(2) is not a perfect square, so \(\sqrt{2}\) is proved irrational.
Step 3
Exam Tip
First identify perfect and non-perfect squares. चरण 1: (4), (9) और (25) पूर्ण वर्ग हैं। चरण 2: (2) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय सिद्ध किया जाता है। चरण 3: पूर्ण वर्ग और अपूर्ण वर्ग की पहचान पहले करें।
Three distinct (x)-values give three distinct (x)-axis points. Tip: distinct zeroes make distinct intersection points.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. तीन / Three. Three distinct (x)-values give three distinct (x)-axis points. Tip: distinct zeroes make distinct intersection points.
Step 3
Exam Tip
तीन अलग (x)-मान तीन अलग (x)-अक्ष बिंदु देते हैं। टिप: अलग शून्यक अलग कटान बिंदु बनाते हैं।
(4,9,25) are perfect squares, so their square roots are integers.
Step 2
Why this answer is correct
(5) is not a perfect square, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In options, identify perfect squares first. चरण 1: (4,9,25) पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए उनके वर्गमूल पूर्णांक हैं। चरण 2: (5) पूर्ण वर्ग नहीं है और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: विकल्पों में पहले पूर्ण वर्ग पहचानें।
A. वास्तविक, परिमेय और भिन्न/Real, rational and distinct
Step 1
Concept
A positive perfect square (D) gives real, rational and distinct roots. Check both the sign and perfect square condition of (D).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वास्तविक, परिमेय और भिन्न / Real, rational and distinct. A positive perfect square (D) gives real, rational and distinct roots. Check both the sign and perfect square condition of (D).
Step 3
Exam Tip
धनात्मक पूर्ण वर्ग (D) से वास्तविक, परिमेय और भिन्न मूल मिलते हैं। (D) का चिन्ह और पूर्ण वर्ग दोनों देखें।
A. \(\sqrt{n}\) अपरिमेय होगी/\(\sqrt{n}\) will be irrational
Step 1
Concept
If positive integer (n) is not a perfect square then \(\sqrt{n}\) is irrational. This is an easy exam rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{n}\) अपरिमेय होगी / \(\sqrt{n}\) will be irrational. If positive integer (n) is not a perfect square then \(\sqrt{n}\) is irrational. This is an easy exam rule.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक पूर्णांक (n) पूर्ण वर्ग न हो तो \(\sqrt{n}\) अपरिमेय होती है। यह आसान परीक्षा नियम है।
A. यह समझ के लिए ठीक संकेत है, पर पूर्ण प्रमाण में परिमेय मानकर विरोधाभास दिखाना चाहिए/It is a useful hint for understanding, but a full proof should assume rationality and show contradiction
Step 1
Concept
Since (2) is not a perfect square, \(\sqrt{2}\) is not an integer.
Step 2
Why this answer is correct
But irrationality needs proving it is not any rational fraction.
Step 3
Exam Tip
Therefore write the contradiction proof using a coprime fraction. चरण 1: (2) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{2}\) पूर्णांक नहीं है। चरण 2: पर अपरिमेयता के लिए यह भी सिद्ध करना होता है कि वह कोई परिमेय भिन्न नहीं है। चरण 3: इसलिए सहअभाज्य भिन्न वाला विरोधाभास प्रमाण लिखें।
A. यह बताता है कि \(\sqrt{5}\) पूर्णांक नहीं है, पर पूर्ण अपरिमेयता के लिए विरोधाभास प्रमाण चाहिए/It shows \(\sqrt{5}\) is not an integer, but full irrationality needs contradiction proof
Step 1
Concept
Since (5) is not a perfect square, \(\sqrt{5}\) cannot be an integer.
Step 2
Why this answer is correct
But to prove irrationality, we must also show it is not any rational fraction.
Step 3
Exam Tip
That is why the contradiction proof is written. चरण 1: (5) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{5}\) पूर्णांक नहीं हो सकता। चरण 2: पर अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए यह दिखाना भी जरूरी है कि वह कोई परिमेय भिन्न नहीं है। चरण 3: इसलिए विरोधाभास वाला प्रमाण लिखा जाता है।
A. यदि प्राकृतिक संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है और अभाज्य है, तो उसका वर्गमूल अपरिमेय होता है/If a natural number is not a perfect square and is prime, its square root is irrational
Step 1
Concept
(2,3,5) are not perfect squares and are prime.
Step 2
Why this answer is correct
Assuming their square roots rational creates a common-factor contradiction.
Step 3
Exam Tip
Identifying perfect squares is the first task in such questions. चरण 1: (2,3,5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं और अभाज्य हैं। चरण 2: इनके वर्गमूल को परिमेय मानने पर साझा गुणनखंड का विरोधाभास मिलता है। चरण 3: पूर्ण वर्ग पहचानना ऐसे प्रश्नों में पहला काम है।
Since (m) is not a perfect square, \(\sqrt{m}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
(4) is rational, and adding it to an irrational number gives an irrational number.
Step 3
Exam Tip
Connect the non-perfect-square condition directly with the nature of the square root. चरण 1: (m) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{m}\) अपरिमेय है। चरण 2: (4) परिमेय है, और अपरिमेय में परिमेय जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय होता है। चरण 3: पूर्ण वर्ग न होने की जानकारी को सीधे वर्गमूल की प्रकृति से जोड़ें।
In a perfect square, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^4\) is fine, while \(3^3\) needs one (3) and (5) needs one (5), so the multiplier is (15).
Step 3
Exam Tip
Multiply only by primes with odd exponents. चरण 1: पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: \(2^4\) ठीक है, \(3^3\) को \(3^4\) और (5) को \(5^2\) बनाने के लिए \(3 \times 5=15\) चाहिए। चरण 3: केवल विषम घातों वाले अभाज्यों को एक बार और गुणा करें।
In a perfect square, all prime exponents must be even.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^2\) is already even, and \(3^3\) needs one more (3) to become \(3^4\).
Step 3
Exam Tip
Multiply only by the prime that has an odd exponent. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी अभाज्य घातें सम होनी चाहिए। चरण 2: \(2^2\) पहले से सम है और \(3^3\) को \(3^4\) बनाने के लिए (3) चाहिए। चरण 3: केवल विषम घात वाले अभाज्य को एक बार और गुणा करें।
In a perfect square, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
To make \(2^3\) into \(2^4\) and (3) into \(3^2\), multiply by \(2 \times 3=6\).
Step 3
Exam Tip
For a square, increase odd exponents by one to make them even. चरण 1: पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: \(2^3\) को \(2^4\) और (3) को \(3^2\) बनाने के लिए \(2 \times 3=6\) से गुणा करना होगा। चरण 3: पूर्ण वर्ग के लिए विषम घातों को एक-एक बढ़ाकर सम करें।
In a perfect square, all prime exponents are even.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^5\) has an odd exponent, so multiplying by (2) makes it \(2^6\); \(7^2\) is already even.
Step 3
Exam Tip
For squares, fix only the odd exponents. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी अभाज्य घातें सम होती हैं। चरण 2: \(2^5\) में घात विषम है, इसलिए एक (2) और गुणा करने पर \(2^6\) हो जाएगा; \(7^2\) पहले से ठीक है। चरण 3: पूर्ण वर्ग के लिए केवल विषम घातों को ठीक करें।
D. कोई भी मान संभव नहीं है/None of the values is possible
Step 1
Concept
A perfect square requires all prime exponents to be even.
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) is already (3), which is odd, so changing only (x) cannot make the number a perfect square.
Step 3
Exam Tip
Check the whole prime factorisation, not only the unknown exponent. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी अभाज्य घातें सम होनी चाहिए। चरण 2: यहां \(2^3\) की घात पहले से विषम है, इसलिए केवल (x) बदलने से संख्या पूर्ण वर्ग नहीं बन सकती। चरण 3: पूरी अभाज्य रचना देखें, केवल अज्ञात घात पर ध्यान न दें।
\(2^3\) and \(5^1\) have odd powers, so multiply by \(2\times5\).
Step 3
Exam Tip
Do not multiply the prime whose exponent is already even. चरण 1: पूर्ण वर्ग में हर घात सम चाहिए। चरण 2: \(2^3\) और \(5^1\) की घात विषम है, इसलिए (2) और (5) से गुणा करने पर \(2^4\times3^2\times5^2\) बनेगा। चरण 3: सम घात वाली अभाज्य संख्या को फिर से गुणा न करें।
\(2^2\) is already fine, \(3^3\) needs one (3), and \(5^1\) needs one (5).
Step 3
Exam Tip
Make only the odd exponents even. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी घातें सम होनी चाहिए। चरण 2: \(2^2\) ठीक है, \(3^3\) को \(3^4\) बनाने के लिए (3) और \(5^1\) को \(5^2\) बनाने के लिए (5) चाहिए। चरण 3: केवल विषम घातों को एक-एक बढ़ाकर सम बनाएं।
All powers are even, so the number is already a perfect square.
Step 3
Exam Tip
If it is already a perfect square, the smallest divisor is 1. चरण 1: \(254016=2^6\times3^4\times7^2\)। चरण 2: सभी घातें सम हैं, इसलिए यह संख्या पहले से पूर्ण वर्ग है। चरण 3: पहले से पूर्ण वर्ग होने पर सबसे छोटा भाजक 1 होता है।
For a perfect square, odd powers of 3 and 5 must be reduced.
Step 3
Exam Tip
Dividing by \(3\times5=15\) leaves \(2^4\times3^2\times7^2\). चरण 1: \(105840=2^4\times3^3\times5\times7^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए 3 और 5 की विषम घातें घटानी होंगी। चरण 3: \(3\times5=15\) से भाग देने पर \(2^4\times3^2\times7^2\) बचेगा।
All exponents are even, so the number is already a perfect square.
Step 3
Exam Tip
If it is already a perfect square, the smallest divisor is 1. चरण 1: \(254016=64\times3969=2^6\times3^4\times7^2\)। चरण 2: सभी घातें सम हैं, इसलिए यह संख्या पहले से पूर्ण वर्ग है। चरण 3: पहले से पूर्ण वर्ग होने पर सबसे छोटा भाजक 1 होता है।
For a perfect square, odd powers of 2, 3, and 5 must be reduced.
Step 3
Exam Tip
Dividing by \(2\times3\times5=30\) leaves \(2^2\times3^2\times7^2\). चरण 1: \(52920=2^3\times3^3\times5\times7^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए 2, 3 और 5 की विषम घातें घटानी होंगी। चरण 3: \(2\times3\times5=30\) से भाग देने पर \(2^2\times3^2\times7^2\) बचेगा।
All exponents are even, so the number is already a perfect square.
Step 3
Exam Tip
The smallest divisor should be 1, but 1 is not listed; therefore no given option is correct. चरण 1: \(63504=2^4\times3^4\times7^2\) नहीं, बल्कि \(63504=16\times3969=2^4\times3^4\times7^2\) है। चरण 2: सभी घातें सम हैं, इसलिए संख्या पहले से पूर्ण वर्ग है। चरण 3: सबसे छोटा भाजक 1 होना चाहिए, पर विकल्पों में 1 नहीं है; इसलिए कोई दिया विकल्प सही नहीं है।
For a perfect square, the odd powers of 3 and 5 must be reduced.
Step 3
Exam Tip
Dividing by \(3\times5=15\) leaves \(2^2\times3^2\times7^2\), so the smallest number is 15. चरण 1: \(26460=2^2\times3^3\times5\times7^2\) है। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए 3 और 5 की विषम घातें घटानी होंगी। चरण 3: \(3\times5=15\) से भाग देने पर \(2^2\times3^2\times7^2\) बचेगा, इसलिए सबसे छोटी संख्या 15 है।
For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 3 is 3.
Step 3
Exam Tip
Dividing by 3 gives \(2^4\times3^2\times7^2\), a perfect square. चरण 1: \(21168=2^4\times3^3\times7^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, लेकिन 3 की घात 3 है। चरण 3: 3 से भाग देने पर \(2^4\times3^2\times7^2\) मिलेगा, जो पूर्ण वर्ग है।
For a perfect square, all exponents must be even, so the odd powers of 2, 3, and 5 must be reduced.
Step 3
Exam Tip
Dividing by \(2\times3\times5=30\) leaves \(3^2\times7^2\), a perfect square. चरण 1: \(13230=2\times3^3\times5\times7^2\) है। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम चाहिए, इसलिए 2, 3 और 5 की विषम घातें घटानी होंगी। चरण 3: \(2\times3\times5=30\) से भाग देने पर \(3^2\times7^2\) बचेगा, जो पूर्ण वर्ग है।
For a perfect square, all exponents must be even, but powers of 3 and 5 are odd.
Step 3
Exam Tip
Dividing by \(3\times5=15\) leaves \(3^2\times7^2\), a perfect square. चरण 1: \(6615=3^3\times5\times7^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, लेकिन 3 और 5 की घातें विषम हैं। चरण 3: \(3\times5=15\) से भाग देने पर \(3^2\times7^2\) बचेगा, जो पूर्ण वर्ग है।
For a perfect square, all exponents must be even, so the odd powers of 2, 3, and 5 must be reduced.
Step 3
Exam Tip
Dividing by \(2\times3\times5=30\) leaves \(3^2\times7^2\), so the smallest number is 30. चरण 1: \(13230=2\times3^3\times5\times7^2\) है। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम चाहिए, इसलिए 2, 3 और 5 की विषम घातें हटानी होंगी। चरण 3: \(2\times3\times5=30\) से नहीं, बल्कि \(2\times3\times5=30\) से भाग देने पर \(3^2\times7^2\) मिलेगा; इसलिए सही सबसे छोटी संख्या 30 है।
For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 2 is 3.
Step 3
Exam Tip
Dividing by 2 gives \(2^2\times3^2\times7^2\), so the smallest number is 2. चरण 1: \(3528=72\times49=2^3\times3^2\times7^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, लेकिन 2 की घात 3 है। चरण 3: 2 से भाग देने पर \(2^2\times3^2\times7^2\) मिलेगा, इसलिए सबसे छोटी संख्या 2 है।
For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 5 is 1.
Step 3
Exam Tip
Dividing by 5 makes all remaining exponents even, so the smallest number is 5. चरण 1: \(8820=2^2\times3^2\times5\times7^2\) होता है। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम चाहिए, लेकिन 5 की घात 1 है। चरण 3: 5 से भाग देने पर शेष घातें सम रहेंगी, इसलिए सबसे छोटी संख्या 5 है।
Substituting (x=0) in \(4x^3-7x\) gives (0), and it is not the zero polynomial. For (x=0), the constant term must be (0).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(4x^3-7x\). Substituting (x=0) in \(4x^3-7x\) gives (0), and it is not the zero polynomial. For (x=0), the constant term must be (0).
Step 3
Exam Tip
\(4x^3-7x\) में (x=0) रखने पर (0) मिलता है और यह शून्य बहुपद नहीं है। (x=0) के लिए अचर पद (0) होना चाहिए।
Distinct zeroes are counted from distinct meeting points with the (x)-axis. Tip: degree gives the maximum, but the actual count is read from the graph.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दो / Two. Distinct zeroes are counted from distinct meeting points with the (x)-axis. Tip: degree gives the maximum, but the actual count is read from the graph.
Step 3
Exam Tip
अलग शून्यक अलग (x)-अक्ष मिलने वाले बिंदुओं की संख्या से मिलते हैं। टिप: घात से अधिकतम संख्या मिलती है, वास्तविक गिनती ग्राफ से पढ़ें।
For a perfect square, all exponents must be even, but powers of 2 and 3 are odd.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by \(2\times3=6\) makes all powers even. चरण 1: \(86400=2^7\times3^3\times5^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, पर 2 और 3 की घातें विषम हैं। चरण 3: \(2\times3=6\) से गुणा करने पर सभी घातें सम हो जाएंगी।
For a perfect square, all exponents must be even, but powers of 2 and 3 are odd.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by \(2\times3=6\) makes all powers even. चरण 1: \(21600=216\times100=2^5\times3^3\times5^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम चाहिए, पर 2 और 3 की घातें विषम हैं। चरण 3: \(2\times3=6\) से गुणा करने पर सभी घातें सम हो जाएंगी।
For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 3 is 3.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by 3 makes it 4, so the smallest number is 3. चरण 1: \(43200=432\times100=2^6\times3^3\times5^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, पर 3 की घात 3 विषम है। चरण 3: 3 से गुणा करने पर 3 की घात 4 हो जाएगी, इसलिए सबसे छोटी संख्या 3 है।
For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 3 is 3.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by 3 makes the exponent 4, so the smallest number is 3. चरण 1: \(10800=108\times100=2^4\times3^3\times5^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, पर 3 की घात 3 विषम है। चरण 3: 3 से गुणा करने पर 3 की घात 4 हो जाएगी, इसलिए सबसे छोटी संख्या 3 है।
For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 2 is 3.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by 2 makes the exponent 4, so the smallest number is 2. चरण 1: \(3528=72\times49=2^3\times3^2\times7^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, लेकिन 2 की घात 3 विषम है। चरण 3: 2 से गुणा करने पर घात 4 हो जाएगी, इसलिए सबसे छोटी संख्या 2 है।
For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 2 is 3.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by 2 makes it 4, so the smallest number is 2. चरण 1: \(1800=18\times100=2^3\times3^2\times5^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, पर 2 की घात 3 विषम है। चरण 3: 2 से गुणा करने पर घात 4 हो जाएगी, इसलिए सबसे छोटी संख्या 2 है।
The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((-14,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. एक / One. The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((-14,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
Step 3
Exam Tip
शीर्ष (x)-अक्ष पर है, इसलिए परवलय ((-14,0)) पर स्पर्श करेगा। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो एक अलग शून्यक होता है।
The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((12,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. एक / One. The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((12,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
Step 3
Exam Tip
शीर्ष (x)-अक्ष पर है, इसलिए परवलय ((12,0)) पर स्पर्श करेगा। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो एक अलग शून्यक होता है।
The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((-5,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. एक / One. The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((-5,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
Step 3
Exam Tip
शीर्ष (x)-अक्ष पर है इसलिए परवलय ((-5,0)) पर स्पर्श करेगा। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो एक अलग शून्यक होता है।
The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((4,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. एक / One. The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((4,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
Step 3
Exam Tip
शीर्ष (x)-अक्ष पर है, इसलिए परवलय ((4,0)) पर स्पर्श करेगा। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो एक अलग शून्यक होता है।
Both have the same (x)-value (3), so there is one distinct zero. Tip: count a repeated value once for distinct count.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. एक / One. Both have the same (x)-value (3), so there is one distinct zero. Tip: count a repeated value once for distinct count.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (x)-मान समान (3) है इसलिए अलग शून्यक एक है। टिप: दोहराए मान को अलग गिनती में एक बार लें।
The same (x)-value (4) is repeated, so there is one distinct zero. Tip: do not count repetition for distinct zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. एक / One. The same (x)-value (4) is repeated, so there is one distinct zero. Tip: do not count repetition for distinct zeroes.
Step 3
Exam Tip
एक ही (x)-मान (4) दोहराया गया है इसलिए अलग शून्यक एक है। टिप: अलग शून्यक में दोहराव न गिनें।
Both cutting and touching count as meeting the (x)-axis. If the two points are distinct, there are two distinct real zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दो / Two. Both cutting and touching count as meeting the (x)-axis. If the two points are distinct, there are two distinct real zeroes.
Step 3
Exam Tip
कटना और छूना दोनों (x)-अक्ष से मिलना है। यदि दोनों बिंदु अलग हैं, तो दो अलग वास्तविक शून्यक होंगे।
(p(x)=\(x+\sqrt{5}\)2), so the zero is \(-\sqrt{5}\) twice. A perfect-square form gives a repeated zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(-\sqrt{5}\) दो बार / \(-\sqrt{5}\) twice. (p(x)=\(x+\sqrt{5}\)2), so the zero is \(-\sqrt{5}\) twice. A perfect-square form gives a repeated zero.
Step 3
Exam Tip
(p(x)=\(x+\sqrt{5}\)2), इसलिए शून्यक \(-\sqrt{5}\) दो बार है। पूर्ण वर्ग रूप से दोहराया शून्यक मिलता है।
The sum of zeroes is (2), so the other zero is (2-\(1+\sqrt{3}\)=1-\sqrt{3}). With rational coefficients, the conjugate also appears.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(1-\sqrt{3}\). The sum of zeroes is (2), so the other zero is (2-\(1+\sqrt{3}\)=1-\sqrt{3}). With rational coefficients, the conjugate also appears.
Step 3
Exam Tip
शून्यकों का योग (2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (2-\(1+\sqrt{3}\)=1-\sqrt{3}) है। परिमेय गुणांकों में संयुग्मी भी मिलता है।
A. दूसरा (7), कटान ((6,0)), ((7,0))/Other (7), intersections ((6,0)), ((7,0))
Step 1
Concept
In the quadratic, the sum of zeroes is (13), so the other zero is (7). Tip: convert a zero into ((x,0)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दूसरा (7), कटान ((6,0)), ((7,0)) / Other (7), intersections ((6,0)), ((7,0)). In the quadratic, the sum of zeroes is (13), so the other zero is (7). Tip: convert a zero into ((x,0)).
Step 3
Exam Tip
द्विघात में शून्यकों का योग (13) है, इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: शून्यक को ((x,0)) में बदलें।
The average of the two zeroes is (5), so the other zero is (11). Tip: the axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (11). The average of the two zeroes is (5), so the other zero is (11). Tip: the axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes.
Step 3
Exam Tip
दो शून्यकों का औसत (5) है इसलिए दूसरा शून्यक (11) होगा। टिप: सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है।
A. दूसरा (7), कटान ((4,0)), ((7,0))/Other (7), intersections ((4,0)), ((7,0))
Step 1
Concept
In the quadratic, the sum of zeroes is (11), so the other zero is (7). Tip: convert a zero into ((x,0)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दूसरा (7), कटान ((4,0)), ((7,0)) / Other (7), intersections ((4,0)), ((7,0)). In the quadratic, the sum of zeroes is (11), so the other zero is (7). Tip: convert a zero into ((x,0)).
Step 3
Exam Tip
द्विघात में शून्यकों का योग (11) है, इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: शून्यक को ((x,0)) में बदलें।
The average of the two zeroes is (-2), so the other zero is (-9). Tip: connect the axis of symmetry with the midpoint of zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (-9). The average of the two zeroes is (-2), so the other zero is (-9). Tip: connect the axis of symmetry with the midpoint of zeroes.
Step 3
Exam Tip
दो शून्यकों का औसत (-2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-9) होगा। टिप: सममिति अक्ष को शून्यकों के मध्य से जोड़ें।
A. दूसरा (5), कटान ((4,0)), ((5,0))/Other (5), intersections ((4,0)), ((5,0))
Step 1
Concept
In the quadratic, the sum of zeroes is (9), so the other zero is (5). Tip: quickly convert a zero to ((x,0)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दूसरा (5), कटान ((4,0)), ((5,0)) / Other (5), intersections ((4,0)), ((5,0)). In the quadratic, the sum of zeroes is (9), so the other zero is (5). Tip: quickly convert a zero to ((x,0)).
Step 3
Exam Tip
द्विघात में शून्यकों का योग (9) है इसलिए दूसरा शून्यक (5) है। टिप: शून्यक को तुरंत ((x,0)) में बदलें।
The average of the two zeroes is (3), so the other zero is (-5). Tip: set \(\frac{a+b}{2}\) equal to the axis of symmetry.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (-5). The average of the two zeroes is (3), so the other zero is (-5). Tip: set \(\frac{a+b}{2}\) equal to the axis of symmetry.
Step 3
Exam Tip
दो शून्यकों का औसत (3) है इसलिए दूसरा शून्यक (-5) होगा। टिप: \(\frac{a+b}{2}\) को सममिति अक्ष के बराबर रखें।
The average of the two zeroes is (4), so the other zero is (10). Tip: connect the axis of symmetry with the midpoint of zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (10). The average of the two zeroes is (4), so the other zero is (10). Tip: connect the axis of symmetry with the midpoint of zeroes.
Step 3
Exam Tip
दोनों शून्यकों का औसत (4) है इसलिए दूसरा शून्यक (10) होगा। टिप: सममिति अक्ष को शून्यकों के मध्य मान से जोड़ें।
A. दूसरा (4), कटान ((3,0)), ((4,0))/Other (4), intersections ((3,0)), ((4,0))
Step 1
Concept
In the quadratic, the sum of zeroes is (7), so the other zero is (4). Tip: quickly convert a zero to ((x,0)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दूसरा (4), कटान ((3,0)), ((4,0)) / Other (4), intersections ((3,0)), ((4,0)). In the quadratic, the sum of zeroes is (7), so the other zero is (4). Tip: quickly convert a zero to ((x,0)).
Step 3
Exam Tip
द्विघात में शून्यकों का योग (7) है, इसलिए दूसरा शून्यक (4) है। टिप: शून्यक को तुरंत ((x,0)) में बदलें।
The average of the two zeroes is (2), so the other zero is (-5). Tip: set \( \frac{a+b}{2} \) equal to the axis of symmetry.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (-5). The average of the two zeroes is (2), so the other zero is (-5). Tip: set \( \frac{a+b}{2} \) equal to the axis of symmetry.
Step 3
Exam Tip
दो शून्यकों का औसत (2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-5) होगा। टिप: \( \frac{a+b}{2} \) को सममिति अक्ष के बराबर रखें।
The average of the two zeroes is (1), so the other zero is (7). Tip: the axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (7). The average of the two zeroes is (1), so the other zero is (7). Tip: the axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes.
Step 3
Exam Tip
दो शून्यकों का औसत (1) होगा इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है।
A. दूसरा (3), कटान ((2,0)), ((3,0))/Other (3), intersections ((2,0)), ((3,0))
Step 1
Concept
In the quadratic, the sum of zeroes is (5), so the other zero is (3). Tip: immediately convert a zero to ((x,0)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दूसरा (3), कटान ((2,0)), ((3,0)) / Other (3), intersections ((2,0)), ((3,0)). In the quadratic, the sum of zeroes is (5), so the other zero is (3). Tip: immediately convert a zero to ((x,0)).
Step 3
Exam Tip
द्विघात में शून्यकों का योग (5) है, इसलिए दूसरा शून्यक (3) है। टिप: शून्यक को तुरंत ((x,0)) में बदलें।
The square root of a perfect square is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
If (n) is not a perfect square, \(\sqrt{n}\) is not rational.
Step 3
Exam Tip
This rule is very useful in Class 10 irrational number questions. चरण 1: पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है। चरण 2: यदि (n) पूर्ण वर्ग नहीं है, तो \(\sqrt{n}\) परिमेय नहीं होता। चरण 3: यह नियम कक्षा दस के अपरिमेय संख्या प्रश्नों में बहुत उपयोगी है।
Make \(2^3\) into \(2^4\) and (5) into \(5^2\); \(3^2\) is already fine.
Step 3
Exam Tip
For the smallest square multiple, increase only the necessary exponents. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी घातें सम होनी चाहिए। चरण 2: \(2^3\) को \(2^4\) और (5) को \(5^2\) बनाना होगा; \(3^2\) पहले से सही है। चरण 3: सबसे छोटे पूर्ण वर्ग गुणज में केवल जरूरी घातें ही बढ़ाएं।
The coefficient ratio is \(\frac{1}{2}\), so coincidence needs (k=90). For (k=88), the lines are distinct and parallel.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (k=88). The coefficient ratio is \(\frac{1}{2}\), so coincidence needs (k=90). For (k=88), the lines are distinct and parallel.
Step 3
Exam Tip
गुणांक का अनुपात \(\frac{1}{2}\) है, इसलिए संपाती होने के लिए (k=90) चाहिए। (k=88) पर रेखाएं समांतर अलग-अलग हैं।
For parallel lines, \(\frac{3}{9}=\frac{a}{12}\), so (a=4). Since \(\frac{15}{47}\neq\frac{1}{3}\), they will not be coincident.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (a=4). For parallel lines, \(\frac{3}{9}=\frac{a}{12}\), so (a=4). Since \(\frac{15}{47}\neq\frac{1}{3}\), they will not be coincident.
Step 3
Exam Tip
समांतर के लिए \(\frac{3}{9}=\frac{a}{12}\), इसलिए (a=4)। चूंकि \(\frac{15}{47}\neq\frac{1}{3}\), वे संपाती नहीं होंगी।
The coefficient ratio is \(\frac{1}{2}\), so coincidence needs (k=42). For (k=40), the lines are distinct and parallel.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (k=40). The coefficient ratio is \(\frac{1}{2}\), so coincidence needs (k=42). For (k=40), the lines are distinct and parallel.
Step 3
Exam Tip
गुणांक का अनुपात \(\frac{1}{2}\) है, इसलिए संपाती होने के लिए (k=42) चाहिए। (k=40) पर रेखाएं समांतर अलग-अलग हैं।
For parallel lines, \(\frac{4}{8}=\frac{a}{10}\), so (a=5). Since \(\frac{16}{35}\neq\frac{1}{2}\), they will not be coincident.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (a=5). For parallel lines, \(\frac{4}{8}=\frac{a}{10}\), so (a=5). Since \(\frac{16}{35}\neq\frac{1}{2}\), they will not be coincident.
Step 3
Exam Tip
समांतर के लिए \(\frac{4}{8}=\frac{a}{10}\), इसलिए (a=5)। चूंकि \(\frac{16}{35}\neq\frac{1}{2}\), वे संपाती नहीं होंगी।
The coefficient ratio is \(\frac{1}{2}\), so coincidence needs (k=24). For (k=20), the lines are distinct and parallel.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (k=20). The coefficient ratio is \(\frac{1}{2}\), so coincidence needs (k=24). For (k=20), the lines are distinct and parallel.
Step 3
Exam Tip
गुणांक का अनुपात \(\frac{1}{2}\) है, इसलिए संपाती होने के लिए (k=24) चाहिए। (k=20) पर रेखाएं समांतर अलग-अलग हैं।
For parallel lines, \(\frac{2}{6}=\frac{a}{9}\), so (a=3). Since \(\frac{10}{31}\neq\frac{1}{3}\), the lines are not coincident.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (a=3). For parallel lines, \(\frac{2}{6}=\frac{a}{9}\), so (a=3). Since \(\frac{10}{31}\neq\frac{1}{3}\), the lines are not coincident.
Step 3
Exam Tip
समांतर के लिए \(\frac{2}{6}=\frac{a}{9}\), इसलिए (a=3)। चूंकि \(\frac{10}{31}\neq\frac{1}{3}\), रेखाएं संपाती नहीं होंगी।
The coefficient ratio is \(\frac{3}{6}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\); for coincidence, (k=14) is needed. With (k=7), the lines are parallel and distinct.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (7). The coefficient ratio is \(\frac{3}{6}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\); for coincidence, (k=14) is needed. With (k=7), the lines are parallel and distinct.
Step 3
Exam Tip
गुणांक अनुपात \(\frac{3}{6}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) है; संपाती होने के लिए (k=14) चाहिए। (k=7) होने पर रेखाएं समांतर अलग-अलग होंगी।
Dividing (6x-4y=20) by (2) gives (3x-2y=10). Same left side with different constants gives distinct parallel lines.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (6x-4y=20). Dividing (6x-4y=20) by (2) gives (3x-2y=10). Same left side with different constants gives distinct parallel lines.
Step 3
Exam Tip
(6x-4y=20) को (2) से भाग देने पर (3x-2y=10) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक अलग समांतर रेखाएँ देते हैं।
Dividing (4x-6y=18) by (2) gives (2x-3y=9). Same left side with different constants gives distinct parallel lines.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (4x-6y=18). Dividing (4x-6y=18) by (2) gives (2x-3y=9). Same left side with different constants gives distinct parallel lines.
Step 3
Exam Tip
(4x-6y=18) को (2) से भाग देने पर (2x-3y=9) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक अलग समांतर रेखाएँ देते हैं।
Dividing (2x+6y=30) by (2) gives (x+3y=15). Same left side with different constants gives distinct parallel lines.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (2x+6y=30). Dividing (2x+6y=30) by (2) gives (x+3y=15). Same left side with different constants gives distinct parallel lines.
Step 3
Exam Tip
(2x+6y=30) को (2) से भाग देने पर (x+3y=15) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर अलग रेखाएँ देते हैं।
