A. (R) तुल्य संबंध है/(R) is an equivalence relation
Step 1
Concept
Since (a-a=0), symmetry and transitivity also hold. In exams, always test all three properties for divisibility relations.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (R) तुल्य संबंध है / (R) is an equivalence relation. Since (a-a=0), symmetry and transitivity also hold. In exams, always test all three properties for divisibility relations.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि (a-a=0), सममिति और संक्रमणीयता सभी पूरी होती हैं। परीक्षा में भाग्यता वाले संबंधों में तीनों गुण जरूर जांचें।
For (b=1,2,3), we get (a=5,3,1), so there are (3) pairs. In such counting, substitute each possible (b) and check whether (a) belongs to the set.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (3) युग्म / (3) pairs. For (b=1,2,3), we get (a=5,3,1), so there are (3) pairs. In such counting, substitute each possible (b) and check whether (a) belongs to the set.
Step 3
Exam Tip
(b=1,2,3) पर क्रमशः (a=5,3,1) मिलता है, इसलिए (3) युग्म हैं। ऐसी गिनती में हर संभव (b) रखकर (a) को समुच्चय में जांचें।
Because ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is absent. For transitivity, quickly search such chained pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. संक्रमणीयता / Transitivity. Because ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is absent. For transitivity, quickly search such chained pairs.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि ((1,2)) और ((2,3)) हैं लेकिन ((1,3)) नहीं है। संक्रमणीयता में ऐसे युग्म तुरंत खोजें।
A reflexive relation must contain (4) diagonal pairs. The remaining (16-4=12) pairs are optional, so the count is \(2^{12}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2^{12}\). A reflexive relation must contain (4) diagonal pairs. The remaining (16-4=12) pairs are optional, so the count is \(2^{12}\).
Step 3
Exam Tip
स्वतुल्य संबंध में (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। शेष (16-4=12) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{12}\) है।
A. स्वतुल्य और संक्रमणीय लेकिन सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
Because \(a\le a\), and \(a\le b,\ b\le c\) implies \(a\le c\). But ((1,2)) does not force ((2,1)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. स्वतुल्य और संक्रमणीय लेकिन सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric. Because \(a\le a\), and \(a\le b,\ b\le c\) implies \(a\le c\). But ((1,2)) does not force ((2,1)).
Step 3
Exam Tip
क्योंकि \(a\le a\) और \(a\le b,\ b\le c\) से \(a\le c\) मिलता है। पर ((1,2)) होने पर ((2,1)) नहीं होता।
It relates integers of the same parity, so it is reflexive, symmetric, and transitive. Thinking in remainders is very useful here.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. तुल्य संबंध / Equivalence relation. It relates integers of the same parity, so it is reflexive, symmetric, and transitive. Thinking in remainders is very useful here.
Step 3
Exam Tip
यह समान सम-विषम प्रकृति को जोड़ता है, इसलिए स्वतुल्य, सममित और संक्रमणीय है। ऐसे प्रश्नों में शेषफल की सोच बहुत उपयोगी होती है।
A. स्वतुल्य और संक्रमणीय लेकिन सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
Every (a) divides itself and divisibility is transitive. But \(1\mid 2\) while \(2\nmid 1\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. स्वतुल्य और संक्रमणीय लेकिन सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric. Every (a) divides itself and divisibility is transitive. But \(1\mid 2\) while \(2\nmid 1\).
Step 3
Exam Tip
हर (a) अपने को भाग देता है और भाग्यता संक्रमणीय होती है। पर \(1\mid 2\) है लेकिन \(2\mid 1\) नहीं है।
A. सममित लेकिन स्वतुल्य नहीं/Symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
If (a+b=5), then (b+a=5), so it is symmetric. But ((1,1)) is absent, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सममित लेकिन स्वतुल्य नहीं / Symmetric but not reflexive. If (a+b=5), then (b+a=5), so it is symmetric. But ((1,1)) is absent, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
यदि (a+b=5) है तो (b+a=5) भी है, इसलिए सममित है। लेकिन ((1,1)) नहीं है, इसलिए स्वतुल्य नहीं है।
A. यह सममित और संक्रमणीय है लेकिन स्वतुल्य नहीं/It is symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
Symmetry and transitivity are vacuously true for the empty relation. But diagonal pairs ((a,a)) are missing, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह सममित और संक्रमणीय है लेकिन स्वतुल्य नहीं / It is symmetric and transitive but not reflexive. Symmetry and transitivity are vacuously true for the empty relation. But diagonal pairs ((a,a)) are missing, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
रिक्त संबंध में सममिति और संक्रमणीयता रिक्त रूप से सत्य होती हैं। लेकिन ((a,a)) युग्म नहीं हैं, इसलिए स्वतुल्यता नहीं है।
A. यह तुल्य संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
The universal relation contains all possible ordered pairs. Hence reflexivity, symmetry, and transitivity all hold.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह तुल्य संबंध है / It is an equivalence relation. The universal relation contains all possible ordered pairs. Hence reflexivity, symmetry, and transitivity all hold.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध में सभी संभव युग्म होते हैं। इसलिए स्वतुल्यता, सममिति और संक्रमणीयता तीनों पूरी होती हैं।
Since (|a-b|=|b-a|), the relation is symmetric. But ((a,a)) is absent, so it is not an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सममिति / Symmetry. Since (|a-b|=|b-a|), the relation is symmetric. But ((a,a)) is absent, so it is not an equivalence relation.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि (|a-b|=|b-a|), इसलिए संबंध सममित है। पर ((a,a)) नहीं होते, इसलिए यह तुल्य संबंध नहीं है।
(a+a=2a) is always even, so ((a,a)) is not in the relation. The relation is symmetric but not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. स्वतुल्यता / Reflexivity. (a+a=2a) is always even, so ((a,a)) is not in the relation. The relation is symmetric but not reflexive.
Step 3
Exam Tip
(a+a=2a) हमेशा सम होता है, इसलिए ((a,a)) संबंध में नहीं है। संबंध सममित है, पर स्वतुल्य नहीं है।
All diagonal pairs are present, reverse pairs are present, and the needed diagonal pairs from ((1,3),(3,1)) are present. So it is an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. तुल्य संबंध / Equivalence relation. All diagonal pairs are present, reverse pairs are present, and the needed diagonal pairs from ((1,3),(3,1)) are present. So it is an equivalence relation.
Step 3
Exam Tip
सभी विकर्ण युग्म हैं, उल्टे युग्म भी हैं और ((1,3),(3,1)) से जरूरी विकर्ण युग्म मौजूद हैं। इसलिए यह तुल्य संबंध है।
A. सममित लेकिन स्वतुल्य नहीं/Symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
Because (a+b=b+a), the relation is symmetric. But ((4,4)) is absent since \(8\le 6\) is false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सममित लेकिन स्वतुल्य नहीं / Symmetric but not reflexive. Because (a+b=b+a), the relation is symmetric. But ((4,4)) is absent since \(8\le 6\) is false.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि (a+b=b+a), संबंध सममित है। पर ((4,4)) नहीं है क्योंकि \(8\le 6\) असत्य है।
In this set, \(a^2=b^2\) implies (a=b). A relation based on equality is an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. तुल्य संबंध / Equivalence relation. In this set, \(a^2=b^2\) implies (a=b). A relation based on equality is an equivalence relation.
Step 3
Exam Tip
इस समुच्चय में \(a^2=b^2\) से (a=b) मिलता है। समानता पर आधारित संबंध तुल्य संबंध होता है।
A. स्वतुल्य और सममित लेकिन संक्रमणीय नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
Since (|a-a|=0) and (|a-b|=|b-a|), it is reflexive and symmetric. But ((1,2)) and ((2,3)) are present while ((1,3)) is absent.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. स्वतुल्य और सममित लेकिन संक्रमणीय नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive. Since (|a-a|=0) and (|a-b|=|b-a|), it is reflexive and symmetric. But ((1,2)) and ((2,3)) are present while ((1,3)) is absent.
Step 3
Exam Tip
(|a-a|=0) और (|a-b|=|b-a|), इसलिए स्वतुल्य और सममित है। लेकिन ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है।
A. सममित लेकिन स्वतुल्य नहीं और संक्रमणीय नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
From \(a\ne b\), we get \(b\ne a\), so it is symmetric. But ((1,2)) and ((2,1)) would need ((1,1)), which is absent.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सममित लेकिन स्वतुल्य नहीं और संक्रमणीय नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive. From \(a\ne b\), we get \(b\ne a\), so it is symmetric. But ((1,2)) and ((2,1)) would need ((1,1)), which is absent.
Step 3
Exam Tip
\(a\ne b\) से \(b\ne a\) मिलता है, इसलिए सममित है। पर ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो नहीं है।
Since (\gcd(a,b)=\gcd(b,a)), the relation is symmetric. But all ((a,a)) are not included because (\gcd(2,2)=2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सममिति / Symmetry. Since (\gcd(a,b)=\gcd(b,a)), the relation is symmetric. But all ((a,a)) are not included because (\gcd(2,2)=2).
Step 3
Exam Tip
(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)), इसलिए संबंध सममित है। लेकिन सभी ((a,a)) शामिल नहीं हैं क्योंकि (\gcd(2,2)=2)।
For reflexivity, (3) diagonal pairs are compulsory and ((1,2)) is forbidden. The remaining (9-3-1=5) pairs are optional.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2^5\). For reflexivity, (3) diagonal pairs are compulsory and ((1,2)) is forbidden. The remaining (9-3-1=5) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
स्वतुल्यता के लिए (3) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं और ((1,2)) निषिद्ध है। बचे (9-3-1=5) युग्म स्वतंत्र हैं।
(1) and (2) are related to each other, while (3) is related only to itself. Hence the classes are ({1,2}) and ({3}).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({1,2}) और ({3}) / ({1,2}) and ({3}). (1) and (2) are related to each other, while (3) is related only to itself. Hence the classes are ({1,2}) and ({3}).
Step 3
Exam Tip
(1) और (2) आपस में संबंधित हैं, जबकि (3) केवल स्वयं से संबंधित है। इसलिए वर्ग ({1,2}) और ({3}) हैं।
In a partition, subsets are non-empty, disjoint, and cover the whole set. Only ({{1,3},{2}}) satisfies these conditions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({{1,3},{2}}). In a partition, subsets are non-empty, disjoint, and cover the whole set. Only ({{1,3},{2}}) satisfies these conditions.
Step 3
Exam Tip
विभाजन में उपसमुच्चय अरिक्त, परस्पर असंयुक्त और पूरा समुच्चय बनाते हैं। केवल ({{1,3},{2}}) ये शर्तें पूरी करता है।
A. यह तुल्य संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
It connects numbers of the same parity. Hence it is reflexive, symmetric, and transitive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह तुल्य संबंध है / It is an equivalence relation. It connects numbers of the same parity. Hence it is reflexive, symmetric, and transitive.
Step 3
Exam Tip
यह समान सम-विषम वर्गों को जोड़ता है। इसलिए स्वतुल्य, सममित और संक्रमणीय है।
A. \(R\cap S\) स्वतुल्य है/\(R\cap S\) is reflexive
Step 1
Concept
Every ((a,a)) is present in both, so every ((a,a)) remains in the intersection. Reflexivity is preserved under intersection.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(R\cap S\) स्वतुल्य है / \(R\cap S\) is reflexive. Every ((a,a)) is present in both, so every ((a,a)) remains in the intersection. Reflexivity is preserved under intersection.
Step 3
Exam Tip
दोनों में हर ((a,a)) मौजूद है, इसलिए प्रतिच्छेद में भी हर ((a,a)) रहेगा। स्वतुल्यता प्रतिच्छेद में सुरक्षित रहती है।
The reverse of every pair is present in the same relation, so it is also present in the union. Symmetry is preserved under union.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(R\cup S\) सममित है / \(R\cup S\) is symmetric. The reverse of every pair is present in the same relation, so it is also present in the union. Symmetry is preserved under union.
Step 3
Exam Tip
किसी भी युग्म के साथ उसका उल्टा उसी संबंध में होगा, इसलिए संघ में भी होगा। सममिति संघ में सुरक्षित रहती है।
For example, \(R=\{(1,2)\}\) and \(S=\{(2,3)\}\) are transitive, but their union lacks ((1,3)). Hence the union is not always transitive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. नहीं, हमेशा नहीं / No, not always. For example, \(R=\{(1,2)\}\) and \(S=\{(2,3)\}\) are transitive, but their union lacks ((1,3)). Hence the union is not always transitive.
Step 3
Exam Tip
उदाहरण में \(R=\{(1,2)\}\) और \(S=\{(2,3)\}\) दोनों संक्रमणीय हैं, पर संघ में ((1,3)) नहीं है। इसलिए संघ हमेशा संक्रमणीय नहीं होता।
A. स्वतुल्य और संक्रमणीय लेकिन सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
\(a\ge a\), and \(a\ge b,\ b\ge c\) implies \(a\ge c\). But ((2,1)) does not imply ((1,2)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. स्वतुल्य और संक्रमणीय लेकिन सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric. \(a\ge a\), and \(a\ge b,\ b\ge c\) implies \(a\ge c\). But ((2,1)) does not imply ((1,2)).
Step 3
Exam Tip
\(a\ge a\) और \(a\ge b,\ b\ge c\) से \(a\ge c\) मिलता है। पर ((2,1)) से ((1,2)) नहीं मिलता।
A. सममित लेकिन स्वतुल्य नहीं/Symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
Since (ab=ba), it is symmetric. But ((1,1)) is not included because \(1\cdot1\) is not even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सममित लेकिन स्वतुल्य नहीं / Symmetric but not reflexive. Since (ab=ba), it is symmetric. But ((1,1)) is not included because \(1\cdot1\) is not even.
Step 3
Exam Tip
(ab=ba), इसलिए सममित है। लेकिन ((1,1)) शामिल नहीं है क्योंकि \(1\cdot1\) सम नहीं है।
Since (\operatorname{lcm}(a,b)=\operatorname{lcm}(b,a)), the relation is symmetric. Not all diagonal pairs occur, for example (\operatorname{lcm}(2,2)=2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सममिति / Symmetry. Since (\operatorname{lcm}(a,b)=\operatorname{lcm}(b,a)), the relation is symmetric. Not all diagonal pairs occur, for example (\operatorname{lcm}(2,2)=2).
Step 3
Exam Tip
(\operatorname{lcm}(a,b)=\operatorname{lcm}(b,a)), इसलिए संबंध सममित है। सभी विकर्ण युग्म नहीं आते, जैसे (\operatorname{lcm}(2,2)=2)।
A. सममित लेकिन स्वतुल्य नहीं/Symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
The sum does not change when order changes, so it is symmetric. But ((4,4)) is absent because (8) is not prime.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सममित लेकिन स्वतुल्य नहीं / Symmetric but not reflexive. The sum does not change when order changes, so it is symmetric. But ((4,4)) is absent because (8) is not prime.
Step 3
Exam Tip
योग क्रम बदलने से नहीं बदलता, इसलिए सममित है। पर ((4,4)) नहीं है क्योंकि (8) अभाज्य नहीं है।
A. स्वतुल्य और सममित लेकिन संक्रमणीय नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
The condition (a=b) gives reflexivity and (a+b=5) gives symmetry. But ((1,4)) and ((4,2)) would require ((1,2)), which is absent.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. स्वतुल्य और सममित लेकिन संक्रमणीय नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive. The condition (a=b) gives reflexivity and (a+b=5) gives symmetry. But ((1,4)) and ((4,2)) would require ((1,2)), which is absent.
Step 3
Exam Tip
(a=b) से स्वतुल्यता और (a+b=5) से सममिति मिलती है। पर ((1,4)) और ((4,2)) से ((1,2)) चाहिए, जो नहीं है।
A. यह तुल्य संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
All diagonal pairs are present and ((2,1)) accompanies ((1,2)). All pairs needed for transitivity are also present.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह तुल्य संबंध है / It is an equivalence relation. All diagonal pairs are present and ((2,1)) accompanies ((1,2)). All pairs needed for transitivity are also present.
Step 3
Exam Tip
सभी विकर्ण युग्म हैं और ((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है। संक्रमणीयता के लिए बने सभी आवश्यक युग्म भी मौजूद हैं।
A. वे (A) का विभाजन बनाते हैं/They form a partition of (A)
Step 1
Concept
Equivalence classes are non-empty, disjoint, and cover all of (A). This is exactly the definition of a partition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वे (A) का विभाजन बनाते हैं / They form a partition of (A). Equivalence classes are non-empty, disjoint, and cover all of (A). This is exactly the definition of a partition.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग अरिक्त, परस्पर असंयुक्त और पूरे (A) को ढकते हैं। यही विभाजन की परिभाषा है।
