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outputs (2,4,6) हैं, इसलिए smallest codomain इन्हीं images का set हो सकता है। codomain में सभी possible outputs होने चाहिए। / The outputs are (2,4,6), so the smallest codomain can be the set of these images. The codomain must contain all possible outputs.
कुल \( \binom{21}{3} \) से \(x_1\ge6\) वाले \( \binom{15}{3} \) घटते हैं, उत्तर (875) है। ऊपरी सीमा में प्रतिबंधित हल घटाना आसान है। / Subtract \( \binom{15}{3} \) cases with \(x_1\ge6\) from total \( \binom{21}{3} \), giving (875). For upper limits, subtract forbidden solutions.
कुल \( \binom{12}{2} \) से किसी चर के (6) या अधिक होने के \(3\binom{6}{2}\) मामले घटते हैं, उत्तर (21) है। ऊपरी सीमा में पूरक गिनती उपयोगी रहती है। / From total \( \binom{12}{2} \), subtract \(3\binom{6}{2}\) cases where a variable is (6) or more, giving (21). For upper bounds, complementary counting is useful.
क्योंकि \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2-9\ge -9\)। परीक्षा में codomain और actual range में फर्क रखें। / Since \(x^2\ge 0\), \(x^2-9\ge -9\). In exams keep the difference between codomain and actual range clear.
actual outputs (2,3,4,5) हैं, जबकि codomain given (B) है। range हमेशा codomain का subset होती है। / The actual outputs are (2,3,4,5), while the codomain is the given set (B). The range is always a subset of the codomain.
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
(\sqrt{(x-4)2}=|x-4|) है। / (\sqrt{(x-4)2}=|x-4|).
Step 2
Why this answer is correct
इसका मान कभी ऋणात्मक नहीं होता, जबकि सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक मान हैं। / Its value is never negative, while the codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values.
Step 3
Exam Tip
मापांक रूप को वास्तविक सहप्रांत से मिलाते समय सावधान रहें। / Be careful when matching a modulus-type range with a real codomain.
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
वर्गमूल का मान हमेशा (0) या धनात्मक होता है। / A square-root value is always (0) or positive.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) जैसे ऋणात्मक मान हैं, जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values such as (-1), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल फलन को वास्तविक सहप्रांत देने पर आच्छादीपन नहीं रहता। / A square-root function is not onto a full real codomain.
A. सहप्रांत \(B=\{2,4,6,8\}\), परिसर ({2,4,6})/Codomain \(B=\{2,4,6,8\}\), range ({2,4,6})
Explanation
Simple Explanation
सहप्रांत दिया हुआ (B) है, जबकि परिसर वास्तविक प्राप्त छवियां हैं। यहां (8) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं। / The codomain is the given set (B), while the range is the set of actual images. Here (8) is in the codomain but not in the range.
एक input की ठीक एक output होना जरूरी है; अलग inputs की same output हो सकती है। common mistake: same image को function rule का violation न मानें। / A function needs exactly one output for each input; different inputs may have the same output. Common mistake: do not treat same image as a violation of function rule.
(f(1)=2), (f(2)=5) और (f(3)=10) हैं। परीक्षा में सहप्रांत में सभी संभावित छवियां शामिल होनी चाहिए। / (f(1)=2), (f(2)=5), and (f(3)=10). In exams, the codomain must contain all possible images.
परिसर ({4,9,16}) है, इसलिए (25) प्राप्त नहीं होता। परीक्षा में सहप्रांत का हर तत्व जरूरी नहीं कि परिसर हो। / The range is ({4,9,16}), so (25) is not obtained. In exams, every codomain element need not be in the range.
परिसर ({1,4,9}) है, इसलिए (16) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं। परीक्षा में सहप्रांत और परिसर को अलग रखें। / The range is ({1,4,9}), so (16) is in the codomain but not in the range. In exams, keep codomain and range separate.
परिसर ({1,4,9}) है और (16) प्राप्त नहीं होता। परीक्षा में पहले परिसर निकालें फिर सहप्रांत से तुलना करें। / The range is ({1,4,9}), and (16) is not obtained. In exams, first find the range and then compare it with the codomain.
परिसर ({2,3,4}) है इसलिए (5) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं। परीक्षा में सहप्रांत और परिसर को अलग रखें। / The range is ({2,3,4}), so (5) is in the codomain but not in the range. In exams, keep codomain and range separate.
A. परिसर B का उपसमुच्चय होता है/The range is a subset of B
Explanation
Simple Explanation
फलन के सभी प्राप्त मान B में होते हैं। इसलिए परिसर B का उपसमुच्चय होता है। / All obtained values of a function lie in B. Therefore the range is a subset of B.
(A) से (B) तक संबंध में सहप्रांत पूरा (B) होता है। यहां \(B=\{x,y\}\) है। / For a relation from (A) to (B), the codomain is the whole set (B). Here \(B=\{x,y\}\).
(A) से (B) में संबंध का सहप्रांत पूरा समुच्चय (B) होता है। परिसर सहप्रांत का उपसमुच्चय हो सकता है। / For a relation from (A) to (B), the codomain is the whole set (B). The range may be a subset of the codomain.
बहुपद में चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होती हैं। हर पद की घात जाँचें। / In a polynomial, powers of the variable are non-negative integers. Check the power of every term.
Stars and bars में (18) stars और (3) bars arrange होते हैं। परीक्षा में अऋणात्मक हलों के लिए \(^{n+r-1}C_{r-1}\) लगाएं। / In stars and bars, (18) stars and (3) bars are arranged. In exams use \(^{n+r-1}C_{r-1}\) for non-negative solutions.
\( [0,\infty\) ) में ( 0 ) शामिल है और सभी बड़े मान शामिल हैं। \( \infty \) पर कभी बंद बिंदु नहीं लगाया जाता। / \( [0,\infty\) ) includes ( 0 ) and all larger values. Infinity never gets a closed endpoint.
\([0,\infty\)) में (0) शामिल है और दाईं ओर सभी संख्याएँ हैं। इसलिए यह \(x\ge 0\) है। / The interval \([0,\infty\)) includes (0) and all numbers to the right. Therefore it is \(x\ge 0\).
B. (0) पर भरा वृत्त और दाईं ओर किरण/Closed circle at (0) and ray right
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(\ge\) में (0) शामिल है और उससे बड़ी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं। इसलिए भरा वृत्त और दाईं किरण बनती है। / The sign \(\ge\) includes (0), and greater numbers are to the right. So it is a closed circle with a right ray.
यदि (k>0) हो तो दिशा वही रहती है और यदि (k=0) हो तो बराबरी होती है। इसलिए \(ka\le kb\) हमेशा सही है। / If (k>0), the direction stays the same, and if (k=0), equality occurs. Hence \(ka\le kb\) is always correct.
किसी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं होता इसलिए \(x^2\ge 0\) हमेशा सत्य है। यह असमानता का मूल विचार समझाता है। / The square of a real number is never negative, so \(x^2\ge 0\) is always true. This shows a basic idea of inequalities.
\(x^4+x^2\) का न्यूनतम मान (0) है और बड़े (x) पर यह बहुत बड़ा होता है। / The minimum value of \(x^4+x^2\) is (0), and for large (x), it becomes very large.
Step 2
Why this answer is correct
सतत होने के कारण यह (0) से ऊपर के सभी मान लेता है। / Since it is continuous, it takes all values above (0).
Step 3
Exam Tip
अऋणात्मक सहप्रांत के साथ ऐसा बहुपद आच्छादी हो सकता है। / With a non-negative codomain, such a polynomial can be onto.
प्रत्येक (x) के लिए \(y=x^2\) से केवल एक छवि मिलती है। दो अलग (x) की समान छवि होना फलन को गलत नहीं करता। / For each (x), \(y=x^2\) gives only one image. Two different (x) values having the same image does not invalidate a function.
(x=0) पर (0) मिलता है और (x=1) पर \(\frac{1}{2}\) मिलता है। / At (x=0), (0) is obtained, and at (x=1), \(\frac{1}{2}\) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{x^2}{1+x^2}<1\) हर वास्तविक (x) के लिए है, इसलिए (1) कभी नहीं मिलता।
Step 3
Exam Tip
जहाँ हर अंश से बड़ा हो, वहाँ अंतिम सीमा मान को सावधानी से देखें। / When the denominator is larger than the numerator, check endpoint limit values carefully.
दो तीरों का एक ही तत्व पर आना बताता है कि दो अलग निवेशों का निर्गत समान है। / Two arrows arriving at the same element means two different inputs have the same output.
Step 2
Why this answer is correct
यह एकैकीता की परिभाषा के विरुद्ध है। / This goes against the definition of one-one.
Step 3
Exam Tip
आरेख वाले प्रश्नों में निर्गत पर आने वाले तीरों को देखकर तुरंत निर्णय लें। / In diagram-based questions, decide quickly by checking incoming arrows at outputs.
एकैकी फलन में प्रांत के हर तत्व को अलग प्रतिबिंब चाहिए। / A one-one function needs a distinct image for each domain element.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (5) अलग प्रतिबिंब चाहिए लेकिन सहप्रांत में केवल (3) तत्व हैं। / Here (5) distinct images are needed, but the codomain has only (3) elements.
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलन के लिए सहप्रांत में कम से कम प्रांत जितने तत्व होने चाहिए। / For a one-one function, the codomain must have at least as many elements as the domain.
A. रेंज \([11,\infty\)) है और codomain \(\mathbb{R}\) है/Range is \([11,\infty\)) and codomain is \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
notation में दूसरा समुच्चय codomain \(\mathbb{R}\) है, जबकि वास्तविक outputs \([11,\infty\)) हैं। परीक्षा में range और codomain को अलग रखें। / In the notation, the second set is the codomain \(\mathbb{R}\), while actual outputs are \([11,\infty\)). In exams keep range and codomain separate.
क्योंकि \(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2-15\ge-15\)। परीक्षा में square function की minimum value (0) याद रखें। / Since \(x^2\ge0\), \(x^2-15\ge-15\). In exams remember that the minimum value of the square function is (0).
A. रेंज \([7,\infty\)) है और codomain \(\mathbb{R}\) है/Range is \([7,\infty\)) and codomain is \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
दिए गए notation में दूसरा समुच्चय codomain \(\mathbb{R}\) है, जबकि वास्तविक outputs \([7,\infty\)) हैं। परीक्षा में range और codomain अलग रखें। / In the given notation, the second set is the codomain \(\mathbb{R}\), while actual outputs are \([7,\infty\)). In exams keep range and codomain separate.
क्योंकि \(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2-12\ge-12\)। परीक्षा में square function की minimum value (0) याद रखें। / Since \(x^2\ge0\), \(x^2-12\ge-12\). In exams remember the minimum value of the square function is (0).
A. रेंज \([4,\infty\)) है और codomain \(\mathbb{R}\) है/Range is \([4,\infty\)) and codomain is \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
फलन में दिया गया दूसरा समुच्चय codomain है, जबकि वास्तविक आउटपुट \([4,\infty\)) हैं। परीक्षा में arrow notation से codomain पहचानें। / The second set in the function notation is the codomain, while actual outputs are \([4,\infty\)). In exams identify codomain from arrow notation.
A. इसके निर्गत मान \(\mathbb{R}\) में होते हैं/Its output values lie in \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मान वाले फलन में मान वास्तविक संख्याओं में होते हैं। प्रांत (A) कोई उपयुक्त समुच्चय हो सकता है। / In a real valued function, the values are real numbers. The domain (A) can be any suitable set.
\(f:A\to\mathbb{R}\) में \(\mathbb{R}\) वह समुच्चय है जिसमें मान जाने हैं। यह सहप्रांत कहलाता है। / In \(f:A\to\mathbb{R}\), \(\mathbb{R}\) is the set where outputs are expected to lie. It is called the codomain.
A. क्योंकि (x=2) की दो छवियां हैं/Because (x=2) has two images
Explanation
Simple Explanation
(x=2) पर (|2-2y|=2) से (y=0) और (y=2) दोनों मिलते हैं। एक इनपुट पर दो आउटपुट फलन नहीं बनाते। / At (x=2), (|2-2y|=2) gives both (y=0) and (y=2). Two outputs for one input do not define a function.
B. नहीं, क्योंकि \(f(4)=6\notin{0,1,2,3,4}\)/No, because \(f(4)=6\notin{0,1,2,3,4}\)
Explanation
Simple Explanation
(f(4)=16-12+2=6) है, जो सहप्रांत में नहीं है। सीमित प्रांत में हर मान को सहप्रांत से मिलाएं। / Here (f(4)=16-12+2=6), which is not in the codomain. For a finite domain, match every value with the codomain.
(C) के सभी अवयव (A) में हैं और उनकी छवियां सहप्रांत (B) में होती हैं। इसलिए \(f(C)\subseteq B\) हमेशा सत्य है। / All elements of (C) lie in (A), and their images lie in the codomain (B). Hence \(f(C)\subseteq B\) is always true.
B. यह फलन है क्योंकि \(n^5-n\) हमेशा (5) से विभाज्य होता है/It is a function because \(n^5-n\) is always divisible by (5)
Explanation
Simple Explanation
पूर्णांक (n) के लिए \(n^5-n\) हमेशा (5) से विभाज्य होता है। इसलिए हर मान \(\mathbb{Z}\) में आता है। / For an integer (n), \(n^5-n\) is always divisible by (5). Therefore every value lies in \(\mathbb{Z}\).
A. क्योंकि (x=0) की दो छवियां हैं/Because (x=0) has two images
Explanation
Simple Explanation
(x=0) पर (y=2) और (y=-2) दोनों संभव हैं। मापांक समीकरण अक्सर दो छवियां देते हैं। / At (x=0), both (y=2) and (y=-2) are possible. Absolute value equations often give two images.
B. नहीं, क्योंकि \(f(3)=4\notin{0,1,2,3}\)/No, because \(f(3)=4\notin{0,1,2,3}\)
Explanation
Simple Explanation
(f(3)=9-6+1=4) है, जो सहप्रांत में नहीं है। सीमित प्रांत में हर मान को सहप्रांत से मिलाएं। / Here (f(3)=9-6+1=4), which is not in the codomain. For a finite domain, match every value with the codomain.
(n=1) पर \(\frac{n}{2}=\frac{1}{2}\) प्राकृतिक संख्या नहीं है। \(\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) में हर प्राकृतिक इनपुट का मान प्राकृतिक होना चाहिए। / At (n=1), \(\frac{n}{2}=\frac{1}{2}\) is not a natural number. In \(\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), every natural input must have a natural value.
C. (f\(a_1\)) और (f\(a_2\)) दोनों (B) में हैं/Both (f\(a_1\)) and (f\(a_2\)) lie in (B)
Explanation
Simple Explanation
फलन में हर इनपुट की छवि सहप्रांत (B) में होती है। अलग इनपुटों की छवियां समान भी हो सकती हैं। / In a function the image of every input lies in the codomain (B). Different inputs may also have the same image.
B. यह फलन है क्योंकि \(n^3-n\) हमेशा (3) से विभाज्य होता है/It is a function because \(n^3-n\) is always divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
(n-3-n=n(n-1)(n+1)) लगातार तीन पूर्णांकों का गुणनफल है, इसलिए (3) से विभाज्य है। सहप्रांत जांचने के लिए पूर्णांकता पर ध्यान दें। / Since (n-3-n=n(n-1)(n+1)) is the product of three consecutive integers, it is divisible by (3). For codomain checking, focus on integrality.
B. यह फलन नहीं है क्योंकि (2) की दो छवियां हैं/It is not a function because (2) has two images
Explanation
Simple Explanation
(x=2) पर (y=2) और (y=-2) दोनों मिलते हैं। एक इनपुट की दो छवियां होने पर संबंध फलन नहीं होता। / At (x=2), both (y=2) and (y=-2) occur. A relation is not a function if one input has two images.
C. यह फलन नहीं है क्योंकि \(f(4)=5\notin{1,2,3,4}\)/It is not a function because \(f(4)=5\notin{1,2,3,4}\)
Explanation
Simple Explanation
(f(4)=16-16+5=5) है जो सहप्रांत में नहीं है। सीमित प्रांत में सभी मान जांचना जरूरी है। / Here (f(4)=16-16+5=5), which is not in the codomain. For a finite domain, checking all values is necessary.
हर \(n\in\mathbb{N}\) के लिए \(n^2+n+1\) प्राकृतिक संख्या है। अन्य नियम सभी प्राकृतिक (n) पर प्राकृतिक मान नहीं देते। / For every \(n\in\mathbb{N}\), \(n^2+n+1\) is a natural number. The other rules do not give natural values for all natural (n).
B. यह फलन है क्योंकि (n(n+1)) हमेशा सम होता है/It is a function because (n(n+1)) is always even
Explanation
Simple Explanation
लगातार दो पूर्णांकों (n) और (n+1) में से एक सम होता है। इसलिए \(\frac{n(n+1)}{2}\in\mathbb{Z}\) है। / Among consecutive integers (n) and (n+1), one is even. So \(\frac{n(n+1)}{2}\in\mathbb{Z}\).
A. यह फलन है और परिसर ({1,3,5}) है/It is a function and range is ({1,3,5})
Explanation
Simple Explanation
मान (1,3,5) मिलते हैं और सभी सहप्रांत में हैं। सहप्रांत के सभी अवयवों का आना आवश्यक नहीं होता। / The values obtained are (1,3,5), and all lie in the codomain. Not every element of the codomain needs to occur.
प्रत्येक प्राकृतिक (n) के लिए (2n+1) प्राकृतिक संख्या है। अन्य विकल्प सभी (n) के लिए \(\mathbb{N}\) में मान नहीं देते। / For every natural (n), (2n+1) is a natural number. The other options do not give values in \(\mathbb{N}\) for all (n).
A. क्योंकि \(f(2)=4\notin B\)/Because \(f(2)=4\notin B\)
Explanation
Simple Explanation
(2) की छवि (4) है जो सहप्रांत (B) में नहीं है। फलन के लिए हर छवि सहप्रांत में होनी चाहिए। / The image of (2) is (4), which is not in the codomain (B). For a function, every image must lie in the codomain.
B. नहीं, क्योंकि \(f(4)=8\notin{1,2,3,4}\)/No, because \(f(4)=8\notin{1,2,3,4}\)
Explanation
Simple Explanation
(f(4)=16-12+4=8) है, जो सहप्रांत में नहीं है। सीमित प्रांत में सभी मानों की जांच करना सुरक्षित तरीका है। / Here (f(4)=16-12+4=8), which is not in the codomain. For finite domains, checking all values is the safe method.
B. यह फलन है और परिसर ({1,4,9}) है/It is a function and range is ({1,4,9})
Explanation
Simple Explanation
हर \(x\in A\) की एक छवि \(x^2\in B\) है। (16) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं आता। / Every \(x\in A\) has one image \(x^2\in B\). The element (16) is in the codomain but not in the range.
B. क्योंकि (x=0) पर मान \(\frac{1}{2}\notin\mathbb{Z}\) है/Because at (x=0), the value is \(\frac{1}{2}\notin\mathbb{Z}\)
Explanation
Simple Explanation
(x=0) देने पर मान \(\frac{1}{2}\) आता है, जो सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में नहीं है। फलन में हर मान सहप्रांत में होना चाहिए। / Putting (x=0) gives \(\frac{1}{2}\), which is not in the codomain \(\mathbb{Z}\). Every value of a function must lie in the codomain.
A. यह (A) से (B) में फलन है और परिसर ({2,3,4}) है/It is a function from (A) to (B) and range is ({2,3,4})
Explanation
Simple Explanation
(1,2,3) की छवियां क्रमशः (2,3,4) हैं और सभी (B) में हैं। सहप्रांत और परिसर में अंतर याद रखें। / The images of (1,2,3) are (2,3,4), all lying in (B). Remember the difference between codomain and range.
B. यह फलन है और परिसर ({3,4,6,12}) है/It is a function and range is ({3,4,6,12})
Explanation
Simple Explanation
प्रत्येक दिए गए (x) के लिए \(\frac{12}{x}\) प्राकृतिक संख्या है। प्राप्त मान ({12,6,4,3}) हैं। / For each given (x), \(\frac{12}{x}\) is a natural number. The obtained values are ({12,6,4,3}).
B. नहीं, क्योंकि सहप्रांत अलग हैं/No, because the codomains are different
Explanation
Simple Explanation
फलन की समानता में सहप्रांत भी समान होना चाहिए। केवल समान सूत्र पर्याप्त नहीं है। / Equality of functions also requires the codomain to be the same. The same formula alone is not sufficient.
A. क्योंकि \(f(4)=4\notin B\)/Because \(f(4)=4\notin B\)
Explanation
Simple Explanation
सहप्रांत (B) में (4) नहीं है, इसलिए (4) की छवि बाहर चली जाती है। फलन में छवि सहप्रांत के अंदर होनी चाहिए। / The codomain (B) does not contain (4), so the image of (4) goes outside. In a function, each image must lie in the codomain.
आने वाली वास्तविक छवियां (1) और (2) हैं, इसलिए परिसर ({1,2}) है। परिसर को प्रांत से अलग रखें। / The actual images obtained are (1) and (2), so the range is ({1,2}). Keep range separate from domain.
A. क्योंकि \(f(3)=6\notin{1,2,3,4,5}\)/Because \(f(3)=6\notin{1,2,3,4,5}\)
Explanation
Simple Explanation
फलन की हर छवि सहप्रांत में होनी चाहिए। यहां (3) की छवि (6) सहप्रांत से बाहर है। / Every image of a function must lie in the codomain. Here the image of (3) is (6), outside the codomain.
A. (R) (A) से (B) में function है और range (=B) है/(R) is a function from (A) to (B) and range (=B)
Explanation
Simple Explanation
हर \(x\in A\) की unique image (1,4,9,16) में है और सभी codomain elements images हैं। इस case में range और codomain equal हैं। / Every \(x\in A\) has a unique image in (1,4,9,16), and all codomain elements are images. In this case, range and codomain are equal.
A. (x=3) के लिए \(y=4\notin B\), इसलिए image नहीं बनती/For (x=3), \(y=4\notin B\), so no image is formed
Explanation
Simple Explanation
(x=3) का required output (4) codomain में नहीं है, इसलिए domain का हर element mapped नहीं है। codomain restriction relation को बदल सकती है। / The required output for (x=3) is (4), which is not in the codomain, so every domain element is not mapped. A codomain restriction can change the relation.
A. नहीं, क्योंकि \(f(3)=9\notin{1,2,3,4,5}\)/No, because \(f(3)=9\notin{1,2,3,4,5}\)
Explanation
Simple Explanation
output unique तो है, लेकिन (f(3)=9) codomain में नहीं है। function के लिए image codomain के अंदर भी होनी चाहिए। / The output is unique, but (f(3)=9) is not in the codomain. For a function, every image must also lie in the codomain.
(x=0,1,2,3) रखने पर outputs (1,3,5,7) मिलते हैं। range हमेशा actual images का set होता है, पूरा codomain जरूरी नहीं। / Putting (x=0,1,2,3) gives outputs (1,3,5,7). The range is the set of actual images, not necessarily the whole codomain.
प्रांत में (4) नहीं है इसलिए (16) प्राप्त नहीं होता। परीक्षा में पूर्वछवि केवल प्रांत से ही ली जाती है। / (4) is not in the domain, so (16) is not obtained. In exams, a preimage must come from the domain only.
A. (5) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं/(5) is in the codomain but not in the range
Explanation
Simple Explanation
परिसर ({2,3,4}) है इसलिए (5) प्राप्त नहीं होता। परीक्षा में सहप्रांत का हर तत्व परिसर में हो यह जरूरी नहीं है। / The range is ({2,3,4}), so (5) is not obtained. In exams, every element of the codomain need not be in the range.
A. (8) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं/(8) is in the codomain but not in the range
Explanation
Simple Explanation
छवियां (2,4,6) हैं इसलिए (8) प्राप्त नहीं होता। परीक्षा में सहप्रांत और परिसर का अंतर स्पष्ट रखें। / The images are (2,4,6), so (8) is not obtained. In exams, keep the difference between codomain and range clear.
A. क्योंकि (f(3)=4) और \(4\notin{1,2,3}\)/Because (f(3)=4) and \(4\notin{1,2,3}\)
Explanation
Simple Explanation
(3) की छवि (4) आती है जो सहप्रांत में नहीं है। परीक्षा में हर आउटपुट सहप्रांत में है या नहीं जांचें। / The image of (3) is (4), which is not in the codomain. In exams, check whether every output lies in the codomain.
A. (12) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं/(12) is in the codomain but not in the range
Explanation
Simple Explanation
(f(1),f(2),f(3)) से (3,6,9) मिलते हैं, (12) नहीं। परीक्षा में अप्राप्त सहप्रांत तत्व को परिसर में न रखें। / (f(1),f(2),f(3)) give (3,6,9), not (12). In exams, do not put an unattained codomain element in the range.
A. (d) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं/(d) is in the codomain but not in the range
Explanation
Simple Explanation
(d) सहप्रांत (B) का तत्व है पर कोई प्रांत तत्व उस पर नहीं जा रहा। परीक्षा में सहप्रांत में अतिरिक्त तत्व हो सकते हैं। / (d) is an element of codomain (B), but no domain element maps to it. In exams, the codomain may contain extra elements.
A. क्योंकि (f(1)=-1) है और \(-1\notin{0,1,2}\)/Because (f(1)=-1) and \(-1\notin{0,1,2}\)
Explanation
Simple Explanation
(f(1)=-1) सहप्रांत (B) में नहीं है, इसलिए यह (A) से (B) में फलन नहीं होगा। परीक्षा में आउटपुट सहप्रांत में होना चाहिए। / (f(1)=-1) is not in codomain (B), so it is not a function from (A) to (B). In exams, every output must lie in the codomain.
A. यह (A) से (B) में फलन है/It is a function from (A) to (B)
Explanation
Simple Explanation
प्रत्येक \(x\in A\) के लिए \(x^2\in B\) और छवि ठीक एक है। परीक्षा में नियम की छवियां सहप्रांत में हैं या नहीं, यह देखें। / For every \(x\in A\), \(x^2\in B\) and the image is exactly one. In exams, check whether the rule's images lie in the codomain.
वास्तविक रूप से प्राप्त छवियों का समुच्चय परिसर कहलाता है। परीक्षा में परिसर हमेशा सहप्रांत का उपसमुच्चय होता है। / The set of actually obtained images is called the range. In exams, the range is always a subset of the codomain.
\(f:A\to B\) में (A) प्रांत और (B) सहप्रांत होता है। परीक्षा में संकेत \(f:A\to B\) को ध्यान से पढ़ें। / In \(f:A\to B\), (A) is the domain and (B) is the codomain. In exams, read the notation \(f:A\to B\) carefully.
यहां (n(A)=3) और (n(B)=2) है इसलिए कुल फलन \(2^3=8\) हैं। परीक्षा में आधार सहप्रांत के तत्वों की संख्या होती है। / Here (n(A)=3) and (n(B)=2), so total functions are \(2^3=8\). In exams, the base is the number of elements in the codomain.
प्रांत में 0 है लेकिन सहप्रांत खाली है, इसलिए 0 का कोई प्रतिबिंब नहीं मिल सकता। अतः कोई फलन नहीं बनेगा। / The domain contains 0 but the codomain is empty, so 0 cannot get an image. Hence no function is possible.
सहप्रांत में केवल 9 है, इसलिए हर प्रांत तत्व का प्रतिबिंब 9 होगा। कोई प्रांत तत्व छूटना नहीं चाहिए। / The codomain has only 9, so every domain element maps to 9. No domain element should be left out.
A. (R) (A) से (B) में फलन है/(R) is a function from (A) to (B)
Explanation
Simple Explanation
(A) के (1), (2), और (3) का ठीक एक प्रतिबिंब (B) में है। सहप्रांत के हर तत्व का प्रयोग होना जरूरी नहीं। / The elements (1), (2), and (3) of (A) each have exactly one image in (B). It is not necessary to use every element of the codomain.
गैर-रिक्त प्रांत के तत्वों को \(\emptyset\) में कोई प्रतिबिंब नहीं मिल सकता। इसलिए कोई फलन नहीं बनेगा। / Elements of a non-empty domain cannot get any image in \(\emptyset\). Therefore no function can be formed.
A. परिसर (B) का उपसमुच्चय होता है/The range is a subset of (B)
Explanation
Simple Explanation
फलन के प्राप्त मान (B) में होते हैं, इसलिए परिसर (B) का उपसमुच्चय होता है। यह जरूरी नहीं कि पूरा (B) हो। / The obtained values of the function lie in (B), so the range is a subset of (B). It need not be the whole of (B).
(B) में केवल (a) है इसलिए हर प्रांत तत्व (a) से जुड़ता है। सभी (1), (2), और (3) शामिल होने चाहिए। / Since (B) has only (a), every domain element maps to (a). All (1), (2), and (3) must be included.
A. हर \(x\in A\) के लिए \(f(x)\in B\) होता है/For every \(x\in A\), \(f(x)\in B\)
Explanation
Simple Explanation
\(f:A\to B\) में इनपुट (A) से और आउटपुट (B) में होता है। संकेत पढ़ना परीक्षा में बहुत जरूरी है। / In \(f:A\to B\), the input comes from (A) and the output lies in (B). Reading the notation is very important in exams.
\(f:A\to B\) में हर फलन मान (B) में होता है। इसलिए \(f(x)\in B\) लिखा जा सकता है। / In \(f:A\to B\), every function value lies in (B). Hence we can write \(f(x)\in B\).
\(f:A\to B\) में (B) सहप्रांत कहलाता है। परिसर सहप्रांत का उपसमुच्चय हो सकता है। / In \(f:A\to B\), (B) is called the codomain. The range may be a subset of the codomain.
परिसर केवल उन दूसरे अवयवों से बनता है जो संबंध में सच में आए हैं। (5) सहप्रांत में है, पर परिसर में नहीं है। / The range is formed only from second components actually appearing in the relation. (5) is in the codomain, but not in the range.
(x-3-6x-2+12x-5=(x-2)3+3) लिखा जा सकता है। / We can write (x-3-6x-2+12x-5=(x-2)3+3).
Step 2
Why this answer is correct
((x-2)3) सभी वास्तविक मान लेता है, इसलिए ((x-2)3+3) भी सभी वास्तविक मान लेता है। / Since ((x-2)3) takes all real values, ((x-2)3+3) also takes all real values.
Step 3
Exam Tip
घन फलन में क्षैतिज या ऊर्ध्व स्थानांतरण होने पर भी \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर आच्छादिता बनी रहती है। / A horizontal or vertical shift of a cubic still remains onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
A. कम से कम एक \(a\in A\) होगा जिसके लिए (f(a)=b)/There exists at least one \(a\in A\) such that (f(a)=b)
Step 1
Concept
आच्छादी फलन का अर्थ है कि सहप्रांत का कोई भी तत्व खाली न छूटे। / Onto means no element of the codomain is left out.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए प्रत्येक \(b\in B\) के लिए कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब \(a\in A\) होना चाहिए। / Therefore, for each \(b\in B\), at least one preimage \(a\in A\) must exist.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी में एक से अधिक पूर्वप्रतिबिंब हो सकते हैं, एकैकी की शर्त अलग है। / An onto function may have multiple preimages; one-one is a separate condition.
