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B. जो (x)-अक्ष को एक ही बिंदु पर स्पर्श करे/One that touches the (x)-axis at only one point
Explanation
Simple Explanation
कोई भी वास्तविक शून्यक उस बिंदु का x-निर्देशांक होता है जहाँ ग्राफ (x)-अक्ष को काटता या स्पर्श करता है। यदि ग्राफ केवल एक ही बिंदु पर (x)-अक्ष को स्पर्श करता है तो उस ग्राफ का केवल एक विशिष्ट वास्तविक शून्यक होगा — यह अक्सर गुणनखंड की गुणता (multiplicity) के कारण होता है (दोहरे मूल पर स्पर्श)। विकल्प A में दो अलग-अलग कटाव होंगे इसलिए दो वास्तविक शून्यक होंगे। विकल्प C में कोई भी कटाव नहीं होगा इसलिए शून्य वास्तविक शून्यक हैं। विकल्प D केवल तब संभव है जब फलन शून्य-फलन (zero polynomial) हो; सामान्य गैर-शून्य बहुपद के लिए ऐसा नहीं होता। परिक्षा टिप: x-अक्ष से मिलने के बिंदुओं की गिनती करो — अगर ग्राफ को स्पर्श करता है और पार नहीं करता तो वह एक ही अलग शून्यक दे सकता है (समासम्य गुणता अक्सर सम होने पर स्पर्श, विषम होने पर पार)। / Real zeros correspond to x-intercepts of the graph. A graph that touches the x-axis at exactly one point has exactly one distinct real zero (this often indicates a repeated root with even multiplicity). Option A crosses the x-axis at two distinct points → two real zeros. Option C does not meet the x-axis → no real zeros. Option D would give infinitely many zeros only if the function is the zero polynomial (coincides with the x-axis), which is not the typical non-zero polynomial case. Exam tip: count distinct x-intercepts; if the curve merely touches (tangent) the axis at a point it represents a repeated root, while crossing indicates an odd multiplicity root.
मानक रूप में घातें घटते क्रम में लिखी जाती हैं। \(2x^3+x^2+5x+1\) में यही क्रम है। / In standard form, powers are written in descending order. \(2x^3+x^2+5x+1\) follows this order.
यदि किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को केवल बिंदु (m,0) पर स्पर्श करता है और किसी अन्य स्थान पर अक्ष को नहीं काटता, तो उस बहुपद के अलग वास्तविक शून्यकों की संख्या क्या होगी?
एक ही स्पर्श बिंदु होने का अर्थ है कि उस बिंदु पर बहुपद का मान शून्य है और वह मूल बार-बार (even multiplicity) आता है, यानी बहुपद में
e.g.
ein factor के रूप में
\((x-m)^2\) मौजूद हो सकता है पर बाकी फैक्टरों का मान m पर शून्य नहीं होगा। इसलिए अलग वास्तविक शून्य केवल x = m ही है, यानी 1।
सूत्रीकरण: स्पर्श = मूल का सम-गुणांक (even multiplicity); काटना = विषम-गुणांक।
गलत विकल्प क्यों नहीं: "दो" तब होता जब x-अक्ष को दो अलग बिंदुओं पर काटे; "शून्य" गलत क्योंकि स्पर्श का मतलब p(m)=0 है; "अनंत" केवल तब संभव है जब बहुपद शून्य बहुपद हो (
\(p(x)\equiv 0\)
), जो यहाँ दिए हालात से मेल नहीं खाता क्योंकि तब ग्राफ हर बिंदु पर x-अक्ष के साथ मेल खाता।
परीक्षा-सुझाव: किसी स्पर्श बिंदु को देखकर तुरंत समझें कि वह मूल कम से कम द्विगुणित (multiplicity ≥ 2 और सम) होगा — इसलिए अलग शून्य की गिनती बदलती नहीं। / A single touching point means the polynomial is zero at x = m and that root has even multiplicity (it is a repeated root), e.g. a factor
\((x-m)^2\) in p(x), while no other factor vanishes at x = m. Hence there is only one distinct real zero, x = m.
Why other options are wrong: "Two" would require the graph to cross or meet the axis at two different x-values; "Zero" is wrong because touching implies p(m)=0; "Infinitely many" happens only if the polynomial is the zero polynomial (\(p(x)\equiv 0\)), which would make the graph coincide with the x-axis everywhere, not touch at a single point.
Exam tip: Touching = even multiplicity (root repeats); crossing = odd multiplicity. Use multiplicity to count distinct zeros, not total multiplicity.
A. \(x=5\) पर स्पर्श करेगा/It will touch at \(x=5\)
Explanation
Simple Explanation
क्यों सही है: \(x^2-10x+25=(x-5)^2\) होता है, इसलिए बहुपद का शून्यक \(x=5\) पर द्विमात्रक (repeated) है और परावर्तक x-अक्ष को सिर्फ एक बिंदु पर स्पर्श करेगा।
क्यों अन्य विकल्प गलत हैं: विकल्प C गलत है क्योंकि भेदक (discriminant) \(b^2-4ac=(-10)^2-4\cdot1\cdot25=100-100=0\) है, अतः दो अलग शून्यक नहीं होते। विकल्प B गलत है क्योंकि शून्यक \(+5\) है न कि \(-5\)। विकल्प D गलत है क्योंकि वास्तविक शून्यक मौजूद है इसलिए ग्राफ़ x-अक्ष से मिलता ही है।
परीक्षा टिप: क्वाड्रेटिक के लिए तुरंत भेदक \(b^2-4ac\) निकालें — यदि यह शून्य हो तो ग्राफ़ x-अक्ष को स्पर्श करेगा। / Why correct: \(x^2-10x+25=(x-5)^2\), so the polynomial has a repeated root at \(x=5\). The parabola therefore touches the x-axis at a single point \(x=5\).
Why others are wrong: Option C is wrong because the discriminant \(b^2-4ac=100-100=0\) — not positive — so there are not two distinct x-intercepts. Option B is wrong because the root is +5, not −5. Option D is wrong because a real root exists, so the graph does meet the x-axis.
Exam tip: Use the discriminant quickly — >0 two intercepts, =0 one (touch), <0 none.
शुन्यक (root) का अर्थ वह x‑मान है जहाँ ग्राफ x-अक्ष को छेदता है, अर्थात् \(y=0\)। गणना: \(4x+12=0\) से \(4x=-12\) और इसलिए \(x=-3\)। विकल्प B (3) आम गलती है — साइन उल्टा लेना; विकल्प D (−12) तब होगा जब कोई \(4x= -144\) जैसा गलत रूप बनाये। परीक्षकीय टिप: शून्यक पाने के लिए सीधे \(y=0\) रखें और हल करें; हल करने के बाद परिक्षण के लिए मूल मान पर पुनः_SUBSTITUTE करके देखें कि \(y=0\) आता है। / The zero (root) is the x-value where the graph crosses the x-axis, so set \(y=0\). Solve: \(4x+12=0\) gives \(4x=-12\) and \(x=-3\). Option B (3) is a common sign mistake — the correct solution is negative. Option D (−12) is incorrect and results from a wrong manipulation of the equation. Exam tip: always set \(y=0\) to find the root and substitute back to verify that \(y=0\) is obtained.
\(3x^2+x+1\) का प्रमुख पद \(3x^2\) है। इसका प्रमुख गुणांक (3) है, (1) नहीं। / The leading term of \(3x^2+x+1\) is \(3x^2\). Its leading coefficient is (3), not (1).
B. कथन गलत है क्योंकि (0,0) दोनों अक्षों पर आता है — इसलिए यदि ग्राफ (0,0) पर है तो \(p(0)=0\) और 0 शून्यक है/The statement is wrong because (0,0) lies on both axes — if the graph passes through (0,0) then \(p(0)=0\) and 0 is a zero
Explanation
Simple Explanation
क्षेत्रफल या बहुपद के शून्यक (zeros) वह x–मान होते हैं जिनके लिए y = 0 होता है; अर्थात् शून्यक x = a होने पर ग्राफ़ पर बिंदु (a,0) होता है। मूल बिंदु (0,0) दोनों अक्षों पर स्थित है, अतः यदि ग्राफ (0,0) पर जाता है तो \(p(0)=0\) और 0 एक शून्यक है। विकल्प C गलत है क्योंकि उससे ऐसा संकेत मिलता है कि y-अक्ष पर कोई शून्यक कभी नहीं हो सकता — पर ऐसा केवल तब गलत होगा जब बिंदु y-अक्ष के अन्य स्थानों पर हो; मूल बिंदु विशेष है। परीक्षा टिप: किसी भी बहुपद का शून्यक खोजने के लिए देखें कि क्या ग्राफ x-अक्ष को काटता है (y=0)। / A zero of a polynomial corresponds to an x-value where y = 0, i.e. an x-intercept (a,0). The origin (0,0) lies on both axes, so if the graph passes through (0,0) then \(p(0)=0\) and x=0 is a root. Option C is incorrect because it wrongly asserts that no zero can lie on the y-axis — the origin is a special case where a point lies on both axes. Exam tip: to identify roots from a graph, check x-intercepts (points with y=0).
A. दोनों वास्तविक शून्यक हैं — \(x=-3\) और \(x=2\)/Both x = -3 and x = 2 are real zeroes
Explanation
Simple Explanation
जब ग्राफ x-अक्ष को किसी बिंदु पर काटता है या केवल छूता है तब उस बिंदु पर बहुपद का मान शून्य होता है, अर्थात् \(p(x)=0\)। "काटना" सामान्यतः उस शून्य का विषम गुणांक (multiplicity odd) दर्शाता है और "छूना" सम गुणांक (multiplicity even) दर्शाता है। उदाहरण: \(p(x)=(x+3)(x-2)^2\) में \(x=-3\) पर ग्राफ काटेगा और \(x=2\) पर छुएगा; दोनों ही वास्तविक शून्यक हैं। गलत विकल्पों का कारण: B और C में केवल एक शून्यक मानें गये हैं जबकि दोनों पर \(p(x)=0\) है; D पूरी तरह गलत है। परीक्षण युक्ति: किसी बिंदु पर ग्राफ का संकेत बदलना बताता है कि वह शून्यक काट रहा है (odd multiplicity), और संकेत नहीं बदलना बताता है कि वह छू रहा है (even multiplicity). / If a polynomial's graph crosses or touches the x-axis at a point, the polynomial evaluates to zero there, i.e. \(p(x)=0\). Crossing typically corresponds to an odd multiplicity of the root, touching corresponds to an even multiplicity. For example, \(p(x)=(x+3)(x-2)^2\) crosses at \(x=-3\) and touches at \(x=2\); both are real zeroes. Why others are wrong: B and C claim only one zero exists though both satisfy \(p(x)=0\); D is false. Exam tip: check whether the graph changes sign at the root — sign change means crossing (odd multiplicity), no sign change means touching (even multiplicity).
A. दो अलग वास्तविक शून्यक हैं/There are two distinct real zeroes
Explanation
Simple Explanation
यदि ग्राफ (x)-अक्ष को दो अलग स्थानों पर काटता है तो उन दोनों काटनों के x‑मान बहुपद के दो अलग वास्तविक शून्यक दर्शाते हैं। दोहराए हुए शून्यक (multiplicity ≥ 2) पर ग्राफ सामान्यतः अक्ष को स्पर्श करता पर पार नहीं करता — इसलिए विकल्प B गलत है। विकल्प C और D व्यावहारिक रूप से असंगत हैं: कोई वास्तविक शून्यक न होने पर अक्ष पर कोई कटान नहीं होना चाहिए, और "हर बिंदु शून्यक" केवल शून्य बहुपद (identically zero) के लिए सत्य होता है। परीक्षात्मक टिप: अक्ष को काटना = समिक बहुलक का विषम गुणा‑घात (odd multiplicity) की संभावना; स्पर्श करना = समान्यतः सम गुणा‑घात (even multiplicity)। / When the graph crosses the (x)-axis at two different x-values, those x-values are two distinct real roots of the polynomial. A repeated root (multiplicity ≥ 2) typically causes the graph to touch the axis without crossing, so option B is incorrect. Options C and D are inconsistent with two crossings: no real root would give no crossings, and "every point is a zero" only holds for the identically zero polynomial. Exam tip: crossing the axis usually corresponds to a root of odd multiplicity, while touching without crossing corresponds to even multiplicity.
ग्राफ़ का x-अक्ष पर काटना तब होता है जब p(x)=0।
解: \(x^2-49=0\) ⇒ \(x^2=49\) ⇒ \(x=\pm7\)। अतः x-अक्ष पर बिंदु होंगे \((7,0)\) और \((-7,0)\)।
क्यों विकल्प B गलत है: वहां ±49 लेना होगा जो समीकरण से मेल नहीं खाता (यह 49 का वर्ग मान लेना है, पर वास्तविक शून्य x=±7 देता है)। विकल्प C अक्षों को उल्टा कर रहा है (वे y-अक्ष के बिंदु हैं)।
परीक्षा टिप: गुणनखंड का प्रयोग करें — \(x^2-49=(x-7)(x+7)\) — इससे शून्य तेजी से मिल जाते हैं और ग्राफ के x-अक्ष पर छेद स्पष्ट होते हैं। / An x-intercept occurs where p(x)=0.
Solution: \(x^2-49=0\) ⇒ \(x^2=49\) ⇒ \(x=\pm7\). Therefore the graph meets the x-axis at \((7,0)\) and \((-7,0)\).
Why option B is wrong: it incorrectly uses ±49 for x, which does not satisfy the equation. Option C is wrong because it gives points on the y-axis, not x-intercepts.
Exam tip: Factor using the difference of squares: \(x^2-49=(x-7)(x+7)\) to find zeros quickly.
एक बहुपद का शून्य वही x-निर्देशांक होता है जहाँ ग्राफ x-अक्ष को काटता है। दिए गए बिंदु \((r,0)\) का प्रथम निर्देशांक \(r\) है और शर्त में \(r>0\) दिया है, अतः शून्य धनात्मक होगा। विकल्प A गलत है क्योंकि वह \(r>0\) के विपरीत कहता है; विकल्प C तब ही सही होगा जब \(r=0\) हो, जो यहाँ नहीं दिया गया; विकल्प D गलत है क्योंकि x-अक्ष पर कटान का मौजूद होना शून्य के होने की प्रत्यक्ष पहचान है। परीक्षा-टिप: किसी भी x-अक्ष के कटान पर बिंदु का पहला निर्देशांक ही शून्य (root) होता है और उसका चिह्न उसी संख्या से मिलता है। / The root (zero) of a polynomial is the x-coordinate where its graph meets the x-axis. At the point \((r,0)\) the x-coordinate is \(r\), and since \(r>0\) the root is positive. Option A is wrong because it contradicts \(r>0\); option C would be true only if \(r=0\), which is not given; option D is incorrect because an x-axis intersection means the polynomial evaluates to zero there. Exam tip: read the x-coordinate of the intercept to get the root and its sign.
x-अक्ष पर कटान बिंदु वे बिंदु होते हैं जहाँ \(p(x)=0\) अर्थात् बिंदु का स्वरूप \((a,0)\) होता है जब \(p(a)=0\)। यहाँ \(p(-3)=0\) और \(p(8)=0\) हैं, अतः कटान बिंदु \((-3,0)\) और \((8,0)\) हैं। विकल्प B में \((2,5)\) दिया है पर \(p(2)=5\) शून्य नहीं है, इसलिए वह x-अक्ष पर नहीं है। परीक्षा सलाह: हमेशा देखें कि दिया गया बिंदु का y-निर्देशांक शून्य है या नहीं (यानी क्या \(p(a)=0\))। / An x-axis intersection occurs at points \((a,0)\) where \(p(a)=0\). Since \(p(-3)=0\) and \(p(8)=0\), the x-intercepts are \((-3,0)\) and \((8,0)\). Option B lists \((2,5)\), but \(p(2)=5\) is not zero, so that point is not on the x-axis. Exam tip: to find x-intercepts from function values, check which input values give \(p(x)=0\).
A. \(x=11\) एक वास्तविक शून्य है और इसकी गुणता सम (even multiplicity) है।
Explanation
Simple Explanation
जब ग्राफ \(x\)-अक्ष को किसी बिंदु पर छूता है तो उस बिंदु पर फलन का मान शून्य होता है, अतः \(x=11\) एक शून्य (root) है. और यदि ग्राफ अक्ष को छूता है पर कटता नहीं है तो उस शून्य की गुणता सम होती है (जैसे गुणा 2,4,...). विकल्प B गलत है क्योंकि छूने का अर्थ है मान 0 होना; विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि वे अन्य x-मानों को शून्य घोषित करते हैं जो दिए हुए चित्र से समर्थित नहीं हैं. परीक्षीय संकेत: ग्राफ का अक्ष को छूना = सम गुणता (कोई साइन परिवर्तन नहीं), अक्ष को पार करना = विषम गुणता (साइन बदलता है)। / If the graph touches the x-axis at a point, the polynomial value there is 0, so \(x=11\) is a root. Touching without crossing indicates the root has even multiplicity (2,4,...). Option B is incorrect because touching implies f(11)=0; options C and D claim different x-values as zeros which are not supported. Exam tip: touching (no sign change) ⇒ even multiplicity; crossing (sign change) ⇒ odd multiplicity.
शून्यक वे बिंदु होते हैं जहाँ ग्राफ़ का y‑मान शून्य हो और समीकरण \(p(x)=0\) पूरा हो। \(p(x)=x^2-1\) के लिए \(p(\pm1)=1-1=0\), अतः बिंदु (-1,0) और (1,0) ग्राफ़ पर शून्यक हैं। परन्तु \(p(0)=0^2-1=-1\), अतः बिंदु (0,-1) में y = -1 है और यह शून्यक नहीं दर्शाता। निकटतम भ्रामक विकल्प D गलत है क्योंकि वह कहता है कि दोनों (-1,0) और (1,0) शून्यक नहीं हैं—वास्तव में दोनों शून्यक हैं। परीक्षा टिप: किसी बिंदु (a,b) की जाँचना हो तो p(a) निकालें; यदि p(a)=0 और b=0 हों तो वह शून्यक है। / Zeros (roots) occur where the graph has y = 0, i.e., where \(p(x)=0\). For \(p(x)=x^2-1\), \(p(\pm1)=1-1=0\), so (-1,0) and (1,0) are zeros. But \(p(0)=0^2-1=-1\), so (0,-1) has y = -1 and is not a zero. The closest distractor D is wrong because it claims both (-1,0) and (1,0) are not zeros, whereas both actually are. Exam tip: to test a point (a,b), compute p(a); if p(a)=0 (and b=0 on the graph) then it's a zero.
C. (a) एक वास्तविक शून्यक है और इसकी बहुलकता सम (even) है/(a) is a real zero with even multiplicity
Explanation
Simple Explanation
जब ग्राफ \\(x\\)-अक्ष पर बिंदु \\((a,0)\\) पर छूता है तो बहुपद का मान वहाँ शून्य होता है, अर्थात् \\({p(a)=0}\\)। इसके अतिरिक्त, छूने का अर्थ है कि ग्राफ-अक्ष के दूसरी तरफ नहीं जाता — इसका मतलब उस शून्य की बहुलकता सम (even) होती है। इसलिए (a) वास्तविक शून्यक है और उसकी बहुलकता सम है। विकल्प B गलत है क्योंकि विषम (odd) बहुलकता पर ग्राफ़ अक्ष को काटता (cross) है, न कि केवल छूता। विकल्प A और D स्पष्ट रूप से गलत हैं क्योंकि छूने पर मान शून्य होता है और यह y-अक्ष से ही कटने का विवरण नहीं है। परीक्षाई टिप: किसी बिंदु पर "छूना" सूचित करता है कि शून्यक की बहुलकता सम है; "काटना" सूचित करता है कि बहुलकता विषम है। / If the graph of a polynomial touches the x-axis at \\((a,0)\\), then the polynomial has value zero there, i.e. \\({p(a)=0}\\). Touching (without crossing) indicates the root at a has even multiplicity, so (a) is a real zero with even multiplicity. Option B is incorrect because an odd multiplicity root causes the graph to cross the x-axis, not merely touch it. Options A and D are incorrect since touching implies a zero on the x-axis, not a non-zero or only a y-intercept. Exam tip: "touching" ⇨ even multiplicity; "crossing" ⇨ odd multiplicity — use this to decide root behaviour quickly.
किसी बहुपद के शून्यक वे x-मान होते हैं जहाँ उसका आलेख x-अक्ष से मिलता है। \( (2,0) \) और \( (5,0) \) पर मिलने का अर्थ है दो अलग x-मूल्य: 2 और 5। ध्यान दें कि "स्पर्श" होने पर उस स्थान पर बहुपद की शून्यक की गुणात्मक बहुलकता सम (even) हो सकती है और "काटने" पर बहुलकता विषम (odd) हो सकती है — पर यह गुणात्मक बहुलकता अलग वास्तविक शून्यकों की संख्या बदलती नहीं है। इसलिए अलग वास्तविक शून्यक = 2। टिप: परीक्षा में केवल अलग x-मूल्यों को गिनें; गुणात्मक बहुलकता केवल आलेख का व्यवहार बताती है। / Distinct real zeros are the distinct x-values where the graph meets the x-axis. Here the graph meets at x=2 (touching) and x=5 (crossing), so there are two distinct zeros: 2 and 5. "Touching" usually indicates an even multiplicity and "crossing" an odd multiplicity, but multiplicity affects behavior, not the count of distinct zeros. Thus the answer is two. Exam tip: count distinct x-values where the graph meets the axis; multiplicity matters only for the shape at each root.
किसी बहुपद के आलेख में किस तरह से किसी बिंदु का अनुसंधान यह बताता है कि वह बिंदु शून्य (zero) है या नहीं? विशेष रूप से, (x)-अक्ष पर मिलना और (y)-अक्ष पर मिलना यह भिन्न क्यों होता है?
A. "(x)-अक्ष पर graph का y = 0 होता है इसलिए वहाँ \(p(x)=0\) मिलता है/On the (x)-axis y = 0 so there \(p(x)=0\) (zeros occur)"
Explanation
Simple Explanation
किसी बहुपद के शून्यक (zeros) वे x-मूल्य हैं जिन पर बहुपद की मान y = 0 होती है। इसलिए जब आलेख \(x\)-अक्ष को काटता है, उस बिंदु पर \(y=0\) और इसलिए \(p(x)=0\) होता है — यही शून्यक मिलना है। दूसरी ओर \(y\)-अक्ष पर मिलने का अर्थ है कि \(x=0\) और उस बिंदु की ऊर्ध्वाधर मान \(y=p(0)\) होती है, जो ज़रूरी नहीं कि शून्य हो। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(y\)-अक्ष पर हमेशा \(p(x)=0\) नहीं होता; केवल तब होगा जब \(p(0)=0\)। विकल्प C और D दोनों सामान्यीकृत गलत दावे हैं। परीक्षा टिप: शून्य ढूँढने के लिए \(y=0\) रखकर समीकरण हल करें; y-इंटरसेप्ट जानने के लिए \(x=0\) पर \(p(0)\) मूल्य निकालें। / Zeros of a polynomial are x-values where the polynomial's value is y = 0. Thus an intersection with the (x)-axis means y = 0 at that x, so \(p(x)=0\) — that is a root. An intersection with the (y)-axis means x = 0 and the point is \(y=p(0)\), which need not be zero. Hence A is correct. Option B is the common mistake: the y-axis intersection is not automatically a root unless \(p(0)=0\). Options C and D are overgeneralizations and false. Exam tip: set \(y=0\) to find zeros (solve \(p(x)=0\)); set \(x=0\) to find the y-intercept (compute \(p(0)\)).
x-अक्ष पर कटान बिंदु (a,0) का अर्थ है कि उस फ़ंक्शन/बहुपद का मान x=a पर शून्य है। अतः (a,0), (b,0), (c,0) से शून्यक क्रमशः a, b, c होते हैं। विकल्प A तब ही सही होगा जब a=b=c=0, जो सामान्य रूप में सत्य नहीं है। विकल्प C गलत है क्योंकि a+0 = a आदि लिखा जा सकता है — यह सिर्फ अनावश्यक रूप है, न कि अमान्य। विकल्प D गलत है क्योंकि दिए गए तीनों कटान बिंदु तीनों शून्य दर्शाते हैं, न कि केवल c। परीक्षा-टिप: किसी x-अक्ष कटान (α,0) से सीधे α को शून्यक समझें। / An x-intercept (a,0) means the function (or polynomial) equals zero at x=a, so the zeros are a, b and c respectively. Choice A would only be true if a=b=c=0, which need not hold. Choice C is incorrect because a+0 = a (writing it that way is valid but redundant). Choice D is wrong because all three intercepts give zeros, not only c. Exam tip: read the x-coordinate of an x-intercept (α,0) as a zero of the polynomial.
दूरी का अर्थ है दो बिंदुओं के बीच का सकारात्मक अंतर, यानी अनुप्रयोग में हम absolute difference लेते हैं। यहाँ दूरी = |9 - (-3)| = |12| = 12। विकल्प A (6) आम गलती है यदि कोई दूरी की बजाय मध्यबिंदु या दूरी को आधा मान लेता है। विकल्प B (9) तब आती है जब कोई केवल 9 का मान ले लेता है और -3 को नजरअंदाज करता है — यह सही तरीका नहीं है। विकल्प D (-12) गलत है क्योंकि दूरी कभी नकारात्मक नहीं होती। परीक्षा टिप: किसी भी दो x-स्थानांकों के बीच दूरी = |x2 - x1| लिखकर तुरंत निकालें। / Distance between two zeros on the x-axis is the absolute difference of their x-coordinates. Here distance = |9 - (-3)| = |12| = 12, so option C is correct. Option A (6) could arise from mistakenly taking half the separation (confusing midpoint with distance). Option B (9) reflects ignoring the negative sign of -3 and using only 9, which is incorrect. Option D (-12) is invalid because distance cannot be negative. Exam tip: compute distance as |x2 - x1| to avoid sign errors.
परिभाषा के अनुसार कोई संख्या \(a\) उस बहुपद का शून्यक तभी होती है जब \(p(a)=0\)। यहाँ सीधे दिया है कि \(p(2)=0\), अतः 2 निश्चित रूप से शून्यक है। जबकि \(p(-1)<0\) और \(p(0)<0\) इन स्थानों पर फलन मान शून्य से भिन्न (ऋण) है — इसलिए \(-1\) और \(0\) शून्यक नहीं हो सकते। विकल्प 'कोई नहीं' गलत है क्योंकि \(p(2)=0\) स्पष्ट रूप से एक शून्यक दर्शाता है। परीक्षा टिप: किसी मान के शून्यक होने की पुष्टि के लिए वही दिया हुआ समीकरण देखें — केवल \(p(a)=0\) पर ही वह मान शून्यक होगा। / By definition a number \(a\) is a zero of the polynomial only if \(p(a)=0\). Here \(p(2)=0\) is given, so 2 is definitely a root. The statements \(p(-1)<0\) and \(p(0)<0\) show values that are nonzero (negative), so \(-1\) and \(0\) are not roots. 'None' is incorrect because \(p(2)=0\) explicitly gives a zero. Exam tip: to confirm a zero, look for an explicit equality \(p(a)=0\); sign information alone (positive/negative) does not prove a root.
A. मूल बिंदु पर स्पर्श करता है \(x=0\)/It touches the x-axis at the origin
Explanation
Simple Explanation
\(p(x)=x^2\) के लिए x-अक्ष से मिलने के लिए \(p(x)=0\) हल करें: \(x^2=0\) से केवल \(x=0\) मिलता है। यह शून्य दोहराया शून्य है (multiplicity 2), इसलिए ग्राफ x-अक्ष पर पार न करके उस पर स्पर्श करता है। विकल्प B गलत है क्योंकि वह दो अलग शून्य मान मानता है; विकल्प C गलत है क्योंकि आलेख वास्तव में x-अक्ष से मिलता है; विकल्प D गलत है क्योंकि \(x=1\) पर \(p(1)\neq0\)। परीक्षा टिप: शून्य की multiplicity देखिए — सम multiplicity पर स्पर्श, विषम पर कटता है। / Set \(p(x)=0\): for \(p(x)=x^2\) we get \(x^2=0\), so the only root is \(x=0\). The root has multiplicity 2, so the parabola touches the x-axis at the origin and does not cross it. Option B is wrong because it assumes two distinct zeros; C is wrong because the graph does meet the axis; D is wrong because \(x=1\) is not a root. Exam tip: check the multiplicity of a zero — even multiplicity means the graph touches (tangent), odd multiplicity means it crosses.
x-2-9=0 हल करने पर x-2=9 ⇒ x=±3 मिलता है। इसलिए x-अक्ष पर कटबिंदु (-3, 0) और (3, 0) होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि (0,-9) y-अक्ष पर कटबिंदु है और (9,0) यहाँ किसी भी मान्य हल से सम्बंधित नहीं है (x=9 नहीं आता)। विकल्प C गलत है क्योंकि p(3)=0 है, p(3)=3 नहीं। परीक्षा-टिप: x-अक्ष के कटबिंदु पाने के लिए हमेशा p(x)=0 हल करें या p(x)= (x-3)(x+3) की तरह फैक्टरिंग पहचानें। / Solve x-2-9=0 ⇒ x-2=9 ⇒ x=±3, so the x-intercepts are (-3, 0) and (3, 0). Option B is incorrect because (0, -9) is the y-intercept and (9, 0) does not follow from the equation (x is not 9). Option C is wrong since p(3)=0, not 3. Option D is wrong because real x-intercepts do exist. Exam tip: set p(x)=0 or factor p(x) as (x-3)(x+3) to find x-intercepts quickly.
A. यह y-अक्ष पर स्थित कटान है और इसमें y\neq0 है, इसलिए 7 शून्यक नहीं है/It is a y-axis intercept with y\neq0, so 7 is not a zero
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (root) का अर्थ वह x‑मान है जहाँ ग्राफ का y‑मान शून्य हो यानी बिंदु का दूसरा निर्देशांक 0 होना चाहिए (उदा. (a,0)). बिंदु (0,7) में y=7 है, इसलिए यह x‑अक्ष पर नहीं है बल्कि y‑अक्ष कटान (y‑intercept) है; 7 y‑सह‑निर्देशांक है न कि शून्यक। नज़दीकी भ्रम (विकल्प C) गलत है क्योंकि x=0 होना शर्त नहीं है कि y वह शून्यक हो—शून्यक के लिये y=0 चाहिए। परीक्षा सुझाव: रूट देखने के लिये हमेशा बिंदु का दूसरा निर्देशांक (y) 0 है या नहीं जांचें। / A zero (root) of a polynomial is an x‑value where the graph meets the x‑axis, so the point must have y=0 (e.g. (a,0)). The point (0,7) has y=7, so it is a y‑axis intercept (y‑intercept), not an x‑intercept; 7 is the y‑coordinate, not a root. The closest distractor (option C) is wrong because x=0 alone does not make 7 a root—the y coordinate must be 0. Exam tip: to identify a root from a point, always check that the second coordinate equals 0.
शून्यक की परिभाषा के अनुसार किसी संख्या \(a\) के लिए \(a\) शून्यक तभी होता है जब \(p(a)=0\)। यहाँ \(p(2)=3\) है जो शून्य नहीं है, अतः \(2\) शून्यक नहीं है। ज्यामितीय रूप से शून्यक वह x‑समानांतर बिंदु होता है जहाँ आलेख x‑अक्ष (y=0) को छूता है; बिंदु \((2,3)\) x‑अक्ष के ऊपर है। नजदीकी विचलन "निर्धारित नहीं किया जा सकता" गलत है क्योंकि \(p(2)\) का मान दिया हुआ है; "केवल द्विघात में हाँ" गलत है क्योंकि डिग्री का कोई संबंध नहीं है — शर्त हमेशा \(p(a)=0\) है। टिप: किसी बिंदु के लिए y‑निर्देशांक को देखें — शून्य होने पर ही x मान शून्यक होता है। / By definition a number \(a\) is a zero (root) of a polynomial only if \(p(a)=0\). Here \(p(2)=3\), which is not zero, so 2 is not a root. Geometrically roots are x‑intercepts where the graph meets the x‑axis (y=0); the point \((2,3)\) lies above the x‑axis. The distractor "Cannot be determined" is wrong because the value \(p(2)\) is explicitly given; "Only for quadratics" is also incorrect since degree does not change the condition \(p(a)=0\). Exam tip: always check whether the y‑value equals 0 to decide if an x‑value is a root.
यदि किसी बहुपद का शून्यक a है तो बहुपद a पर शून्य देता है, अर्थात् उस बिंदु पर y=0 होगा — इसलिए वह बिंदु \,\((a,0)\) होता है। शून्यक 1 और 4 के लिए कटान बिंदु \,\((1,0)\) और \,\((4,0)\) होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि वह y-अक्ष के उपर के बिंदु दिखाता है (x=0); C गलत है क्योंकि वहाँ y≠0 होने पर x-अक्ष पर कटान नहीं होता; D गलत है क्योंकि संकेत उल्टे दिए गए हैं। परीक्षा टिप: शून्यक को हमेशा x-निर्देशांक समझें — x=a पर y=0। / If a polynomial has a zero a, the graph takes the value 0 at x=a, so the intersection point with the x-axis is (a,0). For zeros 1 and 4 the graph meets the x-axis at (1,0) and (4,0). Option B lists points on the y-axis (x=0), C lists points with y≠0 so they are not x-intercepts, and D has the wrong signs. Exam tip: a zero gives the x-coordinate of the intercept; set y=0 to find the points.
y-अक्ष पर कटान बिंदु \((0,5)\) का मतलब है कि बहुपद का मान \(x=0\) पर \(p(0)=5\) है। शून्यक होने के लिए आवश्यक है कि \(p(0)=0\) हो। इसलिए \(x=0\) शून्यक नहीं है। विकल्प B गलत है क्योंकि किसी भी बिंदु का y-अक्ष पर होना उसे शून्यक नहीं बनाता; शून्यक वह x-मूल्य है जहाँ y=0 होता है। विकल्प C सही की व्याख्या देता है पर A अधिक सटीक है क्योंकि यहां दिया गया विशिष्ट मान \(p(0)=5\) है। विकल्प D गलत है क्योंकि y-अक्ष कटान हमें सीधे \(p(0)\) देता है, अत: अतिरिक्त अभिव्यक्ति की आवश्यकता नहीं है। टिप: किसी भी ग्राफ़ पर y-अक्ष कटान \\((0,y_0)\\) देखें — वह तुरंत बताता है \(p(0)=y_0\)। / The y-intercept \((0,5)\) means the polynomial evaluates to \(p(0)=5\). A zero (root) requires \(p(0)=0\), so \(x=0\) is not a root. Option B is incorrect because being on the y-axis does not imply the function value is zero. Option C states the correct idea that zeros occur where the graph meets the x-axis (y=0), but A is the best answer here since the specific value \(p(0)=5\) is given. Option D is incorrect because the y-intercept already gives the required value \(p(0)\). Exam tip: the y-intercept \((0,y_0)\) always tells you \(p(0)=y_0\); roots are where \(y_0=0\).
A. \((4)\) बहुपद का शून्यक (root) है/\((4)\) is a zero (root) of the polynomial
Explanation
Simple Explanation
बिंदु \((4,0)\) का अर्थ है कि x = 4 पर बहुपद का मान 0 है, यानी \(p(4)=0\)। इसलिए \(4\) बहुपद का शून्यक (root) है। विकल्प C भ्रमित करने वाला है क्योंकि y-अक्ष पर छेदन के लिए x = 0 होना चाहिए (बिंदु का रूप \((0,b)\)) — यहाँ x = 4 है, इसलिए वह y-अक्ष छेदन नहीं हो सकता। विकल्प B तभी सही होता अगर ग्राफ पर \((0,0)\) हो, और विकल्प D गलत है क्योंकि एक बिंदु \((4,0)\) होने से बहुपद का मान सभी x के लिए समान होने का निष्कर्ष नहीं निकला जा सकता। परीक्षा टिप: किसी बिंदु \((a,0)\) को देखकर तुरंत समझें कि x = a एक शून्यक है; y-अक्ष छेदन के लिए बिंदु का x-समन्वय 0 होना चाहिए। / The point \((4,0)\) means the polynomial takes value 0 at x = 4, i.e. \(p(4)=0\). Hence 4 is a zero (root) of the polynomial. Option C is a common confusion: a y-intercept has x = 0 (points of form \((0,b)\)), so x = 4 cannot be a y-intercept. Option B would be true only if the graph contained \((0,0)\). Option D is incorrect because a single point at \((4,0)\) does not imply the polynomial is constant. Exam tip: from a point \((a,0)\) read the x-coordinate as the root; for the y-intercept look for x = 0.
A. जहाँ आलेख x-अक्ष को काटता है/Where the graph intersects the x-axis
Explanation
Simple Explanation
किसी बिंदु पर बहुपद का मान \(p(x)=0\) होने पर उस बिंदु का आव्यूह (ordinate) शून्य होता है, अर्थात् बिंदु रूप में \((a,0)\) और यह x-अक्ष पर स्थित होता है। इसलिए शून्य उस स्थान को दर्शाता है जहाँ आलेख x-अक्ष को काटता है। विकल्प B गलत है क्योंकि y-अक्ष पर x=0 होता है — केवल तब y-अक्ष पर शून्य होगा जब \(p(0)=0\) हो; यह सामान्य सिद्धांत नहीं है। परीक्षायी टिप: रूट देखने के लिए देखिए कि किन x के लिए \(y=p(x)=0\) होता है — वे बिंदु x-अक्ष पर ही होंगे। / A zero means a value a with \(p(a)=0\), so the graph passes through the point \((a,0)\) where the y-coordinate is zero. Hence zeros appear where the curve intersects the x-axis. Option B is incorrect because the y-axis has x=0; it is a zero only if \(p(0)=0\) specifically. Exam tip: to locate roots on the graph, look for intersection points with the x-axis (where y=0).
मूल बिंदु का निर्देशांक \((0,0)\) है, अतः बिन्दु पर \(y=p(x)=0\) होता है जब \(x=0\)। इसलिए \(x=0\) बहुपद का शून्यक है। विकल्प B और C विशिष्ट अन्य मान हैं जो केवल तभी शून्यक हो सकते हैं यदि वह बिन्दु ग्राफ पर हो — परंतु यहाँ ग्राफ मूल बिंदु पर है, इसलिए वे गलत हैं। विकल्प D (निर्धारित नहीं) गलत है क्योंकि मूल बिन्दु होने से सीधे \(p(0)=0\) मिलता है। परीक्षा-सुझाव: किसी भी बिंदु के आर्डिनेट्स पढ़ते समय पहले x और y की वैल्यू पुष्टि करें; origin हमेशा \(x=0\), \(y=0\) देता है। / The origin is \((0,0)\), so at that point \(y=p(x)=0\) when \(x=0\). Hence \(x=0\) is a root of the polynomial. Options B and C give other specific x-values which are not implied by the graph passing through the origin. Option D (Cannot be determined) is incorrect because passing through the origin directly gives \(p(0)=0\). Exam tip: always substitute the coordinates of the given point into \(p(x)\) to check which x-value makes the polynomial zero.
A. \,\(r\\) उस बहुपद का शून्यक (root) है/r is a zero (root) of the polynomial
Explanation
Simple Explanation
जब ग्राफ x-अक्ष को बिंदु \,\((r,0)\\) पर छूता है तो उस बिंदु पर y का मान शून्य होता है, यानी बहुपद का मान \,\(f(r)=0\\) होता है। इसलिए \,\(r\\) उस बहुपद का शून्यक (मूल) है। विकल्प B गलत है क्योंकि स्थिर पद से तात्पर्य \(x=0\\) पर बहुपद का मान होता है, न कि किसी सामान्य बिंदु \(r\\) से। विकल्प D स्पष्टतः गलत है क्योंकि \(y=0\\) होने पर वह शून्यक ही माना जाएगा। (अतिरिक्त जानकारी: यदि ग्राफ केवल छूता है और काटकर नहीं जाता तो उस शून्यक की गुणांकीयता (multiplicity) सम (even) होगी।) परीक्षा-सुझाव: ग्राफ के किसी बिंदु पर y=0 हो तो सीधे वह x-मूल है; छूना/काटना देखकर गुणांकीयता के बारे में अनुमान लगाइए। / If the graph touches the x-axis at \,\((r,0)\\) then the function value there is zero, i.e. \,\(f(r)=0\\). Hence \,\(r\\) is a zero (root) of the polynomial. Option B is wrong because the constant term means the value of the polynomial at \(x=0\\), not the x-coordinate of a general intercept. Option D is incorrect since \(y=0\\) at that point implies it is a root. (Additional note: when the graph only touches and does not cross, the root typically has even multiplicity.) Exam tip: whenever a graph meets the x-axis at a point, that x-coordinate is a root; use whether it crosses or only touches to infer multiplicity.
x-अक्ष पर किसी बिंदु (a, 0) का अर्थ है कि बहुपद p(x) का मान x = a पर शून्य है, यानी p(10) = 0। इसलिए 10 बहुपद का शून्यक (root) है। विकल्प D गलत है क्योंकि स्थिर (constant) पद बहुपद का x = 0 पर मान होता है (y-अवरोध), न कि किसी x-अवरोध के x-निर्देशांक। विकल्प B और C भी गलत हैं क्योंकि दिए गए कटाव का x-निर्देशांक 10 है, न कि 0 या −10। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर कटाव बिंदु का x-निर्देशांक हमेशा उसी बहुपद का शून्यक होता है; सीधे x-निर्देशांक पढ़कर root तय करें। / A point (a, 0) where the graph meets the x-axis means the polynomial p(x) satisfies p(a) = 0. Here p(10) = 0, so 10 is a root (zero) of the polynomial. Option D is incorrect because the constant term is the value of the polynomial at x = 0 (the y-intercept), not the x-coordinate of an x-intercept. Options B and C are wrong since the x-coordinate of the intercept given is 10, not 0 or −10. Exam tip: the x-coordinate of an x-axis intersection gives the root directly — read the coordinate to identify the zero.
x-अक्ष पर काटने का बिंदु (-4,0) बताता है कि उस बिंदु पर बहुपद का मान 0 है। इसका मतलब है कि \\(x=-4\\) पर बहुपद शून्य होगा, अर्थात् \\(-4\\) जड़ (root) है। विकल्प B (4) गलत है क्योंकि वह विपरीत संकेत वाला मान है; विकल्प C (0) और D (1) तभी सही होते यदि वे भी x-अक्ष पर कटाव बिंदु होते, जो दिए हुए नहीं हैं। परीक्षा-टिप: x-अक्ष के कटाव बिंदु का x-निर्देशांक सीधे जड़ देता है — संदेह होने पर बहुपद में प्रतिस्थापित कर जाँच लें। / An x-intercept of (-4, 0) means the polynomial evaluates to 0 at x = -4, so x = -4 is a root. Option B (4) is incorrect because it has the opposite sign; options C (0) and D (1) would only be correct if those x-values were the intercepts, which they are not. Exam tip: the x-coordinate of an x-intercept gives the root directly; if unsure, substitute the value into the polynomial to verify.
यदि p(a)=0 है तो किसी बहुपदीय फलन के लिये बिंदु को सामान्यतः (x,p(x)) के रूप में लिखा जाता है; यहाँ x=a होने पर वह बिंदु (a,p(a)) बनता है और p(a)=0 होने पर यह (a,0) बन जाता है। इसलिए ग्राफ अवश्य (a,0) से गुज़रता है। निकटतम ग़लत विकल्प D = (-a,0) इसलिए गलत है क्योंकि वह तभी सही होगा जब p(-a)=0 हो। परीक्षा-सूत्र: किसी भी दिए गए x के लिये ग्राफ पर बिंदु को (x,p(x)) लिखें और p(x) में मान डालकर देखें। / For a polynomial function the graph contains points of the form (x,p(x)). If p(a)=0 then the point (a,p(a)) becomes (a,0), so the graph must pass through (a,0). The closest distractor, (-a,0), is also on the x-axis but would be correct only if p(-a)=0. Exam tip: Always express a point as (x,p(x)) and substitute the given x to find the corresponding point on the graph.
A. -5 बहुपद का शून्यक है/-5 is a zero of the polynomial
Explanation
Simple Explanation
जब किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को किसी बिंदु x = a पर काटता है, तो उस बिंदु का x-मान बहुपद का शून्यक होता है क्योंकि उस बिंदु पर फलन का मान शून्य होता है। अतः यदि ग्राफ x = -5 पर काटता है तो बहुपद के लिए \\(f(-5)=0\\) और -5 शून्यक है। विकल्प B (5) सामान्य गलतफहमी है — मान का चिह्न महत्वपूर्ण है; +5 तभी शून्यक होगा जब ग्राफ x = 5 पर कटकर y = 0 दे। विकल्प C और D भी दिए हुए स्थितियों से मेल नहीं खाते। परीक्षा सुझाव: x-अक्ष पर जहाँ ग्राफ कटे वही x-कोऑर्डिनेट पढ़ें और ऋण/धनात्मक चिह्न पर ध्यान दें। / The x-coordinate where a graph meets the x-axis is a root of the polynomial because at that point the function value is zero. So if the graph cuts at x = -5, then the polynomial satisfies \(f(-5)=0\) and -5 is a zero. Option B (5) is a common trap — the sign matters, +5 would be a root only if the graph crossed at x = 5. Options C and D contradict the given point of intersection. Exam tip: always read the x-coordinate of the intercept (including its sign); that x-value is the zero of the polynomial.
A. वे एक बिंदु पर कटेंगी/They will intersect at one point
Explanation
Simple Explanation
यहां \(5/10 \ne 2/3\), इसलिए रेखाएं कटेंगी। कटती रेखाएं एक अद्वितीय हल देती हैं। / Here \(5/10 \ne 2/3\), so the lines will intersect. Intersecting lines give one unique solution.
प्रतिच्छेदी रेखाओं के लिए (x) और (y) के गुणांक अनुपात बराबर नहीं होते। यही अद्वितीय समाधान की शर्त है। / For intersecting lines, the coefficient ratios of (x) and (y) are not equal. This is the condition for a unique solution.
((0,0)) दोनों समीकरण (x+y=0) और (2x-y=0) को संतुष्ट करता है। बाकी विकल्पों में प्रतिच्छेद मूलबिंदु नहीं है या रेखाएं संपाती हैं। / ((0,0)) satisfies both (x+y=0) and (2x-y=0). In the other options, the intersection is not the origin or the lines are coincident.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए रेखाएं संपाती हैं। संपाती रेखाओं में हर बिंदु समाधान होता है। / The second equation is (2) times the first, so the lines are coincident. In coincident lines, every point is a solution.
B. वे समांतर और अलग हैं/They are parallel and distinct
Explanation
Simple Explanation
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (10x-6y=20), जबकि दूसरा (10x-6y=25) है। इसलिए रेखाएँ समांतर और अलग हैं। / Multiplying the first equation by (2) gives (10x-6y=20), while the second is (10x-6y=25). Hence the lines are parallel and distinct.
पहला समीकरण (4) से भाग देने पर (2x-3y=5) बनता है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं और अनंत हल हैं। / Dividing the first equation by (4) gives (2x-3y=5). Therefore both are the same line and have infinitely many solutions.
B. वे समांतर और अलग हैं/They are parallel and distinct
Explanation
Simple Explanation
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (6x-4y=12), जबकि दूसरा (6x-4y=18) है। इसलिए रेखाएँ समांतर और अलग हैं। / Multiplying the first equation by (2) gives (6x-4y=12), while the second is (6x-4y=18). Hence the lines are parallel and distinct.
पहला समीकरण (3) से भाग देने पर (2x-3y=5) बनता है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं और अनंत हल हैं। / Dividing the first equation by (3) gives (2x-3y=5). Therefore both are the same line and have infinitely many solutions.
पहला समीकरण (5) से भाग देने पर (x-2y=4) बनता है। इसलिए दोनों रेखाओं के अनंत सामान्य बिंदु हैं। / Dividing the first equation by (5) gives (x-2y=4). Therefore the two lines have infinitely many common points.
B. संपाती रेखाओं को एक हल वाला मानना/Treating coincident lines as having one solution
Explanation
Simple Explanation
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए रेखाएँ संपाती हैं। संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं, केवल (1) नहीं। / The second equation is (2) times the first, so the lines are coincident. Coincident lines have infinitely many solutions, not only (1).
B. वे समांतर और अलग हैं/They are parallel and distinct
Explanation
Simple Explanation
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (4x+6y=14), जबकि दूसरा (4x+6y=20) है। इसलिए रेखाएँ समांतर और अलग हैं। / Multiplying the first equation by (2) gives (4x+6y=14), while the second is (4x+6y=20). Hence the lines are parallel and distinct.
पहला समीकरण (3) से भाग देने पर (x+y=8) बनता है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं। / Dividing the first equation by (3) gives (x+y=8). Therefore, both are the same line.
पहला समीकरण (2) से भाग देने पर (x+y=9) बनता है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं। / Dividing the first equation by (2) gives (x+y=9). Therefore, both are the same line.
गुणनखंड प्रमेय से (p(3)=0), इसलिए (27-45+3a+12=0) और (a=2)। परीक्षा में दिए गए गुणनखंड से मूल तुरंत रखिए। / By the factor theorem (p(3)=0), so (27-45+3a+12=0) and (a=2). In exams, substitute the zero from the given factor directly.
(p(x)) के शून्यक (2) और (5) हैं, इसलिए (p(x+1)=0) के लिए (x+1=2) या (x+1=5)। अतः (q(x)) के शून्यक (1) और (4) हैं। / The zeroes of (p(x)) are (2) and (5), so for (p(x+1)=0), (x+1=2) or (x+1=5). Hence the zeroes of (q(x)) are (1) and (4).
शेष प्रमेय से (p(-1)=0), इसलिए (-2-5-m+6=0) और (m=-1) नहीं, सही समीकरण (-1-m=0) देता है (m=-1)। / By remainder theorem (p(-1)=0), so (-2-5-m+6=0), giving (-1-m=0) and (m=-1). Always check signs carefully.
गुणनखंड प्रमेय से (p(2)=0), इसलिए (8+4k-8-4=0) और (k=1)। परीक्षा में पहले दिए गए मूल को सीधे रखिए। / By factor theorem (p(2)=0), so (8+4k-8-4=0) and (k=1). In exams, substitute the given zero directly.
(p(1)=a+b+c) और (p(-1)=a-b+c) हैं, घटाने पर (2b=0) मिलता है। परीक्षा में सममित मानों पर जोड़-घटाव जल्दी करें। / (p(1)=a+b+c) and (p(-1)=a-b+c); subtracting gives (2b=0). In exams, use addition or subtraction for symmetric inputs.
\(\alpha+\beta=6\) और (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) होता है। इसलिए (20=36-2k) से (k=8) मिलता है। / Here \(\alpha+\beta=6\) and (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta). So (20=36-2k), giving (k=8).
(p(3)=81-45+4=40) है, इसलिए (3) शून्यक नहीं है। शेष (1), (-1) और (2) पर मान (0) मिलता है। / (p(3)=81-45+4=40), so (3) is not a zero. The values (1), (-1), and (2) make the polynomial (0).
शून्यकों से बहुपद (x(x-2)(x+3)) बनेगा। इसे फैलाने पर \(x^3+x^2-6x\) मिलता है। / From the zeroes, the polynomial is (x(x-2)(x+3)). Expanding gives \(x^3+x^2-6x\).
द्विघात \(ax^2+bx+c\) के लिए शून्यकों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। इसलिए \(\alpha+\beta=-\frac{5}{2}\)। / For \(ax^2+bx+c\), the sum of zeroes is \(-\frac{b}{a}\). Hence \(\alpha+\beta=-\frac{5}{2}\).
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)) होता है। यहां \(\alpha\beta=-10\) और \(\alpha+\beta=3\), इसलिए मान (-30) है। / (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)). Here \(\alpha\beta=-10\) and \(\alpha+\beta=3\), so the value is (-30).
योग (8) और अंतर (2) से शून्यक (5) और (3) हैं। गुणनफल (15) है इसलिए (k=15)। / From sum (8) and difference (2), the zeroes are (5) and (3). Their product is (15), so (k=15).
शून्यक (t) और (3t) मानें, तो \(3t^2=9\) से \(t=\sqrt{3}\) है। योग \(4\sqrt{3}\) है इसलिए \(k=-4\sqrt{3}\)। / Let the zeroes be (t) and (3t), so \(3t^2=9\) gives \(t=\sqrt{3}\). The sum is \(4\sqrt{3}\), hence \(k=-4\sqrt{3}\).
\(\alpha+\beta=4\) और \(\alpha\beta=1\) है। (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=64-12=52)। / \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha\beta=1\). (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=64-12=52).
मूल शून्यक (-2) और (-3) हैं, इसलिए नए शून्यक (-1) और (-2) हैं। नया बहुपद \(x^2+3x+2\) है। / The original zeroes are (-2) and (-3), so the new zeroes are (-1) and (-2). The new polynomial is \(x^2+3x+2\).
(p(2)=8-8-10+6=-4) है इसलिए (2) शून्यक नहीं है। बाकी विकल्पों को भी प्रतिस्थापन से जांच सकते हैं। / (p(2)=8-8-10+6=-4), so (2) is not a zero. The other options can be checked by substitution.
(p(1)=2-9+13-6=0) है इसलिए (x-1) गुणनखंड है। विकल्प जांच में छोटे मान पहले लगाएं। / (p(1)=2-9+13-6=0), so (x-1) is a factor. In option checking, try small values first.
(p(1)=k-3) और (p(3)=k-3) दोनों बराबर हैं। इसलिए (k) कोई भी वास्तविक मान हो सकता है। / (p(1)=k-3) and (p(3)=k-3), so they are equal. Hence (k) can be any real value.
बराबर ऋणात्मक शून्यक (-4) और (-4) होंगे क्योंकि गुणनफल (16) है। योग (-8) है इसलिए (p=8)। / The equal negative zeroes are (-4) and (-4) because the product is (16). The sum is (-8), so (p=8).
\(\alpha+\beta=-\frac{2}{3}\) है। इसलिए (\(\alpha+\beta\)2=\frac{4}{9}) होगा। / \(\alpha+\beta=-\frac{2}{3}\). Therefore, (\(\alpha+\beta\)2=\frac{4}{9}).
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) है। यहां \(\frac{3}{2}\div-\frac{5}{2}=-\frac{3}{5}\)। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here \(\frac{3}{2}\div-\frac{5}{2}=-\frac{3}{5}\).
मोनिक बहुपद (x-2-\(\alpha+\beta\)x+\alpha\beta) होता है। इसलिए \(x^2-5x+6\) सही है। / The monic polynomial is (x-2-\(\alpha+\beta\)x+\alpha\beta). Hence \(x^2-5x+6\) is correct.
\(x^2+1\) रैखिक नहीं है क्योंकि उसकी घात (2) है। वास्तविक संख्याओं में इसे रैखिक गुणनखंड नहीं माना जाता। / \(x^2+1\) is not linear because its degree is (2). Over real numbers, it is not a linear factor.
शेषफल प्रमेय के अनुसार (x-4) से भाग देने पर शेषफल (p(4)) होता है। इसलिए (p(4)=7)। / By the remainder theorem, the remainder on division by (x-4) is (p(4)). Therefore, (p(4)=7).
(x+1) गुणनखंड होने पर (p(-1)=0) होगा। (-2+k+5+2=0) से (k=-5) नहीं बल्कि (k=-5) मिलता है। / If (x+1) is a factor, then (p(-1)=0). From (-2+k+5+2=0), we get (k=-5).
((x-a)(x-b)(x-c)) फैलाने पर पहला रूप मिलता है। शून्यकों और गुणनखंडों का संबंध याद रखें। / Expanding ((x-a)(x-b)(x-c)) gives the first form. Remember the link between zeroes and factors.
(x-2-6x+9=(x-3)2) है इसलिए दोनों शून्यक (3) हैं। वर्ग रूप को पहचानना परीक्षा में तेज तरीका है। / (x-2-6x+9=(x-3)2), so both zeroes are (3). Recognizing square form is a fast exam method.
गुणनफल \(\frac{m}{3}\) है। \(\frac{m}{3}=\frac{4}{3}\) से (m=4) मिलता है। / The product is \(\frac{m}{3}\). From \(\frac{m}{3}=\frac{4}{3}\), we get (m=4).
(2) और (3) दोनों शून्यक हैं, इसलिए (p(3)=0) और (p(2)=0)। अतः अंतर (0) है। / Both (2) and (3) are zeroes, so (p(3)=0) and (p(2)=0). Therefore, the difference is (0).
\(0x^5\) पद घात नहीं बढ़ाता क्योंकि उसका गुणांक (0) है। सबसे बड़ा शून्येतर घात (4) है। / The term \(0x^5\) does not affect degree because its coefficient is (0). The highest non-zero power is (4).
योग (-3) है इसलिए (a=3) और गुणनफल (-28) है इसलिए (b=-28)। अतः (a-b=31) है। / The sum is (-3), so (a=3), and the product is (-28), so (b=-28). Hence (a-b=31).
शून्यकों का योग \(-\frac{7}{12}\) और गुणनफल \(-\frac{5}{6}\) है। इसलिए \(12x^2+7x-10\) सही है। / The sum is \(-\frac{7}{12}\) and the product is \(-\frac{5}{6}\). So \(12x^2+7x-10\) is correct.
बहुपद ((x-1)(x-2)(x-3)=x-3-6x-2+11x-6) है। इसलिए (p=-6), (q=11) और (p+q=5) नहीं बल्कि (5) है। / The polynomial is ((x-1)(x-2)(x-3)=x-3-6x-2+11x-6). Hence (p=-6), (q=11), so (p+q=5).
(p(2)=8-16+2+6=0) है इसलिए (2) शून्यक है। सीधे प्रतिस्थापन से जल्दी जांच होती है। / (p(2)=8-16+2+6=0), so (2) is a zero. Direct substitution is the quickest check.
बराबर शून्यकों के लिए विविक्तकर \(b^2-4ac=0\) होता है। इसलिए (81-4k=0) से \(k=\frac{81}{4}\) मिलता है। / For equal zeroes, the discriminant \(b^2-4ac=0\). Thus (81-4k=0), giving \(k=\frac{81}{4}\).
द्विघात \(ax^2+bx+c\) में गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहां \(\frac{3}{2}\) सही है। / For \(ax^2+bx+c\), the product is \(\frac{c}{a}\). Here, \(\frac{3}{2}\) is correct.
