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Class 11 Mathematics Expert Level 24

यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{1,2,3\}\) हैं, तो कार्तीय गुणनफल \(A\times B\) में ऐसे क्रमित युग्म \((a,b)\) कितने हैं जिनके लिए \(a\ne b\) है?

If \(A=\{1,2,3\}\) and \(B=\{1,2,3\}\), how many ordered pairs \((a,b)\) in the Cartesian product \(A\times B\) satisfy \(a\ne b\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

C. 6

Explanation

Simple Explanation

क्योंकि \(|A|=|B|=3\), इसलिए \(|A\times B|=3\times3=9\) क्रमित युग्म होंगे। इनमें \(a=b\) वाले केवल \((1,1),(2,2),(3,3)\), अर्थात् 3 युग्म हैं। अतः \(a\ne b\) वाले युग्मों की संख्या \(9-3=6\) है। विकल्प 9 सभी युग्मों की संख्या है, केवल असमान अवयवों वाले युग्मों की नहीं। परीक्षा-युक्ति: समान समुच्चयों के लिए \(a\ne b\) वाले युग्मों की संख्या \(n^2-n=n(n-1)\) होती है। / Since \(|A|=|B|=3\), the Cartesian product contains \(3\times3=9\) ordered pairs. Exactly 3 pairs have equal components: \((1,1),(2,2),(3,3)\). Therefore, the number with \(a\ne b\) is \(9-3=6\). Option 9 counts all pairs, not just those with unequal components. Exam tip: for two identical sets of \(n\) elements, the number of pairs with unequal components is \(n^2-n=n(n-1)\).

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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{1,2,3\}\) हैं, तो कार्तीय गुणनफल \(A\times B\) में ऐसे क्रमित युग्म \((a,b)\) कितने हैं जिनके लिए \(a\ne b\) है? / If \(A=\{1,2,3\}\) and \(B=\{1,2,3\}\), how many ordered pairs \((a,b)\) in the Cartesian product \(A\times B\) satisfy \(a\ne b\)?

Correct Answer: C. 6. Explanation: क्योंकि \(|A|=|B|=3\), इसलिए \(|A\times B|=3\times3=9\) क्रमित युग्म होंगे। इनमें \(a=b\) वाले केवल \((1,1),(2,2),(3,3)\), अर्थात् 3 युग्म हैं। अतः \(a\ne b\) वाले युग्मों की संख्या \(9-3=6\) है। विकल्प 9 सभी युग्मों की संख्या है, केवल असमान अवयवों वाले युग्मों की नहीं। परीक्षा-युक्ति: समान समुच्चयों के लिए \(a\ne b\) वाले युग्मों की संख्या \(n^2-n=n(n-1)\) होती है। / Since \(|A|=|B|=3\), the Cartesian product contains \(3\times3=9\) ordered pairs. Exactly 3 pairs have equal components: \((1,1),(2,2),(3,3)\). Therefore, the number with \(a\ne b\) is \(9-3=6\). Option 9 counts all pairs, not just those with unequal components. Exam tip: for two identical sets of \(n\) elements, the number of pairs with unequal components is \(n^2-n=n(n-1)\).