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बिंदु रखने पर (2(4)+3(2)=14), जो (12) से अधिक है। परीक्षा में पहले परीक्षण बिंदु से अर्धतल तय करें। / Substitution gives (2(4)+3(2)=14), which is greater than (12). In exams, decide the half-plane first using a test point.
रेखाओं (x+2y=16) और (2x+y=14) को साथ हल करने पर (\left\(\frac{22}{3},\frac{13}{3}\right\)) मिलता है। ग्राफ में मुख्य शीर्ष हमेशा सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेद से जांचें। / Solving (x+2y=16) and (2x+y=14) together gives (\left\(\frac{22}{3},\frac{13}{3}\right\)). In a graph, always check key vertices from boundary intersections.
चिह्न (<) है इसलिए सीमा रेखा शामिल नहीं होगी। सख्त असमानता में हमेशा टूटी रेखा बनाइए। / The sign is (<), so the boundary line is not included. For strict inequalities, always draw a dashed line.
क्षेत्र अक्षों और रेखा (x+y=8) से घिरता है। अवरोध बिंदु देखने से त्रिभुज तुरंत मिल जाता है। / The region is bounded by the axes and the line (x+y=8). Checking intercepts quickly shows a triangle.
((3,2)) रखने पर \(7\le 10\) और \(4\ge 3\) दोनों सत्य हैं। विकल्पों को सीधे रखने से समय बचता है। / For ((3,2)), \(7\le 10\) and \(4\ge 3\), both true. Direct substitution in options saves time.
दोनों समीकरण जोड़ने पर (2x=12), अतः (x=6) और (y=4)। शीर्ष निकालने में दो सीमा रेखाओं को साथ हल करें। / Adding the two equations gives (2x=12), so (x=6) and (y=4). To find a vertex, solve the two boundary lines together.
दोनों रेखाओं को साथ हल करने पर (x=4), (y=4) मिलता है। साझा सीमा का कटान अक्सर मुख्य शीर्ष होता है। / Solving both lines together gives (x=4), (y=4). The intersection of shared boundaries is often the key vertex.
A. समानांतर रेखाओं के बीच पट्टी/Strip between parallel lines
Explanation
Simple Explanation
दोनों सीमाएं समानांतर हैं और क्षेत्र उनके बीच है। समान बाईं ओर वाली असमानताओं में स्थिर पदों की तुलना करें। / Both boundaries are parallel, and the region lies between them. For inequalities with the same left side, compare the constants.
एक ही राशि (x+y) एक साथ (4) से कम और (7) से अधिक नहीं हो सकती। विरोधी असमानताओं को पहले पहचानें। / The same quantity (x+y) cannot be at most (4) and at least (7) at the same time. Identify contradictory inequalities first.
मूल बिंदु रखने पर (0>-1) सत्य है। मूल बिंदु सीमा पर न हो तो वह सबसे आसान परीक्षण बिंदु है। / At the origin, (0>-1) is true. If the origin is not on the boundary, it is the easiest test point.
(y=0) रखने पर (4x=16), इसलिए (x=4)। (x)-अवरोध के लिए हमेशा (y=0) रखें। / Putting (y=0) gives (4x=16), so (x=4). For the (x)-intercept, always set (y=0).
रेखा के दाईं ओर (x) का मान (3) से बड़ा होता है। लंबवत रेखाओं में केवल (x) की तुलना करें। / To the right of the line, the value of (x) is greater than (3). For vertical lines, compare only (x).
रेखा के ऊपर (y) का मान (-2) से बड़ा होता है। क्षैतिज रेखाओं में केवल (y) की तुलना करें। / Above the line, the value of (y) is greater than (-2). For horizontal lines, compare only (y).
रेखाएं (x=2) और (y=1) मिलकर ((2,1)) देती हैं और यह \(x+y\le 8\) को भी संतुष्ट करता है। हर शीर्ष को सभी असमानताओं में जांचें। / The lines (x=2) and (y=1) meet at ((2,1)), and it also satisfies \(x+y\le 8\). Check every vertex in all inequalities.
रेखा से ऊपर और प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्र अनंत तक फैलता है। \(\ge\) वाली शर्तें अक्सर बाहर की ओर असीम क्षेत्र देती हैं। / The region above the line in the first quadrant extends indefinitely. Conditions with \(\ge\) often create outward unbounded regions.
आयत की लंबाई (5-1=4) और चौड़ाई (6-2=4), इसलिए क्षेत्रफल (16) है। समानांतर सीमाओं में अंतर लेकर आयाम निकालें। / The rectangle has length (5-1=4) and width (6-2=4), so the area is (16). For parallel bounds, take differences to get dimensions.
((8,0)) पर (3(8)+4(0)=24), इसलिए सीमा पर है और \(\le\) में शामिल है। \(\le\) और \(\ge\) में सीमा रेखा ठोस होती है। / At ((8,0)), (3(8)+4(0)=24), so it is on the boundary and included by \(\le\). For \(\le\) and \(\ge\), the boundary line is solid.
रूपांतरण से \(y\ge \frac{5x-10}{2}\) मिलता है। ऋणात्मक गुणांक से भाग देते समय असमानता का चिह्न बदलता है। / Rearranging gives \(y\ge \frac{5x-10}{2}\). When dividing by a negative coefficient, the inequality sign reverses.
((2,3)) पर (x+y=5), इसलिए यह रेखा (x+y=6) पर नहीं है। किसी सीमा पर होना जांचने के लिए बिंदु को समीकरण में रखें। / At ((2,3)), (x+y=5), so it is not on (x+y=6). To test a boundary, substitute the point into the equation.
पहले से (y=14-2x); दूसरे में रखने पर (x+42-6x=18), अतः \(x=\frac{24}{5}\) नहीं, दिए विकल्पों में ((5,4)) दोनों समीकरण संतुष्ट करता है। विकल्प जांचते समय दोनों रेखाओं में मान रखें। / Among the options, ((5,4)) satisfies both equations (2x+y=14) and (x+3y=18). While checking options, substitute into both lines.
((6,1)) पर (x+2y=8) और \(x+y=7\le 10\), इसलिए यह दूसरी सीमा पर है। सीमा पहचानने के लिए बराबरी वाली शर्त देखें। / At ((6,1)), (x+2y=8) and \(x+y=7\le 10\), so it lies on the second boundary. To identify a boundary point, check equality.
नीचे का क्षेत्र छोटे मान देता है और सीमा शामिल होने से \(\le\) लगेगा। ठोस रेखा देखकर बराबरी शामिल करें। / The region below gives smaller values, and including the boundary requires \(\le\). Use a solid line to include equality.
अवरोध ((9,0)) और ((0,3)) हैं, इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times 9\times 3=\frac{27}{2}\)। अक्षीय त्रिभुज में अवरोधों को आधार और ऊंचाई लें। / The intercepts are ((9,0)) and ((0,3)), so area is \(\frac{1}{2}\times 9\times 3=\frac{27}{2}\). For an axial triangle, use intercepts as base and height.
ऊपरी सीमा \(2x+3y\le 18\) और प्रथम चतुर्थांश क्षेत्र को सीमित करते हैं। निचली रेखा \(x+y\ge 4\) केवल अंदर का हिस्सा काटती है। / The upper bound \(2x+3y\le 18\) and the first quadrant make the region bounded. The lower line \(x+y\ge 4\) only cuts an inner part.
((3,1)) पर \(1\le 2\) और \(1\ge 2\) नहीं, इसलिए नहीं; सही जांच में ((1,4)) पर \(4\le 4\) और \(4\ge 0\), अतः सही है। दोनों शर्तों में एक साथ जांच आवश्यक है। / For ((1,4)), \(4\le 4\) and \(4\ge 0\), so both inequalities hold. Both conditions must be checked together.
\(-5y\ge 15-2x\) और (-5) से भाग देने पर चिह्न बदलकर \(y\le \frac{2x-15}{5}\) होगा। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिह्न पलटता है। / \(-5y\ge 15-2x\), and dividing by (-5) reverses the sign to \(y\le \frac{2x-15}{5}\). Dividing by a negative number reverses the inequality sign.
रेखाओं (x+2y=10) और (3x+y=12) को हल करने पर (\left\(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right\)) मिलता है। भिन्न वाले शीर्ष भी ग्राफ में मान्य होते हैं। / Solving (x+2y=10) and (3x+y=12) gives (\left\(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right\)). Fractional vertices are also valid in graphs.
ऊपर और दाईं ओर सीमाएं हैं, पर बाईं-नीचे दिशा में क्षेत्र अनंत तक जा सकता है। सीमितता जांचते समय सभी दिशाओं में रोक देखें। / There are upper and right bounds, but the region can extend indefinitely toward the lower-left direction. To test boundedness, check restrictions in every direction.
A. \(x+y\le 6\), \(x+y\ge 6\), \(x\ge 0\), \(y\ge 0\)
Explanation
Simple Explanation
दोनों \(x+y\le 6\) और \(x+y\ge 6\) मिलकर (x+y=6) बनाते हैं। बराबरी को दो विपरीत असमानताओं से लिखा जा सकता है। / Together \(x+y\le 6\) and \(x+y\ge 6\) force (x+y=6). Equality can be written using two opposite inequalities.
मूल बिंदु पर (2x-y=0), जो (4) से कम है; उसे बाहर रखने के लिए (2x-y>4) चाहिए। सख्त क्षेत्र में सीमा शामिल नहीं होती। / At the origin, (2x-y=0), which is less than (4); to exclude it, we need (2x-y>4). In a strict region, the boundary is not included.
रेखाओं का प्रतिच्छेद (\left\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right\)) है और वहां \(x+y=\frac{16}{3}\) अधिकतम है। रैखिक व्यंजक का चरम मान किसी शीर्ष पर मिलता है। / The intersection is (\left\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right\)), where \(x+y=\frac{16}{3}\) is maximum. A linear expression attains its extreme value at a vertex.
((0,4)) पर \(4\ge 6\) गलत है; सही अक्षीय जांच में ((3,0)) होता, पर विकल्पों में ((0,4)) नहीं चलता। इसलिए दिए विकल्पों में कोई पूर्ण सही नहीं है। / None of the listed points fully satisfies the system, because each fails at least one inequality. Always verify all inequalities before choosing an axial point.
चौड़ाई (7-2=5) और ऊंचाई (5-1=4) है, इसलिए यह आयत है। समानांतर अक्षीय रेखाएं आयत बनाती हैं। / The width is (7-2=5) and height is (5-1=4), so it is a rectangle. Parallel axis-aligned lines form a rectangle.
असमानता \(y\ge \frac{x-4}{2}\) बनती है और ((2,3)) इसे संतुष्ट करता है। चिह्न बदलने के बाद ऊपर-नीचे का निर्णय करें। / The inequality becomes \(y\ge \frac{x-4}{2}\), and ((2,3)) satisfies it. Decide above or below after rearranging the sign correctly.
(x+4y=20) और (3x+y=18) हल करने पर (\left\(\frac{52}{11},\frac{42}{11}\right\)) मिलता है। सटीक शीर्ष के लिए भिन्नों से डरें नहीं। / Solving (x+4y=20) and (3x+y=18) gives (\left\(\frac{52}{11},\frac{42}{11}\right\)). Do not avoid fractions when finding exact vertices.
मूल बिंदु पर (ax+by=0), और \(0\le c\) सत्य है। प्रतीक तय करने के लिए परीक्षण बिंदु सबसे विश्वसनीय तरीका है। / At the origin, (ax+by=0), and \(0\le c\) is true. A test point is the most reliable way to choose the sign.
दोनों समीकरणों (x+y=7) और (x-y=3) को हल करने पर ((5,2)) मिलता है। साझा शीर्ष दो सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेद से मिलता है। / Solving (x+y=7) and (x-y=3) gives ((5,2)). A common vertex comes from the intersection of two boundary lines.
\(x+y\ge 5\) वाला प्रथम चतुर्थांश क्षेत्र बाहर की ओर अनंत फैलता है। बंद बहुभुज के लिए हर दिशा में सीमा चाहिए। / The first-quadrant region \(x+y\ge 5\) extends outward infinitely. A closed polygon needs bounds in every direction.
(y=0) पर (x=8) और (x=0) पर (y=4)। अवरोधों से रेखा जल्दी और साफ बनती है। / At (y=0), (x=8), and at (x=0), (y=4). Intercepts make drawing the line quick and clear.
शीर्ष ((0,0)), ((8,0)), ((6,4)), ((0,7)) हैं; ((6,4)) पर (3x+2y=26), पर ((8,0)) पर (24), इसलिए सही अधिकतम (26) होना चाहिए। दिए विकल्पों में सही मान नहीं है। / The feasible vertices are ((0,0)), ((8,0)), ((6,4)), and ((0,7)); the maximum is (26) at ((6,4)). None of the listed options matches the correct value.
((3,0)) सीमा रेखा (3x+y=9) पर है और (>) में सीमा शामिल नहीं होती। सख्त असमानता में सीमा के बिंदु हल नहीं होते। / ((3,0)) lies on the boundary (3x+y=9), and (>) does not include the boundary. Boundary points are not solutions for strict inequalities.
शीर्ष ((2,2)), ((8,2)), ((2,5)) हैं; क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times 6\times 3=9\) है। इसलिए सही मान (9) होना चाहिए। / The vertices are ((2,2)), ((8,2)), and ((2,5)); the area is \(\frac{1}{2}\times 6\times 3=9\). So the correct value should be (9).
((2,2)) पर (4<5) और (6>4), इसलिए यह अंदर है और सीमा पर नहीं। अंदरूनी बिंदु में कोई भी सीमा बराबरी नहीं देती। / At ((2,2)), (4<5) and (6>4), so it is inside and not on a boundary. An interior point does not satisfy any boundary as equality.
(y)-अवरोध पर (x=0), (y=3), इसलिए (3k=12) और (k=4)। अवरोध आधारित प्रश्नों में संबंधित चर शून्य रखें। / At the (y)-intercept, (x=0), (y=3), so (3k=12) and (k=4). In intercept questions, set the other variable to zero.
((1,1)) पर (2<6) और ((5,5)) पर (10>6), इसलिए सही सख्त अर्धतल (x+y<6) है। परीक्षण बिंदुओं से दिशा तय करें। / At ((1,1)), (2<6), while at ((5,5)), (10>6), so the correct strict half-plane is (x+y<6). Use test points to decide direction.
\(x\ge 6\) और \(y\ge 3\) से \(x+2y\ge 12\), जो \(x+2y\le 10\) से टकराता है। न्यूनतम संभव मान जांचने से रिक्त क्षेत्र जल्दी पता चलता है। / From \(x\ge 6\) and \(y\ge 3\), \(x+2y\ge 12\), which contradicts \(x+2y\le 10\). Checking the minimum possible value quickly detects an empty region.
अवरोध ((15,0)) और ((0,10)) हैं, इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times 15\times 10=75\)। पहले अवरोध निकालना सबसे तेज तरीका है। / The intercepts are ((15,0)) and ((0,10)), so the area is \(\frac{1}{2}\times 15\times 10=75\). Finding intercepts first is the fastest method.
((4,2)) पर \(10\le 9\) गलत है; सही जांच में कोई विकल्प सभी शर्तें पूरा नहीं करता। इसलिए विकल्पों को सावधानी से सत्यापित करें। / For ((4,2)), \(10\le 9\) is false, and no listed option satisfies all conditions. Verify every option carefully against all constraints.
(x=0) पर शर्तें \(y\le 10\) और \(3y\le 18\) देती हैं, इसलिए अधिकतम (y=6)। किसी चर का अधिकतम पाने के लिए उस दिशा की कठोर सीमा देखें। / At (x=0), the conditions give \(y\le 10\) and \(3y\le 18\), so the maximum is (y=6). To maximize a variable, look for the tightest bound in that direction.
