A. यह सहअभाज्य मान्यता के विपरीत है, अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/This contradicts the coprime assumption, hence \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
If both are even, (2) is a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts the assumption that (p) and (q) are coprime.
Step 3
Exam Tip
Therefore the rational assumption is false and \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: यह (p) और (q) के सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। चरण 3: इसलिए परिमेय मान्यता गलत और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
Assuming rationality gives a common factor in (p) and (q).
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts the condition that they are coprime.
Step 3
Exam Tip
Therefore the original assumption is false and \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: परिमेय मानने से (p) और (q) में साझा गुणनखंड मिला। चरण 2: यह सहअभाज्य होने की शर्त से टकराता है। चरण 3: इसलिए आरंभिक मान्यता गलत और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
A. आरंभिक परिमेय मान्यता गलत है/The initial rational assumption is false
Step 1
Concept
Both being even means both have (2) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
But (p) and (q) were taken coprime.
Step 3
Exam Tip
Therefore the assumption that \(\sqrt{2}\) is rational is false. चरण 1: दोनों सम होने का अर्थ है कि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: लेकिन (p) और (q) को सहअभाज्य लिया गया था। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानना गलत है।
A. यह हमारी परिमेय मान्यता के विपरीत है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है/This contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational
Step 1
Concept
All three proofs begin with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
At the end, a common factor contradicts the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
Therefore the final line should clearly state both contradiction and irrationality. चरण 1: तीनों सिद्धियों में परिमेय मान्यता से शुरुआत होती है। चरण 2: अंत में सहअभाज्य शर्त के विरुद्ध साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 3: इसलिए अंतिम पंक्ति में विरोधाभास और अपरिमेयता दोनों साफ लिखें।
A. (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों सम निकले/(a) and (b) were assumed coprime, but both turned out even
Step 1
Concept
In lowest form, (a) and (b) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both are even, so both have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
This is the correct final contradiction. चरण 1: सरलतम रूप में (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे। चरण 2: प्रमाण में दोनों सम मिलते हैं, यानी दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: यही सही अंतिम विरोधाभास है।
A. (p) और (q) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों (2) से विभाज्य निकले/(p) and (q) were assumed coprime, but both turned out divisible by (2)
Step 1
Concept
At the start, \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form, so (p) and (q) are assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both are divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
This is the clear and correct contradiction. चरण 1: शुरुआत में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लेकर (p) और (q) सहअभाज्य माने जाते हैं। चरण 2: प्रमाण में दोनों (2) से विभाज्य निकलते हैं। चरण 3: यही साफ और सही विरोधाभास है।
A. (p) और (q) दोनों सम हैं, इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते/Both (p) and (q) are even, so they cannot be coprime
Step 1
Concept
If both are even, both have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
This cannot happen for coprime numbers.
Step 3
Exam Tip
This final reason proves \(\sqrt{2}\) irrational. चरण 1: दोनों सम होने पर दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा नहीं हो सकता। चरण 3: यही अंतिम कारण \(\sqrt{2}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है।
A. यह हमारी मान्यता के विपरीत है, अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/This contradicts our assumption, hence \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
The rational assumption makes both (p) and (q) even.
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts their being coprime.
Step 3
Exam Tip
So the final sentence should state both contradiction and irrationality. चरण 1: परिमेय मान्यता से (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं। चरण 2: यह सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। चरण 3: इसलिए अंतिम वाक्य में विरोधाभास और अपरिमेयता दोनों लिखें।
This makes (5) common to both (p) and (q). चरण 1: (p=5t) रखने पर \(25t^2=5q^2\) होगा। चरण 2: इससे \(q^2=5t^2\) और फिर \(5\mid q\) मिलता है। चरण 3: यह (p) और (q) दोनों में (5) साझा करता है।
A. \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\)/\(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\)
Step 1
Concept
\(q^2=3k^2\) shows that \(q^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
This shows the common factor in (p) and (q). चरण 1: \(q^2=3k^2\) बताता है कि \(q^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य है। चरण 3: यही (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखाता है।
From \(p^2=3q^2\), (p) is proved divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
But to complete the proof, (q) must also be shown divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Only then does contradiction arise with the coprime condition. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से (p) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। चरण 2: पर प्रमाण पूरा करने के लिए (q) भी (3) से विभाज्य दिखाना होगा। चरण 3: तभी सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास बनेगा।
A. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
In contradiction, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
If the rational assumption is proved false, irrationality is proved true.
Step 3
Exam Tip
Therefore the final conclusion is that \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। चरण 2: यदि परिमेय मान्यता गलत सिद्ध हो जाए, तो अपरिमेयता सही सिद्ध होती है। चरण 3: इसलिए अंतिम निष्कर्ष \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
A. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि परिमेय मानने पर (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं/\(\sqrt{3}\) is irrational because assuming rational makes both (p) and (q) divisible by (3)
This contradicts coprime condition, so \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 3: यह सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
Assuming rationality makes both (p) and (q) divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
Hence \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: परिमेय मानने पर (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 2: यह सहअभाज्य होने की शर्त के विरुद्ध है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
But to complete the proof, (b) must also be proved even.
Step 3
Exam Tip
Only when both are even does contradiction arise with the coprime condition. चरण 1: \(a^2=2b^2\) से (a) सम सिद्ध होता है। चरण 2: पर प्रमाण पूरा करने के लिए (b) भी सम सिद्ध करना होगा। चरण 3: दोनों सम मिलने पर ही सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास बनेगा।
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
In contradiction method, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
If the rational assumption is proved impossible, it is false.
Step 3
Exam Tip
Hence \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। चरण 2: यदि परिमेय मान्यता असंभव सिद्ध हो जाए, तो वह गलत है। चरण 3: अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
A. \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है/From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), saying \(p^2\) is even is correct.
Step 2
Why this answer is correct
But it is not the final conclusion; both (p) and (q) must then be shown even.
Step 3
Exam Tip
Complete the proof up to contradiction. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम होना सही है। चरण 2: पर यह अंतिम निष्कर्ष नहीं है, इसके बाद (p) और (q) दोनों सम दिखाने होंगे। चरण 3: प्रमाण को विरोधाभास तक पूरा करें।
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता में/In the irrationality of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{2}\), \(p^2=2q^2\) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
This proves both (p) and (q) even.
Step 3
Exam Tip
Both even contradict the coprime condition. चरण 1: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों सम सिद्ध होते हैं। चरण 3: दोनों सम होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है।
A. (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं/Both (p) and (q) are found even
Step 1
Concept
At the start, (p) and (q) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both (p) and (q) are even, so they have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
This contradiction shows that \(\sqrt{2}\) is not rational. चरण 1: शुरुआत में (p) और (q) को सहअभाज्य माना गया था। चरण 2: प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं, यानी दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: यही विरोधाभास दिखाता है कि \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं है।
A. यह हमारी परिमेय मान्यता के विरुद्ध है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है/This contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational
Step 1
Concept
All three proofs start with a rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
At the end, a contradiction is obtained from the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
Therefore the final line should clearly state contradiction and irrationality. चरण 1: तीनों प्रमाणों में परिमेय मान्यता से शुरुआत होती है। चरण 2: अंत में सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास मिलता है। चरण 3: इसलिए अंतिम पंक्ति में विरोधाभास और अपरिमेयता दोनों साफ लिखें।
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने के विरुद्ध है/Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
Step 1
Concept
The proof shows both (p) and (q) are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts their coprime condition.
Step 3
Exam Tip
After this, the final conclusion is written that \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 2: यह उनके सहअभाज्य होने की शर्त से टकराता है। चरण 3: इसके बाद अंतिम निष्कर्ष लिखा जाता है कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
A. यह हमारी परिमेय मान्यता के विरुद्ध है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है/This contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational
Step 1
Concept
The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
At the end, a contradiction appears with the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
The final line should clearly state the contradiction and irrationality conclusion. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता लेकर शुरुआत करते हैं। चरण 2: अंत में सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास मिलता है। चरण 3: अंतिम पंक्ति में विरोधाभास और अपरिमेयता का निष्कर्ष साफ लिखना चाहिए।
A. दृश्य प्रमाण तत्व प्रभाव और संदर्भ/Visual evidence elements effects and context
Step 1
Concept
A good conclusion is based on evidence and context. Exam tip: write evidence-based conclusion.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दृश्य प्रमाण तत्व प्रभाव और संदर्भ / Visual evidence elements effects and context. A good conclusion is based on evidence and context. Exam tip: write evidence-based conclusion.
Step 3
Exam Tip
अच्छा निष्कर्ष प्रमाण और संदर्भ पर आधारित होता है। परीक्षा में evidence based conclusion लिखें।
By the prime rule, (b) is also divisible by (3). चरण 1: (a=3k) रखने के बाद \(b^2=3k^2\) मिलता है। चरण 2: इसलिए \(b^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 3: अभाज्य नियम से (b) भी (3) से विभाज्य होगा।
A. जब कोई अन्य संकेत न देखा गया हो/When no other sign has been observed
Step 1
Concept
Colour change can be a sign of reaction.
Step 2
Why this answer is correct
But colour change alone is not final proof.
Step 3
Exam Tip
Gas precipitate temperature and new substance formation should be checked. चरण 1: रंग परिवर्तन अभिक्रिया का संकेत हो सकता है। चरण 2: पर अकेले रंग परिवर्तन अंतिम प्रमाण नहीं है। चरण 3: गैस अवक्षेप ताप और नए पदार्थ की जांच करनी चाहिए।
A. क्योंकि अन्य संकेतों की पुष्टि भी जरूरी है/Because confirmation from other signs is also needed
Step 1
Concept
Colour change can be a sign of chemical reaction.
Step 2
Why this answer is correct
But other signs like gas precipitate temperature and smell should also be checked.
Step 3
Exam Tip
It is better to conclude after complete observation. चरण 1: रंग परिवर्तन रासायनिक अभिक्रिया का संकेत हो सकता है। चरण 2: लेकिन गैस अवक्षेप ताप और गंध जैसे अन्य संकेत भी देखने चाहिए। चरण 3: पूरा अवलोकन करके निष्कर्ष निकालना बेहतर है।
A. \(\frac{a}{b}\) को \(\frac{m}{n}\) तक घटाया जा सकता है/\(\frac{a}{b}\) can be reduced to \(\frac{m}{n}\)
Step 1
Concept
(a=2m) and (b=2n) show common factor (2) in numerator and denominator.
Step 2
Why this answer is correct
So \(\frac{2m}{2n}=\frac{m}{n}\).
Step 3
Exam Tip
This contradicts lowest form. चरण 1: (a=2m) और (b=2n) से अंश और हर दोनों में (2) साझा है। चरण 2: इसलिए \(\frac{2m}{2n}=\frac{m}{n}\) लिखा जा सकता है। चरण 3: यह सरलतम रूप के विरुद्ध है।
A. \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकती/\(\frac{a}{b}\) cannot be in lowest form
Step 1
Concept
If both are even, (a) and (b) have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
In a lowest-form fraction, numerator and denominator should not have a common factor other than (1).
Step 3
Exam Tip
So this contradicts the rational assumption and proves \(\sqrt{2}\) irrational. चरण 1: दोनों सम होने पर (a) और (b) में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सरलतम भिन्न में अंश और हर का साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होना चाहिए। चरण 3: इसलिए यह परिमेय मान्यता के विरुद्ध जाता है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय सिद्ध होती है।
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
(p) and (q) were assumed coprime at the start.
Step 2
Why this answer is correct
Both even shows common factor (2).
Step 3
Exam Tip
This is a contradiction, so \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: (p) और (q) को शुरू में सहअभाज्य माना गया था। चरण 2: दोनों सम होना साझा गुणनखंड (2) दिखाता है। चरण 3: यह विरोधाभास है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
D. \(p^2=2q^2\) इसलिए (p=2q)/\(p^2=2q^2\), so (p=2q)
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), we only conclude that \(p^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
Then (p) is even and (p=2k) is written.
Step 3
Exam Tip
Writing (p=2q) directly is an algebraic mistake. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से केवल \(p^2\) के सम होने का निष्कर्ष आता है। चरण 2: फिर (p) सम है और (p=2k) लिखा जाता है। चरण 3: सीधे (p=2q) लिखना बीजगणितीय गलती है।
A. दोनों में (2) साझा गुणनखंड है/Both have (2) as a common factor
Step 1
Concept
First (p) is proved even.
Step 2
Why this answer is correct
If (q) is also proved even, both are divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
Common factor (2) breaks the coprime condition. चरण 1: पहले (p) सम सिद्ध होता है। चरण 2: यदि (q) भी सम सिद्ध हो जाए, तो दोनों (2) से विभाज्य होंगे। चरण 3: साझा गुणनखंड (2) सहअभाज्य शर्त को तोड़ता है।
A. सरलतम रूप की मान्यता टूटती है/The lowest form assumption breaks
Step 1
Concept
In lowest form, numerator and denominator should not have a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
If both are even, (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
Therefore the lowest-form assumption breaks and gives a contradiction. चरण 1: सरलतम रूप में अंश और हर में साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 2: दोनों सम मिलने पर (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: इसलिए सरलतम रूप की मान्यता टूटती है और विरोधाभास मिलता है।
If the square of an integer is even, the integer is also even.
Step 3
Exam Tip
So (q) is even, which helps form the contradiction. चरण 1: \(q^2=2k^2\) से \(q^2\) (2) से विभाज्य है। चरण 2: यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। चरण 3: इसलिए (q) सम मिलेगा और यही विरोधाभास बनाने में मदद करता है।
From \(p^2=2q^2\), we get only that \(p^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
Then by rule, (p) is even and can be written as (p=2k).
Step 3
Exam Tip
Writing (p=2q) directly from it is wrong. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से केवल यह मिलता है कि \(p^2\) सम है। चरण 2: फिर नियम से (p) सम है और (p=2k) लिखा जा सकता है। चरण 3: इससे सीधे (p=2q) लिखना गलत है।
If the square of an integer is even, the integer itself is even.
Step 2
Why this answer is correct
So if \(p^2\) is divisible by (2), then (p) is also divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
This is the key rule in the proof of \(\sqrt{2}\). चरण 1: यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। चरण 2: इसलिए \(p^2\) (2) से विभाज्य होने पर (p) भी (2) से विभाज्य होगा। चरण 3: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यही मुख्य नियम है।
A. \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q^2\) सम है/\(q^2=2k^2\), so \(q^2\) is even
Step 1
Concept
If (p=2k), then \(p^2=4k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
From \(4k^2=2q^2\), we get \(q^2=2k^2\), so \(q^2\) is even.
Step 3
Exam Tip
Simplify step by step to avoid mistakes. चरण 1: (p=2k) रखने पर \(p^2=4k^2\) होगा। चरण 2: \(4k^2=2q^2\) से \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q^2\) सम है। चरण 3: धीरे-धीरे सरलीकरण करें ताकि गलती न हो।
D. अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
The proof obtains a contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
The contradiction shows that the starting assumption was false.
Step 3
Exam Tip
Therefore the final sentence should clearly state that \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास प्राप्त होता है। चरण 2: विरोधाभास बताता है कि आरंभिक मान्यता गलत थी। चरण 3: इसलिए अंतिम वाक्य स्पष्ट होना चाहिए कि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
B. जब संरचना, अनुपात और मुख्य दिशा तय हो जाए/When structure, proportion, and main direction are decided
Step 1
Concept
Light planning is needed before final line. Exam tip: apply final line thoughtfully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. जब संरचना, अनुपात और मुख्य दिशा तय हो जाए / When structure, proportion, and main direction are decided. Light planning is needed before final line. Exam tip: apply final line thoughtfully.
Step 3
Exam Tip
अंतिम रेखा से पहले हल्की योजना जरूरी है। परीक्षा में अंतिम रेखा सोचकर लगाएं।
A. इसने सशस्त्र बलों में असंतोष और जनता का समर्थन दिखाया/It showed discontent in armed forces and public support
Step 1
Concept
The Naval Mutiny exposed weakness of British control. Exam tip is to treat 1946 as a decisive year.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. इसने सशस्त्र बलों में असंतोष और जनता का समर्थन दिखाया / It showed discontent in armed forces and public support. The Naval Mutiny exposed weakness of British control. Exam tip is to treat 1946 as a decisive year.
Step 3
Exam Tip
नौसेना विद्रोह ने ब्रिटिश नियंत्रण की कमजोरी उजागर की। परीक्षा में 1946 को निर्णायक वर्ष मानें।
C. अतः परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/Hence the rational assumption is false, so \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
The proof starts by assuming \(\sqrt{3}\) rational.
Step 2
Why this answer is correct
That assumption gives a common factor against coprimality.
Step 3
Exam Tip
Therefore the final conclusion is that \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर शुरुआत की जाती है। चरण 2: उस मान्यता से सहअभाज्यता के विरुद्ध साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 3: इसलिए अंतिम निष्कर्ष यही होगा कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
A. अतः हमारी परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है/Hence our rational assumption is false, so \(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
The proof gets a common-factor contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
The contradiction proves that assumption false.
Step 3
Exam Tip
End clearly by writing that \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता से साझा गुणनखंड का विरोधाभास मिला। चरण 2: विरोधाभास से वही मान्यता गलत सिद्ध होती है। चरण 3: अंत में स्पष्ट लिखें कि \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
A. (a) और (b) सहअभाज्य थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले/(a) and (b) were coprime, but both turned out divisible by (3)
Step 1
Concept
Coprime means there is no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
Both being divisible by (3) gives a common factor.
Step 3
Exam Tip
This contradiction proves \(\sqrt{3}\) irrational. चरण 1: सहअभाज्य होने का अर्थ है कि (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होगा। चरण 2: दोनों का (3) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड देता है। चरण 3: यही विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है।
A. अतः हमारी परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/Hence our rational assumption is false, so \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
The proof gets a contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
When a contradiction occurs, that assumption is false.
Step 3
Exam Tip
In the final sentence, clearly write that \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिला। चरण 2: विरोधाभास मिलने पर वही मान्यता गलत होती है। चरण 3: अंतिम वाक्य में साफ लिखें कि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
A. अतः हमारी मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/Hence our assumption is false, so \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
The proof reaches a contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
Once a contradiction is reached, the original assumption is false.
Step 3
Exam Tip
End clearly by stating that \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिलता है। चरण 2: विरोधाभास मिलने पर प्रारंभिक मान्यता गलत होती है। चरण 3: अंत में साफ लिखें कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
A. परिमेय मानने पर सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं/Assuming rational makes both numerator and denominator of the lowest-form fraction divisible by (5)
Step 1
Concept
Assume \(\sqrt{5}\) rational and write it in lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both numerator and denominator divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This contradicts the coprime condition, so \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न में लिखते हैं। चरण 2: प्रमाण से अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 3: यह सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
A. यह हमारी परिमेय मान्यता के विरुद्ध है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है/This contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational
Step 1
Concept
In the proof, the rational assumption leads to an impossible common factor.
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts the assumption.
Step 3
Exam Tip
So the final line should clearly state contradiction and irrationality. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता से असंभव साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 2: यह मान्यता के विरुद्ध है। चरण 3: इसलिए अंतिम पंक्ति में विरोधाभास और अपरिमेयता दोनों स्पष्ट लिखें।
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं, इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते/Both (p) and (q) are divisible by (5), so they cannot be coprime
Step 1
Concept
In the proof, both (p) and (q) are found divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
This means their common factor is (5).
Step 3
Exam Tip
This breaks the condition of being coprime. चरण 1: प्रमाण में (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 2: इसका अर्थ है कि उनका साझा गुणनखंड (5) है। चरण 3: यह सहअभाज्य होने की शर्त को तोड़ता है।
In the first option, bases 2, 3, 5, and 7 are prime.
Step 3
Exam Tip
32, 81, 25, 405, 35, and 160 are composite, so they are not final forms. चरण 1: अंतिम रूप में आधार अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में आधार 2, 3, 5 और 7 अभाज्य हैं। चरण 3: 32, 81, 25, 405, 35 और 160 संयुक्त हैं, इसलिए वे अंतिम रूप नहीं हैं।
A. क्योंकि अंतिम रूप में केवल अभाज्य आधार रहने चाहिए/Because only prime bases should remain in the final form
Step 1
Concept
The aim of prime factorisation is to write the number using prime bases only.
Step 2
Why this answer is correct
If a base like (45) or (121) remains, it is composite and must be broken further.
Step 3
Exam Tip
Before writing the final answer, check whether every base is prime. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन का उद्देश्य संख्या को केवल अभाज्य आधारों में लिखना है। चरण 2: यदि (45) या (121) जैसा आधार बचा है, तो वह संयुक्त है और आगे टूटेगा। चरण 3: अंतिम उत्तर लिखने से पहले हर आधार की अभाज्यता जांचें।
In the first option, bases 2, 3, 5, and 7 are prime.
Step 3
Exam Tip
8, 135, 49, 27, 245, and 216 are composite, so they are not final forms. चरण 1: अंतिम रूप में हर आधार अभाज्य होना चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में आधार 2, 3, 5 और 7 अभाज्य हैं। चरण 3: 8, 135, 49, 27, 245 और 216 संयुक्त हैं, इसलिए वे अंतिम रूप नहीं हैं।
A. क्योंकि अंतिम रूप में केवल अभाज्य आधार होने चाहिए/Because only prime bases should remain in the final form
Step 1
Concept
The final form of prime factorisation is based only on prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
If a base like (45) remains, it must be written as \(45=3^2\times5\).
Step 3
Exam Tip
In exams, check every base before writing the final answer. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन का अंतिम रूप केवल अभाज्य संख्याओं पर आधारित होता है। चरण 2: यदि (45) जैसा आधार बचा है, तो \(45=3^2\times5\) लिखना होगा। चरण 3: परीक्षा में अंतिम उत्तर लिखने से पहले हर आधार की जांच करें।
In the first form, the bases 2, 3, 5, 7, and 11 are prime.
Step 3
Exam Tip
8, 9, 385, and 72 are composite, so they are not final forms. चरण 1: अंतिम रूप में आधार अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: पहले रूप में आधार 2, 3, 5, 7 और 11 अभाज्य हैं। चरण 3: 8, 9, 385 और 72 संयुक्त हैं, इसलिए वे अंतिम रूप नहीं हैं।
In the first option, bases 2, 3, 5, and 7 are prime.
Step 3
Exam Tip
16, 45, 49, and 4410 are composite, so they are not final forms. चरण 1: अंतिम रूप में आधार अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में आधार 2, 3, 5 और 7 हैं, जो अभाज्य हैं। चरण 3: 16, 45, 49 और 4410 संयुक्त हैं, इसलिए वे अंतिम रूप नहीं हैं।
Final prime factorisation must not contain a composite factor.
Step 2
Why this answer is correct
195 is composite and \(195=3\times5\times13\).
Step 3
Exam Tip
Therefore, \(2^4\times195\) is not final form. चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में संयुक्त गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 2: 195 संयुक्त है और \(195=3\times5\times13\)। चरण 3: इसलिए \(2^4\times195\) अंतिम रूप नहीं है।
A final prime factorisation should not contain a composite factor like 25.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(25=5^2\), \(2^2\times25\times7\) is not final form.
Step 3
Exam Tip
Change 25 into \(5^2\). चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में 25 जैसा संयुक्त गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 2: \(25=5^2\), इसलिए \(2^2\times25\times7\) अंतिम रूप नहीं है। चरण 3: 25 को \(5^2\) में बदलें।
Final prime factorisation must not contain a composite factor.
Step 2
Why this answer is correct
21 is composite, so \(2^3\times21\times5\) is not final form.
Step 3
Exam Tip
Change 21 into \(3\times7\). चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में संयुक्त गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 2: 21 संयुक्त संख्या है, इसलिए \(2^3\times21\times5\) अंतिम रूप नहीं है। चरण 3: 21 को \(3\times7\) में बदलें।
Final prime factorisation must not contain a composite factor.
Step 2
Why this answer is correct
10 is composite, so \(10\times3^2\times7\) is not final form.
Step 3
Exam Tip
Change 10 into \(2\times5\). चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में संयुक्त गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 2: 10 संयुक्त संख्या है, इसलिए \(10\times3^2\times7\) अंतिम रूप नहीं है। चरण 3: 10 को \(2\times5\) में बदलें।
Final prime factorisation must not contain a composite factor.
Step 2
Why this answer is correct
6 is composite, so \(6\times5^2\) is not final form.
Step 3
Exam Tip
Change 6 into \(2\times3\). चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में संयुक्त गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 2: 6 संयुक्त संख्या है, इसलिए \(6\times5^2\) अंतिम रूप नहीं है। चरण 3: 6 को \(2\times3\) में बदलें।
A final prime factorisation must not contain a composite number.
Step 2
Why this answer is correct
4 is composite, so \(4\times3\times5\) is not final form.
Step 3
Exam Tip
Change 4 into \(2^2\). चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में संयुक्त संख्या नहीं होनी चाहिए। चरण 2: 4 संयुक्त संख्या है, इसलिए \(4\times3\times5\) अंतिम रूप नहीं है। चरण 3: 4 को \(2^2\) में बदलें।
A. क्योंकि यह शासन की आर्थिक शक्ति को सीधी चुनौती देता था/Because it directly challenged the financial power of the rule
Step 1
Concept
Taxes were an important source of government income.
Step 2
Why this answer is correct
Refusing taxes was a direct confrontation with the rule.
Step 3
Exam Tip
Therefore Gandhi kept it for a later stage. चरण 1: कर सरकार की आय का महत्वपूर्ण स्रोत थे। चरण 2: कर न देना शासन से सीधे टकराव जैसा कदम था। चरण 3: इसलिए गांधीजी ने इसे बाद के चरण के लिए रखा।
Refusing to pay taxes was a direct challenge to the government's financial power.
Step 3
Exam Tip
So it was kept for the final stage. चरण 1: गांधीजी आंदोलन को धीरे धीरे बढ़ाना चाहते थे। चरण 2: कर न देना सरकार की आर्थिक शक्ति को सीधी चुनौती था। चरण 3: इसलिए इसे अंतिम चरण के लिए रखा गया।
Refusing to pay taxes directly challenged the financial power of the state.
Step 3
Exam Tip
So it was placed in the final stage. चरण 1: गांधीजी आंदोलन को धीरे धीरे आगे बढ़ाना चाहते थे। चरण 2: कर न देना शासन की आर्थिक शक्ति को सीधी चुनौती था। चरण 3: इसलिए इसे अंतिम चरण में रखा गया।
A. अठारह सौ इकहत्तर में जर्मन साम्राज्य की घोषणा/Proclamation of the German Empire in 1871
Step 1
Concept
German unification was completed after many wars and policies.
Step 2
Why this answer is correct
In 1871, the empire was proclaimed at Versailles.
Step 3
Exam Tip
Treat this as the final achievement of German unification. चरण 1: जर्मन एकीकरण कई युद्धों और नीतियों के बाद पूरा हुआ। चरण 2: अठारह सौ इकहत्तर में वर्साय में साम्राज्य घोषित हुआ। चरण 3: इसे जर्मन एकीकरण की अंतिम उपलब्धि मानें।
The Franco-Prussian War of 1870-71 was the final major turning point.
Step 2
Why this answer is correct
It brought German states with Prussia.
Step 3
Exam Tip
After the war, the German Empire was proclaimed. चरण 1: अठारह सौ सत्तर इकहत्तर का फ्रांस प्रशा युद्ध अंतिम बड़ा मोड़ था। चरण 2: इसने जर्मन राज्यों को प्रशा के साथ जोड़ा। चरण 3: युद्ध के बाद जर्मन साम्राज्य की घोषणा हुई।
A. अतः \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
The rational assumption makes both (p) and (q) divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
Therefore the final conclusion is that \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: परिमेय मान्यता से (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 2: यह सहअभाज्य होने की शर्त से विरोधाभास है। चरण 3: इसलिए अंतिम निष्कर्ष \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
A. परिमेय मान्यता गलत है/The rational assumption is false
Step 1
Concept
At the beginning, \(\frac{a}{b}\) was assumed in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
If the proof shows it can be reduced, the initial assumption is impossible.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: शुरुआत में \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप माना गया था। चरण 2: यदि प्रमाण दिखाता है कि यह घट सकती है, तो आरंभिक मान्यता असंभव है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
So first \(a^2\) is called even, and then (a) is proved even.
Step 3
Exam Tip
Do not change the order of conclusions in exams. चरण 1: \(a^2=2b^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए पहले \(a^2\) को सम कहा जाएगा और फिर (a) सम सिद्ध होगा। चरण 3: परीक्षा में निष्कर्षों का क्रम न बदलें।
A. आरंभिक परिमेय मान्यता गलत है/The initial rational assumption is false
Step 1
Concept
Assuming rationality, \(\frac{p}{q}\) was taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
If the proof shows it is not in lowest form, the initial assumption is impossible.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिया गया था। चरण 2: यदि प्रमाण दिखा दे कि वह सरलतम रूप में नहीं है, तो आरंभिक मान्यता असंभव है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
In proofs, first write divisibility of the square, then of the number. चरण 1: \(p^2=2q^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए \(p^2\) सम है और फिर (p) भी सम होगा। चरण 3: प्रमाण में पहले वर्ग की विभाज्यता लिखें, फिर मूल संख्या की।
B. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
Assuming rationality makes both (p) and (q) even.
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts their being coprime.
Step 3
Exam Tip
Therefore the initial assumption is false and \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: परिमेय मानने से (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं। चरण 2: यह उनके सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। चरण 3: इसलिए आरंभिक मान्यता गलत और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
This shows (3) common to both (a) and (b). चरण 1: \(b^2=3m^2\) से \(3\mid b^2\) मिलता है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid b\) होगा। चरण 3: यह (a) और (b) दोनों में (3) साझा दिखाता है।
If the square of an integer is even, the integer is also even.
Step 3
Exam Tip
Therefore (q) is even and the contradiction is completed. चरण 1: \(2\mid q^2\) का अर्थ है कि \(q^2\) सम है। चरण 2: यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। चरण 3: इसलिए (q) सम है और विरोधाभास पूरा होता है।
A. गहरे मान संकरे स्थान और झुकी रेखाएं तनाव का वातावरण बनाती हैं/Dark values tight space and sloping lines create tense atmosphere
Step 1
Concept
Evidence-based conclusion explains effect through visible elements. Exam tip: write evidence plus conclusion.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. गहरे मान संकरे स्थान और झुकी रेखाएं तनाव का वातावरण बनाती हैं / Dark values tight space and sloping lines create tense atmosphere. Evidence-based conclusion explains effect through visible elements. Exam tip: write evidence plus conclusion.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण आधारित निष्कर्ष visible elements से effect बताता है। परीक्षा में evidence plus conclusion लिखें।
D. विदेशी प्रभुत्व के अंत के बाद भी आर्थिक सांस्कृतिक और राज्य निर्माण की चुनौतियां जारी रहीं/Even after the end of foreign domination economic cultural and state building challenges continued
Step 1
Concept
Decolonization is a process beyond political independence. For exams write struggle and post independence legacy together.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. विदेशी प्रभुत्व के अंत के बाद भी आर्थिक सांस्कृतिक और राज्य निर्माण की चुनौतियां जारी रहीं / Even after the end of foreign domination economic cultural and state building challenges continued. Decolonization is a process beyond political independence. For exams write struggle and post independence legacy together.
Step 3
Exam Tip
उपनिवेश मुक्ति राजनीतिक स्वतंत्रता से आगे की प्रक्रिया है। परीक्षा में संघर्ष और स्वतंत्रता बाद की विरासत साथ लिखें।
A. हर क्रांति अपने समय समाज कारण और परिणाम के अनुसार अलग होती है/Every revolution differs according to its time society causes and results
Step 1
Concept
Balanced comparison identifies differences along with similarities. For exams use one framework but keep contexts separate.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हर क्रांति अपने समय समाज कारण और परिणाम के अनुसार अलग होती है / Every revolution differs according to its time society causes and results. Balanced comparison identifies differences along with similarities. For exams use one framework but keep contexts separate.
Step 3
Exam Tip
संतुलित तुलना समानताओं के साथ भिन्नताओं को भी पहचानती है। परीक्षा में एक ही ढांचे से सभी क्रांतियों को समझें पर संदर्भ अलग रखें।
A. वे स्थानीय संकटों से शुरू होकर वैश्विक शक्ति अर्थव्यवस्था विचारधारा और मानवाधिकार व्यवस्था को बदलने वाली घटनाएं बने/They began from local crises and became events that changed global power economy ideology and human rights order
Step 1
Concept
The World Wars produced global changes far beyond military results. For exams write a multidimensional conclusion.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वे स्थानीय संकटों से शुरू होकर वैश्विक शक्ति अर्थव्यवस्था विचारधारा और मानवाधिकार व्यवस्था को बदलने वाली घटनाएं बने / They began from local crises and became events that changed global power economy ideology and human rights order. The World Wars produced global changes far beyond military results. For exams write a multidimensional conclusion.
Step 3
Exam Tip
विश्व युद्धों ने सैन्य परिणामों से कहीं अधिक व्यापक वैश्विक बदलाव किए। परीक्षा में बहु आयामी निष्कर्ष लिखें।
A. वे सैन्य संघर्षों के साथ राजनीतिक आर्थिक सामाजिक और मानवीय मोड़ भी थे/They were military conflicts as well as political economic social and human turning points
Step 1
Concept
The World Wars changed power balance economy society and human rights thinking. For exams write a multidimensional conclusion.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वे सैन्य संघर्षों के साथ राजनीतिक आर्थिक सामाजिक और मानवीय मोड़ भी थे / They were military conflicts as well as political economic social and human turning points. The World Wars changed power balance economy society and human rights thinking. For exams write a multidimensional conclusion.
Step 3
Exam Tip
विश्व युद्धों ने सत्ता संतुलन अर्थव्यवस्था समाज और मानवाधिकार सोच को बदल दिया। परीक्षा में बहु आयामी निष्कर्ष लिखें।
Because (D=-16<0), there are no real roots. This is the most direct conclusion.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वास्तविक मूल नहीं हैं / There are no real roots. Because (D=-16<0), there are no real roots. This is the most direct conclusion.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि (D=-16<0) है इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। यह सबसे सीधा निष्कर्ष है।
Therefore the rational assumption is proved false. चरण 1: (p,q) को सरलतम रूप में सहअभाज्य माना गया था। चरण 2: दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड बनता है। चरण 3: इसलिए परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है।
A. तीनों अपरिमेय संख्याएँ हैं/All three are irrational numbers
Step 1
Concept
(2,3,5) are prime numbers and not perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
Assuming their square roots rational creates a common factor in the coprime numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) are all irrational. चरण 1: (2,3,5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं और अभाज्य संख्याएँ हैं। चरण 2: इनके वर्गमूल को परिमेय मानने पर सहअभाज्य अंश और हर में साझा गुणनखंड आता है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) तीनों अपरिमेय हैं।
From \(p^2=5q^2\), first \(p^2\), then (p), is proved divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Only after putting (p=5k) do we get \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
So divisibility of (q) is not immediate. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से पहले \(p^2\) और फिर (p) (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 2: (p=5k) रखने के बाद ही \(q^2=5k^2\) मिलेगा। चरण 3: इसलिए (q) की विभाज्यता तुरंत नहीं आती।
From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is immediately divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Then (p) is divisible by (5) and (p=5k) can be written.
Step 3
Exam Tip
Divisibility of (q) comes after substituting (p=5k), not immediately. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से तुरंत \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: फिर (p) (5) से विभाज्य और (p=5k) लिखा जा सकता है। चरण 3: (q) की विभाज्यता (p=5k) रखने के बाद आती है, तुरंत नहीं।
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं था, इसलिए परिमेय मान्यता असंभव है/\(\frac{p}{q}\) was not in lowest form, so the rational assumption is impossible
Step 1
Concept
If both are divisible by (5), numerator and denominator have common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
Such a situation cannot occur in lowest form.
Step 3
Exam Tip
Therefore the rational assumption is impossible and \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: दोनों (5) से विभाज्य हैं, इसलिए अंश और हर में (5) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सरलतम रूप में ऐसी स्थिति नहीं हो सकती। चरण 3: इसलिए परिमेय मान्यता असंभव है और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है क्योंकि परिमेय मानने पर (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं/\(\sqrt{5}\) is irrational because assuming rational makes both (p) and (q) divisible by (5)
This contradicts coprime condition, so \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 3: यह सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
In contradiction method, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
If the rational assumption becomes impossible, it is false.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(\sqrt{5}\) is proved irrational. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। चरण 2: यदि परिमेय मान्यता असंभव निकले, तो वह गलत है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय सिद्ध होता है।
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
In contradiction, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
If the rational assumption becomes impossible, it is false.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(\sqrt{5}\) is proved irrational. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। चरण 2: यदि परिमेय मान्यता असंभव निकले, तो वह गलत है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय सिद्ध होता है।
C. \(p^2\) (5) से विभाज्य है/\(p^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
In \(p^2=5q^2\), the right side has factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(p^2\) is divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
First write divisibility of the square, then conclude about (p). चरण 1: \(p^2=5q^2\) में दाईं ओर (5) गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 3: पहले वर्ग की विभाज्यता लिखें, फिर (p) के बारे में निष्कर्ष लें।
A. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
Assuming rationality makes both (p) and (q) divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
This goes against their being coprime.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(\sqrt{3}\) is not rational, but irrational. चरण 1: परिमेय मानने पर (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 2: यह उनके सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं, बल्कि अपरिमेय है।
A. असहयोग आंदोलन ने राष्ट्रवाद को जन आंदोलन बनाया लेकिन विविध अपेक्षाओं और अहिंसा की चुनौती भी सामने आई/The Non-Cooperation Movement made nationalism a mass movement but also brought challenges of diverse expectations and non-violence
Step 1
Concept
Non-cooperation connected many groups with national politics.
Step 2
Why this answer is correct
Different hopes of different groups also made the movement complex.
Step 3
Exam Tip
So it should be understood with both achievements and limitations. चरण 1: असहयोग ने अनेक वर्गों को राष्ट्रीय राजनीति से जोड़ा। चरण 2: अलग समूहों की अलग आशाओं से आंदोलन जटिल भी हुआ। चरण 3: इसलिए इसे उपलब्धि और सीमा दोनों के साथ समझना चाहिए।
A. युद्धकालीन संकट दमनकारी कानून और एकता की राजनीति ने असहयोग को जन्म दिया/Wartime crisis repressive law and politics of unity produced Non-Cooperation
Step 1
Concept
The First World War increased economic and social crisis.
Step 2
Why this answer is correct
The Rowlatt Act and Jallianwala Bagh revealed repression.
Step 3
Exam Tip
Khilafat and swaraj politics gave Non-Cooperation a broad form. चरण 1: प्रथम विश्वयुद्ध ने आर्थिक और सामाजिक संकट बढ़ाया। चरण 2: रौलेट अधिनियम और जलियाँवाला बाग ने दमन की प्रकृति दिखाई। चरण 3: खिलाफत और स्वराज की राजनीति ने असहयोग को व्यापक रूप दिया।
A. युद्ध खिलाफत और असहयोग ने राष्ट्रवाद को जन आंदोलन बनाया/War Khilafat and non-cooperation turned nationalism into a mass movement
Step 1
Concept
The war created discontent.
Step 2
Why this answer is correct
Khilafat and non-cooperation connected different groups.
Step 3
Exam Tip
Therefore this phase was important for the mass expansion of Indian nationalism. चरण 1: युद्ध ने असंतोष पैदा किया। चरण 2: खिलाफत और असहयोग ने अलग अलग समूहों को जोड़ा। चरण 3: इसलिए यह दौर भारतीय राष्ट्रवाद के जन विस्तार का महत्वपूर्ण चरण था।
C. क्रांति ने नागरिकता, समानता, प्रतीकों और संस्थागत सुधारों से आधुनिक राष्ट्रवाद को आकार दिया/The Revolution shaped modern nationalism through citizenship, equality, symbols and institutional reforms
Step 1
Concept
The French Revolution connected the nation with citizens.
Step 2
Why this answer is correct
Equality, symbols and institutional reforms strengthened this idea.
Step 3
Exam Tip
In a conclusion include several bases of modern nationalism. चरण 1: फ्रांसीसी क्रांति ने राष्ट्र को नागरिकों से जोड़ा। चरण 2: समानता, प्रतीक और संस्थागत सुधारों ने इस विचार को मजबूत किया। चरण 3: निष्कर्ष में आधुनिक राष्ट्रवाद के कई आधारों को शामिल करें।
A. फ्रांसीसी क्रांति ने आधुनिक नागरिक राष्ट्रवाद की बुनियाद रखी और इसे यूरोप में फैलाया/The French Revolution laid the foundation of modern civic nationalism and spread it in Europe
Step 1
Concept
The French Revolution connected the nation with citizenship, equality and popular sovereignty.
Step 2
Why this answer is correct
Its ideas spread beyond France and influenced European politics.
Step 3
Exam Tip
In conclusions use the key phrase modern civic nationalism. चरण 1: फ्रांसीसी क्रांति ने नागरिकता, समानता और जनसत्ता को राष्ट्र से जोड़ा। चरण 2: इसके विचार फ्रांस से बाहर भी फैले और यूरोपीय राजनीति को प्रभावित किया। चरण 3: निष्कर्ष लिखते समय आधुनिक नागरिक राष्ट्रवाद को मुख्य शब्द बनाएं।
A. क्रांति ने नागरिकता समानता प्रतीक और प्रशासनिक सुधारों से आधुनिक राष्ट्र की धारणा को मजबूत किया/The revolution strengthened the idea of the modern nation through citizenship equality symbols and administrative reforms
Step 1
Concept
The revolution recognized people as citizens.
Step 2
Why this answer is correct
It adopted uniform laws language symbols and administrative reforms.
Step 3
Exam Tip
Therefore, it strengthened the idea of the modern nation. चरण 1: क्रांति ने जनता को नागरिक के रूप में पहचाना। चरण 2: उसने समान कानून भाषा प्रतीक और प्रशासनिक सुधार अपनाए। चरण 3: इसलिए उसने आधुनिक राष्ट्र की धारणा को मजबूत किया।
A. राष्ट्र राजा की संपत्ति नहीं बल्कि नागरिकों का समुदाय है/A nation is not the king's property but a community of citizens
Step 1
Concept
The revolution challenged the king-centered idea.
Step 2
Why this answer is correct
It considered citizens the base of the nation.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the modern nation should be understood as a community of citizens. चरण 1: क्रांति ने राजा केंद्रित विचार को चुनौती दी। चरण 2: उसने नागरिकों को राष्ट्र का आधार माना। चरण 3: इसलिए आधुनिक राष्ट्र को नागरिक समुदाय के रूप में समझना चाहिए।
A. दोनों में राष्ट्रवाद ने राजनीतिक बिखराव को चुनौती दी, पर तरीके और नेतृत्व अलग थे/In both, nationalism challenged political fragmentation, but methods and leadership differed
Step 1
Concept
Both regions had fragmentation.
Step 2
Why this answer is correct
Nationalism strengthened the demand for unity.
Step 3
Exam Tip
Yet leadership and methods differed in Germany and Italy. चरण 1: दोनों क्षेत्रों में बिखराव था। चरण 2: राष्ट्रवाद ने एकता की मांग को मजबूत किया। चरण 3: फिर भी जर्मनी और इटली में नेतृत्व और साधन अलग अलग रहे।
A. राष्ट्रवाद विचार, राजनीति, युद्ध और जनता की भागीदारी से राष्ट्र राज्य बना सकता है/Nationalism can create nation-states through ideas, politics, war, and popular participation
Step 1
Concept
In Italy, ideas, diplomacy, and popular campaigns came together.
Step 2
Why this answer is correct
In Germany, state power, war, and diplomacy came together.
Step 3
Exam Tip
Both examples show that nationalism can create nation-states through many methods. चरण 1: इटली में विचार, कूटनीति और जन अभियान जुड़े। चरण 2: जर्मनी में राज्य शक्ति, युद्ध और कूटनीति जुड़े। चरण 3: दोनों उदाहरण दिखाते हैं कि राष्ट्रवाद कई साधनों से राष्ट्र राज्य बना सकता है।
