Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. (3) पर खाली वृत्त और दाईं ओर किरण/Open circle at (3) and ray to the right
Explanation
Simple Explanation
चिह्न (>) में सीमा संख्या शामिल नहीं होती इसलिए खाली वृत्त बनता है। परीक्षा में दिशा हमेशा बड़ी संख्याओं की ओर देखें। / The sign (>) does not include the boundary so an open circle is used. In exams check the direction toward greater numbers.
B. (-2) पर भरा वृत्त और बाईं ओर छायांकन/Closed circle at (-2) and shading left
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(\le\) में (-2) शामिल है और छोटी संख्याएँ बाईं ओर होती हैं। सीमा शामिल हो तो भरा वृत्त बनाइए। / The sign \(\le\) includes (-2) and smaller numbers lie to the left. Use a closed circle when the endpoint is included.
दोनों भरे वृत्त बताते हैं कि दोनों सीमाएँ शामिल हैं। बीच का भाग संयुक्त असमता देता है। / Both closed circles show that both endpoints are included. The shaded middle part gives a compound inequality.
B. (2) पर खाली वृत्त और (7) पर भरा वृत्त/Open circle at (2) and closed circle at (7)
Explanation
Simple Explanation
गोल कोष्ठक वाली सीमा शामिल नहीं होती और वर्ग कोष्ठक वाली सीमा शामिल होती है। इसलिए (2) खुला और (7) बंद होगा। / A parenthesis endpoint is not included and a square bracket endpoint is included. Therefore (2) is open and (7) is closed.
(x<5) में (5) शामिल नहीं है इसलिए (5) पर गोल कोष्ठक आता है। अनंत के साथ हमेशा गोल कोष्ठक लगाएँ। / In (x<5), (5) is not included so a parenthesis is used at (5). Always use a parenthesis with infinity.
B. (0) पर भरा वृत्त और दाईं ओर किरण/Closed circle at (0) and ray right
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(\ge\) में (0) शामिल है और उससे बड़ी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं। इसलिए भरा वृत्त और दाईं किरण बनती है। / The sign \(\ge\) includes (0), and greater numbers are to the right. So it is a closed circle with a right ray.
खाली वृत्त सीमा को हटाता है और बाईं किरण छोटी संख्याएँ दिखाती है। इसलिए असमता (x<6) है। / The open circle excludes the boundary and the left ray shows smaller numbers. Hence the inequality is (x<6).
([-3,2)) में (-3) शामिल है पर (2) शामिल नहीं है। खुला सिरा उसी संख्या पर बनेगा जो शामिल नहीं है। / In ([-3,2)), (-3) is included but (2) is not. The open endpoint is placed at the number not included.
(1) शामिल नहीं है और (8) शामिल है। इसलिए बायाँ सिरा खुला और दायाँ सिरा बंद होगा। / (1) is not included and (8) is included. So the left endpoint is open and the right endpoint is closed.
भरा वृत्त (-5) को शामिल करता है और दाईं ओर बड़ी संख्याएँ होती हैं। इसलिए \(x\ge -5\) सही है। / The closed circle includes (-5), and the right side has greater numbers. Therefore \(x\ge -5\) is correct.
\(x\le 4\) में (4) शामिल है इसलिए (4) पर वर्ग कोष्ठक आएगा। छोटी संख्याएँ \(-\infty\) की ओर जाती हैं। / In \(x\le 4\), (4) is included so a square bracket is used at (4). Smaller numbers extend toward \(-\infty\).
B. दोनों सिरों पर खाली वृत्त होंगे/Both endpoints have open circles
Explanation
Simple Explanation
गोल कोष्ठक का अर्थ है कि सीमा संख्या शामिल नहीं है। इसलिए (-4) और (3) दोनों पर खाली वृत्त होंगे। / Parentheses mean that boundary numbers are not included. Thus both (-4) and (3) have open circles.
वर्ग कोष्ठक दोनों सीमाओं को शामिल करते हैं। इसलिए दोनों ओर \(\le\) का प्रयोग होगा। / Square brackets include both endpoints. Therefore \(\le\) is used on both sides.
(x>-7) में सीमा (-7) शामिल नहीं है। इसलिए (-7) पर खाली वृत्त बनता है। / In (x>-7), the boundary (-7) is not included. Hence an open circle is drawn at (-7).
चिह्न (<) छोटी संख्याओं को दिखाता है और छोटी संख्याएँ संख्या रेखा पर बाईं ओर होती हैं। दिशा पहचानना पहला कदम है। / The sign (<) shows smaller numbers, and smaller numbers are on the left of the number line. Identifying direction is the first step.
B. (9) पर भरा वृत्त और दाईं ओर/Closed circle at (9) and right side
Explanation
Simple Explanation
\(\ge\) में सीमा शामिल होती है और बड़ी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं। इसलिए भरा वृत्त दाईं किरण के साथ बनेगा। / The sign \(\ge\) includes the boundary and greater numbers lie to the right. So a closed circle with a right ray is drawn.
खाली वृत्त दोनों सीमाओं को बाहर रखते हैं। इसलिए दोनों ओर कठोर असमता लगती है। / Open circles exclude both endpoints. Therefore strict inequalities are used on both sides.
A. (4) पर भरा वृत्त और दाईं ओर किरण/Closed circle at (4) and ray right
Explanation
Simple Explanation
\([4,\infty\)) में (4) शामिल है और आगे सभी बड़ी संख्याएँ हैं। इसलिए भरा वृत्त और दाईं किरण सही है। / The interval \([4,\infty\)) includes (4) and all larger numbers. Hence a closed circle with a right ray is correct.
(-6) शामिल है इसलिए वर्ग कोष्ठक और (1) शामिल नहीं है इसलिए गोल कोष्ठक आएगा। कोष्ठक देखकर सीमा तय करें। / (-6) is included so a square bracket is used, and (1) is not included so a parenthesis is used. Read brackets to decide endpoints.
समीकरण (x=3) केवल एक संख्या को दर्शाता है। एकमात्र मान के लिए भरा बिंदु बनाते हैं। / The equation (x=3) represents only one number. For a single included value, draw a closed point.
खाली वृत्त का अर्थ है सीमा मान समाधान में नहीं है। ऐसे प्रश्नों में वृत्त का प्रकार पहले देखें। / An open circle means the boundary value is not part of the solution. In such questions, check the type of circle first.
A. (b) समाधान में शामिल है/(b) is included in the solution
Explanation
Simple Explanation
भरा वृत्त बताता है कि सीमा संख्या शामिल है। \(\le\) और \(\ge\) में सामान्यतः भरा वृत्त आता है। / A closed circle shows that the boundary number is included. Usually \(\le\) and \(\ge\) use closed circles.
A. (3) पर खाली वृत्त और दाईं ओर किरण/Open circle at (3) and ray right
Explanation
Simple Explanation
(\(3,\infty\)) में (3) शामिल नहीं है और उससे बड़ी संख्याएँ आती हैं। इसलिए खाली वृत्त और दाईं किरण बनती है। / The interval (\(3,\infty\)) does not include (3) and contains larger numbers. So it uses an open circle and a right ray.
B. (-8) पर खाली वृत्त और (-3) पर भरा वृत्त/Open circle at (-8) and closed circle at (-3)
Explanation
Simple Explanation
(-8) शामिल नहीं है लेकिन (-3) शामिल है। इसलिए बायाँ सिरा खुला और दायाँ सिरा बंद रहेगा। / (-8) is not included but (-3) is included. So the left endpoint is open and the right endpoint is closed.
गोल कोष्ठक पर कठोर असमता और वर्ग कोष्ठक पर बराबरी सहित असमता लगती है। इसलिए \(-2<x\le 4\) सही है। / A parenthesis gives a strict inequality and a square bracket gives an inclusive inequality. Therefore \(-2<x\le 4\) is correct.
(x>0) में (0) शामिल नहीं है और सभी धनात्मक संख्याएँ ली जाती हैं। इसलिए (\(0,\infty\)) सही है। / In (x>0), (0) is not included and all positive numbers are taken. Hence (\(0,\infty\)) is correct.
A. सभी संख्या रेखा छायांकित और (2) पर खाली वृत्त/Whole number line shaded with an open circle at (2)
Explanation
Simple Explanation
\(x\ne 2\) में (2) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ आती हैं। हटाए गए बिंदु के लिए खाली वृत्त बनता है। / In \(x\ne 2\), all real numbers except (2) are included. The excluded point is shown by an open circle.
\(-4\le x\) का अर्थ है (x) कम से कम (-4) है। संख्या रेखा पर यह (-4) से दाईं ओर जाएगा। / \(-4\le x\) means (x) is at least (-4). On the number line it goes to the right from (-4).
B. सीमा (10), बाईं दिशा/Boundary (10), left direction
Explanation
Simple Explanation
\(x\le 10\) में सीमा (10) है और उससे छोटी संख्याएँ बाईं ओर होती हैं। बराबरी होने से बिंदु भरा होगा। / In \(x\le 10\), the boundary is (10), and smaller numbers are on the left. Equality means the point is closed.
\([-1,\infty\)) में (-1) और उससे बड़ी संख्याएँ शामिल हैं। इसलिए (-1) शामिल है। / The interval \([-1,\infty\)) includes (-1) and all numbers greater than it. Therefore (-1) is included.
(x<0) में (0) समाधान में शामिल नहीं है। इसलिए (0) पर खाली वृत्त बनेगा। / In (x<0), (0) is not part of the solution. Hence an open circle is drawn at (0).
\(3\le x\) के कारण (3) शामिल है और (x<9) के कारण (9) शामिल नहीं है। इसलिए (3) बंद और (9) खुला होगा। / Because \(3\le x\), (3) is included, and because (x<9), (9) is not included. So (3) is closed and (9) is open.
(x>-2) में (-2) से बड़ी संख्याएँ आती हैं। दिए गए विकल्पों में (-1) ही (-2) से बड़ा है। / In (x>-2), numbers greater than (-2) are included. Among the options, only (-1) is greater than (-2).
(5) शामिल नहीं है इसलिए गोल कोष्ठक लगेगा और छोटी संख्याएँ \(-\infty\) की ओर होंगी। इसलिए (\(-\infty,5\)) सही है। / Since (5) is not included, a parenthesis is used, and smaller numbers extend toward \(-\infty\). Hence (\(-\infty,5\)) is correct.
\(x\le 2\) में (2) तक सभी संख्याएँ और (x>2) में (2) से आगे सभी संख्याएँ आती हैं। दोनों मिलकर पूरी संख्या रेखा बनाते हैं। / \(x\le 2\) includes all numbers up to (2), and (x>2) includes all numbers after (2). Together they form the whole number line.
A. पहले में सिरे बंद हैं और दूसरे में सिरे खुले हैं/The first has closed endpoints and the second has open endpoints
Explanation
Simple Explanation
वर्ग कोष्ठक सीमा को शामिल करता है और गोल कोष्ठक सीमा को बाहर रखता है। यही संख्या रेखा पर खुले या बंद सिरों का अंतर है। / Square brackets include endpoints and parentheses exclude endpoints. This creates the open or closed endpoint difference on the number line.
गोल कोष्ठक (-5) को बाहर रखता है और वर्ग कोष्ठक (-1) को शामिल करता है। इसलिए (-5) शामिल नहीं है। / The parenthesis excludes (-5), while the square bracket includes (-1). Therefore (-5) is not included.
A. पूरी संख्या रेखा छायांकित/Entire number line shaded
Explanation
Simple Explanation
\(x\in \mathbb{R}\) का अर्थ है सभी वास्तविक संख्याएँ। संख्या रेखा पर यह पूरी रेखा को दर्शाता है। / \(x\in \mathbb{R}\) means all real numbers. On the number line it represents the entire line.
\(x\ge -1\) में (-1) और उससे बड़ी संख्याएँ आती हैं। (-2) इससे छोटा है इसलिए समाधान में नहीं है। / In \(x\ge -1\), (-1) and all greater numbers are included. (-2) is smaller, so it is not in the solution.
(\(-\infty,\infty\)) पूरी वास्तविक संख्या रेखा को दर्शाता है। अनंत सीमा नहीं है इसलिए उसके साथ गोल कोष्ठक ही आता है। / (\(-\infty,\infty\)) represents the whole real number line. Infinity is not an endpoint, so parentheses are used with it.
(x< -4) में (-4) शामिल नहीं है और उससे छोटी संख्याएँ ली जाती हैं। इसलिए (\(-\infty,-4\)) सही है। / In (x< -4), (-4) is not included and smaller numbers are taken. Hence (\(-\infty,-4\)) is correct.
A. (0) से (3) के बीच और दोनों सिरे खुले/Between (0) and (3) with both endpoints open
Explanation
Simple Explanation
कठोर असमता में सीमाएँ शामिल नहीं होतीं और बीच का भाग समाधान होता है। इसलिए दोनों सिरे खुले रहेंगे। / Strict inequalities exclude the endpoints and the middle part is the solution. Therefore both endpoints remain open.
B. सिर्फ (7) पर भरा बिंदु/Only a closed point at (7)
Explanation
Simple Explanation
([7,7]) में आरंभ और अंत समान हैं और वह मान शामिल है। इसलिए केवल (7) पर भरा बिंदु बनेगा। / In ([7,7]), the start and end are the same and that value is included. So only a closed point at (7) is drawn.
((7,7)) में कोई संख्या (7) से बड़ी और (7) से छोटी एक साथ नहीं हो सकती। इसलिए यह रिक्त समुच्चय है। / In ((7,7)), no number can be greater than (7) and less than (7) at the same time. So it is an empty set.
\(\le\) में बराबरी शामिल होती है इसलिए सीमा (-6) समाधान में है। शामिल सीमा के लिए भरा वृत्त बनता है। / The sign \(\le\) includes equality, so the boundary (-6) is in the solution. An included boundary is shown by a closed circle.
(-2) बंद है इसलिए वर्ग कोष्ठक और (5) खुला है इसलिए गोल कोष्ठक लगेगा। सही अंतराल ([-2,5)) है। / (-2) is closed so a square bracket is used, and (5) is open so a parenthesis is used. The correct interval is ([-2,5)).
भरा वृत्त (8) को शामिल करता है और बाईं ओर छोटी संख्याएँ होती हैं। इसलिए \(x\le 8\) सही है। / The closed circle includes (8), and the left side has smaller numbers. Therefore \(x\le 8\) is correct.
खाली वृत्त का अर्थ है (-6) शामिल नहीं है और भरा वृत्त बताता है कि (2) शामिल है। इसलिए सही असमता \(-6<x\le 2\) है। / An open circle means (-6) is not included, and a closed circle means (2) is included. Therefore the correct inequality is \(-6<x\le 2\).
