Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यहाँ (f(2)=1) और (g(2)=5), इसलिए (h(2)=2\cdot1-5=-3)। परीक्षा में पहले अलग-अलग फलनों का मान निकालें, फिर बीजगणितीय क्रिया करें। / Here (f(2)=1) and (g(2)=5), so (h(2)=2\cdot1-5=-3). In exams, first find individual function values, then apply the algebraic operation.
((f-g)(x)=f(x)-g(x)), इसलिए (4x-7-(x+2)=3x-9)। ऋण चिह्न को पूरे (g(x)) पर लगाएं। / ((f-g)(x)=f(x)-g(x)), so (4x-7-(x+2)=3x-9). Apply the minus sign to the whole (g(x)).
(f(x)) के लिए \(x\geq1\) और (g(x)) के लिए \(x\neq3\), इसलिए (fg) का प्रांत \([1,\infty\)-{3}) है। उत्पाद के प्रांत में दोनों फलनों के प्रांतों का प्रतिच्छेद लें। / For (f(x)), \(x\geq1\), and for (g(x)), \(x\neq3\), so the domain of (fg) is \([1,\infty\)-{3}). For product domains, take the intersection of the domains of both functions.
(\frac{x-2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3), लेकिन (x=3) हटेगा। भाग में हर शून्य न हो। / (\frac{x-2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3), but (x=3) is excluded. In division, the denominator must not be zero.
दोनों मूलों के लिए \(x-2\ge 0\) और \(5-x\ge 0\), इसलिए \(2\le x\le 5\)। जोड़ में डोमेन प्रतिच्छेद होता है। / For both roots, \(x-2\ge 0\) and \(5-x\ge 0\), so \(2\le x\le 5\). For a sum, take the intersection of domains.
हर में \(x-1\ne 0\) और \(x+2\ne 0\), इसलिए \(x\ne 1,-2\)। जोड़ के लिए दोनों फलनों का साझा डोमेन लें। / The denominators require \(x-1\ne 0\) and \(x+2\ne 0\), so \(x\ne 1,-2\). For addition, use the common domain of both functions.
(f(3)=10) और (g(3)=1), इसलिए ((fg)(3)=10)। पहले अलग-अलग मान निकालना सुरक्षित रहता है। / (f(3)=10) and (g(3)=1), so ((fg)(3)=10). It is safer to find each value first.
(f(-2)=-5) और (g(-2)=4), इसलिए योग (-1) है। ऋणात्मक संख्या का वर्ग धनात्मक होता है। / (f(-2)=-5) and (g(-2)=4), so the sum is (-1). The square of a negative number is positive.
((f-g)(x)=x-2-3x=x(x-3)), इसलिए (x=0) या (x=3)। शून्य गुणनफल नियम याद रखें। / ((f-g)(x)=x-2-3x=x(x-3)), so (x=0) or (x=3). Remember the zero product rule.
((f+g)(x)=3x+3) और ((fg)(x)=(x+4)(2x-1)=2x-2+7x-4)। पहले दोनों पक्ष अलग लिखें। / ((f+g)(x)=3x+3) and ((fg)(x)=(x+4)(2x-1)=2x-2+7x-4). Write both sides separately first.
(g(x)) सभी वास्तविक (x) पर परिभाषित है, पर (f(x)) में \(x-2\ne 0\) चाहिए। गुणन में भी साझा डोमेन लेते हैं। / (g(x)) is defined for all real (x), but (f(x)) needs \(x-2\ne 0\). For product also, take the common domain.
भाग में (g(x)\ne 0) चाहिए, इसलिए \(x+1\ne 0\) और \(x\ne -1\)। अंश शून्य हो सकता है। / In division, (g(x)\ne 0), so \(x+1\ne 0\) and \(x\ne -1\). The numerator may be zero.
स्थिर फलन (3) पूरे (g(x)) से गुणा होगा। इसलिए ((fg)(x)=3\(x^2-2x\)=3x-2-6x)। / The constant function (3) multiplies the whole (g(x)). Thus ((fg)(x)=3\(x^2-2x\)=3x-2-6x).
(f(-4)=|-4|=4) और (g(-4)=-4), इसलिए योग (0) है। मापांक हमेशा अऋणात्मक होता है। / (f(-4)=|-4|=4) and (g(-4)=-4), so the sum is (0). Modulus is always non-negative.
((fg)(x)=\frac{1}{x}\cdot x-2=x), पर मूल डोमेन में \(x\ne 0\) रहेगा। सरल करने से हटे प्रतिबंध वापस नहीं आते। / ((fg)(x)=\frac{1}{x}\cdot x-2=x), but the original domain keeps \(x\ne 0\). Restrictions do not disappear after simplification.
समान \(x^2\) पद कट जाते हैं और (2x-(-2x)=4x)। ऋण चिह्न के कारण दूसरा पद बदलता है। / The \(x^2\) terms cancel and (2x-(-2x)=4x). The minus sign changes the second term.
(f(2)=5) और (g(2)=3), इसलिए ((f+g)(2)=8)। मान निकालते समय (x) की जगह (2) रखें। / (f(2)=5) and (g(2)=3), so ((f+g)(2)=8). Substitute (2) for (x) carefully.
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) और हर के लिए \(x\ne 4\) चाहिए। दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / \(\sqrt{x}\) needs \(x\ge 0\), and the denominator needs \(x\ne 4\). Take the intersection of both conditions.
(x-2+4x+4=(x+2)2), इसलिए भागफल (x+2) है और (x=-2) हटेगा। वर्ग पहचान उपयोगी है। / (x-2+4x+4=(x+2)2), so the quotient is (x+2) and (x=-2) is excluded. The square identity is useful.
(f(0)=-3) और (g(0)=5), इसलिए गुणनफल (-15) है। (x=0) रखने पर स्थिर पद बचते हैं। / (f(0)=-3) and (g(0)=5), so the product is (-15). When (x=0), constant terms remain.
सरल रूप \(\frac{x}{x+1}\) है, पर मूल हरों से \(x\ne 1,-1\) रहेगा। कटे हुए गुणनखंड का प्रतिबंध भी याद रखें। / The simplified form is \(\frac{x}{x+1}\), but original denominators keep \(x\ne 1,-1\). Remember restrictions from cancelled factors too.
(2x+(x+3)-(x-1)=2x+4)। तीन फलनों में भी समान पद जोड़ना ही मुख्य काम है। / (2x+(x+3)-(x-1)=2x+4). Even with three functions, combining like terms is the key step.
समीकरण \(x^2+2=2x^2\) से \(x^2=2\), इसलिए \(x=\pm\sqrt{2}\)। दोनों पक्षों को बराबर रखकर हल करें। / The equation \(x^2+2=2x^2\) gives \(x^2=2\), so \(x=\pm\sqrt{2}\). Equate both expressions and solve.
\(\frac{x^2-1}{x+1}=x-1\), अतः (x=2) पर मान (1) नहीं बल्कि \(\frac{3}{3}\) से (1) होता है। सही गणना में (f(2)=3) और (g(2)=3), इसलिए मान (1) है। / \(\frac{x^2-1}{x+1}=x-1\), so at (x=2) the value is (1). Directly, (f(2)=3) and (g(2)=3), so the value is (1).
दोनों वर्गमूल परिभाषित होने चाहिए, इसलिए \(x\ge -1\) और \(x\ge 3\)। साझा डोमेन \([3,\infty\)) है। / Both square roots must be defined, so \(x\ge -1\) and \(x\ge 3\). The common domain is \([3,\infty\)).
(x-2+3x+2=(x+1)(x+2)), इसलिए भागफल (x+2) है। हर का शून्य मान पहले हटाएं। / (x-2+3x+2=(x+1)(x+2)), so the quotient is (x+2). Exclude the zero of the denominator first.
((f+g)(x)=2x) और ((f-g)(x)=4), इसलिए गुणनफल (8x) है। संयुक्त अभिव्यक्ति को चरणों में हल करें। / ((f+g)(x)=2x) and ((f-g)(x)=4), so the product is (8x). Solve combined expressions step by step.
(x-2-4=(x-2)(x+2)), इसलिए \(x\ne 2,-2\)। गुणा के बाद कटाव दिखे तो भी मूल डोमेन न भूलें। / (x-2-4=(x-2)(x+2)), so \(x\ne 2,-2\). Even if cancellation appears after multiplication, do not forget the original domain.
((f+g)(x)=x-2+1+2x=x-2+2x+1)। पदों का क्रम बदलने से मान नहीं बदलता। / ((f+g)(x)=x-2+1+2x=x-2+2x+1). Changing the order of terms does not change the value.
(\frac{(x-2)2}{x-2}=x-2), इसलिए (x=5) पर मान (3) है। पहले सरल करें, फिर मान रखें। / (\frac{(x-2)2}{x-2}=x-2), so at (x=5) the value is (3). Simplify first, then substitute.
(f(1)=1) और (g(1)=5), इसलिए ((fg)(1)=5)। गुणनफल फलन में मानों को गुणा करें। / (f(1)=1) and (g(1)=5), so ((fg)(1)=5). In a product function, multiply the values.
गुणन से (x+2) मिलता है, लेकिन (f(x)) के कारण \(x\ne 3\) रहेगा। मूल फलन की शर्तें हमेशा जांचें। / Multiplication gives (x+2), but \(x\ne 3\) remains because of (f(x)). Always check the original function conditions.
((f-g)(x)=x-3-x=x\(x^2-1\)=x(x-1)(x+1))। अंतर वर्ग पहचान का उपयोग करें। / ((f-g)(x)=x-3-x=x\(x^2-1\)=x(x-1)(x+1)). Use the difference of squares identity.
(2x) और (-2x) कट जाते हैं, इसलिए योग (10) है। विपरीत पदों को पहचानना समय बचाता है। / (2x) and (-2x) cancel, so the sum is (10). Identifying opposite terms saves time.
(\frac{(x+3)2}{x+3}=x+3), इसलिए (x=0) पर मान (3) है। प्रतिबंध \(x\ne -3\) साथ रखें। / (\frac{(x+3)2}{x+3}=x+3), so at (x=0) the value is (3). Keep the restriction \(x\ne -3\).
हर में \(\sqrt{x-1}\) है, इसलिए (x-1>0) चाहिए। अतः डोमेन (\(1,\infty\)) है। / The denominator has \(\sqrt{x-1}\), so (x-1>0) is needed. Hence the domain is (\(1,\infty\)).
((f+g)(x)=x-2+x+1), इसलिए (x=a) रखने पर \(a^2+a+1\)। चर बदलने पर नियम वही रहता है। / ((f+g)(x)=x-2+x+1), so putting (x=a) gives \(a^2+a+1\). The rule stays the same when the variable changes.
(x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), इसलिए भागफल (x-3) है। गुणनखंड बनाना भागफल में मदद करता है। / (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), so the quotient is (x-3). Factorisation helps in quotient problems.
गुणनफल (1) है, पर (g(x)) के हर के कारण \(x\ne -1\)। सरल रूप के साथ डोमेन लिखना जरूरी है। / The product is (1), but \(x\ne -1\) because of the denominator of (g(x)). It is important to write the domain with the simplified form.
((g-f)(x)=2x-2-1-\(x^2+2\)=x-2-3)। क्रम बदलने से घटाव का उत्तर बदल सकता है। / ((g-f)(x)=2x-2-1-\(x^2+2\)=x-2-3). Changing the order can change the subtraction result.
गुणनफल (1) बनता है, पर मूल हरों से \(x\ne -3,2\) है। डोमेन हमेशा मूल फलनों से तय करें। / The product becomes (1), but original denominators give \(x\ne -3,2\). Always decide the domain from the original functions.
वर्गमूल के लिए \(4-x\ge 0\), यानी \(x\le 4\), और हर के लिए \(x\ne 0\)। दोनों शर्तें साथ लें। / The square root needs \(4-x\ge 0\), i.e. \(x\le 4\), and the denominator needs \(x\ne 0\). Take both conditions together.
(f(-1)=-1) और (g(-1)=-7), इसलिए गुणनफल (7) है। दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणन धनात्मक होता है। / (f(-1)=-1) and (g(-1)=-7), so the product is (7). The product of two negative numbers is positive.
(f(x)=(x-1)2) और (g(x)=-(x-1)), इसलिए भागफल (-(x-1)=1-x) है। चिह्न पर विशेष ध्यान दें। / (f(x)=(x-1)2) and (g(x)=-(x-1)), so the quotient is (-(x-1)=1-x). Pay special attention to the sign.
