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Subjects
Class 11 Mathematics Expert Level 25

यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\) है, तो \(R\) को संक्रमणीय बनाने के लिए निम्न में से कौन-सा एकमात्र आवश्यक क्रमित युग्म जोड़ना होगा?

If \(A=\{1,2,3\}\) and \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\), which single ordered pair must be added to make \(R\) transitive?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \((1,3)\)

Explanation

Simple Explanation

संक्रमणीयता के अनुसार, यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\), तो \((a,c)\in R\) भी होना चाहिए। यहाँ \((1,2)\) और \((2,3)\) दिए गए हैं, इसलिए \((1,3)\) अनिवार्य है। तीनों विकर्ण युग्म पहले से मौजूद हैं, इसलिए इनके कारण कोई अन्य नया युग्म आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए, \((3,1)\) जोड़ने से \((1,2)\) और \((2,3)\) से उत्पन्न आवश्यकता पूरी नहीं होती। परीक्षा-युक्ति: संक्रमणीयता जाँचने के लिए प्रत्येक दो कड़ियों \(a\to b\) और \(b\to c\) से बनने वाली कड़ी \(a\to c\) अवश्य जाँचें। / For transitivity, whenever \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), the pair \((a,c)\) must also belong to \(R\). Since \((1,2)\) and \((2,3)\) are in \(R\), the pair \((1,3)\) is required. All three diagonal pairs are already present, so no other additional pair is needed. For instance, adding \((3,1)\) does not satisfy the requirement generated by the chain \(1\to2\to3\). Exam tip: check every two-step chain \(a\to b\to c\) and verify that \(a\to c\) is present.

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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\) है, तो \(R\) को संक्रमणीय बनाने के लिए निम्न में से कौन-सा एकमात्र आवश्यक क्रमित युग्म जोड़ना होगा? / If \(A=\{1,2,3\}\) and \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\), which single ordered pair must be added to make \(R\) transitive?

Correct Answer: A. \((1,3)\). Explanation: संक्रमणीयता के अनुसार, यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\), तो \((a,c)\in R\) भी होना चाहिए। यहाँ \((1,2)\) और \((2,3)\) दिए गए हैं, इसलिए \((1,3)\) अनिवार्य है। तीनों विकर्ण युग्म पहले से मौजूद हैं, इसलिए इनके कारण कोई अन्य नया युग्म आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए, \((3,1)\) जोड़ने से \((1,2)\) और \((2,3)\) से उत्पन्न आवश्यकता पूरी नहीं होती। परीक्षा-युक्ति: संक्रमणीयता जाँचने के लिए प्रत्येक दो कड़ियों \(a\to b\) और \(b\to c\) से बनने वाली कड़ी \(a\to c\) अवश्य जाँचें। / For transitivity, whenever \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), the pair \((a,c)\) must also belong to \(R\). Since \((1,2)\) and \((2,3)\) are in \(R\), the pair \((1,3)\) is required. All three diagonal pairs are already present, so no other additional pair is needed. For instance, adding \((3,1)\) does not satisfy the requirement generated by the chain \(1\to2\to3\). Exam tip: check every two-step chain \(a\to b\to c\) and verify that \(a\to c\) is present.