Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(7-2x) एक अस्थिर रेखीय फलन है और हर वास्तविक मान ले सकता है। इसलिए इसका परिसर \(\mathbb{R}\) है। / (7-2x) is a non-constant linear function and can take every real value. Therefore its range is \(\mathbb{R}\).
\(x-5 \ge 0\) से \(x \ge 5\) मिलता है। सिरा (5) शामिल है क्योंकि वर्गमूल (0) हो सकता है। / From \(x-5 \ge 0\), we get \(x \ge 5\). The endpoint (5) is included because the square root can be (0).
वर्गमूल के अंदर \(8-x \ge 0\) होना चाहिए। इससे \(x \le 8\) और प्रांत (\(-\infty,8]\) मिलता है। / The expression inside the square root must satisfy \(8-x \ge 0\). This gives \(x \le 8\), so the domain is (\(-\infty,8]\).
\(x^2\) का न्यूनतम मान (0) है, इसलिए \(x^2+9\) का न्यूनतम मान (9) है। अतः परिसर \([9,\infty\)) है। / The minimum value of \(x^2\) is (0), so the minimum value of \(x^2+9\) is (9). Thus the range is \([9,\infty\)).
((x-2)2\ge 0), इसलिए (5-(x-2)2\le 5) है। नीचे कोई सीमा नहीं है, इसलिए परिसर (\(-\infty,5]\) है। / Since ((x-2)2\ge 0), (5-(x-2)2\le 5). There is no lower bound, so the range is (\(-\infty,5]\).
(|x+2|) बड़ा होने पर (6-|x+2|) छोटा होता जाता है। अधिकतम (6) है और नीचे कोई सीमा नहीं है। / As (|x+2|) becomes larger, (6-|x+2|) becomes smaller. The maximum is (6), and there is no lower bound.
हर (0) नहीं होना चाहिए और \(x^2-9=0\) पर (x=-3,3) मिलते हैं। इसलिए प्रांत \(\mathbb{R}-{-3,3}\) है। / The denominator must not be (0), and \(x^2-9=0\) gives (x=-3,3). Hence the domain is \(\mathbb{R}-{-3,3}\).
हर \(x^2+6\) सबसे छोटा (6) तब होता है जब (x=0)। इसलिए भिन्न का मान सबसे बड़ा तब मिलता है। / The denominator \(x^2+6\) is smallest at (6) when (x=0). Therefore the fraction is greatest then.
हर का न्यूनतम मान (6) है, इसलिए अधिकतम मान \(\frac{1}{6}\) है। (0) कभी नहीं मिलता पर मान (0) के पास जा सकता है। / The minimum denominator is (6), so the maximum value is \(\frac{1}{6}\). The value (0) is never reached but can be approached.
A. इसके निर्गत मान \(\mathbb{R}\) में होते हैं/Its output values lie in \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मान वाले फलन में मान वास्तविक संख्याओं में होते हैं। प्रांत (A) कोई उपयुक्त समुच्चय हो सकता है। / In a real valued function, the values are real numbers. The domain (A) can be any suitable set.
B. सभी प्राप्त वास्तविक मान/All actually obtained real values
Explanation
Simple Explanation
परिसर उन मानों का समुच्चय है जो फलन वास्तव में देता है। इसे सहप्रांत से अलग समझना चाहिए। / The range is the set of values actually produced by the function. It should be understood separately from the codomain.
प्रांत वे मान हैं जिन्हें (x) के रूप में फलन में रखा जा सकता है। प्रांत निकालते समय हर और वर्गमूल की शर्त देखें। / The domain is the set of values that can be used as (x) in the function. While finding it, check denominator and square-root conditions.
\(\frac{2x+1}{3}\) अस्थिर रेखीय फलन है। (x) वास्तविक होने पर इसका परिसर \(\mathbb{R}\) है। / \(\frac{2x+1}{3}\) is a non-constant linear function. When (x) is real, its range is \(\mathbb{R}\).
अंतराल ([-2,3]) में (0) शामिल है, इसलिए न्यूनतम मान (0) है। सबसे बड़ा वर्ग \(3^2=9\) है, इसलिए परिसर ([0,9]) है। / The interval ([-2,3]) includes (0), so the minimum value is (0). The largest square is \(3^2=9\), so the range is ([0,9]).
