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प्रत्येक रैखिक असमिका एक अर्ध-समतल देती है और अर्ध-समतल उत्तल होता है। ऐसे अर्ध-समतलों का प्रतिच्छेद भी उत्तल रहता है। परिबद्ध होना आवश्यक नहीं है। परीक्षा में सीमा-रेखाओं के समान ओर के बिंदु जाँचें। / Each linear inequality represents a half-plane, and every half-plane is convex. Their intersection therefore remains convex. It need not be bounded or contain the origin. Exam tip: use a test point to identify the valid side of each boundary.
दोनों पक्षों से \(x\) घटाने पर \(0<1\) प्राप्त होता है, जो हमेशा सत्य है। इसलिए \(x\) के प्रत्येक वास्तविक मान के लिए \(x<x+1\) सत्य है। विकल्प B और C केवल धनात्मक या ऋणात्मक मानों तक सीमित हैं, जबकि यहाँ कोई ऐसी शर्त नहीं है। परीक्षा-युक्ति: यदि चर वाले समान पद दोनों पक्षों से कट जाएँ और एक सदैव सत्य कथन बचे, तो हल-समुच्चय सभी वास्तविक संख्याएँ होता है। / Subtracting \(x\) from both sides gives \(0<1\), which is always true. Therefore, \(x<x+1\) holds for every real value of \(x\). Options B and C impose unnecessary restrictions to positive or negative values, while option D is false because real solutions do exist. Exam tip: when identical variable terms cancel and leave an always-true statement, the solution set is all real numbers.
(-2) से गुणा करने पर क्रम उलटता है: \(x\le 1\) से \(-2x\ge -2\) और \(x>-4\) से \(-2x<8\)। इसलिए अंतराल \([-2,8]\) है। / Multiplying by (-2) reverses order: \(x\le 1\) gives \(-2x\ge -2\), and (x>-4) gives (-2x<8). Thus the interval is ([-2,8)).
\(4-2x\) में \(x\) का गुणांक ऋणात्मक है, इसलिए \(x\) बढ़ने पर इसका मान घटता है। \(x=-3\) लेने पर \(4-2(-3)=10\) मिलता है और \(-3\) शामिल है, इसलिए \(10\) शामिल होगा। जब \(x\), \(2\) के बाएँ से निकट जाता है, तब \(4-2x\), \(0\) के निकट जाता है; लेकिन \(x=2\) शामिल नहीं है, इसलिए \(0\) शामिल नहीं होगा। अतः मानों का अंतराल \((0,10]\) है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से असमता को गुणा या भाग देने पर असमता का चिह्न उलटता है और सिरों का समावेश अलग से जाँचें। / Since the coefficient of \(x\) in \(4-2x\) is negative, the expression decreases as \(x\) increases. At \(x=-3\), \(4-2(-3)=10\), and this value is included because \(-3\) is included. As \(x\) approaches \(2\) from the left, \(4-2x\) approaches \(0\); however, \(x=2\) is excluded, so \(0\) is not attained. Hence the interval is \((0,10]\). Exam tip: when multiplying or dividing an inequality by a negative number, reverse the inequality sign and then check endpoint inclusion separately.
A. \(x\le -5\) या \(x\ge 3\)/\(x\le -5\) or \(x\ge 3\)
Explanation
Simple Explanation
किसी निरपेक्ष मान की असमानता \(|A|\ge k\), जहाँ \(k>0\), के लिए \(A\le -k\) या \(A\ge k\) होता है। अतः \(|x+1|\ge 4\) से \(x+1\le -4\) या \(x+1\ge 4\), इसलिए \(x\le -5\) या \(x\ge 3\)। विकल्प B और D बीच के मान देते हैं, जबकि यहाँ हल संख्या रेखा के बाहर के दो भागों में है; विकल्प C में बराबरी के सिरों को गलत ढंग से हटा दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: \(\ge\) होने पर सीमा-बिंदु \(-5\) और \(3\) दोनों शामिल होते हैं। / For an absolute-value inequality \(|A|\ge k\), where \(k>0\), we use \(A\le -k\) or \(A\ge k\). Thus, \(|x+1|\ge 4\) gives \(x+1\le -4\) or \(x+1\ge 4\), so \(x\le -5\) or \(x\ge 3\). Options B and D describe values between the endpoints, whereas the solution lies outside them; option C incorrectly excludes the equality endpoints. Exam tip: with \(\ge\), both boundary values, \(-5\) and \(3\), are included.
हर रैखिक असमानता का हल एक अंतराल या अर्ध-रेखा होता है। किसी तंत्र में इनका प्रतिच्छेद भी एक सतत अंतराल, अर्ध-रेखा, बिंदु या रिक्त समुच्चय होता है; दो अलग भागों वाला A नहीं। परीक्षा-टिप: तंत्र में हलों का प्रतिच्छेद लेते हैं, संघ नहीं। / The solution of each linear inequality is an interval or a ray. Their intersection in a system remains one continuous interval, ray, point, or empty set; hence the disconnected set in A is impossible. Exam tip: for a system, take intersection, not union.
हर रैखिक असमिका एक अर्ध-समतल दर्शाती है और प्रत्येक अर्ध-समतल उत्तल होता है। अर्ध-समतलों का प्रतिच्छेद भी उत्तल रहता है, इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा टिप: उत्तल होने का अर्थ सीमाबद्ध होना नहीं है। / Each linear inequality represents a half-plane, and every half-plane is convex. The intersection of half-planes remains convex, so option A is correct. Exam tip: a convex solution region need not be bounded.
‘अधिकतम 9’ का अर्थ \(2x-1\le 9\) होता है। दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर \(2x\le 10\), और 2 से भाग देने पर \(x\le 5\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(x=5\) भी मान्य है; ‘अधिकतम’ में बराबरी शामिल होती है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से असमिका को भाग देने पर असमिका का चिह्न नहीं बदलता। / ‘At most 9’ means \(2x-1\le 9\). Adding 1 to both sides gives \(2x\le 10\), and dividing by 2 gives \(x\le 5\). Therefore, option A is correct. Option C is incorrect because \(x=5\) is also allowed; ‘at most’ includes equality. Exam tip: Dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
असमानता \\(2x+3<11\\) से \\(2x<8\\), अर्थात् \\(x<4\\) प्राप्त होता है। इसलिए \\(x=0,2,3\\) इसे संतुष्ट करते हैं, जबकि \\(x=4\\) रखने पर \\(11<11\\) मिलता है, जो असत्य है। परीक्षा-युक्ति: '<' वाली असमानता में सीमा मान शामिल नहीं होता। / From \\(2x+3<11\\), we get \\(2x<8\\), hence \\(x<4\\). Therefore, \\(x=0,2,3\\) satisfy the inequality, but substituting \\(x=4\\) gives \\(11<11\\), which is false. Exam tip: For a strict '<' inequality, the boundary value is not included.
असमानता \(-x+6\ge 2\) में 6 घटाने पर \(-x\ge -4\) मिलता है। दोनों पक्षों को \(-1\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x\le 4\)। दिए गए विकल्पों में केवल \(x=4\) इस शर्त को संतुष्ट करता है; \(x=5\) निकटतम गलत विकल्प है, क्योंकि वह 4 से बड़ा है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य उलटें। / Subtracting 6 from both sides of \(-x+6\ge 2\) gives \(-x\ge -4\). Multiplying both sides by \(-1\) reverses the inequality, so \(x\le 4\). Among the given options, only \(x=4\) satisfies this condition; the closest distractor, \(x=5\), is incorrect because it is greater than 4. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
सरल करने पर \(6x-13\ge 4x+1\), इसलिए \(2x\ge 14\) और \(x\ge 7\) मिलता है। कोष्ठक खोलते समय हर पद पर गुणा करें। / Simplifying gives \(6x-13\ge 4x+1\), so \(2x\ge 14\) and \(x\ge 7\). While expanding brackets, multiply every term.
रैखिक रूप \(\frac{3-x}{2}\) घटता है, इसलिए सिरों का क्रम उलटता है। (x=5) पर (y=-1) शामिल है और (x=-2) शामिल नहीं है, इसलिए \(\frac{5}{2}\) शामिल नहीं होगा। / The linear expression \(\frac{3-x}{2}\) is decreasing, so the endpoint order reverses. At (x=5), (y=-1) is included, and since (x=-2) is excluded, \(\frac{5}{2}\) is excluded.
वाक्य को असमिका \(2x-9>15\) के रूप में लिखा जाता है। दोनों पक्षों में 9 जोड़ने पर \(2x>24\), और 2 से भाग देने पर \(x>12\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प C में 9 को गलत ढंग से 15 में जोड़कर केवल \(x>3\) जैसा निष्कर्ष निकलता है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमिका का चिन्ह नहीं बदलता। / The statement translates to the inequality \(2x-9>15\). Adding 9 to both sides gives \(2x>24\), and dividing by 2 gives \(x>12\). Therefore, option A is correct. Option C results from mishandling the coefficient 2 and does not satisfy the original inequality in general. Exam tip: Dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
असमानता \(\frac{x}{3}+2\le 5\) से \(\frac{x}{3}\le 3\), अतः \(x\le 9\) प्राप्त होता है। इसलिए \(x=10\) इस सीमा को संतुष्ट नहीं करता। निकटतम विकल्प \(x=9\) है, लेकिन वह सीमा का बराबर वाला मान है और असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा-युक्ति: यदि किसी धनात्मक संख्या से असमानता के दोनों पक्षों को गुणा या भाग दें, तो असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / From \(\frac{x}{3}+2\le 5\), we get \(\frac{x}{3}\le 3\), and hence \(x\le 9\). Therefore, \(x=10\) does not satisfy the inequality. The closest distractor is \(x=9\), but it is the boundary value and satisfies the inclusive inequality. Exam tip: multiplying or dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
दोनों पक्षों को −4 से गुणा करने पर, ऋणात्मक संख्या से गुणा होने के कारण असमानता का चिह्न उलट जाता है: \(2-x>-12\)। अब दोनों पक्षों से 2 घटाने पर \(-x>-14\), और \(-1\) से गुणा करने पर फिर चिह्न उलटकर \(x<14\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य उलटें। / Multiplying both sides by \(-4\) reverses the inequality sign because \(-4\) is negative: \(2-x>-12\). Subtracting 2 gives \(-x>-14\), and multiplying by \(-1\) reverses the sign again, yielding \(x<14\). Therefore, option A is correct; the closest distractor \(x>14\) ignores the sign reversal. Exam tip: reverse an inequality sign whenever you multiply or divide by a negative number.
तीनों भागों से 5 घटाने पर \(-3<3x<12\) मिलता है। फिर 3 से भाग देने पर \(-1<x<4\) प्राप्त होता है; क्योंकि 3 धनात्मक है, असमानता के चिह्नों की दिशा नहीं बदलती। विकल्प B गलत है, क्योंकि मूल असमानता में दोनों सीमाएँ सख्त हैं, इसलिए बराबरी शामिल नहीं होगी। परीक्षा-टिप: सख्त चिह्न \(<,>\) होने पर सीमा-बिंदु हल में शामिल नहीं किए जाते। / Subtracting 5 from all three parts gives \(-3<3x<12\). Dividing by the positive number 3 yields \(-1<x<4\), without reversing the inequality signs. Option B is incorrect because the original inequality is strict at both ends, so equality is not included. Exam tip: with strict signs \(<\) or \(>\), the boundary values are excluded.
असमानता \(-3x+5>14\) में दोनों पक्षों से 5 घटाने पर \(-3x>9\) मिलता है। अब \(-3\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x<-3\)। विकल्प B में चिह्न न उलटने की सामान्य गलती है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर चिह्न अवश्य बदलें। / From \(-3x+5>14\), subtracting 5 from both sides gives \(-3x>9\). Dividing by \(-3\) reverses the inequality sign, so \(x<-3\). Option B results from the common error of not reversing the sign. Exam tip: reverse an inequality sign whenever you multiply or divide both sides by a negative number.
\(3x-6\le2x+10) से (x\le16\)। परीक्षा में पहले कोष्ठक खोलें और फिर समान पदों को मिलाएं। / From \(3x-6\le2x+10\), we get \(x\le16\). In exams first expand brackets and then combine like terms.
\(-3x-6\ge2x-1\) से \(-5x\ge5\), इसलिए \(x\le-1\)। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक से भाग देते समय चिह्न उलटें। / From \(-3x-6\ge2x-1), we get \(-5x\ge5\), so \(x\le-1\). In exams reverse the sign while dividing by a negative coefficient.
सरलीकरण से \(6x-8-5x\ge7\), यानी \(x-8\ge7\) और \(x\ge15\)। परीक्षा में समान पदों को सावधानी से मिलाएं। / Simplifying gives \(6x-8-5x\ge7\), that is \(x-8\ge7\) and \(x\ge15\). In exams combine like terms carefully.
हर को (12) से हटाकर पदों को सावधानी से मिलाने पर \(3x\ge27\) मिलता है। परीक्षा में हर हटाने के बाद चिन्ह न बदलें जब गुणक धनात्मक हो। / Multiplying by (12) and combining terms gives \(3x\ge27\). In exams, do not reverse the sign when multiplying by a positive number.
हर पद को (LCM=6) से गुणा करने पर (,x-13>1,) मिलता है, इसलिए (x>14)। परीक्षा में भिन्न हटाने के बाद चिन्ह ध्यान से रखें। / Multiplying every term by (LCM\(=6) gives (x-13>1), so (x>14). In exams, remove fractions first and track the inequality sign carefully.\)
सरलीकरण पर दोनों ओर (x) के पद कट जाते हैं और (13>-4) सत्य मिलता है। ऐसे प्रश्नों में अंतिम सत्य कथन से सभी वास्तविक हल मिलते हैं। / After simplification, the (x)-terms cancel and (13>-4) is true. A true final statement means all real numbers are solutions.
दोनों भाग अलग हल करने पर \(x\ge \frac{3}{5}\) और \(x>-\frac{2}{3}\) मिलते हैं, इसलिए साझा हल \(x\ge \frac{3}{5}\) है। संयुक्त असमानता में हमेशा प्रतिच्छेद लें। / Solving both parts separately gives \(x\ge \frac{3}{5}\) and \(x>-\frac{2}{3}\), so the common solution is \(x\ge \frac{3}{5}\). For compound inequalities, always take the intersection.
धनात्मक (6) से गुणा करने पर (10-4x<3x-7) मिलता है। इससे (17<7x), अतः \(x>\frac{17}{7}\) होना चाहिए; विकल्पों में सही रूप नहीं है। / Multiplying by positive (6) gives (10-4x<3x-7). Hence (17<7x), so \(x>\frac{17}{7}\); none of the listed forms matches this exactly.
सरल करने पर (7-6x<10-5x) यानी (-x<3) से (x>-3) नहीं, बल्कि दोबारा जाँच पर (7<10+x) इसलिए (x>-3) मिलता है। विकल्पों में सही अंतराल नहीं है, इसलिए यह प्रश्न सावधानी से पढ़ना चाहिए। / Simplifying gives (7-6x<10-5x), so (7<10+x) and hence (x>-3). Since the exact interval is not listed, this item tests careful option checking.
सरलीकरण से \(22-6x\le 8-5x\) और फिर \(14\le x\) मिलता है। सही हल \(x\ge14\) है; विकल्पों में यही रूप देखें। / Simplification gives \(22-6x\le 8-5x\), then \(14\le x\). The solution is \(x\ge14\); match the equivalent option carefully.
(LCM=10) से गुणा करने पर \(2x-4\le 1-2x\) मिलता है, इसलिए \(4x\le 5\) और \(x\le \frac{5}{4}\)। दिए गए विकल्पों में यह नहीं है, इसलिए प्रश्न में निकट विकल्प नहीं चुनना चाहिए। / Multiplying by (LCM\(=10) gives (2x-4\le 1-2x), so (4x\le 5) and (x\le \frac{5}{4}). Do not choose an approximate option when the exact answer is absent.\)
यह \(22-6x\le 8-5x\) बनती है, जिससे \(14\le x\) आता है। अंतिम उत्तर को \(x\ge14\) के रूप में लिखना बेहतर है। / It becomes \(22-6x\le 8-5x\), giving \(14\le x\). It is clearer to write the final answer as \(x\ge14\).
बाईं ओर (x-14) है, इसलिए \(x-14\ge 5-\frac{x}{2}\) से \(\frac{3x}{2}\ge 19\) और \(x\ge \frac{38}{3}\) मिलता है। कोष्ठक खोलते समय संकेतों की गलती सबसे आम होती है। / The left side is (x-14), so \(x-14\ge 5-\frac{x}{2}\) gives \(\frac{3x}{2}\ge 19\) and \(x\ge \frac{38}{3}\). Sign errors while opening brackets are very common in exams.
हर हटाने पर (-2(2x-1)+(x+4)\ge15) मिलता है। इससे \(-3x\ge9\), इसलिए चिन्ह बदलकर \(x\le-3\) होगा। / Clearing denominators gives (-2(2x-1)+(x+4)\ge15). Thus \(-3x\ge9\), so reversing the sign gives \(x\le-3\).
सरल करने पर (1-2x>4x-11) यानी (12>6x) से (x<2) मिलता है। अंतराल लिखते समय खुले और बंद सिरों पर ध्यान दें। / Simplifying gives (1-2x>4x-11), so (12>6x) and (x<2). While writing intervals, pay attention to open and closed endpoints.
धनात्मक (12) से गुणा करने पर (4x-8+6x+3<10x-14) मिलता है। इससे (-5<-14) असत्य है, इसलिए कोई हल नहीं। / Multiplying by positive (12) gives (4x-8+6x+3<10x-14). This reduces to (-5<-14), which is false, so there is no solution.
लघुत्तम समापवर्त्य (4) से गुणा करने पर \(21-3x\le 8x+14\) मिलता है, इसलिए \(x\ge \frac{7}{11}\)। भिन्न हटाने के बाद पदों को सही पक्ष में ले जाएँ। / Multiplying by (LCM\(=4) gives (21-3x\le 8x+14), so (x\ge \frac{7}{11}). After removing fractions, move terms to the correct side carefully.\)
धनात्मक (12) से गुणा करने पर चर पद कट जाते हैं और (-5<-14) मिलता है। असत्य कथन आने पर हल समुच्चय रिक्त होता है। / After multiplying by positive (12), variable terms cancel and (-5<-14) remains. A false final statement gives an empty solution set.
घटाने पर \(-8<2x\le10\), इसलिए \(-4<x\le5\) मिलता है। पूर्णांक हल (-3) से (5) तक हैं, कुल (9)। / Subtracting gives \(-8<2x\le10\), so \(-4<x\le5\). Integer solutions are from (-3) to (5), totaling (9).
असमानता से \(-6\le3x<12\), अतः \(-2\le x<4\) मिलता है। पूर्णांकों में सही सूची ({-2,-1,0,1,2,3}) होगी। / The inequality gives \(-6\le3x<12\), hence \(-2\le x<4\). For integers, the correct list is ({-2,-1,0,1,2,3}).
((a-2)x>a-4) है और (x>3) पाने के लिए \(\frac{a-4}{a-2}=3\) तथा (a-2>0) चाहिए। इससे (a=1) आता है, पर दिशा शर्त टूटती है, इसलिए कोई विकल्प सही नहीं। / We get ((a-2)x>a-4); for (x>3), \(\frac{a-4}{a-2}=3\) and (a-2>0) are needed. This gives (a=1), which violates the direction condition, so no option is correct.
असमानता को व्यवस्थित करने पर \((a-2)x>a-4\) मिलता है। \(a=1\) रखने पर \(-x>-3\) प्राप्त होता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न पलटता है, इसलिए \(x<3\) मिलता है। अतः सही विकल्प \(a=1\) है। उदाहरण के लिए, \(a=3\) पर \(x>-1\) मिलता है, जो अपेक्षित हल नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक गुणांक से भाग या गुणा करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें। / Rearranging the inequality gives \((a-2)x>a-4\). For \(a=1\), this becomes \(-x>-3\). Dividing by a negative number reverses the inequality sign, so \(x<3\). Hence, \(a=1\) is correct. For instance, \(a=3\) gives \(x>-1\), not the required solution. Exam tip: Always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative quantity.
चूँकि \(p>0\) है, इसलिए \(p\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(-(4x+1)<2(3-x)\)। अतः \(-4x-1<6-2x\), जिससे \(-7<2x\) और इसलिए \(x>-\frac{7}{2}\)। विकल्प B में असमानता की दिशा उलटी है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या या व्यंजक से गुणा/भाग करने पर असमानता का चिह्न पलटता है। / Since \(p>0\), dividing by \(p\) does not reverse the inequality: \(-(4x+1)<2(3-x)\). Thus, \(-4x-1<6-2x\), so \(-7<2x\), giving \(x>-\frac{7}{2}\). Option B has the inequality direction reversed. Exam tip: reverse an inequality only when multiplying or dividing by a negative quantity.
धनात्मक (10) से गुणा करने पर (2(2x+3)-5(x-4)\le7-x) मिलता है। सरलीकरण से \(26-x\le7-x\), जो असत्य है, अतः कोई हल नहीं। / Multiplying by positive (10) gives (2(2x+3)-5(x-4)\le7-x). Simplification gives \(26-x\le7-x\), which is false, so no solution exists.
हर हटाने पर \(26-x\le7-x\) मिलता है, जो \(26\le7\) के समान असत्य है। इसलिए हल समुच्चय रिक्त है। / Clearing denominators gives \(26-x\le7-x\), equivalent to false statement \(26\le7\). Therefore the solution set is empty.
पहली से \(x\le4\) और दूसरी से (x>1) मिलता है। इनके संघ से सभी वास्तविक संख्याएँ शामिल हो जाती हैं। / The first gives \(x\le4\), and the second gives (x>1). Their union covers all real numbers.
पूरी संयुक्त असमानता को धनात्मक संख्या 4 से गुणा करने पर असमानता के चिह्न नहीं बदलते: \(-12\le 2x-5<4\)। दोनों भागों में 5 जोड़ने पर \(-7\le 2x<9\) मिलता है। अब 2 से भाग देने पर \(-\frac{7}{2}\le x<\frac{9}{2}\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में दोनों सिरों पर \(\le\) और \(<\) के चिह्न उलट दिए गए हैं। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता के चिह्न पलटते हैं। / Multiply every part of the compound inequality by the positive number 4, so the inequality signs remain unchanged: \(-12\le 2x-5<4\). Adding 5 throughout gives \(-7\le 2x<9\). Dividing by 2 gives \(-\frac{7}{2}\le x<\frac{9}{2}\). Therefore, option A is correct. Option B incorrectly reverses the inclusive and exclusive endpoint signs. Exam tip: Inequality signs reverse only when multiplying or dividing by a negative number.
धनात्मक (2) से गुणा कर \(80\le3s+10\le170\) मिलता है। इससे \(\frac{70}{3}\le s\le\frac{160}{3}\)। / Multiplying by positive (2) gives \(80\le3s+10\le170\). Thus \(\frac{70}{3}\le s\le\frac{160}{3}\).
दोनों पक्षों को 15 से गुणा करें। क्योंकि 15 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलेगा: \(5x+10\geq 6x-3\)। अब \(10+3\geq 6x-5x\), अतः \(13\geq x\), अर्थात \(x\leq 13\)। विकल्प \(x\geq 13\) चिह्न की दिशा उलट देता है। परीक्षा टिप: असमानता को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही उसका चिह्न पलटता है। / Multiply both sides by 15. Since 15 is positive, the inequality sign does not change: \(5x+10\geq 6x-3\). Rearranging gives \(10+3\geq 6x-5x\), so \(13\geq x\), i.e. \(x\leq 13\). The option \(x\geq 13\) incorrectly reverses the direction of the inequality. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
धनात्मक (8) से गुणा करने पर (64-2(3x-2)>16+x+6) मिलता है। इससे (68-6x>22+x), यानी \(x<\frac{46}{7}\)। / Multiplying by positive (8) gives (64-2(3x-2)>16+x+6). This gives (68-6x>22+x), so \(x<\frac{46}{7}\).
असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(8\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(68-6x>22+x\)। अतः \(46>7x\), इसलिए \(x<\frac{46}{7}\)। विकल्प A में असमानता का चिह्न उलटा है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर चिह्न वही रहता है; केवल ऋणात्मक संख्या के लिए चिह्न पलटता है। / Multiplying both sides by the positive number \(8\) does not change the inequality sign: \(68-6x>22+x\). Thus, \(46>7x\), so \(x<\frac{46}{7}\). Option A has the inequality sign reversed. Exam tip: the sign reverses only when multiplying or dividing an inequality by a negative number.
कोष्ठक खोलने पर \(10-5x\ge 12-3x+2\), अर्थात \(10-5x\ge14-3x\) मिलता है। दोनों पक्षों से 10 घटाने और \(3x\) जोड़ने पर \(-2x\ge4\) प्राप्त होता है। \(-2\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न पलटता है, इसलिए \(x\le-2\)। \(x\ge-2\) वाला विकल्प चिह्न न पलटने की सामान्य गलती पर आधारित है। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें। / Opening the brackets gives \(10-5x\ge 12-3x+2\), or \(10-5x\ge14-3x\). Subtracting 10 from both sides and adding \(3x\) gives \(-2x\ge4\). On dividing by \(-2\), the inequality sign reverses, so \(x\le-2\). The option \(x\ge-2\) results from the common mistake of not reversing the sign. Exam tip: always reverse an inequality when multiplying or dividing by a negative number.
दशमलव हटाने के लिए असमता के दोनों पक्षों को 10 से गुणा करें: \(2x+15>7-3x\)। अब \(3x\) को बाएँ और 15 को दाएँ ले जाने पर \(5x>-8\) मिलता है। 5 धनात्मक है, इसलिए 5 से भाग देने पर असमता का चिह्न नहीं बदलता: \(x>-\frac{8}{5}=-1.6\)। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में असमता का चिह्न उलट दिया गया है। परीक्षा टिप: किसी धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमता का चिह्न अपरिवर्तित रहता है। / Multiply both sides of the inequality by 10 to remove the decimals: \(2x+15>7-3x\). Moving \(3x\) to the left and 15 to the right gives \(5x>-8\). Since 5 is positive, dividing by 5 does not reverse the inequality sign: \(x>-\frac{8}{5}=-1.6\). Therefore, option A is correct. Option B incorrectly reverses the inequality sign. Exam tip: An inequality sign stays unchanged when multiplying or dividing by a positive number.
A. \(x\ge\frac{3}{5}\) और \(x<\frac{21}{2}\)/\(x\ge\frac{3}{5}\) and \(x<\frac{21}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
बाईं असमानता से \(18-3x\le2x+9\), अतः \(x\ge\frac{9}{5}\) मिलता है; दाईं से \(x<\frac{21}{2}\)। सही प्रतिच्छेद \(x\ge\frac{9}{5}\) और \(x<\frac{21}{2}\) है। / The left inequality gives \(18-3x\le2x+9\), hence \(x\ge\frac{9}{5}\); the right gives \(x<\frac{21}{2}\). The correct intersection is \(x\ge\frac{9}{5}\) and \(x<\frac{21}{2}\).
दिया गया असमानता रूपांतरित करने पर \((k-2)x\le 9\) प्राप्त होता है। हल \(x\ge -3\) होने के लिए \(x\) का गुणांक ऋणात्मक होना चाहिए। सीमा मान \(x=-3\) रखने पर \((k-2)(-3)=9\), अतः \(k-2=-3\) और \(k=-1\)। \(k=1\) लेने पर हल \(x\ge -9\) मिलता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: असमानता में ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न पलट जाता है। / Rearranging the inequality gives \((k-2)x\le 9\). For the solution to be \(x\ge -3\), the coefficient of \(x\) must be negative. Using the boundary value \(x=-3\), we get \((k-2)(-3)=9\), so \(k-2=-3\) and hence \(k=-1\). If \(k=1\), the solution is \(x\ge -9\), so it is not correct. Exam tip: when dividing an inequality by a negative number, reverse the inequality sign.
असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 2 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(x-a\le 6\)। अतः \(x\le a+6\)। दिया है कि हल \(x\le 10\) है, इसलिए \(a+6=10\), जिससे \(a=4\)। विकल्प 6 लेने पर सीमा \(x\le 12\) होती, जो दी गई सीमा से भिन्न है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न अपरिवर्तित रहता है। / Multiplying both sides by the positive number 2 does not reverse the inequality sign: \(x-a\le 6\). Hence, \(x\le a+6\). Since the given solution is \(x\le 10\), we get \(a+6=10\), so \(a=4\). If 6 were chosen, the boundary would be \(x\le 12\), not the given one. Exam tip: Multiplying or dividing an inequality by a positive number leaves its sign unchanged.
धनात्मक (2) से गुणा कर \(-8<1-3x\le10\) मिलता है। \(-9<-3x\le9\) से चिन्ह बदलकर \(-3\le x<3\) मिलता है। / Multiplying by positive (2) gives \(-8<1-3x\le10\). From \(-9<-3x\le9\), reversing signs gives \(-3\le x<3\).
पहले भाग से \(x>-\frac{2}{3}\) और दूसरे से \(x\le10\) मिलता है। पूर्णांक हल (0) से (10) तक हैं, कुल (11)। / The first part gives \(x>-\frac{2}{3}\), and the second gives \(x\le10\). Integer solutions are (0) through (10), totaling (11).
दोनों भाग हल करने पर \(x>-\frac{2}{3}\) और \(x\le10\) मिलता है। अतः पूर्णांक \(x=0,1,\ldots,10\) हैं, कुल (11)। / Solving both parts gives \(x>-\frac{2}{3}\) and \(x\le10\). Thus integers are \(x=0,1,\ldots,10\), totaling (11).
सरलीकरण से \(-3x\ge3\) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह बदलता है, इसलिए \(x\le-1\)। / Simplification gives \(-3x\ge3\). Dividing by a negative number reverses the sign, so \(x\le-1\).
दिया है: \(9x-4(2x+1)>3x+8\)। कोष्ठक खोलने पर \(9x-8x-4>3x+8\), अर्थात \(x-4>3x+8\)। दोनों पक्षों से \(3x\) घटाने पर \(-2x-4>8\), इसलिए \(-2x>12\)। \(-2\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न पलट जाता है और \(x<-6\) मिलता है। \(x>-6\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, पर ऋणात्मक संख्या से भाग देते समय चिह्न पलटना आवश्यक है। परीक्षा टिप: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर हमेशा \(>\) और \(<\) का चिह्न बदलें। / Given \(9x-4(2x+1)>3x+8\), expanding the bracket gives \(9x-8x-4>3x+8\), or \(x-4>3x+8\). Subtracting \(3x\) from both sides gives \(-2x-4>8\), so \(-2x>12\). On dividing by \(-2\), the inequality sign reverses, giving \(x<-6\). The close distractor \(x>-6\) results from forgetting to reverse the sign when dividing by a negative number. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing both sides by a negative quantity.
असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(9\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(3(4x-1)-(x+2)\ge 9x+9\)। सरल करने पर \(11x-5\ge 9x+9\), अर्थात \(2x\ge 14\)। इसलिए \(x\ge 7\)। \(x\le 7\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, लेकिन यहाँ किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग नहीं किया गया है, इसलिए चिह्न उलटेगा नहीं। परीक्षा टिप: हर बार असमानता में गुणा/भाग करते समय संख्या का चिह्न अवश्य जाँचें। / Multiplying both sides by the positive number \(9\) does not reverse the inequality: \(3(4x-1)-(x+2)\ge 9x+9\). Simplifying gives \(11x-5\ge 9x+9\), so \(2x\ge 14\). Hence, \(x\ge 7\). The close distractor \(x\le 7\) would result from incorrectly reversing the sign; no multiplication or division by a negative number occurs here. Exam tip: always check the sign of the number when multiplying or dividing an inequality.
धनात्मक (10) से गुणा करने पर \(14-4x\le3x+1\) मिलता है। इससे \(13\le7x\), अतः \(x\ge\frac{13}{7}\)। / Multiplying by positive (10) gives \(14-4x\le3x+1\). Thus \(13\le7x\), so \(x\ge\frac{13}{7}\).
इससे \(3\le5x-2<24\), यानी \(5\le5x<26\) मिलता है। इसलिए \(1\le x<\frac{26}{5}\), अतः (x=1,2,3,4,5)। / This gives \(3\le5x-2<24\), i.e. \(5\le5x<26\). Hence \(1\le x<\frac{26}{5}\), so (x=1,2,3,4,5).
बाएँ पक्ष को फैलाने पर \(2(1-3x)=2-6x\) और दाएँ पक्ष को फैलाने पर \(5-4(2x+1)=1-8x\) मिलता है। अतः \(2-6x\le1-8x\)। दोनों पक्षों में \(8x\) जोड़ने पर \(2+2x\le1\), यानी \(2x\le-1\)। 2 से भाग देने पर \(x\le-\frac{1}{2}\) मिलता है। \(x\ge-\frac{1}{2}\) गलत है क्योंकि यहाँ किसी ऋणात्मक संख्या से भाग नहीं दिया गया है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। परीक्षा टिप: असमानता में चिह्न केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर उलटता है। / Expanding the left-hand side gives \(2(1-3x)=2-6x\), and expanding the right-hand side gives \(5-4(2x+1)=1-8x\). Thus, \(2-6x\le1-8x\). Adding \(8x\) to both sides gives \(2+2x\le1\), so \(2x\le-1\). Dividing by 2 gives \(x\le-\frac{1}{2}\). The option \(x\ge-\frac{1}{2}\) is incorrect because no division or multiplication by a negative number occurs, so the inequality sign does not reverse. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
धनात्मक (8) से गुणा करने पर (4x-2(x-3)>2x+5) मिलता है। इससे (2x+6>2x+5), जो सदैव सत्य है। / Multiplying by positive (8) gives (4x-2(x-3)>2x+5). This reduces to (2x+6>2x+5), always true.
सरलीकरण के बाद (1>0) जैसा सत्य कथन मिलता है। इसलिए हर वास्तविक (x) इस असमानता को संतुष्ट करता है। / After simplification, a true statement like (1>0) remains. Therefore every real (x) satisfies the inequality.
असमानता के सभी भागों को धनात्मक संख्या 2 से गुणा करने पर असमानता के चिह्न नहीं बदलते: \(-2<x-4\le12\)। अब सभी भागों में 4 जोड़ने पर \(2<x\le16\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प B में दोनों सिरों पर असमानता के चिह्न गलत हैं। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता के चिह्न उलटते हैं। / Multiplying every part of the inequality by the positive number 2 does not reverse the inequality signs: \(-2<x-4\le12\). Adding 4 to every part gives \(2<x\le16\). Therefore, option A is correct. In option B, the inequality signs at both endpoints are incorrect. Exam tip: reverse inequality signs only when multiplying or dividing by a negative number.
पहली असमानता (x<6) देती है और दूसरी \(x\ge-2\) देती है। दोनों का प्रतिच्छेद \(-2\le x<6\) है। / The first inequality gives (x<6), and the second gives \(x\ge-2\). Their intersection is \(-2\le x<6\).
धनात्मक (6) से गुणा करने पर (24-2(2x+1)\ge3(1-x)) मिलता है। इससे \(22-4x\ge3-3x\), इसलिए \(x\le19\)। / Multiplying by positive (6) gives (24-2(2x+1)\ge3(1-x)). Thus \(22-4x\ge3-3x\), so \(x\le19\).
असमानता
\(-10<4x+2\le18\) में सभी भागों से 2 घटाने पर \(-12<4x\le16\) मिलता है। 4 धनात्मक है, इसलिए 4 से भाग देने पर असमानता के चिह्न नहीं बदलते: \(-3<x\le4\)। इस अंतराल में सबसे बड़ा पूर्णांक \(4\) है। \(5\) लेने पर \(4x+2=22\) होगा, जो 18 से बड़ा है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न वही रहता है। / From \(-10<4x+2\le18\), subtract 2 throughout to get \(-12<4x\le16\). Since 4 is positive, dividing by 4 does not reverse either inequality sign: \(-3<x\le4\). The greatest integer in this interval is \(4\). For \(x=5\), \(4x+2=22\), which is greater than 18. Exam tip: inequality signs reverse only when multiplying or dividing by a negative number.
बाईं ओर को सरल करने पर \(3(2x-1)-2(x+5)=6x-3-2x-10=4x-13\) मिलता है। अतः \(4x-13\le x+4\), यानी \(3x\le17\)। 3 धनात्मक है, इसलिए दोनों पक्षों को 3 से भाग देने पर असमता का चिह्न नहीं बदलता और \(x\le\frac{17}{3}\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प D में असमता का चिह्न विपरीत है। परीक्षा टिप: किसी असमता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही उसका चिह्न पलटता है। / Simplifying the left-hand side gives \(3(2x-1)-2(x+5)=6x-3-2x-10=4x-13\). Thus, \(4x-13\le x+4\), so \(3x\le17\). Since 3 is positive, dividing both sides by 3 does not reverse the inequality sign, giving \(x\le\frac{17}{3}\). Therefore, option C is correct. Option D has the inequality sign reversed. Exam tip: Reverse an inequality only when multiplying or dividing by a negative number.
सरलीकरण से \(4x-13\le x+4\) मिलता है। इसलिए \(3x\le17\) और अंतिम हल \(x\le\frac{17}{3}\) है। / Simplification gives \(4x-13\le x+4\). Hence \(3x\le17\), and the final solution is \(x\le\frac{17}{3}\).
हर पद को (12) से गुणा करने पर \(5x-31\leq 0\) मिलता है। परीक्षा में हरात्मक हटाते समय चिह्न ध्यान से रखें। / Multiplying every term by (12) gives \(5x-31\leq 0\). In exams keep the inequality sign unchanged when multiplying by a positive number.
असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 10 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(6x-4-5x-20\geq -10\)। अतः \(x-24\geq -10\), इसलिए \(x\geq 14\)। विकल्प \(x>14\) में 14 शामिल नहीं है, जबकि \(x=14\) मूल असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: हर भिन्न के हर का LCM लेकर गुणा करने से ऐसी असमानताएँ जल्दी हल होती हैं। / Multiplying both sides by the positive number 10 does not change the inequality sign: \(6x-4-5x-20\geq -10\). Thus, \(x-24\geq -10\), so \(x\geq 14\). The option \(x>14\) is incorrect because it excludes 14, and \(x=14\) satisfies the original inequality. Exam tip: Multiply by the LCM of the denominators to solve fractional inequalities efficiently.
सरलीकरण से (-5x>-3) मिलता है और ऋणात्मक से भाग देने पर चिह्न बदलता है। परीक्षा में इसी स्टेप पर सबसे अधिक गलती होती है। / Simplification gives (-5x>-3) and division by a negative reverses the sign. This is the most common exam error.
(-3) से भाग देने पर दोनों असमानता-चिह्न उलटते हैं। इसलिए हल \( \frac{1}{3}\leq x<\frac{13}{3} \) है। / Dividing by (-3) reverses both inequality signs. Hence the solution is \( \frac{1}{3}\leq x<\frac{13}{3} \).
असमानता से \(ax+7<1\Rightarrow ax<-6\) मिलता है। हल \(x>3\) होने के लिए \(a\) ऋणात्मक होना चाहिए, क्योंकि ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न पलटता है। सीमा मान \(x=3\) रखने पर \(3a=-6\), अतः \(a=-2\)। जाँच: \(-2x+7<1\Rightarrow -2x<-6\Rightarrow x>3\)। \(a=2\) लेने पर \(x<-3\) मिलता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय चिह्न अवश्य पलटें। / From \(ax+7<1\), we get \(ax<-6\). For the solution to be \(x>3\), \(a\) must be negative because dividing an inequality by a negative number reverses its sign. At the boundary value \(x=3\), \(3a=-6\), so \(a=-2\). Check: \(-2x+7<1\Rightarrow -2x<-6\Rightarrow x>3\). If \(a=2\), the result is \(x<-3\), so it is not correct. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative quantity.
दिया है: \( -3\leq 2x+5<11 \)। तीनों भागों में से 5 घटाने पर \( -8\leq 2x<6 \) मिलता है। अब तीनों भागों को धनात्मक संख्या 2 से भाग देने पर असमानता के चिह्न नहीं बदलते और \( -4\leq x<3 \) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में दोनों सिरों के खुले-बंद चिह्न उलट गए हैं। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिह्न वही रहते हैं, जबकि ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिह्न पलटते हैं। / Given \( -3\leq 2x+5<11 \), subtract 5 from all three parts to get \( -8\leq 2x<6 \). Dividing all parts by the positive number 2 does not reverse the inequality signs, giving \( -4\leq x<3 \). Hence, option A is correct. In option C, the open and closed endpoints have been reversed. Exam tip: Inequality signs remain unchanged when dividing by a positive number, but reverse when dividing by a negative number.
पहली असमानता से (x<11) और दूसरी से \(x\geq 6\) मिलता है। पूर्णांक (6,7,8,9,10) हैं, इसलिए कुल (5) मान हैं। / The first inequality gives (x<11), and the second gives \(x\geq 6\). The integers are (6,7,8,9,10), so there are (5) values.
(12) से गुणा करने पर \(6x-9\geq 2x+10\) और \(x\geq \frac{19}{4}\) मिलता है। इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक (7) है। / Multiplying by (12) gives \(6x-9\geq 2x+10\) and \(x\geq \frac{19}{4}\). Therefore the smallest integer is (7).
(10) से गुणा करने पर (40-6x-4>10+5x-30) मिलता है। अतः (66-11x>0) से (x<6) नहीं बल्कि \(x<\frac{66}{11}=6\) आता है। / Multiplying by (10) gives (40-6x-4>10+5x-30). Thus (66-11x>0) gives (x<6).
कोष्ठक खोलने पर \(10-5x\leq 12-3x-8\), अर्थात \(10-5x\leq 4-3x\) मिलता है। दोनों पक्षों में \(5x\) जोड़ने पर \(10\leq 4+2x\), इसलिए \(6\leq 2x\) और \(x\geq 3\) प्राप्त होता है। \(x>3\) निकटतम विकल्प है, पर वह \(x=3\) को छोड़ देता है, जबकि मूल असमानता में \(\leq\) होने से \(x=3\) भी शामिल है। परीक्षा टिप: असमानता को किसी धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिह्न नहीं बदलता। / Expanding the brackets gives \(10-5x\leq 12-3x-8\), i.e. \(10-5x\leq 4-3x\). Adding \(5x\) to both sides gives \(10\leq 4+2x\), so \(6\leq 2x\) and hence \(x\geq 3\). The closest distractor is \(x>3\), but it excludes \(x=3\); the equality case is included because the original sign is \(\leq\). Exam tip: dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
A. यह एक अंतराल, किरण, एकल बिंदु, समस्त वास्तविक संख्याएँ अथवा रिक्त समुच्चय हो सकता है।
Explanation
Simple Explanation
एक चर वाली प्रत्येक रैखिक असमिका का हल एक किरण, समस्त वास्तविक संख्याएँ या रिक्त समुच्चय होता है। किसी तंत्र में सभी असमिकाएँ एक साथ सत्य होनी चाहिए, इसलिए उनके हलों का प्रतिच्छेद लिया जाता है। किरणों और अंतरालों का प्रतिच्छेद फिर से अंतराल, किरण, एकल बिंदु, समस्त वास्तविक संख्याएँ या रिक्त समुच्चय ही देता है। विकल्प B गलत है, क्योंकि केवल ‘और’ वाले तंत्र का हल दो अलग-अलग असंबद्ध अंतराल नहीं बना सकता। परीक्षा टिप: ‘और’ के लिए प्रतिच्छेद तथा ‘या’ के लिए संघ का विचार करें। / Each linear inequality in one variable gives a ray, all real numbers, or an empty set. In a system, all inequalities must hold simultaneously, so we take the intersection of their solution sets. An intersection of rays or intervals is again an interval, a ray, a single point, all real numbers, or the empty set. Option B is incorrect because an AND-system cannot produce two separated non-empty intervals. Exam tip: use intersection for “and” and union for “or”.
(3) से गुणा करने पर \(5-2x\geq 3x-12\) मिलता है। इससे \(17\geq 5x\) अर्थात \(x\leq \frac{17}{5}\) है। / Multiplying by (3) gives \(5-2x\geq 3x-12\). This gives \(17\geq 5x\), so \(x\leq \frac{17}{5}\).
(10) से गुणा करने पर (5x+20-2x+6<40) मिलता है। इससे (3x<14) नहीं बल्कि (3x<14) के कारण \(x<\frac{14}{3}\) होगा। / Multiplying by (10) gives (5x+20-2x+6<40). Therefore (3x<14), so \(x<\frac{14}{3}\).
कोष्ठक खोलने पर बायाँ पक्ष \(2x-2+3x+6=5x+4\) मिलता है। इसलिए \(5x+4\geq 4x+11\) से दोनों पक्षों से \(4x\) घटाने पर \(x+4\geq 11\), अर्थात \(x\geq 7\)। \(x>7\) सही नहीं है, क्योंकि \(x=7\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं और \(\geq\) में बराबरी शामिल होती है। परीक्षा टिप: असमानता में बराबरी का चिह्न होने पर सीमा मान को अवश्य जाँचें। / Expanding the brackets gives the left-hand side as \(2x-2+3x+6=5x+4\). Thus, \(5x+4\geq 4x+11\) gives \(x+4\geq 11\) after subtracting \(4x\) from both sides, so \(x\geq 7\). The option \(x>7\) is not correct because at \(x=7\), both sides are equal, and \(\geq\) includes equality. Exam tip: When an inequality includes equality, always test the boundary value.
दशमलव हटाने के लिए असमानता के दोनों पक्षों को 10 से गुणा करें: \(4x-12\leq x+21\)। अब \(x\) वाले पदों को एक ओर रखने पर \(3x\leq 33\) मिलता है, अतः \(x\leq 11\)। विकल्प \(x<11\) सही नहीं है, क्योंकि \(x=11\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं और बराबरी का चिह्न \(\leq\) में शामिल है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Multiply both sides by 10 to remove the decimals: \(4x-12\leq x+21\). Collecting the \(x\)-terms on one side gives \(3x\leq 33\), so \(x\leq 11\). The option \(x<11\) is not correct because \(x=11\) makes both sides equal, and equality is included in \(\leq\). Exam tip: multiplying or dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
हरों 3, 4 और 6 का लघुत्तम समापवर्त्य 12 है। असमता के दोनों पक्षों को 12 से गुणा करने पर \(8x+4-3x+6\geq 2x+10\) मिलता है। अतः \(5x+10\geq 2x+10\), इसलिए \(3x\geq 0\), अर्थात \(x\geq 0\)। विकल्प \(x>0\) गलत है क्योंकि \(x=0\) भी असमता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमता का चिह्न नहीं बदलता। / The LCM of the denominators 3, 4, and 6 is 12. Multiplying both sides of the inequality by 12 gives \(8x+4-3x+6\geq 2x+10\). Thus, \(5x+10\geq 2x+10\), so \(3x\geq 0\), which gives \(x\geq 0\). The option \(x>0\) is incorrect because \(x=0\) also satisfies the inequality. Exam tip: the inequality sign does not change when multiplying by a positive number.
दिया गया व्यंजक सरल करने पर \(9-4x-4<2x-7\), अर्थात \(5-4x<2x-7\) मिलता है। दोनों पक्षों में \(4x+7\) जोड़ने पर \(12<6x\) प्राप्त होता है। चूँकि 6 धनात्मक है, 6 से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(x>2\) मिलता है। \(x\geq2\) गलत है क्योंकि मूल असमानता में चिह्न \(<\) है, इसलिए \(x=2\) शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: किसी धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न अपरिवर्तित रहता है। / On simplifying, \(9-4x-4<2x-7\), so \(5-4x<2x-7\). Adding \(4x+7\) to both sides gives \(12<6x\). Since 6 is positive, dividing by 6 does not reverse the inequality sign, giving \(x>2\). The option \(x\geq2\) is incorrect because the original inequality is strict, so \(x=2\) is not included. Exam tip: An inequality sign remains unchanged when dividing by a positive number.
A. \(x\leq \frac{17}{7}\) और (x>-4)/\(x\leq \frac{17}{7}\) and (x>-4)
Explanation
Simple Explanation
पहले भाग से \(x\leq \frac{17}{7}\) और दूसरे से (x>-4) मिलता है। अतः संयुक्त हल (\(-4,\frac{17}{7}]\) है। / The first part gives \(x\leq \frac{17}{7}\) and the second gives (x>-4). Hence the combined solution is (\(-4,\frac{17}{7}]\).
असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(-2(x-6)\leq 3x+2\)। अतः \(-2x+12\leq 3x+2\), जिससे \(10\leq 5x\) और इसलिए \(x\geq 2\) मिलता है। \(x>2\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, पर \(x=2\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं, इसलिए 2 भी हल में शामिल है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न पलटता है। / Multiplying both sides by the positive number 4 does not reverse the inequality: \(-2(x-6)\leq 3x+2\). Thus, \(-2x+12\leq 3x+2\), so \(10\leq 5x\), giving \(x\geq 2\). The closest distractor is \(x>2\), but \(x=2\) makes both sides equal, so 2 must be included. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता को हल करें: \(2x-5<11\Rightarrow 2x<16\Rightarrow x<8\)। प्राकृतिक संख्याओं को \(1,2,3,\ldots\) मानने पर \(x\) के संभव मान \(1,2,3,4,5,6,7\) हैं। अतः कुल 7 मान हैं। विकल्प 8 तब मिलता यदि 0 को भी प्राकृतिक संख्या माना जाए, पर इस प्रश्न में प्रचलित स्कूल-परिभाषा \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}\) ली गई है। परीक्षा टिप: असमानता हल करने के बाद दिए गए संख्या-समुच्चय के अनुसार मानों को अलग से गिनें। / Solve the inequality: \(2x-5<11\Rightarrow 2x<16\Rightarrow x<8\). Taking natural numbers as \(1,2,3,\ldots\), the possible values of \(x\) are \(1,2,3,4,5,6,7\). Hence, there are 7 values. The answer would be 8 only under the convention that 0 is included in natural numbers; this question uses the common school convention \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}\). Exam tip: After solving an inequality, count values according to the specified number set.
असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(6\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(36-2x\geq 6x-3\)। अतः \(39\geq 8x\), इसलिए \(x\leq \frac{39}{8}\)। विकल्प \(x<\frac{39}{8}\) गलत है, क्योंकि \(x=\frac{39}{8}\) पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं और \(\geq\) में बराबरी शामिल होती है। परीक्षा टिप: असमानता को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही चिह्न पलटता है। / Multiplying both sides by the positive number \(6\) does not change the inequality sign: \(36-2x\geq 6x-3\). Hence, \(39\geq 8x\), so \(x\leq \frac{39}{8}\). The option \(x<\frac{39}{8}\) is incorrect because \(x=\frac{39}{8}\) makes both sides equal, and \(\geq\) includes equality. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता \(3x+a<12\) से \(3x<12-a\), अतः \(x<\frac{12-a}{3}\) प्राप्त होता है। दिया है कि इसका हल \(x<2\) है, इसलिए \(\frac{12-a}{3}=2\)। इससे \(12-a=6\) और \(a=6\) मिलता है। उदाहरण के लिए, \(a=5\) रखने पर सीमा \(x<\frac{7}{3}\) होगी, जो \(x<2\) नहीं है। परीक्षा टिप: किसी रैखिक असमानता के हल में दी गई सीमा को पहले सीमा-बिंदु वाले व्यंजक के बराबर रखें। / From \(3x+a<12\), we get \(3x<12-a\), so \(x<\frac{12-a}{3}\). Since the given solution is \(x<2\), the boundary values must be equal: \(\frac{12-a}{3}=2\). Thus, \(12-a=6\), giving \(a=6\). For example, if \(a=5\), the solution would be \(x<\frac{7}{3}\), not \(x<2\). Exam tip: when a solution boundary is given, equate it to the boundary expression obtained after solving the inequality.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 10 से गुणा करने पर \(8x+6>20-(x-1)=21-x\) प्राप्त होता है। अतः \(9x>15\), इसलिए \(x>\frac{5}{3}\)। \(x<\frac{5}{3}\) में असमानता की दिशा गलत हो जाती है; धनात्मक संख्या से गुणा करने पर दिशा नहीं बदलती। परीक्षा टिप: कोष्ठक खोलते समय \(-(x-1)=-x+1\) लिखना न भूलें। / Multiplying both sides by the positive number 10 gives \(8x+6>20-(x-1)=21-x\). Hence, \(9x>15\), so \(x>\frac{5}{3}\). The option \(x<\frac{5}{3}\) reverses the inequality incorrectly; multiplication by a positive number does not change the inequality sign. Exam tip: while removing brackets, remember that \(-(x-1)=-x+1\).
(6) से गुणा करने पर \(3x-3+2x-4\leq x+4\) मिलता है। इसलिए \(4x\leq 11\) और \(x\leq \frac{11}{4}\) है। / Multiplying by (6) gives \(3x-3+2x-4\leq x+4\). Hence \(4x\leq 11\) and \(x\leq \frac{11}{4}\).
दिया है: \(2(3-x)>x+9\)। कोष्ठक खोलने पर \(6-2x>x+9\) मिलता है। दोनों पक्षों से \(x\) घटाने पर \(6-3x>9\), अर्थात \(-3x>3\)। अब \(-3\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न पलट जाता है, इसलिए \(x<-1\)। \(x\leq -1\) गलत है क्योंकि मूल असमानता में चिह्न \(>\) है, अतः \(x=-1\) शामिल नहीं होगा। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न अवश्य पलटें। / Given \(2(3-x)>x+9\), expand the bracket: \(6-2x>x+9\). Subtracting \(x\) from both sides gives \(6-3x>9\), so \(-3x>3\). On dividing by \(-3\), the inequality sign reverses; hence \(x<-1\). The option \(x\leq -1\) is incorrect because the original inequality is strict, so \(x=-1\) is not included. Exam tip: always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(7-3x<2x+2\)। अतः \(5<5x\), इसलिए \(x>1\)। \(x\geq1\) सही नहीं है, क्योंकि \(x=1\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं, जबकि प्रश्न में कठोर असमानता \(<\) है। परीक्षा टिप: असमानता को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही उसका चिह्न पलटता है। / Multiplying both sides by the positive number 4 does not change the inequality sign: \(7-3x<2x+2\). Hence \(5<5x\), so \(x>1\). Option \(x\geq1\) is not correct because at \(x=1\), both sides are equal, whereas the question has a strict inequality, \(<\). Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
चूँकि 3 धनात्मक है, इसलिए पूरी संयुक्त असमानता को 3 से गुणा करने पर असमानता के चिह्न नहीं बदलते: \(-12\leq x-1<6\)। अब तीनों भागों में 1 जोड़ने पर \(-11\leq x<7\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(x-1\) से \(x\) पाने के लिए 1 जोड़ने का चरण छूट गया है। परीक्षा टिप: संयुक्त असमानता में प्रत्येक संक्रिया को बाएँ, मध्य और दाएँ—तीनों भागों पर लागू करें। / Since 3 is positive, multiplying every part of the compound inequality by 3 does not reverse the inequality signs: \(-12\leq x-1<6\). Adding 1 to all three parts gives \(-11\leq x<7\). Hence, option A is correct. Option B incorrectly stops before adding 1 to isolate \(x\). Exam tip: In a compound inequality, apply each operation to the left, middle, and right parts alike.
पहली असमानता से \(x\geq -5\) और दूसरी से (x<5) मिलता है। पूर्णांक (-5) से (4) तक कुल (10) हैं। / The first inequality gives \(x\geq -5\), and the second gives (x<5). Integers from (-5) to (4) are (10) in total.
(14) से गुणा करने पर \(42-4x+10\leq 7x+28\) मिलता है। इससे \(24\leq 11x\) और \(x\geq \frac{24}{11}\) है। / Multiplying by (14) gives \(42-4x+10\leq 7x+28\). Thus \(24\leq 11x\) and \(x\geq \frac{24}{11}\).
असमानता से \(kx-3\leq 9\) ⇒ \(kx\leq 12\) प्राप्त होता है। क्योंकि \(k>0\) है, इसलिए \(k\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(x\leq \frac{12}{k}\) मिलता है। दिया है कि हल \(x\leq 4\) है, अतः \(\frac{12}{k}=4\), जिससे \(k=3\)। विकल्प 4 लेने पर सीमा \(x\leq 3\) आती, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न वही रहता है; ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिह्न उलटता है। / From \(kx-3\leq 9\), we get \(kx\leq 12\). Since \(k>0\), dividing by \(k\) does not reverse the inequality, so \(x\leq \frac{12}{k}\). The given solution is \(x\leq 4\); hence \(\frac{12}{k}=4\), giving \(k=3\). If \(k=4\), the boundary would be \(x\leq 3\), so it is not correct. Exam tip: dividing an inequality by a positive number keeps its sign unchanged, while dividing by a negative number reverses it.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 10 से गुणा करने पर \(2(1-2x)\leq 5(3-x)\) मिलता है। अर्थात \(2-4x\leq 15-5x\)। दोनों पक्षों में \(5x\) जोड़ने पर \(2+x\leq 15\), इसलिए \(x\leq 13\)। \(x<13\) निकटतम विकल्प है, पर \(x=13\) पर दोनों पक्ष बराबर हैं, इसलिए 13 भी हल में शामिल है। परीक्षा टिप: किसी असमानता को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Multiplying both sides by the positive number 10 gives \(2(1-2x)\leq 5(3-x)\), or \(2-4x\leq 15-5x\). Adding \(5x\) to both sides gives \(2+x\leq 15\), hence \(x\leq 13\). The closest distractor is \(x<13\), but \(x=13\) makes both sides equal, so it must be included. Exam tip: multiplying an inequality by a positive number does not reverse its sign.
असमानता को हल करने पर, \(4x-7\leq 2x+1\) से \(2x\leq 8\) मिलता है, अतः \(x\leq 4\)। चूँकि \(x\) प्राकृतिक संख्या है, इसलिए इस शर्त को संतुष्ट करने वाली सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या \(4\) है। विकल्प 5 गलत है क्योंकि \(x=5\) रखने पर असमानता सत्य नहीं रहती। परीक्षा टिप: असमानता में चर वाले पदों को एक ओर और स्थिरांकों को दूसरी ओर लाकर फिर सीमा जाँचें। / Solving the inequality, \(4x-7\leq 2x+1\) gives \(2x\leq 8\), hence \(x\leq 4\). Since \(x\) is a natural number, the greatest natural number satisfying the condition is \(4\). Option 5 is incorrect because substituting \(x=5\) does not satisfy the inequality. Exam tip: Bring variable terms to one side and constants to the other before checking the boundary value.
दिया गया व्यंजक सरल करने पर \(5x-2(3x-4)\geq11\Rightarrow5x-6x+8\geq11\Rightarrow-x\geq3\) मिलता है। दोनों पक्षों को \(-1\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न पलटता है, इसलिए \(x\leq-3\) होगा। \(x<-3\) गलत है क्योंकि \(x=-3\) रखने पर भी समानता सत्य होती है। परीक्षा टिप: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देते समय चिह्न अवश्य पलटें। / Simplifying gives \(5x-2(3x-4)\geq11\Rightarrow5x-6x+8\geq11\Rightarrow-x\geq3\). On multiplying both sides by \(-1\), the inequality sign reverses, so \(x\leq-3\). The option \(x<-3\) is incorrect because \(x=-3\) also satisfies the equality. Exam tip: always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता के दोनों पक्षों को 10 से गुणा करने पर \(5x+30>4x-2\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से \(4x\) घटाने पर \(x+30>-2\), अतः \(x>-32\)। विकल्प \(x\geq -32\) गलत है, क्योंकि \(x=-32\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं, जबकि प्रश्न में \(>\) है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Multiplying both sides of the inequality by 10 gives \(5x+30>4x-2\). Subtracting \(4x\) from both sides gives \(x+30>-2\), so \(x>-32\). The option \(x\geq -32\) is incorrect because at \(x=-32\), both sides are equal, whereas the given sign is \(>\). Exam tip: multiplying or dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(8\) से गुणा करने पर \(3x+2<4(x-1)+8\) मिलता है। सरल करने पर \(3x+2<4x+4\), अतः \(-2<x\), अर्थात \(x>-2\)। विकल्प \(x\geq -2\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता सख्त है और \(x=-2\) इसमें शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: असमानता को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर उसका चिह्न नहीं बदलता। / Multiplying both sides of the inequality by the positive number \(8\) gives \(3x+2<4(x-1)+8\). Simplifying, \(3x+2<4x+4\), so \(-2<x\), i.e. \(x>-2\). The option \(x\geq -2\) is incorrect because the original inequality is strict, so \(x=-2\) is not included. Exam tip: The inequality sign does not reverse when multiplying by a positive number.
बाएँ पक्ष को सरल करने पर \(12-3(2x+1)=12-6x-3=9-6x\) मिलता है। अतः \(9-6x\leq x-5\), यानी \(14\leq 7x\)। 7 से भाग देने पर \(x\geq 2\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। \(x>2\) में \(x=2\) छूट जाता है, जबकि \(x=2\) असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: असमानता को धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Simplifying the left-hand side gives \(12-3(2x+1)=12-6x-3=9-6x\). Thus, \(9-6x\leq x-5\), which gives \(14\leq 7x\). Dividing by 7 gives \(x\geq 2\), so option A is correct. The option \(x>2\) incorrectly excludes \(x=2\), which satisfies the inequality. Exam tip: the inequality sign does not change when dividing by a positive number.
असमानता \(\frac{x-6}{-3}>2\) के दोनों पक्षों को \(-3\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न उलट जाएगा: \(x-6<-6\)। अतः \(x<0\) प्राप्त होता है। \(x>0\) विकल्प में ऋणात्मक संख्या से गुणा करते समय चिह्न नहीं बदला गया है। परीक्षा टिप: असमानता को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते ही उसका चिह्न अवश्य उलटें। / Multiplying both sides of \(\frac{x-6}{-3}>2\) by \(-3\) reverses the inequality sign: \(x-6<-6\). Therefore, \(x<0\). The option \(x>0\) results from forgetting to reverse the sign when multiplying by a negative number. Exam tip: Always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative quantity.
असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 6 से गुणा करने पर \(4x+10\leq 42-x\) मिलता है। अतः \(5x\leq 32\), इसलिए \(x\leq \frac{32}{5}\)। विकल्प \(x<\frac{32}{5}\) गलत है, क्योंकि \(x=\frac{32}{5}\) पर असमानता में बराबरी संभव है। परीक्षा टिप: असमानता को किसी धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Multiplying both sides of the inequality by the positive number 6 gives \(4x+10\leq 42-x\). Hence, \(5x\leq 32\), so \(x\leq \frac{32}{5}\). The option \(x<\frac{32}{5}\) is incorrect because equality holds at \(x=\frac{32}{5}\). Exam tip: Multiplying an inequality by a positive number does not reverse its sign.
पहली असमानता \(2x-3<5\) से \(2x<8\), अतः \(x<4\) मिलता है। दूसरी असमानता \(x+4\geq1\) से \(x\geq-3\) मिलता है। दोनों शर्तें एक साथ पूरी करने पर \( -3 \leq x < 4 \) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(-3\) को शामिल नहीं किया गया है और \(4\) को शामिल कर दिया गया है, जो दोनों असमानताओं के विपरीत है। परीक्षा टिप: ‘और’ का अर्थ दोनों हल-समुच्चयों का प्रतिच्छेद होता है। / From \(2x-3<5\), we get \(2x<8\), so \(x<4\). From \(x+4\geq1\), we get \(x\geq-3\). Satisfying both conditions gives \( -3 \leq x < 4 \), so option A is correct. Option B incorrectly excludes \(-3\) and includes \(4\). Exam tip: the word “and” means take the intersection of the solution sets.
बाएँ पक्ष को खोलने पर \(6x-3-4x-8>x-9\) मिलता है, अर्थात \(2x-11>x-9\)। दोनों पक्षों से \(x\) जोड़ने पर \(x>2\) प्राप्त होता है। \(x\geq2\) गलत है क्योंकि मूल असमानता में \(>\) है, इसलिए \(x=2\) हल नहीं है। परीक्षा टिप: असमानता में केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न पलटता है। / Expanding the left-hand side gives \(6x-3-4x-8>x-9\), or \(2x-11>x-9\). Adding \(x\) to both sides gives \(x>2\). \(x\geq2\) is incorrect because the original inequality is strict, so \(x=2\) is not included. Exam tip: Reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(6\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(5x-4\geq 2(x+2)+6\)। अतः \(5x-4\geq 2x+10\), इसलिए \(3x\geq 14\) और \(x\geq \frac{14}{3}\)। विकल्प \(x>\frac{14}{3}\) गलत है, क्योंकि \(x=\frac{14}{3}\) पर भी असमानता सत्य है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न पलटता है। / Multiplying both sides by the positive number \(6\) does not reverse the inequality: \(5x-4\geq 2(x+2)+6\). Hence \(5x-4\geq 2x+10\), so \(3x\geq 14\) and \(x\geq \frac{14}{3}\). The option \(x>\frac{14}{3}\) is incorrect because \(x=\frac{14}{3}\) also satisfies the inequality. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
दिया गया असमिकरण \(mx+2>8\) से \(mx>6\) मिलता है। क्योंकि हल \(x<-3\) है, इसलिए \(m\) ऋणात्मक होना चाहिए; ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमिकरण का चिह्न उलट जाता है। अतः सीमा मान \(\frac{6}{m}=-3\) होगा। इससे \(m=-2\) प्राप्त होता है। \(m=2\) लेने पर हल \(x>3\) आता, इसलिए वह निकटतम गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: असमिकरण में ऋणात्मक गुणांक से भाग या गुणा करते समय चिह्न अवश्य पलटें। / From \(mx+2>8\), we get \(mx>6\). Since the solution is \(x<-3\), \(m\) must be negative because dividing an inequality by a negative number reverses its sign. Hence the boundary value satisfies \(\frac{6}{m}=-3\), which gives \(m=-2\). If \(m=2\), the solution would be \(x>3\), so it is the closest incorrect option. Exam tip: always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 8 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(2(x+1)+(x+3)>8\)। अतः \(3x+5>8\), इसलिए \(3x>3\) और \(x>1\)। विकल्प \(x\geq1\) गलत है, क्योंकि \(x=1\) रखने पर बायाँ पक्ष 1 आता है, जो 1 से बड़ा नहीं है। परीक्षा टिप: असमानता को किसी धनात्मक संख्या से गुणा करने पर चिह्न वही रहता है। / Multiplying both sides by the positive number 8 does not change the inequality sign: \(2(x+1)+(x+3)>8\). Hence, \(3x+5>8\), so \(3x>3\) and \(x>1\). The option \(x\geq1\) is incorrect because at \(x=1\), the left-hand side equals 1, not a value greater than 1. Exam tip: multiplying an inequality by a positive number keeps its sign unchanged.
B. दोनों पक्षों को \(-5\) से गुणा करना/Multiplying both sides by \(-5\)
Explanation
Simple Explanation
किसी असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलटता है। इसलिए \(p<q\) को \(-5\) से गुणा करने पर \(-5p>-5q\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ने या धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिह्न नहीं बदलता। परीक्षा टिप: असमानता हल करते समय ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते ही चिह्न को उलटना न भूलें। / When both sides of an inequality are multiplied or divided by a negative number, the inequality sign reverses. Therefore, multiplying \(p<q\) by \(-5\) gives \(-5p>-5q\). Adding the same number to both sides or dividing by a positive number does not change the sign. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative quantity.
असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 12 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(24-3(3x-1)<4(x+2)\)। अर्थात \(27-9x<4x+8\), इसलिए \(19<13x\) और \(x>\frac{19}{13}\)। विकल्प \(x<\frac{19}{13}\) में चिह्न की दिशा उलटी है। परीक्षा टिप: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही उसका चिह्न पलटता है। / Multiply both sides by the positive number 12, so the inequality sign remains unchanged: \(24-3(3x-1)<4(x+2)\). This gives \(27-9x<4x+8\), hence \(19<13x\) and \(x>\frac{19}{13}\). The option \(x<\frac{19}{13}\) reverses the inequality sign incorrectly. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
पहली असमानता में \(5-2x\geq -1\) से \(-2x\geq -6\) मिलता है। \(-2\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न पलटता है, इसलिए \(x\leq 3\)। दूसरी असमानता \(3x+4>1\) से \(3x>-3\), अर्थात \(x>-1\), मिलता है। दोनों शर्तें एक साथ सत्य होने पर \(-1<x\leq3\) होगा। विकल्प B में दोनों सिरों के चिह्न गलत हैं। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें। / From the first inequality, \(5-2x\geq -1\) gives \(-2x\geq -6\). Dividing by \(-2\) reverses the inequality, so \(x\leq 3\). From \(3x+4>1\), we get \(3x>-3\), hence \(x>-1\). Satisfying both conditions simultaneously gives \(-1<x\leq3\). Option B has the endpoint signs reversed. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
(3) से गुणा करने पर \(2-5x\geq 12x-21\) मिलता है। इससे \(23\geq 17x\) और \(x\leq \frac{23}{17}\) है। / Multiplying by (3) gives \(2-5x\geq 12x-21\). Thus \(23\geq 17x\) and \(x\leq \frac{23}{17}\).
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(4\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(2(x-5)\leq 3-x\)। अतः \(2x-10\leq 3-x\), इसलिए \(3x\leq 13\) और \(x\leq \frac{13}{3}\)। विकल्प C में \(x=\frac{13}{3}\) छूट जाता है, जबकि यह मान असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही चिह्न उलटता है। / Multiplying both sides by the positive number \(4\) does not change the inequality sign: \(2(x-5)\leq 3-x\). Thus, \(2x-10\leq 3-x\), so \(3x\leq 13\), giving \(x\leq \frac{13}{3}\). Option C incorrectly excludes \(x=\frac{13}{3}\), which satisfies the inequality. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों को 6 से गुणा करने पर, क्योंकि 6 धनात्मक है, असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(9x-24<2x+18\)। अतः \(7x<42\), इसलिए \(x<6\)। \(x\leq6\) सही नहीं है क्योंकि मूल असमानता कठोर है और \(x=6\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं। परीक्षा टिप: असमानता को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही चिह्न की दिशा बदलती है। / Multiplying both sides by 6 does not reverse the inequality because 6 is positive: \(9x-24<2x+18\). Hence \(7x<42\), so \(x<6\). The option \(x\leq6\) is incorrect because the original inequality is strict; at \(x=6\), both sides are equal. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
अंतराल खाली न हो इसके लिए बायाँ सिरा दाएँ खुले सिरे से छोटा होना चाहिए। (2p-5<p+4) से (p<9) मिलता है। / For the interval to be non-empty, the left endpoint must be less than the right open endpoint. From (2p-5<p+4), (p<9).
दोनों पक्ष समान बनते हैं, इसलिए असमानता हर वास्तविक (x) के लिए सत्य है। पहचान जैसी स्थिति में सभी वास्तविक संख्याएँ उत्तर होती हैं। / Both sides become identical, so the inequality is true for every real (x). In an identity-type inequality, all real numbers are the solution.
हर हटाने पर \(4x-22\le 1\) मिलता है, इसलिए \(x\le \frac{23}{4}\)। भिन्नों वाली असमानता में पहले लघुत्तम समापवर्त्य से गुणा करें। / Clearing denominators gives \(4x-22\le 1\), so \(x\le \frac{23}{4}\). In fractional inequalities, multiply by the LCM first.
सरलीकरण पर (-6x>2) मिलता है, इसलिए \(x<-\frac{1}{3}\)। ऋणात्मक गुणांक से भाग देते समय चिह्न उलटता है। / Simplification gives (-6x>2), so \(x<-\frac{1}{3}\). Reverse the sign when dividing by a negative coefficient.
दोनों भाग हल करने पर \(x\le 11\) और \(x>1\) मिलता है। इसलिए संयुक्त हल \(1<x\le 11\) है। / Solving both parts gives \(x\le 11\) and \(x>1\). Therefore the combined solution is \(1<x\le 11\).
हर हटाने पर \(7x-14\ge 12\), अतः \(x\ge \frac{26}{7}\)। भिन्नों में पहले लघुत्तम समापवर्त्य से गुणा करें। / Clearing denominators gives \(7x-14\ge 12\), hence \(x\ge \frac{26}{7}\). For fractions, multiply by the LCM first.
हर हटाने पर (6x+21<6x+18), जो असत्य है। यदि चर हट जाए और कथन असत्य हो, तो हल रिक्त होता है। / After clearing denominators, (6x+21<6x+18), which is false. If the variable cancels and the statement is false, the solution is empty.
सरलीकरण से \(2x\ge 15\) मिलता है, इसलिए \(x\ge \frac{15}{2}\)। कोष्ठक खोलते समय ऋण चिह्न ध्यान से लगाएँ। / Simplification gives \(2x\ge 15\), so \(x\ge \frac{15}{2}\). Apply the negative sign carefully while opening brackets.
बायाँ पक्ष (-5) बनता है, इसलिए \(-5\le x-8\) और \(x\ge 3\)। चर कटने पर बचे स्थिर पद को सही तरफ रखें। / The left side becomes (-5), so \(-5\le x-8\) and \(x\ge 3\). When variables cancel, place the remaining constant correctly.
सरलीकरण के बाद \(2\ge 4\) मिलता है, जो असत्य है। असत्य स्थिर असमानता का हल रिक्त समुच्चय होता है। / After simplification, \(2\ge 4\), which is false. A false constant inequality has an empty solution set.
हर हटाने पर (12x+11>35), इसलिए (x>2)। धनात्मक लघुत्तम समापवर्त्य से गुणा करने पर चिह्न नहीं बदलता। / Clearing denominators gives (12x+11>35), so (x>2). Multiplying by a positive LCM does not change the sign.
हर हटाने और सरलीकरण पर \(38\le 7x\) मिलता है। इसलिए \(x\ge \frac{38}{7}\) सही हल है। / After clearing denominators and simplifying, \(38\le 7x\). Therefore \(x\ge \frac{38}{7}\) is the correct solution.
बायाँ पक्ष \(-\frac{11}{5}\) बनता है और \(-\frac{11}{5}<\frac{5}{2}\) सत्य है। इसलिए हर वास्तविक (x) हल है। / The left side becomes \(-\frac{11}{5}\), and \(-\frac{11}{5}<\frac{5}{2}\) is true. Therefore every real (x) is a solution.
युग्म असमानता के तीनों भागों से 6 घटाने पर \(-2\le 2x<8\) प्राप्त होता है। अब तीनों भागों को धनात्मक संख्या 2 से भाग देने पर असमानता के चिह्न नहीं बदलते और \(-1\le x<4\) मिलता है। इसलिए \(-1\) शामिल है, जबकि \(4\) शामिल नहीं है। विकल्प B में \(-1\) को गलत रूप से बाहर रखा गया है। परीक्षा टिप: किसी युग्म असमानता में धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिह्न वही रहते हैं; ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर दोनों चिह्न उलटते हैं। / Subtract 6 from all three parts of the compound inequality to get \(-2\le 2x<8\). Dividing every part by the positive number 2 does not reverse the inequality signs, giving \(-1\le x<4\). Thus, \(-1\) is included but \(4\) is excluded. Option B incorrectly excludes \(-1\). Exam tip: inequality signs remain unchanged when dividing by a positive number, but reverse when dividing by a negative number.
चूँकि 3 धनात्मक है, इसलिए युग्म असमानता के तीनों भागों को 3 से गुणा करने पर असमानता के चिह्न नहीं बदलते: \(-21<x+2\le 3\)। अब तीनों भागों में से 2 घटाने पर \(-23<x\le 1\) मिलता है। अतः सही विकल्प C है। विकल्प D में दोनों सिरों के खुले/बंद होने की स्थिति उलट गई है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं पलटता। / Since 3 is positive, multiplying all three parts of the compound inequality by 3 does not reverse any inequality sign: \(-21<x+2\le 3\). Subtracting 2 throughout gives \(-23<x\le 1\). Hence, option C is correct. In option D, the open and closed endpoints have been reversed. Exam tip: An inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
पहली असमानता को 2 से गुणा करने पर \(3x-1\ge 2x+8\), अतः \(x\ge 9\) मिलता है। दूसरी असमानता से \(2x<12\), इसलिए \(x<6\) है। कोई भी संख्या एक साथ \(x\ge 9\) और \(x<6\) नहीं हो सकती, इसलिए संयुक्त हल \(\varnothing\) है। विकल्प \(x\ge 9\) केवल पहली असमानता का हल है, दोनों का नहीं। परीक्षा टिप: ‘और’ के लिए दोनों हल-समुच्चयों का प्रतिच्छेद लें। / Multiplying the first inequality by 2 gives \(3x-1\ge 2x+8\), so \(x\ge 9\). From the second inequality, \(2x<12\), hence \(x<6\). No number can satisfy both \(x\ge 9\) and \(x<6\), so the combined solution is \(\varnothing\). The option \(x\ge 9\) solves only the first inequality, not both. Exam tip: for “and”, take the intersection of the solution sets.
पहली असमानता से (x<13) और दूसरी से \(x\le -3\) मिलता है। दूसरी शर्त पहले हल में शामिल है, इसलिए उत्तर (x<13) है। / The first inequality gives (x<13), and the second gives \(x\le -3\). The second set is contained in the first, so the answer is (x<13).
दिए गए व्यंजक को फैलाने पर बायाँ पक्ष \(5-10x\) और दायाँ पक्ष \(3-8x-4=-1-8x\) मिलता है। अतः \(5-10x\le -1-8x\), यानी \(6\le 2x\)। 2 से भाग देने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती, इसलिए \(x\ge 3\) प्राप्त होता है। \(x>3\) निकटतम विकल्प है, पर \(x=3\) भी असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न पलटता है। / Expanding gives \(5-10x\) on the left and \(3-8x-4=-1-8x\) on the right. Thus, \(5-10x\le -1-8x\), so \(6\le 2x\). Dividing by 2 does not reverse the inequality, giving \(x\ge 3\). The closest distractor is \(x>3\), but \(x=3\) also satisfies the inequality. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता को 2 से गुणा करने पर \(4x+12-(3x-1)>14\) मिलता है। सरल करने पर \(x+13>14\), अतः \(x>1\)। \(x\geq1\) सही नहीं है, क्योंकि मूल असमानता में बराबरी का चिह्न नहीं है और \(x=1\) इसे संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Multiplying the inequality by 2 gives \(4x+12-(3x-1)>14\). On simplifying, \(x+13>14\), so \(x>1\). The option \(x\geq1\) is not correct because the original inequality is strict, and \(x=1\) does not satisfy it. Exam tip: multiplying an inequality by a positive number does not reverse its sign.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 10 से गुणा करने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती: \(2(4x+9)\le 5(x-6)\)। अतः \(8x+18\le 5x-30\), जिससे \(3x\le -48\) और इसलिए \(x\le -16\) प्राप्त होता है। \(x<-16\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, पर \(x=-16\) पर दोनों पक्ष बराबर हैं, इसलिए उसे शामिल करना आवश्यक है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं पलटता। / Multiplying both sides by the positive number 10 does not change the inequality sign: \(2(4x+9)\le 5(x-6)\). Thus, \(8x+18\le 5x-30\), so \(3x\le -48\), giving \(x\le -16\). The close distractor \(x<-16\) is incorrect because at \(x=-16\), both sides are equal, so the endpoint must be included. Exam tip: an inequality sign does not reverse when multiplying or dividing by a positive number.
बाएँ पक्ष को सरल करने पर \(9-3(x-4)=21-3x\) और दाएँ पक्ष को सरल करने पर \(2(7-x)+x=14-x\) मिलता है। अतः \(21-3x\ge14-x\), यानी \(7\ge2x\)। 2 धनात्मक है, इसलिए दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(x\le\frac{7}{2}\) मिलता है। \(x<\frac{7}{2}\) गलत है क्योंकि \(x=\frac{7}{2}\) पर भी दोनों पक्ष बराबर हैं। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न वही रहता है। / Simplifying the left-hand side gives \(9-3(x-4)=21-3x\), while the right-hand side gives \(2(7-x)+x=14-x\). Thus, \(21-3x\ge14-x\), or \(7\ge2x\). Since 2 is positive, dividing both sides by 2 does not reverse the inequality sign, giving \(x\le\frac{7}{2}\). The option \(x<\frac{7}{2}\) is incorrect because \(x=\frac{7}{2}\) also satisfies the equality case. Exam tip: An inequality sign remains unchanged when dividing by a positive number.
दोनों पक्षों को 6 से गुणा करने पर \(2(2x-5)+(x+1)\le 3x\) मिलता है। अतः \(5x-9\le 3x\), इसलिए \(2x\le 9\) और \(x\le \frac{9}{2}\)। विकल्प B में \(\frac{9}{2}\) शामिल नहीं है, जबकि असमानता में \(\le\) होने के कारण यह मान भी हल है। परीक्षा टिप: भिन्नों वाली असमानता में पहले धनात्मक लघुत्तम समापवर्त्य से गुणा करके हर हटाएँ। / Multiplying both sides by 6 gives \(2(2x-5)+(x+1)\le 3x\). Hence, \(5x-9\le 3x\), so \(2x\le 9\) and \(x\le \frac{9}{2}\). Option B excludes \(\frac{9}{2}\), but this endpoint must be included because the inequality has \(\le\). Exam tip: For inequalities involving fractions, first multiply by a positive LCM to remove denominators.
पहले भाग से (x<9) और दूसरे भाग से \(x\ge 4\) मिलता है। दोनों को मिलाकर \(4\le x<9\) मिलता है। / The first part gives (x<9), and the second gives \(x\ge 4\). Combining both gives \(4\le x<9\).
दोनों तरफ अलग-अलग हल करने पर \(x\le 3\) और (x>-2) मिलता है। इसलिए \(-2<x\le 3\) सही अंतराल है। / Solving both sides separately gives \(x\le 3\) and (x>-2). Therefore \(-2<x\le 3\) is the correct interval.
पहली असमानता में \(7x-2(3x+5)=7x-6x-10=x-10\) है। अतः \(x-10\ge4\), इसलिए \(x\ge14\)। दूसरी असमानता से \(x-1>6\), अर्थात \(x>7\) मिलता है। दोनों शर्तें एक साथ पूरी करने के लिए उनका प्रतिच्छेद लेना होता है, जो \(x\ge14\) है। \(x>7\) केवल दूसरी असमानता का हल है। परीक्षा टिप: ‘और’ (and) के लिए हमेशा दोनों हल-समुच्चयों का प्रतिच्छेद लें। / In the first inequality, \(7x-2(3x+5)=7x-6x-10=x-10\). Thus, \(x-10\ge4\), so \(x\ge14\). From the second inequality, \(x-1>6\), giving \(x>7\). Since both conditions must hold, take the intersection of the two solution sets: \(x\ge14\). The option \(x>7\) satisfies only the second inequality. Exam tip: for “and,” always take the intersection of the solution sets.
पहली शर्त \(x\le 5\) देती है और दूसरी (x>3) देती है। दोनों का संघ सभी वास्तविक संख्याएँ है। / The first condition gives \(x\le 5\), and the second gives (x>3). Their union is all real numbers.
बाएँ पक्ष को सरल करने पर \(\frac{1}{3}(6x-9)=2x-3\) और \(\frac{1}{2}(4x+2)=2x+1\) मिलता है। अतः बायाँ पक्ष \((2x-3)-(2x+1)=-4\) है। असमानता \(-4\geq -5\) सदैव सत्य है, इसलिए \(x\) के प्रत्येक वास्तविक मान के लिए यह सत्य होगी। विकल्प \(x\geq -5\) केवल कुछ मानों को लेता है, जबकि यहाँ कोई प्रतिबंध नहीं है। परीक्षा टिप: यदि चर वाले पद कट जाएँ, तो प्राप्त स्थिर असमानता की सत्यता जाँचें। / Simplifying the left-hand side gives \(\frac{1}{3}(6x-9)=2x-3\) and \(\frac{1}{2}(4x+2)=2x+1\). Hence, the left-hand side is \((2x-3)-(2x+1)=-4\). Since \(-4\geq -5\) is always true, the inequality holds for every real value of \(x\). The option \(x\geq -5\) restricts \(x\), but this inequality imposes no restriction. Exam tip: When variable terms cancel, check whether the resulting constant statement is true or false.
बाएँ पक्ष को फैलाने पर \(\frac{3x}{4}-6\) और दाएँ पक्ष को सरल करने पर \(\frac{x}{2}-4\) मिलता है। अतः \(\frac{3x}{4}-6<\frac{x}{2}-4\), जिससे \(\frac{x}{4}<2\) और इसलिए \(x<8\) प्राप्त होता है। \(x\leq 8\) सही नहीं है, क्योंकि मूल असमानता में बराबरी का चिह्न नहीं है; \(x=8\) समाधान नहीं है। परीक्षा टिप: भिन्नों वाली असमानता में पदों को स्थानांतरित करने के बाद गुणांक और असमानता-चिह्न को अवश्य जाँचें। / Expanding the left side gives \(\frac{3x}{4}-6\), while simplifying the right side gives \(\frac{x}{2}-4\). Thus, \(\frac{3x}{4}-6<\frac{x}{2}-4\), which gives \(\frac{x}{4}<2\), and hence \(x<8\). The option \(x\leq 8\) is not correct because the original inequality is strict; \(x=8\) is not a solution. Exam tip: After moving terms in a fractional inequality, carefully check the coefficient and the inequality sign.
असमानता को सरल करने पर \(11-10+2x>3x+4\), अर्थात \(1+2x>3x+4\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(1>x+4\) और फिर 4 घटाने पर \(-3>x\) मिलता है। इसलिए \(x<-3\) सही हल है। \(x\leq -3\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, लेकिन दी गई असमानता कठोर है; \(x=-3\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं, इसलिए वह शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न पलटता है। / Simplifying the inequality gives \(11-10+2x>3x+4\), or \(1+2x>3x+4\). Subtracting \(2x\) gives \(1>x+4\), and subtracting 4 gives \(-3>x\). Hence, \(x<-3\) is the correct solution. The close distractor \(x\leq -3\) is incorrect because the inequality is strict: at \(x=-3\), both sides are equal, so this value is not included. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
12 से गुणा करने पर, क्योंकि 12 धनात्मक है, असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(4(x+7)-3(2x-1)\ge 0\)। इससे \(4x+28-6x+3\ge 0\), अर्थात \(31-2x\ge 0\) मिलता है। \(2x\le 31\) से \(x\le \frac{31}{2}\) प्राप्त होता है। \(x\ge \frac{31}{2}\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, पर ऋणात्मक पद \(-2x\) को दूसरी ओर ले जाते समय चिह्न पर ध्यान देना आवश्यक है। परीक्षा टिप: असमानता को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही चिह्न उलटता है। / Multiplying by 12 does not reverse the inequality because 12 is positive: \(4(x+7)-3(2x-1)\ge 0\). This gives \(4x+28-6x+3\ge 0\), or \(31-2x\ge 0\). Hence \(2x\le 31\), so \(x\le \frac{31}{2}\). The closest distractor is \(x\ge \frac{31}{2}\), but the negative coefficient of \(x\) must be handled carefully while rearranging. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
दाएँ पक्ष को फैलाने पर \(2(3x-4)=6x-8\) मिलता है। अतः असमानता \(6x-5<6x-8\) होगी। दोनों पक्षों से \(6x\) घटाने पर \(-5<-8\) मिलता है, जो असत्य है। इसलिए कोई भी वास्तविक \(x\) इस असमानता को संतुष्ट नहीं करता और हल समुच्चय \(\varnothing\) है। \(x<3\) या \(x>3\) जैसे विकल्प तब मिलते हैं जब \(x\) वाले पद पूरी तरह कटने के बाद बची स्थिर असमानता को सही तरह न जाँचा जाए। परीक्षा टिप: समान \(x\)-पद कट जाएँ तो बची हुई संख्यात्मक असमानता का सत्य या असत्य होना अवश्य जाँचें। / Expanding the right-hand side gives \(2(3x-4)=6x-8\). Thus, the inequality becomes \(6x-5<6x-8\). Subtracting \(6x\) from both sides gives \(-5<-8\), which is false. Hence, no real value of \(x\) satisfies the inequality, so the solution set is \(\varnothing\). Options such as \(x<3\) or \(x>3\) may result from not checking the remaining numerical inequality after the \(x\)-terms cancel. Exam tip: when identical variable terms cancel, always test whether the resulting numerical statement is true or false.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 3 से गुणा करने पर \(24-6x\le x+9\) मिलता है। अतः \(15\le 7x\), इसलिए \(x\ge \frac{15}{7}\)। विकल्प C में सीमा-बिंदु \(\frac{15}{7}\) छूट जाता है, जबकि मूल असमानता में बराबरी संभव है। परीक्षा टिप: असमानता को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न पलटता है। / Multiplying both sides by the positive number 3 gives \(24-6x\le x+9\). Thus, \(15\le 7x\), so \(x\ge \frac{15}{7}\). Option C excludes the boundary value \(\frac{15}{7}\), but equality is allowed in the given inequality. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता के तीनों भागों को 2 से गुणा करने पर \(-12\le 4-x<6\) मिलता है। बाएँ भाग से \(-12\le 4-x\), अर्थात \(x\le16\), और दाएँ भाग से \(4-x<6\), अर्थात \(x>-2\), प्राप्त होता है। दोनों शर्तों का उभयनिष्ठ हल \(-2<x\le16\) है। विकल्प C में \(-2\) शामिल है, लेकिन मूल असमानता में \(x=-2\) रखने पर दायाँ भाग \(3<3\) बनता है, जो असत्य है। परीक्षा टिप: युग्म असमानता को दो अलग असमानताओं में बाँटकर उनके सामान्य हल को लिखें। / Multiplying all three parts by 2 gives \(-12\le 4-x<6\). From the left part, \(-12\le4-x\), we get \(x\le16\); from the right part, \(4-x<6\), we get \(x>-2\). Their common solution is \(-2<x\le16\). Option C incorrectly includes \(-2\): substituting \(x=-2\) makes the right-hand condition \(3<3\), which is false. Exam tip: split a compound inequality into two inequalities and take their intersection.
पहली असमानता से \(x\le -13\) और दूसरी से \(x\le 6\) मिलता है। दोनों का प्रतिच्छेद \(x\le -13\) है। / The first inequality gives \(x\le -13\), and the second gives \(x\le 6\). Their intersection is \(x\le -13\).
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 6 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(5x+2<3(x-3)+24=3x+15\)। अतः \(2x<13\), इसलिए \(x<\frac{13}{2}\)। विकल्प B में बराबरी शामिल है, लेकिन मूल असमानता सख्त है, इसलिए \(x=\frac{13}{2}\) समाधान नहीं है। परीक्षा टिप: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न उलटता है। / Multiplying both sides by the positive number 6 does not change the inequality sign: \(5x+2<3(x-3)+24=3x+15\). Hence \(2x<13\), so \(x<\frac{13}{2}\). Option B incorrectly includes equality; since the original inequality is strict, \(x=\frac{13}{2}\) is not a solution. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
बाएँ पक्ष को सरल करने पर \(8-3(2-x)=8-6+3x=2+3x\) मिलता है। अतः \(2+3x\le 5x-10\), यानी \(12\le 2x\)। 2 से भाग देने पर \(x\ge 6\) प्राप्त होता है। \(x>6\) निकटतम विकल्प है, पर वह \(x=6\) को छोड़ देता है, जबकि असमानता में \(\le\) होने से \(x=6\) शामिल है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Simplify the left-hand side: \(8-3(2-x)=8-6+3x=2+3x\). Thus, \(2+3x\le 5x-10\), which gives \(12\le 2x\). Dividing by 2 gives \(x\ge 6\). The close distractor \(x>6\) wrongly excludes \(x=6\), which must be included because the inequality contains \(\le\). Exam tip: An inequality sign does not reverse when dividing by a positive number.
पहली असमानता (x>4) देती है और दूसरी (x<-7) देती है। या वाली स्थिति में दोनों हलों का संघ लिया जाता है। / The first inequality gives (x>4), and the second gives (x<-7). For an OR condition, take the union of both solution sets.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 6 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(2(7-2x)\le x+5\)। अतः \(14-4x\le x+5\), जिससे \(9\le 5x\) और इसलिए \(x\ge \frac{9}{5}\) प्राप्त होता है। विकल्प \(x>\frac{9}{5}\) गलत है, क्योंकि \(x=\frac{9}{5}\) पर दोनों पक्ष बराबर हैं और \(\le\) में बराबरी शामिल होती है। परीक्षा टिप: असमानता को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही उसका चिह्न उलटता है। / Multiplying both sides by the positive number 6 does not change the inequality sign: \(2(7-2x)\le x+5\). Thus, \(14-4x\le x+5\), so \(9\le 5x\), giving \(x\ge \frac{9}{5}\). The option \(x>\frac{9}{5}\) is incorrect because at \(x=\frac{9}{5}\), both sides are equal, and \(\le\) includes equality. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
युग्म असमानता के दोनों भागों को अलग-अलग हल करें। \(5\le 3x-1\) से \(6\le 3x\), अतः \(x\ge 2\) मिलता है। तथा \(3x-1<2x+11\) से \(x<12\) मिलता है। दोनों शर्तें एक साथ लागू होने पर \(2\le x<12\) प्राप्त होता है। विकल्प D में 2 को गलती से शामिल नहीं किया गया है और 12 को शामिल कर दिया गया है। परीक्षा टिप: युग्म असमानता में प्रत्येक भाग हल करने के बाद उनके साझा मानों का अंतराल लिखें। / Solve both parts of the compound inequality separately. From \(5\le 3x-1\), we get \(6\le 3x\), so \(x\ge 2\). From \(3x-1<2x+11\), we get \(x<12\). Applying both conditions together gives \(2\le x<12\). Option D incorrectly excludes 2 and includes 12. Exam tip: For a compound inequality, solve each condition and then write their common interval.
दिया गया व्यंजक सरल करने पर \(-6x+8+7\ge x-6\), अर्थात \(-6x+15\ge x-6\) मिलता है। दोनों पक्षों में \(6x\) और \(6\) जोड़ने पर \(21\ge 7x\) प्राप्त होता है। 7 से भाग देने पर \(x\le 3\) मिलता है। \(x<3\) निकटतम विकल्प है, लेकिन \(x=3\) भी असमानता को संतुष्ट करता है, इसलिए बराबरी का चिह्न आवश्यक है। परीक्षा टिप: असमानता में केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर चिह्न उलटता है। / Simplifying the left side gives \(-6x+8+7\ge x-6\), or \(-6x+15\ge x-6\). Adding \(6x\) and \(6\) to both sides gives \(21\ge 7x\). Dividing by 7, we get \(x\le 3\). Although \(x<3\) is a close distractor, \(x=3\) also satisfies the inequality, so equality must be included. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से गुणा करने पर \(3x+8-2(x-6)>20\) मिलता है। अर्थात \(3x+8-2x+12>20\), इसलिए \(x+20>20\) और \(x>0\)। \(x\geq 0\) गलत है, क्योंकि \(x=0\) रखने पर बायाँ पक्ष 5 होता है, जो 5 से बड़ा नहीं है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Multiplying both sides of the inequality by the positive number 4 gives \(3x+8-2(x-6)>20\). Thus, \(3x+8-2x+12>20\), so \(x+20>20\) and hence \(x>0\). \(x\geq 0\) is incorrect because at \(x=0\), the left-hand side equals 5, which is not greater than 5. Exam tip: multiplying or dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
दाएँ पक्ष को सरल करने पर \(3(3x-1)-2=9x-5\) मिलता है। अतः असमानता \(9x-4\le 9x-5\) होगी। दोनों पक्षों से \(9x\) घटाने पर \(-4\le -5\) प्राप्त होता है, जो असत्य है। इसलिए किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए असमानता सत्य नहीं है और हल समुच्चय \(\varnothing\) है। \(x\le1\) या \(x\ge1\) जैसे विकल्प तब आते हैं जब \(x\) वाले पद पूरी तरह निरस्त नहीं होते। परीक्षा टिप: समान \(x\)-पदों को हटाने के बाद प्राप्त स्थिर कथन की सत्यता अवश्य जाँचें। / Simplify the right-hand side: \(3(3x-1)-2=9x-5\). The inequality becomes \(9x-4\le 9x-5\). Subtracting \(9x\) from both sides gives \(-4\le-5\), which is false. Hence, the inequality is not true for any real value of \(x\), so the solution set is \(\varnothing\). Options such as \(x\le1\) or \(x\ge1\) would arise only if an \(x\)-term remained after simplification. Exam tip: when variable terms cancel, check whether the remaining numerical statement is true or false.
6 से गुणा करने पर \(3x-(x-3)\le 24\) मिलता है। अतः \(2x+3\le 24\), इसलिए \(2x\le 21\) और \(x\le \frac{21}{2}\)। विकल्प B में \(\frac{21}{2}\) स्वयं शामिल नहीं है, जबकि असमानता में \(\le\) होने के कारण यह मान शामिल होगा। परीक्षा टिप: हरों को हटाने के लिए धनात्मक LCM से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Multiplying by 6 gives \(3x-(x-3)\le 24\). Thus, \(2x+3\le 24\), so \(2x\le 21\) and \(x\le \frac{21}{2}\). Option B excludes \(\frac{21}{2}\), but this boundary value must be included because the inequality uses \(\le\). Exam tip: multiplying an inequality by a positive LCM clears denominators without reversing the inequality sign.
पहली असमानता से \(x\ge 4\) और दूसरी से (x<3) मिलता है। दोनों शर्तें साथ में पूरी नहीं हो सकतीं। / The first inequality gives \(x\ge 4\), and the second gives (x<3). Both conditions cannot hold together.
पहले, \(7-4x<3(2-x)\) से \(7-4x<6-3x\), अतः \(x>1\) प्राप्त होता है। दूसरे भाग, \(3(2-x)\le12\), से \(6-3x\le12\), इसलिए \(x\ge-2\) मिलता है। दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \(x>1\) है, इसलिए विकल्प D सही है। ध्यान रखें कि ऋणात्मक संख्या से भाग देने या गुणा करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है। / From the first part, \(7-4x<3(2-x)\) becomes \(7-4x<6-3x\), which gives \(x>1\). The second part, \(3(2-x)\le12\), becomes \(6-3x\le12\), giving \(x\ge-2\). The intersection of these two conditions is \(x>1\), so option D is correct. Remember to reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
7 और 3 दोनों धनात्मक हैं, इसलिए असमानता का चिह्न बदले बिना दोनों पक्षों को 21 से गुणा किया जा सकता है: \(3(2x+1)\ge 7(x-5)\)। अतः \(6x+3\ge 7x-35\), जिससे \(38\ge x\), अर्थात \(x\le 38\) मिलता है। \(x<38\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, पर \(x=38\) पर दोनों पक्ष बराबर हैं, इसलिए 38 भी हल में शामिल है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Since 7 and 3 are positive, multiply both sides by 21 without reversing the inequality sign: \(3(2x+1)\ge 7(x-5)\). Thus, \(6x+3\ge 7x-35\), which gives \(38\ge x\), or \(x\le 38\). The close distractor \(x<38\) is incorrect because at \(x=38\), both sides are equal, so 38 is included. Exam tip: An inequality sign changes direction only when multiplying or dividing by a negative number.
बाएँ पक्ष को सरल करने पर \(3(1-x)-2(4-3x)=3-3x-8+6x=3x-5\) मिलता है। अतः \(3x-5>5x-10\), यानी \(5>2x\)। 2 धनात्मक है, इसलिए दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(x<\frac{5}{2}\) प्राप्त होता है। \(x\le \frac{5}{2}\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता में बराबरी शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: कोष्ठक खोलते समय \(-2\) को दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा करें। / Simplifying the left-hand side gives \(3(1-x)-2(4-3x)=3-3x-8+6x=3x-5\). Thus, \(3x-5>5x-10\), which gives \(5>2x\). Since 2 is positive, dividing both sides by 2 does not reverse the inequality sign, so \(x<\frac{5}{2}\). The option \(x\le \frac{5}{2}\) is incorrect because equality is not included in the original inequality. Exam tip: while expanding brackets, multiply \(-2\) by every term in the second bracket.
हरों का लघुत्तम समापवर्त्य 6 लेकर असमानता को 6 से गुणा करने पर \(3(x-1)+2(x-2)+(x-3)\ge 24\) मिलता है। सरल करने पर \(6x-10\ge 24\), अर्थात \(6x\ge 34\) और इसलिए \(x\ge \frac{17}{3}\)। विकल्प \(x>\frac{17}{3}\) गलत है क्योंकि समानता के समय \(x=\frac{17}{3}\) भी असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: \(\ge\) या \(\le\) वाली असमानता में सीमा मान को शामिल करना न भूलें। / Using the LCM of the denominators, 6, multiply the inequality by 6 to get \(3(x-1)+2(x-2)+(x-3)\ge 24\). This simplifies to \(6x-10\ge 24\), so \(6x\ge 34\), giving \(x\ge \frac{17}{3}\). The option \(x>\frac{17}{3}\) is incorrect because the boundary value \(x=\frac{17}{3}\) also satisfies the inequality. Exam tip: Include the boundary value when the inequality sign is \(\ge\) or \(\le\).
युग्म असमानता को दो भागों में हल करें। \(-5<2-\frac{x}{3}\) से \(-7<-\frac{x}{3}\) मिलता है; \(-3\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न पलटता है, इसलिए \(x<21\)। दूसरे भाग \(2-\frac{x}{3}\le4\) से \(-\frac{x}{3}\le2\) और \(x\ge-6\) मिलता है। दोनों शर्तों का उभयनिष्ठ हल \(-6\le x<21\) है। विकल्प C में दोनों सिरों के चिह्न गलत हैं। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें। / Solve the compound inequality in two parts. From \(-5<2-\frac{x}{3}\), we get \(-7<-\frac{x}{3}\); multiplying by \(-3\) reverses the inequality, giving \(x<21\). From \(2-\frac{x}{3}\le4\), we get \(-\frac{x}{3}\le2\), hence \(x\ge-6\). Their common solution is \(-6\le x<21\). Option C has the endpoint signs reversed. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से गुणा करने पर \(8-(3x-1)\ge 2(x+5)\) मिलता है। अर्थात \(9-3x\ge 2x+10\), इसलिए \(-1\ge 5x\)। 5 से भाग देने पर \(x\le -\frac{1}{5}\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(-\frac{1}{5}\) को शामिल नहीं किया गया है, जबकि मूल असमानता में \(\ge\) है। परीक्षा टिप: किसी धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Multiplying both sides of the inequality by the positive number 4 gives \(8-(3x-1)\ge 2(x+5)\). Thus, \(9-3x\ge 2x+10\), so \(-1\ge 5x\). Dividing by 5 gives \(x\le -\frac{1}{5}\). Option B excludes \(-\frac{1}{5}\), but the original inequality contains \(\ge\). Exam tip: the inequality sign does not reverse when multiplying or dividing by a positive number.
हरों को हटाने के लिए दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 6 से गुणा करें; इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलेगा। तब \(24x+24-2(2x-3)<3(5x+6)\), अर्थात \(20x+30<15x+18\)। इससे \(5x<-12\), अतः \(x<-\frac{12}{5}\)। क्योंकि मूल असमानता सख्त है, \(x=-\frac{12}{5}\) हल में शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही चिह्न उलटता है। / Multiply both sides by the positive number 6 to clear the denominators, so the inequality sign remains unchanged: \(24x+24-2(2x-3)<3(5x+6)\). This simplifies to \(20x+30<15x+18\), giving \(5x<-12\), and hence \(x<-\frac{12}{5}\). Since the original inequality is strict, \(x=-\frac{12}{5}\) is not included. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
