Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
Right side including the line means the value of (x) is greater than or equal to (-2). For vertical lines, read the (x)-value directly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(x\geq -2\). Right side including the line means the value of (x) is greater than or equal to (-2). For vertical lines, read the (x)-value directly.
Step 3
Exam Tip
रेखा सहित दाईं ओर का अर्थ (x) का मान (-2) से बड़ा या बराबर है। लंबवत रेखाओं में सीधे (x)-मान देखें।
A. मूल-बिंदु वाला अर्द्ध-तल/Half-plane containing the origin
Step 1
Concept
The origin satisfies the inequality, so shading is on that side. Choose a test point not lying on the line.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. मूल-बिंदु वाला अर्द्ध-तल / Half-plane containing the origin. The origin satisfies the inequality, so shading is on that side. Choose a test point not lying on the line.
Step 3
Exam Tip
मूल-बिंदु असमानता को संतुष्ट करता है इसलिए उसी ओर छायांकन होगा। जांच बिंदु रेखा पर न हो।
At ((1,1)), (2<6), while at ((5,5)), (10>6), so the correct strict half-plane is (x+y<6). Use test points to decide direction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x+y<6). At ((1,1)), (2<6), while at ((5,5)), (10>6), so the correct strict half-plane is (x+y<6). Use test points to decide direction.
Step 3
Exam Tip
((1,1)) पर (2<6) और ((5,5)) पर (10>6), इसलिए सही सख्त अर्धतल (x+y<6) है। परीक्षण बिंदुओं से दिशा तय करें।
At the origin, (2x-y=0), which is less than (4); to exclude it, we need (2x-y>4). In a strict region, the boundary is not included.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (2x-y>4). At the origin, (2x-y=0), which is less than (4); to exclude it, we need (2x-y>4). In a strict region, the boundary is not included.
Step 3
Exam Tip
मूल बिंदु पर (2x-y=0), जो (4) से कम है; उसे बाहर रखने के लिए (2x-y>4) चाहिए। सख्त क्षेत्र में सीमा शामिल नहीं होती।
Rearranging gives \(y\ge \frac{5x-10}{2}\). When dividing by a negative coefficient, the inequality sign reverses.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. रेखा के ऊपर / Above the line. Rearranging gives \(y\ge \frac{5x-10}{2}\). When dividing by a negative coefficient, the inequality sign reverses.
Step 3
Exam Tip
रूपांतरण से \(y\ge \frac{5x-10}{2}\) मिलता है। ऋणात्मक गुणांक से भाग देते समय असमानता का चिह्न बदलता है।
At the origin, (0>-1) is true. If the origin is not on the boundary, it is the easiest test point.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हल क्षेत्र में / In the solution region. At the origin, (0>-1) is true. If the origin is not on the boundary, it is the easiest test point.
Step 3
Exam Tip
मूल बिंदु रखने पर (0>-1) सत्य है। मूल बिंदु सीमा पर न हो तो वह सबसे आसान परीक्षण बिंदु है।
Substitution gives (2(4)+3(2)=14), which is greater than (12). In exams, decide the half-plane first using a test point.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (2x+3y>12). Substitution gives (2(4)+3(2)=14), which is greater than (12). In exams, decide the half-plane first using a test point.
Step 3
Exam Tip
बिंदु रखने पर (2(4)+3(2)=14), जो (12) से अधिक है। परीक्षा में पहले परीक्षण बिंदु से अर्धतल तय करें।
C. मूल बिंदु वाला पक्ष सीमा सहित/Side containing origin with boundary
Step 1
Concept
Substituting the origin gives \(0\leq 6\), so the side containing the origin is taken. Exam tip: ((0,0)) is the fastest test point when allowed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. मूल बिंदु वाला पक्ष सीमा सहित / Side containing origin with boundary. Substituting the origin gives \(0\leq 6\), so the side containing the origin is taken. Exam tip: ((0,0)) is the fastest test point when allowed.
Step 3
Exam Tip
मूल बिंदु रखने पर \(0\leq 6\) सत्य है इसलिए मूल बिंदु वाला पक्ष लिया जाता है। परीक्षा सुझाव: जब संभव हो तो ((0,0)) सबसे तेज परीक्षण बिंदु है।
B. मूल बिंदु की ओर और सीमा सहित/Toward origin with boundary
Step 1
Concept
Putting the origin gives \(0\leq 6\), so the side containing it is taken. Exam tip: \(\leq\) includes the boundary line.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. मूल बिंदु की ओर और सीमा सहित / Toward origin with boundary. Putting the origin gives \(0\leq 6\), so the side containing it is taken. Exam tip: \(\leq\) includes the boundary line.
Step 3
Exam Tip
मूल बिंदु रखने पर \(0\leq 6\) सत्य है इसलिए वही पक्ष लिया जाता है। परीक्षा सुझाव: \(\leq\) में सीमा रेखा शामिल होती है।
At ((2,3)), (x+2y=8), which is less than (10), so it lies in the lower half-plane. Below can also be checked by smaller (y)-values.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. ((2,3)). At ((2,3)), (x+2y=8), which is less than (10), so it lies in the lower half-plane. Below can also be checked by smaller (y)-values.
Step 3
Exam Tip
((2,3)) पर (x+2y=8), जो (10) से कम है और इसलिए रेखा के नीचे वाले अर्ध-समतल में है। नीचे की जांच (y) के छोटे मान से भी की जा सकती है।
Substituting ((0,0)) gives \(0 \ge 6\), which is false, so the origin side is wrong. Shade the side opposite to a false test point.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((0,0)). Substituting ((0,0)) gives \(0 \ge 6\), which is false, so the origin side is wrong. Shade the side opposite to a false test point.
Step 3
Exam Tip
((0,0)) रखने पर \(0 \ge 6\) असत्य है, इसलिए मूल बिंदु वाली ओर गलत है। असत्य परीक्षण बिंदु के विपरीत ओर छायांकित करें।
In the first quadrant, \(x+2y \ge 4\) extends above the line without limit. If a region is not closed on all sides, it is unbounded.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. असीम क्षेत्र / Unbounded region. In the first quadrant, \(x+2y \ge 4\) extends above the line without limit. If a region is not closed on all sides, it is unbounded.
Step 3
Exam Tip
प्रथम चतुर्थांश में \(x+2y \ge 4\) रेखा के ऊपर और दूर तक फैलता है। सभी ओर से बंद न हो तो क्षेत्र असीम होता है।
If the test point gives false, the shading is on the other side of the boundary line. Even a false test point helps choose the correct half-plane.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. मूल बिंदु के विपरीत ओर / Side opposite to origin. If the test point gives false, the shading is on the other side of the boundary line. Even a false test point helps choose the correct half-plane.
Step 3
Exam Tip
यदि परीक्षण बिंदु असत्य देता है तो छायांकन सीमा रेखा के दूसरी ओर होता है। ग्राफ में एक गलत परीक्षण बिंदु भी सही आधा-समतल चुनने में मदद करता है।
From (4x-y<8), (-y<8-4x), so reversing the sign gives (y>4x-8). When dividing by a negative number, the inequality sign reverses.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (y>4x-8), रेखा के ऊपर / (y>4x-8), above the line. From (4x-y<8), (-y<8-4x), so reversing the sign gives (y>4x-8). When dividing by a negative number, the inequality sign reverses.
Step 3
Exam Tip
(4x-y<8) से (-y<8-4x), अतः चिह्न बदलकर (y>4x-8) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न पलटता है।
A. ठोस रेखा और मूल बिंदु वाला अर्ध-समतल/Solid line and half-plane containing origin
Step 1
Concept
The sign \(\le\) includes the boundary line and substituting ((0,0)) gives \(0 \le 12\). In exams, test the origin first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ठोस रेखा और मूल बिंदु वाला अर्ध-समतल / Solid line and half-plane containing origin. The sign \(\le\) includes the boundary line and substituting ((0,0)) gives \(0 \le 12\). In exams, test the origin first.
Step 3
Exam Tip
चिह्न \(\le\) होने से सीमा रेखा शामिल होती है और ((0,0)) रखने पर \(0 \le 12\) सत्य है। परीक्षा में पहले मूल बिंदु से परीक्षण करें।
A. मूल बिंदु वाली ओर/On the side containing origin
Step 1
Concept
The half-plane containing the true test point is the solution side. This is the quickest graphical check.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. मूल बिंदु वाली ओर / On the side containing origin. The half-plane containing the true test point is the solution side. This is the quickest graphical check.
Step 3
Exam Tip
सत्य test point जिस half-plane में होता है वही solution side होती है। परीक्षा में यह सबसे तेज graphical check है।
\(3x-y\le 0\) gives \(y\ge 3x\). Converting to (y)-form makes graphing easier.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(y\ge 3x\) का क्षेत्र / Region of \(y\ge 3x\). \(3x-y\le 0\) gives \(y\ge 3x\). Converting to (y)-form makes graphing easier.
Step 3
Exam Tip
\(3x-y\le 0\) से \(y\ge 3x\) मिलता है। परीक्षा में inequality को (y)-form में बदलना आसान होता है।
In (x<4), (x) is less than (4), so the left side is chosen. For vertical lines, think left-right.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. रेखा के बाईं ओर / Left of the line. In (x<4), (x) is less than (4), so the left side is chosen. For vertical lines, think left-right.
Step 3
Exam Tip
(x<4) में (x) का मान (4) से छोटा होता है, इसलिए बायां क्षेत्र चुना जाता है। परीक्षा में vertical line के लिए left-right सोचें।
A. क्योंकि \(0-0\ge 2\) असत्य है/Because \(0-0\ge 2\) is false
Step 1
Concept
Substituting origin makes the inequality false. Use a test point to choose the correct half-plane.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि \(0-0\ge 2\) असत्य है / Because \(0-0\ge 2\) is false. Substituting origin makes the inequality false. Use a test point to choose the correct half-plane.
Step 3
Exam Tip
मूल बिंदु रखने पर असमिका गलत हो जाती है। परीक्षा में test point से सही half-plane चुनें।
\(0+0\le 6\) is true, so the side containing origin is shaded. In exams, always use a test point.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. मूल बिंदु वाली ओर / Side containing origin. \(0+0\le 6\) is true, so the side containing origin is shaded. In exams, always use a test point.
Step 3
Exam Tip
\(0+0\le 6\) सत्य है, इसलिए मूल बिंदु वाली ओर छायांकित होगी। परीक्षा में हमेशा परीक्षण बिंदु लगाएं।
In \(y\le -3x+9\), (y) is less than or equal to the line value. Therefore the region below the line including the boundary is the solution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. रेखा के नीचे सहित / below the line including it. In \(y\le -3x+9\), (y) is less than or equal to the line value. Therefore the region below the line including the boundary is the solution.
Step 3
Exam Tip
\(y\le -3x+9\) में (y) रेखा के मान से कम या बराबर है। इसलिए रेखा के नीचे का भाग सीमा सहित हल है।
B. मूल बिंदु वाली ओर शेड होगी/side containing origin is shaded
Step 1
Concept
Substituting ((0,0)) gives (0<12), which is true. Hence the half-plane containing the origin is the solution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. मूल बिंदु वाली ओर शेड होगी / side containing origin is shaded. Substituting ((0,0)) gives (0<12), which is true. Hence the half-plane containing the origin is the solution.
Step 3
Exam Tip
((0,0)) रखने पर (0<12) सत्य है। इसलिए मूल बिंदु वाली ओर का अर्ध-समतल हल है।
A. रेखा (x=5) के बाईं और (y=3) के नीचे का क्षेत्र/left of (x=5) and below (y=3)
Step 1
Concept
\(x\le 5\) gives the left side and \(y\le 3\) gives the lower side. The common region is the overlap of both conditions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. रेखा (x=5) के बाईं और (y=3) के नीचे का क्षेत्र / left of (x=5) and below (y=3). \(x\le 5\) gives the left side and \(y\le 3\) gives the lower side. The common region is the overlap of both conditions.
Step 3
Exam Tip
\(x\le 5\) बाईं ओर और \(y\le 3\) नीचे का भाग देता है। संयुक्त क्षेत्र दोनों शर्तों का ओवरलैप होता है।
Substituting ((0,0)) gives \(0\ge 6\), which is false. Hence choose the region opposite to the origin.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(0\ge 6\) असत्य / \(0\ge 6\) false. Substituting ((0,0)) gives \(0\ge 6\), which is false. Hence choose the region opposite to the origin.
Step 3
Exam Tip
((0,0)) रखने पर \(0\ge 6\) असत्य है। इसलिए मूल बिंदु के विपरीत भाग को चुनें।
B. रेखा (x=4) के बाईं ओर सहित/left of (x=4) including the line
Step 1
Concept
In \(x\le 4\), (x) is (4) or less. Hence the region to the left of (x=4) is taken.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. रेखा (x=4) के बाईं ओर सहित / left of (x=4) including the line. In \(x\le 4\), (x) is (4) or less. Hence the region to the left of (x=4) is taken.
Step 3
Exam Tip
\(x\le 4\) में (x) का मान (4) या उससे कम है। इसलिए (x=4) के बाईं ओर का क्षेत्र लिया जाता है।
In \(y\ge 2x+1\), (y) is greater than or equal to the line value. Hence the half-plane above the line is taken.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. रेखा के ऊपर / above the line. In \(y\ge 2x+1\), (y) is greater than or equal to the line value. Hence the half-plane above the line is taken.
Step 3
Exam Tip
\(y\ge 2x+1\) में (y) रेखा से बड़ा या बराबर है। इसलिए रेखा के ऊपर का अर्ध-समतल लिया जाता है।
