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महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। / HCF uses only common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
समान अभाज्य (2), (3) और (5) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^4\), \(3^2\) और (5) हैं। / The common primes are (2), (3), and (5), with smaller powers \(2^4\), \(3^2\), and (5).
Step 3
Exam Tip
घातों वाले प्रश्न में हर आधार की छोटी घात अलग-अलग चुनें। / In exponent questions, choose the smaller power for each base separately.
संख्याओं को (42m) और (42n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (42m) and (42n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(42mn=2772), इसलिए \(mn=66=2\times3\times11\)। तीन अलग अभाज्य गुणनखंडों को दो समूहों में बाँटने से (4) अव्यवस्थित जोड़े मिलते हैं। / (42mn=2772), so \(mn=66=2\times3\times11\). Splitting three distinct prime factors into two groups gives (4) unordered pairs.
Step 3
Exam Tip
जोड़ों की गिनती में यह जरूर देखें कि (m) और (n) सहाभाज्य रहें। / While counting pairs, make sure (m) and (n) remain coprime.
हर स्थिति में भाजक और शेष का अंतर (5) है, इसलिए संख्या में (5) जोड़ने पर वह (48), (72) और (120) से पूरी तरह विभाजित होगी। / In each case, the difference between divisor and remainder is (5), so adding (5) to the number makes it divisible by (48), (72), and (120).
Step 2
Why this answer is correct
इनका लघुत्तम समापवर्त्य (720) है, इसलिए सबसे छोटी संख्या (720-5=715) होगी। / Their LCM is (720), so the smallest number is (720-5=715).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में समान अंतर पहचानना गणना को बहुत आसान बना देता है। / In such questions, spotting the common difference makes the calculation much easier.
यदि (N) ऐसी सबसे छोटी संख्या है जो \(2^5\times3^2\times7\) और \(2^3\times3^4\times5\) दोनों से विभाजित होती है, तथा (M) इन दोनों संख्याओं का महत्तम समापवर्तक है, तो \(\frac{N}{M}\) क्या होगा?
सबसे छोटी विभाज्य संख्या (N) लघुत्तम समापवर्त्य होगी और (M) महत्तम समापवर्तक होगा। / The smallest divisible number (N) is the LCM, and (M) is the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(N=2^5\times3^4\times5\times7\) और \(M=2^3\times3^2\), इसलिए \(\frac{N}{M}=2^2\times3^2\times5\times7\)। / \(N=2^5\times3^4\times5\times7\) and \(M=2^3\times3^2\), so \(\frac{N}{M}=2^2\times3^2\times5\times7\).
Step 3
Exam Tip
भाग करते समय समान आधारों की घातें घटाएँ। / While dividing, subtract powers of the same base.
महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3^3\times7\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^5\times5\times7^2\) होगा। / HCF is \(2^2\times3^3\times7\), and LCM is \(2^5\times3^5\times5\times7^2\).
Step 2
Why this answer is correct
भाग देने पर समान आधारों की घातें घटती हैं, इसलिए \(2^3\times3^2\times5\times7\) मिलता है। / On division, subtract powers to get \(2^3\times3^2\times5\times7\).
Step 3
Exam Tip
अनुपात वाले प्रश्न में अभाज्य घातों का घटाव बहुत उपयोगी है। / Exponent subtraction is very useful in ratio questions.
A. ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव हैं/Such whole numbers are possible
Step 1
Concept
दो पूर्ण संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का पूर्ण भाजक होना चाहिए। / For two whole numbers, the HCF must exactly divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(1320\div24=55\) पूर्णांक है, इसलिए ऐसी संख्याएँ संभव हो सकती हैं। / \(1320\div24=55\), which is a whole number, so such numbers can exist.
Step 3
Exam Tip
अस्तित्व जाँचने के लिए पहले यही divisibility शर्त देखें। / For existence checks, test this divisibility condition first.
संख्याओं को (18m) और (18n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (18m) and (18n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(18mn=1260), इसलिए \(mn=70=2\times5\times7\); इसके अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े (4) बनते हैं। / (18mn=1260), so \(mn=70=2\times5\times7\); this gives (4) unordered coprime factor pairs.
Step 3
Exam Tip
वर्गमुक्त गुणनफल में अव्यवस्थित जोड़े गिनते समय अभाज्य गुणनखंडों को दो भागों में बाँटें। / For a square-free product, split prime factors into two groups to count unordered pairs.
समान शेष के लिए दी गई संख्याओं के अंतरों का महत्तम समापवर्तक लेते हैं। / For the same remainder, take the HCF of the differences of the given numbers.
Step 2
Why this answer is correct
अंतर (654-489=165), (909-654=255) और (909-489=420) हैं; इनका महत्तम समापवर्तक (15) है। / The differences are (165), (255), and (420); their HCF is (15).
Step 3
Exam Tip
समान शेष वाले बड़े भाजक के प्रश्न में मूल संख्याओं के अंतरों पर काम करें। / In same-remainder divisor questions, work with differences.
महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात आती है। / HCF uses the smaller power of each common prime.
Step 2
Why this answer is correct
(2) की छोटी घात (4) चाहिए, इसलिए (a=4) संभव है; (3) की छोटी घात (3) चाहिए, इसलिए (b=3) संभव है। / The smaller power of (2) must be (4), so (a=4) is possible; the smaller power of (3) must be (3), so (b=3) is possible.
Step 3
Exam Tip
अज्ञात घातों को हर अभाज्य आधार के लिए अलग जाँचें। / Check unknown powers separately for each prime base.
यदि \(m=2^3\times3^a\times5^2\) और \(n=2^5\times3^2\times5^b\times11\) का लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^6\times5^4\times11\) है, तो कौन-सा मान सही है?
लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात आती है। / LCM uses the highest power of each prime.
Step 2
Why this answer is correct
(3) की सबसे बड़ी घात (6) चाहिए, इसलिए (a=6); (5) की सबसे बड़ी घात (4) चाहिए, इसलिए (b=4)। / The highest power of (3) must be (6), so (a=6); the highest power of (5) must be (4), so (b=4).
Step 3
Exam Tip
लघुत्तम समापवर्त्य के अज्ञात घात वाले प्रश्न में अधिकतम घात पहचानें। / In unknown-power LCM questions, identify the maximum power.
किसी सभा में (198) विद्यार्थी और (330) अतिथि हैं। अधिकतम समान समूह बनाने हैं ताकि हर समूह में विद्यार्थियों और अतिथियों की संख्या अलग-अलग समान रहे। अधिकतम कितने समूह बनेंगे?
अधिकतम समान समूहों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। / The maximum number of identical groups is found by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(198=2\times3^2\times11\) और \(330=2\times3\times5\times11\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2\times3\times11=66\) है। / \(198=2\times3^2\times11\) and \(330=2\times3\times5\times11\), so HCF \(=2\times3\times11=66\).
Step 3
Exam Tip
समान बाँटने के अधिकतम प्रश्न में महत्तम समापवर्तक लें। / Use HCF for maximum equal distribution.
साथ में दोबारा बजने का समय अंतरालों का लघुत्तम समापवर्त्य होता है। / The next common ringing time is the LCM of the intervals.
Step 2
Why this answer is correct
\(45=3^2\times5\), \(60=2^2\times3\times5\), \(84=2^2\times3\times7\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^2\times5\times7=1260\) है। / \(45=3^2\times5\), \(60=2^2\times3\times5\), and \(84=2^2\times3\times7\), so LCM \(=2^2\times3^2\times5\times7=1260\).
Step 3
Exam Tip
समय के दोहराव वाले प्रश्नों में लघुत्तम समापवर्त्य उपयोग करें। / Use LCM for repeated-time questions.
समान अधिकतम भागों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। / The maximum number of equal parts is found by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(96=2^5\times3\), \(160=2^5\times5\), \(224=2^5\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^5=32\) है। / \(96=2^5\times3\), \(160=2^5\times5\), and \(224=2^5\times7\), so HCF \(=2^5=32\).
Step 3
Exam Tip
समान अधिकतम बाँटने के प्रश्न में महत्तम समापवर्तक पहचानें। / In maximum equal division questions, identify HCF.
सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। / The smallest number exactly divisible by all is the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(64=2^6\), \(72=2^3\times3^2\), \(125=5^3\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^6\times3^2\times5^3=72000\) है। / \(64=2^6\), \(72=2^3\times3^2\), and \(125=5^3\), so LCM \(=2^6\times3^2\times5^3=72000\).
Step 3
Exam Tip
बड़ी घातों को सही रखने से उत्तर सही आता है। / Keeping the highest powers correctly gives the right answer.
\(B=A\times11\) है, इसलिए (A), (B) का पूर्ण भाजक है। / \(B=A\times11\), so (A) exactly divides (B).
Step 2
Why this answer is correct
जब एक संख्या दूसरी को पूर्ण भाग देती है, तो छोटी संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। / When one number divides the other exactly, the smaller number is the HCF.
Step 3
Exam Tip
पहले गुणज संबंध पहचानना समय बचाता है। / Identifying a multiple relation saves time.
(3) की घातों की तुलना करें। / Compare the powers of (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(135=3^3\times5\), \(180=2^2\times3^2\times5\), \(225=3^2\times5^2\), इसलिए सबसे छोटी घात (2) है। / \(135=3^3\times5\), \(180=2^2\times3^2\times5\), and \(225=3^2\times5^2\), so the smallest power is (2).
Step 3
Exam Tip
महत्तम समापवर्तक में छोटी घात ही आती है। / HCF uses the smallest power.
अभाज्य गुणनखंड देखें: \(80=2^4\times5\), \(144=2^4\times3^2\), \(225=3^2\times5^2\)। / Prime factorise: \(80=2^4\times5\), \(144=2^4\times3^2\), and \(225=3^2\times5^2\).
Step 2
Why this answer is correct
लघुत्तम समापवर्त्य में भिन्न अभाज्य (2), (3) और (5) होंगे, इसलिए संख्या (3) है। / The distinct primes in the LCM are (2), (3), and (5), so the count is (3).
Step 3
Exam Tip
घातों को अलग अभाज्य न गिनें। / Do not count powers as separate primes.
यदि \(2^7\times3^2\times5\) और \(2^4\times3^5\times5^3\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (5) की घात और (H) में (5) की घात क्रमशः क्या होंगी?
\(121=11^2\), \(143=11\times13\) और \(169=13^2\) है। / \(121=11^2\), \(143=11\times13\), and \(169=13^2\).
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी अभाज्य गुणनखंड तीनों संख्याओं में समान नहीं है, इसलिए महत्तम समापवर्तक (1) है। / No prime factor is common to all three numbers, so the HCF is (1).
Step 3
Exam Tip
तीन संख्याओं में समान गुणनखंड सभी में होना चाहिए। / For three numbers, a common factor must appear in all of them.
\(32=2^5\) और \(1536=2^9\times3\) है। / \(32=2^5\) and \(1536=2^9\times3\).
Step 2
Why this answer is correct
गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल है, इसलिए (2) की घात (5+9=14) होगी। / Product equals HCF times LCM, so the power of (2) is (5+9=14).
Step 3
Exam Tip
समान आधारों के गुणन में घातें जोड़ें। / Add exponents when multiplying powers with the same base.
सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। / Coprime numbers have HCF (1).
Step 2
Why this answer is correct
दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (899) है। / Product (=) HCF \(\times\) LCM, so the LCM is (899).
Step 3
Exam Tip
सहाभाज्य संख्याओं में लघुत्तम समापवर्त्य सीधे गुणनफल होता है। / For coprime numbers, the LCM equals the product.
महत्तम समापवर्तक में वही अभाज्य आते हैं जो तीनों में समान हों। / HCF includes only primes common to all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (3) तीनों में हैं, पर (5) तीसरी संख्या में नहीं है; छोटी घातें \(2^2\) और (3) हैं। / (2) and (3) are common, but (5) is absent in the third number; the smallest powers are \(2^2\) and (3).
Step 3
Exam Tip
जो अभाज्य सभी संख्याओं में न हो, उसे महत्तम समापवर्तक में शामिल न करें। / Do not include a prime that is not present in every number.
संख्याओं को (15m) और (15n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (15m) and (15n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(15mn=420), इसलिए \(mn=28=2^2\times7\); सहाभाज्य अव्यवस्थित जोड़े ((1,28)) और ((4,7)) हैं, इसलिए संख्या (2) है। / (15mn=420), so \(mn=28=2^2\times7\); the unordered coprime pairs are ((1,28)) and ((4,7)), so the count is (2).
Step 3
Exam Tip
(m) और (n) में समान अभाज्य नहीं आना चाहिए। / (m) and (n) must not share a prime factor.
महत्तम समापवर्तक में (2) की छोटी घात (3) होनी चाहिए। / The smaller power of (2) in the HCF must be (3).
Step 2
Why this answer is correct
दूसरी संख्या में \(2^5\) है, इसलिए पहली संख्या में (a=3) होने पर छोटी घात (3) बनेगी। / The second number has \(2^5\), so (a=3) makes the smaller power (3).
Step 3
Exam Tip
अज्ञात घात में छोटी घात की शर्त सीधे लागू करें। / Apply the minimum-power condition directly in HCF questions.
लघुत्तम समापवर्त्य में (3) की बड़ी घात (5) होनी चाहिए। / The highest power of (3) in the LCM must be (5).
Step 2
Why this answer is correct
दूसरी संख्या में \(3^2\) है, इसलिए पहली संख्या में (b=5) होने पर बड़ी घात (5) बनेगी। / The second number has \(3^2\), so (b=5) gives the required highest power (5).
Step 3
Exam Tip
लघुत्तम समापवर्त्य में अधिकतम घात की शर्त देखें। / For LCM, check the maximum-power condition.
हर स्थिति में भाजक से शेष घटाने पर (5) बचता है, इसलिए संख्या में (5) जोड़ने पर वह तीनों से विभाजित होगी। / In each case, divisor minus remainder is (5), so adding (5) to the number makes it divisible by all three divisors.
Step 2
Why this answer is correct
(36), (48) और (60) का लघुत्तम समापवर्त्य (720) है, इसलिए संख्या (720-5=715) है। / The LCM of (36), (48), and (60) is (720), so the number is (720-5=715).
Step 3
Exam Tip
जब शेष भाजक से समान अंतर पर हों, तो लघुत्तम समापवर्त्य से वह अंतर घटाएँ। / When remainders are equally less than divisors, subtract that difference from the LCM.
शेष (0) का अर्थ है कि संख्या तीनों से पूरी तरह विभाजित है। / Remainder (0) means the number is exactly divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(144=2^4\times3^2\), \(180=2^2\times3^2\times5\), \(216=2^3\times3^3\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times3^3\times5=2160\) है। / \(144=2^4\times3^2\), \(180=2^2\times3^2\times5\), and \(216=2^3\times3^3\), so LCM \(=2^4\times3^3\times5=2160\).
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटी विभाज्य संख्या के लिए लघुत्तम समापवर्त्य निकालें। / For the smallest divisible number, find the LCM.
यदि \(2^5\times3^2\times5\) और \(2^2\times3^5\times5^2\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (3) की घात और (H) में (3) की घात क्रमशः क्या होंगी?
\(154=22\times7\) और \(264=22\times12\) हैं। / \(154=22\times7\) and \(264=22\times12\).
Step 2
Why this answer is correct
(7) और (12) सहाभाज्य हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (22) और लघुत्तम समापवर्त्य \(22\times7\times12=1848\) है। / Since (7) and (12) are coprime, HCF is (22) and LCM is \(22\times7\times12=1848\).
Step 3
Exam Tip
विकल्पों में महत्तम समापवर्तक बाहर निकालकर बची संख्याओं की सहाभाज्यता देखें। / In options, factor out the HCF and check whether the remaining numbers are coprime.
दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य (=) दोनों संख्याओं का गुणनफल होता है। / For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यहाँ गुणनफल \(216\times360\) के बराबर होगा। / So here the product equals \(216\times360\).
Step 3
Exam Tip
यह सूत्र केवल दो संख्याओं पर सीधे लागू करें। / Apply this formula directly only for two numbers.
\(99=3^2\times11\), \(165=3\times5\times11\) और \(231=3\times7\times11\) है। / \(99=3^2\times11\), \(165=3\times5\times11\), and \(231=3\times7\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
समान छोटी घातें (3) और (11) हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (33) है। / The common smaller powers are (3) and (11), so HCF (=33).
Step 3
Exam Tip
तीनों संख्याओं में मौजूद अभाज्य ही चुनें। / Choose only primes present in all three numbers.
\(252=2^2\times3^2\times7\), \(315=3^2\times5\times7\), \(420=2^2\times3\times5\times7\) है। / \(252=2^2\times3^2\times7\), \(315=3^2\times5\times7\), and \(420=2^2\times3\times5\times7\).
Step 2
Why this answer is correct
\(H=3\times7=21\) और \(L=2^2\times3^2\times5\times7=1260\), इसलिए \(L\div H=60\) है। / \(H=3\times7=21\) and \(L=2^2\times3^2\times5\times7=1260\), so \(L\div H=60\).
Step 3
Exam Tip
तीन संख्याओं में महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य अलग-अलग नियमों से निकालें। / For three numbers, find HCF and LCM by their separate rules.
महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड आते हैं। / HCF contains only common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
समान अभाज्य (2), (3) और (5) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^3\), \(3^3\) और (5) हैं। / The common primes are (2), (3), and (5), with smaller powers \(2^3\), \(3^3\), and (5).
Step 3
Exam Tip
हर अभाज्य आधार की छोटी घात अलग-अलग चुनें। / Choose the smaller power for each prime base separately.
महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3^2\times5\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^6\times3^5\times5^2\times13\) होगा। / HCF is \(2^3\times3^2\times5\), and LCM is \(2^6\times3^5\times5^2\times13\).
Step 2
Why this answer is correct
भाग देने पर घातें घटती हैं, इसलिए \(2^3\times3^3\times5\times13\) मिलता है। / On division, subtract powers to get \(2^3\times3^3\times5\times13\).
Step 3
Exam Tip
अनुपात में समान आधारों की घातें घटाएँ। / In ratios, subtract exponents of the same base.
संख्याओं को (48m) और (48n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (48m) and (48n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(48mn=2112), इसलिए \(mn=44=2^2\times11\); सहाभाज्य अव्यवस्थित जोड़े ((1,44)) और ((4,11)) हैं, इसलिए संख्या (2) है। / (48mn=2112), so \(mn=44=2^2\times11\); the unordered coprime pairs are ((1,44)) and ((4,11)), so the count is (2).
Step 3
Exam Tip
समान अभाज्य गुणनखंड दोनों भागों में न जाने दें। / Do not split the same prime factor into both parts.
हर बार भाजक और शेष का अंतर (7) है, इसलिए संख्या में (7) जोड़ने पर वह तीनों संख्याओं से विभाजित होगी। / In each case, divisor minus remainder is (7), so adding (7) to the number makes it divisible by all three divisors.
Step 2
Why this answer is correct
(36), (54) और (90) का लघुत्तम समापवर्त्य (540) है, इसलिए संख्या (540-7=533) है। / The LCM of (36), (54), and (90) is (540), so the number is (540-7=533).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में समान अंतर पहचानकर लघुत्तम समापवर्त्य से घटाएँ। / In such questions, identify the common difference and subtract it from the LCM.
समान शेष के लिए संख्याओं के अंतरों का महत्तम समापवर्तक लेते हैं। / For the same remainder, take the HCF of the differences.
Step 2
Why this answer is correct
अंतर (1018-742=276), (1450-1018=432) और (1450-742=708) हैं; इनका महत्तम समापवर्तक (12) है। / The differences are (276), (432), and (708); their HCF is (12).
Step 3
Exam Tip
मूल संख्याओं का नहीं, उनके अंतरों का महत्तम समापवर्तक लें। / Use the differences, not the original numbers directly.
महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात आती है। / HCF uses the smaller power of each common prime.
Step 2
Why this answer is correct
(2) की छोटी घात (5) चाहिए, इसलिए (a=5) संभव है; (3) की छोटी घात (2) चाहिए, इसलिए (b=2) संभव है। / The smaller power of (2) must be (5), so (a=5) is possible; the smaller power of (3) must be (2), so (b=2) is possible.
Step 3
Exam Tip
अज्ञात घातों में हर आधार की शर्त अलग देखें। / Check the condition for each base separately.
लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात आती है। / LCM takes the highest power of every prime.
Step 2
Why this answer is correct
(3) की सबसे बड़ी घात (5) चाहिए, इसलिए (a=5); (5) की सबसे बड़ी घात (4) चाहिए, इसलिए (b=4)। / The highest power of (3) must be (5), so (a=5); the highest power of (5) must be (4), so (b=4).
Step 3
Exam Tip
लघुत्तम समापवर्त्य में अधिकतम घात पहचानें। / For LCM, identify the maximum power.
एक प्रशिक्षण शिविर में (276) विद्यार्थी और (414) अभ्यास पुस्तिकाएँ हैं। अधिकतम समान समूह बनाने हैं ताकि हर समूह में दोनों की संख्या अलग-अलग समान रहे। अधिकतम कितने समूह बनेंगे?
अधिकतम समान समूहों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। / The maximum number of identical groups is found by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(276=2^2\times3\times23\) और \(414=2\times3^2\times23\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2\times3\times23=138\) है। / \(276=2^2\times3\times23\) and \(414=2\times3^2\times23\), so HCF \(=2\times3\times23=138\).
Step 3
Exam Tip
अधिकतम समान बाँटने में महत्तम समापवर्तक उपयोग करें। / Use HCF for maximum equal distribution.
साथ में दोबारा बजने का समय अंतरालों का लघुत्तम समापवर्त्य होता है। / The next common ringing time is the LCM of the intervals.
Step 2
Why this answer is correct
\(18=2\times3^2\), \(27=3^3\), \(45=3^2\times5\), \(60=2^2\times3\times5\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^3\times5=540\) है। / \(18=2\times3^2\), \(27=3^3\), \(45=3^2\times5\), and \(60=2^2\times3\times5\), so LCM \(=2^2\times3^3\times5=540\).
Step 3
Exam Tip
दोहराव वाले समय प्रश्नों में लघुत्तम समापवर्त्य लें। / For repeated-time questions, use LCM.
समान अधिकतम भागों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। / The maximum number of equal parts is found by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(128=2^7\), \(192=2^6\times3\), \(320=2^6\times5\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^6=64\) है। / \(128=2^7\), \(192=2^6\times3\), and \(320=2^6\times5\), so HCF \(=2^6=64\).
Step 3
Exam Tip
समान अधिकतम बाँटने में छोटी समान घात लें। / For maximum equal division, take the smallest common power.
सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। / The smallest number exactly divisible by all is the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(81=3^4\), \(96=2^5\times3\), \(125=5^3\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^4\times5^3=324000\) है। / \(81=3^4\), \(96=2^5\times3\), and \(125=5^3\), so LCM \(=2^5\times3^4\times5^3=324000\).
Step 3
Exam Tip
बड़ी घातों का गुणन सावधानी से करें। / Multiply the highest powers carefully.
\(q=p\times17\) है, इसलिए (p), (q) का पूर्ण भाजक है। / \(q=p\times17\), so (p) exactly divides (q).
Step 2
Why this answer is correct
जब एक संख्या दूसरी संख्या को पूर्ण भाग देती है, तो छोटी संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। / When one number exactly divides the other, the smaller number is the HCF.
Step 3
Exam Tip
गुणज संबंध पहचानना ऐसे प्रश्नों में समय बचाता है। / Identifying a multiple relation saves time in such questions.
(3) की घातों की तुलना करें। / Compare the powers of (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(162=2\times3^4\), \(270=2\times3^3\times5\), \(378=2\times3^3\times7\), इसलिए छोटी घात (3) है। / \(162=2\times3^4\), \(270=2\times3^3\times5\), and \(378=2\times3^3\times7\), so the smallest power is (3).
Step 3
Exam Tip
महत्तम समापवर्तक में सबसे छोटी घात आती है। / HCF uses the smallest power.
अभाज्य गुणनखंड देखें: \(112=2^4\times7\), \(180=2^2\times3^2\times5\), \(225=3^2\times5^2\)। / Prime factorise: \(112=2^4\times7\), \(180=2^2\times3^2\times5\), and \(225=3^2\times5^2\).
Step 2
Why this answer is correct
लघुत्तम समापवर्त्य में भिन्न अभाज्य (2), (3), (5) और (7) होंगे, इसलिए कुल (4) हैं। / The distinct primes in the LCM are (2), (3), (5), and (7), so there are (4).
Step 3
Exam Tip
घातों को नहीं, अलग अभाज्य आधारों को गिनें। / Count distinct prime bases, not powers.
यदि \(2^8\times3^2\times5\) और \(2^5\times3^6\times5^4\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (5) की घात और (H) में (5) की घात क्रमशः क्या होंगी?
\(169=13^2\), \(221=13\times17\) और \(299=13\times23\) है। / \(169=13^2\), \(221=13\times17\), and \(299=13\times23\).
Step 2
Why this answer is correct
तीनों में (13) समान है और इससे बड़ा कोई समान गुणनखंड नहीं है, इसलिए महत्तम समापवर्तक (13) है। / (13) is common to all three and no larger common factor exists, so HCF is (13).
Step 3
Exam Tip
यदि एक अभाज्य तीनों में हो, तो उसे छोड़ें नहीं। / Do not miss a prime that appears in all three numbers.
\(64=2^6\) और \(5120=2^{10}\times5\) है। / \(64=2^6\) and \(5120=2^{10}\times5\).
Step 2
Why this answer is correct
गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल है, इसलिए (2) की घात (6+10=16) होगी। / Product equals HCF times LCM, so the power of (2) is (6+10=16).
Step 3
Exam Tip
समान आधारों के गुणन में घातें जोड़ें। / Add exponents when multiplying powers with the same base.
सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। / Coprime numbers have HCF (1).
Step 2
Why this answer is correct
दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (1147) है। / Product (=) HCF \(\times\) LCM, so the LCM is (1147).
Step 3
Exam Tip
सहाभाज्य संख्याओं के लिए लघुत्तम समापवर्त्य सीधे गुणनफल होता है। / For coprime numbers, LCM equals the product.
संख्याओं को (21m) और (21n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (21m) and (21n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(21mn=2310), इसलिए \(mn=110=2\times5\times11\)। तीन अलग अभाज्य गुणनखंडों से (4) अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े बनते हैं। / (21mn=2310), so \(mn=110=2\times5\times11\). Three distinct prime factors give (4) unordered coprime pairs.
Step 3
Exam Tip
जोड़े गिनते समय क्रम को दो बार न गिनें। / Do not count the reversed order again.
A. ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव हैं/Such whole numbers are possible
Step 1
Concept
महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का पूर्ण भाजक होना चाहिए। / The HCF must exactly divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(1950\div75=26\) पूर्णांक है, इसलिए ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव हो सकती हैं। / \(1950\div75=26\), which is a whole number, so such whole numbers can exist.
Step 3
Exam Tip
अस्तित्व जाँच में पहले यह भागफल देखें। / For existence checks, first inspect this quotient.
\(132=2^2\times3\times11\) और \(220=2^2\times5\times11\) है। / \(132=2^2\times3\times11\) and \(220=2^2\times5\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
(5) केवल दूसरी संख्या में \(5^1\) के रूप में है, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य में इसकी घात (1) होगी। / (5) appears only in the second number as \(5^1\), so its power in the LCM is (1).
Step 3
Exam Tip
केवल एक संख्या में आया अभाज्य भी लघुत्तम समापवर्त्य में आता है। / A prime appearing in only one number is included in the LCM.
महत्तम समापवर्तक में (2) की छोटी घात (4) चाहिए। / The smaller power of (2) in the HCF must be (4).
Step 2
Why this answer is correct
दूसरी संख्या में \(2^6\) है, इसलिए पहली संख्या में (a=4) होने पर छोटी घात (4) बनेगी। / The second number has \(2^6\), so (a=4) makes the smaller power (4).
Step 3
Exam Tip
महत्तम समापवर्तक में न्यूनतम घात की शर्त लगाएँ। / Apply the minimum-power condition in HCF.
लघुत्तम समापवर्त्य में (3) की सबसे बड़ी घात (6) होनी चाहिए। / The highest power of (3) in the LCM must be (6).
Step 2
Why this answer is correct
दूसरी संख्या में \(3^3\) है, इसलिए पहली संख्या में (b=6) होने पर बड़ी घात (6) बनेगी। / The second number has \(3^3\), so (b=6) gives the required highest power (6).
Step 3
Exam Tip
लघुत्तम समापवर्त्य में अधिकतम घात की शर्त देखें। / For LCM, check the maximum-power condition.
(ab=2496), इसलिए \(b=\frac{2496}{48}=52\), पर (48) और (52) सहाभाज्य नहीं हैं। / (ab=2496), so \(b=\frac{2496}{48}=52\), but (48) and (52) are not coprime.
Step 3
Exam Tip
सहाभाज्य शर्त उत्तर की जाँच में बहुत जरूरी है। / The coprime condition is essential for checking the answer.
\(98=2\times7^2\), \(147=3\times7^2\) और \(245=5\times7^2\) है। / \(98=2\times7^2\), \(147=3\times7^2\), and \(245=5\times7^2\).
Step 2
Why this answer is correct
बड़ी घातें (2), (3), (5) और \(7^2\) हैं, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2\times3\times5\times49=1470\) है। / The highest powers are (2), (3), (5), and \(7^2\), so LCM \(=2\times3\times5\times49=1470\).
Step 3
Exam Tip
समान बड़ी घात \(7^2\) को एक बार ही लें। / Take the common highest power \(7^2\) only once.
संख्या में से (15) घटाने पर वह तीनों संख्याओं से विभाजित होगी। / Subtracting (15) makes the number divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(40=2^3\times5\), \(56=2^3\times7\), \(88=2^3\times11\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times5\times7\times11=3080\) है। अतः संख्या (3080+15=3095) है। / \(40=2^3\times5\), \(56=2^3\times7\), and \(88=2^3\times11\), so LCM \(=2^3\times5\times7\times11=3080\). Hence the number is (3080+15=3095).
Step 3
Exam Tip
समान शेष को अंत में जोड़ें। / Add the common remainder at the end.
शेष (0) का अर्थ है कि संख्या तीनों से पूरी तरह विभाजित है। / Remainder (0) means the number is exactly divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(168=2^3\times3\times7\), \(210=2\times3\times5\times7\), \(280=2^3\times5\times7\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times3\times5\times7=840\) है। / \(168=2^3\times3\times7\), \(210=2\times3\times5\times7\), and \(280=2^3\times5\times7\), so LCM \(=2^3\times3\times5\times7=840\).
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटी विभाज्य संख्या के लिए लघुत्तम समापवर्त्य निकालें। / For the smallest divisible number, find the LCM.
यदि \(2^6\times3^2\times5\) और \(2^3\times3^6\times5^2\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (3) की घात और (H) में (3) की घात क्रमशः क्या होंगी?
\(286=26\times11\) और \(260=26\times10\) हैं। / \(286=26\times11\) and \(260=26\times10\).
Step 2
Why this answer is correct
(11) और (10) सहाभाज्य हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (26) और लघुत्तम समापवर्त्य \(26\times11\times10=2860\) है। / Since (11) and (10) are coprime, HCF is (26) and LCM is \(26\times11\times10=2860\).
Step 3
Exam Tip
विकल्प में महत्तम समापवर्तक बाहर निकालकर बची संख्याओं की सहाभाज्यता जाँचें। / In options, factor out the HCF and check if the remaining numbers are coprime.
दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य (=) दोनों संख्याओं का गुणनफल होता है। / For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यहाँ यह गुणनफल \(288\times432\) के बराबर होगा। / Therefore, here the product equals \(288\times432\).
Step 3
Exam Tip
यह संबंध दो संख्याओं पर सीधे लागू करें। / Apply this relation directly for two numbers.
\(330=2\times3\times5\times11\), \(462=2\times3\times7\times11\), \(770=2\times5\times7\times11\) है। / \(330=2\times3\times5\times11\), \(462=2\times3\times7\times11\), and \(770=2\times5\times7\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
\(H=2\times11=22\) और \(L=2\times3\times5\times7\times11=2310\), इसलिए \(L\div H=105\) है। / \(H=2\times11=22\) and \(L=2\times3\times5\times7\times11=2310\), so \(L\div H=105\).
Step 3
Exam Tip
तीन संख्याओं में पहले साझा और फिर सभी भिन्न अभाज्य देखें। / For three numbers, first check common primes and then all distinct primes.
A. ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव हैं/Such whole numbers are possible
Step 1
Concept
महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का पूर्ण भाजक होना चाहिए। / The HCF must exactly divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(1248\div96=13\) पूर्णांक है, इसलिए ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव हो सकती हैं। / \(1248\div96=13\), which is a whole number, so such whole numbers can exist.
Step 3
Exam Tip
अस्तित्व जाँचने में सबसे पहले यह आवश्यक शर्त देखें। / For existence checks, first test this necessary condition.
महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। / HCF uses only common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
समान अभाज्य (2), (3) और (5) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^4\), \(3^2\) और (5) हैं। / The common primes are (2), (3), and (5), with smaller powers \(2^4\), \(3^2\), and (5).
Step 3
Exam Tip
हर अभाज्य आधार की छोटी घात अलग-अलग चुनें। / Choose the smaller power for each prime base separately.
महत्तम समापवर्तक \(2^4\times3^2\times5\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^7\times3^6\times5^3\times7\times11\) होगा। / HCF is \(2^4\times3^2\times5\), and LCM is \(2^7\times3^6\times5^3\times7\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
भाग देने पर घातें घटती हैं, इसलिए \(2^3\times3^4\times5^2\times7\times11\) मिलता है। / On division, subtract powers to get \(2^3\times3^4\times5^2\times7\times11\).
Step 3
Exam Tip
अनुपात में समान आधारों की घातें घटाएँ। / In ratios, subtract exponents of the same base.
संख्याओं को (30m) और (30n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (30m) and (30n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(30mn=2730), इसलिए \(mn=91=7\times13\); अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े ((1,91)) और ((7,13)) हैं। / (30mn=2730), so \(mn=91=7\times13\); the unordered coprime pairs are ((1,91)) and ((7,13)).
Step 3
Exam Tip
जोड़ों की गिनती में उल्टे क्रम को अलग न गिनें। / Do not count reversed order as a new pair.
हर बार भाजक और शेष का अंतर (7) है, इसलिए संख्या में (7) जोड़ने पर वह तीनों से विभाजित होगी। / In each case, divisor minus remainder is (7), so adding (7) to the number makes it divisible by all three divisors.
Step 2
Why this answer is correct
(45), (75) और (90) का लघुत्तम समापवर्त्य (450) है, इसलिए संख्या (450-7=443) है। / The LCM of (45), (75), and (90) is (450), so the number is (450-7=443).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में समान अंतर पहचानकर लघुत्तम समापवर्त्य से घटाएँ। / Spot the common difference and subtract it from the LCM.
महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात आती है। / HCF uses the smaller power of each common prime.
Step 2
Why this answer is correct
(2) की छोटी घात (6) चाहिए, इसलिए (a=6) संभव है; (3) की छोटी घात (4) चाहिए, इसलिए (b=4) संभव है। / The smaller power of (2) must be (6), so (a=6) is possible; the smaller power of (3) must be (4), so (b=4) is possible.
Step 3
Exam Tip
अज्ञात घातों में हर आधार की शर्त अलग देखें। / Check each base condition separately.
यदि \(m=2^5\times3^a\times5^2\) और \(n=2^3\times3^4\times5^b\times11\) का लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^7\times5^3\times11\) है, तो कौन-सा मान सही है?
लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात आती है। / LCM takes the highest power of every prime.
Step 2
Why this answer is correct
(3) की सबसे बड़ी घात (7) चाहिए, इसलिए (a=7); (5) की सबसे बड़ी घात (3) चाहिए, इसलिए (b=3)। / The highest power of (3) must be (7), so (a=7); the highest power of (5) must be (3), so (b=3).
Step 3
Exam Tip
लघुत्तम समापवर्त्य में अधिकतम घात पहचानें। / Identify the maximum powers in LCM.
एक विद्यालय में (312) उत्तर पुस्तिकाएँ और (468) प्रश्न पत्र हैं। इन्हें अधिकतम समान पैकेटों में रखना है ताकि हर पैकेट में दोनों की संख्या अलग-अलग समान रहे। अधिकतम कितने पैकेट बनेंगे?
अधिकतम समान पैकेटों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। / The maximum number of identical packets is found by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(312=2^3\times3\times13\) और \(468=2^2\times3^2\times13\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3\times13=156\) है। / \(312=2^3\times3\times13\) and \(468=2^2\times3^2\times13\), so HCF \(=2^2\times3\times13=156\).
Step 3
Exam Tip
अधिकतम समान बाँटने में महत्तम समापवर्तक उपयोग करें। / Use HCF for maximum equal distribution.
साथ में दोबारा संकेत देने का समय सभी अंतरालों का लघुत्तम समापवर्त्य होता है। / The next common signal time is the LCM of all intervals.
Step 2
Why this answer is correct
\(28=2^2\times7\), \(36=2^2\times3^2\), \(63=3^2\times7\), \(84=2^2\times3\times7\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (252) है। / \(28=2^2\times7\), \(36=2^2\times3^2\), \(63=3^2\times7\), and \(84=2^2\times3\times7\), so the LCM is (252).
Step 3
Exam Tip
दोहराव वाले समय प्रश्नों में लघुत्तम समापवर्त्य लें। / Use LCM for repeated-time questions.
समान अधिकतम भागों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। / The maximum number of equal parts is found by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(192=2^6\times3\), \(288=2^5\times3^2\), \(480=2^5\times3\times5\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^5\times3=96\) है। / \(192=2^6\times3\), \(288=2^5\times3^2\), and \(480=2^5\times3\times5\), so HCF \(=2^5\times3=96\).
Step 3
Exam Tip
समान अधिकतम बाँटने में छोटी समान घात लें। / In maximum equal division, take the smallest common powers.
सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। / The smallest number exactly divisible by all is the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(121=11^2\), \(144=2^4\times3^2\), \(250=2\times5^3\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times3^2\times5^3\times11^2=2178000\) है। / \(121=11^2\), \(144=2^4\times3^2\), and \(250=2\times5^3\), so LCM \(=2^4\times3^2\times5^3\times11^2=2178000\).
Step 3
Exam Tip
बड़ी घातों का गुणन सावधानी से करें। / Multiply the highest powers carefully.
\(q=p\times19\) है, इसलिए (p), (q) का पूर्ण भाजक है। / \(q=p\times19\), so (p) exactly divides (q).
Step 2
Why this answer is correct
जब एक संख्या दूसरी को पूर्ण भाग देती है, तो छोटी संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। / When one number exactly divides the other, the smaller number is the HCF.
Step 3
Exam Tip
गुणज संबंध पहचानना ऐसे प्रश्नों में समय बचाता है। / Identifying a multiple relation saves time.
(3) की घातों की तुलना करें। / Compare the powers of (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(216=2^3\times3^3\), \(324=2^2\times3^4\), \(540=2^2\times3^3\times5\), इसलिए छोटी घात (3) है। / \(216=2^3\times3^3\), \(324=2^2\times3^4\), and \(540=2^2\times3^3\times5\), so the smallest power is (3).
Step 3
Exam Tip
महत्तम समापवर्तक में सबसे छोटी घात आती है। / HCF uses the smallest power.
अभाज्य गुणनखंड देखें: \(196=2^2\times7^2\), \(225=3^2\times5^2\), \(308=2^2\times7\times11\)। / Prime factorise: \(196=2^2\times7^2\), \(225=3^2\times5^2\), and \(308=2^2\times7\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
लघुत्तम समापवर्त्य में भिन्न अभाज्य (2), (3), (5), (7) और (11) होंगे, इसलिए कुल (5) हैं। / The distinct primes in the LCM are (2), (3), (5), (7), and (11), so there are (5).
Step 3
Exam Tip
घातों को नहीं, अलग अभाज्य आधारों को गिनें। / Count distinct prime bases, not powers.
यदि \(2^6\times3^2\times5^4\) और \(2^3\times3^5\times5\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (5) की घात और (H) में (5) की घात क्रमशः क्या होंगी?
\(221=13\times17\), \(323=17\times19\) और \(437=19\times23\) है। / \(221=13\times17\), \(323=17\times19\), and \(437=19\times23\).
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी अभाज्य गुणनखंड तीनों संख्याओं में समान नहीं है, इसलिए महत्तम समापवर्तक (1) है। / No prime factor is common to all three numbers, so the HCF is (1).
Step 3
Exam Tip
तीनों संख्याओं में उपस्थित साझा गुणनखंड ही लिया जाता है। / Only a factor present in all three numbers is taken.
सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। / Coprime numbers have HCF (1).
Step 2
Why this answer is correct
दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (1517) है। / Product (=) HCF \(\times\) LCM, so the LCM is (1517).
Step 3
Exam Tip
सहाभाज्य संख्याओं के लिए लघुत्तम समापवर्त्य सीधे गुणनफल होता है। / For coprime numbers, LCM equals the product.
\(128=2^7\), \(192=2^6\times3\) और \(343=7^3\) है। / \(128=2^7\), \(192=2^6\times3\), and \(343=7^3\).
Step 2
Why this answer is correct
(7) केवल (343) से \(7^3\) के रूप में आएगा, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य में घात (3) होगी। / (7) appears from (343) as \(7^3\), so its power in the LCM is (3).
Step 3
Exam Tip
केवल एक संख्या में आया अभाज्य भी लघुत्तम समापवर्त्य में आता है। / A prime appearing in only one number is still included in the LCM.
संख्याओं को (18m) और (18n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (18m) and (18n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(18mn=6930), इसलिए \(mn=385=5\times7\times11\)। तीन अलग अभाज्य गुणनखंडों से (4) अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े बनते हैं। / (18mn=6930), so \(mn=385=5\times7\times11\). Three distinct prime factors give (4) unordered coprime pairs.
Step 3
Exam Tip
जोड़े गिनते समय क्रम को दो बार न गिनें। / Do not count the reversed order again.
B. ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव नहीं हैं/Such whole numbers are not possible
Step 1
Concept
महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का पूर्ण भाजक होना चाहिए। / The HCF must exactly divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
(990) को (44) से भाग देने पर पूर्णांक नहीं मिलता, इसलिए ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव नहीं हैं। / (990) is not exactly divisible by (44), so such whole numbers are not possible.
Step 3
Exam Tip
जोड़ा खोजने से पहले यह आवश्यक शर्त जाँचें। / Check this necessary condition before searching for pairs.
दोनों से विभाजित होने वाली सबसे छोटी संख्या उनका लघुत्तम समापवर्त्य होगी। / The smallest number divisible by both is their LCM.
Step 2
Why this answer is correct
बड़ी घातें \(2^6\), \(3^2\), (5) और (7) हैं, इसलिए मान \(64\times9\times5\times7=20160\) है। / The highest powers are \(2^6\), \(3^2\), (5), and (7), so the value is \(64\times9\times5\times7=20160\).
Step 3
Exam Tip
सभी जरूरी अभाज्य घातों को साथ लें। / Include all required prime powers together.
महत्तम समापवर्तक में (2) की छोटी घात (5) चाहिए। / The smaller power of (2) in the HCF must be (5).
Step 2
Why this answer is correct
दूसरी संख्या में \(2^7\) है, इसलिए पहली संख्या में (a=5) होने पर छोटी घात (5) बनेगी। / The second number has \(2^7\), so (a=5) makes the smaller power (5).
Step 3
Exam Tip
महत्तम समापवर्तक में न्यूनतम घात की शर्त लगाएँ। / Apply the minimum-power condition in HCF.
लघुत्तम समापवर्त्य में (3) की सबसे बड़ी घात (6) होनी चाहिए। / The highest power of (3) in the LCM must be (6).
Step 2
Why this answer is correct
दूसरी संख्या में \(3^3\) है, इसलिए पहली संख्या में (b=6) होने पर बड़ी घात (6) बनेगी। / The second number has \(3^3\), so (b=6) gives the required highest power (6).
Step 3
Exam Tip
लघुत्तम समापवर्त्य में अधिकतम घात की शर्त देखें। / For LCM, check the maximum-power condition.
\(102=2\times3\times17\), \(170=2\times5\times17\) और \(255=3\times5\times17\) है। / \(102=2\times3\times17\), \(170=2\times5\times17\), and \(255=3\times5\times17\).
Step 2
Why this answer is correct
सभी जरूरी अभाज्य (2), (3), (5) और (17) हैं, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (510) है। / The required primes are (2), (3), (5), and (17), so the LCM is (510).
Step 3
Exam Tip
समान अभाज्य को एक बार और अलग अभाज्य को जरूर शामिल करें। / Take a common prime once and include every distinct prime.
संख्या में से (17) घटाने पर वह तीनों संख्याओं से विभाजित होगी। / Subtracting (17) makes the number divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(64=2^6\), \(80=2^4\times5\), \(96=2^5\times3\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (960) है। अतः संख्या (960+17=977) है। / \(64=2^6\), \(80=2^4\times5\), and \(96=2^5\times3\), so the LCM is (960). Hence the number is (960+17=977).
Step 3
Exam Tip
समान शेष को अंत में जोड़ें। / Add the common remainder at the end.
शेष (0) का अर्थ है कि संख्या तीनों से पूरी तरह विभाजित है। / Remainder (0) means the number is exactly divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(225=3^2\times5^2\), \(270=2\times3^3\times5\), \(315=3^2\times5\times7\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (9450) है। / \(225=3^2\times5^2\), \(270=2\times3^3\times5\), and \(315=3^2\times5\times7\), so the LCM is (9450).
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटी विभाज्य संख्या के लिए लघुत्तम समापवर्त्य निकालें। / For the smallest divisible number, find the LCM.
यदि \(2^4\times3^7\times5\) और \(2^6\times3^3\times5^4\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (3) की घात और (H) में (3) की घात क्रमशः क्या होंगी?
\(78=26\times3\) और \(286=26\times11\) हैं। / \(78=26\times3\) and \(286=26\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
(3) और (11) सहाभाज्य हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (26) और लघुत्तम समापवर्त्य \(26\times3\times11=858\) है। / Since (3) and (11) are coprime, HCF is (26) and LCM is \(26\times3\times11=858\).
Step 3
Exam Tip
विकल्पों में महत्तम समापवर्तक बाहर निकालकर बची संख्याओं की सहाभाज्यता देखें। / In options, factor out the HCF and check whether the remaining numbers are coprime.
\(420=2^2\times3\times5\times7\), \(660=2^2\times3\times5\times11\), \(924=2^2\times3\times7\times11\) है। / \(420=2^2\times3\times5\times7\), \(660=2^2\times3\times5\times11\), and \(924=2^2\times3\times7\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
\(H=2^2\times3=12\) और \(L=2^2\times3\times5\times7\times11=4620\), इसलिए \(L\div H=385\) है। / \(H=2^2\times3=12\) and \(L=2^2\times3\times5\times7\times11=4620\), so \(L\div H=385\).
Step 3
Exam Tip
तीन संख्याओं में पहले साझा और फिर सभी अलग अभाज्य देखें। / For three numbers, check common primes first and then all distinct primes.
यदि \(2^6\times3^2\times5\), \(2^4\times3^5\times7\) और \(2^2\times5^2\times13\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) है, तो (L) में कितने भिन्न अभाज्य गुणनखंड होंगे?
A. ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव हैं/Such whole numbers are possible
Step 1
Concept
महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का पूर्ण भाजक होना चाहिए। / The HCF must exactly divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(4620\div84=55\) पूर्णांक है, इसलिए ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव हो सकती हैं। / \(4620\div84=55\), which is a whole number, so such whole numbers can exist.
Step 3
Exam Tip
अस्तित्व जाँचने में सबसे पहले यह आवश्यक शर्त देखें। / For existence checks, first test this necessary condition.
हर संख्या से (16) घटाएँ, ताकि (720), (1120) और (1520) मिलें। / Subtract (16) from each number to get (720), (1120), and (1520).
Step 2
Why this answer is correct
इन तीनों का महत्तम समापवर्तक (80) है, इसलिए सबसे बड़ी संख्या (80) होगी। / The HCF of these three numbers is (80), so the greatest number is (80).
Step 3
Exam Tip
निश्चित शेष वाले प्रश्न में पहले शेष घटाकर महत्तम समापवर्तक निकालें। / In fixed-remainder questions, subtract the remainder first and then find the HCF.
हर बार भाजक और शेष का अंतर (9) है, इसलिए संख्या में (9) जोड़ने पर वह तीनों भाजकों से पूरी तरह विभाजित होगी। / In each case, divisor minus remainder is (9), so adding (9) to the number makes it exactly divisible by all three divisors.
Step 2
Why this answer is correct
(72), (90) और (126) का लघुत्तम समापवर्त्य (2520) है, इसलिए संख्या (2520-9=2511) होगी। / The LCM of (72), (90), and (126) is (2520), so the number is (2520-9=2511).
Step 3
Exam Tip
जब शेष भाजक से समान अंतर पर हो, तो लघुत्तम समापवर्त्य से वह अंतर घटाएँ। / When each remainder is equally less than the divisor, subtract that common difference from the LCM.
