Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
((2,3)) पर (x+2y=8) और (x-y=-1) है। इसलिए यह सीमा पर भी है और दूसरी असमानता को भी पूरा करता है। / At ((2,3)), (x+2y=8) and (x-y=-1). Thus it lies on the boundary and also satisfies the second inequality.
A. हल-क्षेत्र में और सीमा (x+y=5) पर/In the solution region and on the boundary (x+y=5)
Explanation
Simple Explanation
((2,3)) पर (x+y=5) है और बाकी शर्तें भी पूरी हैं। इसलिए यह सीमा पर स्थित हल-बिंदु है। / At ((2,3)), (x+y=5), and the remaining conditions also hold. Therefore it is a solution point on the boundary.
A. यह हल है और सीमा पर है/It is a solution and lies on a boundary
Explanation
Simple Explanation
((9,0)) पर (x+y=9) और (x+2y=9) मिलता है। यह दोनों शर्तें पूरी करता है और एक सीमा पर है। / At ((9,0)), (x+y=9) and (x+2y=9). It satisfies both conditions and lies on a boundary.
((2,4)) पर \(4\cdot2+4=12\) इसलिए यह सीमा पर है। परीक्षा सुझाव: सीमा के लिए असमानता की जगह समीकरण लगाएँ। / At ((2,4)), \(4\cdot2+4=12\), so it lies on the boundary. Exam tip: For boundary checking, replace the inequality by its equation.
C. हल क्षेत्र में है और पहली सीमा पर है/It is in the solution region and on the first boundary
Explanation
Simple Explanation
\(2+2\cdot3=8\) और \(3\cdot2-3=3>1\) इसलिए बिंदु मान्य है। परीक्षा सुझाव: सीमा पर बिंदु तभी हटता है जब असमानता कठोर हो। / Since \(2+2\cdot3=8\) and \(3\cdot2-3=3>1\), the point is valid. Exam tip: A boundary point is excluded only for a strict inequality.
boundary (x+y=3) है और ((1,2)) पर (1+2=3)। परीक्षा में boundary point equality satisfy करता है। / The boundary is (x+y=3), and for ((1,2)), (1+2=3). A boundary point satisfies equality.
A. हाँ, क्योंकि (2+2(3)\le 8)/Yes, because (2+2(3)\le 8)
Explanation
Simple Explanation
(2+6=8), इसलिए बिंदु boundary पर है और शामिल है। परीक्षा में equality आने पर भी \(\le\) में बिंदु मान्य होता है। / (2+6=8), so the point lies on the boundary and is included. Equality is allowed in \(\le\).
C. सीमा रेखा पर और हल में/on boundary and in solution
Explanation
Simple Explanation
((2,3)) रखने पर \(3=2\times 2-1\) मिलता है। बराबरी होने से बिंदु सीमा पर है और \(\le\) के कारण हल में है। / Substituting ((2,3)) gives \(3=2\times 2-1\). Equality places the point on the boundary and it is included because of \(\le\).
A. हल क्षेत्र में और सीमा पर/in solution region and on boundary
Explanation
Simple Explanation
((1,4)) रखने पर (2+4=6) मिलता है। बराबरी होने से बिंदु सीमा पर है और \(\ge\) के कारण शामिल है। / Substituting ((1,4)) gives (2+4=6). Equality puts the point on the boundary and it is included because of \(\ge\).
((4,3)) रखने पर (4+6=10) मिलता है। \(\le\) में सीमा रेखा शामिल होती है। / Substituting ((4,3)) gives (4+6=10). The boundary line is included with \(\le\).
A. हल में शामिल और सीमा पर/included in solution and on boundary
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0\le 0\) सत्य है और बराबरी भी है। इसलिए मूल बिंदु सीमा रेखा पर शामिल है। / Substituting ((0,0)) gives \(0\le 0\), which is true with equality. So the origin is included on the boundary line.
B. सीमा रेखा पर लेकिन हल में शामिल नहीं/on boundary but not included
Explanation
Simple Explanation
((3,0)) पर (3x+y=9) है लेकिन असमानता (<) है। इसलिए सीमा रेखा के बिंदु हल में शामिल नहीं होते। / At ((3,0)), (3x+y=9), but the inequality is (<). Thus boundary points are not included in the solution.
((2,2)) रखने पर (2+4=6) मिलता है। बराबरी होने से बिंदु सीमा रेखा पर है और हल में शामिल है। / Substituting ((2,2)) gives (2+4=6). Equality means the point lies on the boundary and is included.
A. हल में है और सीमा पर है/In solution and on boundary
Explanation
Simple Explanation
((8,0)) रखने पर \(8\leq 8\) सत्य है। बराबरी होने से बिंदु सीमा पर भी है। / Substituting ((8,0)) gives \(8\leq 8\), which is true. Equality means the point is on the boundary.
((3,1)) रखने पर \(6+1\leq 7\) सत्य है। यह सीमा रेखा पर स्थित है। / Substituting ((3,1)) gives \(6+1\leq 7\), which is true. It lies on the boundary line.
((1,2)) रखने पर \(1+2\leq 3\) अर्थात \(3\leq 3\) सत्य है। यह बिंदु सीमा पर भी है। / Substituting ((1,2)) gives \(1+2\leq 3\), so \(3\leq 3\) is true. The point also lies on the boundary.
A. सीमा रेखा पर और हल में/on boundary and in solution
Explanation
Simple Explanation
(0+2(3)=6), इसलिए बिंदु सीमा रेखा पर है। \(\leq\) के कारण यह हल में शामिल है। / (0+2(3)=6), so the point is on the boundary line. Because of \(\leq\), it is included in the solution.
(3(2)+2(3)=12), इसलिए यह सीमा रेखा पर है। रेखा के बिंदु बराबरी को संतुष्ट करते हैं। / (3(2)+2(3)=12), so it lies on the boundary line. Points on the line satisfy equality.
B. सीमा रेखा पर और हल में/On the boundary line and in solution
Explanation
Simple Explanation
((0,2)) रखने पर \(10\leq 10\) सत्य है, इसलिए यह सीमा पर भी है और हल में भी। परीक्षा में \(\leq\) होने पर बराबरी शामिल होती है। / Substituting ((0,2)) gives \(10\leq 10\), true, so it is on the boundary and in the solution. Equality is included for \(\leq\) in exams.
सीमा रेखा (x+y=1) है और ((0,1)) से (0+1=1) मिलता है। परीक्षा में सीमा बिंदु के लिए बराबरी जांचें। / The boundary line is (x+y=1), and ((0,1)) gives (0+1=1). Check equality to identify boundary points in exams.
B. सीमा रेखा पर और हल में/On the boundary line and in the solution
Explanation
Simple Explanation
((2,0)) रखने पर \(4\geq 4\) सत्य है और बराबरी भी है। परीक्षा में \(\geq\) होने पर सीमा बिंदु शामिल होते हैं। / Substituting ((2,0)) gives \(4\geq 4\), true with equality. Boundary points are included when the symbol is \(\geq\).
असमानता में (5) वह संख्या है जहाँ से दिशा तय होती है। परीक्षा में सीमा बिंदु पहले पहचानें। / In the inequality, (5) is the number from which the direction is decided. In exams, identify the boundary point first.
(x>-7) में सीमा (-7) शामिल नहीं है। इसलिए (-7) पर खाली वृत्त बनता है। / In (x>-7), the boundary (-7) is not included. Hence an open circle is drawn at (-7).
(4x>16) से (x>4) मिलता है। इसलिए सीमा बिंदु (4) है और यह शामिल नहीं है। / From (4x>16), we get (x>4). Therefore the boundary point is (4), and it is not included.
