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\(|B|=\frac{24}{4}=6\), इसलिए \(|B\times C|=6\cdot7=42\)। पहले अज्ञात समुच्चय की कार्डिनलिटी निकालें। / Since \(|B|=\frac{24}{4}=6\), \(|B\times C|=6\cdot7=42\). First find the unknown cardinality.
कुल (12) युग्म हैं, (2) युग्म रखने और (1) युग्म हटाने के बाद (9) स्वतंत्र युग्म बचते हैं। इसलिए संख्या \(2^9=512\) है। / There are (12) pairs, and after forcing (2) in and (1) out, (9) pairs remain free. Hence the number is \(2^9=512\).
\(|A\times B|=10\), इसलिए ठीक (5) युग्म चुनने के तरीके \(\binom{10}{5}=252\) हैं। ठीक संख्या के लिए संयोजन लगाएँ। / \(|A\times B|=10\), so choosing exactly (5) pairs gives \(\binom{10}{5}=252\). Use combinations for exact-size subsets.
शर्त से ((8,3)) और ((5,4)) मिलते हैं, इसलिए (|R|=2)। समीकरण में (b) के संभावित मान व्यवस्थित रूप से जाँचें। / The condition gives ((8,3)) and ((5,4)), so (|R|=2). Check possible (b)-values systematically.
युग्म ((0,5),(3,4),(4,3),(5,0)) हैं, इसलिए संख्या (4) है। क्रमित युग्मों में उलटे युग्म अलग गिने जाते हैं। / The pairs are ((0,5),(3,4),(4,3),(5,0)), so the count is (4). Reversed ordered pairs are counted separately.
(a=1) पर (5), (a=2) पर (2), और (a=3) पर (1) युग्म मिलते हैं, कुल (8)। समानता (a=b) को शामिल न करें। / For (a=1), there are (5) pairs; for (a=2), (2); and for (a=3), (1), totaling (8). Do not include (a=b).
दोनों शर्तें लगाने पर (8) युग्म मिलते हैं। पहले (a<b) से छाँटें और फिर अभाज्य योग जाँचें। / Applying both conditions gives (8) pairs. First filter by (a<b), then test prime sums.
पूरक में विषम योग वाले युग्म होंगे और उनकी संख्या \(2\cdot2+2\cdot2=8\) है। पूरक गिनती में विपरीत शर्त लिखें। / The complement contains pairs with odd sum, and the count is \(2\cdot2+2\cdot2=8\). For complements, write the opposite condition.
(a=0,1,2,3) के लिए (b) के क्रमशः (5,5,2,0) मान मिलते हैं, कुल (12)। हर (a) पर सीमा अलग जाँचें। / For (a=0,1,2,3), the counts of (b) are (5,5,2,0), totaling (12). Check the boundary separately for each (a).
दोनों अवयवों की समता समान होनी चाहिए और (\gcd(a,b)=1) भी चाहिए, ऐसे (7) युग्म हैं। सम-सम युग्मों में \(\gcd\) जल्दी जाँचें। / The components must have the same parity and also (\gcd(a,b)=1), giving (7) pairs. Check \(\gcd\) carefully among same-parity pairs.
यह \(a\mid b\) की शर्त है; (a=1,2,3,4) के लिए गिनती (4,4,1,2) है। कुल (11) युग्म मिलते हैं। / This is the condition \(a\mid b\); for (a=1,2,3,4), the counts are (4,4,1,2). The total is (11) pairs.
(B-C={1,4}) से (6) और \(B\cap C={2,3}\) से (6) युग्म मिलते हैं। योग (12) है। / (B-C={1,4}) gives (6) pairs, and \(B\cap C={2,3}\) gives (6) pairs. The sum is (12).
(a+b=6) वाले (5) और (a=b) वाले (5) युग्म हैं, पर ((3,3)) दो बार गिना गया। इसलिए (5+5-1=9)। / There are (5) pairs with (a+b=6) and (5) with (a=b), but ((3,3)) is counted twice. Hence (5+5-1=9).
पहली शर्त के अंदर विपरीत समता वाले युग्म गिनने पर (10) मिलते हैं। संयुक्त शर्तों में पहले सीमा और फिर समता जाँचें। / Counting opposite-parity pairs under the product bound gives (10). For combined conditions, check the bound first and then parity.
संभव अंतरों को जाँचने पर अभाज्य अंतर वाले (6) युग्म मिलते हैं। ध्यान रखें कि (1) अभाज्य नहीं है। / Checking possible differences gives (6) pairs with prime difference. Remember that (1) is not prime.
हर ((b,c)) से (a=b+c) बनता है और सभी (6) मान (A) में हैं। इसलिए (6) त्रिक मिलते हैं। / Each ((b,c)) gives (a=b+c), and all (6) values lie in (A). Hence there are (6) triples.
(\operatorname{lcm}(a,b)=6) के लिए (a,b) के मान (6) के भाजक होने चाहिए और कुल (9) युग्म मिलते हैं। भाजकों की सूची से जाँचें। / For (\operatorname{lcm}(a,b)=6), both values must divide (6), and there are (9) pairs. Check using the list of divisors.
कुल (25) युग्मों में (|a-b|>2) वाले (6) युग्म हैं, इसलिए (25-6=19)। पूरक गिनती तेज रहती है। / Among (25) total pairs, (6) pairs have (|a-b|>2), so (25-6=19). Complement counting is quicker.
(a<b) वाले (6) और (a+b=5) वाले (4) युग्म हैं, साझा (2) हैं। इसलिए (6+4-2=8)। / There are (6) pairs with (a<b) and (4) with (a+b=5), with (2) common. Thus (6+4-2=8).
\(a+b\le4\) वाले कुल (15) युग्म हैं और उनमें बराबर युग्म ((0,0),(1,1),(2,2)) हैं। इसलिए (15-3=12)। / There are (15) pairs with \(a+b\le4\), and equal pairs among them are ((0,0),(1,1),(2,2)). Hence (15-3=12).
(3) से विभाज्य योग वाले (12) युग्म हैं और उनमें ((3,3),(6,6)) बराबर युग्म हैं। इसलिए (12-2=10)। / There are (12) pairs with sum divisible by (3), and equal pairs among them are ((3,3),(6,6)). Hence (12-2=10).
(a=1) पर (4) और (a=2) पर (1) मान मिलते हैं, बाकी पर कोई नहीं। कुल (5) युग्म हैं। / For (a=1), there are (4) values, and for (a=2), there is (1); none for the rest. Total is (5).
क्योंकि \((2,5)\in R\), इसलिए \((5,2)\in R^{-1}\)। प्रतिलोम संबंध में क्रम उलटता है। / Since \((2,5)\in R\), we have \((5,2)\in R^{-1}\). In an inverse relation, the order reverses.
गुणजों की कुल गिनती (6+3+2=11) है और ((1,1),(2,2),(3,3)) हटते हैं। इसलिए (11-3=8)। / The total multiple count is (6+3+2=11), and ((1,1),(2,2),(3,3)) are removed. Thus (11-3=8).
\(a^2\) के अवशेष (1,4,4,1) हैं और (B) में हर ऐसे अवशेष का एक-एक मान है। इसलिए कुल (4) युग्म हैं। / The residues of \(a^2\) are (1,4,4,1), and each such residue has one value in (B). Therefore there are (4) pairs.
सम (a) के लिए (a=2) पर (4) और (a=4) पर (2) मान मिलते हैं। कुल (6) युग्म हैं। / For even (a), (a=2) gives (4) values and (a=4) gives (2). Total is (6) pairs.
समीकरण ((a-1)(b-1)=1) देता है, इसलिए केवल ((2,2)) मिलता है। रूपांतरण से गिनती आसान होती है। / The equation gives ((a-1)(b-1)=1), so only ((2,2)) works. Factor transformation makes counting easier.
विषम योग वाले युग्म (8) हैं, इसलिए (R) के उपसमुच्चय \(2^8=256\) हैं। पहले संबंध की कार्डिनलिटी निकालें। / There are (8) pairs with odd sum, so subsets of (R) are \(2^8=256\). First find the cardinality of the relation.
योग सम के लिए दोनों की समता समान चाहिए और (a<b) भी चाहिए। विषमों से (3) और समों से (1) युग्म मिलते हैं, कुल (4)। / Even sum requires same parity, along with (a<b). Odd values give (3) pairs and even values give (1), totaling (4).
(b=2a) से (3) और (b=3a) से (2) युग्म मिलते हैं, कोई साझा युग्म नहीं है। कुल (5) युग्म हैं। / The rule (b=2a) gives (3) pairs and (b=3a) gives (2), with no overlap. Total is (5).
यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(B=\{1,2,3,4,5,6\}\) हैं, तो \(A\times B\) में कितने युग्म ((a,b)) ऐसे हैं जिनमें (a) और (b) दोनों अभाज्य हैं या दोनों भाज्य हैं?
अभाज्य संख्याएँ (3) और भाज्य संख्याएँ (2) हैं, इसलिए गिनती \(3^2+2^2=13\) है। (1) न अभाज्य है न भाज्य। / There are (3) primes and (2) composites, so the count is \(3^2+2^2=13\). The number (1) is neither prime nor composite.
(a-b=1) से (5) और (a-b=3) से (3) युग्म मिलते हैं, कुल (8)। अलग-अलग अंतरों को जोड़ें। / The condition (a-b=1) gives (5) pairs and (a-b=3) gives (3), totaling (8). Add the counts for separate differences.
विकर्ण युग्म ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) हैं, इसलिए (4) हटाने होंगे। विकर्ण की संख्या (|A|) होती है। / The diagonal pairs are ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)), so (4) must be removed. The number of diagonal pairs is (|A|).
तीन संख्याओं (1) से (3) के बीच योग (6) के कुल (7) क्रमित त्रिक हैं। क्रमित त्रिक में क्रम अलग गिना जाता है। / There are (7) ordered triples from (1) to (3) with sum (6). In ordered triples, order is counted separately.
योग (4) या (8) हो सकता है और अनुकूल युग्मों की कुल संख्या (6) है। शेषफल या योग-सूची से गिनें। / The sum can be (4) or (8), and the total number of valid pairs is (6). Count using remainders or a sum list.
योग (5) या (10) बनने वाले क्रमित युग्मों की संख्या (7) है। शेषफलों के पूरक जोड़ से तेज गिनती होती है। / The number of ordered pairs with sum (5) or (10) is (7). Complementary remainders give a quick count.
प्रत्येक (a) के लिए (b) का ठीक एक अवशेष (B) में मिलता है। इसलिए कुल (5) युग्म हैं। / For each (a), exactly one residue for (b) appears in (B). Therefore there are (5) pairs.
\(a\mid b\) वाले (16) युग्म हैं और \(b\mid a\) भी होने वाले ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) हैं। इसलिए (16-4=12)। / There are (16) pairs with \(a\mid b\), and pairs where \(b\mid a\) also holds are ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)). Hence (16-4=12).
हर (x) के लिए (R) उसे (6-x) से और फिर वापस (x) से जोड़ता है। इसलिए \(R\circ R={(x,x):x\in A}\) में (5) युग्म हैं। / For each (x), (R) maps it to (6-x) and then back to (x). Thus \(R\circ R={(x,x):x\in A}\) has (5) pairs.
दोनों संख्याएँ (2) से गुणित हों और भाग देने पर परस्पर अभाज्य रहें, ऐसे (7) युग्म हैं। \(\gcd\) प्रश्न में सामान्य गुणनखंड निकालें। / Both numbers must be multiples of (2), and after division the reduced pair must be coprime, giving (7) pairs. Factor out the common divisor in \(\gcd\) questions.
पूरक में (a+b<6) वाले युग्म होंगे, जिनकी पंक्ति-गिनती (4,3,2,1) है। इसलिए कुल (10) युग्म हैं। / The complement has pairs with (a+b<6), whose row counts are (4,3,2,1). Hence there are (10) pairs.
योग सम के लिए समता समान चाहिए और (ab) में (3) का गुणनखंड चाहिए। ऐसे (5) युग्म मिलते हैं। / Even sum needs same parity, and (ab) must contain a factor (3). This gives (5) pairs.
(a+b=9) वाले (4) और (ab=12) वाले (4) युग्म हैं, साझा कोई नहीं है। इसलिए कुल (8) युग्म हैं। / There are (4) pairs with (a+b=9) and (4) with (ab=12), with no overlap. Hence the total is (8).
\(R^{-1}\) में (a>b) वाली शर्त होगी, जो (a<b) के साथ एक साथ संभव नहीं है। इसलिए प्रतिच्छेद रिक्त है। / \(R^{-1}\) has the condition (a>b), which cannot hold together with (a<b). Therefore the intersection is empty.
(b-a=0) से (4) और (b-a=2) से (3) युग्म मिलते हैं। कुल (7) युग्म हैं। / The condition (b-a=0) gives (4) pairs and (b-a=2) gives (3). The total is (7) pairs.
(c=1) पर योग (3) के (2) त्रिक और (c=2) पर योग (5) के (2) त्रिक मिलते हैं। कुल (4) हैं। / For (c=1), sum (3) gives (2) triples, and for (c=2), sum (5) gives (2). Total is (4).
(a=1,2,3,4,5) के लिए योग्य (b) की गिनती (3,2,2,1,1) है, कुल (9)। विषम योग के लिए समता अलग होनी चाहिए। / For (a=1,2,3,4,5), the counts of valid (b) are (3,2,2,1,1), totaling (9). Odd sum requires opposite parity.
शर्त \(a+b\le5\) उलटने पर भी वही रहती है, इसलिए (R) के सभी (10) युग्म योग्य हैं। सममित शर्त को पहचानें। / The condition \(a+b\le5\) remains the same after reversal, so all (10) pairs of (R) qualify. Recognize symmetric conditions.
धनात्मक संख्याओं के लिए \(a^2=b^2\) से (a=b) मिलता है। इसलिए (5) विकर्ण युग्म हैं। / For positive numbers, \(a^2=b^2\) gives (a=b). Therefore there are (5) diagonal pairs.
यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), \(B=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(R=\{(a,b):a+b=7\}\) है, तो (R) के कितने उपसमुच्चय कम से कम एक युग्म रखते हैं जिसका पहला अवयव (1) है?
(R) में (6) युग्म हैं और पहला अवयव (1) वाला केवल ((1,6)) है। उसे रखना होगा, इसलिए बाकी (5) युग्म स्वतंत्र हैं और संख्या \(2^5=32\) है। / There are (6) pairs in (R), and only ((1,6)) has first component (1). It must be included, so the other (5) pairs are free, giving \(2^5=32\).
क्योंकि (n\(A\times B\)=n(A)n(B)), इसलिए (72=8n(B))। परीक्षा में पहले गुणन नियम लगाएं। / Since (n\(A\times B\)=n(A)n(B)), (72=8n(B)). In exams, apply the product rule first.
(n\(A\times B\)=12) और (\(A\times B\)\cap\(C\times D\)=\(A\cap C\)\times\(B\cap D\)) में (4) अवयव हैं। इसलिए अंतर में (12-4=8) अवयव होंगे। / (n\(A\times B\)=12), and (\(A\times B\)\cap\(C\times D\)=\(A\cap C\)\times\(B\cap D\)) has (4) elements. So the difference has (12-4=8) elements.
अशून्य समुच्चयों के लिए \(A\times B=B\times A\) तभी होता है जब (A=B)। परीक्षा में खाली समुच्चय की शर्त जरूर देखें। / For non-empty sets, \(A\times B=B\times A\) only when (A=B). In exams, always check the empty-set condition.
शर्त (y=x+2) से (x=1,2) पर ही \(y\in B\) मिलता है। (x=3) पर (y=5) है जो (B) में नहीं है। / The condition (y=x+2) gives \(y\in B\) only for (x=1,2). For (x=3), (y=5), which is not in (B).
यहां \(A=\{-2,2\}\) और \(B=\{2,3\}\), इसलिए (n\(A\times B\)=2\cdot 2=4)। परीक्षा में पहले प्रत्येक समुच्चय के अवयव निकालें। / Here \(A=\{-2,2\}\) and \(B=\{2,3\}\), so (n\(A\times B\)=2\cdot 2=4). In exams, first list each set.
( (4,2) ) में पहला अवयव (4) है जो (A) में नहीं है। परीक्षा में क्रमबद्ध युग्म में पहला स्थान (A) से और दूसरा स्थान (B) से लें। / In ( (4,2) ), the first element (4) is not in (A). In exams, take the first coordinate from (A) and the second from (B).
(\(A\times B\)\cap\(C\times D\)=\(A\cap C\)\times\(B\cap D\)), जहां \(A\cap C={2,3}\) और \(B\cap D={b}\)। इसलिए कुल \(2\cdot1=2\) अवयव हैं। / (\(A\times B\)\cap\(C\times D\)=\(A\cap C\)\times\(B\cap D\)), where \(A\cap C={2,3}\) and \(B\cap D={b}\). So there are \(2\cdot1=2\) elements.
हर \(a\in A\) के लिए \(a\in C\) और हर \(b\in B\) के लिए \(b\in D\), इसलिए \((a,b)\in C\times D\)। परीक्षा में दोनों निर्देशांकों की सदस्यता अलग जांचें। / Every \(a\in A\) lies in (C), and every \(b\in B\) lies in (D), so \((a,b)\in C\times D\). In exams, check membership of both coordinates separately.
\(2\in[1,3]\) और \(4\in(2,5)\), इसलिए \((2,4)\in A\times B\)। परीक्षा में बंद और खुले अंतराल के सिरों को ध्यान से देखें। / \(2\in[1,3]\) and \(4\in(2,5)\), so \((2,4)\in A\times B\). In exams, check endpoints of closed and open intervals carefully.
बराबर निर्देशांक वाले युग्म ((a,a)) रूप के होते हैं और ऐसे युग्मों की संख्या (n(A)) होती है। परीक्षा में इन्हें विकर्ण युग्म समझें। / Pairs with equal coordinates are of the form ((a,a)), and their number is (n(A)). In exams, treat them as diagonal pairs.
कुल युग्म \(7^2=49\) और बराबर निर्देशांक वाले (7) हैं। इसलिए अलग निर्देशांक वाले (49-7=42) हैं। / Total pairs are \(7^2=49\), and equal-coordinate pairs are (7). Hence distinct-coordinate pairs are (49-7=42).
संबंध \(A\times B\) का कोई भी उपसमुच्चय होता है और (n\(A\times B\)=20)। इसलिए कुल संबंधों की संख्या \(2^{20}\) है। / A relation is any subset of \(A\times B\), and (n\(A\times B\)=20). Hence the number of relations is \(2^{20}\).
यहां (n\(A\times B\)=3\cdot2=6)। ठीक (2) युग्म चुनने की संख्या \(\binom{6}{2}=15\) है। / Here (n\(A\times B\)=3\cdot2=6). The number of ways to choose exactly (2) pairs is \(\binom{6}{2}=15\).
क्रमबद्ध युग्म बराबर होने पर (2x-1=5) और (y+3=10) होते हैं। इससे (x=3) और (y=7) मिलता है। / Equal ordered pairs give (2x-1=5) and (y+3=10). Thus (x=3) and (y=7).
क्योंकि (a-2-b-2=(a+b)(a-b)), इसलिए मान \(9\cdot1=9\) है। परीक्षा में युग्म बराबरी से सीधे निर्देशांक मिलाएं। / Since (a-2-b-2=(a+b)(a-b)), the value is \(9\cdot1=9\). In exams, match coordinates directly from pair equality.
पहले निर्देशांक (1,2) हैं और दूसरे निर्देशांक (3,4) हैं। इसलिए \(A=\{1,2\}\) और \(B=\{3,4\}\)। / The first coordinates are (1,2), and the second coordinates are (3,4). Hence \(A=\{1,2\}\) and \(B=\{3,4\}\).
B. \(A=\varnothing\) या \(B=\varnothing\)/\(A=\varnothing\) or \(B=\varnothing\)
Explanation
Simple Explanation
कार्तीय गुणन खाली तभी होता है जब कम से कम एक समुच्चय खाली हो। परीक्षा में दोनों के खाली होने की जरूरत नहीं होती। / A Cartesian product is empty when at least one set is empty. In exams, both sets need not be empty.
\(B\cup C={3,4,5}\), इसलिए (n(A\times\(B\cup C\))=2\cdot3=6)। परीक्षा में पहले अंदर का समुच्चय सरल करें। / \(B\cup C={3,4,5}\), so (n(A\times\(B\cup C\))=2\cdot3=6). In exams, simplify the inner set first.
(x=0) पर (3), (x=1) पर (2), और (x=2) पर (1) विकल्प हैं। कुल (3+2+1=6) युग्म मिलते हैं। / For (x=0) there are (3) choices, for (x=1) there are (2), and for (x=2) there is (1). Total pairs are (3+2+1=6).
सही युग्म ((-1,2)), ((0,1)) और ((1,0)) हैं। परीक्षा में (x) चुनकर (y=1-x) जांचें। / The valid pairs are ((-1,2)), ((0,1)), and ((1,0)). In exams, choose (x) and check (y=1-x).
(x=1) से (4), (x=2) से (2), (x=3) से (1), (x=4) से (1) युग्म मिलते हैं। कुल (4+2+1+1=8) है। / For (x=1) there are (4), for (x=2) there are (2), for (x=3) there is (1), and for (x=4) there is (1). Total is (4+2+1+1=8).
कुल (9) युग्म हैं और गुणनफल विषम केवल ((1,3)) तथा ((3,3)) में है। इसलिए सम गुणनफल वाले (9-2=7) हैं। / There are (9) total pairs, and the product is odd only for ((1,3)) and ((3,3)). Hence even-product pairs are (9-2=7).
(x=2) पर (1), (x=4) पर (3), और (x=6) पर (4) विकल्प हैं। कुल (1+3+4=8) नहीं बल्कि (x=6) के लिए चारों (y) सही हैं, अतः कुल (8) है। / For (x=2) there is (1) choice, for (x=4) there are (3), and for (x=6) there are (4). Hence the total is (1+3+4=8), so choose the option (8).
(x=3) के साथ केवल (8) और (x=5) के साथ (6,8) सही हैं। इसलिए कुल (1+2=3) युग्म हैं। / With (x=3), only (8) works, and with (x=5), (6,8) work. So there are (1+2=3) pairs.
(y=1,2,3) देने पर (x=1,3,5) मिलते हैं और ये सभी (A) में हैं। अतः कुल (3) युग्म हैं। / For (y=1,2,3), we get (x=1,3,5), all of which lie in (A). Hence there are (3) pairs.
हर \(x\in A\) के लिए \(2x\in B\), इसलिए ((1,2),(2,4),(4,8),(8,16)) मिलते हैं। कुल (4) युग्म हैं। / For every \(x\in A\), \(2x\in B\), giving ((1,2),(2,4),(4,8),(8,16)). There are (4) pairs.
(x=0,1,2,3) पर (y=0,1,4,9) मिलते हैं और सभी (B) में हैं। इसलिए कुल (4) युग्म हैं। / For (x=0,1,2,3), (y=0,1,4,9), all in (B). Hence there are (4) pairs.
योग सम तब होगा जब दोनों संख्याएं समान समता की हों। विषम-विषम (4) और सम-सम (1) मिलकर कुल (5) युग्म देते हैं। / The sum is even when both numbers have the same parity. Odd-odd gives (4) pairs and even-even gives (1), so total is (5).
(x+y=5) और दोनों निर्देशांक (1) से (4) में होने चाहिए। इसलिए चार युग्म ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)) मिलते हैं। / (x+y=5), and both coordinates must lie from (1) to (4). Thus the four pairs are ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)).
\(B\times A\) में पहला निर्देशांक (B) से और दूसरा (A) से आता है। इसलिए ((1,a)) सही है। / In \(B\times A\), the first coordinate comes from (B) and the second from (A). Hence ((1,a)) is correct.
(\(A\times B\)\times C) का अवयव (((a,b),c)) रूप का होता है। इसलिए (((1,3),5)) सही संरचना है। / An element of (\(A\times B\)\times C) has the form (((a,b),c)). Therefore (((1,3),5)) has the correct structure.
सामान्यतः \(A\times B\neq B\times A\) क्योंकि क्रम बदल जाता है। परीक्षा में ((a,b)) और ((b,a)) को अलग समझें। / Generally \(A\times B\neq B\times A\) because the order changes. In exams, treat ((a,b)) and ((b,a)) as different.
\(A\cap C={2,3}\) और \(B\cap C={3,4}\)। इसलिए अवयवों की संख्या \(2\cdot2=4\) है। / \(A\cap C={2,3}\) and \(B\cap C={3,4}\). Therefore the number of elements is \(2\cdot2=4\).
मान लें (n(B)=m), तब (n(A)=m+2) और (m(m+2)=24)। इससे (m=4), इसलिए (n(A)=6)। / Let (n(B)=m), then (n(A)=m+2) and (m(m+2)=24). This gives (m=4), so (n(A)=6).
(x=1,2,3,4) के लिए क्रमशः (4,3,2,1) विकल्प हैं। कुल (4+3+2+1=10) युग्म मिलते हैं। / For (x=1,2,3,4), the numbers of choices are (4,3,2,1). Total pairs are (4+3+2+1=10).
शर्त (y=x+1) है और युग्म ((0,1),(2,3),(4,5)) हैं। इसलिए कुल (3) युग्म हैं। / The condition is (y=x+1), and the pairs are ((0,1),(2,3),(4,5)). Therefore there are (3) pairs.
विषम (x) मान (1,3,5) हैं और इनके वर्ग (1,9,25) (B) में हैं। इसलिए कुल (3) युग्म हैं। / The odd values of (x) are (1,3,5), and their squares (1,9,25) are in (B). Hence there are (3) pairs.
योग (3,5,7) अभाज्य हो सकते हैं। सही युग्म ((1,2),(1,4),(2,3),(3,2),(3,4)) हैं, इसलिए (5) युग्म हैं। / The prime sums possible are (3,5,7). The valid pairs are ((1,2),(1,4),(2,3),(3,2),(3,4)), so there are (5) pairs.
(x=1) से (4), (x=2) से (4), (x=3) से (1), और (x=4) से (2) युग्म मिलते हैं। कुल (4+4+1+2=11) है। / For (x=1) there are (4), for (x=2) there are (4), for (x=3) there is (1), and for (x=4) there are (2). Total is (11).
कुल (9) युग्म हैं और बराबर निर्देशांक वाले (3) हैं। इसलिए \(x\neq y\) वाले (9-3=6) युग्म हैं। / There are (9) total pairs and (3) equal-coordinate pairs. Hence pairs with \(x\neq y\) are (9-3=6).
(x=2) पर (4,6,10), (x=3) पर (6,15), और (x=5) पर (10,15) सही हैं। कुल (3+2+2=7) नहीं बल्कि ((5,15)) सहित (7) है, इसलिए सही विकल्प (7) होना चाहिए। / For (x=2), (4,6,10) work; for (x=3), (6,15) work; for (x=5), (10,15) work. The total is (3+2+2=7), so the correct option is (7).
(x=1) पर (3,4,5), (x=2) पर (4,5), और (x=3) पर (5) सही हैं। कुल (3+2+1=6) युग्म हैं। / For (x=1), (3,4,5) work; for (x=2), (4,5) work; for (x=3), (5) works. Total is (3+2+1=6).
योग (3) या (6) हो सकता है। सही युग्म ((1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2)) हैं, इसलिए (5) युग्म हैं। / The sum can be (3) or (6). Valid pairs are ((1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2)), so there are (5) pairs.
(x=1,2,3,4) पर (y=1,3,5,7) मिलते हैं और ये सभी (B) में हैं। अतः कुल (4) युग्म हैं। / For (x=1,2,3,4), (y=1,3,5,7), all in (B). Hence there are (4) pairs.
(x=1) पर (4), (x=2) पर (4), और (x=3) पर केवल (6) सही है। कुल (4+4+1=9) है। / For (x=1), (4) values work; for (x=2), (4) values work; and for (x=3), only (6) works. Total is (9).
समीकरण (xy-x-y=0) से ((x-1)(y-1)=1) मिलता है। धनात्मक पूर्णांकों में केवल ((2,2)) सही है, इसलिए संख्या (1) है। / The equation (xy-x-y=0) gives ((x-1)(y-1)=1). Among positive integers, only ((2,2)) works, so the count is (1).
यदि \(A={x\in\mathbb{Z}:|x-2|\le2}\) और \(B={y\in\mathbb{N}:y^2-5y+6=0}\), तो \(A\times B\) में (x+y) अभाज्य होने वाले क्रमित युग्मों की संख्या कितनी है?
यहां \(A=\{0,1,2,3,4\}\) और \(B=\{2,3\}\) हैं। जांचने पर (x+y) अभाज्य वाले (6) युग्म मिलते हैं, इसलिए पहले समुच्चय स्पष्ट करें। / Here \(A=\{0,1,2,3,4\}\) and \(B=\{2,3\}\). On checking, (6) pairs have (x+y) prime, so first write the sets clearly.
पहले स्थान पर आने वाले तत्व (1,4) हैं और दूसरे स्थान पर आने वाले तत्व (2,3) हैं। \(A\times B\) में क्रम बहुत महत्वपूर्ण होता है। / The first coordinates are (1,4) and the second coordinates are (2,3). Order is very important in \(A\times B\).
(a=1,2,3,4) पर मान्य (b) की संख्याएं क्रमशः (4,4,1,0) हैं। कुल (9) युग्म हैं, इसलिए हर पहले घटक पर शर्त लगाएं। / For (a=1,2,3,4), the valid numbers of (b) are (4,4,1,0). Total is (9), so apply the condition for each first coordinate.
(n\(A\times B\)=3\cdot2=6) और फिर \(6\cdot4=24\)। युग्म का तत्व भी अगले कार्तीय गुणन में एक तत्व माना जाता है। / (n\(A\times B\)=3\cdot2=6) and then \(6\cdot4=24\). An ordered pair is treated as one element in the next Cartesian product.
केवल ((2,3)) और ((3,2)) के लिए (\operatorname{lcm}(a,b)=6) है। ध्यान रखें कि (6) दूसरे समुच्चय (B) में नहीं है। / Only ((2,3)) and ((3,2)) have (\operatorname{lcm}(a,b)=6). Remember that (6) is not in the second set (B).
(n\(A\times B\)=mn) और (n\(B\times A\)=nm), इसलिए दोनों बराबर हैं। बराबर संख्या का अर्थ बराबर समुच्चय होना जरूरी नहीं है। / (n\(A\times B\)=mn) and (n\(B\times A\)=nm), so they are equal. Equal cardinality does not necessarily mean equal sets.
यदि (A=B), तो दोनों गुणन में वही सभी क्रमित युग्म मिलते हैं। केवल तत्वों की संख्या बराबर होना पर्याप्त नहीं है। / If (A=B), both products contain exactly the same ordered pairs. Equal number of elements alone is not enough.
दोनों कार्तीय गुणनों में समान क्रमित युग्म केवल ((2,2)) है। क्रमित युग्म में ((1,2)) और ((2,1)) अलग होते हैं। / The only common ordered pair in both Cartesian products is ((2,2)). In ordered pairs, ((1,2)) and ((2,1)) are different.
\(B=\{2,3,5,7\}\) है; योग सम तब होगा जब दोनों की समता समान हो। कुल युग्म \(2\cdot1+3\cdot3=11\) नहीं, बल्कि (A) में सम (2) और विषम (3) से \(2\cdot1+3\cdot3=11\) मिलते हैं, इसलिए विकल्पों में त्रुटि जांचें। / \(B=\{2,3,5,7\}\); the sum is even when both have the same parity. Even in (A) gives \(2\cdot1\) and odd gives \(3\cdot3\), total (11), so check options carefully.
(a=1) पर (3), (a=2) पर (3), (a=3) पर (1), और (a=4) पर (1) युग्म मिलते हैं। कुल (8) है, इसलिए प्रत्येक पहले निर्देशांक को अलग जांचें। / For (a=1) there are (3), for (a=2) there are (3), for (a=3) there is (1), and for (a=4) there is (1). Total is (8), so test each first coordinate separately.
(ab=0) के लिए (a=0) से (3) युग्म और (b=0) से (3) युग्म मिलते हैं, लेकिन ((0,0)) दो बार गिना गया है। इसलिए कुल (3+3-1=5) है। / For (ab=0), (a=0) gives (3) pairs and (b=0) gives (3) pairs, but ((0,0)) is counted twice. Hence total is (3+3-1=5).
(a=1) पर (3), (a=2) पर (2), और (a=3) पर (1) विकल्प मिलते हैं। कुल (6) है और असमता में क्रम ध्यान से देखें। / For (a=1) there are (3), for (a=2) there are (2), and for (a=3) there is (1) choice. Total is (6), and the order in inequality matters.
(a=2) पर केवल (9), (a=3) पर (4,10), और (a=5) पर (4,6,9) में से (4,6,9) मिलते हैं, कुल (6) है। अतः दिए विकल्पों में सही संख्या होनी चाहिए (6), इसलिए विकल्प नहीं मिलते। / For (a=2), only (9); for (a=3), (4,10); for (a=5), (4,6,9), giving total (6). Therefore the correct count should be (6), so the listed options do not match.
(n\(A\times B\)=12) और समान भाग (\(A\cap B\)\times\(A\cap B\)) के (4) युग्म हैं। इसलिए अंतर में (12-4=8) युग्म होंगे। / (n\(A\times B\)=12), and the common part (\(A\cap B\)\times\(A\cap B\)) has (4) pairs. So the difference has (12-4=8) pairs.
\(B=\{-2,2\}\) है और युग्म ((2,-2)) तथा ((-2,2)) मिलते हैं। समीकरण लगाते समय दोनों निर्देशांक का समुच्चय अलग रखें। / \(B=\{-2,2\}\), and the pairs are ((2,-2)) and ((-2,2)). Keep the sets of both coordinates separate while applying the equation.
कार्तीय गुणन दूसरे घटक में संघ पर वितरित होता है। सूत्र (A\times\(B\cup C\)=\(A\times B\)\cup\(A\times C\)) याद रखें। / Cartesian product distributes over union in the second component. Remember (A\times\(B\cup C\)=\(A\times B\)\cup\(A\times C\)).
B. \(A=\varnothing\) या \(B=\varnothing\)/\(A=\varnothing\) or \(B=\varnothing\)
Explanation
Simple Explanation
कार्तीय गुणन खाली तभी होगा जब कम से कम एक समुच्चय खाली हो। दोनों का खाली होना जरूरी नहीं है। / The Cartesian product is empty when at least one of the sets is empty. Both sets need not be empty.
(n\(A\times B\)=3\cdot2=6), इसलिए (n(P\(A\times B\))=26=64)। घात समुच्चय के लिए \(2^n\) लगाएं। / (n\(A\times B\)=3\cdot2=6), so (n(P\(A\times B\))=26=64). Use \(2^n\) for a power set.
(n\(A\cup B\)=4+5-2=7) और (n\(A\cap B\)=2)। इसलिए कुल \(2\cdot7=14\) है। / (n\(A\cup B\)=4+5-2=7) and (n\(A\cap B\)=2). Hence the total is \(2\cdot7=14\).
(a=1,2,3,4,5) पर क्रमशः (4,3,3,2,2) विकल्प मिलते हैं। कुल (14) है, इसलिए हर (a) के लिए (b) गिनें। / For (a=1,2,3,4,5), the numbers of choices are (4,3,3,2,2). Total is (14), so count (b) for each (a).
हर \(a\in A\) के लिए (b=2a) लेने पर तीनों (b) समुच्चय (B) में हैं। क्रमित युग्म का पहला घटक (A) से ही होना चाहिए। / For each \(a\in A\), (b=2a) lies in (B). The first coordinate must come from (A).
(a=0,1,2,3) पर (b=0,1,4,9) सभी (B) में हैं। इसलिए (4) युग्म मिलते हैं। / For (a=0,1,2,3), (b=0,1,4,9), all of which are in (B). Hence (4) pairs are obtained.
पांचों (a) मानों के वर्ग (4,1,0,1,4) सभी (B) में हैं। इसलिए प्रत्येक (a) से एक युग्म बनेगा। / The squares of all five (a)-values are (4,1,0,1,4), all in (B). Therefore each (a) gives one pair.
युग्म ((1,8)), ((2,4)) और ((4,2)) बनते हैं। गुणन में संख्या समान हो सकती है, पर क्रमित युग्म में स्थान बदलने से युग्म बदलता है। / The pairs are ((1,8)), ((2,4)), and ((4,2)). Values may multiply the same way, but changing positions changes an ordered pair.
योग (4) देने वाले सभी क्रमित युग्म ((1,3),(2,2),(3,1)) हैं। संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। / All ordered pairs with sum (4) are ((1,3),(2,2),(3,1)). A relation is a subset of \(A\times B\).
(n\(A\times B\)=16), इसलिए ठीक (2) युग्म चुनने के तरीके \({}^{16}C_2=120\) हैं। संबंध गिनते समय उपसमुच्चय चयन का विचार लगाएं। / (n\(A\times B\)=16), so the number of ways to choose exactly (2) pairs is \({}^{16}C_2=120\). Use subset selection when counting relations.
\(A\times B\) में \(3\cdot2=6\) युग्म हैं और हर संबंध इसका उपसमुच्चय है। इसलिए कुल संबंध \(2^6=64\) हैं। / \(A\times B\) has \(3\cdot2=6\) pairs, and each relation is a subset of it. Hence total relations are \(2^6=64\).
योग विषम तब होगा जब एक संख्या विषम और दूसरी सम हो। (A) में (2) विषम और (1) सम हैं, (B) में (2) सम और (1) विषम हैं, इसलिए \(2\cdot2+1\cdot1=5\)। / The sum is odd when one number is odd and the other is even. (A) has (2) odd and (1) even elements, while (B) has (2) even and (1) odd elements, so \(2\cdot2+1\cdot1=5\).
(b) को (a) का भाजक होना चाहिए। (a=2,4,6) के लिए क्रमशः (2,3,3) मान मिलते हैं, कुल (8)। / (b) must be a divisor of (a). For (a=2,4,6), the counts are (2,3,3), totaling (8).
सिर्फ ((3,4)) और ((4,3)) से (9+16=25) मिलता है। क्रम बदलने पर नया क्रमित युग्म बनता है। / Only ((3,4)) and ((4,3)) give (9+16=25). Reversing the order gives a new ordered pair.
कुल (9) युग्म हैं और (a=b) वाले (3) युग्म हैं। इसलिए \(a\ne b\) वाले (9-3=6) हैं। / There are (9) total pairs and (3) pairs with (a=b). So pairs with \(a\ne b\) are (9-3=6).
युग्म ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)) हैं। \(A\times A\) में दोनों घटक उसी समुच्चय से आते हैं। / The pairs are ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)). In \(A\times A\), both coordinates come from the same set.
अभाज्य न होने वाले युग्म ((2,2),(2,4),(3,3),(4,2),(4,4),(5,5)) हैं। कुल (25-6=19) युग्म परस्पर अभाज्य हैं। / The non-coprime pairs are ((2,2),(2,4),(3,3),(4,2),(4,4),(5,5)). Thus (25-6=19) pairs are relatively prime.
\(A\times B\) में पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से होना चाहिए। ((x,1)) में क्रम उल्टा है, इसलिए यह सदस्य नहीं है। / In \(A\times B\), the first coordinate must be from (A) and the second from (B). In ((x,1)), the order is reversed, so it is not a member.
\(A\cup B={1,2,3,4}\) में (4) तत्व हैं और (C) में (2) तत्व हैं। इसलिए \(4\cdot2=8\) युग्म बनेंगे। / \(A\cup B={1,2,3,4}\) has (4) elements and (C) has (2) elements. Hence \(4\cdot2=8\) pairs are formed.
\(A\cap C={1,2,4}\) और \(B\cap C={2,4}\) हैं। इसलिए कुल \(3\cdot2=6\) युग्म हैं। / \(A\cap C={1,2,4}\) and \(B\cap C={2,4}\). Therefore the total number of pairs is \(3\cdot2=6\).
\(B\setminus A={4}\), इसलिए (A) के प्रत्येक तत्व के साथ (4) दूसरा घटक बनेगा। अंतर निकालकर ही गुणन करें। / \(B\setminus A={4}\), so (4) becomes the second coordinate with each element of (A). Find the difference before multiplying.
(a>b) चाहिए; युग्म ((2,1),(3,1),(3,2)) हैं। धनात्मक अंतर के लिए पहले घटक को बड़ा होना चाहिए। / We need (a>b); the pairs are ((2,1),(3,1),(3,2)). For a positive difference, the first coordinate must be larger.
(a=1,2,3,4) पर (b>a) के लिए क्रमशः (3,3,3,2) विकल्प हैं। कुल (11) है। / For (a=1,2,3,4), the numbers of choices with (b>a) are (3,3,3,2). Total is (11).
योगों में अभाज्य मान (3,5,7) आते हैं; वैध युग्म ((1,2),(2,3),(2,5),(3,2)) और ((1,4)) नहीं है, इसलिए सही कुल (4) है। विकल्प जांचते समय केवल उपलब्ध तत्वों का प्रयोग करें। / Prime sums possible are (3,5,7); the valid pairs are ((1,2),(2,3),(2,5),(3,2)), and ((1,4)) is not allowed, so the correct total is (4). Use only available elements while checking options.
(a=1) पर (4), (a=2) पर (2), और (a=3) पर (4) युग्म मिलते हैं। कुल (10) है। / For (a=1) there are (4), for (a=2) there are (2), and for (a=3) there are (4) pairs. Total is (10).
सम योग के लिए दोनों संख्याएं समान समता की होनी चाहिए। (A) में (2) सम और (1) विषम हैं, (B) में (2) सम और (2) विषम हैं, इसलिए \(2\cdot2+1\cdot2=6\)। / For an even sum, both numbers must have the same parity. (A) has (2) even and (1) odd elements, while (B) has (2) even and (2) odd elements, so \(2\cdot2+1\cdot2=6\).
विषम संख्या और सम संख्या का योग हमेशा विषम होता है। सभी युग्मों में यही नियम लागू होगा। / The sum of an odd number and an even number is always odd. This rule applies to every pair.
प्रत्येक समुच्चय में अभाज्य तत्व (2,3) हैं। इसलिए \(2\cdot2=4\) युग्म बनेंगे। / The prime elements in each set are (2,3). Hence \(2\cdot2=4\) pairs are formed.
(a=1) होने पर \(1^b=1\) सभी \(b\in B\) के लिए सही है। इसलिए (3) युग्म मिलते हैं। / When (a=1), \(1^b=1\) for every \(b\in B\). Hence there are (3) pairs.
युग्म ((1,3),(3,1),(2,4),(4,2)) हैं। निरपेक्ष अंतर में दोनों क्रम संभव हो सकते हैं। / The pairs are ((1,3),(3,1),(2,4),(4,2)). With absolute difference, both orders may be possible.
समान पहला घटक (A) है, इसलिए दूसरा घटक (B) और (C) दोनों में होना चाहिए। अतः (\(A\times B\)\cap\(A\times C\)=A\times\(B\cap C\))। / The first component is the same set (A), so the second component must lie in both (B) and (C). Thus (\(A\times B\)\cap\(A\times C\)=A\times\(B\cap C\)).
(b=a+2) चाहिए, इसलिए युग्म ((1,3)), ((2,4)) और ((1,? )) नहीं, केवल (2) युग्म हैं। शर्त को पहले समीकरण में बदलें और उपलब्ध तत्व जांचें। / We need (b=a+2), so the valid pairs are ((1,3)) and ((2,4)), only (2) pairs. Convert the condition into an equation and then check available elements.
(a=1,2,3,4) पर मान क्रमशः (0,0,2,3) नहीं बल्कि (0,1,2,3) हैं, कुल (6) है। सीमा वाली असमता में बराबरी को न भूलें। / For (a=1,2,3,4), the counts are (0,1,2,3), totaling (6). Do not forget equality in a boundary inequality.
