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A. x-अक्ष के साथ मिलने वाले बिंदु/Points where the graph meets the x-axis
Explanation
Simple Explanation
शून्यक वे x मान होते हैं जिनके लिए \\(p(x)=0\\). ग्राफ पर यह उन बिंदुओं के y-निर्देशांक की शून्यता को दर्शाता, यानी \\(y=0\\) होने पर बिंदु x-अक्ष पर होता है। यदि ग्राफ x-अक्ष को किसी बिंदु \\( (a,0) \\) पर काटता है तो a बहुपद का शून्यक है। विकल्प B गलत है क्योंकि y-अक्ष पर x=0 होता है और वह केवल \\(p(0)\\) देता है — जरूरी नहीं कि यह शून्य हो। विकल्प C गलत है क्योंकि टर्निंग पॉइंट्स पर अक्सर \\(\frac{dp}{dx}=0\\) होता है पर \\(p(x)=0\\) आवश्यक नहीं। विकल्प D सिर्फ उस विशेष स्थिति में सही होगा जब \\(p(0)=0\\), अन्यथा नहीं। परीक्षा सुझाव: ग्राफ से शून्यक पाने के लिए उन बिंदुओं के x-निर्देशांक नोट करें जहाँ y=0। / Zeros (roots) are x-values for which \\(p(x)=0\\). On the graph these correspond to points with \\(y=0\\), i.e. where the curve meets the x-axis. So if the curve intersects the x-axis at \\( (a,0) \\), then a is a root of \\(p(x)\\). Option B is incorrect because y-axis intersections give \\(p(0)\\) (x=0) and need not be zero. Option C is incorrect since turning points relate to derivative conditions, not necessarily to the function value being zero. Option D is only true in the special case \\(p(0)=0\\). Exam tip: To read zeros from a graph, list the x-coordinates of all intersections with the x-axis.
(p(1)=0) से (a+b=9) और (p(5)=0) से (5a+b=-23), इसलिए (a=-8) नहीं बल्कि (a=-8) आता है। विकल्पों में कोई सही नहीं है। / (p(1)=0) gives (a+b=9) and (p(5)=0) gives (5a+b=-23), so (a=-8). None of the listed choices is correct.
(p(1)=0) से (1+a+b+18=0), इसलिए (a+b=-19)। पूछे गए योग के लिए यह शर्त सीधे पर्याप्त है। / From (p(1)=0), (1+a+b+18=0), so (a+b=-19). This condition is directly enough for the asked sum.
(p(1)=0) से (a+b=5) और (p(2)=0) से (2a+b=-1), इसलिए (a=-6) नहीं बल्कि (a=-6) आता है। विकल्पों में कोई सही नहीं है। / (p(1)=0) gives (a+b=5) and (p(2)=0) gives (2a+b=-1), so (a=-6). None of the listed choices is correct.
(p(1)=0) से (a+b=-13) सीधे मिलता है। दूसरी शर्त संगति जांचती है लेकिन पूछे गए योग के लिए पहली शर्त पर्याप्त है। / From (p(1)=0), we directly get (a+b=-13). The second condition checks consistency, but the first is enough for the asked sum.
(p(1)=1+a+b+4=0) और (p(-1)=-1+a-b+4=0), इसलिए (2a+4=0) नहीं बल्कि जोड़ने पर (2a+8=0), अतः (a=-4)। संकेतों को सावधानी से जोड़ें। / (p(1)=1+a+b+4=0) and (p(-1)=-1+a-b+4=0); adding gives (2a+8=0), so (a=-4). Add signs carefully.
शर्तों से (a+b=-7) और (4a-2b=2), इसलिए (a=-2), (b=-5) और (a-b=3)। सही गणना से (a-b=3) मिलता है। / The conditions give (a+b=-7) and (4a-2b=2), so (a=-2), (b=-5), and (a-b=3). The correct value is (3).
अंतिम शून्य (2) और (5) के जोड़ों से बनते हैं। / Trailing zeros are formed by pairs of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
जोड़ों की संख्या (a) और (b) में छोटी घात के बराबर होती है, इसलिए (\min(a,b)=4)। / The number of pairs equals the smaller exponent of (a) and (b), so (\min(a,b)=4).
Step 3
Exam Tip
अंतिम शून्य में योग नहीं, छोटी घात गिनी जाती है। / For trailing zeros, count the minimum exponent, not the sum.
A. \(\frac{1}{2}\) और (-4)/\(\frac{1}{2}\) and (-4)
Explanation
Simple Explanation
(2x-1=0) से \(x=\frac{1}{2}\) और (x+4=0) से (x=-4) मिलता है। परीक्षा में प्रत्येक रैखिक गुणनखंड अलग हल करें। / From (2x-1=0), \(x=\frac{1}{2}\), and from (x+4=0), (x=-4). In exams, solve each linear factor separately.
D. \(-\sqrt{7}\) और \(\sqrt{7}\)/\(-\sqrt{7}\) and \(\sqrt{7}\)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2-7=0\) से \(x=\pm\sqrt{7}\) मिलता है। परीक्षा में वर्ग समीकरण में धनात्मक और ऋणात्मक दोनों वर्गमूल लें। / From \(x^2-7=0\), \(x=\pm\sqrt{7}\). In exams, take both positive and negative square roots in a square equation.
अंतिम शून्य (2) और (5) के जोड़े से बनते हैं। / Trailing zeros are formed by pairs of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
जोड़ों की संख्या (a) और (b) में छोटी घात के बराबर होती है। इसलिए (\min(a,b)=5)। / The number of pairs equals the smaller of (a) and (b). So (\min(a,b)=5).
Step 3
Exam Tip
अंतिम शून्यों में योग नहीं, छोटी घात काम आती है। / For trailing zeros, use the smaller exponent, not the sum.
अंतिम शून्य (2) और (5) के जोड़े से बनते हैं। / Trailing zeros are formed by pairs of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
जोड़ों की संख्या (a) और (b) में छोटी घात के बराबर होती है। इसलिए (\min(a,b)=2)। / The number of pairs equals the smaller of (a) and (b). So (\min(a,b)=2).
Step 3
Exam Tip
अंतिम शून्यों में योग नहीं, छोटी घात काम आती है। / For trailing zeros, use the smaller exponent, not the sum.
\(\alpha+\beta=6\) और \(\alpha^2+\beta^2=26\) है। \(36-2\alpha\beta=26\) से \(\alpha\beta=5\), इसलिए जड़ें (1) और (5) हैं। / Here \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha^2+\beta^2=26\). From \(36-2\alpha\beta=26\), \(\alpha\beta=5\), so the roots are (1) and (5).
दोनों ऋणात्मक जड़ों के लिए योग (-12) और गुणनफल \(\lambda>0\) चाहिए। वास्तविक भिन्न जड़ों के लिए \(144-4\lambda>0\), इसलिए \(0<\lambda<36\)। / For both roots to be negative, the sum (-12) and product \(\lambda>0\) are needed. For real distinct roots, \(144-4\lambda>0\), so \(0<\lambda<36\).
मूल जड़ें (3) और (4) हैं। नई जड़ें (9) और (11) हैं, इसलिए समीकरण \(x^2-20x+99=0\) है। / The original roots are (3) and (4). The new roots are (9) and (11), so the equation is \(x^2-20x+99=0\).
\(\alpha+\beta=5\) और \(\alpha\beta=6\) हैं। नई जड़ें (5) और (6) हैं, इसलिए समीकरण \(x^2-11x+30=0\) है। / Here \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha\beta=6\). The new roots are (5) and (6), so the equation is \(x^2-11x+30=0\).
\(\alpha+\beta=5\) और \(\alpha^2+\beta^2=17\) है। \(25-2\alpha\beta=17\) से \(\alpha\beta=4\), इसलिए जड़ें (1) और (4) हैं। / Here \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha^2+\beta^2=17\). From \(25-2\alpha\beta=17\), \(\alpha\beta=4\), so the roots are (1) and (4).
दोनों ऋणात्मक जड़ों के लिए योग (-10) और गुणनफल \(\lambda>0\) चाहिए। वास्तविक भिन्न जड़ों के लिए \(100-4\lambda>0\), इसलिए \(0<\lambda<25\)। / For both roots to be negative, the sum (-10) and product \(\lambda>0\) are needed. For real distinct roots, \(100-4\lambda>0\), hence \(0<\lambda<25\).
मूल जड़ें (2) और (7) हैं। नई जड़ें (-1) और (4) होंगी, इसलिए समीकरण \(x^2-3x-4=0\) है। / The original roots are (2) and (7). The new roots are (-1) and (4), so the equation is \(x^2-3x-4=0\).
\(\alpha+\beta=4\) और \(\alpha^2+\beta^2=10\) है। \(16-2\alpha\beta=10\) से \(\alpha\beta=3\), इसलिए जड़ें (1) और (3) हैं। / Here \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha^2+\beta^2=10\). From \(16-2\alpha\beta=10\), \(\alpha\beta=3\), so the roots are (1) and (3).
दोनों ऋणात्मक जड़ों के लिए योग (-2) और गुणनफल \(\lambda>0\) चाहिए। वास्तविक भिन्न जड़ों के लिए \(4-4\lambda>0\), इसलिए \(0<\lambda<1\)। / For both roots to be negative, the sum (-2) and product \(\lambda>0\) are needed. For real distinct roots, \(4-4\lambda>0\), hence \(0<\lambda<1\).
मूल जड़ें (1) और (5) हैं, इसलिए नई जड़ें (1) और (13) हैं। उनका समीकरण \(x^2-14x+13=0\) है। / The original roots are (1) and (5), so the new roots are (1) and (13). Their equation is \(x^2-14x+13=0\).
नई जड़ों का योग \(\alpha+\beta+2=5\) है, इसलिए (p=-3)। गुणनफल (q-p+1=6) से (q=2) मिलता है। / The sum of new roots is \(\alpha+\beta+2=5\), so (p=-3). From product (q-p+1=6), we get (q=2).
\(\alpha+\beta=3\) और \(\alpha\beta=-2\) है। इसलिए \(\alpha^2+\beta^2=13\) और \(\alpha^2\beta^2=4\), अतः समीकरण \(x^2-13x+4=0\) है। / Here \(\alpha+\beta=3\) and \(\alpha\beta=-2\). Thus \(\alpha^2+\beta^2=13\) and \(\alpha^2\beta^2=4\), so the equation is \(x^2-13x+4=0\).
मूल जड़ें (2) और (3) हैं, इसलिए नई जड़ें (3) और (4) होंगी। उनका समीकरण \(x^2-7x+12=0\) है। / The original roots are (2) and (3), so the new roots are (3) and (4). Their equation is \(x^2-7x+12=0\).
यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{10}{3}\) और \(\alpha\beta=1\) है। व्युत्क्रम जड़ों का योग \(\frac{10}{3}\) और गुणनफल (1) ही रहता है। / Here \(\alpha+\beta=\frac{10}{3}\) and \(\alpha\beta=1\). The reciprocal roots also have sum \(\frac{10}{3}\) and product (1).
x-अक्ष पर स्पर्श करने का अर्थ है कि परवलय का शीर्षक (vertex) उसी बिंदु पर है और समीकरण के दोनों मूल समान होते हैं — यानि द्विघात समीकरण का एक ही वास्तविक विशिष्ट शून्य है (दोहऱा मूल)। गणितीय दृष्टि से यह स्थिति \\(\Delta=0\\) अर्थात विसंगति (discriminant) शून्य होने पर आती है। इसलिए शून्यकों की संख्या एक है (मूल 2, पर गुणनफल में दोहरान होना अलग बात है)। निकटतम ग़लत विकल्प: 'दो' तब होता जब परवलय x-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटे; 'कोई नहीं' तब होता जब परवलय x-अक्ष से ऊपर पूरी तरह हो; 'अनंत' असम्भव है। परीक्षात्मक टिप: किसी द्विघात के एक ही शून्य के लिए विसंगति \\(\Delta=0\\) याद रखें। / Touching the x-axis means the parabola's vertex lies on the axis and the quadratic has a repeated root — one distinct real zero (a double root). In terms of discriminant, this corresponds to \\(\Delta=0\\). So there is exactly one real zero: x=2. Why other options are wrong: 'Two' would require the parabola to intersect the axis at two distinct points; 'None' applies when the parabola does not meet the axis at all; 'Infinite' is impossible for a polynomial of finite degree. Exam tip: for a double root of a quadratic check that \\(\Delta=0\\).
पुराने योग (4) और गुणनफल (3) हैं। नए योग (12) और गुणनफल (27) होंगे इसलिए \(x^2-12x+27=0\) है। / The old sum is (4) and product is (3). The new sum is (12) and product is (27), so the equation is \(x^2-12x+27=0\).
पुराने योग (3) और गुणनफल (2) हैं। नए योग (6) और गुणनफल (8) होंगे इसलिए \(x^2-6x+8=0\) है। / The old sum is (3) and product is (2). The new sum is (6) and product is (8), so the equation is \(x^2-6x+8=0\).
नए मूलों का योग (4\alpha+4\beta=4\(\alpha+\beta\)=12) है। गुणक लगे मूलों में योग भी उसी गुणक से गुणा होता है। / The sum of new roots is (4\alpha+4\beta=4\(\alpha+\beta\)=12). When roots are multiplied by a factor, the sum is also multiplied by that factor.
नए मूलों का योग (3\alpha+3\beta=3\(\alpha+\beta\)=12) है। गुणक लगे मूलों में योग पर भी वही गुणक लगता है। / The sum of new roots is (3\alpha+3\beta=3\(\alpha+\beta\)=12). When roots are multiplied by a factor, the sum is multiplied by the same factor.
नए मूलों का योग (2\alpha+2\beta=2\(\alpha+\beta\)=10) है। गुणक लगे मूलों में योग पर भी वही गुणक लगता है। / The sum of new roots is (2\alpha+2\beta=2\(\alpha+\beta\)=10). When roots are multiplied by a factor, the sum is also multiplied by that factor.
A. \(k\neq0\) और \(k^2\le16\)/\(k\neq0\) and \(k^2\le16\)
Explanation
Simple Explanation
व्युत्क्रम जड़ों के लिए \(\frac{k}{k}=1\) है, इसलिए \(k\neq0\) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(64-4k^2\ge0\), अतः \(k^2\le16\)। / For reciprocal roots, \(\frac{k}{k}=1\), so \(k\neq0\) is needed. For real roots, \(64-4k^2\ge0\), hence \(k^2\le16\).
व्युत्क्रम जड़ों के लिए \(\alpha\beta=1\) होता है। यहाँ \(\alpha\beta=k\), इसलिए (k=1), और (D=12>0) से जड़ें वास्तविक भी हैं। / For reciprocal roots, \(\alpha\beta=1\). Here \(\alpha\beta=k\), so (k=1), and (D=12>0) confirms real roots.
गुणनफल (36) और अंतर (5) वाली धनात्मक जड़ें (4) और (9) हैं। उनका योग (13) है, इसलिए (p=13)। / The positive roots with product (36) and difference (5) are (4) and (9). Their sum is (13), so (p=13).
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) है। \(52=36-2\alpha\beta\) से \(\alpha\beta=-8\) मिलता है। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta). From \(52=36-2\alpha\beta\), we get \(\alpha\beta=-8\).
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) है। \(20=16-2\alpha\beta\) से \(\alpha\beta=-2\) मिलता है। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta). From \(20=16-2\alpha\beta\), we get \(\alpha\beta=-2\).
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। इसलिए \(x^2-10x+21=0\) सही है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Therefore (x^2-10x+21=0) is correct.\)
गुणनफल धनात्मक होने पर दोनों चिन्ह समान होते हैं। योग धनात्मक होने से दोनों मूल धनात्मक होंगे। / A positive product means both signs are same. A positive sum means both roots are positive.
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। इसलिए \(x^2+9x+20=0\) सही है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Therefore (x^2+9x+20=0) is correct.\)
गुणनफल धनात्मक होने पर दोनों मूलों का चिन्ह समान होता है। योग ऋणात्मक होने से दोनों मूल ऋणात्मक होंगे। / A positive product means both roots have the same sign. A negative sum means both roots are negative.
\(मानक रूप (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) है इसलिए \(x^2-6x+8=0\)। योग वाले पद का चिन्ह बदलता है। \(/ The standard form is (x^2-(\)sum)x+product\(=0) so (x^2-6x+8=0). The sign of the sum term changes.\)
द्विघात समीकरण ax-2+bx+c=0 का भेदक \(D=b^2-4ac\) होता है। यदि \(D<0\), तो समीकरण के वास्तविक संख्या में कोई मूल नहीं होते; इसके स्थान पर दो संयुक्त जटिल (complex conjugate) मूल होते हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प C (2) तब सही होता है जब \(D>0\) — तब दो अलग वास्तविक मूल मिलते हैं। परिक्षा टिप: पहले भेदक की गणना करें; उसके साइन से तुरंत वास्तविक मूलों की संख्या पता चल जाती है (D>0 → 2, D=0 → 1, D<0 → 0)। / For a quadratic ax-2+bx+c=0 the discriminant is \(D=b^2-4ac\). If \(D<0\), there are no real roots; instead the equation has two complex conjugate roots. The closest distractor C (2) would be correct only when \(D>0\), which gives two distinct real roots; when \(D=0\) there is one repeated real root. Exam tip: compute the discriminant first — its sign immediately tells you the number of real roots (D>0 → 2, D=0 → 1, D<0 → 0).
A. \(k\neq0\) और \(k^2\le36\)/\(k\neq0\) and \(k^2\le36\)
Explanation
Simple Explanation
जड़ों का गुणनफल \(\frac{k}{k}=1\) है, इसलिए \(k\neq0\) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(144-4k^2\ge0\), अतः \(k^2\le36\)। / The product of roots is \(\frac{k}{k}=1\), so \(k\neq0\) is needed. For real roots, \(144-4k^2\ge0\), hence \(k^2\le36\).
यहाँ समीकरण ((x-(a+1))(x-(a+5))=0) बनता है। इसलिए जड़ें (a+1) और (a+5) हैं, अतः धनात्मक अंतर (4) है। / The equation becomes ((x-(a+1))(x-(a+5))=0). So the roots are (a+1) and (a+5), hence the positive difference is (4).
योग (12) वाली अभाज्य जड़ें (5) और (7) हैं। उनका गुणनफल (35) है, इसलिए (m=35)। / The prime roots with sum (12) are (5) and (7). Their product is (35), so (m=35).
C. \(k\neq0\) और \(k^2\le25\)/\(k\neq0\) and \(k^2\le25\)
Explanation
Simple Explanation
जड़ों का गुणनफल \(\frac{k}{k}=1\) है, इसलिए \(k\neq0\) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(100-4k^2\ge0\), अतः \(k^2\le25\)। / The product of roots is \(\frac{k}{k}=1\), so \(k\neq0\) is needed. For real roots, \(100-4k^2\ge0\), hence \(k^2\le25\).
दिए गए समीकरण में जड़ों का योग (2r+5) और गुणनफल (r-2+5r+6=(r+2)(r+3)) है। इसलिए जड़ें (r+2) और (r+3) हैं, अतः धनात्मक अंतर (1) है। / In the given equation, the sum of roots is (2r+5) and the product is (r-2+5r+6=(r+2)(r+3)). Hence the roots are (r+2) and (r+3), so the positive difference is (1).
योग (10) वाली भिन्न अभाज्य जड़ें (3) और (7) हैं। उनका गुणनफल (21) है, इसलिए (k=21)। / The distinct prime roots with sum (10) are (3) and (7). Their product is (21), so (k=21).
व्युत्क्रम जड़ों के लिए गुणनफल (1) होता है और यहाँ गुणनफल (k) है। इसलिए (k=1); परीक्षा में पहले गुणनफल देखें। / For reciprocal roots, the product is (1), and here the product is (k). Hence (k=1); in exams, check the product first.
योग \(-\frac{b}{a}=\frac{3}{4}\) और गुणनफल \(\frac{k}{4}\) है। \(\frac{k}{4}=\frac{3}{4}\) से (k=3) है। / The sum is \(-\frac{b}{a}=\frac{3}{4}\) and the product is \(\frac{k}{4}\). From \(\frac{k}{4}=\frac{3}{4}\), (k=3).
योग \(-\frac{b}{a}=\frac{2}{3}\) और गुणनफल \(\frac{k}{3}\) है। \(\frac{k}{3}=\frac{2}{3}\) से (k=2) है। / The sum is \(-\frac{b}{a}=\frac{2}{3}\) and the product is \(\frac{k}{3}\). From \(\frac{k}{3}=\frac{2}{3}\), (k=2).
A. मूल एक दूसरे के विपरीत हैं/The roots are opposites of each other
Explanation
Simple Explanation
यदि \(\alpha+\beta=0\) है तो \(\beta=-\alpha\) होता है। इसलिए मूल विपरीत हो सकते हैं। / If \(\alpha+\beta=0\), then \(\beta=-\alpha\). Therefore the roots can be opposites.
समान वास्तविक मूलों के लिए \(D=b^2-4ac=0\) होना चाहिए। इसलिए \(b^2=4ac\) सही शर्त है। / For equal real roots, \(D=b^2-4ac=0\) is required. Hence \(b^2=4ac\) is the correct condition.
योग (-4) पहले से ऋणात्मक है और गुणनफल धनात्मक चाहिए, इसलिए (c>0)। वास्तविक जड़ों के लिए \(16-4c\ge0\), अतः \(0<c\le4\)। / The sum (-4) is already negative and the product must be positive, so (c>0). For real roots, \(16-4c\ge0\), hence \(0<c\le4\).
समान मूलों के लिए (D=0) चाहिए। यहाँ (D=12(2r+7)), इसलिए \(r=-\frac{7}{2}\)। / For equal roots, (D=0) is required. Here (D=12(2r+7)), so \(r=-\frac{7}{2}\).
समान जड़ों के लिए \(p^2-256=0\), इसलिए \(p=\pm16\)। समान जड़ \(-\frac{p}{2}\) धनात्मक होनी चाहिए, अतः (p=-16)। / For equal roots, \(p^2-256=0\), so \(p=\pm16\). The equal root \(-\frac{p}{2}\) must be positive, hence (p=-16).
जड़ों का योग \(\frac{1}{4+\sqrt{3}}+\frac{1}{4-\sqrt{3}}=\frac{8}{13}\) है। \(x^2+ax+b=0\) में योग (-a) होता है, इसलिए \(a=-\frac{8}{13}\)। / The sum of roots is \(\frac{1}{4+\sqrt{3}}+\frac{1}{4-\sqrt{3}}=\frac{8}{13}\). In \(x^2+ax+b=0\), the sum is (-a), so \(a=-\frac{8}{13}\).
दोनों जड़ों का गुणनफल (1) है, इसलिए समीकरण का गुणनफल सही है। वास्तविक जड़ों के लिए विविक्तकर \(s^2-4\ge0\), इसलिए \(s^2\ge4\)। / The product of the two roots is (1), so the product condition is satisfied. For real roots, the discriminant \(s^2-4\ge0\), so \(s^2\ge4\).
इन जड़ों का योग \(\frac{5t+3}{4}\) और गुणनफल (\frac{t(t+3)}{4}) है। ये दिए गए समीकरण के \(-\frac{b}{a}\) और \(\frac{c}{a}\) से मेल खाते हैं। / The sum of these roots is \(\frac{5t+3}{4}\), and the product is (\frac{t(t+3)}{4}). These match \(-\frac{b}{a}\) and \(\frac{c}{a}\) of the given equation.
योग (6) धनात्मक है और दोनों धनात्मक जड़ों के लिए (c>0) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(36-4c\ge0\), इसलिए \(0<c\le9\)। / The sum (6) is positive and (c>0) is needed for both positive roots. For real roots, \(36-4c\ge0\), so \(0<c\le9\).
जड़ों का योग (8) है, इसलिए (a=-8)। गुणनफल (9) है, इसलिए (b=9), अतः (a+b=1)। / The sum of roots is (8), so (a=-8). The product is (9), so (b=9), hence (a+b=1).
व्युत्क्रम जड़ों का गुणनफल (1) होता है। समीकरण \(x^2-\frac{5}{2}x+1=0\) को (2) से गुणा करने पर \(2x^2-5x+2=0\) मिलता है। / Reciprocal roots have product (1). Multiplying \(x^2-\frac{5}{2}x+1=0\) by (2) gives \(2x^2-5x+2=0\).
समान जड़ों के लिए \(b^2-196=0\), इसलिए \(b=\pm14\)। समान जड़ \(-\frac{b}{2}\) ऋणात्मक होनी चाहिए, अतः (b=14)। / For equal roots, \(b^2-196=0\), so \(b=\pm14\). The equal root \(-\frac{b}{2}\) must be negative, hence (b=14).
समान जड़ों के लिए \(p^2-144=0\), इसलिए \(p=\pm12\)। समान जड़ \(-\frac{p}{2}\) धनात्मक होनी चाहिए, अतः (p=-12)। / For equal roots, \(p^2-144=0\), so \(p=\pm12\). The equal root \(-\frac{p}{2}\) must be positive, hence (p=-12).
रैशनलाइज करने पर जड़ों का योग \(\frac{3}{2}\) मिलता है। \(x^2+ax+b=0\) में जड़ों का योग (-a) होता है, इसलिए \(a=-\frac{3}{2}\)। / After rationalising, the sum of roots is \(\frac{3}{2}\). In \(x^2+ax+b=0\), the sum is (-a), so \(a=-\frac{3}{2}\).
\(\tan\theta\cdot\cot\theta=1\) और \(\tan\theta+\cot\theta=s\) है। वास्तविक मानों के लिए \(s^2-4\ge0\), इसलिए \(s^2\ge4\)। / We have \(\tan\theta\cdot\cot\theta=1\) and \(\tan\theta+\cot\theta=s\). For real values, \(s^2-4\ge0\), so \(s^2\ge4\).
इन दोनों जड़ों का योग \(\frac{4t+2}{3}\) और गुणनफल (\frac{t(t+2)}{3}) है। ये दिए गए समीकरण के \(-\frac{b}{a}\) और \(\frac{c}{a}\) से मेल खाते हैं। / The sum of these two roots is \(\frac{4t+2}{3}\), and the product is (\frac{t(t+2)}{3}). These match \(-\frac{b}{a}\) and \(\frac{c}{a}\) of the given equation.
योग (5) धनात्मक है और दोनों जड़ों के लिए गुणनफल (c>0) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(25-4c\ge0\), इसलिए \(0<c\le\frac{25}{4}\)। / The sum (5) is positive and product (c>0) is needed for both roots. For real roots, \(25-4c\ge0\), so \(0<c\le\frac{25}{4}\).
जड़ों का योग (6) है, इसलिए (a=-6)। गुणनफल (7) है, इसलिए (b=7), अतः (a+b=1)। / The sum of roots is (6), so (a=-6). The product is (7), so (b=7), hence (a+b=1).
इस समीकरण की जड़ें (u) और (v) हैं। जड़ें बराबर होने के लिए (u=v) होना जरूरी है। / The roots of this equation are (u) and (v). For equal roots, it is necessary that (u=v).
समान जड़ों के लिए \(b^2-100=0\), इसलिए \(b=\pm10\)। समान जड़ \(-\frac{b}{2}\) ऋणात्मक होनी चाहिए, अतः (b=10)। / For equal roots, \(b^2-100=0\), so \(b=\pm10\). The equal root \(-\frac{b}{2}\) must be negative, hence (b=10).
समान जड़ों के लिए \(p^2-64=0\), इसलिए \(p=\pm8\)। जड़ \(-\frac{p}{2}\) धनात्मक होनी चाहिए, अतः (p=-8)। / For equal roots, \(p^2-64=0\), so \(p=\pm8\). The root \(-\frac{p}{2}\) must be positive, hence (p=-8).
दी गई जड़ें \(2-\sqrt{3}\) और \(2+\sqrt{3}\) बनती हैं। उनका योग (4) है, इसलिए (a=-4)। / The given roots become \(2-\sqrt{3}\) and \(2+\sqrt{3}\). Their sum is (4), so (a=-4).
\(\tan \theta\cdot\cot \theta=1\) होता है। जड़ों का गुणनफल (k) है, इसलिए (k=1)। / We know \(\tan \theta\cdot\cot \theta=1\). The product of roots is (k), so (k=1).
A. ऐसा कोई वास्तविक \(\theta\) नहीं/No such real \(\theta\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sin \theta+\cos \theta=4\) होना पड़ेगा, पर इसका अधिकतम \(\sqrt{2}\) है। इसलिए ऐसा वास्तविक \(\theta\) संभव नहीं है। / We would need \(\sin \theta+\cos \theta=4\), but its maximum is \(\sqrt{2}\). Therefore no real \(\theta\) is possible.
इन जड़ों का योग \(\frac{3t+1}{2}\) और गुणनफल (\frac{t(t+1)}{2}) है। ये दिए गए समीकरण के \(-\frac{b}{a}\) और \(\frac{c}{a}\) से हर (t) पर मेल खाते हैं। / The sum is \(\frac{3t+1}{2}\) and the product is (\frac{t(t+1)}{2}). These match \(-\frac{b}{a}\) and \(\frac{c}{a}\) for every (t).
जड़ों का योग (4) है, इसलिए (a=-4)। गुणनफल (1) है, इसलिए (b=1), अतः (a+b=-3)। / The sum of roots is (4), so (a=-4). The product is (1), so (b=1), hence (a+b=-3).
(r(r+1)=12) से (r=3) या (r=-4) मिलता है। जड़ों का योग (7) या (-7) है, इसलिए (p=-7) या (p=7)। / From (r(r+1)=12), we get (r=3) or (r=-4). The sum is (7) or (-7), so (p=-7) or (p=7).
समान जड़ों के लिए \(s^2-36=0\), इसलिए \(s=\pm6\)। समान जड़ \(\frac{s}{2}\) है, जो धनात्मक होने पर (s=6) देता है। / For equal roots, \(s^2-36=0\), so \(s=\pm6\). The equal root is \(\frac{s}{2}\), which is positive when (s=6).
समान जड़ों के लिए \(k^2-16=0\), इसलिए \(k=\pm4\)। समान जड़ \(-\frac{k}{4}\) है, जो ऋणात्मक तभी होगी जब (k=4)। / For equal roots, \(k^2-16=0\), so \(k=\pm4\). The equal root is \(-\frac{k}{4}\), which is negative only when (k=4).
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta) लगाएँ। (16=\(\alpha+\beta\)2-20), इसलिए (\(\alpha+\beta\)2=36) और \(m^2=36\)। / Use (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta). Since (16=\(\alpha+\beta\)2-20), we get (\(\alpha+\beta\)2=36) and \(m^2=36\).
वास्तविक और भिन्न जड़ों के लिए (D>0) चाहिए। यहाँ (D=4(2k+1)), इसलिए \(k>-\frac{1}{2}\)। / For real and distinct roots, (D>0) is needed. Here (D=4(2k+1)), so \(k>-\frac{1}{2}\).
जड़ों का योग \(\frac{5}{4}\) और गुणनफल \(\frac{3}{8}\) है। समीकरण \(x^2-\frac{5}{4}x+\frac{3}{8}=0\) को (8) से गुणा करें। / The sum is \(\frac{5}{4}\) and the product is \(\frac{3}{8}\). Multiply \(x^2-\frac{5}{4}x+\frac{3}{8}=0\) by (8).
जड़ों का योग (4) और गुणनफल (-1) है। \(समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) से उत्तर मिलता है। \(/ The sum of roots is (4) and the product is (-1). Use (x^2-(\)sum)x+product\(=0) to get the answer.\)
यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{5}{2}\) और \(\alpha\beta=\frac{m}{2}\) है। (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) से (m=3) मिलता है। / Here \(\alpha+\beta=\frac{5}{2}\) and \(\alpha\beta=\frac{m}{2}\). Using (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta), we get (m=3).
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान ((D=1))/Two real rational and distinct ((D=1))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-11)2-4(2)(15)=1) है। धनात्मक पूर्ण वर्ग (D) परिमेय असमान मूल देता है। / Here (D=(-11)2-4(2)(15)=1). A positive perfect-square (D) gives rational distinct roots.
A. वास्तविक, अपरिमेय और भिन्न/Real, irrational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=\(2\sqrt{5}\)2-4(1)(1)=16>0) है। मूल \(\sqrt{5}\pm2\) होंगे, इसलिए वे अपरिमेय और भिन्न हैं। / Here (D=\(2\sqrt{5}\)2-4(1)(1)=16>0). The roots are \(\sqrt{5}\pm2\), so they are irrational and distinct.
A. वास्तविक, अपरिमेय और भिन्न/Real, irrational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-5)2-4(1)(3)=13) है और (13) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए मूल वास्तविक, अपरिमेय और भिन्न हैं। / Here (D=(-5)2-4(1)(3)=13), and (13) is not a perfect square. So the roots are real, irrational and distinct.
यहाँ \(\alpha+\beta=2a+1\) और \(\alpha\beta=a^2+a-6\) है। (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=25), इसलिए धनात्मक अंतर (5) है। / Here \(\alpha+\beta=2a+1\) and \(\alpha\beta=a^2+a-6\). Since (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=25), the positive difference is (5).
A. हर वास्तविक (a) के लिए वास्तविक नहीं/Not real for every real (a)
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर (D=4-4\(a^2+3\)=-4a-2-8) है। यह हर वास्तविक (a) के लिए ऋणात्मक है, इसलिए जड़ें वास्तविक नहीं हैं। / The discriminant is (D=4-4\(a^2+3\)=-4a-2-8). It is negative for every real (a), so the roots are not real.
जड़ों का योग (2a+9) और गुणनफल ((a+4)(a+5)) है। ये (a+4) और (a+5) से मेल खाते हैं। / The sum of roots is (2a+9) and the product is ((a+4)(a+5)). These match (a+4) and (a+5).
