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A. (R) तुल्य संबंध है/(R) is an equivalence relation
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि (a-a=0), सममिति और संक्रमणीयता सभी पूरी होती हैं। परीक्षा में भाग्यता वाले संबंधों में तीनों गुण जरूर जांचें। / Since (a-a=0), symmetry and transitivity also hold. In exams, always test all three properties for divisibility relations.
(b=1,2,3) पर क्रमशः (a=5,3,1) मिलता है, इसलिए (3) युग्म हैं। ऐसी गिनती में हर संभव (b) रखकर (a) को समुच्चय में जांचें। / For (b=1,2,3), we get (a=5,3,1), so there are (3) pairs. In such counting, substitute each possible (b) and check whether (a) belongs to the set.
क्योंकि ((1,2)) और ((2,3)) हैं लेकिन ((1,3)) नहीं है। संक्रमणीयता में ऐसे युग्म तुरंत खोजें। / Because ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is absent. For transitivity, quickly search such chained pairs.
\([1]=\{x\in A:x-1\equiv 0 \pmod{5}\}\) होता है। समुच्चय \(A\) में केवल \(1\) और \(6\) के लिए यह शर्त सत्य है, क्योंकि \(1-1=0\) और \(6-1=5\), दोनों 5 से विभाज्य हैं। इसलिए \([1]=\{1,6\}\) है। विकल्प \(\{1,5\}\) गलत है, क्योंकि \(5-1=4\), जो 5 से विभाज्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: तुल्यता वर्ग निकालते समय दिए गए अवयव से सभी ऐसे अवयव चुनें जिनका अंतर मॉड्यूलो संख्या से विभाज्य हो। / The equivalence class is \([1]=\{x\in A:x-1\equiv 0 \pmod{5}\}\). Within \(A\), this condition holds only for \(1\) and \(6\), since \(1-1=0\) and \(6-1=5\) are both divisible by 5. Hence, \([1]=\{1,6\}\). The set \(\{1,5\}\) is incorrect because \(5-1=4\), which is not divisible by 5. Exam tip: To find an equivalence class, select all elements whose difference from the given element is divisible by the modulus.
समुच्चय \(A\) पर प्रत्येक संबंध, \(A\times A\) का एक उपसमुच्चय होता है। यदि \(|A|=5\), तो \(|A\times A|=5^2=25\)। 25 अवयवों वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चय \(2^{25}\) होते हैं, इसलिए कुल संबंधों की संख्या \(2^{25}\) है। \(2^{10}\) या \(2^{20}\) लेने का कोई आधार नहीं है; \(5^2\) केवल क्रमित युग्मों की संख्या है, संबंधों की संख्या नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(n\) अवयवों वाले समुच्चय पर संबंधों की संख्या सदैव \(2^{n^2}\) होती है। / Every relation on set \(A\) is a subset of \(A\times A\). Since \(|A|=5\), we have \(|A\times A|=5^2=25\). A set with 25 elements has \(2^{25}\) subsets, so the total number of relations is \(2^{25}\). The value \(5^2\) counts the ordered pairs in \(A\times A\), not the relations themselves. Exam tip: for an \(n\)-element set, the number of relations on it is always \(2^{n^2}\).
स्वतुल्य संबंध में (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। शेष (16-4=12) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{12}\) है। / A reflexive relation must contain (4) diagonal pairs. The remaining (16-4=12) pairs are optional, so the count is \(2^{12}\).
A. स्वतुल्य और संक्रमणीय लेकिन सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(a\le a\) और \(a\le b,\ b\le c\) से \(a\le c\) मिलता है। पर ((1,2)) होने पर ((2,1)) नहीं होता। / Because \(a\le a\), and \(a\le b,\ b\le c\) implies \(a\le c\). But ((1,2)) does not force ((2,1)).
विकर्ण के (3) युग्म और अविकर्ण युग्मों के (3) जोड़े स्वतंत्र हैं। इसलिए कुल संख्या \(2^{3+3}=2^6\) है। / There are (3) diagonal pairs and (3) unordered off-diagonal pairs. Hence the total count is \(2^{3+3}=2^6\).
दो संख्याएँ तभी एक ही तुल्यता वर्ग में होंगी जब उन्हें 3 से भाग देने पर समान शेषफल मिले। इसलिए वर्ग हैं \(\{1,4\}\), \(\{2,5\}\) और \(\{3,6\}\), अर्थात कुल 3 तुल्यता वर्ग। 6 चुनना गलत है, क्योंकि 6 तत्व हैं, पर समान शेषफल वाले तत्व एक ही वर्ग में आते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(m\) के मॉड्यूलो में संभावित शेषफलों की संख्या देखकर पहले वर्गों की संख्या निर्धारित करें। / Two numbers belong to the same equivalence class when they leave the same remainder on division by 3. Thus the classes are \(\{1,4\}\), \(\{2,5\}\), and \(\{3,6\}\), giving a total of 3 equivalence classes. Choosing 6 confuses the number of elements with the number of classes. Exam tip: for congruence modulo \(m\), group elements according to their possible remainders modulo \(m\).
यह समान सम-विषम प्रकृति को जोड़ता है, इसलिए स्वतुल्य, सममित और संक्रमणीय है। ऐसे प्रश्नों में शेषफल की सोच बहुत उपयोगी होती है। / It relates integers of the same parity, so it is reflexive, symmetric, and transitive. Thinking in remainders is very useful here.
A. स्वतुल्य और संक्रमणीय लेकिन सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Explanation
Simple Explanation
हर (a) अपने को भाग देता है और भाग्यता संक्रमणीय होती है। पर \(1\mid 2\) है लेकिन \(2\mid 1\) नहीं है। / Every (a) divides itself and divisibility is transitive. But \(1\mid 2\) while \(2\nmid 1\).
A. सममित लेकिन स्वतुल्य नहीं/Symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
यदि (a+b=5) है तो (b+a=5) भी है, इसलिए सममित है। लेकिन ((1,1)) नहीं है, इसलिए स्वतुल्य नहीं है। / If (a+b=5), then (b+a=5), so it is symmetric. But ((1,1)) is absent, so it is not reflexive.
A. यह सममित और संक्रमणीय है लेकिन स्वतुल्य नहीं/It is symmetric and transitive but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
रिक्त संबंध में सममिति और संक्रमणीयता रिक्त रूप से सत्य होती हैं। लेकिन ((a,a)) युग्म नहीं हैं, इसलिए स्वतुल्यता नहीं है। / Symmetry and transitivity are vacuously true for the empty relation. But diagonal pairs ((a,a)) are missing, so it is not reflexive.
A. यह तुल्य संबंध है/It is an equivalence relation
Explanation
Simple Explanation
सार्वत्रिक संबंध में सभी संभव युग्म होते हैं। इसलिए स्वतुल्यता, सममिति और संक्रमणीयता तीनों पूरी होती हैं। / The universal relation contains all possible ordered pairs. Hence reflexivity, symmetry, and transitivity all hold.
क्योंकि (|a-b|=|b-a|), इसलिए संबंध सममित है। पर ((a,a)) नहीं होते, इसलिए यह तुल्य संबंध नहीं है। / Since (|a-b|=|b-a|), the relation is symmetric. But ((a,a)) is absent, so it is not an equivalence relation.
विकर्ण के (3) युग्म अनिवार्य हैं। अविकर्ण के (3) जोड़े स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^3\) है। / The (3) diagonal pairs are compulsory. The (3) off-diagonal unordered pairs are optional, so the count is \(2^3\).
(a+a=2a) हमेशा सम होता है, इसलिए ((a,a)) संबंध में नहीं है। संबंध सममित है, पर स्वतुल्य नहीं है। / (a+a=2a) is always even, so ((a,a)) is not in the relation. The relation is symmetric but not reflexive.
सभी विकर्ण युग्म हैं, उल्टे युग्म भी हैं और ((1,3),(3,1)) से जरूरी विकर्ण युग्म मौजूद हैं। इसलिए यह तुल्य संबंध है। / All diagonal pairs are present, reverse pairs are present, and the needed diagonal pairs from ((1,3),(3,1)) are present. So it is an equivalence relation.
यदि \(2\mid 6\) और \(6\mid 12\), तो \(2\mid 12\) होता है। संक्रमणीयता में पहला और अंतिम पद जोड़ें। / If \(2\mid 6\) and \(6\mid 12\), then \(2\mid 12\). In transitivity, connect the first and last elements.
A. सममित, परंतु प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
यदि \((a,b)\in R\), तो \(a+b\le 6\)। चूँकि \(a+b=b+a\), इसलिए \((b,a)\in R\) भी होगा; अतः \(R\) सममित है। लेकिन यह प्रतिवर्ती नहीं है, क्योंकि \((4,4)\notin R\), क्योंकि \(4+4=8\not\le 6\)। साथ ही, \((4,1)\) और \((1,4)\) संबंध में हैं, पर \((4,4)\) संबंध में नहीं है, इसलिए यह संक्रमणीय भी नहीं है। परीक्षा-युक्ति: प्रतिवर्तिता जाँचने के लिए प्रत्येक \(a\in A\) के लिए \((a,a)\) की जाँच करें। / If \((a,b)\in R\), then \(a+b\le 6\). Since \(a+b=b+a\), it follows that \((b,a)\in R\) as well; hence, \(R\) is symmetric. However, it is not reflexive because \((4,4)\notin R\), as \(4+4=8\not\le 6\). It is also not transitive: \((4,1)\in R\) and \((1,4)\in R\), but \((4,4)\notin R\). Exam tip: To test reflexivity, check whether \((a,a)\) belongs to the relation for every \(a\in A\).
इस समुच्चय में \(a^2=b^2\) से (a=b) मिलता है। समानता पर आधारित संबंध तुल्य संबंध होता है। / In this set, \(a^2=b^2\) implies (a=b). A relation based on equality is an equivalence relation.
((-2)2=22), इसलिए (-2) और (2) एक ही वर्ग में हैं। वर्ग बनाते समय समान मान देने वाले अवयव चुनें। / Since ((-2)2=22), (-2) and (2) are in the same class. While forming a class, choose elements giving the same value.
A. स्वतुल्य और सममित लेकिन संक्रमणीय नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Explanation
Simple Explanation
(|a-a|=0) और (|a-b|=|b-a|), इसलिए स्वतुल्य और सममित है। लेकिन ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है। / Since (|a-a|=0) and (|a-b|=|b-a|), it is reflexive and symmetric. But ((1,2)) and ((2,3)) are present while ((1,3)) is absent.
A. सममित लेकिन स्वतुल्य नहीं और संक्रमणीय नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Explanation
Simple Explanation
\(a\ne b\) से \(b\ne a\) मिलता है, इसलिए सममित है। पर ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो नहीं है। / From \(a\ne b\), we get \(b\ne a\), so it is symmetric. But ((1,2)) and ((2,1)) would need ((1,1)), which is absent.
(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)), इसलिए संबंध सममित है। लेकिन सभी ((a,a)) शामिल नहीं हैं क्योंकि (\gcd(2,2)=2)। / Since (\gcd(a,b)=\gcd(b,a)), the relation is symmetric. But all ((a,a)) are not included because (\gcd(2,2)=2).
स्वतुल्यता के लिए (3) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं और ((1,2)) निषिद्ध है। बचे (9-3-1=5) युग्म स्वतंत्र हैं। / For reflexivity, (3) diagonal pairs are compulsory and ((1,2)) is forbidden. The remaining (9-3-1=5) pairs are optional.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध \(R=\{(a,b)\in A\times A: a+b\text{ सम है}\}\) परिभाषित है। इस तुल्यता संबंध के अंतर्गत \(1\) का तुल्यता वर्ग \([1]\) क्या होगा?
\([1]=\{b\in A:(1,b)\in R\}\)। इसके लिए \(1+b\) सम होना चाहिए, जो तभी संभव है जब \(b\) विषम हो। \(A\) में विषम तत्व \(1\) और \(3\) हैं, इसलिए \([1]=\{1,3\}\)। विकल्प D केवल \(1\) को शामिल करता है और उससे संबंधित अन्य तत्व \(3\) को छोड़ देता है। परीक्षा-युक्ति: \([a]\) ज्ञात करने के लिए उन सभी \(b\) को चुनें जिनके लिए \((a,b)\in R\)। / By definition, \([1]=\{b\in A:(1,b)\in R\}\). Thus, \(1+b\) must be even, which happens exactly when \(b\) is odd. The odd elements of \(A\) are \(1\) and \(3\), so \([1]=\{1,3\}\). Option D is incorrect because it includes only 1 and omits the related element 3. Exam tip: To find \([a]\), list every \(b\) for which \((a,b)\in R\).
किसी संबंध \(R\) के लिए \(R^{-1}=R\) तभी होता है जब \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी हो। यही सममित संबंध की परिभाषा है। स्वतुल्यता केवल \((a,a)\) युग्मों की उपस्थिति बताती है, जबकि संक्रमणीयता और विषममितता प्रतिलोम संबंध के बराबर होने की शर्त नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: \(R^{-1}=R\) देखते ही सममितता पहचानें। / For a relation \(R\), the condition \(R^{-1}=R\) means that whenever \((a,b)\in R\), the pair \((b,a)\) must also belong to \(R\). This is exactly the definition of a symmetric relation. Reflexivity concerns only pairs of the form \((a,a)\), while transitivity and antisymmetry do not guarantee equality with the inverse relation. Exam tip: associate \(R^{-1}=R\) directly with symmetry.
किसी संबंध \(R\) का प्रतिलोम संबंध \(R^{-1}\) प्रत्येक क्रमित युग्म \((a,b)\) को \((b,a)\) में बदलकर बनता है। यहाँ \((1,2),(2,3),(1,3)\) के उलटे युग्म क्रमशः \((2,1),(3,2),(3,1)\) हैं, जो ठीक \(S\) के अवयव हैं। इसलिए \(S=R^{-1}\)। विकल्प B में मूल और प्रतिलोम दोनों संबंधों के युग्म शामिल होते, जबकि S में केवल प्रतिलोम युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: प्रतिलोम संबंध ज्ञात करने के लिए प्रत्येक क्रमित युग्म के अवयवों का स्थान बदलें। / The inverse relation \(R^{-1}\) is formed by reversing every ordered pair \((a,b)\) in \(R\) to \((b,a)\). Reversing \((1,2),(2,3),(1,3)\) gives \((2,1),(3,2),(3,1)\), which are exactly the elements of \(S\). Therefore, \(S=R^{-1}\). Option B would contain pairs from both the original and inverse relations, whereas S contains only the reversed pairs. Exam tip: to find an inverse relation, interchange the two entries in every ordered pair.
A के प्रत्येक अवयव a के लिए b = 6 − a होना चाहिए और b भी A में होना चाहिए। इससे (2, 4), (3, 3) और (4, 2) प्राप्त होते हैं; (1, 5) मान्य नहीं है क्योंकि 5 ∉ A। इसलिए R में 3 क्रमित युग्म हैं। ध्यान रखें कि (2, 4) और (4, 2) अलग-अलग क्रमित युग्म होते हैं। / For each element a of A, we need b = 6 − a, with b also belonging to A. This gives (2, 4), (3, 3), and (4, 2); (1, 5) is not valid because 5 ∉ A. Hence, R contains 3 ordered pairs. Exam tip: (2, 4) and (4, 2) are distinct ordered pairs because their order is different.
सही युग्म ((3,5),(4,4),(4,5),(5,3),(5,4),(5,5)) हैं। शर्त वाली गिनती में प्रत्येक (a) के लिए संभव (b) गिनें। / The valid pairs are ((3,5),(4,4),(4,5),(5,3),(5,4),(5,5)). For conditional counting, count possible (b) for each (a).
(1) और (2) आपस में संबंधित हैं, जबकि (3) केवल स्वयं से संबंधित है। इसलिए वर्ग ({1,2}) और ({3}) हैं। / (1) and (2) are related to each other, while (3) is related only to itself. Hence the classes are ({1,2}) and ({3}).
विभाजन में उपसमुच्चय अरिक्त, परस्पर असंयुक्त और पूरा समुच्चय बनाते हैं। केवल ({{1,3},{2}}) ये शर्तें पूरी करता है। / In a partition, subsets are non-empty, disjoint, and cover the whole set. Only ({{1,3},{2}}) satisfies these conditions.
यदि समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर परिभाषित एक तुल्यता संबंध \(R\) के तुल्यता वर्ग \(\{1,4\}\) और \(\{2,3\}\) हैं, तो \(R\) में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
तुल्यता संबंध में प्रत्येक तुल्यता वर्ग के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित होते हैं। \(\{1,4\}\) से \(2^2=4\) क्रमित युग्म और \(\{2,3\}\) से \(2^2=4\) क्रमित युग्म मिलते हैं। अतः कुल युग्म \(4+4=8\) हैं। अलग-अलग तुल्यता वर्गों के अवयवों के बीच कोई युग्म नहीं होगा। परीक्षा-युक्ति: यदि तुल्यता वर्गों की लंबाइयाँ \(n_1,n_2,\ldots\) हों, तो संबंध में क्रमित युग्मों की संख्या \(n_1^2+n_2^2+\cdots\) होती है। / In an equivalence relation, every element of a class is related to every element of the same class. The class \(\{1,4\}\) contributes \(2^2=4\) ordered pairs, and \(\{2,3\}\) contributes another \(2^2=4\). Thus, the total is \(4+4=8\). No pair is formed between elements belonging to different equivalence classes. Exam tip: if the class sizes are \(n_1,n_2,\ldots\), the number of ordered pairs is \(n_1^2+n_2^2+\cdots\).
A. यह तुल्य संबंध है/It is an equivalence relation
Explanation
Simple Explanation
यह संबंध उन युग्मों को जोड़ता है जिनके दोनों अवयव समान सम-विषम वर्ग में हैं। अतः R के समतुल्यता वर्ग {1,3} और {2,4} हैं। प्रत्येक a के लिए a-a=0 होने से संबंध स्वतुल्य है; यदि a-b∈{0,2,-2}, तो b-a भी इसी समुच्चय में है, इसलिए यह सममित है। समान सम-विषम वर्ग में संबंध होने के कारण यह संक्रमणीय भी है। इसलिए R एक तुल्य संबंध है। परीक्षा-युक्ति: अंतर के मानों से जाँचते समय पहले देखें कि संबंध वास्तव में समान parity वाले अवयवों को जोड़ रहा है या नहीं। / The relation connects exactly those pairs whose elements have the same parity. Its equivalence classes are therefore {1,3} and {2,4}. Since a-a=0 for every a∈A, the relation is reflexive. If a-b∈{0,2,-2}, then b-a∈{0,2,-2} as well, so it is symmetric. Any two elements related through an intermediate element have the same parity, making the relation transitive. Hence R is an equivalence relation. Exam tip: When a relation is defined through possible differences, check whether those differences characterize a familiar grouping such as parity.
A. \(R\cap S\) स्वतुल्य है/\(R\cap S\) is reflexive
Explanation
Simple Explanation
दोनों में हर ((a,a)) मौजूद है, इसलिए प्रतिच्छेद में भी हर ((a,a)) रहेगा। स्वतुल्यता प्रतिच्छेद में सुरक्षित रहती है। / Every ((a,a)) is present in both, so every ((a,a)) remains in the intersection. Reflexivity is preserved under intersection.
किसी भी युग्म के साथ उसका उल्टा उसी संबंध में होगा, इसलिए संघ में भी होगा। सममिति संघ में सुरक्षित रहती है। / The reverse of every pair is present in the same relation, so it is also present in the union. Symmetry is preserved under union.
उदाहरण में \(R=\{(1,2)\}\) और \(S=\{(2,3)\}\) दोनों संक्रमणीय हैं, पर संघ में ((1,3)) नहीं है। इसलिए संघ हमेशा संक्रमणीय नहीं होता। / For example, \(R=\{(1,2)\}\) and \(S=\{(2,3)\}\) are transitive, but their union lacks ((1,3)). Hence the union is not always transitive.
यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\) है, तो \(R\) को संक्रमणीय बनाने के लिए निम्न में से कौन-सा एकमात्र आवश्यक क्रमित युग्म जोड़ना होगा?
संक्रमणीयता के अनुसार, यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\), तो \((a,c)\in R\) भी होना चाहिए। यहाँ \((1,2)\) और \((2,3)\) दिए गए हैं, इसलिए \((1,3)\) अनिवार्य है। तीनों विकर्ण युग्म पहले से मौजूद हैं, इसलिए इनके कारण कोई अन्य नया युग्म आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए, \((3,1)\) जोड़ने से \((1,2)\) और \((2,3)\) से उत्पन्न आवश्यकता पूरी नहीं होती। परीक्षा-युक्ति: संक्रमणीयता जाँचने के लिए प्रत्येक दो कड़ियों \(a\to b\) और \(b\to c\) से बनने वाली कड़ी \(a\to c\) अवश्य जाँचें। / For transitivity, whenever \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), the pair \((a,c)\) must also belong to \(R\). Since \((1,2)\) and \((2,3)\) are in \(R\), the pair \((1,3)\) is required. All three diagonal pairs are already present, so no other additional pair is needed. For instance, adding \((3,1)\) does not satisfy the requirement generated by the chain \(1\to2\to3\). Exam tip: check every two-step chain \(a\to b\to c\) and verify that \(a\to c\) is present.
A. स्वतुल्य और संक्रमणीय, लेकिन सममित नहीं/Reflexive and transitive, but not symmetric
Explanation
Simple Explanation
प्रत्येक \(a\in A\) के लिए \(a\ge a\) होता है, इसलिए \(R\) स्वतुल्य है। यदि \(a\ge b\) और \(b\ge c\), तो \(a\ge c\), इसलिए यह संक्रमणीय भी है। लेकिन \((2,1)\in R\), जबकि \((1,2)\notin R\), अतः यह सममित नहीं है। इसलिए विकल्प B गलत है, क्योंकि तुल्यता संबंध के लिए सममितता भी आवश्यक होती है। परीक्षा-युक्ति: \(\ge\) संबंध सामान्यतः स्वतुल्य, संक्रमणीय और प्रतिसममित होता है; समान अवयवों वाले युग्मों के आधार पर सममितता जाँचें। / For every \(a\in A\), \(a\ge a\), so \(R\) is reflexive. If \(a\ge b\) and \(b\ge c\), then \(a\ge c\), so it is also transitive. However, \((2,1)\in R\), whereas \((1,2)\notin R\); hence it is not symmetric. Therefore, option B is incorrect because an equivalence relation must also be symmetric. Exam tip: A relation defined by \(\ge\) is generally reflexive, transitive, and antisymmetric; test symmetry using two unequal elements.
A. सममित, परन्तु न तो स्वतुल्य और न ही संक्रमणीय/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Explanation
Simple Explanation
यदि (a,b)∈R, तो ab सम है। चूँकि ab=ba, इसलिए (b,a) भी R में होगा; अतः R सममित है। यह स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि (1,1)∉R, क्योंकि 1×1=1 विषम है। यह संक्रमणीय भी नहीं है: (1,2) और (2,1) R में हैं, लेकिन (1,1) R में नहीं है। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: स्वतुल्यता जाँचने के लिए प्रत्येक a के लिए (a,a), और संक्रमणीयता जाँचने के लिए उपयुक्त तीन अवयवों वाले प्रतिउदाहरण देखें। / If (a,b)∈R, then ab is even. Since ab=ba, (b,a) also belongs to R; hence R is symmetric. It is not reflexive because (1,1)∉R, as 1×1=1 is odd. It is also not transitive: (1,2) and (2,1) are in R, but (1,1) is not. Therefore, option A is correct. Exam tip: To test reflexivity, check every pair (a,a); to disprove transitivity, look for two related pairs whose required composite pair is absent.
(\operatorname{lcm}(a,b)=\operatorname{lcm}(b,a)), इसलिए संबंध सममित है। सभी विकर्ण युग्म नहीं आते, जैसे (\operatorname{lcm}(2,2)=2)। / Since (\operatorname{lcm}(a,b)=\operatorname{lcm}(b,a)), the relation is symmetric. Not all diagonal pairs occur, for example (\operatorname{lcm}(2,2)=2).
A. सममित लेकिन स्वतुल्य नहीं/Symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
योग क्रम बदलने से नहीं बदलता, इसलिए सममित है। पर ((4,4)) नहीं है क्योंकि (8) अभाज्य नहीं है। / The sum does not change when order changes, so it is symmetric. But ((4,4)) is absent because (8) is not prime.
समुच्चय A = {1, 2, 3, 4} पर संबंध R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (2,1), (2,4), (4,2)} दिया गया है। संबंध R निम्नलिखित में से किस गुण में असफल है?
संक्रमणीयता के लिए, यदि (a,b) और (b,c) संबंध R में हों, तो (a,c) भी R में होना चाहिए। यहाँ (1,2) और (2,4) R में हैं, लेकिन (1,4) R में नहीं है; इसलिए R संक्रमणीय नहीं है। दूसरी ओर, सभी (a,a) युग्म उपस्थित हैं, इसलिए R प्रतिवर्ती है, और (1,2), (2,1) तथा (2,4), (4,2) जैसे युग्मों के कारण यह सममित भी है। परीक्षा-युक्ति: संक्रमणीयता जाँचने के लिए दो क्रमिक युग्मों से बनने वाले तीसरे युग्म को अवश्य जाँचें। / For transitivity, whenever (a,b) and (b,c) belong to R, (a,c) must also belong to R. Here, (1,2) and (2,4) are in R, but (1,4) is not; therefore, R is not transitive. All diagonal pairs (a,a) are present, so R is reflexive, and the reverse pairs of (1,2) and (2,4) are also present, so R is symmetric. Exam tip: To test transitivity, combine two related ordered pairs and check whether the resulting pair is included in the relation.
A. स्वतुल्य और सममित लेकिन संक्रमणीय नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Explanation
Simple Explanation
(a=b) से स्वतुल्यता और (a+b=5) से सममिति मिलती है। पर ((1,4)) और ((4,2)) से ((1,2)) चाहिए, जो नहीं है। / The condition (a=b) gives reflexivity and (a+b=5) gives symmetry. But ((1,4)) and ((4,2)) would require ((1,2)), which is absent.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर संबंध \(R\) इस प्रकार परिभाषित है कि \(aRb\) का अर्थ है: \(a\) और \(b\) को 2 से भाग देने पर समान शेषफल प्राप्त होता है। इस संबंध के अंतर्गत 2 का समतुल्यता वर्ग \([2]\) क्या है?
2 को 2 से भाग देने पर शेषफल 0 आता है। समुच्चय \(A\) में 2, 4 और 6 भी 2 से भाग देने पर शेषफल 0 देते हैं, इसलिए वे 2 से संबंधित हैं। अतः \([2]=\{2,4,6\}\)। विकल्प B विषम संख्याओं का वर्ग है, क्योंकि उनका शेषफल 1 आता है। परीक्षा-युक्ति: किसी संख्या का समतुल्यता वर्ग ज्ञात करने के लिए उसी भाजक से समान शेषफल देने वाले सभी अवयव चुनें। / When 2 is divided by 2, the remainder is 0. In the set \(A\), the numbers 2, 4 and 6 also leave remainder 0 upon division by 2, so they are related to 2. Therefore, \([2]=\{2,4,6\}\). Option B contains the odd numbers, which leave remainder 1. Exam tip: To find an equivalence class, select all elements of the set that give the same remainder on division by the specified divisor.
A. यह तुल्य संबंध है/It is an equivalence relation
Explanation
Simple Explanation
सभी विकर्ण युग्म हैं और ((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है। संक्रमणीयता के लिए बने सभी आवश्यक युग्म भी मौजूद हैं। / All diagonal pairs are present and ((2,1)) accompanies ((1,2)). All pairs needed for transitivity are also present.
A. वे (A) का विभाजन बनाते हैं/They form a partition of (A)
Explanation
Simple Explanation
तुल्यता वर्ग अरिक्त, परस्पर असंयुक्त और पूरे (A) को ढकते हैं। यही विभाजन की परिभाषा है। / Equivalence classes are non-empty, disjoint, and cover all of (A). This is exactly the definition of a partition.
योग सम होने के लिए दोनों संख्याएं समान सम-विषम प्रकृति की होंगी। (2) विषम और (2) सम अवयवों से \(2^2+2^2=8\) युग्म मिलते हैं। / For an even sum, both numbers must have the same parity. With (2) odd and (2) even elements, the count is \(2^2+2^2=8\).
R के अनुसार a ≡ 1 (mod 4) होने के लिए a − 1, 4 से विभाज्य होना चाहिए। A में 1 और 5 के लिए यह शर्त पूरी होती है: 1 − 1 = 0 तथा 5 − 1 = 4। इसलिए [1] = {1, 5} है। केवल {1} लेना 5 को छोड़ देता है; परीक्षा में तुल्यता वर्ग बनाते समय दिए गए समुच्चय के प्रत्येक अवयव की जाँच करें। / Under R, an element a belongs to [1] if a − 1 is divisible by 4. In A, this is true for 1 and 5 because 1 − 1 = 0 and 5 − 1 = 4. Therefore, [1] = {1, 5}. The option {1} is incomplete because it omits 5; in such questions, test every element of the given set for congruence with 1.
