Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है। यह माध्यम स्तर की सबसे सामान्य गलती है। / Multiplying by a negative number reverses the inequality sign. This is the most common medium-level mistake.
पहले (5) घटाएँ फिर (2) से भाग दें इसलिए (x<4) मिलता है। चिन्ह तभी उलटेगा जब भाग ऋणात्मक संख्या से हो। / Subtract (5) first and then divide by (2) so (x<4). The sign reverses only when division is by a negative number.
(7) घटाने पर \(-4x\le 12\) और (-4) से भाग देने पर चिन्ह उलटकर \(x\ge -3\) होगा। ऋणात्मक गुणांक पर विशेष ध्यान दें। / After subtracting (7) we get \(-4x\le 12\) and dividing by (-4) reverses the sign to \(x\ge -3\). Pay special attention to negative coefficients.
(x=2) रखने पर (5-2=3) और \(3\ge 3\) सत्य है। विकल्प जाँचते समय बराबरी वाले चिन्ह को न भूलें। / Putting (x=2) gives (5-2=3) and \(3\ge 3\) is true. While checking options do not ignore equality signs.
A. (5) पर भरा बिंदु और बाईं ओर छाया/closed dot at (5) and shading to the left
Explanation
Simple Explanation
\(\le\) में बराबरी शामिल होती है इसलिए (5) पर भरा बिंदु बनेगा। छोटी संख्याएँ बाईं ओर होती हैं। / The symbol \(\le\) includes equality so a closed dot is placed at (5). Smaller numbers lie to the left.
(3) शामिल है इसलिए ([ \ ) लगेगा और (8) शामिल नहीं है इसलिए (\ )) लगेगा। सीमा बिंदुओं पर बराबरी जाँचें। / The value (3) is included so use ([ \ ) and (8) is not included so use (\ )). Check equality at endpoints.
(4>-2) और \(4\le 4\) दोनों सत्य हैं। संयुक्त असमानता में हर शर्त अलग से जाँचें। / Both (4>-2) and \(4\le 4\) are true. In a compound inequality check every condition separately.
दोनों पक्षों से (3) घटाने पर \(x\ge 7\) मिलता है। समान संख्या घटाने से चिन्ह नहीं बदलता। / Subtracting (3) from both sides gives \(x\ge 7\). Subtracting the same number does not change the sign.
(2) जोड़ने पर \(\frac{x}{3}>3\) और (3) से गुणा करने पर (x>9) मिलता है। धनात्मक संख्या से गुणा करने पर चिन्ह वही रहता है। / Adding (2) gives \(\frac{x}{3}>3\) and multiplying by (3) gives (x>9). Multiplication by a positive number keeps the sign unchanged.
दोनों पक्षों से समान संख्या घटाने पर असमानता का प्रकार वही रहता है। \(\le\) में बराबरी की संभावना बनी रहती है। / Subtracting the same number from both sides keeps the inequality type unchanged. The symbol \(\le\) still allows equality.
(x+4<10) से (x<6) मिलता है। बाकी विकल्प (x>6) देते हैं या अलग दिशा देते हैं। / From (x+4<10) we get (x<6). The other options give (x>6) or a different direction.
हल \(2x\ge 8\) यानी \(x\ge 4\) है इसलिए न्यूनतम पूर्णांक (4) है। पहले वास्तविक हल निकालें फिर पूर्णांक चुनें। / The solution is \(2x\ge 8\) so \(x\ge 4\) and the least integer is (4). First find the real solution and then choose the integer.
(7-2x>1) से (-2x>-6) मिलता है और (-2) से भाग देने पर (x<3) होगा। ऋणात्मक भाग में चिन्ह पलटता है। / From (7-2x>1) we get (-2x>-6) and dividing by (-2) gives (x<3). The sign reverses during negative division.
\(x\ge -1\) में (-1) शामिल है और उससे बड़ी सभी संख्याएँ आती हैं। इसलिए अंतराल \([-1,\infty\)) है। / In \(x\ge -1\), the value (-1) and all greater numbers are included. Therefore the interval is \([-1,\infty\)).
(5) धनात्मक है इसलिए (5) से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता और \(x\le 4\) मिलता है। बराबरी वाला चिन्ह बनाए रखें। / Since (5) is positive, dividing by (5) does not change the sign and gives \(x\le 4\). Keep the equality part of the sign.
धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती। इसलिए (ac>bc) सही है। / Multiplying by a positive number does not change the direction of inequality. Therefore (ac>bc) is correct.
(2x) घटाने और (3) जोड़ने पर (2x<12) मिलता है इसलिए (x<6)। समान पदों को पहले एक तरफ लाएँ। / Subtracting (2x) and adding (3) gives (2x<12) so (x<6). Bring like terms to one side first.
(x) घटाने और (2) घटाने पर \(2x\ge 8\) इसलिए \(x\ge 4\) है। धनात्मक (2) से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Subtracting (x) and (2) gives \(2x\ge 8\) so \(x\ge 4\). Dividing by positive (2) does not change the sign.
सभी भागों से (1) घटाने पर \(-6\le 2x<8\) और (2) से भाग देने पर \(-3\le x<4\) मिलता है। संयुक्त असमानता में दोनों सीमाएँ साथ बदलें। / Subtracting (1) from all parts gives \(-6\le 2x<8\), and dividing by (2) gives \(-3\le x<4\). Change both bounds together in a compound inequality.
A. (2) पर खुला बिंदु और बाईं ओर छाया/open dot at (2) and shading to the left
Explanation
Simple Explanation
(x<2) में (2) शामिल नहीं होता और (2) से छोटी संख्याएँ बाईं तरफ होती हैं। इसलिए खुला बिंदु और बाईं छाया सही है। / In (x<2), the value (2) is not included and numbers smaller than (2) lie to the left. Hence an open dot with left shading is correct.
कथन में जोड़ने और कम होने की बात है इसलिए (x+8<20) बनेगा। शब्दों को प्रतीकों में बदलते समय क्रिया पहचानें। / The statement says add and less than, so it becomes (x+8<20). While translating words to symbols, identify the operation carefully.
अधिक नहीं का अर्थ \(\le\) होता है इसलिए \(3y\le 15\)। भाषा आधारित प्रश्नों में ऐसे वाक्यांश याद रखें। / Not more than means \(\le\), so \(3y\le 15\). Remember such phrases in language-based questions.
(6) घटाने पर \(-3x\le 6\) और (-3) से भाग देने पर \(x\ge -2\) मिलता है। ऋणात्मक विभाजन में चिन्ह उलटें। / Subtracting (6) gives \(-3x\le 6\), and dividing by (-3) gives \(x\ge -2\). Reverse the sign in negative division.
(x=0) रखने पर (-0+2=2) और \(2\ge 2\) सत्य है। बराबरी वाली असमानता में समान मान भी मान्य है। / Putting (x=0) gives (-0+2=2) and \(2\ge 2\) is true. Equality is allowed in inequalities with equality signs.
असमानता से (2x<8) यानी (x<4) मिलता है इसलिए (x=3) हल है। लेकिन (x=4) चाहिए था इसलिए दिए विकल्पों में कोई नहीं? / The inequality gives (2x<8), so (x<4). Among the given values (0,2,3,-1), all satisfy it, so no listed value is not a solution.
(3) से गुणा करने पर \(2x-1\le 15\) और फिर \(2x\le 16\) इसलिए \(x\le 8\)। धनात्मक हर से गुणा करने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by (3) gives \(2x-1\le 15\), then \(2x\le 16\), so \(x\le 8\). Multiplication by a positive denominator does not change the sign.
(2) से गुणा करने पर (5-x>6) और फिर (-x>1) मिलता है। (-1) से गुणा करने पर (x<-1) होगा। / Multiplying by (2) gives (5-x>6), then (-x>1). Multiplying by (-1) gives (x<-1).
\(x\ge 1\) में (2) जोड़ने पर \(x+2\ge 3\) मिलता है। समान संख्या जोड़ना सुरक्षित रूपांतरण है। / Adding (2) to \(x\ge 1\) gives \(x+2\ge 3\). Adding the same number is a safe transformation.
D. (x) (12) से अधिक या बराबर है/(x) is greater than or equal to (12)
Explanation
Simple Explanation
\(\ge\) का अर्थ अधिक या बराबर होता है। प्रतीक पढ़ने की शुद्धता शब्द आधारित प्रश्नों में जरूरी है। / The symbol \(\ge\) means greater than or equal to. Accurate reading of symbols is essential in word-based questions.
दोनों पक्षों में (4) जोड़ने से क्रम नहीं बदलता। इसलिए (x+4<y+4) रहेगा। / Adding (4) to both sides does not change the order. Hence (x+4<y+4) remains true.
(2) से भाग देने पर (x-3>4) और फिर (x>7) मिलता है। कोष्ठक वाले प्रश्न में पहले सरल रूप बनाएँ। / Dividing by (2) gives (x-3>4), then (x>7). In bracket questions simplify first.
सरलीकरण से \(3x+6\le 2x+11\) और \(x\le 5\) मिलता है। समान पदों को ठीक से मिलाएँ। / Simplifying gives \(3x+6\le 2x+11\), hence \(x\le 5\). Combine like terms carefully.
किसी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं होता इसलिए \(x^2\ge 0\) हमेशा सत्य है। यह असमानता का मूल विचार समझाता है। / The square of a real number is never negative, so \(x^2\ge 0\) is always true. This shows a basic idea of inequalities.
\(\le\) में बराबरी शामिल होती है इसलिए (x=5) मान्य है। सख्त चिन्हों (<) और (>) में सीमा शामिल नहीं होती। / The symbol \(\le\) includes equality, so (x=5) is allowed. Strict signs (<) and (>) do not include the boundary.
दोनों पक्षों में (7) जोड़ने पर \(x\ge 5\) मिलता है। जोड़ से असमानता की दिशा नहीं बदलती। / Adding (7) to both sides gives \(x\ge 5\). Addition does not change the direction of inequality.
(10) घटाने पर (-2x<-6) और (-2) से भाग देने पर (x>3) होता है। ऋणात्मक भाग चिन्ह पलट देता है। / Subtracting (10) gives (-2x<-6), and dividing by (-2) gives (x>3). Negative division reverses the sign.
(1<x) में (1) शामिल नहीं है जबकि (6) शामिल है। इसलिए (x=1) संभव नहीं है। / In (1<x), the value (1) is not included, while (6) is included. Therefore (x=1) is not possible.
(\(- \infty,2]\) में (2) शामिल है और उससे छोटी सभी संख्याएँ आती हैं। इसलिए \(x\le 2\) सही है। / The interval (\(- \infty,2]\) includes (2) and all smaller numbers. Hence \(x\le 2\) is correct.
(-2) से भाग देने पर असमानता उलटती है इसलिए \(x\le -5\)। नकारात्मक गुणांक वाले प्रश्न में चिन्ह बदलना अनिवार्य है। / Dividing by (-2) reverses the inequality, so \(x\le -5\). In questions with a negative coefficient, changing the sign is essential.
यह असमानता का संचरण गुण है इसलिए \(a\le c\) निष्कर्ष निकलेगा। श्रृंखला असमानताओं में क्रम को ध्यान से पढ़ें। / This is the transitive property of inequalities, so \(a\le c\) follows. Read the order carefully in chain inequalities.
कम से कम का अर्थ (9) या उससे अधिक होता है इसलिए \(x\ge 9\) है। शब्दों वाले प्रश्नों में कम से कम को \(\ge\) से जोड़ें। / At least means (9) or more, so the inequality is \(x\ge 9\). In word problems connect at least with \(\ge\).
(4) घटाने पर \(-5x\ge -15\) मिलता है और (-5) से भाग देने पर \(x\le 3\) होगा। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह उलटें। / Subtracting (4) gives \(-5x\ge -15\), and dividing by (-5) gives \(x\le 3\). Reverse the sign when dividing by a negative number.
संभव मान (2,3,4,5,6) हैं इसलिए कुल (5) पूर्णांक हैं। बंद और खुली सीमा को अलग-अलग जाँचें। / The possible values are (2,3,4,5,6), so there are (5) integers. Check closed and open endpoints separately.
(-4) शामिल नहीं है इसलिए खुला ब्रैकेट और (1) शामिल है इसलिए बंद ब्रैकेट लगेगा। अंतराल लिखते समय सीमा चिन्ह ध्यान से पढ़ें। / The value (-4) is not included so use an open bracket, and (1) is included so use a closed bracket. Read endpoint symbols carefully while writing intervals.
(2x) घटाने और (4) घटाने पर (3x>-12) मिलता है इसलिए (x>-4)। चर वाले पदों को पहले एक तरफ लाएँ। / Subtracting (2x) and (4) gives (3x>-12), so (x>-4). Bring variable terms to one side first.
वाक्य में (t) से (6) घटाने और \(\le\) की बात है इसलिए \(t-6\le 14\) बनेगा। शब्दों को प्रतीकों में बदलते समय क्रम न बदलें। / The statement says subtract (6) from (t) and use \(\le\), so it becomes \(t-6\le 14\). Do not change the order while translating words into symbols.
सभी भागों को धनात्मक (3) से भाग देने पर \(-2\le x<4\) मिलता है। धनात्मक भाग में असमानता के चिन्ह नहीं बदलते। / Dividing all parts by positive (3) gives \(-2\le x<4\). Inequality signs do not change when dividing by a positive number.
(r<s) को (-2) से गुणा करने पर चिन्ह उलटकर (-2r>-2s) होता है फिर (7) जोड़ने से दिशा वही रहती है। मिश्रित रूपांतरण में हर चरण का चिन्ह जाँचें। / Multiplying (r<s) by (-2) reverses the sign to (-2r>-2s), and adding (7) keeps the direction. Check the sign at every step in mixed transformations.
(4) से गुणा करने पर \(x+5\ge 8\) और फिर \(x\ge 3\) मिलता है। धनात्मक हर हटाने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by (4) gives \(x+5\ge 8\), then \(x\ge 3\). Removing a positive denominator does not change the sign.
हल \(3-4x<-9\Rightarrow -4x<-12\Rightarrow x>3\) नहीं बल्कि (x>3) में (x=3) शामिल नहीं होता। सही जाँच में कोई दिया मान हल नहीं है। / The solution is \(3-4x<-9\Rightarrow -4x<-12\Rightarrow x>3\), so (x=3) is not included. None of the listed values satisfies the inequality.
