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गुणनफल धनात्मक होने पर दोनों चिन्ह समान होते हैं। योग धनात्मक होने से दोनों मूल धनात्मक होंगे। / A positive product means both signs are same. A positive sum means both roots are positive.
पहले विकल्प में योग \(-\frac{b}{a}=9\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}=20\) है। इसलिए दोनों धनात्मक हैं। / In the first option, the sum is \(-\frac{b}{a}=9\) and the product is \(\frac{c}{a}=20\). So both are positive.
B. जैविक विविधता और प्राकृतिकता कमजोर होगी/Organic variety and naturalness will weaken
Explanation
Simple Explanation
प्रकृति में आकारों में सूक्ष्म अंतर होता है। परीक्षा में प्राकृतिक रूपों में अनियमितता याद रखें। / Natural forms have subtle variation. Exam tip: remember irregularity in natural forms.
A. प्राकृतिकता और जैविक विविधता कमजोर होगी/Naturalness and organic variety will weaken
Explanation
Simple Explanation
प्राकृतिक वस्तुओं में अनियमित जैविक रूप होते हैं। परीक्षा में natural form में variation देखें। / Natural objects have irregular organic forms. Exam tip: observe variation in natural form.
A. रचना स्थिर पर कम गतिशील लग सकती है/Composition may look stable but less dynamic
Explanation
Simple Explanation
अत्यधिक केंद्रित सममिति कभी स्थिर और अनुमानित लगती है। परीक्षा में balance with interest देखें। / Excessive central symmetry can look stable and predictable. Exam tip: observe balance with interest.
A. अप्राकृतिक और शैलीबद्ध प्रभाव/Unnatural and stylized effect
Explanation
Simple Explanation
बादल प्राकृतिक रूप से अनियमित होते हैं इसलिए वर्गाकार बादल शैलीबद्ध लगेगा। परीक्षा में shape choice का अर्थ पर प्रभाव समझें। / Clouds are naturally irregular so a square cloud will look stylized. Exam tip: understand how shape choice affects meaning.
कटने का एक बिंदु दोनों समीकरणों का सामान्य हल होता है। इसलिए केवल एक अद्वितीय हल मिलता है। / One intersection point is the common solution of both equations. Therefore exactly one unique solution is obtained.
एक सामान्य हल का मतलब रेखाओं का एक intersection है। इसलिए रेखाएं कटती हुई होंगी। / One common solution means one intersection of the lines. Therefore the lines will be intersecting.
एक प्रतिच्छेद बिंदु का अर्थ एक अद्वितीय समाधान है। ऐसा युग्म संगत और स्वतंत्र कहलाता है। / One intersection point means one unique solution. Such a pair is called consistent and independent.
C. प्रतिच्छेद बिंदु (\left\(\frac{7}{3},\frac{5}{3}\right\)) हो/The intersection point is (\left\(\frac{7}{3},\frac{5}{3}\right\))
Explanation
Simple Explanation
भिन्न निर्देशांक ग्राफ से पढ़ते समय अधिक सावधानी चाहिए। ऐसे प्रश्नों में पैमाना बहुत स्पष्ट होना चाहिए। / Fractional coordinates need more care when read from a graph. In such questions, the scale must be very clear.
C. जब रेखाएँ एक बिंदु पर कटें/When lines intersect at one point
Explanation
Simple Explanation
ठीक एक हल तब मिलता है जब दोनों रेखाएँ एक ही बिंदु पर कटती हैं। वही बिंदु दोनों समीकरणों का सामान्य हल होता है। / Exactly one solution is obtained when both lines intersect at one point. That point is the common solution of both equations.
एक प्रतिच्छेद बिंदु एक अद्वितीय हल देता है। इसलिए युग्म संगत और स्वतंत्र होता है। / One intersection point gives a unique solution. Hence, the pair is consistent and independent.
एक ही रेखा के सभी बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। इसलिए अनंत हल मिलते हैं। / All points on the same line satisfy both equations. Therefore, there are infinitely many solutions.
C. जब रेखाएँ एक बिंदु पर कटें/When lines intersect at one point
Explanation
Simple Explanation
ठीक एक हल तब मिलता है जब दोनों रेखाएँ एक ही बिंदु पर कटती हैं। यही बिंदु दोनों समीकरणों का सामान्य हल है। / Exactly one solution is obtained when both lines intersect at one point. That point is the common solution of both equations.
संपाती रेखाओं के अनंत सामान्य बिंदु होते हैं। इसलिए ऐसे समीकरण युग्म के अनंत हल होते हैं। / Coincident lines have infinitely many common points. Therefore, such a pair of equations has infinitely many solutions.
एक प्रतिच्छेद बिंदु होने पर समीकरणों का एक ही हल होता है। याद रखें, कटती हुई रेखाएँ संगत और स्वतंत्र होती हैं। / One intersection point means the equations have exactly one solution. Remember, intersecting lines are consistent and independent.
मध्य बिंदु \( \frac{\sqrt{2}+\sqrt{8}}{2}=\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2} \) है। मध्य के लिए दोनों मानों का औसत लें। / The midpoint is \( \frac{\sqrt{2}+\sqrt{8}}{2}=\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2} \). Take the average of the two values for the midpoint.
मध्य बिंदु \( \frac{\frac{7}{15}+\frac{11}{15}}{2}=\frac{3}{5} \) है। मध्य के लिए दोनों मानों का औसत लें। / The midpoint is \( \frac{\frac{7}{15}+\frac{11}{15}}{2}=\frac{3}{5} \). Use the average of the two values for the midpoint.
मध्य बिंदु \( \frac{\frac{5}{12}+\frac{7}{12}}{2}=\frac{1}{2} \) है। मध्य के लिए औसत लें। / The midpoint is \( \frac{\frac{5}{12}+\frac{7}{12}}{2}=\frac{1}{2} \). Use the average for the midpoint.
मध्य बिंदु \( \frac{\frac{2}{5}+\frac{3}{5}}{2}=\frac{1}{2} \) है। मध्य के लिए औसत लें। / The midpoint is \( \frac{\frac{2}{5}+\frac{3}{5}}{2}=\frac{1}{2} \). Use the average for the midpoint.
मध्य बिंदु \( \frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}\) होता है। संख्या रेखा पर मध्य के लिए औसत लें। / The midpoint is \( \frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}\). On a number line, use the average for the midpoint.
(0) और (1) का मध्य बिंदु \(\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}\) होता है। संख्या रेखा में मध्य निकालने के लिए औसत लें। / The midpoint of (0) and (1) is \(\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}\). To find a midpoint on a number line, take the average.
\(\sqrt{a}=4.5\) होने पर (a=(4.5)2=20.25) है। वर्गमूल हटाने के लिए वर्ग करें। / If \(\sqrt{a}=4.5\), then (a=(4.5)2=20.25). Square both sides to remove the square root.
मध्य बिंदु \(\frac{\frac{5}{4}+\frac{9}{4}}{2}=\frac{7}{4}\) है। दो भिन्नों का औसत मध्य बिंदु देता है। / The midpoint is \(\frac{\frac{5}{4}+\frac{9}{4}}{2}=\frac{7}{4}\). The average of two fractions gives the midpoint.
बीच का बिंदु \(\frac{1.8+2.6}{2}=2.2\) है। परीक्षा में ठीक बीच का अर्थ औसत होता है। / The middle point is \(\frac{1.8+2.6}{2}=2.2\). In exams, exactly midway means average.
मध्य संख्या \(\frac{\frac{2}{5}+\frac{4}{5}}{2}=\frac{3}{5}\) है। दो बिंदुओं के ठीक बीच के लिए उनका औसत लें। / The midpoint is \(\frac{\frac{2}{5}+\frac{4}{5}}{2}=\frac{3}{5}\). To find the exact middle point, take the average of the two points.
मध्य संख्या \(\frac{-2+3}{2}=\frac{1}{2}\) है। दो बिंदुओं के ठीक बीच के लिए उनका औसत लें। / The midpoint is \(\frac{-2+3}{2}=\frac{1}{2}\). To find the exact middle of two points, take their average.
मध्य संख्या \(\frac{1+4}{2}=2.5\) है। दो बिंदुओं के बीच ठीक बीच के लिए औसत लें। / The middle number is \(\frac{1+4}{2}=2.5\). For the exact middle between two points, take the average.
(0) और (1) के बीच की मध्य संख्या \(\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}\) है। परीक्षा में मध्य संख्या के लिए औसत लें। / The middle number between (0) and (1) is \(\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}\). In exams, use the average for the midpoint.
A. जो (x)-अक्ष को दो अलग बिंदुओं पर काटे/One that cuts the (x)-axis at two distinct points
Explanation
Simple Explanation
दो अलग (x)-अक्ष कटान दो अलग वास्तविक शून्यक देते हैं। टिप: (y)-अक्ष कटान को शून्यक न गिनें। / Two distinct (x)-axis intersections give two distinct real zeroes. Tip: do not count (y)-axis intersections as zeroes.
B. जो (x)-अक्ष को एक ही बिंदु पर स्पर्श करे/One that touches the (x)-axis at only one point
Explanation
Simple Explanation
एक ही स्पर्श बिंदु एक वास्तविक शून्यक देता है। टिप: शून्यक (x)-अक्ष से मिलने पर निर्भर है। / One touching point gives one real zero. Tip: zeroes depend on meeting the (x)-axis.
(x)-अक्ष से हर अलग मिलन एक वास्तविक शून्यक देता है। दो बार मिलने पर दो वास्तविक शून्यक होंगे। / Each distinct meeting with the (x)-axis gives one real zero. If it meets twice, it has two real zeroes.
एक वास्तविक शून्यक का अर्थ है ग्राफ (x)-अक्ष से केवल एक बिंदु पर मिलता है। परवलय में यह सामान्यतः छूने की स्थिति होती है। / One real zero means the graph meets the (x)-axis at only one point. For a parabola, this is usually the touching case.
ठीक (6) स्थानों के लिए (2) और (5) की बड़ी घात (6) होनी चाहिए। \(3125=5^5\) है, इसलिए यह केवल (5) दशमलव स्थान देगा। / For exactly (6) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (6). Since \(3125=5^5\), it gives only (5) decimal places.
ठीक (3) स्थानों के लिए बड़ी घात (3) होनी चाहिए। \(16=2^4\) होने से दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। / For exactly (3) places, the larger exponent must be (3). Since \(16=2^4\), it terminates after (4) places.
किसी भिन्न का दशमलव समाप्त होने की शर्त यह है कि हर प्रकार्य भाग का हर वह अभाज्य गुणक जो 10 के कारक (2 और 5) के अलावा हो, खतम हो गया हो। यहां 31 का 2 या 5 से गुणनखंड नहीं है, अतः भिन्न पहले से सरलतम रूप में है और हर कोई घटक केवल \(2^a5^b\) ही है। समाप्त दशमलव की संख्या = हर आधार के घात का अधिकतम मान = \(\max(a,b)\)। दी हुई शर्तों के अनुसार यह 10 है और इसलिए क्योंकि \(b>a\), अधिकतम मान \(b\) है। अतः \(b=10\)। निकटवर्ती विकर्षक (जैसे \(a+10\)) गलत है क्योंकि \(a\) का मान हाशिए पर रखा गया है और समाप्ति की लंबाई सीधे अधिकतम घात पर निर्भर करती है, न कि किसी जोड़ पर। परीक्षा सुझाव: पहले भिन्न को साधारण रूप में लिखें और फिर समाप्त दशमलव की लंबाई = \(\max\) of exponents का फ़ॉर्मूला याद रखें। / A rational number in lowest terms has a terminating decimal iff its denominator's prime factors are only 2 and/or 5. Here 31 is coprime to 2 and 5, so the denominator remains \(2^a5^b\). The number of decimal places for termination equals \(\max(a,b)\). Given that this equals 10 and that \(b>a\), the larger exponent must be \(b\), so \(b=10\). The distractor \(a+10\) is incorrect because the termination length is not a sum involving \(a\) but the maximum of the exponents. Exam tip: always reduce the fraction first and use "termination length = max(exponents of 2 and 5 in denominator" ).
ठीक (8) स्थानों के लिए (2) और (5) की बड़ी घात (8) होनी चाहिए। दिए विकल्पों में केवल \(2^8\cdot 5^3\) यह शर्त पूरी करता है। / For exactly (8) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (8). Only \(2^8\cdot 5^3\) satisfies this.
हर में केवल (2) और (5) हैं इसलिए दशमलव सांत होगा और स्थान बड़ी घात (9) के बराबर होंगे। परीक्षा में घातों को जोड़ने की जगह बड़ी घात देखें। / The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates with the larger exponent (9). In exams, use the larger exponent instead of adding exponents.
किसी भिन्न का दशमलव समाप्त होगा यदि हर अवयव हर(denominator) में केवल 2 और/या 5 के घात हों। समाप्त होने वाले दशमलव के स्थानों की संख्या उस घातों का अधिकतम मान होती है (यानी max(m,n) यदि हर = 2^m5^n)। यहाँ संख्या 29, 2 या 5 से समवर्ग नहीं है, अतः भिन्न सधारण रूप में भी \(2^a5^b\) ही रहेगी। दिया गया है कि \(a>b\), इसलिए अधिकतम घात \(a\) होगा और उसे 8 के बराबर होना चाहिए ताकि दशमलव ठीक 8 स्थानों पर समाप्त हो। अतः \(a=8\)। निकटतम भ्रामक विकल्प \(7\) गलत है क्योंकि वह केवल 7 दशमलव स्थान देगा; \(a+b\) भी असम्बद्ध है क्योंकि स्थानों की संख्या घातों के योग पर नहीं बल्कि अधिकतम पर निर्भर करती है। परीक्षा-सुझाव: भिन्न को पहले सरल रूप में लिखें और फिर हर के रूप में \(2^m5^n\) के घातों का अधिकतम लें। / A rational number has a terminating decimal exactly when its denominator (in lowest terms) is of the form \(2^m5^n\). The number of decimal places needed equals max(m,n). Here 29 is coprime to 2 and 5, so the denominator remains \(2^a5^b\) after simplification. Given \(a>b\), the maximum exponent is \(a\); for exactly 8 decimal places we must have \(a=8\). Option 7 is wrong because it would give only 7 decimal digits; \(a+b\) is irrelevant since the decimal length depends on the maximum exponent, not the sum. Exam tip: always reduce the fraction first and then take the larger of the exponents of 2 and 5 to get the number of decimal places.
ठीक (7) स्थानों के लिए (2) और (5) की बड़ी घात (7) होनी चाहिए। दिए विकल्पों में केवल \(2^7\cdot 5^3\) यह शर्त पूरी करता है। / For exactly (7) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (7). Only \(2^7\cdot 5^3\) satisfies this.
हर में केवल (2) और (5) हैं इसलिए दशमलव सांत होगा और स्थान बड़ी घात (8) के बराबर होंगे। परीक्षा में घातों का योग नहीं बड़ी घात देखें। / The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates with the larger exponent (8). In exams, use the larger exponent, not the sum.
यदि हरभाज्य का हर (denominator) मात्र दोनों गुणनखण्डों के रूप में \(2^a5^b\) हो और संख्या का गुणनखंड (numerator) 17 है, तो 17 किसी भी 2 या 5 से समीकरण नहीं घटाता — अर्थात् भिन्न पहले से ही साधारण रूप में है। एक अंक के दशमलव समाप्त होने की अधिकतम आवश्यक दशमलव-स्थानों की संख्या \(\max(a,b)\) होती है। दिया हुआ है कि दशमलव ठीक 9 स्थानों पर समाप्त होता है और \(a<b\), तो अधिकतम घात् बड़ा होगा और वही 9 के बराबर होना चाहिए। अतः \(b=9\)। निकटवर्ती भ्रामक विकल्पों की जाँच: 8 और 10 क्रमशः कम या अधिक हैं; \(a+9\) का अर्थ गैर-विशिष्ट है और समस्या के दिये गए शर्तों से मेल नहीं खाता। परीक्षा-टिप: यदि हरभाज्य केवल 2 और 5 के गुणनखण्ड हैं, तो समाप्ति की संख्या \(\max(a,b)\) के बराबर होती है, बशर्ते भिन्न न समीकृत हो। / When the denominator is of the form \(2^a5^b\) and the numerator is 17 (which is coprime to 2 and 5), the fraction is already in lowest terms. A terminating decimal requires only factors 2 and 5 in the denominator, and the number of decimal places required equals \(\max(a,b)\). Given the decimal terminates exactly after 9 places and \(a<b\), the larger exponent is \(b\), so \(b=9\). Why other choices fail: 8 is too small, 10 is too large, and \(a+9\) is not implied by the condition \(a<b\). Exam tip: first reduce the fraction if possible; then the termination length equals the larger exponent of 2 or 5 in the reduced denominator.
ठीक (6) स्थानों के लिए (2) और (5) की बड़ी घात (6) होनी चाहिए। केवल \(2^6\cdot 5^2\) में बड़ी घात (6) है। / For exactly (6) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (6). Only \(2^6\cdot 5^2\) has larger exponent (6).
हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव सांत होगा और स्थान बड़ी घात (7) होंगे। परीक्षा में घातों को जोड़ने की गलती न करें। / The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates with the larger exponent (7). In exams, do not add the exponents.
ठीक (2) स्थानों के लिए बड़ी घात (2) होनी चाहिए। / For exactly (2) places, the larger exponent must be (2).
Step 2
Why this answer is correct
\(4=2^2\), \(20=2^2\cdot 5\), और \(25=5^2\) ठीक (2) स्थान देते हैं। \(50=2\cdot 5^2\) भी ठीक (2) स्थान देता है, इसलिए दिए गए विकल्पों में कोई असंभव नहीं है। / \(4=2^2\), \(20=2^2\cdot 5\), and \(25=5^2\) give exactly (2) places. \(50=2\cdot 5^2\) also gives exactly (2) places, so none of the listed choices is impossible.
Step 3
Exam Tip
जब सभी विकल्प संभव लगें, तो प्रश्न या विकल्पों में त्रुटि जाँचें। / If all options seem possible, check the question or options for an error.
ठीक (4) स्थानों के लिए बड़ी घात (4) होनी चाहिए। / For exactly (4) places, the larger exponent must be (4).
Step 2
Why this answer is correct
\(16=2^4\), \(625=5^4\), और \(80=2^4\cdot 5\) ठीक (4) स्थान देंगे। \(125=5^3\) केवल (3) स्थान देता है। / \(16=2^4\), \(625=5^4\), and \(80=2^4\cdot 5\) give exactly (4) places. \(125=5^3\) gives only (3) places.
Step 3
Exam Tip
ठीक स्थानों में बड़ी घात बराबर होनी चाहिए। / For exact places, the larger exponent must match the required number.
ठीक (4) दशमलव स्थानों के लिए सरलतम हर में (2) या (5) की बड़ी घात (4) होनी चाहिए। / For exactly (4) decimal places, the larger power of (2) or (5) in the reduced denominator must be (4).
Step 2
Why this answer is correct
\(625=5^4\), इसलिए यह ठीक (4) स्थान देगा। \(80=2^4\cdot 5\) भी (4) स्थान देता है, पर एक से अधिक सही होने पर विकल्प जाँचनी होगी। / \(625=5^4\), so it gives exactly (4) places. \(80=2^4\cdot 5\) also gives (4) places, so the choices would need checking if only one answer is expected.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में सभी विकल्पों की घातें निकालें। / Factorise all options in such questions.
हर को (2), (5) और बाकी गुणनखंडों में देखें। / View the denominator in terms of (2), (5), and other factors.
Step 2
Why this answer is correct
\(28=2^2\cdot 7\), इसलिए (2) की घात (2) आवर्ती भाग शुरू होने से पहले दो स्थानों की देरी देती है। बाकी विकल्पों में देरी (1) या अलग होती है। / \(28=2^2\cdot 7\), so the power (2) of (2) gives a delay of two places before the recurring part starts. The other options give a delay of (1) or a different case.
Step 3
Exam Tip
आवर्ती भाग की देरी (2) और (5) की बड़ी घात से जुड़ती है। / The delay before repetition is linked to the larger power of (2) and (5).
\(64000=2^9\cdot 5^3\) नहीं, बल्कि \(64000=64\cdot 1000=2^6\cdot 2^3\cdot 5^3=2^9\cdot 5^3\) है। यह (9) स्थान देगा, इसलिए विकल्प (B) सही नहीं हो सकता। / \(64000=2^9\cdot 5^3\), so it would give (9) places, not (6).
Step 2
Why this answer is correct
\(15625=5^6\), इसलिए \(\frac{9}{15625}\) ठीक (6) स्थानों पर समाप्त होगा। / \(15625=5^6\), so \(\frac{9}{15625}\) terminates exactly after (6) places.
Step 3
Exam Tip
घातों की गणना सावधानी से करें। / Calculate prime powers carefully.
हर केवल (2) और (5) की घातों से बना है, इसलिए दशमलव सांत है। / The denominator has only powers of (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 2
Why this answer is correct
दशमलव स्थानों की संख्या (a) और (b) में बड़ी घात के बराबर होती है। ठीक (8) स्थानों के लिए (\max(a,b)=8) होगा। / The number of decimal places equals the larger of (a) and (b). For exactly (8) places, (\max(a,b)=8).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्न में अधिकतम घात याद रखें। / Remember the larger exponent in such questions.
\(\frac{3}{6250}\) सरलतम रूप में है और बड़ी घात (5) है, इसलिए दशमलव ठीक (5) स्थानों पर समाप्त होगा। अन्य हरों में बड़ी घात (4) या (3) है। / \(\frac{3}{6250}\) is in lowest form and the larger exponent is (5), so it terminates exactly after (5) places. The other denominators have larger exponent (4) or (3).
Step 3
Exam Tip
ठीक स्थानों के लिए बड़ी घात को मिलाइए। / For exact places, match the larger exponent.
ठीक (3) स्थानों के लिए सरलतम हर में (2) या (5) की बड़ी घात (3) होनी चाहिए। / For exactly (3) places, the larger exponent of (2) or (5) in the reduced denominator must be (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(8=2^3\), \(40=2^3\cdot 5\), और \(125=5^3\) यह शर्त पूरी करते हैं। \(25=5^2\) केवल (2) स्थान देगा। / \(8=2^3\), \(40=2^3\cdot 5\), and \(125=5^3\) satisfy this. \(25=5^2\) gives only (2) places.
Step 3
Exam Tip
ठीक और अधिकतम शब्दों का अंतर समझें। / Understand the difference between exactly and at most.
\(5^k\) हर के \(5^8\) से कटेगा। / \(5^k\) cancels with \(5^8\) in the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
हर \(2^3\cdot 5^{8-k}\) बनेगा। ठीक (3) स्थानों के लिए \(8-k\leq 3\) चाहिए, इसलिए न्यूनतम (k=5)। / The denominator becomes \(2^3\cdot 5^{8-k}\). For exactly (3) places, \(8-k\leq 3\), so the least (k) is (5).
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम मान में असमानता को सही दिशा में हल करें। / For a least value, solve the inequality carefully.
ठीक (5) दशमलव स्थानों के लिए सरलतम हर में (2) और (5) की बड़ी घात (5) होनी चाहिए। / For exactly (5) decimal places, the larger exponent of (2) and (5) in the reduced denominator must be (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(3125=5^5\), इसलिए यह (5) स्थान देता है। (250) और (40) कम स्थान देते हैं, जबकि \(1600=2^6\cdot 5^2\) (6) स्थान देगा। / \(3125=5^5\), so it gives (5) places. (250) and (40) give fewer places, while \(1600=2^6\cdot 5^2\) gives (6) places.
Step 3
Exam Tip
हर के अभाज्य घातों की तुलना करें। / Compare the prime exponents of the denominator.
हर में केवल (2) और (5) की घातें हैं। / The denominator has only powers of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
दशमलव स्थानों की संख्या (4) और (n) में बड़ी घात होगी। ठीक (7) स्थानों के लिए (n=7) चाहिए। / The number of decimal places is the larger of (4) and (n). For exactly (7) places, (n=7).
Step 3
Exam Tip
ठीक शब्द आए तो बड़ी घात को बराबर मिलाइए। / When the word exactly appears, match the larger exponent carefully.
हर केवल (2) और (5) की घातों से बना है, इसलिए दशमलव सांत होगा। / The denominator has only powers of (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 2
Why this answer is correct
दशमलव स्थानों की संख्या (a) और (b) में बड़ी घात के बराबर होती है। ठीक (6) स्थानों के लिए (\max(a,b)=6) चाहिए। / The number of decimal places equals the larger of (a) and (b). For exactly (6) places, (\max(a,b)=6).
Step 3
Exam Tip
ऐसी समस्याओं में योग नहीं, बड़ी घात देखें। / In such questions, use the larger exponent, not the sum.
स्थानों की संख्या (2) और (5) की बड़ी घात से तय होती है। / The number of places is decided by the larger exponent of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
(5) की घात (3) है, इसलिए ठीक (6) स्थानों के लिए (2) की घात (6) होनी चाहिए। / The exponent of (5) is (3), so for exactly (6) places the exponent of (2) must be (6).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में बड़ी घात को आवश्यक दशमलव स्थान से मिलाइए। / Match the larger exponent with the required decimal places.
दो दशमलव स्थानों वाला दशमलव सौवें भाग तक होता है। / A decimal with two places is measured in hundredths.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए उसे \(\frac{n}{100}\) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ (n) कोई पूर्ण संख्या है। / So it can be written as \(\frac{n}{100}\), where (n) is an integer.
Step 3
Exam Tip
बाद में भिन्न को सरल करना न भूलें। / Do not forget to reduce the fraction afterward.
\(\frac{7}{125}\) में \(125=5^3\) है। / For \(\frac{7}{125}\), \(125=5^3\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए इसे (1000) हर में बदला जा सकता है और दशमलव (3) स्थानों पर समाप्त होगा। / It can be converted to denominator (1000), so its decimal ends after (3) places.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: ठीक स्थान पूछे जाने पर वास्तविक सरल रूप और बड़ी घात दोनों देखें। / Exam tip: When exact places are asked, check both the lowest form and the larger exponent.
बड़ी घात (3) है और \(\frac{7}{200}=0.035\) है, इसलिए ठीक तीन स्थान हैं। / The larger exponent is (3), and \(\frac{7}{200}=0.035\), so it has exactly three places.
Step 3
Exam Tip
ठीक संख्या पूछी जाए तो दशमलव बनाकर भी पुष्टि करें। / When exact places are asked, verify by writing the decimal.
भाजक में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए \(\frac{3}{50}\) समाप्त दशमलव देगा। / The denominator has only (2) and (5), so \(\frac{3}{50}\) gives a terminating decimal.
Step 3
Exam Tip
भाग जाने की सोच से नहीं, भाजक के गुणनखंडों से निर्णय लें। / Decide by prime factors of the denominator, not by a rough divisibility idea.
सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। / The smallest number exactly divisible by all is the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(121=11^2\), \(144=2^4\times3^2\), \(250=2\times5^3\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times3^2\times5^3\times11^2=2178000\) है। / \(121=11^2\), \(144=2^4\times3^2\), and \(250=2\times5^3\), so LCM \(=2^4\times3^2\times5^3\times11^2=2178000\).
Step 3
Exam Tip
बड़ी घातों का गुणन सावधानी से करें। / Multiply the highest powers carefully.
सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। / The smallest number exactly divisible by all is the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(81=3^4\), \(96=2^5\times3\), \(125=5^3\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^4\times5^3=324000\) है। / \(81=3^4\), \(96=2^5\times3\), and \(125=5^3\), so LCM \(=2^5\times3^4\times5^3=324000\).
Step 3
Exam Tip
बड़ी घातों का गुणन सावधानी से करें। / Multiply the highest powers carefully.
सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। / The smallest number exactly divisible by all is the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(64=2^6\), \(72=2^3\times3^2\), \(125=5^3\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^6\times3^2\times5^3=72000\) है। / \(64=2^6\), \(72=2^3\times3^2\), and \(125=5^3\), so LCM \(=2^6\times3^2\times5^3=72000\).
Step 3
Exam Tip
बड़ी घातों को सही रखने से उत्तर सही आता है। / Keeping the highest powers correctly gives the right answer.
ऐसी सबसे छोटी संख्या तीनों संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य होगी। / Such a smallest number is the LCM of the three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(36=2^2\times3^2\), \(100=2^2\times5^2\), \(150=2\times3\times5^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^2\times5^2=900\) है। / \(36=2^2\times3^2\), \(100=2^2\times5^2\), and \(150=2\times3\times5^2\), so LCM \(=2^2\times3^2\times5^2=900\).
Step 3
Exam Tip
हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात लें। / Take the highest power of each prime.
सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। / The smallest number divisible by all is the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(36=2^2\times3^2\), \(100=2^2\times5^2\), \(150=2\times3\times5^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^2\times5^2=900\) है। / \(36=2^2\times3^2\), \(100=2^2\times5^2\), and \(150=2\times3\times5^2\), so LCM \(=2^2\times3^2\times5^2=900\).
Step 3
Exam Tip
विकल्प चुनने से पहले अंतिम गुणन अवश्य जाँचें। / Always verify the final multiplication before choosing an option.
सबसे बड़ी समान भाजक संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। / The greatest common divisor is the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(225=3^2\times5^2\), \(375=3\times5^3\), \(525=3\times5^2\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(3\times5^2=75\) है। / \(225=3^2\times5^2\), \(375=3\times5^3\), and \(525=3\times5^2\times7\), so HCF \(=3\times5^2=75\).
Step 3
Exam Tip
सभी संख्याओं में मौजूद छोटी घातें ही लें। / Use only the smallest powers common to all numbers.
सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। / The smallest number exactly divisible by all given numbers is their LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(54=2\times3^3\), \(72=2^3\times3^2\), \(90=2\times3^2\times5\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times3^3\times5=1080\) है। / \(54=2\times3^3\), \(72=2^3\times3^2\), and \(90=2\times3^2\times5\), so LCM \(=2^3\times3^3\times5=1080\).
Step 3
Exam Tip
बड़ी घातों को ध्यान से चुनें। / Choose the highest powers carefully.
सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। / The smallest number divisible by all is the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(25=5^2\), \(40=2^3\times5\), \(64=2^6\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^6\times5^2=1600\) है। / \(25=5^2\), \(40=2^3\times5\), and \(64=2^6\), so LCM \(=2^6\times5^2=1600\).
Step 3
Exam Tip
(64) के कारण \(2^6\) लेना न भूलें। / Do not miss \(2^6\) because of (64).
सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। / The smallest common divisible number is the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(27=3^3\), \(45=3^2\times5\), \(63=3^2\times7\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(3^3\times5\times7=945\) है। / \(27=3^3\), \(45=3^2\times5\), and \(63=3^2\times7\), so LCM \(=3^3\times5\times7=945\).
Step 3
Exam Tip
विकल्पों में गणना के बाद ही चुनें, क्योंकि बड़े विकल्प भ्रमित कर सकते हैं। / Calculate before choosing, because larger options can mislead.
सबसे बड़ी समान भाजक संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। / The greatest number dividing all given numbers is the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(144=2^4\times3^2\), \(216=2^3\times3^3\), \(360=2^3\times3^2\times5\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3^2=72\) है। / \(144=2^4\times3^2\), \(216=2^3\times3^3\), and \(360=2^3\times3^2\times5\), so HCF \(=2^3\times3^2=72\).
Step 3
Exam Tip
तीनों संख्याओं में उपस्थित समान अभाज्य ही लें। / Use only primes common to all numbers.
सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या के लिए लघुत्तम समापवर्त्य निकालते हैं। / The smallest number divisible by all given numbers is their LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(32=2^5\), \(48=2^4\times3\), \(80=2^4\times5\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3\times5=480\) है। / \(32=2^5\), \(48=2^4\times3\), and \(80=2^4\times5\), so LCM \(=2^5\times3\times5=480\).
Step 3
Exam Tip
हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात लेना न भूलें। / Do not forget the highest power of each prime.
सबसे बड़ी समान भाजक संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। / The greatest common divisor is the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(168=2^3\times3\times7\), \(252=2^2\times3^2\times7\), \(420=2^2\times3\times5\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3\times7=84\) है। / \(168=2^3\times3\times7\), \(252=2^2\times3^2\times7\), and \(420=2^2\times3\times5\times7\), so HCF \(=2^2\times3\times7=84\).
Step 3
Exam Tip
सभी संख्याओं में उपस्थित समान गुणनखंड ही लें। / Use only primes common to all numbers.
ऐसी सबसे छोटी संख्या उन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य होती है। / The smallest number divisible by all given numbers is their LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(24=2^3\times3\), \(36=2^2\times3^2\), \(54=2\times3^3\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times3^3=216\) है। / \(24=2^3\times3\), \(36=2^2\times3^2\), and \(54=2\times3^3\), so LCM \(=2^3\times3^3=216\).
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटी विभाज्य संख्या के प्रश्न में लघुत्तम समापवर्त्य निकालें। / For the smallest exactly divisible number, find the LCM.
पहले (36), (48), और (60) का लघुत्तम समापवर्त्य निकालें। / First find the LCM of (36), (48), and (60).
Step 2
Why this answer is correct
\(36=2^2\times 3^2\), \(48=2^4\times 3\), \(60=2^2\times 3\times 5\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times 3^2\times 5=720\) है। (1000) से बड़ा सबसे छोटा गुणज (1440) है। / \(36=2^2\times 3^2\), \(48=2^4\times 3\), \(60=2^2\times 3\times 5\), so the LCM is \(2^4\times 3^2\times 5=720\). The smallest multiple greater than (1000) is (1440).
Step 3
Exam Tip
पहले लघुत्तम समापवर्त्य, फिर सीमा के अनुसार उसका गुणज लें। / Find the LCM first, then choose its multiple according to the limit.
A. क्योंकि उनकी सामाजिक और आर्थिक समस्याएं अलग थीं/Because their social and economic problems were different
Step 1
Concept
किसान, मजदूर, व्यापारी और जनजातीय लोग अलग परिस्थितियों में रहते थे। / Peasants, workers, merchants and tribal people lived in different conditions.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए उन्होंने राष्ट्रीय आंदोलन को अपनी जरूरतों के अनुसार समझा। / So they understood the national movement according to their own needs.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में विविध मांगों को आंदोलन की कमजोरी नहीं, बल्कि सामाजिक विविधता का संकेत मानें। / In exams, see diverse demands as a sign of social diversity, not simply weakness.
A. खंडन में शरीर टूटकर नए जीव बनाता है जबकि पुनर्जनन में खोया भाग या पूरा शरीर फिर बन सकता है/Fragmentation forms new organisms from broken pieces while regeneration can reform lost parts or a whole body
Step 1
Concept
खंडन में टूटे भाग स्वतंत्र नए जीव बन सकते हैं। / In fragmentation broken pieces can become independent organisms.
Step 2
Why this answer is correct
पुनर्जनन में जीव खोए भागों को फिर बना सकता है। / In regeneration an organism can reform lost parts.
Step 3
Exam Tip
दोनों में समानता है पर अर्थ पूरी तरह समान नहीं हैं। / They are related but not exactly identical.
A. क्योंकि जर्मनी में राज्य नेतृत्व अधिक था जबकि इटली में विचार, कूटनीति और जन अभियान मिले हुए थे/Because Germany had stronger state leadership while Italy combined ideas, diplomacy, and popular campaigns
Step 1
Concept
जर्मनी में प्रशिया और बिस्मार्क का नेतृत्व केंद्रीय था। / In Germany, Prussia and Bismarck were central.
Step 2
Why this answer is correct
इटली में कई नेता और अलग अलग तरीके साथ आए। / In Italy, many leaders and different methods came together.
Step 3
Exam Tip
इसलिए दोनों में राष्ट्रवाद का रूप अलग अलग दिखाई देता है। / Therefore, nationalism took different forms in the two cases.
B. जब उसका पृष्ठभूमि से अच्छा विरोध हो/When it contrasts well with background
Explanation
Simple Explanation
विरोध सकारात्मक आकार को पृष्ठभूमि से अलग करता है। परीक्षा में figure clarity को contrast से जोड़ें। / Contrast separates positive shape from background. Exam tip: connect figure clarity with contrast.
दोनों स्थानों का संतुलन रचना को स्पष्ट और व्यवस्थित बनाता है। परीक्षा में space balance को composition से जोड़ें। / Balance of both spaces makes composition clear and organized. Exam tip: connect space balance with composition.
B. काली आकृति और उसके चारों ओर सफेद खाली क्षेत्र/A black figure and white empty area around it
Explanation
Simple Explanation
मुख्य आकृति सकारात्मक और आसपास खाली क्षेत्र ऋणात्मक आकार बनाता है। परीक्षा में figure ground relation याद रखें। / Main figure becomes positive and surrounding empty area becomes negative shape. Exam tip: remember figure-ground relation.
A. मुख्य वस्तु वाला भाग/The area occupied by the main object
Explanation
Simple Explanation
सकारात्मक स्थान वह क्षेत्र है जहां मुख्य विषय होता है। परीक्षा में subject area को positive space लिखें। / Positive space is the area where the main subject is placed. Exam tip: write subject area as positive space.
(816=8[12+15d]) से (d=6) मिलता है। दिए गए योग को \(\frac{n}{2}\) से बाँटकर जल्दी हल करें। / From (816=8[12+15d]), (d=6). Divide the given sum by \(\frac{n}{2}\) to solve faster.
धनात्मक (d) का अर्थ हर बार जोड़ना है। इसलिए पद सामान्यतः बढ़ते जाते हैं। / Positive (d) means adding each time. Therefore, the terms generally keep increasing.
समान जड़ों के लिए \(p^2-256=0\), इसलिए \(p=\pm16\)। समान जड़ \(-\frac{p}{2}\) धनात्मक होनी चाहिए, अतः (p=-16)। / For equal roots, \(p^2-256=0\), so \(p=\pm16\). The equal root \(-\frac{p}{2}\) must be positive, hence (p=-16).
योग (6) धनात्मक है और दोनों धनात्मक जड़ों के लिए (c>0) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(36-4c\ge0\), इसलिए \(0<c\le9\)। / The sum (6) is positive and (c>0) is needed for both positive roots. For real roots, \(36-4c\ge0\), so \(0<c\le9\).
समान जड़ों के लिए \(p^2-144=0\), इसलिए \(p=\pm12\)। समान जड़ \(-\frac{p}{2}\) धनात्मक होनी चाहिए, अतः (p=-12)। / For equal roots, \(p^2-144=0\), so \(p=\pm12\). The equal root \(-\frac{p}{2}\) must be positive, hence (p=-12).
योग (5) धनात्मक है और दोनों जड़ों के लिए गुणनफल (c>0) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(25-4c\ge0\), इसलिए \(0<c\le\frac{25}{4}\)। / The sum (5) is positive and product (c>0) is needed for both roots. For real roots, \(25-4c\ge0\), so \(0<c\le\frac{25}{4}\).
समान जड़ों के लिए \(p^2-64=0\), इसलिए \(p=\pm8\)। जड़ \(-\frac{p}{2}\) धनात्मक होनी चाहिए, अतः (p=-8)। / For equal roots, \(p^2-64=0\), so \(p=\pm8\). The root \(-\frac{p}{2}\) must be positive, hence (p=-8).
समान जड़ों के लिए \(s^2-36=0\), इसलिए \(s=\pm6\)। समान जड़ \(\frac{s}{2}\) है, जो धनात्मक होने पर (s=6) देता है। / For equal roots, \(s^2-36=0\), so \(s=\pm6\). The equal root is \(\frac{s}{2}\), which is positive when (s=6).
