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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Power Set and Universal Set Expert Level 23

यदि समुच्चय \(A\times B\) में 24 अवयव हैं और समुच्चय \(A\) में समुच्चय \(B\) से 2 अधिक अवयव हैं, तो \(n(A)\) का मान क्या है?

If the Cartesian product \(A\times B\) has 24 elements and set \(A\) has 2 more elements than set \(B\), what is the value of \(n(A)\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

B. 6

Explanation

Simple Explanation

मान लें \(n(B)=m\)। तब \(n(A)=m+2\) और कार्तीय गुणनफल के लिए \(n(A\times B)=n(A)n(B)\) होता है। इसलिए \(m(m+2)=24\), अर्थात् \(m^2+2m-24=0\)। इसके हल \(m=4\) और \(m=-6\) हैं, लेकिन समुच्चय की cardinality ऋणात्मक नहीं हो सकती। अतः \(n(A)=m+2=6\)। परीक्षा-युक्ति: कार्तीय गुणनफल में अवयवों की संख्या दोनों समुच्चयों की cardinalities के गुणनफल के बराबर होती है। / Let \(n(B)=m\). Then \(n(A)=m+2\), and the cardinality of a Cartesian product is given by \(n(A\times B)=n(A)n(B)\). Hence, \(m(m+2)=24\), or \(m^2+2m-24=0\). Its roots are \(m=4\) and \(m=-6\), but a set’s cardinality cannot be negative. Therefore, \(n(A)=m+2=6\). Exam tip: The number of ordered pairs in \(A\times B\) equals the product of the cardinalities of \(A\) and \(B\).

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यदि समुच्चय \(A\times B\) में 24 अवयव हैं और समुच्चय \(A\) में समुच्चय \(B\) से 2 अधिक अवयव हैं, तो \(n(A)\) का मान क्या है? / If the Cartesian product \(A\times B\) has 24 elements and set \(A\) has 2 more elements than set \(B\), what is the value of \(n(A)\)?

Correct Answer: B. 6. Explanation: मान लें \(n(B)=m\)। तब \(n(A)=m+2\) और कार्तीय गुणनफल के लिए \(n(A\times B)=n(A)n(B)\) होता है। इसलिए \(m(m+2)=24\), अर्थात् \(m^2+2m-24=0\)। इसके हल \(m=4\) और \(m=-6\) हैं, लेकिन समुच्चय की cardinality ऋणात्मक नहीं हो सकती। अतः \(n(A)=m+2=6\)। परीक्षा-युक्ति: कार्तीय गुणनफल में अवयवों की संख्या दोनों समुच्चयों की cardinalities के गुणनफल के बराबर होती है। / Let \(n(B)=m\). Then \(n(A)=m+2\), and the cardinality of a Cartesian product is given by \(n(A\times B)=n(A)n(B)\). Hence, \(m(m+2)=24\), or \(m^2+2m-24=0\). Its roots are \(m=4\) and \(m=-6\), but a set’s cardinality cannot be negative. Therefore, \(n(A)=m+2=6\). Exam tip: The number of ordered pairs in \(A\times B\) equals the product of the cardinalities of \(A\) and \(B\).