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‘अधिकतम 9’ का अर्थ \(2x-1\le 9\) होता है। दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर \(2x\le 10\), और 2 से भाग देने पर \(x\le 5\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(x=5\) भी मान्य है; ‘अधिकतम’ में बराबरी शामिल होती है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से असमिका को भाग देने पर असमिका का चिह्न नहीं बदलता। / ‘At most 9’ means \(2x-1\le 9\). Adding 1 to both sides gives \(2x\le 10\), and dividing by 2 gives \(x\le 5\). Therefore, option A is correct. Option C is incorrect because \(x=5\) is also allowed; ‘at most’ includes equality. Exam tip: Dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
कथन में संख्या \(x\) में 5 जोड़ने पर \(x+5\) प्राप्त होता है। “कम से कम 12” का अर्थ 12 या उससे अधिक होता है, इसलिए सही असमानता \(x+5\ge 12\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(>\) केवल 12 से अधिक मान दर्शाता है और 12 को शामिल नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: “कम से कम” के लिए \(\ge\), जबकि “से अधिक” के लिए \(>\) प्रयोग करें। / Adding 5 to the number \(x\) gives \(x+5\). “At least 12” means 12 or any number greater than 12, so the correct inequality is \(x+5\ge 12\). Option B is incorrect because \(>\) excludes the value 12. Exam tip: use \(\ge\) for “at least” and \(>\) for “more than.”
विकल्प B को हल करने पर \(3x+1>25\Rightarrow 3x>24\Rightarrow x>8\) प्राप्त होता है। विकल्प A से \(x\geq 8\) मिलता है, इसलिए वह सही नहीं है; C से \(x<8\) और D से \(x\leq 8\) मिलता है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से असमानता के दोनों पक्षों को भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Solving option B gives \(3x+1>25\Rightarrow 3x>24\Rightarrow x>8\). Option A gives \(x\geq 8\), so it is not equivalent; option C gives \(x<8\), and option D gives \(x\leq 8\). Exam tip: dividing both sides of an inequality by a positive number does not reverse the inequality sign.
कोष्ठक खोलने पर बायाँ पक्ष \(3x+6-5=3x+1\) और दायाँ पक्ष \(2x-2+8=2x+6\) मिलता है। अतः \(3x+1\geq 2x+6\), इसलिए \(x\geq 5\)। विकल्प B में असमानता की दिशा गलत है, जबकि 9 प्राप्त करने पर स्थिरांकों का सरलीकरण गलत होता है। परीक्षा-युक्ति: असमानता में ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही चिह्न की दिशा बदलती है। / Expanding the brackets gives \(3x+6-5=3x+1\) on the left and \(2x-2+8=2x+6\) on the right. Thus, \(3x+1\geq 2x+6\), which simplifies to \(x\geq 5\). Option B reverses the inequality without justification, while 9 results from incorrect simplification of the constants. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
‘कम नहीं है’ का अर्थ ‘से बड़ा या बराबर’ होता है, इसलिए असमता \(2x-5\geq x+3\) होगी। दोनों पक्षों से \(x\) घटाने पर \(x-5\geq 3\), अतः \(x\geq 8\)। विकल्प B में ‘कम नहीं’ को सख्त असमता \(>\) माना गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: ‘कम से कम’ या ‘कम नहीं’ दिखे तो \(\geq\) का प्रयोग करें। / ‘Not less than’ means ‘greater than or equal to’, so the inequality is \(2x-5\geq x+3\). Subtracting \(x\) from both sides gives \(x-5\geq 3\), and adding 5 gives \(x\geq 8\). Option B is incorrect because it uses the strict inequality \(>\), which excludes equality. Exam tip: phrases such as ‘at least’ and ‘not less than’ correspond to \(\geq\).
“40 से कम नहीं” का अर्थ है कि अंक 40 के बराबर या 40 से अधिक हो सकते हैं। इसलिए सही असमता \(m\geq 40\) है। विकल्प A में \(m=40\) को शामिल नहीं किया गया है, जबकि ठीक 40 अंक मिलने पर भी विद्यार्थी उत्तीर्ण होगा। परीक्षा-युक्ति: “कम नहीं” को \(\geq\) और “अधिक नहीं” को \(\leq\) से व्यक्त करें। / “Not less than 40” means the marks can be equal to 40 or greater than 40. Hence, the correct inequality is \(m\geq 40\). Option A incorrectly excludes the case \(m=40\), even though exactly 40 marks satisfy the passing condition. Exam tip: translate “not less than” as \(\geq\) and “not more than” as \(\leq\).
‘धनात्मक नहीं’ का अर्थ है कि व्यंजक शून्य या ऋणात्मक हो सकता है, अर्थात \(2x+5\leq 0\)। दोनों पक्षों में 5 घटाने पर \(2x\leq -5\) और 2 से भाग देने पर \(x\leq -\frac{5}{2}\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प D सही है। विकल्प C में \(<\) होने के कारण \(x=-\frac{5}{2}\) छूट जाता है, जबकि इस मान पर \(2x+5=0\) होता है और व्यंजक धनात्मक नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ‘नहीं’ जैसे शब्दों पर ध्यान दें—‘धनात्मक नहीं’ में शून्य भी शामिल होता है। / ‘Not positive’ means the expression can be zero or negative, so \(2x+5\leq 0\). Subtracting 5 from both sides gives \(2x\leq -5\), and dividing by 2 gives \(x\leq -\frac{5}{2}\). Therefore, option D is correct. Option C incorrectly uses \(<\) and excludes \(x=-\frac{5}{2}\), even though the expression equals zero at that value and is therefore not positive. Exam tip: ‘not positive’ includes zero, whereas ‘negative’ excludes zero.
विकल्प B में \(2x-8\geq 0\) से \(2x\geq 8\), अर्थात् \(x\geq 4\) प्राप्त होता है। इसलिए इसका हल-समुच्चय \([4,\infty)\) है। विकल्प A से \(x>4\) मिलता है, जिसका हल \((4,\infty)\) होगा और उसमें 4 शामिल नहीं है। परीक्षा में याद रखें: बंद कोष्ठक \([\) या \(]\) बराबरी सहित असमता को दर्शाता है। / For option B, \(2x-8\geq 0\) gives \(2x\geq 8\), so \(x\geq 4\). Hence, the solution set is \([4,\infty)\). Option A gives \(x>4\), whose solution set is \((4,\infty)\), so 4 is excluded. Exam tip: a square bracket indicates that the endpoint is included, which corresponds to an inequality containing equality.
‘ऋणात्मक नहीं’ का अर्थ \(5x+2\geq 0\) होता है। अतः \(5x\geq -2\), और 5 से भाग देने पर \(x\geq -\frac{2}{5}\) प्राप्त होता है। विकल्प B गलत है क्योंकि वह \(x=-\frac{2}{5}\) को शामिल नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: ‘नहीं’ वाले कथनों में बराबरी की स्थिति अवश्य जाँचें। / ‘Non-negative’ means \(5x+2\geq 0\). Therefore, \(5x\geq -2\), and dividing by 5 gives \(x\geq -\frac{2}{5}\). Option B is incorrect because it excludes the endpoint \(x=-\frac{2}{5}\). Exam tip: whenever an expression is described as ‘not negative,’ include the equality case.
विकल्प A, \(2\leq x<6\), में \(x=2\) शामिल है क्योंकि 2 के साथ \(\leq\) का चिह्न है, जबकि \(x=6\) शामिल नहीं है क्योंकि 6 के साथ केवल \(<\) का चिह्न है। विकल्प D में 6 भी शामिल हो जाता है, और विकल्प B तथा C में 2 शामिल नहीं है। परीक्षा में याद रखें: \(\leq\) या \(\geq\) सिरों को शामिल करते हैं, जबकि \(<\) या \(>\) सिरों को बाहर रखते हैं। / Option A, \(2\leq x<6\), includes \(x=2\) because the symbol next to 2 is \(\leq\), but excludes \(x=6\) because the symbol next to 6 is strict \(<\). Option D also includes 6, while options B and C exclude 2. Exam tip: \(\leq\) and \(\geq\) include an endpoint, whereas \(<\) and \(>\) exclude it.
अंतराल [-2,5) में -2 शामिल है, इसलिए उसके साथ \leq होगा। 5 के बाद गोल कोष्ठक है, इसलिए 5 शामिल नहीं है और वहाँ < होगा। अतः सही असमता \(-2 \le x < 5\) है। विकल्प D में 5 को शामिल कर लिया गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग कोष्ठक का अर्थ शामिल और गोल कोष्ठक का अर्थ शामिल नहीं होता है। / In the interval [-2,5), -2 is included, so the inequality uses \leq at the left endpoint. The round bracket after 5 means that 5 is excluded, so the right side uses <. Therefore, the correct inequality is \(-2 \le x < 5\). Option D is incorrect because it includes 5. Exam tip: a square bracket includes the endpoint, while a round bracket excludes it.
असमानता \\(7x\geq -21\\) में दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 7 से भाग देने पर असमानता का चिन्ह नहीं बदलता। इसलिए \\(x\geq -3\\) प्राप्त होता है। विकल्प B में चिन्ह उलट दिया गया है, जो केवल ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर होता। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिन्ह अवश्य उलटें। / In \\(7x\geq -21\\), dividing both sides by the positive number 7 does not reverse the inequality sign. Thus, \\(x\geq -3\\). Option B is incorrect because the sign would reverse only when multiplying or dividing by a negative number. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
\(\geq\) का अर्थ ‘बड़ा या बराबर’ होता है। इसमें किसी संख्या के उससे बड़ी होने के साथ-साथ उसके बराबर होने की स्थिति भी शामिल होती है, इसलिए यह सीमा मान को स्वीकार करता है। \(>\) केवल ‘बड़ा’ दर्शाता है और बराबरी को शामिल नहीं करता। परीक्षा में geq को ‘greater than or equal to’ के रूप में याद रखें। / \(\geq\) means ‘greater than or equal to’. It includes both values greater than a number and the number itself, so the boundary value is included. In contrast, \(>\) means only ‘greater than’ and excludes equality. For exams, remember \(\geq\) as ‘greater than or equal to’.
दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर \(5x\leq 20\) मिलता है। अब 5 से भाग देने पर, क्योंकि 5 धनात्मक है, असमानता की दिशा नहीं बदलती और \(x\leq 4\) प्राप्त होता है। इसलिए \(x=4\) भी हल में शामिल है। परीक्षा-टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है; धनात्मक संख्या के लिए ऐसा नहीं होता। / Adding 3 to both sides gives \(5x\leq 20\). Dividing by the positive number 5 does not reverse the inequality, so \(x\leq 4\). Thus, the boundary value \(x=4\) is included. Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number, not by a positive number.
असमिका \(x\leq 0\) का अर्थ है कि \(x\) का मान शून्य या शून्य से छोटा होना चाहिए। \(x=-3\) के लिए \(-3\leq 0\) सत्य है, इसलिए विकल्प A सही है। अन्य सभी विकल्पों में \(x\) का मान धनात्मक है, अतः वे असमिका को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा-युक्ति: \(\leq\) चिह्न में बराबरी भी शामिल होती है। / The inequality \(x\leq 0\) means that \(x\) must be zero or a negative number. For \(x=-3\), the statement \(-3\leq 0\) is true, so option A is correct. All the other options have positive values of \(x\), so they do not satisfy the inequality. Exam tip: The symbol \(\leq\) includes equality as well as less-than values.
\(x\geq -2\) का अर्थ है कि \(x\), \(-2\) के बराबर या उससे बड़ा हो सकता है। इसलिए \(-2\) शामिल होगा, जिसके लिए वर्ग कोष्ठक लगाया जाता है, और सभी मान दाईं ओर अनंत तक जाते हैं। अतः सही अंतराल \([-2,\infty)\) है। परीक्षा-युक्ति: \(\geq\) या \(\leq\) होने पर सीमा-बिंदु शामिल होता है, जबकि \(>\) या \(<\) होने पर नहीं। / The inequality \(x\geq -2\) means that \(x\) can be equal to \(-2\) or any greater value. Thus, \(-2\) is included, so a square bracket is used, and the values extend to the right up to infinity. Therefore, the correct interval is \([-2,\infty)\). Exam tip: Use a bracket when the endpoint is included, as with \(\geq\) or \(\leq\); use a parenthesis when it is excluded.
‘25 से कम या बराबर’ का अर्थ है कि \(u\), 25 से छोटा हो सकता है या ठीक 25 के बराबर भी हो सकता है। इसका प्रतीक \(\le\) है, इसलिए सही असमानता \(u\le 25\) है। विकल्प A में 25 के बराबर होने की स्थिति शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: ‘या बराबर’ दिखने पर \(\le\) या \(\ge\) में लगा बराबरी का चिन्ह अवश्य देखें। / ‘Less than or equal to 25’ means that \(u\) may be smaller than 25 or exactly equal to 25. This is represented by \(\le\), so \(u\le 25\) is correct. Option A excludes the case \(u=25\). Exam tip: when ‘or equal to’ is stated, choose the inequality symbol that includes the equality bar.
n का न्यूनतम मान 18 होने का अर्थ है कि n, 18 के बराबर या उससे बड़ा हो सकता है। इसलिए सही असमानता \(n\ge 18\) है। विकल्प A और B, n की अधिकतम सीमा 18 से संबंधित हैं, जबकि विकल्प D में 18 शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ‘न्यूनतम’ के लिए \(\ge\) और ‘अधिकतम’ के लिए \(\le\) का प्रयोग करें। / If the minimum value of n is 18, then n can be equal to 18 or any value greater than 18. Hence, \(n\ge 18\) is correct. Options A and B describe an upper limit of 18, while option D excludes 18 itself. Exam tip: use \(\ge\) for a minimum value and \(\le\) for a maximum value.
दिए गए मान \(x=-1\) को विकल्प B में रखने पर \(-1\le -1\) प्राप्त होता है, जो सत्य है क्योंकि इसमें बराबरी शामिल है। विकल्प A में \(-1<-3\) असत्य है; विकल्प C और D भी \(-1\) के लिए सत्य नहीं हैं। परीक्षा में असमानता जाँचने के लिए दिए गए मान को सीधे प्रतिस्थापित करें और समानता वाले चिह्नों पर विशेष ध्यान दें। / Substituting \(x=-1\) in option B gives \(-1\le -1\), which is true because equality is included. Option A gives the false statement \(-1<-3\), and options C and D are also false for \(x=-1\). In an exam, substitute the given value directly and check carefully whether equality is included in the inequality sign.
‘कम से कम 5 वर्ष’ का अर्थ 5 वर्ष या उससे अधिक होता है, इसलिए आयु के लिए \(a\ge 5\) सही असमानता है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(a\le 5\) का अर्थ 5 वर्ष या उससे कम होता है। परीक्षा में ‘कम से कम’ को \(\ge\) और ‘अधिकतम’ को \(\le\) से जोड़कर याद रखें। / ‘At least 5 years’ means 5 years or more, so the correct inequality is \(a\ge 5\). Option B is incorrect because \(a\le 5\) means 5 years or less. In exams, remember that ‘at least’ corresponds to \(\ge\), while ‘at most’ corresponds to \(\le\).
“30 रुपये से कम” का अर्थ है कि कीमत 30 के बराबर नहीं हो सकती; इसलिए \(p<30\) सही है। विकल्प B में 30 रुपये की कीमत भी शामिल है, जो “से कम” के अर्थ के विरुद्ध है। परीक्षा में “से कम” के लिए \(<\) और “से कम या बराबर” के लिए \(\le\) चिह्न याद रखें। / “Less than 30 rupees” means that the price cannot be equal to 30, so \(p<30\) is correct. Option B includes the value 30, which is not allowed by the phrase “less than.” In exams, remember that “less than” uses \(<\), while “less than or equal to” uses \(\le\).
“12 किलोग्राम से अधिक नहीं” का अर्थ है कि भार 12 किलोग्राम के बराबर या उससे कम हो सकता है। इसलिए सही असमानता \(w\le 12\) है। विकल्प A गलत है क्योंकि \(w<12\) में 12 किलोग्राम का भार शामिल नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: “अधिकतम”, “से अधिक नहीं” या “at most” दिखे तो \(\le\) का प्रयोग करें। / “Not more than 12 kilograms” means that the weight can be equal to 12 kilograms or less than 12 kilograms. Therefore, the correct inequality is \(w\le 12\). Option A is incorrect because \(w<12\) excludes a weight of exactly 12 kilograms. Exam tip: phrases such as “maximum,” “not more than,” and “at most” indicate \(\le\).
“45 या उससे अधिक” का अर्थ है कि अंक 45 के बराबर भी हो सकते हैं या 45 से अधिक हो सकते हैं। इसलिए सही असमानता \(s\ge 45\) है। विकल्प A गलत है क्योंकि \(s>45\) में 45 शामिल नहीं है। परीक्षा में “या अधिक” या “कम से कम” पढ़ते ही \(\ge\) का प्रयोग करें। / “45 or more” means that the marks may be exactly 45 or greater than 45. Therefore, the correct inequality is \(s\ge 45\). Option A is incorrect because \(s>45\) excludes 45. In exams, translate “or more” or “at least” as \(\ge\).
असमानता \\(-1\le x<4\\) में वे सभी मान शामिल हैं जो \\(-1\\) से बड़े या बराबर और \\(4\\) से छोटे हों। \\(0\\) इस सीमा के भीतर है, इसलिए सही उत्तर C है। \\(4\\) शामिल नहीं है क्योंकि \\(x<4\\) है, जबकि \\(5\\) और \\(-2\\) सीमा के बाहर हैं। परीक्षा-युक्ति: \\(\le\\) वाला सिरा शामिल होता है, पर \\(<\\) वाला सिरा शामिल नहीं होता। / The inequality \\(-1\le x<4\\) includes values that are at least \\(-1\\) and less than \\(4\\). Since \\(0\\) lies within this interval, option C is correct. The value \\(4\\) is excluded because the inequality uses \\(<4\\), while \\(5\\) and \\(-2\\) lie outside the interval. Exam tip: an endpoint with \\(\le\\) is included, whereas an endpoint with \\(<\\) is excluded.
अंतराल के दाएँ छोर पर वर्ग कोष्ठक ] यह दर्शाता है कि 3 अंतराल में शामिल है। इसलिए इसमें 3 से छोटी या उसके बराबर सभी संख्याएँ आती हैं, अर्थात् \(x\le 3\)। परीक्षा में याद रखें: वर्ग कोष्ठक छोर को शामिल करता है, जबकि अनंत को कभी शामिल नहीं किया जाता। / The square bracket ] at the right endpoint shows that 3 is included in the interval. Thus the interval contains all numbers less than or equal to 3, so the inequality is \(x\le 3\). Exam tip: a square bracket includes the endpoint, while infinity is never included.
“कम से कम 50” का अर्थ 50 या 50 से अधिक होता है, इसलिए m का मान 50 के बराबर भी हो सकता है और उससे बड़ा भी। अतः सही असमानता \(m\ge 50\) है। विकल्प A \(m>50\) गलत है क्योंकि उसमें m=50 शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: “कम से कम” के लिए \(\ge\) और “अधिकतम” के लिए \(\le\) का प्रयोग करें। / “At least 50” means 50 or more, so m may be equal to 50 or greater than 50. Hence, the correct inequality is \(m\ge 50\). Option A, \(m>50\), is incorrect because it excludes m=50. Exam tip: use \(\ge\) for “at least” and \(\le\) for “at most.”
“12 से अधिक” का अर्थ है कि \(s\) का मान 12 से बड़ा हो और 12 के बराबर न हो, इसलिए सही असमानता \(s>12\) है। विकल्प D \(s\ge 12\) में 12 के बराबर होने की संभावना भी शामिल है। परीक्षा-युक्ति: “से अधिक” के लिए \(>\), जबकि “से अधिक या बराबर” के लिए \(\ge\) प्रयोग करें। / “Greater than 12” means that \(s\) must be larger than 12 and cannot equal 12, so \(s>12\) is correct. Option D, \(s\ge 12\), also includes the value 12. Exam tip: use \(>\) for “more than” and \(\ge\) for “more than or equal to.”
“अधिकतम \(30\)” का अर्थ है कि मान \(30\) के बराबर या उससे कम हो सकता है। इसलिए सही असमानता \(n\le 30\) है। विकल्प B, \(n<30\), में \(n=30\) को शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा-युक्ति: “at most” के लिए \(\le\) और “at least” के लिए \(\ge\) चिन्ह चुनें। / “At most \(30\)” means that the value can be \(30\) or any number less than \(30\). Therefore, \(n\le 30\) is correct. Option B, \(n<30\), excludes the value \(n=30\). Exam tip: use \(\le\) for “at most” and \(\ge\) for “at least.”
\(x\ge 2\) का अर्थ है कि \(x\) का मान 2 या 2 से बड़ा हो सकता है। इसलिए 2 समाधान समुच्चय में शामिल होगा और उसके लिए वर्ग कोष्ठक \([\) लगाया जाएगा; मान दाईं ओर अनंत तक जाएंगे। अतः सही अंतराल \([2,\infty)\) है। विकल्प A में 2 शामिल नहीं है, इसलिए वह \(x>2\) को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: \(\ge\) या \(\le\) होने पर संबंधित सीमांत बिंदु पर वर्ग कोष्ठक लगाएँ, जबकि \(\infty\) के साथ हमेशा गोल कोष्ठक लगता है। / The inequality \(x\ge 2\) means that \(x\) can be 2 or any value greater than 2. Thus, 2 is included in the solution set, so a square bracket is used at 2, and the values extend to the right up to infinity. Therefore, the correct interval is \([2,\infty)\). Option A excludes 2 and represents \(x>2\). Exam tip: Use a square bracket for an included endpoint, but always use a round bracket with \(\infty\).
“16 वर्ष से कम नहीं” का अर्थ है “कम-से-कम 16 वर्ष”, इसलिए आयु 16 के बराबर या उससे अधिक हो सकती है: \(a\ge 16\)। विकल्प D गलत है क्योंकि \(a>16\) में 16 वर्ष की आयु को शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा में “कम नहीं” या “at least” पढ़ते ही \(\ge\) का प्रयोग करें। / “Not less than 16 years” means “at least 16 years,” so the age may be equal to 16 or greater: \(a\ge 16\). Option D is incorrect because \(a>16\) excludes the age of exactly 16 years. In an exam, translate “not less than” or “at least” as \(\ge\).
