one function is not possible
B ठीक (12) फलन संभव हैं / Exactly (12) functions are possible
C ठीक (24) फलन संभव हैं / Exactly (24) functions are possible
D हर फलन एक-एक होगा / Every function will be one-one
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ऐसा एक-एक फलन संभव नहीं है / Such a one-one function is not possible
Step 1
Concept
एक-एक फलन में (A) के अलग तत्वों को (B) के अलग तत्व चाहिए। / A one-one function needs distinct images in (B) for distinct elements of (A).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (4) तत्व हैं लेकिन (B) में केवल (3) तत्व हैं। / (A) has (4) elements but (B) has only (3) elements.
Step 3
Exam Tip
जब प्रांत बड़ा और सहप्रांत छोटा हो, तो एक-एक फलन असंभव हो सकता है। / If the domain is larger than the codomain, a one-one function may be impossible.
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यदि (|A|=3) और (|B|=5) है, तो (A) से (B) तक एक-एक फलनों की संख्या क्या होगी?
If (|A|=3) and (|B|=5), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#counting functions
#permutation
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (60)
B (15)
C (125)
D (8)
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Step 1
Concept
एक-एक फलन में (A) के तीन तत्वों के लिए (B) से तीन अलग प्रतिबिंब चुनने होते हैं। / For a one-one function the three elements of (A) need three distinct images from (B).
Step 2
Why this answer is correct
संख्या \(^{5}P_{3}=5\cdot4\cdot3=60\) होगी। / The number is \(^{5}P_{3}=5\cdot4\cdot3=60\).
Step 3
Exam Tip
एक-एक फलन गिनते समय क्रमचय का प्रयोग करें। / Use permutations when counting one-one functions.
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यदि (|A|=4) और (|B|=4) है, तो (A) से (B) तक एक-एक फलनों की संख्या क्या है?
If (|A|=4) and (|B|=4), what is the number of one-one functions from (A) to (B)?
#finite sets
#bijection
#counting one-one functions
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (24)
B (16)
C (256)
D (4)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
दोनों समुच्चयों में (4) तत्व हैं। / Both sets have (4) elements.
Step 2
Why this answer is correct
एक-एक फलन के लिए (B) के सभी (4) तत्व अलग-अलग ढंग से लगेंगे, इसलिए संख्या (4!=24) है। / For a one-one function all (4) elements of (B) are arranged distinctly, so the number is (4!=24).
Step 3
Exam Tip
बराबर आकार वाले सीमित समुच्चयों में एक-एक फलन साथ ही आच्छादक भी होता है। / Between finite sets of equal size a one-one function is also onto.
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यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to C\) दोनों एक-एक हैं, तो \(g\circ f\) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:A\to B\) and \(g:B\to C\) are both one-one, what is the correct statement about \(g\circ f\)?
#composition of functions
#injective function
#one-one function
#class 12
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(g\circ f\) एक-एक है / \(g\circ f\) is one-one
B \(g\circ f\) कभी एक-एक नहीं होता / \(g\circ f\) is never one-one
C \(g\circ f\) फलन नहीं है / \(g\circ f\) is not a function
D इसका निर्णय असंभव है / It cannot be decided
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(g\circ f\) एक-एक है / \(g\circ f\) is one-one
Step 1
Concept
मान लें (\(g\circ f\)\(x_1\)=\(g\circ f\)\(x_2\))। / Assume (\(g\circ f\)\(x_1\)=\(g\circ f\)\(x_2\)).
Step 2
Why this answer is correct
(g) एक-एक है, इसलिए (f\(x_1\)=f\(x_2\)), और (f) एक-एक है, इसलिए \(x_1=x_2\)। / Since (g) is one-one, (f\(x_1\)=f\(x_2\)), and since (f) is one-one, \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
दो एक-एक फलनों का संयोजन भी एक-एक होता है। / The composition of two one-one functions is one-one.
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यदि \(g\circ f\) एक-एक है, तो निम्न में से कौन सा कथन निश्चित रूप से सही है?
If \(g\circ f\) is one-one, which of the following statements is definitely true?
#composition
#necessary condition
#one-one function
#class 12
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? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (g) एक-एक है / (g) is one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (g) स्थिर है / (g) is constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(\(g\circ f\)) की एक-एकता में पहला फलन (f) दो अलग आगतों को एक ही मान नहीं दे सकता। / If \(g\circ f\) is one-one, the first function (f) cannot send two different inputs to the same value.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (f\(x_1\)=f\(x_2\)), तो (\(g\circ f\)\(x_1\)=\(g\circ f\)\(x_2\)), इसलिए \(x_1=x_2\)। / If (f\(x_1\)=f\(x_2\)), then (\(g\circ f\)\(x_1\)=\(g\circ f\)\(x_2\)), so \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
\(g\circ f\) एक-एक हो तो (f) जरूर एक-एक होता है। / If \(g\circ f\) is one-one, then (f) must be one-one.
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यदि \(g\circ f\) एक-एक है, तो (g) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If \(g\circ f\) is one-one, which statement about (g) is correct?
#composition
#injectivity
#one-one function
#conceptual
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (g) का एक-एक होना जरूरी नहीं है / (g) need not be one-one
B (g) हमेशा एक-एक होगा / (g) will always be one-one
C (g) हमेशा स्थिर होगा / (g) will always be constant
D (g) फलन नहीं हो सकता / (g) cannot be a function
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Correct Answer
A. (g) का एक-एक होना जरूरी नहीं है / (g) need not be one-one
Step 1
Concept
\(g\circ f\) केवल (f) के परास पर (g) के व्यवहार को देखता है। / \(g\circ f\) only uses the behavior of (g) on the range of (f).
Step 2
Why this answer is correct
(g) पूरे प्रांत पर एक-एक न हो, फिर भी (f) के परास पर अलग मान दे सकता है। / (g) may fail to be one-one on its full domain but still behave distinctly on the range of (f).
Step 3
Exam Tip
संयोजन वाले प्रश्नों में पूरे प्रांत और प्रयुक्त भाग में अंतर समझें। / In composition questions distinguish the whole domain from the used part.
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यदि कोई फलन \(f:A\to B\) एक-एक है, तो उसके प्रतिलोम संबंध के बारे में सही कथन क्या है?
If a function \(f:A\to B\) is one-one, what is the correct statement about its inverse relation?
#inverse relation
#invertible function
#one-one function
#class 12
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? Hint Small clue
A प्रतिलोम संबंध (f(A)) से (A) तक फलन होता है / The inverse relation is a function from (f(A)) to (A)
B प्रतिलोम संबंध कभी फलन नहीं होता / The inverse relation is never a function
C प्रतिलोम संबंध केवल तब बनता है जब (A) रिक्त हो / The inverse relation exists only when (A) is empty
D प्रतिलोम संबंध हमेशा स्थिर होता है / The inverse relation is always constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. प्रतिलोम संबंध (f(A)) से (A) तक फलन होता है / The inverse relation is a function from (f(A)) to (A)
Step 1
Concept
एक-एक फलन में हर प्रतिबिंब का केवल एक मूल आगत होता है। / In a one-one function every image has only one original input.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए उल्टा करने पर (f(A)) के हर तत्व को (A) का एक ही तत्व मिलेगा। / So when reversed, each element of (f(A)) gets exactly one element of (A).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम फलन के लिए एक-एकता मुख्य शर्त है। / Injectivity is the key condition for an inverse to be a function.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=ax+b) है, तो (f) कब एक-एक होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=ax+b), when will (f) be one-one?
#linear function
#parameter
#one-one function
#class 12
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? Hint Small clue
A जब \(a\neq0\) / When \(a\neq0\)
B जब (a=0) / When (a=0)
C जब (b=0) ही हो / Only when (b=0)
D कभी नहीं / Never
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Correct Answer
A. जब \(a\neq0\) / When \(a\neq0\)
Step 1
Concept
रैखिक फलन में (a) ही (x) के परिवर्तन को नियंत्रित करता है। / In a linear function (a) controls the change with (x).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a\neq0\), तो \(ax_1+b=ax_2+b\) से \(x_1=x_2\) मिलता है। / If \(a\neq0\), then \(ax_1+b=ax_2+b\) gives \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
(a=0) होने पर फलन स्थिर बन जाता है और एक-एक नहीं रहता। / If (a=0), the function becomes constant and is not one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-2 +2x+3) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 +2x+3), what is the correct statement about (f)?
#quadratic function
#parabola
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह एक-एक नहीं है / It is not one-one
B यह एक-एक है / It is one-one
C यह केवल ऋणात्मक मान देता है / It gives only negative values
D यह परिभाषित नहीं है / It is not defined
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Correct Answer
A. यह एक-एक नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
(x-2 +2x+3=(x+1)2 +2) है, इसलिए रेखाचित्र एक परवलय है। / (x-2 +2x+3=(x+1)2 +2), so the graph is a parabola.
Step 2
Why this answer is correct
(-1) के दोनों ओर बराबर दूरी वाले आगत समान मान देते हैं। / Inputs equally distant from (-1) give the same value.
Step 3
Exam Tip
पूरे वास्तविक प्रांत पर परवलय सामान्यतः एक-एक नहीं होता। / A parabola is generally not one-one on the whole real domain.
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यदि \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x-2 -2x) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x-2 -2x), choose the correct statement about (f).
#restricted domain
#quadratic function
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) हर जगह स्थिर है / (f) is constant everywhere
D (f) (x=1) पर परिभाषित नहीं है / (f) is not defined at (x=1)
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Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(x-2 -2x=(x-1)2 -1) है। / (x-2 -2x=(x-1)2 -1).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए प्रांत \(x\ge1\) पर यह फलन बढ़ता है, इसलिए अलग आगत अलग मान देंगे। / On the domain \(x\ge1\), this function increases, so different inputs give different values.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन को शिखर के एक ओर सीमित करने पर वह एक-एक हो सकता है। / A quadratic can become one-one when restricted to one side of its vertex.
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यदि (f:\(-\infty,1]\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-2 -2x) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If (f:\(-\infty,1]\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 -2x), what is the correct statement about (f)?
#quadratic function
#restricted domain
#one-one function
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) केवल शून्य देता है / (f) gives only zero
D (f) का कोई मान नहीं है / (f) has no value
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(x-2 -2x=(x-1)2 -1) का शिखर (x=1) पर है। / The vertex of (x-2 -2x=(x-1)2 -1) is at (x=1).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\le1\) पर यह फलन एक दिशा में घटता है, इसलिए एक ही मान दो बार नहीं आता। / On \(x\le1\), the function moves in one direction, so no value repeats.
Step 3
Exam Tip
शिखर के एक ही ओर लिया गया द्विघात फलन एक-एक होता है। / A quadratic restricted to one side of its vertex is one-one.
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यदि \(f:[-2,2]\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-2 ) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:[-2,2]\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 ), what is the correct statement about (f)?
#quadratic function
#symmetric domain
#counterexample
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) केवल (x=2) पर परिभाषित है / (f) is defined only at (x=2)
D (f) का परास रिक्त है / The range of (f) is empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
Step 1
Concept
इस प्रांत में धनात्मक और ऋणात्मक दोनों विपरीत संख्याएं शामिल हैं। / This domain contains both positive and negative opposite numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=4) और (f(-2)=4), जबकि \(2\neq -2\)। / (f(2)=4) and (f(-2)=4), while \(2\neq -2\).
Step 3
Exam Tip
सममित प्रांत पर \(x^2\) एक-एक नहीं रहता। / On a symmetric domain \(x^2\) is not one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=|x|+x) है, तो (f) एक-एक क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|x|+x), why is (f) not one-one?
#absolute value
#piecewise idea
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि हर (x<0) के लिए (f(x)=0) / Because (f(x)=0) for every (x<0)
B क्योंकि हर (x>0) के लिए (f(x)=0) / Because (f(x)=0) for every (x>0)
C क्योंकि (f(0)) परिभाषित नहीं है / Because (f(0)) is not defined
D क्योंकि यह हमेशा ऋणात्मक है / Because it is always negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि हर (x<0) के लिए (f(x)=0) / Because (f(x)=0) for every (x<0)
Step 1
Concept
निरपेक्ष मान को भागों में देखें। / Read the absolute value expression piecewise.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (x<0), तो (|x|=-x), इसलिए (|x|+x=0) मिलता है। / If (x<0), then (|x|=-x), so (|x|+x=0).
Step 3
Exam Tip
कई अलग ऋणात्मक आगतों का समान मान (0) होने से फलन एक-एक नहीं है। / Many different negative inputs give the same value (0), so the function is not one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x+\sin x) है, तो (f) के बारे में उचित कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x+\sin x), what is the suitable statement about (f)?
#mixed function
#trigonometric function
#one-one function
#hard
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? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है क्योंकि यह आवर्ती है / (f) is not one-one because it is periodic
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) केवल पूर्णांकों पर परिभाषित है / (f) is defined only on integers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
केवल \(\sin x\) आवर्ती है, लेकिन \(x+\sin x\) आवर्ती नहीं है। / Only \(\sin x\) is periodic, but \(x+\sin x\) is not periodic.
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ने पर कुल मान पीछे नहीं लौटता, इसलिए समान मान दो अलग आगतों पर नहीं आता। / As (x) increases, the total value does not return to an earlier value, so different inputs do not share the same value.
Step 3
Exam Tip
मिश्रित फलन में पूरे नियम का व्यवहार देखें। / For mixed functions examine the complete rule.
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यदि (f:\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=\tan x) है, तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।
If (f:\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\tan x), choose the correct statement about (f).
#tangent function
#restricted domain
#one-one function
#class 12
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? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) का परास केवल ({0}) है / The range of (f) is only ({0})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
दिए गए अंतराल पर \(\tan x\) लगातार बढ़ता है। / On the given interval \(\tan x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(x_1\neq x_2\) होने पर \(\tan x_1\neq \tan x_2\) होगा। / So if \(x_1\neq x_2\), then \(\tan x_1\neq \tan x_2\).
Step 3
Exam Tip
\(\tan x\) को उसके मुख्य अंतराल पर लेने से वह एक-एक बनता है। / Taking \(\tan x\) on its principal interval makes it one-one.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=\ln x) है, तो (f) का स्वभाव क्या है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\ln x), what is the nature of (f)?
#logarithmic function
#one-one function
#domain
#class 12
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? Hint Small clue
A एक-एक / One-one
B एक-एक नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D अपरिभाषित / Undefined
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Correct Answer
A. एक-एक / One-one
Step 1
Concept
\(\ln x\) अपने प्रांत (\(0,\infty\)) पर बढ़ता है। / \(\ln x\) increases on its domain (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\ln x_1=\ln x_2\), तो \(x_1=x_2\) होता है। / If \(\ln x_1=\ln x_2\), then \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
लघुगणकीय फलन अपने सही प्रांत पर एक-एक होता है। / A logarithmic function is one-one on its proper domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-4 +1) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-4 +1), what is the correct statement about (f)?
#even power
#polynomial
#counterexample
#one-one function
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? Hint Small clue
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) हर जगह घटता है / (f) is decreasing everywhere
D (f) का मान कभी (1) नहीं होता / The value of (f) is never (1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
Step 1
Concept
सम घात वाले फलन में विपरीत आगत समान घात मान दे सकते हैं। / Even-power functions can give the same power value for opposite inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=2) और (f(-1)=2), जबकि \(1\neq -1\)। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
सम घात को पूरे वास्तविक प्रांत पर सावधानी से जांचें। / Check even powers carefully on the whole real domain.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)) तथा (f(x)=\sqrt{x+1}) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)) and (f(x)=\sqrt{x+1}), what is the correct statement about (f)?
#square root function
#one-one function
#domain
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) हर जगह स्थिर है / (f) is constant everywhere
D (f) ऋणात्मक मान देता है / (f) gives negative values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(x+1) बढ़ने पर \(\sqrt{x+1}\) भी बढ़ता है। / As (x+1) increases, \(\sqrt{x+1}\) also increases.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{x_1+1}=\sqrt{x_2+1}\) से \(x_1+1=x_2+1\), इसलिए \(x_1=x_2\)। / From \(\sqrt{x_1+1}=\sqrt{x_2+1}\), we get \(x_1+1=x_2+1\), hence \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल फलन अपने सही प्रांत पर एक-एक होता है। / A square-root function is one-one on its proper domain.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x) यदि (x<0) और (f(x)=x+1) यदि \(x\ge0\) से परिभाषित किया गया है। सही कथन चुनिए।
The function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x) if (x<0) and (f(x)=x+1) if \(x\ge0\). Choose the correct statement.
#piecewise function
#range check
#one-one function
#class 12
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A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) फलन नहीं है / (f) is not a function
D (f) हर जगह शून्य है / (f) is zero everywhere
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(x<0) पर मान ऋणात्मक आते हैं। / For (x<0), the values are negative.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\ge0\) पर मान (1) या उससे बड़े आते हैं, इसलिए दोनों भागों के परास आपस में नहीं मिलते। / For \(x\ge0\), the values are (1) or more, so the ranges of the two parts do not overlap.
Step 3
Exam Tip
टुकड़ों में दिए फलन में हर भाग और उनके परास अलग-अलग जांचें। / For piecewise functions check each part and the overlap of their ranges.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 ) यदि (x<0) और (f(x)=x+1) यदि \(x\ge0\) से परिभाषित किया गया है। (f) के लिए सही कथन क्या है?
The function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x-2 ) if (x<0) and (f(x)=x+1) if \(x\ge0\). What is the correct statement about (f)?
#piecewise function
#counterexample
#one-one function
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) परिभाषित नहीं है / (f) is not defined
D (f) का परास रिक्त है / The range of (f) is empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
Step 1
Concept
दोनों भागों के परास में समान मान आ सकते हैं। / The ranges of the two parts can overlap.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-2)=4) और (f(3)=4), जबकि \(-2\neq3\)। / (f(-2)=4) and (f(3)=4), while \(-2\neq3\).
Step 3
Exam Tip
टुकड़ों वाले फलन में अलग भागों से समान मान मिलना एक-एकता तोड़ देता है। / In a piecewise function same value from different pieces breaks injectivity.
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यदि \(f=\{(1,4),(2,5),(3,6)\}\) है, जहां \(f:{1,2,3}\to{4,5,6,7}\), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f=\{(1,4),(2,5),(3,6)\}\), where \(f:{1,2,3}\to{4,5,6,7}\), what is the correct statement about (f)?
#ordered pairs
#finite function
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) फलन नहीं है / (f) is not a function
D (f) में कोई प्रतिबिंब नहीं है / (f) has no image
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
प्रत्येक आगत का एक ही प्रतिबिंब है, इसलिए यह फलन है। / Each input has exactly one image, so it is a function.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिबिंब (4,5,6) सभी अलग हैं। / The images (4,5,6) are all distinct.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में प्रतिबिंबों की पुनरावृत्ति न हो तो फलन एक-एक होता है। / For finite sets a function is one-one when images do not repeat.
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यदि \(f=\{(1,4),(2,5),(3,5)\}\) है, जहां \(f:{1,2,3}\to{4,5,6}\), तो सही कथन चुनिए।
If \(f=\{(1,4),(2,5),(3,5)\}\), where \(f:{1,2,3}\to{4,5,6}\), choose the correct statement.
#ordered pairs
#finite sets
#counterexample
#one-one function
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) फलन नहीं है / (f) is not a function
D (f) का प्रांत रिक्त है / The domain of (f) is empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
Step 1
Concept
एक-एकता में प्रतिबिंबों की पुनरावृत्ति नहीं होनी चाहिए। / Injectivity requires no repetition among images.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (3) दोनों का प्रतिबिंब (5) है। / Both (2) and (3) have image (5).
Step 3
Exam Tip
क्रमित युग्मों में दूसरे अवयवों को देखकर जल्दी जांच करें। / In ordered-pair questions quickly check the second components.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=3-2x) है, तो (f) कैसा फलन है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=3-2x), what type of function is (f)?
#linear function
#negative slope
#one-one function
#class 12
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एक-एक / One-one
B एक-एक नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D अपरिभाषित / Undefined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एक-एक / One-one
Step 1
Concept
यह रैखिक फलन है और (x) का गुणांक (-2) है। / This is a linear function and the coefficient of (x) is (-2).
Step 2
Why this answer is correct
\(-2\neq0\), इसलिए अलग-अलग (x) के लिए अलग-अलग मान मिलते हैं। / Since \(-2\neq0\), different (x)-values give different outputs.
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक ढाल वाला रैखिक फलन भी एक-एक हो सकता है। / A linear function with negative slope can also be one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=7) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=7), what is the correct statement about (f)?
#constant function
#counterexample
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) (x=7) पर ही परिभाषित है / (f) is defined only at (x=7)
D (f) का कोई मान नहीं है / (f) has no value
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Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
Step 1
Concept
स्थिर फलन हर आगत को एक ही मान देता है। / A constant function sends every input to the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=7) और (f(2)=7), जबकि \(1\neq2\)। / (f(1)=7) and (f(2)=7), while \(1\neq2\).
Step 3
Exam Tip
स्थिर फलन तभी एक-एक हो सकता है जब प्रांत में केवल एक तत्व हो। / A constant function can be one-one only when the domain has a single element.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-2 -4x+7) है, तो कौन सा विकल्प (f) के एक-एक न होने को दिखाता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 -4x+7), which option shows that (f) is not one-one?
#quadratic function
#vertex
#counterexample
#one-one function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f(1)=f(3))
B (f(0)=f(1))
C (f(2)=f(4))
D (f(-1)=f(1))
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Correct Answer
A. (f(1)=f(3))
Step 1
Concept
(x-2 -4x+7=(x-2)2 +3) है। / (x-2 -4x+7=(x-2)2 +3).
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (3), (2) से बराबर दूरी पर हैं, इसलिए (f(1)=4) और (f(3)=4)। / (1) and (3) are equally distant from (2), so (f(1)=4) and (f(3)=4).
Step 3
Exam Tip
शिखर के दोनों ओर समान दूरी वाले मान जांचना उपयोगी है। / For quadratics check points equally distant from the vertex.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=(k-2)x+5) है, तो (f) एक-एक कब होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=(k-2)x+5), when will (f) be one-one?
#parameter
#linear function
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A जब \(k\neq2\) / When \(k\neq2\)
B जब (k=2) / When (k=2)
C जब (k=0) ही हो / Only when (k=0)
D कभी नहीं / Never
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Correct Answer
A. जब \(k\neq2\) / When \(k\neq2\)
Step 1
Concept
यह रैखिक फलन है और (x) का गुणांक (k-2) है। / This is a linear function and the coefficient of (x) is (k-2).
Step 2
Why this answer is correct
एक-एक होने के लिए यह गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए। / For one-one nature this coefficient must not be zero.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(k-2\neq0\), अर्थात \(k\neq2\)। / Hence \(k-2\neq0\), so \(k\neq2\).
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यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) तथा (f(n)=n+2) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) and (f(n)=n+2), what is the correct statement about (f)?
#natural numbers
#shift function
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f(1)=f(2))
D (f) स्थिर है / (f) is constant
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Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(n+2) में अलग-अलग (n) अलग-अलग मान देते हैं। / In (n+2), different (n)-values give different values.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(n_1+2=n_2+2\), तो \(n_1=n_2\) होगा। / If \(n_1+2=n_2+2\), then \(n_1=n_2\).
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं पर सरल स्थानांतरण फलन एक-एक होता है। / A simple shift function on natural numbers is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(n)=n-2 ) है, तो (f) एक-एक क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=n-2 ), why is (f) not one-one?
#integer function
#square function
#counterexample
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (f(2)=f(-2)) / Because (f(2)=f(-2))
B क्योंकि (f(2)\neq f(-2)) / Because (f(2)\neq f(-2))
C क्योंकि (f(0)) परिभाषित नहीं है / Because (f(0)) is not defined
D क्योंकि यह स्थिर है / Because it is constant
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(2)=f(-2)) / Because (f(2)=f(-2))
Step 1
Concept
पूर्णांकों में (2) और (-2) दोनों आते हैं। / Integers include both (2) and (-2).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^2=4\) और ((-2)2 =4), जबकि \(2\neq-2\)। / \(2^2=4\) and ((-2)2 =4), while \(2\neq-2\).
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले नियम पूर्णांकों पर भी एक-एक नहीं होते। / Even-power rules are not one-one on integers either.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(n)=2n+1) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=2n+1), what is the correct statement about (f)?
#integer function
#linear rule
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) हर (n) पर समान मान देता है / (f) gives the same value for every (n)
D (f) केवल सम मान देता है / (f) gives only even values
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Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(2n+1) एक रैखिक नियम है। / (2n+1) is a linear rule.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(2n_1+1=2n_2+1\), तो \(n_1=n_2\) मिलता है। / If \(2n_1+1=2n_2+1\), then \(n_1=n_2\).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर भी शून्येतर गुणांक वाला रैखिक फलन एक-एक होता है। / A linear function with non-zero coefficient is one-one on integers too.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=|x+1|+|x-1|) है, तो (f) एक-एक है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|x+1|+|x-1|), is (f) one-one?
#absolute value
#sum function
#counterexample
#one-one function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A नहीं / No
B हाँ / Yes
C केवल (x=0) पर / Only at (x=0)
D फलन परिभाषित नहीं / Function not defined
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Correct Answer
A. नहीं / No
Step 1
Concept
\(-1\le x\le1\) पर यह योग स्थिर हो जाता है। / On \(-1\le x\le1\), this sum becomes constant.
Step 2
Why this answer is correct
उदाहरण के लिए (f(0)=2) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=2), जबकि \(0\neq \frac{1}{2}\)। / For example (f(0)=2) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=2), while \(0\neq \frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष मानों के योग में स्थिर भाग खोजें। / In sums of absolute values look for constant intervals.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-3 +3x-2 ) है, तो (f) के एक-एक न होने का सही प्रमाण कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 +3x-2 ), which is the correct proof that (f) is not one-one?
#polynomial
#counterexample
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f(0)=f(-3))
B (f(1)=f(2))
C (f(-1)=f(1))
D (f(2)=f(3))
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Correct Answer
A. (f(0)=f(-3))
Step 1
Concept
दो अलग आगतों का समान मान ढूंढना पर्याप्त है। / It is enough to find two different inputs with the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f(-3)=-27+27=0), जबकि \(0\neq-3\)। / (f(0)=0) and (f(-3)=-27+27=0), while \(0\neq-3\).
Step 3
Exam Tip
बहुपद में गुणनखंड या खास मानों से जल्दी जांच करें। / For polynomials use factors or special values to test quickly.
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यदि \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x-2 -4x+5) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x-2 -4x+5), what is the correct statement about (f)?
#quadratic function
#vertex
#restricted domain
#one-one function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f(1)=f(3)) इसलिए प्रांत में दोहराव है / (f(1)=f(3)) so repetition is in the domain
D (f) स्थिर है / (f) is constant
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Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(x-2 -4x+5=(x-2)2 +1) है। / (x-2 -4x+5=(x-2)2 +1).
Step 2
Why this answer is correct
प्रांत \(x\ge2\) शिखर के दाईं ओर है, जहां फलन बढ़ता है। / The domain \(x\ge2\) is to the right of the vertex where the function increases.
Step 3
Exam Tip
शिखर से एक ओर सीमित द्विघात फलन एक-एक होता है। / A quadratic restricted to one side of the vertex is one-one.
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एक-एक फलन की पहचान के लिए रेखाचित्र से जुड़ा सही नियम कौन सा है?
Which graph-related rule correctly identifies a one-one function?
#horizontal line test
#graph
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हर क्षैतिज रेखा रेखाचित्र को अधिकतम एक बिंदु पर काटे / Every horizontal line cuts the graph at at most one point
B हर ऊर्ध्वाधर रेखा रेखाचित्र को दो बिंदुओं पर काटे / Every vertical line cuts the graph at two points
C हर क्षैतिज रेखा रेखाचित्र को कम से कम दो बिंदुओं पर काटे / Every horizontal line cuts the graph at at least two points
D रेखाचित्र का परवलय होना जरूरी है / The graph must be a parabola
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हर क्षैतिज रेखा रेखाचित्र को अधिकतम एक बिंदु पर काटे / Every horizontal line cuts the graph at at most one point
Step 1
Concept
एक-एकता में एक ही (y)-मान दो अलग (x)-मानों पर नहीं आना चाहिए। / Injectivity means the same (y)-value must not occur at two different (x)-values.
Step 2
Why this answer is correct
क्षैतिज रेखा समान (y)-मान को दिखाती है। / A horizontal line represents a fixed (y)-value.
Step 3
Exam Tip
इसलिए क्षैतिज रेखा परीक्षण एक-एकता जांचने का तेज तरीका है। / Hence the horizontal line test is a quick way to check one-one nature.
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यदि \(f:A\to B\) एक-एक है और \(A=\{p,q,r\}\), तो निम्न में से कौन सी छवि-सूची संभव नहीं है?
If \(f:A\to B\) is one-one and \(A=\{p,q,r\}\), which of the following image lists is not possible?
#finite mapping
#image list
#one-one function
#exam practice
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f(p)=2,\ f(q)=3,\ f(r)=2)
B (f(p)=2,\ f(q)=3,\ f(r)=4)
C (f(p)=5,\ f(q)=6,\ f(r)=7)
D (f(p)=1,\ f(q)=8,\ f(r)=9)
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Correct Answer
A. (f(p)=2,\ f(q)=3,\ f(r)=2)
Step 1
Concept
एक-एक फलन में तीन अलग आगतों के तीन अलग प्रतिबिंब होने चाहिए। / A one-one function needs three distinct images for three distinct inputs.
Step 2
Why this answer is correct
पहले विकल्प में (p) और (r) दोनों का प्रतिबिंब (2) है। / In the first option both (p) and (r) have image (2).
Step 3
Exam Tip
विकल्पों में दोहराया हुआ प्रतिबिंब खोजना सबसे तेज तरीका है। / In such options the fastest method is to look for repeated images.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\frac{2x+3}{5}) है, तो (f) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{2x+3}{5}), what is the correct conclusion about (f)?
#linear rational form
#one-one function
#class 12
#pyq pattern
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) केवल (x=5) पर परिभाषित है / (f) is defined only at (x=5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
यह रैखिक रूप का फलन है। / This function is in linear form.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{2x_1+3}{5}=\frac{2x_2+3}{5}\) से \(2x_1+3=2x_2+3\), इसलिए \(x_1=x_2\)। / From \(\frac{2x_1+3}{5}=\frac{2x_2+3}{5}\), we get \(2x_1+3=2x_2+3\), hence \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
अंश में (x) का गुणांक शून्य न हो तो ऐसा फलन एक-एक होता है। / Such a function is one-one when the coefficient of (x) in the numerator is non-zero.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-3 +kx) है, तो (f) के एक-एक होने के लिए (k) की कौन सी शर्त पर्याप्त है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 +kx), which condition on (k) is sufficient for (f) to be one-one?
#parameter
#polynomial function
#one-one function
#class 12
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(k\ge0\)
B (k<0)
C (k=-3)
D (k) कोई भी वास्तविक संख्या हो / (k) may be any real number
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Correct Answer
A. \(k\ge0\)
Step 1
Concept
एक-एकता के लिए यह देखना उपयोगी है कि फलन लगातार एक ही दिशा में बढ़ रहा है या नहीं। / For injectivity it is useful to check whether the function keeps moving in one direction.
Step 2
Why this answer is correct
जब \(k\ge0\), तब \(x^3\) और (kx) दोनों बढ़ने वाले प्रभाव देते हैं, इसलिए अलग-अलग (x) के लिए अलग-अलग मान मिलते हैं। / When \(k\ge0\), both \(x^3\) and (kx) contribute an increasing effect, so different (x)-values give different outputs.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में पैरामीटर का मान फलन के बढ़ने या घटने को कैसे बदलता है, यह जरूर जांचें। / In parameter-based questions always check how the parameter changes increasing or decreasing behavior.
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