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Subjects
Class 11 Mathematics Expert Level 25

समुच्चय A={1,2,3,4} पर संबंध R={(a,b): a-b∈{0,2,-2}} परिभाषित है। निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही है?

A relation R is defined on the set A={1,2,3,4} by R={(a,b): a-b∈{0,2,-2}}. Which of the following statements is correct?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. यह तुल्य संबंध हैIt is an equivalence relation

Explanation

Simple Explanation

यह संबंध उन युग्मों को जोड़ता है जिनके दोनों अवयव समान सम-विषम वर्ग में हैं। अतः R के समतुल्यता वर्ग {1,3} और {2,4} हैं। प्रत्येक a के लिए a-a=0 होने से संबंध स्वतुल्य है; यदि a-b∈{0,2,-2}, तो b-a भी इसी समुच्चय में है, इसलिए यह सममित है। समान सम-विषम वर्ग में संबंध होने के कारण यह संक्रमणीय भी है। इसलिए R एक तुल्य संबंध है। परीक्षा-युक्ति: अंतर के मानों से जाँचते समय पहले देखें कि संबंध वास्तव में समान parity वाले अवयवों को जोड़ रहा है या नहीं। / The relation connects exactly those pairs whose elements have the same parity. Its equivalence classes are therefore {1,3} and {2,4}. Since a-a=0 for every a∈A, the relation is reflexive. If a-b∈{0,2,-2}, then b-a∈{0,2,-2} as well, so it is symmetric. Any two elements related through an intermediate element have the same parity, making the relation transitive. Hence R is an equivalence relation. Exam tip: When a relation is defined through possible differences, check whether those differences characterize a familiar grouping such as parity.

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समुच्चय A={1,2,3,4} पर संबंध R={(a,b): a-b∈{0,2,-2}} परिभाषित है। निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही है? / A relation R is defined on the set A={1,2,3,4} by R={(a,b): a-b∈{0,2,-2}}. Which of the following statements is correct?

Correct Answer: A. यह तुल्य संबंध है / It is an equivalence relation. Explanation: यह संबंध उन युग्मों को जोड़ता है जिनके दोनों अवयव समान सम-विषम वर्ग में हैं। अतः R के समतुल्यता वर्ग {1,3} और {2,4} हैं। प्रत्येक a के लिए a-a=0 होने से संबंध स्वतुल्य है; यदि a-b∈{0,2,-2}, तो b-a भी इसी समुच्चय में है, इसलिए यह सममित है। समान सम-विषम वर्ग में संबंध होने के कारण यह संक्रमणीय भी है। इसलिए R एक तुल्य संबंध है। परीक्षा-युक्ति: अंतर के मानों से जाँचते समय पहले देखें कि संबंध वास्तव में समान parity वाले अवयवों को जोड़ रहा है या नहीं। / The relation connects exactly those pairs whose elements have the same parity. Its equivalence classes are therefore {1,3} and {2,4}. Since a-a=0 for every a∈A, the relation is reflexive. If a-b∈{0,2,-2}, then b-a∈{0,2,-2} as well, so it is symmetric. Any two elements related through an intermediate element have the same parity, making the relation transitive. Hence R is an equivalence relation. Exam tip: When a relation is defined through possible differences, check whether those differences characterize a familiar grouping such as parity.