Explanation
Simple Explanation
दिया गया दशमलव विस्तार अनंत है और इसमें 1 के बीच के शून्य की संख्या लगातार बदलती है — 1, 01, 001, 0001, ...; अर्थात् 1 के स्थान त्रिभुज संख्याएँ हैं (1, 3, 6, 10, ...)। किसी परिमेय संख्या की दशमलव(expansion) अंततः एक निश्चित आवर्ती समूह में दोहरानी चाहिए। यहाँ आवर्तन (periodicity) मौजूद नहीं है, इसलिए यह संख्या अपरिमेय है। निकटतम भ्रमित करने वाला विकल्प परिमेय संख्या गलत है क्योंकि कोई स्थिर पुनरावर्ती ब्लॉक नहीं बनता; सांत दशमलव भी गलत है क्योंकि दशमलव अनंत है; पूर्णांक गलत है क्योंकि संख्या 0 और 1 के बीच है। परीक्षा-संकेत: यदि दशमलव विस्तार अनंत है तो जांचें कि क्या किसी निश्चित लघु ब्लॉक की आवृत्ति बार-बार हो रही है — नहीं होने पर संख्या अपरिमेय होती है। / The decimal expansion is infinite and the gaps of zeros between successive 1s increase: patterns of 1 appear at positions 1, 3, 6, 10, ... (triangular numbers). A rational number must have a decimal expansion that eventually becomes periodic (a fixed repeating block). Since no such periodic block exists here, the number is irrational. The closest distractor, rational number, is incorrect because there is no eventual repetition; terminating decimal is wrong because the expansion does not end; integer is impossible because the value lies between 0 and 1. Exam tip: to test for irrationality, look for eventual periodicity — if none exists and the expansion is infinite, the number is irrational.
