Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि \(A={x\in\mathbb{Z}:|x-2|\le2}\) और \(B={y\in\mathbb{N}:y^2-5y+6=0}\), तो \(A\times B\) में (x+y) अभाज्य होने वाले क्रमित युग्मों की संख्या कितनी है?
यहां \(A=\{0,1,2,3,4\}\) और \(B=\{2,3\}\) हैं। जांचने पर (x+y) अभाज्य वाले (6) युग्म मिलते हैं, इसलिए पहले समुच्चय स्पष्ट करें। / Here \(A=\{0,1,2,3,4\}\) and \(B=\{2,3\}\). On checking, (6) pairs have (x+y) prime, so first write the sets clearly.
पहले स्थान पर आने वाले तत्व (1,4) हैं और दूसरे स्थान पर आने वाले तत्व (2,3) हैं। \(A\times B\) में क्रम बहुत महत्वपूर्ण होता है। / The first coordinates are (1,4) and the second coordinates are (2,3). Order is very important in \(A\times B\).
(a=1,2,3,4) पर मान्य (b) की संख्याएं क्रमशः (4,4,1,0) हैं। कुल (9) युग्म हैं, इसलिए हर पहले घटक पर शर्त लगाएं। / For (a=1,2,3,4), the valid numbers of (b) are (4,4,1,0). Total is (9), so apply the condition for each first coordinate.
(n\(A\times B\)=3\cdot2=6) और फिर \(6\cdot4=24\)। युग्म का तत्व भी अगले कार्तीय गुणन में एक तत्व माना जाता है। / (n\(A\times B\)=3\cdot2=6) and then \(6\cdot4=24\). An ordered pair is treated as one element in the next Cartesian product.
केवल ((2,3)) और ((3,2)) के लिए (\operatorname{lcm}(a,b)=6) है। ध्यान रखें कि (6) दूसरे समुच्चय (B) में नहीं है। / Only ((2,3)) and ((3,2)) have (\operatorname{lcm}(a,b)=6). Remember that (6) is not in the second set (B).
(n\(A\times B\)=mn) और (n\(B\times A\)=nm), इसलिए दोनों बराबर हैं। बराबर संख्या का अर्थ बराबर समुच्चय होना जरूरी नहीं है। / (n\(A\times B\)=mn) and (n\(B\times A\)=nm), so they are equal. Equal cardinality does not necessarily mean equal sets.
यदि (A=B), तो दोनों गुणन में वही सभी क्रमित युग्म मिलते हैं। केवल तत्वों की संख्या बराबर होना पर्याप्त नहीं है। / If (A=B), both products contain exactly the same ordered pairs. Equal number of elements alone is not enough.
दोनों कार्तीय गुणनों में समान क्रमित युग्म केवल ((2,2)) है। क्रमित युग्म में ((1,2)) और ((2,1)) अलग होते हैं। / The only common ordered pair in both Cartesian products is ((2,2)). In ordered pairs, ((1,2)) and ((2,1)) are different.
\(B=\{2,3,5,7\}\) है; योग सम तब होगा जब दोनों की समता समान हो। कुल युग्म \(2\cdot1+3\cdot3=11\) नहीं, बल्कि (A) में सम (2) और विषम (3) से \(2\cdot1+3\cdot3=11\) मिलते हैं, इसलिए विकल्पों में त्रुटि जांचें। / \(B=\{2,3,5,7\}\); the sum is even when both have the same parity. Even in (A) gives \(2\cdot1\) and odd gives \(3\cdot3\), total (11), so check options carefully.
(a=1) पर (3), (a=2) पर (3), (a=3) पर (1), और (a=4) पर (1) युग्म मिलते हैं। कुल (8) है, इसलिए प्रत्येक पहले निर्देशांक को अलग जांचें। / For (a=1) there are (3), for (a=2) there are (3), for (a=3) there is (1), and for (a=4) there is (1). Total is (8), so test each first coordinate separately.
(ab=0) के लिए (a=0) से (3) युग्म और (b=0) से (3) युग्म मिलते हैं, लेकिन ((0,0)) दो बार गिना गया है। इसलिए कुल (3+3-1=5) है। / For (ab=0), (a=0) gives (3) pairs and (b=0) gives (3) pairs, but ((0,0)) is counted twice. Hence total is (3+3-1=5).
(a=1) पर (3), (a=2) पर (2), और (a=3) पर (1) विकल्प मिलते हैं। कुल (6) है और असमता में क्रम ध्यान से देखें। / For (a=1) there are (3), for (a=2) there are (2), and for (a=3) there is (1) choice. Total is (6), and the order in inequality matters.
(a=2) पर केवल (9), (a=3) पर (4,10), और (a=5) पर (4,6,9) में से (4,6,9) मिलते हैं, कुल (6) है। अतः दिए विकल्पों में सही संख्या होनी चाहिए (6), इसलिए विकल्प नहीं मिलते। / For (a=2), only (9); for (a=3), (4,10); for (a=5), (4,6,9), giving total (6). Therefore the correct count should be (6), so the listed options do not match.
(n\(A\times B\)=12) और समान भाग (\(A\cap B\)\times\(A\cap B\)) के (4) युग्म हैं। इसलिए अंतर में (12-4=8) युग्म होंगे। / (n\(A\times B\)=12), and the common part (\(A\cap B\)\times\(A\cap B\)) has (4) pairs. So the difference has (12-4=8) pairs.
\(B=\{-2,2\}\) है और युग्म ((2,-2)) तथा ((-2,2)) मिलते हैं। समीकरण लगाते समय दोनों निर्देशांक का समुच्चय अलग रखें। / \(B=\{-2,2\}\), and the pairs are ((2,-2)) and ((-2,2)). Keep the sets of both coordinates separate while applying the equation.
कार्तीय गुणन दूसरे घटक में संघ पर वितरित होता है। सूत्र (A\times\(B\cup C\)=\(A\times B\)\cup\(A\times C\)) याद रखें। / Cartesian product distributes over union in the second component. Remember (A\times\(B\cup C\)=\(A\times B\)\cup\(A\times C\)).
B. \(A=\varnothing\) या \(B=\varnothing\)/\(A=\varnothing\) or \(B=\varnothing\)
Explanation
Simple Explanation
कार्तीय गुणन खाली तभी होगा जब कम से कम एक समुच्चय खाली हो। दोनों का खाली होना जरूरी नहीं है। / The Cartesian product is empty when at least one of the sets is empty. Both sets need not be empty.
कार्तीय गुणनफल में तत्वों की संख्या \(n(A\times B)=n(A)\times n(B)=3\times2=6\) होगी। यदि किसी समुच्चय में \(n\) तत्व हों, तो उसके घात समुच्चय \(\mathcal{P}\) में \(2^n\) तत्व होते हैं। इसलिए \(n(\mathcal{P}(A\times B))=2^6=64\)। विकल्प C में \(32=2^5\) है, जबकि यहाँ कार्तीय गुणनफल में 6 तत्व हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले \(A\times B\) की cardinality निकालें, फिर घात समुच्चय के लिए \(2^n\) लगाएँ। / The Cartesian product has \(n(A\times B)=n(A)\times n(B)=3\times2=6\) elements. A set with \(n\) elements has \(2^n\) elements in its power set. Therefore, \(n(\mathcal{P}(A\times B))=2^6=64\). Option C, \(32=2^5\), would apply to a five-element set, not to this Cartesian product. Exam tip: first find the cardinality of the Cartesian product, then apply \(2^n\) for its power set.
पहले समुच्चय के संघ की संख्या ज्ञात करें: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=4+5-2=7\)। अब \(n(A\cap B)=2\) है। कार्तीय गुणनफल के लिए \(n(X\times Y)=n(X)n(Y)\), इसलिए \(n\big((A\cap B)\times(A\cup B)\big)=2\times7=14\)। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: संघ की संख्या निकालते समय प्रतिच्छेद की संख्या एक बार घटाना न भूलें। / First find the cardinality of the union: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=4+5-2=7\). Since \(n(A\cap B)=2\), use the Cartesian-product formula \(n(X\times Y)=n(X)n(Y)\): \(n\big((A\cap B)\times(A\cup B)\big)=2\times7=14\). Therefore, option C is correct. Exam tip: when finding the cardinality of a union, subtract the intersection once to avoid double-counting.
(a=1,2,3,4,5) पर क्रमशः (4,3,3,2,2) विकल्प मिलते हैं। कुल (14) है, इसलिए हर (a) के लिए (b) गिनें। / For (a=1,2,3,4,5), the numbers of choices are (4,3,3,2,2). Total is (14), so count (b) for each (a).
हर \(a\in A\) के लिए (b=2a) लेने पर तीनों (b) समुच्चय (B) में हैं। क्रमित युग्म का पहला घटक (A) से ही होना चाहिए। / For each \(a\in A\), (b=2a) lies in (B). The first coordinate must come from (A).
\(a\) के प्रत्येक मान के लिए \(b=a^2\) निकालें: \(0^2=0\), \(1^2=1\), \(2^2=4\) और \(3^2=9\)। ये सभी मान \(B\) में हैं, इसलिए क्रमित युग्म \((0,0),(1,1),(2,4),(3,9)\) मिलते हैं। अतः कुल \(4\) युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में \(A\) के प्रत्येक अवयव का नियम के अनुसार प्रतिबिंब निकालकर जाँचें कि वह \(B\) में है या नहीं। / For each value of \(a\), calculate \(b=a^2\): \(0^2=0\), \(1^2=1\), \(2^2=4\), and \(3^2=9\). Every resulting value belongs to \(B\), giving the ordered pairs \((0,0),(1,1),(2,4),(3,9)\). Therefore, the total number of pairs is \(4\). Exam tip: Apply the given rule to every element of \(A\) and count only those results that lie in \(B\).
पांचों (a) मानों के वर्ग (4,1,0,1,4) सभी (B) में हैं। इसलिए प्रत्येक (a) से एक युग्म बनेगा। / The squares of all five (a)-values are (4,1,0,1,4), all in (B). Therefore each (a) gives one pair.
युग्म ((1,8)), ((2,4)) और ((4,2)) बनते हैं। गुणन में संख्या समान हो सकती है, पर क्रमित युग्म में स्थान बदलने से युग्म बदलता है। / The pairs are ((1,8)), ((2,4)), and ((4,2)). Values may multiply the same way, but changing positions changes an ordered pair.
योग (4) देने वाले सभी क्रमित युग्म ((1,3),(2,2),(3,1)) हैं। संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। / All ordered pairs with sum (4) are ((1,3),(2,2),(3,1)). A relation is a subset of \(A\times B\).
(n\(A\times B\)=16), इसलिए ठीक (2) युग्म चुनने के तरीके \({}^{16}C_2=120\) हैं। संबंध गिनते समय उपसमुच्चय चयन का विचार लगाएं। / (n\(A\times B\)=16), so the number of ways to choose exactly (2) pairs is \({}^{16}C_2=120\). Use subset selection when counting relations.
\(A\times B\) में \(3\cdot2=6\) युग्म हैं और हर संबंध इसका उपसमुच्चय है। इसलिए कुल संबंध \(2^6=64\) हैं। / \(A\times B\) has \(3\cdot2=6\) pairs, and each relation is a subset of it. Hence total relations are \(2^6=64\).
योग विषम तब होगा जब एक संख्या विषम और दूसरी सम हो। (A) में (2) विषम और (1) सम हैं, (B) में (2) सम और (1) विषम हैं, इसलिए \(2\cdot2+1\cdot1=5\)। / The sum is odd when one number is odd and the other is even. (A) has (2) odd and (1) even elements, while (B) has (2) even and (1) odd elements, so \(2\cdot2+1\cdot1=5\).
\(\frac{a}{b}\) के पूर्णांक होने के लिए \(b\), \(a\) का भाजक होना चाहिए। \(a=2\) के लिए \(b=1,2\), अर्थात् 2 युग्म; \(a=4\) के लिए \(b=1,2,4\), अर्थात् 3 युग्म; और \(a=6\) के लिए \(b=1,2,3\), अर्थात् 3 युग्म मिलते हैं। इसलिए कुल युग्म \(2+3+3=8\) हैं। ध्यान दें कि \((a,b)\) क्रमित युग्म है, इसलिए \(a\) के प्रत्येक मान के लिए अनुमत \(b\) अलग-अलग गिने जाते हैं। / For \(\frac{a}{b}\) to be an integer, \(b\) must be a divisor of \(a\). For \(a=2\), the possible values of \(b\) are \(1,2\), giving 2 pairs; for \(a=4\), they are \(1,2,4\), giving 3 pairs; and for \(a=6\), they are \(1,2,3\), giving 3 pairs. Thus, the total is \(2+3+3=8\). Since \((a,b)\) is an ordered pair, count the valid values of \(b\) separately for each value of \(a\).
दिए गए समुच्चयों में \(a,b\) के मान केवल 1, 2, 3 या 4 हो सकते हैं। समीकरण \(a^2+b^2=25\) के लिए \(3^2+4^2=25\), इसलिए \((3,4)\) और \((4,3)\) दो क्रमित युग्म मिलते हैं। \((3,4)\) और \((4,3)\) अलग-अलग युग्म हैं क्योंकि क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। परीक्षा-युक्ति: कार्तीय गुणनफल में क्रमित युग्मों की गिनती करते समय उलटे क्रम को अलग युग्म मानें। / Since both sets contain only 1, 2, 3, and 4, the equation \(a^2+b^2=25\) is satisfied by \(3^2+4^2=25\). Thus, the ordered pairs are \((3,4)\) and \((4,3)\), giving a total of 2. These are distinct because order matters in a Cartesian product. Exam tip: when counting ordered pairs, treat reversed pairs as different unless the question concerns unordered pairs.
क्योंकि \(|A|=|B|=3\), इसलिए \(|A\times B|=3\times3=9\) क्रमित युग्म होंगे। इनमें \(a=b\) वाले केवल \((1,1),(2,2),(3,3)\), अर्थात् 3 युग्म हैं। अतः \(a\ne b\) वाले युग्मों की संख्या \(9-3=6\) है। विकल्प 9 सभी युग्मों की संख्या है, केवल असमान अवयवों वाले युग्मों की नहीं। परीक्षा-युक्ति: समान समुच्चयों के लिए \(a\ne b\) वाले युग्मों की संख्या \(n^2-n=n(n-1)\) होती है। / Since \(|A|=|B|=3\), the Cartesian product contains \(3\times3=9\) ordered pairs. Exactly 3 pairs have equal components: \((1,1),(2,2),(3,3)\). Therefore, the number with \(a\ne b\) is \(9-3=6\). Option 9 counts all pairs, not just those with unequal components. Exam tip: for two identical sets of \(n\) elements, the number of pairs with unequal components is \(n^2-n=n(n-1)\).
युग्म ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)) हैं। \(A\times A\) में दोनों घटक उसी समुच्चय से आते हैं। / The pairs are ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)). In \(A\times A\), both coordinates come from the same set.
अभाज्य न होने वाले युग्म ((2,2),(2,4),(3,3),(4,2),(4,4),(5,5)) हैं। कुल (25-6=19) युग्म परस्पर अभाज्य हैं। / The non-coprime pairs are ((2,2),(2,4),(3,3),(4,2),(4,4),(5,5)). Thus (25-6=19) pairs are relatively prime.
\(A\times B\) में पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से होना चाहिए। ((x,1)) में क्रम उल्टा है, इसलिए यह सदस्य नहीं है। / In \(A\times B\), the first coordinate must be from (A) and the second from (B). In ((x,1)), the order is reversed, so it is not a member.
\(A\cup B={1,2,3,4}\) में (4) तत्व हैं और (C) में (2) तत्व हैं। इसलिए \(4\cdot2=8\) युग्म बनेंगे। / \(A\cup B={1,2,3,4}\) has (4) elements and (C) has (2) elements. Hence \(4\cdot2=8\) pairs are formed.
पहले प्रतिच्छेद ज्ञात करें: \(A\cap C=\{1,2,4\}\), इसलिए इसमें 3 तत्व हैं; तथा \(B\cap C=\{2,4\}\), इसलिए इसमें 2 तत्व हैं। कार्तीय गुणनफल में क्रमित युग्मों की संख्या \(|X\times Y|=|X|\times|Y|\) होती है। अतः \(3\times2=6\)। परीक्षा टिप: कार्तीय गुणनफल की संख्या निकालने के लिए दोनों समुच्चयों की संख्याएँ गुणा करें, उन्हें जोड़ें नहीं। / First find the intersections: \(A\cap C=\{1,2,4\}\), which has 3 elements, and \(B\cap C=\{2,4\}\), which has 2 elements. The number of ordered pairs in a Cartesian product is \(|X\times Y|=|X|\times|Y|\). Hence, \(3\times2=6\). Exam tip: multiply the cardinalities of the two sets for a Cartesian product; do not add them.
\(B\setminus A={4}\), इसलिए (A) के प्रत्येक तत्व के साथ (4) दूसरा घटक बनेगा। अंतर निकालकर ही गुणन करें। / \(B\setminus A={4}\), so (4) becomes the second coordinate with each element of (A). Find the difference before multiplying.
(a>b) चाहिए; युग्म ((2,1),(3,1),(3,2)) हैं। धनात्मक अंतर के लिए पहले घटक को बड़ा होना चाहिए। / We need (a>b); the pairs are ((2,1),(3,1),(3,2)). For a positive difference, the first coordinate must be larger.
प्रत्येक \(a\) के लिए \(B\) से ऐसे \(b\) गिनते हैं जो \(b>a\) हों। \(a=1,2,3,4\) के लिए क्रमशः विकल्पों की संख्या \(3,3,3,2\) है। इसलिए कुल संख्या \(3+3+3+2=11\) है। विकल्प 10 में किसी एक स्थिति की एक वैध पसंद छूट जाती है। परीक्षा-युक्ति: कार्तीय गुणनफल में क्रमित युग्म \((a,b)\) होते हैं, इसलिए प्रत्येक \(a\) को स्थिर रखकर गिनना सबसे सुरक्षित तरीका है। / For each fixed value of \(a\), count the elements of \(B\) that are greater than it. For \(a=1,2,3,4\), the respective numbers of choices are \(3,3,3,2\). Hence, the total is \(3+3+3+2=11\). The distractor 10 results from missing one valid choice in one of these cases. Exam tip: Since \(A \times B\) contains ordered pairs \((a,b)\), fix each value of \(a\) and count the permissible values of \(b\).
योगों में अभाज्य मान (3,5,7) आते हैं; वैध युग्म ((1,2),(2,3),(2,5),(3,2)) और ((1,4)) नहीं है, इसलिए सही कुल (4) है। विकल्प जांचते समय केवल उपलब्ध तत्वों का प्रयोग करें। / Prime sums possible are (3,5,7); the valid pairs are ((1,2),(2,3),(2,5),(3,2)), and ((1,4)) is not allowed, so the correct total is (4). Use only available elements while checking options.
प्रत्येक a के लिए उन b मानों की गणना करें जिनके लिए a+b≤5 है। a=1 पर b के 3 मान, a=2 पर 3 मान, a=3 पर 2 मान और a=4 पर 1 मान संभव हैं। इसलिए कुल क्रमित युग्मों की संख्या 3+3+2+1=9 है। ध्यान रखें कि कार्तीय गुणनफल में क्रम महत्वपूर्ण होता है और प्रत्येक युग्म (a,b) के रूप में लिया जाता है। / Count the possible values of b for each value of a such that a+b≤5. For a=1, there are 3 choices of b; for a=2, 3 choices; for a=3, 2 choices; and for a=4, 1 choice. Thus, the total number of ordered pairs is 3+3+2+1=9. Exam tip: In a Cartesian product, order matters, so each pair is counted as (a,b).
जब a=1, तब B के सभी 4 अवयव 1 के गुणज हैं, इसलिए 4 युग्म मिलते हैं। जब a=2, तब केवल 6 और 12, 2 के गुणज हैं, इसलिए 2 युग्म मिलते हैं। जब a=3, तब 3, 6, 9 और 12 सभी 3 के गुणज हैं, इसलिए 4 युग्म मिलते हैं। अतः कुल युग्म 4+2+4=10 हैं। परीक्षा में प्रत्येक a के लिए B में उसके गुणज अलग-अलग गिनना सबसे सुरक्षित तरीका है। / For a=1, all 4 elements of B are multiples of 1, giving 4 pairs. For a=2, only 6 and 12 are multiples of 2, giving 2 pairs. For a=3, all four elements 3, 6, 9 and 12 are multiples of 3, giving 4 pairs. Therefore, the total number of pairs is 4+2+4=10. In an exam, count the suitable values of b separately for each value of a to avoid missing or repeating a pair.
सम योग के लिए दोनों संख्याएं समान समता की होनी चाहिए। (A) में (2) सम और (1) विषम हैं, (B) में (2) सम और (2) विषम हैं, इसलिए \(2\cdot2+1\cdot2=6\)। / For an even sum, both numbers must have the same parity. (A) has (2) even and (1) odd elements, while (B) has (2) even and (2) odd elements, so \(2\cdot2+1\cdot2=6\).
समुच्चय \(A\) के सभी सदस्य विषम हैं और समुच्चय \(B\) के सभी सदस्य सम हैं। विषम संख्या और सम संख्या का योग हमेशा विषम होता है; इसलिए प्रत्येक क्रमित युग्म \((a,b)\) के लिए \(a+b\) विषम होगा। ‘अभाज्य’ विकल्प निश्चित नहीं है, क्योंकि \(3+6=9\) अभाज्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: विषम \(\pm\) सम का परिणाम हमेशा विषम होता है। / Every element of \(A\) is odd, while every element of \(B\) is even. The sum of an odd number and an even number is always odd, so \(a+b\) is odd for every ordered pair \((a,b)\) in \(A\times B\). ‘Prime’ is not guaranteed because \(3+6=9\), which is composite. Exam tip: the sum or difference of an odd and an even number is always odd.
यदि दो समुच्चय �(A=1,2,3,4) और �(B=1,2,3,4) हैं, तो �\(A\times B\) में ऐसे कितने क्रमित युग्म �((a,b)) होंगे जिनमें �(a) और �(b) दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं?
दोनों समुच्चयों में अभाज्य तत्व केवल 2 और 3 हैं। इसलिए पहले घटक के लिए 2 विकल्प और दूसरे घटक के लिए भी 2 विकल्प मिलते हैं। गुणन सिद्धान्त के अनुसार क्रमित युग्मों की संख्या �2\times2=4� है: (2,2), (2,3), (3,2) और (3,3)। 6 जैसे विकल्प में क्रमित युग्मों की संख्या को सही ढंग से गुणा नहीं किया गया है। परीक्षा-युक्ति: कार्तीय गुणनफल में दोनों घटकों की शर्तें स्वतंत्र हों, तो विकल्पों की संख्याओं का गुणन करें। / The only prime elements in each set are 2 and 3. Thus, there are 2 choices for the first component and 2 choices for the second component. By the multiplication principle, the number of ordered pairs is �2\times2=4�: (2,2), (2,3), (3,2), and (3,3). The distractor 6 results from not applying the multiplication principle correctly. Exam tip: For independent conditions on the two components of a Cartesian product, multiply the numbers of valid choices.
क्योंकि B के सभी अवयव धनात्मक हैं, \(a^b=1\) तभी होगा जब \(a=1\)। अतः क्रमित युग्म \((1,1),(1,2),(1,3)\) इस शर्त को संतुष्ट करते हैं। इसलिए कुल 3 युग्म हैं। \(a=0\) के लिए मान 0 और \(a=2\) के लिए मान 1 से अधिक होगा। परीक्षा-टिप: घातांक धनात्मक होने पर \(1^b=1\) को सीधे पहचानें। / Since every element of B is positive, \(a^b=1\) holds only when \(a=1\). Thus the ordered pairs \((1,1),(1,2),(1,3)\) satisfy the condition, giving a total of 3 pairs. For \(a=0\), the value is 0, while for \(a=2\), the value is greater than 1. Exam tip: when the exponent is positive, immediately check the base \(a=1\) for a value of 1.
|a − b| = 2 के लिए क्रमित युग्म हैं: (1, 3), (3, 1), (2, 4) और (4, 2)। अतः कुल 4 युग्म हैं। (1, 3) और (3, 1) जैसे दोनों क्रम अलग-अलग क्रमित युग्म माने जाते हैं; केवल अव्यवस्थित युग्म गिनने पर उत्तर 2 आता। परीक्षा में A × B के युग्मों में क्रम का महत्त्व याद रखें। / The ordered pairs satisfying |a − b| = 2 are (1, 3), (3, 1), (2, 4), and (4, 2). Therefore, the total number of pairs is 4. The pairs (1, 3) and (3, 1) are distinct because the order matters in a Cartesian product; counting them as one would incorrectly give 2. In an exam, remember that pairs in A × B are ordered pairs.
समान पहला घटक (A) है, इसलिए दूसरा घटक (B) और (C) दोनों में होना चाहिए। अतः (\(A\times B\)\cap\(A\times C\)=A\times\(B\cap C\))। / The first component is the same set (A), so the second component must lie in both (B) and (C). Thus (\(A\times B\)\cap\(A\times C\)=A\times\(B\cap C\)).
(b=a+2) चाहिए, इसलिए युग्म ((1,3)), ((2,4)) और ((1,? )) नहीं, केवल (2) युग्म हैं। शर्त को पहले समीकरण में बदलें और उपलब्ध तत्व जांचें। / We need (b=a+2), so the valid pairs are ((1,3)) and ((2,4)), only (2) pairs. Convert the condition into an equation and then check available elements.
(a=1,2,3,4) पर मान क्रमशः (0,0,2,3) नहीं बल्कि (0,1,2,3) हैं, कुल (6) है। सीमा वाली असमता में बराबरी को न भूलें। / For (a=1,2,3,4), the counts are (0,1,2,3), totaling (6). Do not forget equality in a boundary inequality.
