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बंद बिंदु ( -4 ) को शामिल करता है और खुला बिंदु ( 3 ) को नहीं। परीक्षा में खुले और बंद बिंदु पहले पहचानें। / The closed dot includes ( -4 ) and the open dot excludes ( 3 ). In exams, identify open and closed endpoints first.
हल करने पर ( -5<2x-3<5 ), इसलिए ( -1<x<4 ) मिलता है। सख्त असमानता में दोनों सिरे खुले रखें। / Solving gives ( -5<2x-3<5 ), so ( -1<x<4 ). Keep both endpoints open for a strict inequality.
खुला बिंदु ( 2 ) को हटाता है और दाईं दिशा बड़े मान दिखाती है। तीर की दिशा से असमानता का चिन्ह तय करें। / The open dot excludes ( 2 ) and the right arrow shows greater values. Use the arrow direction to decide the inequality sign.
साझा भाग \( 1<x\le 5 \) है। प्रतिच्छेद में केवल दोनों में आने वाला हिस्सा लें। / The common part is \( 1<x\le 5 \). In an intersection, take only the part present in both regions.
C. ( -7 ) और ( -1 ) पर बंद बिंदु, बीच में छाया/Closed dots at ( -7 ) and ( -1 ), shaded between
Explanation
Simple Explanation
दोनों ओर \( \le \) है इसलिए दोनों सिरों पर बंद बिंदु होंगे। संयुक्त असमानता में दोनों चिह्न अलग-अलग जांचें। / Both sides have \( \le \), so both endpoints are closed. In compound inequalities, check both signs separately.
C. \( x\le 3 \), ( 3 ) पर बंद बिंदु और बाईं ओर छाया/\( x\le 3 \), closed at ( 3 ), shaded left
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर \( 5-3x\ge -4 \), फिर \( -3x\ge -9 \) से \( x\le 3 \) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर चिन्ह पलटें। / Solving gives \( 5-3x\ge -4 \), then \( -3x\ge -9 \) gives \( x\le 3 \). Reverse the sign when dividing by a negative.
( -2 ) शामिल नहीं है पर ( 6 ) शामिल है। खुले बिंदु के लिए सख्त असमानता रखें। / ( -2 ) is not included but ( 6 ) is included. Use a strict inequality for an open dot.
पूरक लेने पर ( -2 ) हट जाता है और ( 6 ) शामिल हो जाता है। पूरक में खुले और बंद सिरों की प्रकृति बदलती है। / Taking the complement removes ( -2 ) and includes ( 6 ). In complements, open and closed endpoint behavior changes.
A. ( 5 ) पर खुला बिंदु और बाईं ओर छाया/Open dot at ( 5 ) and shading to the left
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर ( x<5 ) मिलता है इसलिए ( 5 ) खुला रहेगा और बाईं ओर छाया होगी। पहले सीमा मान निकालें फिर दिशा देखें। / Solving gives ( x<5 ), so ( 5 ) is open and the shading is leftward. First find the boundary point, then check direction.
हल करने पर \( 6\le 3x<15 \), इसलिए \( 2\le x<5 \) मिलता है। संयुक्त असमानता में सभी भागों पर समान क्रिया करें। / Solving gives \( 6\le 3x<15 \), so \( 2\le x<5 \). Apply the same operation to every part of a compound inequality.
B. \( x\le -4 \), ( -4 ) पर बंद बिंदु और बाईं ओर छाया/\( x\le -4 \), closed at ( -4 ), shaded left
Explanation
Simple Explanation
ऋणात्मक संख्या ( -2 ) से भाग देने पर चिन्ह पलटता है और \( x\le -4 \) मिलता है। ऋणात्मक से गुणा या भाग करते समय चिन्ह बदलना न भूलें। / Dividing by negative ( -2 ) reverses the sign and gives \( x\le -4 \). Do not forget to reverse the sign when multiplying or dividing by a negative.
A. ( x<-3 ) या \( x\ge 4 \)/( x<-3 ) or \( x\ge 4 \)
Explanation
Simple Explanation
पहले भाग में ( -3 ) शामिल नहीं है और दूसरे भाग में ( 4 ) शामिल है। अलग-अलग छाया हो तो सामान्यतः ( या ) का उपयोग होता है। / The first part excludes ( -3 ), and the second part includes ( 4 ). Separate shaded regions usually indicate an OR statement.
A. ( 7 ) पर बंद बिंदु और दाईं ओर छाया/Closed dot at ( 7 ), shaded right
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर \( x\ge 7 \) आता है इसलिए ( 7 ) बंद रहेगा। \( \ge \) में सीमा बिंदु शामिल होता है। / Solving gives \( x\ge 7 \), so ( 7 ) is closed. A \( \ge \) sign includes the boundary point.
बाईं ओर छाया छोटे मान दिखाती है और बंद बिंदु बराबरी दिखाता है। दिशा और बिंदु के प्रकार को साथ पढ़ें। / Left shading shows smaller values, and a closed dot shows equality. Read the direction and dot type together.
A. ( -6 ) पर खुला बिंदु, ( 1 ) पर बंद बिंदु, बीच में छाया/Open at ( -6 ), closed at ( 1 ), shaded between
Explanation
Simple Explanation
गोल कोष्ठक ( -6 ) को हटाता है और वर्ग कोष्ठक ( 1 ) को शामिल करता है। अंतराल चिन्हों को सीधे बिंदु के प्रकार से जोड़ें। / The round bracket excludes ( -6 ), and the square bracket includes ( 1 ). Connect interval brackets directly with dot types.
A. ( x>-5 ), ( -5 ) पर खुला बिंदु और दाईं ओर छाया/( x>-5 ), open at ( -5 ), shaded right
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर ( -3x<15 ), इसलिए ( x>-5 ) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर दिशा पलटती है। / Solving gives ( -3x<15 ), so ( x>-5 ). Division by a negative reverses the direction.
\( [0,\infty\) ) में ( 0 ) शामिल है और सभी बड़े मान शामिल हैं। \( \infty \) पर कभी बंद बिंदु नहीं लगाया जाता। / \( [0,\infty\) ) includes ( 0 ) and all larger values. Infinity never gets a closed endpoint.
दोनों चिह्न ( < ) हैं इसलिए दोनों सीमा मान शामिल नहीं हैं। सख्त असमानता हमेशा खुला बिंदु देती है। / Both signs are ( < ), so both boundary values are excluded. A strict inequality always gives an open dot.
हल करने पर \( 4\le x+4<14 \), इसलिए \( 0\le x<10 \)। सभी तीन भागों पर समान क्रिया करें। / Solving gives \( 4\le x+4<14 \), hence \( 0\le x<10 \). Apply the same operation to all three parts.
दोनों सिरे खुले हैं इसलिए दोनों मान हटेंगे। खुले सिरों के लिए गोल कोष्ठक लिखें। / Both endpoints are open, so both values are excluded. Use round brackets for open endpoints.
A. \( x\le -4 \), बंद बिंदु ( -4 ), बाईं ओर छाया/\( x\le -4 \), closed at ( -4 ), shaded left
Explanation
Simple Explanation
सरलीकरण से \( 2x\le -8 \), अतः \( x\le -4 \)। \( \le \) सीमा बिंदु को शामिल करता है। / Simplification gives \( 2x\le -8 \), so \( x\le -4 \). The sign \( \le \) includes the boundary point.
B. ( -2 ) और ( 4 ) पर बंद बिंदु, बाहर की ओर छाया/Closed at ( -2 ) and ( 4 ), shaded outside
Explanation
Simple Explanation
( (-2,4) ) का पूरक ( \(-\infty,-2]\cup[4,\infty\) ) है। पूरक लेते समय खुले सिरे बंद हो जाते हैं। / The complement of ( (-2,4) ) is ( \(-\infty,-2]\cup[4,\infty\) ). When taking a complement, open endpoints become closed.
बंद बिंदु \( \frac{3}{2} \) को शामिल करता है और बाईं छाया छोटे मान दिखाती है। भिन्न सीमा को भी सामान्य सीमा की तरह पढ़ें। / The closed dot includes \( \frac{3}{2} \), and left shading shows smaller values. Read fractional boundaries like ordinary boundaries.
हल करने पर \( -2\le 2x<10 \), इसलिए \( -1\le x<5 \)। सीमा चिह्नों को अंत तक सुरक्षित रखें। / Solving gives \( -2\le 2x<10 \), so \( -1\le x<5 \). Preserve endpoint signs throughout the solution.
B. ( 6 ) पर बंद बिंदु और बाईं ओर छाया/Closed dot at ( 6 ), shaded left
Explanation
Simple Explanation
( 6 ) शामिल है और उससे छोटे सभी मान शामिल हैं। \( -\infty \) दिशा बताता है, कोई वास्तविक बिंदु नहीं। / ( 6 ) is included and all smaller values are included. \( -\infty \) indicates direction, not a real endpoint.
कोई संख्या एक साथ ( -1 ) से छोटी या बराबर और ( 3 ) से बड़ी नहीं हो सकती। ( और ) में दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद लें। \(/ No number can be both ( \le -1 ) and ( >3 ) at the same time. For AND, take the intersection of the conditions.\)
दोनों बंद सिरे \( \le \) के साथ लिखे जाते हैं। भिन्नों की स्थिति संख्या रेखा पर क्रम से लगाएं। / Both closed endpoints are written with \( \le \). Place fractions on the number line in their correct order.
C. \( x\ge 3 \), ( 3 ) पर बंद बिंदु और दाईं ओर छाया/\( x\ge 3 \), closed at ( 3 ), shaded right
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर \( -2x\le -6 \), इसलिए \( x\ge 3 \)। ऋणात्मक से भाग देने पर असमानता का चिन्ह पलटता है। / Solving gives \( -2x\le -6 \), so \( x\ge 3 \). Dividing by a negative reverses the inequality sign.
A. ( 1 ) खुला, ( 4 ) बंद, ( 6 ) खुला, ( 9 ) खुला, दोनों अंतरालों में छाया/( 1 ) open, ( 4 ) closed, ( 6 ) open, ( 9 ) open, both intervals shaded
Explanation
Simple Explanation
संघ में दोनों अलग-अलग अंतराल छायांकित होते हैं। हर अंतराल के अपने खुले या बंद सिरे अलग से देखें। / In a union, both separate intervals are shaded. Check the open or closed endpoints of each interval separately.
A. ( 3 ) पर खुला बिंदु और दाईं ओर छाया/Open dot at ( 3 ), shaded right
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर ( 2x>6 ), इसलिए ( x>3 )। ( > ) में सीमा बिंदु खुला रहता है। / Solving gives ( 2x>6 ), so ( x>3 ). With ( > ), the boundary point remains open.
( -10 ) बाहर है और ( -4 ) अंदर है। छोटे से बड़े क्रम में अंतराल लिखना जरूरी है। / ( -10 ) is excluded and ( -4 ) is included. It is important to write intervals from smaller to larger values.
हल करने पर \( 8\le 4x\le 16 \), इसलिए \( 2\le x\le 4 \)। दोनों \( \le \) होने से दोनों सिरे बंद होंगे। / Solving gives \( 8\le 4x\le 16 \), so \( 2\le x\le 4 \). Since both signs include equality, both endpoints are closed.
दोनों क्षेत्रों का समान भाग \( -5\le x<-2 \) है। प्रतिच्छेद में केवल साझा छाया रखें। / The common part of both regions is \( -5\le x<-2 \). In an intersection, keep only the shared shading.
A. \( x\ge 4 \), ( 4 ) पर बंद बिंदु और दाईं ओर छाया/\( x\ge 4 \), closed at ( 4 ), shaded right
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर \( 3-2x\le -5 \), फिर \( -2x\le -8 \) से \( x\ge 4 \) मिलता है। अंतिम ऋणात्मक भाग से दिशा बदलती है। / Solving gives \( 3-2x\le -5 \), then \( -2x\le -8 \) gives \( x\ge 4 \). The final negative division reverses the direction.
साझा क्षेत्र \( -6\le x<1 \) है। ( और ) में ओवरलैप वाला भाग ही उत्तर होता है। \(/ The common region is ( -6\le x<1 ). For AND, the overlapping part is the answer.\)
B. \( -\frac{1}{3} \) बंद, \( \frac{2}{3} \) खुला/Closed at \( -\frac{1}{3} \), open at \( \frac{2}{3} \)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग कोष्ठक \( -\frac{1}{3} \) को शामिल करता है और गोल कोष्ठक \( \frac{2}{3} \) को हटाता है। मिश्रित अंतराल में दोनों सिरों को अलग पढ़ें। / The square bracket includes \( -\frac{1}{3} \), and the round bracket excludes \( \frac{2}{3} \). Read both endpoints separately in a mixed interval.
( -2 ) बंद है इसलिए \( \le \), और ( 5 ) खुला है इसलिए ( < )। बाईं सीमा और दाईं सीमा के चिन्ह अलग तय करें। / ( -2 ) is closed, so use \( \le \), and ( 5 ) is open, so use ( < ). Decide the left and right endpoint signs separately.
हल करने पर ( 4<-4x<16 ), फिर ऋणात्मक से भाग देकर ( -1>x>-4 ) मिलता है। क्रम में ( -4<x<-1 ) लिखें। / Solving gives ( 4<-4x<16 ), and division by a negative gives ( -1>x>-4 ). In order, write ( -4<x<-1 ).
पूरी संख्या रेखा छायांकित है लेकिन ( 2 ) हटाया गया है। बीच में खुला छेद \( \ne \) का संकेत देता है। / The whole number line is shaded except ( 2 ). An open hole in the middle indicates \( \ne \).
A. \( x\ge 16 \), ( 16 ) पर बंद बिंदु और दाईं ओर छाया/\( x\ge 16 \), closed at ( 16 ), shaded right
Explanation
Simple Explanation
सरलीकरण से \( 3x-6\ge 2x+10 \), अतः \( x\ge 16 \)। सीमा सहित असमानता में बंद बिंदु लगाएं। / Simplifying gives \( 3x-6\ge 2x+10 \), hence \( x\ge 16 \). Use a closed dot when equality is included.
A. \( -\frac{1}{2} \) खुला, \( \frac{5}{4} \) बंद, बीच में छाया/Open at \( -\frac{1}{2} \), closed at \( \frac{5}{4} \), shaded between
Explanation
Simple Explanation
बाईं ओर ( < ) है इसलिए खुला और दाईं ओर \( \le \) है इसलिए बंद। भिन्न सीमा पर भी वही नियम लागू होता है। / The left sign is ( < ), so it is open, and the right sign is \( \le \), so it is closed. The same rule applies to fractional endpoints.
साझा भाग ( -1<x<0 ) है क्योंकि ( -1 ) दूसरे अंतराल में खुला है और ( 0 ) पहले में खुला है। प्रतिच्छेद में कमजोर नहीं, साझा सीमा लें। / The common part is ( -1<x<0 ) because ( -1 ) is open in the second interval and ( 0 ) is open in the first. In intersection, keep the common limits precisely.
A. ( x<-9 ), ( -9 ) पर खुला बिंदु और बाईं ओर छाया/( x<-9 ), open at ( -9 ), shaded left
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर \( -\frac{x}{3}>3 \), इसलिए ( -x>9 ) और ( x<-9 )। ( -1 ) से गुणा करने पर दिशा पलटती है। / Solving gives \( -\frac{x}{3}>3 \), so ( -x>9 ) and ( x<-9 ). Multiplication by ( -1 ) reverses the direction.
A. ( 2 ) और ( 5 ) बंद, ( 3 ) पर खुला छेद, बाकी भाग छायांकित/Closed at ( 2 ) and ( 5 ), open hole at ( 3 ), rest shaded
Explanation
Simple Explanation
अंतराल ( [2,5] ) में से केवल ( 3 ) हटाया गया है। हटाए गए बिंदु को खुले छेद से दिखाएं। / Only ( 3 ) is removed from the interval ( [2,5] ). Show the removed point by an open hole.
C. सिर्फ ( 1 ) पर बंद बिंदु/Only a closed dot at ( 1 )
Explanation
Simple Explanation
दोनों शर्तें एक साथ केवल ( x=1 ) पर सत्य हैं। जब दो किरणें सिर्फ सीमा पर मिलें, तो एक बंद बिंदु बनता है। / Both conditions are true together only at ( x=1 ). When two rays meet only at the boundary, the result is one closed dot.
चार से गुणा करने पर \( -20<x-2\le 0 \), इसलिए \( -18<x\le 2 \)। धनात्मक से गुणा करने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by ( 4 ) gives \( -20<x-2\le 0 \), so \( -18<x\le 2 \). Multiplication by a positive number does not reverse signs.
दोनों अंतराल मिलकर ( -7 ) सहित पूरी संख्या रेखा को ढकते हैं। संघ में ढके हुए सभी भाग शामिल होते हैं। / The two intervals together cover the entire number line including ( -7 ). In a union, all covered regions are included.
पहली असमानता से ( x<4 ) और दूसरी से \( x\ge -2 \) मिलता है। दोनों साथ सत्य हों तो \( -2\le x<4 \) छायांकित करें। / The first inequality gives ( x<4 ), and the second gives \( x\ge -2 \). If both must be true, shade \( -2\le x<4 \).
