Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(0+0\le 6\) सत्य है, इसलिए मूल बिंदु वाली ओर छायांकित होगी। परीक्षा में हमेशा परीक्षण बिंदु लगाएं। / \(0+0\le 6\) is true, so the side containing origin is shaded. In exams, always use a test point.
क्योंकि असमिका में (>) है, सीमा रेखा शामिल नहीं होती। परीक्षा में (<) और (>) के लिए टूटी रेखा याद रखें। / Since the inequality has (>), the boundary line is not included. Remember dashed lines for (<) and (>).
सीमा रेखा पाने के लिए असमिका चिन्ह को बराबर में बदलते हैं। परीक्षा में पहले boundary line बनाएं। / To get the boundary line, replace the inequality sign by equality. First draw the boundary line in exams.
A. पहले चतुर्थांश में सीमित त्रिभुज/Bounded triangle in first quadrant
Explanation
Simple Explanation
दोनों अक्षों और रेखा (x+y=8) से सीमित त्रिभुज बनता है। परीक्षा में vertices पहचानना उपयोगी है। / The axes and the line (x+y=8) form a bounded triangle. Identifying vertices is useful in exams.
((3,1)) के लिए \(3+1\le 5\) और \(3\ge 1\) दोनों सत्य हैं। परीक्षा में विकल्पों को सीधे substitute करें। / For ((3,1)), both \(3+1\le 5\) and \(3\ge 1\) are true. Substitute options directly in exams.
नीचे का क्षेत्र (y<) देता है और रेखा शामिल नहीं होने से strict inequality होगी। परीक्षा में solid और dashed रेखा देखें। / Below the line gives (y<), and exclusion of the line makes it strict. Check solid or dashed boundary in exams.
(y=0) रखने पर (x=3) और (x=0) रखने पर (y=4) मिलता है। परीक्षा में intercept method graph के लिए तेज है। / Putting (y=0) gives (x=3), and putting (x=0) gives (y=4). The intercept method is quick for graphing.
A. क्योंकि \(0-0\ge 2\) असत्य है/Because \(0-0\ge 2\) is false
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु रखने पर असमिका गलत हो जाती है। परीक्षा में test point से सही half-plane चुनें। / Substituting origin makes the inequality false. Use a test point to choose the correct half-plane.
A. पहला चतुर्थांश सहित अक्ष/First quadrant including axes
Explanation
Simple Explanation
(x) और (y) दोनों non-negative हैं, इसलिए क्षेत्र पहला चतुर्थांश है। परीक्षा में non-negative restrictions को न भूलें। / Both (x) and (y) are non-negative, so the region is the first quadrant. Do not miss non-negative restrictions in exams.
एक ही समय में (x+y) का (2) से कम और (5) से अधिक होना संभव नहीं है। परीक्षा में विरोधी conditions पहचानें। / It is impossible for (x+y) to be at most (2) and at least (5) at the same time. Identify contradictory conditions in exams.
पहले चतुर्थांश में रेखा (x+y=7) के ऊपर का क्षेत्र अनंत तक जाता है। परीक्षा में bounded और unbounded में अंतर करें। / In the first quadrant, the region above (x+y=7) extends infinitely. Distinguish bounded and unbounded regions in exams.
\(\le\) में boundary शामिल होती है, इसलिए रेखा पूर्ण बनेगी। परीक्षा में \(\le\) और \(\ge\) के लिए solid line बनाएं। / The boundary is included in \(\le\), so the line is solid. Draw solid lines for \(\le\) and \(\ge\).
A. हाँ, क्योंकि (2+2(3)\le 8)/Yes, because (2+2(3)\le 8)
Explanation
Simple Explanation
(2+6=8), इसलिए बिंदु boundary पर है और शामिल है। परीक्षा में equality आने पर भी \(\le\) में बिंदु मान्य होता है। / (2+6=8), so the point lies on the boundary and is included. Equality is allowed in \(\le\).
(x) और (y) दोनों सीमित intervals में हैं, इसलिए आयत बनता है। परीक्षा में ऐसी असमिकाओं को vertical और horizontal lines से बनाएं। / Both (x) and (y) lie in bounded intervals, so a rectangle is formed. Use vertical and horizontal lines for such inequalities.
दोनों रेखाओं (2x+y=6) और (x+2y=6) का प्रतिच्छेद ((2,2)) है। परीक्षा में vertices के लिए boundary lines solve करें। / The intersection of (2x+y=6) and (x+2y=6) is ((2,2)). Solve boundary lines to find vertices.
(x<4) में (x) का मान (4) से छोटा होता है, इसलिए बायां क्षेत्र चुना जाता है। परीक्षा में vertical line के लिए left-right सोचें। / In (x<4), (x) is less than (4), so the left side is chosen. For vertical lines, think left-right.
\(y\ge -2\) में boundary शामिल है और ऊपर का भाग लिया जाता है। परीक्षा में horizontal line के लिए above-below देखें। / For \(y\ge -2\), the boundary is included and the region above it is taken. For horizontal lines, check above-below.
(3y<9-x), इसलिए \(y<3-\frac{x}{3}\) होगा। परीक्षा में graph से पहले slope-intercept form मदद करता है। / Since (3y<9-x), we get \(y<3-\frac{x}{3}\). Slope-intercept form helps before graphing.
A. मूल बिंदु वाली ओर सही है/The side containing origin is correct
Explanation
Simple Explanation
\(-0+0\le 1\) सत्य है, इसलिए मूल बिंदु वाली ओर shading होगी। परीक्षा में सरल test point चुनें। / \(-0+0\le 1\) is true, so the side containing origin is shaded. Choose a simple test point in exams.
A. कोई ऐसा बिंदु जो रेखा पर न हो/Any point not lying on the line
Explanation
Simple Explanation
boundary पर स्थित बिंदु shading side नहीं बताता। परीक्षा में रेखा से बाहर का आसान बिंदु लें। / A point on the boundary does not identify the shaded side. Take an easy point away from the line.
किसी (x) के लिए (y) एक साथ (x+1) से कम और (x+4) से अधिक नहीं हो सकता। परीक्षा में parallel constraints check करें। / For any (x), (y) cannot be both below (x+1) and above (x+4). Check parallel constraints in exams.
A. दो समानांतर रेखाओं के बीच की पट्टी/Strip between two parallel lines
Explanation
Simple Explanation
दोनों रेखाओं की slope समान है और क्षेत्र इनके बीच आता है। परीक्षा में समान slope से parallel lines पहचानें। / Both lines have the same slope and the region lies between them. Use equal slopes to identify parallel lines.
A. boundary पर और हल में/On boundary and in solution
Explanation
Simple Explanation
(2(5)+5(0)=10), इसलिए बिंदु boundary पर है और \(\ge\) में शामिल है। परीक्षा में equality को ध्यान से देखें। / (2(5)+5(0)=10), so the point is on the boundary and included for \(\ge\). Check equality carefully.
(y=mx+c) में (m) ढाल होता है, यहां \(m=-\frac{1}{2}\) है। परीक्षा में boundary line का equation पढ़ें। / In (y=mx+c), (m) is the slope, here \(m=-\frac{1}{2}\). Read the boundary equation carefully.
\(y\ge\) के कारण रेखा के ऊपर का क्षेत्र लिया जाता है और रेखा शामिल होती है। परीक्षा में (y)-form में दिशा तुरंत दिखती है। / Because of \(y\ge\), the region above the line is taken and the line is included. The direction is clear in (y)-form.
रेखा (x+y=6) axes को ((6,0)) और ((0,6)) पर काटती है। परीक्षा में axes के साथ triangle vertices लिखें। / The line (x+y=6) cuts the axes at ((6,0)) and ((0,6)). Write triangle vertices with axes in exams.
((2,4)) में \(x\ge 1\), \(y\ge 2\), और \(2+4\le 7\) सत्य हैं। परीक्षा में सभी असमिकाएं एक-एक करके जांचें। / For ((2,4)), \(x\ge 1\), \(y\ge 2\), and \(2+4\le 7\) are true. Check all inequalities one by one.
मूल बिंदु रखने पर \(0\le 10\) सत्य है और solid line \(\le\) बताती है। परीक्षा में shading और line type दोनों मिलाएं। / At origin, \(0\le 10\) is true, and the solid line indicates \(\le\). Match both shading and line type.
(2x-y<0) से (-y<-2x), इसलिए (y>2x) होगा। परीक्षा में negative से divide करते समय sign बदलें। / From (2x-y<0), (-y<-2x), so (y>2x). Reverse the sign when dividing by a negative.
\(2y\ge 6+3x\), इसलिए \(y\ge 3+\frac{3x}{2}\)। परीक्षा में coefficient divide करना न भूलें। / \(2y\ge 6+3x\), so \(y\ge 3+\frac{3x}{2}\). Do not forget to divide the coefficient.
A. (x=5) पूर्ण और (y=1) टूटी/(x=5) solid and (y=1) dashed
Explanation
Simple Explanation
\(\le\) में solid line और (>) में dashed line होती है। परीक्षा में हर inequality का boundary type अलग जांचें। / \(\le\) gives a solid line and (>) gives a dashed line. Check each boundary type separately.
((2,-1)) के लिए (2+(-1)=1>0) है। परीक्षा में strict inequality में boundary point reject करें। / For ((2,-1)), (2+(-1)=1>0). Reject boundary points in strict inequalities.
axes के साथ छोटा bounded region पहले चतुर्थांश में और रेखा के नीचे होता है। परीक्षा में origin test करें। / The small bounded region with axes is in the first quadrant and below the line. Use the origin test in exams.
\(3x-y\le 0\) से \(y\ge 3x\) मिलता है। परीक्षा में inequality को (y)-form में बदलना आसान होता है। / \(3x-y\le 0\) gives \(y\ge 3x\). Converting to (y)-form makes graphing easier.
क्षेत्र \(2\times 3\) का आयत है, इसलिए क्षेत्रफल (6) है। परीक्षा में bounded rectangle को तुरंत पहचानें। / The region is a \(2\times 3\) rectangle, so its area is (6). Recognize bounded rectangles quickly.
त्रिभुज के intercepts (4) और (4) हैं, इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times 4\times 4=8\) है। परीक्षा में intercept triangle का formula याद रखें। / The intercepts are (4) and (4), so area is \(\frac{1}{2}\times 4\times 4=8\). Remember the intercept triangle formula.
A. मूल बिंदु वाली ओर/On the side containing origin
Explanation
Simple Explanation
सत्य test point जिस half-plane में होता है वही solution side होती है। परीक्षा में यह सबसे तेज graphical check है। / The half-plane containing the true test point is the solution side. This is the quickest graphical check.
मूल बिंदु पर (0) मिलता है, इसलिए origin वाली ओर \(\le 6\) है और विपरीत ओर \(\ge 6\) होगी। परीक्षा में boundary included हो तो equality वाला चिन्ह लें। / At origin the value is (0), so the origin side is \(\le 6\) and the opposite side is \(\ge 6\). Use equality signs when boundary is included.
boundary (x-2y=6) है, इससे (x=6) और (y=-3) मिलता है। परीक्षा में inequality से पहले equality line बनाएं। / The boundary is (x-2y=6), giving (x=6) and (y=-3). Draw the equality line before the inequality.
(x)-अक्ष पर (y=0), इसलिए \(4x\le 8\) और \(x\le 2\)। परीक्षा में axis पर दूसरे variable को (0) रखें। / On the (x)-axis, (y=0), so \(4x\le 8\) and \(x\le 2\). Put the other variable (0) on an axis.
(y)-अक्ष पर (x=0), इसलिए \(4y\le 12\) और \(y\le 3\)। परीक्षा में intercept से graph साफ बनता है। / On the (y)-axis, (x=0), so \(4y\le 12\) and \(y\le 3\). Intercepts make the graph clear.
((5,0)) में \(5-0\le 2\) असत्य है। परीक्षा में एक भी असमिका false हो तो point feasible नहीं होता। / For ((5,0)), \(5-0\le 2\) is false. If even one inequality fails, the point is not feasible.
((2,1)) boundary पर है क्योंकि (2(2)+1=5), लेकिन strict असमिका boundary को शामिल नहीं करती। परीक्षा में (<) में equal point न लें। / ((2,1)) is on the boundary because (2(2)+1=5), but a strict inequality excludes the boundary. Do not include equal points for (<).
(x=2), (y=1), और (x+y=6) के प्रतिच्छेदों से ये तीन vertices मिलते हैं। परीक्षा में boundary lines pairwise solve करें। / Pairwise intersections of (x=2), (y=1), and (x+y=6) give these vertices. Solve boundary lines pairwise in exams.
नीचे का क्षेत्र \(y\le\) देता है और boundary शामिल होने से equality भी शामिल है। परीक्षा में नीचे के लिए \(y\le\) याद रखें। / Below the line gives \(y\le\), and including the boundary includes equality. Remember \(y\le\) for below the line.
क्षेत्र वर्ग \(0\le x\le 4\), \(0\le y\le 4\) के भीतर और (x+y=4) के ऊपर है। परीक्षा में पहले बड़ा rectangle बनाकर कटे भाग पहचानें। / The region lies inside the square \(0\le x\le 4\), \(0\le y\le 4\) and above (x+y=4). Draw the larger rectangle first in exams.
((6,0)) रखने पर \(12\le 10\) असत्य है, इसलिए बिंदु बाहर है। परीक्षा में point location के लिए substitution करें। / Substituting ((6,0)) gives \(12\le 10\), which is false, so the point is outside. Use substitution for point location.
boundary (x+y=3) है और ((1,2)) पर (1+2=3)। परीक्षा में boundary point equality satisfy करता है। / The boundary is (x+y=3), and for ((1,2)), (1+2=3). A boundary point satisfies equality.
((2,3)) में \(3\ge 0\) और \(3\le 4\) दोनों सत्य हैं। परीक्षा में common region के लिए दोनों conditions लगाएं। / For ((2,3)), both \(3\ge 0\) and \(3\le 4\) are true. Apply both conditions for common regions.
A. पहले सभी boundary lines बनाकर common shaded region लें/Draw all boundary lines first and take the common shaded region
Explanation
Simple Explanation
system का graph common shaded region से मिलता है। परीक्षा में हर inequality का half-plane काटकर intersection लें। / The graph of a system is the common shaded region. In exams, intersect the half-planes of all inequalities.
