56 results found for "proofs" in Class 10.
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में परिमेय संख्या की कौन-सी विशेषता उपयोग होती है?
Which property of rational numbers is used in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#rational-number
#coprime
#proof-base
A हर परिमेय संख्या को दो सहअभाज्य पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जा सकता है / Every rational number can be written as a ratio of two coprime integers
B हर परिमेय संख्या पूर्णांक होती है / Every rational number is an integer
C हर परिमेय संख्या का हर शून्य होता है / Every rational number has zero denominator
D हर परिमेय संख्या अभाज्य होती है / Every rational number is prime
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Correct Answer
A. हर परिमेय संख्या को दो सहअभाज्य पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जा सकता है / Every rational number can be written as a ratio of two coprime integers
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जाता है। / A rational number is written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
उसे सरलतम रूप में लेने पर (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, (p) and (q) are coprime.
Step 3
Exam Tip
यही गुण विरोधाभास बनाने में काम आता है। / This property is used to create the contradiction.
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\(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में कौन-सा विचार समान है?
Which idea is common in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root3
#root5
#comparison
A दोनों में दशमलव विस्तार से निष्कर्ष मिलता है / Both use decimal expansion for the conclusion
B दोनों में संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों को भाग देती है / In both, the related prime number divides both numerator and denominator
C दोनों में (2) साझा गुणनखंड मिलता है / In both, (2) is the common factor
D दोनों में हर शून्य लिया जाता है / In both, denominator is taken zero
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Correct Answer
B. दोनों में संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों को भाग देती है / In both, the related prime number divides both numerator and denominator
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) मिलता है। / In \(\sqrt{3}\), the common factor is (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है। / In \(\sqrt{5}\), the common factor is (5).
Step 3
Exam Tip
दोनों में अभाज्य गुणनखंड बदलता है, लेकिन विरोधाभास का ढाँचा समान है। / The prime factor changes, but the contradiction structure is the same.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में कौन-सी बात बदलती है, जबकि प्रमाण की विधि समान रहती है?
In the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\), what changes while the proof method remains the same?
#real-numbers
#root2
#root3
#root5
#comparison
A संबंधित अभाज्य गुणनखंड (2,3,5) बदलता है / The related prime factor (2,3,5) changes
B हर बार हर शून्य होता है / The denominator is zero every time
C हर बार दशमलव विस्तार लिया जाता है / The decimal expansion is used every time
D हर बार वर्गमूल पूर्णांक होता है / The square root is an integer every time
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Correct Answer
A. संबंधित अभाज्य गुणनखंड (2,3,5) बदलता है / The related prime factor (2,3,5) changes
Step 1
Concept
तीनों में पहले परिमेय मान्यता ली जाती है। / In all three proofs, the rational assumption is made first.
Step 2
Why this answer is correct
फिर संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों में साझा बनती है। / Then the related prime number becomes common to numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
ढाँचा समान है, केवल अभाज्य गुणनखंड बदलता है। / The structure is the same; only the prime factor changes.
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\(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में (2) की जगह क्रमशः कौन-से अभाज्य गुणनखंड आते हैं?
In the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\), which prime factors appear respectively instead of (2)?
#real-numbers
#root3
#root5
#comparison
A (3) और (5) / (3) and (5)
B (5) और (3) / (5) and (3)
C (2) और (2) / (2) and (2)
D (1) और (5) / (1) and (5)
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Correct Answer
A. (3) और (5) / (3) and (5)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) में समीकरण \(p^2=3q^2\) बनता है, इसलिए (3) काम करता है। / For \(\sqrt{3}\), the equation is \(p^2=3q^2\), so (3) is used.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\) में \(p^2=5q^2\) बनता है, इसलिए (5) काम करता है। / For \(\sqrt{5}\), the equation is \(p^2=5q^2\), so (5) is used.
Step 3
Exam Tip
हर प्रमाण में संबंधित अभाज्य संख्या पहचानें। / Identify the related prime in each proof.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में कौन-सा ढाँचा समान रहता है?
Which structure remains common in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#general-method
#irrationality
#proof-structure
A परिमेय मान्यता, वर्ग करना, अभाज्य विभाज्यता, फिर विरोधाभास / Rational assumption, squaring, prime divisibility, then contradiction
B दशमलव विस्तार, मापन, अनुमान, फिर उत्तर / Decimal expansion, measurement, guess, then answer
C केवल पूर्ण वर्गों की सूची बनाना / Only listing perfect squares
D हर बार हर को शून्य रखना / Making the denominator zero every time
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Correct Answer
A. परिमेय मान्यता, वर्ग करना, अभाज्य विभाज्यता, फिर विरोधाभास / Rational assumption, squaring, prime divisibility, then contradiction
Step 1
Concept
तीनों में पहले वर्गमूल को परिमेय माना जाता है। / In all three, the square root is first assumed rational.
Step 2
Why this answer is correct
फिर वर्ग करके संबंधित अभाज्य संख्या की विभाज्यता से साझा गुणनखंड मिलता है। / Then squaring and prime divisibility give a common factor.
Step 3
Exam Tip
यही साझा गुणनखंड सहअभाज्यता से टकराता है। / This common factor contradicts coprimality.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों से कौन-सी मुख्य परीक्षा सीख मिलती है?
What main exam lesson is learned from the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#irrationality
#exam-tip
#proof-structure
A परिमेय मान्यता, वर्ग करना, अभाज्य विभाज्यता और सहअभाज्यता का विरोधाभास क्रम से लिखना चाहिए / Write rational assumption, squaring, prime divisibility, and coprime contradiction in order
B केवल दशमलव मान याद रखना चाहिए / Only memorize decimal values
C हर वर्गमूल को पूर्णांक मानना चाहिए / Treat every square root as an integer
D सहअभाज्यता को छोड़ देना चाहिए / Ignore coprimality
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Correct Answer
A. परिमेय मान्यता, वर्ग करना, अभाज्य विभाज्यता और सहअभाज्यता का विरोधाभास क्रम से लिखना चाहिए / Write rational assumption, squaring, prime divisibility, and coprime contradiction in order
Step 1
Concept
पहले वर्गमूल को परिमेय मानते हैं। / First assume the square root is rational.
Step 2
Why this answer is correct
फिर वर्ग करके अभाज्य विभाज्यता से अंश और हर में साझा गुणनखंड दिखाते हैं। / Then square and use prime divisibility to show a common factor in numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में यही क्रम साफ और पूरे अंक वाला उत्तर बनाता है। / In exams, this order makes a clear full-mark answer.
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\(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों की तुलना में कौन-सा अंतर सही है?
Which difference is correct when comparing the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root3
#root5
#comparison
A \(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) और \(\sqrt{5}\) में (5) मिलता है / The common factor is (3) for \(\sqrt{3}\) and (5) for \(\sqrt{5}\)
B \(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (2) और \(\sqrt{5}\) में (3) मिलता है / The common factor is (2) for \(\sqrt{3}\) and (3) for \(\sqrt{5}\)
C दोनों में दशमलव विस्तार ही प्रमाण है / In both, decimal expansion is the proof
D दोनों में हर शून्य लिया जाता है / In both, denominator is taken zero
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Correct Answer
A. \(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) और \(\sqrt{5}\) में (5) मिलता है / The common factor is (3) for \(\sqrt{3}\) and (5) for \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) में समीकरण \(p^2=3q^2\) बनता है। / For \(\sqrt{3}\), the equation is \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\) में समीकरण \(p^2=5q^2\) बनता है। / For \(\sqrt{5}\), the equation is \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
दोनों का ढाँचा समान है, केवल अभाज्य गुणनखंड बदलता है। / The structure is the same; only the prime factor changes.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में परिमेय मान्यता किस रूप में ली जाती है?
In the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\), in what form is the rational assumption taken?
#real-numbers
#general-method
#rational-form
#irrationality
A \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\), जहाँ (p,q) सहअभाज्य पूर्णांक और \(q\neq0\) हैं / \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime integers and \(q\neq0\)
B \(\sqrt{r}=p+q\), जहाँ (p,q) कोई भी संख्या हैं / \(\sqrt{r}=p+q\), where (p,q) are any numbers
C \(\sqrt{r}=\frac{p}{0}\)
D \(\sqrt{r}=r\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\), जहाँ (p,q) सहअभाज्य पूर्णांक और \(q\neq0\) हैं / \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime integers and \(q\neq0\)
Step 1
Concept
परिमेय मान्यता हमेशा अनुपात के रूप में ली जाती है। / The rational assumption is always taken as a ratio.
Step 2
Why this answer is correct
(p,q) को सहअभाज्य और \(q\neq0\) लिखना जरूरी है। / It is necessary to write (p,q) coprime and \(q\neq0\).
Step 3
Exam Tip
यही मानक रूप तीनों प्रमाणों में काम आता है। / This standard form works in all three proofs.
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कौन-सा सामान्य कथन \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों पर लागू होता है?
Which general statement applies to the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#general-proof
#prime-roots
#irrationality
A अभाज्य (r) के लिए \(\sqrt{r}\) को परिमेय मानने से (r) अंश और हर दोनों को भाग देता है / For prime (r), assuming \(\sqrt{r}\) rational makes (r) divide both numerator and denominator
B हर प्रमाण में केवल (2) साझा गुणनखंड होता है / In every proof only (2) is the common factor
C हर प्रमाण में दशमलव विस्तार देखा जाता है / In every proof the decimal expansion is checked
D हर प्रमाण में वर्गमूल पूर्णांक सिद्ध होता है / In every proof the square root is proved an integer
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Correct Answer
A. अभाज्य (r) के लिए \(\sqrt{r}\) को परिमेय मानने से (r) अंश और हर दोनों को भाग देता है / For prime (r), assuming \(\sqrt{r}\) rational makes (r) divide both numerator and denominator
Step 1
Concept
(2,3,5) अभाज्य हैं। / (2,3,5) are prime.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\) मानने पर अंत में \(r\mid p\) और \(r\mid q\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\) finally gives \(r\mid p\) and \(r\mid q\).
Step 3
Exam Tip
यही साझा ढाँचा तीनों प्रमाणों को जोड़ता है। / This common structure connects all three proofs.
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कौन-सा कथन \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) दोनों के प्रमाण में सही है?
Which statement is true in both proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root3
#root5
#comparison
#hard
A संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों को भाग देने लगती है / The related prime number starts dividing both numerator and denominator
B दोनों प्रमाणों में अंश और हर सम होते हैं / In both proofs, numerator and denominator become even
C दोनों प्रमाणों में (2) साझा गुणनखंड है / In both proofs, (2) is the common factor
D दोनों प्रमाण दशमलव विस्तार पर आधारित हैं / Both proofs are based on decimal expansion
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Correct Answer
A. संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों को भाग देने लगती है / The related prime number starts dividing both numerator and denominator
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) मिलता है। / In \(\sqrt{3}\), the common factor obtained is (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है। / In \(\sqrt{5}\), the common factor obtained is (5).
Step 3
Exam Tip
दोनों में विचार समान है, केवल अभाज्य संख्या बदलती है। / The idea is the same; only the prime number changes.
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किस विकल्प में अपरिमेयता के प्रमाण में विरोधाभास की विधि का सही अर्थ है?
Which option correctly explains proof by contradiction in irrationality proofs?
#real-numbers
#contradiction-method
#irrationality
#proof
#hard
A जिसे सिद्ध करना है, उसके विपरीत को मानकर असंभव परिणाम दिखाना / Assume the opposite of what is to be proved and show an impossible result
B सही उत्तर को बिना कारण लिख देना / Write the correct answer without reason
C हर संख्या को दशमलव में बदलना / Convert every number into decimal form
D केवल अनुमान से निष्कर्ष निकालना / Conclude only by guessing
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Correct Answer
A. जिसे सिद्ध करना है, उसके विपरीत को मानकर असंभव परिणाम दिखाना / Assume the opposite of what is to be proved and show an impossible result
Step 1
Concept
विरोधाभास की विधि में विपरीत मान्यता से शुरुआत होती है। / In proof by contradiction, we begin with the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
फिर ऐसा परिणाम मिलता है जो दी गई शर्त से मेल नहीं खाता। / Then we reach a result that conflicts with the given condition.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाण इसी ढाँचे पर आधारित हैं। / The proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) follow this structure.
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कौन-सा कथन \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में समान है?
Which statement is common to the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root2
#root3
#root5
#common-method
#hard
A परिमेय मानने से सहअभाज्य अंश और हर में साझा गुणनखंड आ जाता है / Assuming rationality creates a common factor in the coprime numerator and denominator
B हर प्रमाण में अंश और हर दोनों सम होते हैं / In every proof, numerator and denominator both become even
C हर प्रमाण में (2) साझा गुणनखंड बनता है / In every proof, (2) becomes the common factor
D हर प्रमाण में वर्गमूल पूर्णांक बन जाता है / In every proof, the square root becomes an integer
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Correct Answer
A. परिमेय मानने से सहअभाज्य अंश और हर में साझा गुणनखंड आ जाता है / Assuming rationality creates a common factor in the coprime numerator and denominator
Step 1
Concept
तीनों प्रमाणों में संख्या को पहले परिमेय माना जाता है। / In all three proofs, the number is first assumed rational.
Step 2
Why this answer is correct
फिर संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों को भाग देने लगती है। / Then the related prime number is forced to divide both numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
समान ढाँचा समझने से तीनों प्रमाण आसानी से याद रहते हैं। / Understanding this common structure makes all three proofs easier to remember.
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कौन-सी संख्या का वर्गमूल \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) जैसे प्रमाणों में अपरिमेय सिद्ध होता है?
Which type of square root is proved irrational in proofs like those for \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#irrationality
#prime-roots
#concept
#hard
A ऐसी अभाज्य संख्या का वर्गमूल जो पूर्ण वर्ग नहीं है / The square root of a prime number that is not a perfect square
B किसी भी सम संख्या का वर्गमूल / The square root of any even number
C किसी भी विषम संख्या का वर्गमूल / The square root of any odd number
D हर प्राकृतिक संख्या का वर्गमूल / The square root of every natural number
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Correct Answer
A. ऐसी अभाज्य संख्या का वर्गमूल जो पूर्ण वर्ग नहीं है / The square root of a prime number that is not a perfect square
Step 1
Concept
(2,3,5) अभाज्य हैं और पूर्ण वर्ग नहीं हैं। / (2,3,5) are prime numbers and not perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
इनके वर्गमूल को परिमेय मानने से अंश और हर में वही अभाज्य साझा गुणनखंड बनता है। / Assuming their square roots rational creates the same prime as a common factor of numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग और अभाज्य संख्या का फर्क जरूर समझें। / Understand the difference between a perfect square and a prime number.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) की सिद्धियों का सही सामान्य ढांचा देता है?
Which option gives the correct common structure of the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#proof structure
#irrationality
#hard
#class 10
A परिमेय मानना, सरलतम भिन्न लिखना, वर्ग करना, साझा गुणनखंड से विरोधाभास लेना / Assume rational, write a lowest-form fraction, square, get contradiction from a common factor
B दशमलव निकालना, अनुमान लगाना, उत्तर लिखना / Find decimal, estimate, write the answer
C हर को शून्य मानना, फिर भिन्न हटाना / Assume denominator zero, then remove the fraction
D वर्गमूल को अंदर की संख्या मानना / Treat the square root as the inside number
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. परिमेय मानना, सरलतम भिन्न लिखना, वर्ग करना, साझा गुणनखंड से विरोधाभास लेना / Assume rational, write a lowest-form fraction, square, get contradiction from a common factor
Step 1
Concept
पहले संख्या को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) के सरलतम रूप में लिखते हैं। / First assume the number rational and write it as \(\frac{p}{q}\) in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने से विभाज्यता वाला समीकरण मिलता है। / Squaring gives a divisibility equation.
Step 3
Exam Tip
अंत में साझा गुणनखंड से विरोधाभास बनाकर अपरिमेयता सिद्ध करते हैं। / Finally, a common factor gives contradiction and proves irrationality.
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तीनों सिद्धियों में अंतिम पंक्ति लिखते समय कौन सा वाक्य सबसे सुरक्षित है?
While writing the final line in all three proofs, which sentence is the safest?
#final conclusion
#exam writing
#hard
#class 10
A यह हमारी परिमेय मान्यता के विरुद्ध है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है / This contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational
B अतः हर शून्य है / Hence the denominator is zero
C अतः वर्गमूल अंदर की संख्या के बराबर है / Hence the square root equals the number inside
D अतः दी गई संख्या पूर्ण वर्ग है / Hence the given number is a perfect square
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह हमारी परिमेय मान्यता के विरुद्ध है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है / This contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational
Step 1
Concept
तीनों प्रमाणों में परिमेय मान्यता से शुरुआत होती है। / All three proofs start with a rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
अंत में सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास मिलता है। / At the end, a contradiction is obtained from the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
इसलिए अंतिम पंक्ति में विरोधाभास और अपरिमेयता दोनों साफ लिखें। / Therefore the final line should clearly state contradiction and irrationality.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) की सिद्धियों में सबसे बड़ा सामान्य भ्रम है?
Which statement is the biggest common misconception in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#common misconception
#square root
#hard
#class 10
A वर्गमूल को उसके अंदर की संख्या के बराबर मान लेना / Treating the square root as equal to the number inside it
B परिमेय मानकर शुरुआत करना / Starting by assuming rationality
C दोनों ओर वर्ग करना / Squaring both sides
D सहअभाज्य शर्त लिखना / Writing the coprime condition
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वर्गमूल को उसके अंदर की संख्या के बराबर मान लेना / Treating the square root as equal to the number inside it
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}=2\), \(\sqrt{3}=3\), या \(\sqrt{5}=5\) लिखना गलत है। / Writing \(\sqrt{2}=2\), \(\sqrt{3}=3\), or \(\sqrt{5}=5\) is wrong.
Step 2
Why this answer is correct
सही प्रमाण में परिमेय मानकर भिन्न रूप लिया जाता है। / In the correct proof, rationality is assumed and fraction form is taken.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल और उसके अंदर की संख्या को एक जैसा न मानें। / Do not treat the square root and the number inside as the same.
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\(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) की सिद्धियों में कौन सा गहरा विचार समान है?
Which deeper idea is common in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#sqrt3 sqrt5
#prime factor
#hard
#class 10
A अभाज्य गुणनखंड वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है / If a prime factor divides a square, it also divides the original number
B हर को शून्य मानना जरूरी है / The denominator must be assumed zero
C वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर मानना जरूरी है / The square root must be assumed equal to the number inside
D दशमलव विस्तार ही प्रमाण है / Decimal expansion itself is the proof
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. अभाज्य गुणनखंड वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है / If a prime factor divides a square, it also divides the original number
Step 1
Concept
(3) और (5) दोनों अभाज्य हैं। / Both (3) and (5) are prime.
Step 2
Why this answer is correct
\(p^2\) में ये गुणनखंड आने पर (p) में भी आते हैं। / When these factors appear in \(p^2\), they also appear in (p).
Step 3
Exam Tip
इसी विचार से अंत में अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलता है। / This idea finally gives a common factor in numerator and denominator.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{5}\) की सिद्धियों का सही अंतर बताता है?
Which option correctly states the difference between the proofs of \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{5}\)?
#proof comparison
#sqrt2 sqrt5
#hard
#class 10
A \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2), \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है / \(\sqrt{2}\) gives common factor (2), while \(\sqrt{5}\) gives common factor (5)
B दोनों में साझा गुणनखंड (3) मिलता है / Both give common factor (3)
C \(\sqrt{2}\) में (5), \(\sqrt{5}\) में (2) मिलता है / \(\sqrt{2}\) gives (5), while \(\sqrt{5}\) gives (2)
D दोनों में कोई साझा गुणनखंड नहीं मिलता / No common factor is found in either
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2), \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है / \(\sqrt{2}\) gives common factor (2), while \(\sqrt{5}\) gives common factor (5)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) में \(a^2=2b^2\) से (2) मुख्य गुणनखंड बनता है। / In \(\sqrt{2}\), \(a^2=2b^2\) makes (2) the key factor.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\) में \(p^2=5q^2\) से (5) मुख्य गुणनखंड बनता है। / In \(\sqrt{5}\), \(p^2=5q^2\) makes (5) the key factor.
Step 3
Exam Tip
मूल के अंदर की संख्या प्रमाण का गुणनखंड तय करती है। / The number inside the root decides the proof factor.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) की सिद्धियों में वर्ग करने की वास्तविक भूमिका बताता है?
Which statement tells the real role of squaring in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#squaring role
#proof structure
#hard
#class 10
A वर्गमूल हटाकर विभाज्यता वाला समीकरण बनाना / To remove the square root and create a divisibility equation
B हर को शून्य बनाना / To make the denominator zero
C संख्या को पूर्ण वर्ग सिद्ध करना / To prove the number is a perfect square
D दशमलव विस्तार निकालना / To find decimal expansion
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Correct Answer
A. वर्गमूल हटाकर विभाज्यता वाला समीकरण बनाना / To remove the square root and create a divisibility equation
Step 1
Concept
\(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) में वर्ग करने से \(\sqrt{n}\) हटता है। / Squaring \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) removes \(\sqrt{n}\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(p^2=nq^2\) जैसा समीकरण बनता है। / This creates an equation like \(p^2=nq^2\).
Step 3
Exam Tip
इसी समीकरण से विभाज्यता और विरोधाभास शुरू होता है। / Divisibility and contradiction start from this equation.
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यदि (r) अभाज्य है और \(r\mid x^2\), तो \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में इसका उपयोग कैसे होता है?
If (r) is prime and \(r\mid x^2\), how is it used in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#prime divisibility
#irrationality proof
#hard
#class 10
A \(r\mid x\) निष्कर्ष निकालने में / To conclude \(r\mid x\)
B \(x\mid r\) निष्कर्ष निकालने में / To conclude \(x\mid r\)
C \(x=r^2\) निष्कर्ष निकालने में / To conclude \(x=r^2\)
D (x=0) निष्कर्ष निकालने में / To conclude (x=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(r\mid x\) निष्कर्ष निकालने में / To conclude \(r\mid x\)
Step 1
Concept
अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करती है। / If a prime divides a square, it also divides the original number.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}\) में यह (3) के लिए और \(\sqrt{5}\) में (5) के लिए उपयोग होता है। / In \(\sqrt{3}\), this is used for (3); in \(\sqrt{5}\), it is used for (5).
Step 3
Exam Tip
इससे अंश और हर दोनों में साझा गुणनखंड मिलता है। / This gives a common factor in numerator and denominator.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) की सिद्धियों में विरोधाभास का मूल कारण क्या है?
What is the root cause of contradiction in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#common contradiction
#irrationality proof
#hard
#class 10
A सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना / Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
B वर्गमूल का धनात्मक होना / The square root being positive
C हर का शून्य न होना / Denominator being non-zero
D अंश और हर का पूर्णांक होना / Numerator and denominator being integers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना / Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
Step 1
Concept
परिमेय मानने पर संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। / After assuming rationality, the number is written in lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में अंश और हर दोनों में समान गुणनखंड मिल जाता है। / The proof finds the same factor in both numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में ऐसा नहीं हो सकता, इसलिए विरोधाभास बनता है। / This cannot happen in lowest form, so contradiction occurs.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों के सही सामान्य ढांचे को सबसे अच्छे रूप में बताता है?
Which option best describes the correct common structure of the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#proof structure
#irrationality
#real numbers
#hard
A परिमेय मानना, सरलतम भिन्न लिखना, वर्ग करना, साझा गुणनखंड से विरोधाभास लेना / Assume rational, write a lowest-form fraction, square, get contradiction from a common factor
B दशमलव निकालना, अनुमान लगाना, उत्तर लिखना / Find decimal, estimate, write the answer
C वर्गमूल को अंदर की संख्या मानना, फिर तुलना करना / Treat the square root as the number inside, then compare
D हर को शून्य मानना, फिर भिन्न हटाना / Assume denominator zero, then remove the fraction
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. परिमेय मानना, सरलतम भिन्न लिखना, वर्ग करना, साझा गुणनखंड से विरोधाभास लेना / Assume rational, write a lowest-form fraction, square, get contradiction from a common factor
Step 1
Concept
सबसे पहले संख्या को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) के सरलतम रूप में लिखते हैं। / First assume the number rational and write it as \(\frac{p}{q}\) in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने से विभाज्यता वाला समीकरण मिलता है। / Squaring gives a divisibility equation.
Step 3
Exam Tip
अंत में अंश और हर में साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास प्राप्त करते हैं। / Finally, a common factor in numerator and denominator gives the contradiction.
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कौन सा विकल्प तीनों सिद्धियों में अंतिम निष्कर्ष लिखने का सबसे सुरक्षित तरीका है?
Which option is the safest way to write the final conclusion in all three proofs?
#final conclusion
#exam writing
#hard
#class 10
A यह हमारी परिमेय मान्यता के विपरीत है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है / This contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational
B इसलिए दी गई संख्या पूर्ण वर्ग है / Therefore the given number is a perfect square
C इसलिए हर शून्य है / Therefore the denominator is zero
D इसलिए वर्गमूल अंदर की संख्या के बराबर है / Therefore the square root equals the number inside
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Correct Answer
A. यह हमारी परिमेय मान्यता के विपरीत है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है / This contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational
Step 1
Concept
तीनों सिद्धियों में परिमेय मान्यता से शुरुआत होती है। / All three proofs begin with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
अंत में सहअभाज्य शर्त के विरुद्ध साझा गुणनखंड मिलता है। / At the end, a common factor contradicts the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
इसलिए अंतिम पंक्ति में विरोधाभास और अपरिमेयता दोनों साफ लिखें। / Therefore the final line should clearly state both contradiction and irrationality.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) की सिद्धियों में वर्ग करने की भूमिका को गहराई से समझाता है?
Which statement deeply explains the role of squaring in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#squaring role
#irrationality proof
#hard
#class 10
A वर्ग करने से वर्गमूल हटता है और अभाज्य गुणनखंडों की विभाज्यता पर तर्क संभव होता है / Squaring removes the radical and makes reasoning about prime factor divisibility possible
B वर्ग करने से हर शून्य हो जाता है / Squaring makes the denominator zero
C वर्ग करने से हर संख्या पूर्ण वर्ग बन जाती है / Squaring makes every number a perfect square
D वर्ग करने से परिमेयता अपने आप सिद्ध हो जाती है / Squaring automatically proves rationality
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वर्ग करने से वर्गमूल हटता है और अभाज्य गुणनखंडों की विभाज्यता पर तर्क संभव होता है / Squaring removes the radical and makes reasoning about prime factor divisibility possible
Step 1
Concept
\(\sqrt{n}\) को वर्ग करने पर (n) मिलता है। / Squaring \(\sqrt{n}\) gives (n).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(p^2=nq^2\) जैसा समीकरण बनता है, जो विभाज्यता का आधार देता है। / This forms an equation like \(p^2=nq^2\), which provides the base for divisibility.
Step 3
Exam Tip
बिना इस चरण के साझा गुणनखंड वाला विरोधाभास बनाना कठिन होता है। / Without this step, it is hard to create the common-factor contradiction.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) की सिद्धियों में समान गहन विचार दिखाता है?
Which option shows the common deeper idea in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#prime factorization
#deep reasoning
#irrationality
#hard
A वर्ग में अभाज्य गुणनखंड का घातांक सम होता है, पर \(p^2=3q^2\) या \(p^2=5q^2\) असंतुलन पैदा करता है / In a square, the exponent of a prime factor is even, but \(p^2=3q^2\) or \(p^2=5q^2\) creates imbalance
B हर को शून्य मानना जरूरी है / Denominator must be assumed zero
C वर्गमूल को अंदर की संख्या मानना जरूरी है / The square root must be treated as the inside number
D दशमलव विस्तार से ही प्रमाण पूरा होता है / Decimal expansion alone completes the proof
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Correct Answer
A. वर्ग में अभाज्य गुणनखंड का घातांक सम होता है, पर \(p^2=3q^2\) या \(p^2=5q^2\) असंतुलन पैदा करता है / In a square, the exponent of a prime factor is even, but \(p^2=3q^2\) or \(p^2=5q^2\) creates imbalance
Step 1
Concept
किसी पूर्ण वर्ग में अभाज्य गुणनखंडों की घातें सम होती हैं। / In a perfect square, exponents of prime factors are even.
Step 2
Why this answer is correct
\(p^2=3q^2\) या \(p^2=5q^2\) बताता है कि वही अभाज्य गुणनखंड (p) और (q) दोनों में आ जाएगा। / \(p^2=3q^2\) or \(p^2=5q^2\) forces the same prime factor into both (p) and (q).
Step 3
Exam Tip
यही साझा गुणनखंड सहअभाज्य शर्त से टकराता है। / This common factor contradicts the coprime condition.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) की सिद्धियों के अंतर को सही बताता है?
Which statement correctly describes the difference between the proofs of \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\)?
#proof comparison
#sqrt2 sqrt3
#hard
#class 10
A \(\sqrt{2}\) में समता का तर्क मुख्य है, जबकि \(\sqrt{3}\) में (3) के अभाज्य गुणनखंड का तर्क मुख्य है / Evenness is central in \(\sqrt{2}\), while prime factor (3) is central in \(\sqrt{3}\)
B दोनों में (5) साझा गुणनखंड मिलता है / Both give common factor (5)
C \(\sqrt{2}\) में (q=0), \(\sqrt{3}\) में (p=q) मिलता है / \(\sqrt{2}\) gives (q=0), and \(\sqrt{3}\) gives (p=q)
D दोनों में वर्ग करने की जरूरत नहीं होती / Neither requires squaring
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) में समता का तर्क मुख्य है, जबकि \(\sqrt{3}\) में (3) के अभाज्य गुणनखंड का तर्क मुख्य है / Evenness is central in \(\sqrt{2}\), while prime factor (3) is central in \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) में \(p^2=2q^2\) से समता का तर्क आता है। / In \(\sqrt{2}\), \(p^2=2q^2\) gives the evenness argument.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}\) में (3) अभाज्य होने से विभाज्यता का तर्क आता है। / In \(\sqrt{3}\), the primality of (3) gives the divisibility argument.
Step 3
Exam Tip
हर प्रमाण में मूल के अंदर की संख्या के अनुसार तर्क चुनें। / Choose the reasoning according to the number under the root.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में सबसे बड़ा सामान्य भ्रम है?
Which option is the biggest common misconception in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#common misconception
#square roots
#hard
#class 10
A वर्गमूल को उसके अंदर की संख्या के बराबर मान लेना / Treating the square root as equal to the number inside it
B परिमेय मानकर शुरुआत करना / Beginning by assuming rationality
C दोनों ओर वर्ग करना / Squaring both sides
D सहअभाज्य शर्त लिखना / Writing the coprime condition
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Correct Answer
A. वर्गमूल को उसके अंदर की संख्या के बराबर मान लेना / Treating the square root as equal to the number inside it
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}=2\), \(\sqrt{3}=3\), या \(\sqrt{5}=5\) लिखना गलत है। / Writing \(\sqrt{2}=2\), \(\sqrt{3}=3\), or \(\sqrt{5}=5\) is wrong.
Step 2
Why this answer is correct
सही प्रमाण में वर्गमूल को भिन्न के रूप में मानकर वर्ग किया जाता है। / In the correct proof, the square root is assumed as a fraction and then squared.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल और अंदर की संख्या को समान न समझें। / Do not confuse the square root with the number inside it.
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यदि (r) अभाज्य है और \(r\mid x^2\), तो \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) की सिद्धियों में इसका सही उपयोग क्या है?
If (r) is prime and \(r\mid x^2\), what is its correct use in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#prime divisibility
#irrationality proof
#hard
#class 10
A \(r\mid x\) निष्कर्ष निकालना / To conclude \(r\mid x\)
B \(x\mid r\) निष्कर्ष निकालना / To conclude \(x\mid r\)
C (x=r) निष्कर्ष निकालना / To conclude (x=r)
D (x=0) निष्कर्ष निकालना / To conclude (x=0)
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Correct Answer
A. \(r\mid x\) निष्कर्ष निकालना / To conclude \(r\mid x\)
Step 1
Concept
अभाज्य संख्या यदि किसी वर्ग को विभाजित करती है, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती है। / If a prime divides a square, it also divides the original number.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}\) में यह नियम (3) के लिए और \(\sqrt{5}\) में (5) के लिए लगता है। / In \(\sqrt{3}\), this rule is used for (3), and in \(\sqrt{5}\), for (5).
Step 3
Exam Tip
इसी से अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलता है। / This helps get a common factor in numerator and denominator.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) की सिद्धियों में किस बात से प्रमाण पूरा होता है?
What completes the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#common proof structure
#irrationality proof
#hard
#class 10
A सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास लिखना / Showing a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction and writing contradiction
B दशमलव मान लिखकर उत्तर देना / Writing the decimal value as the answer
C हर को शून्य मानकर गणना करना / Calculating by assuming denominator zero
D वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर मानना / Treating the square root as equal to the number inside
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास लिखना / Showing a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction and writing contradiction
Step 1
Concept
तीनों प्रमाण परिमेय मान्यता से शुरू होते हैं। / All three proofs start with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
अंत में अंश और हर में वही अभाज्य गुणनखंड साझा मिल जाता है। / At the end, the same prime factor is found common in numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में ऐसा होना असंभव है, इसलिए विरोधाभास से सिद्धि पूरी होती है। / This is impossible in a lowest-form fraction, so the proof is completed by contradiction.
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\(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में कौन सा विचार समान रूप से काम करता है?
Which idea works similarly in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#sqrt3 proof
#sqrt5 proof
#prime factor
#class 10
A अभाज्य गुणनखंड वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है / If a prime factor divides a square, it also divides the original number
B वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर मानना / Treating the square root as equal to the number inside
C हर को शून्य मानना / Assuming the denominator as zero
D अंश और हर को बराबर मानना / Assuming numerator and denominator are equal
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. अभाज्य गुणनखंड वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है / If a prime factor divides a square, it also divides the original number
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) में (3) और \(\sqrt{5}\) में (5) अभाज्य गुणनखंड हैं। / In \(\sqrt{3}\), the prime factor is (3), and in \(\sqrt{5}\), the prime factor is (5).
Step 2
Why this answer is correct
जब \(p^2\) इनसे विभाज्य होता है, तो (p) भी उसी अभाज्य संख्या से विभाज्य होता है। / When \(p^2\) is divisible by that prime, (p) is also divisible by the same prime.
Step 3
Exam Tip
यही विचार आगे (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास बनाता है। / This idea later shows a common factor in (p) and (q), creating contradiction.
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कौन सा विकल्प तीनों प्रमाणों में सही सामान्य ढांचा देता है?
Which option gives the correct common structure of all three proofs?
#common structure
#irrationality proof
#class 10
A परिमेय मानना, सरलतम भिन्न लिखना, वर्ग करना, साझा गुणनखंड से विरोधाभास लेना / Assume rational, write lowest-form fraction, square, take contradiction from common factor
B दशमलव निकालना, अनुमान लगाना, उत्तर लिखना / Find decimal, estimate, write answer
C पूर्ण वर्ग मानना, हर शून्य करना, प्रमाण खत्म करना / Assume perfect square, make denominator zero, finish proof
D वर्गमूल को उसी संख्या के बराबर लिखना / Write the square root equal to the same number
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. परिमेय मानना, सरलतम भिन्न लिखना, वर्ग करना, साझा गुणनखंड से विरोधाभास लेना / Assume rational, write lowest-form fraction, square, take contradiction from common factor
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाण विरोधाभास विधि से होते हैं। / The proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) use contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
पहले परिमेय मानकर सरलतम भिन्न लिखते हैं और वर्ग करते हैं। / First assume rationality, write a lowest-form fraction, and square.
Step 3
Exam Tip
अंत में साझा गुणनखंड से विरोधाभास मिलता है। / Finally, a common factor gives contradiction.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में गलत तरीका है?
Which statement is a wrong method in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#common mistake
#square root
#proof
#class 10
A वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर मानना / Treating the square root as equal to the number inside it
B परिमेय मानकर भिन्न रूप लेना / Assuming rational and taking fraction form
C दोनों ओर वर्ग करना / Squaring both sides
D साझा गुणनखंड से विरोधाभास लेना / Taking contradiction from common factor
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर मानना / Treating the square root as equal to the number inside it
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}=2\), \(\sqrt{3}=3\), या \(\sqrt{5}=5\) लिखना गलत है। / Writing \(\sqrt{2}=2\), \(\sqrt{3}=3\), or \(\sqrt{5}=5\) is wrong.
Step 2
Why this answer is correct
सही विधि में परिमेय मानकर भिन्न लिखते हैं और वर्ग करते हैं। / The correct method assumes rationality, writes a fraction, and squares.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर न मानें। / Do not treat a square root as equal to the number inside.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में समान तर्क दिखाता है?
Which option shows the common logic in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#sqrt3 sqrt5
#prime logic
#class 10
A दोनों में अभाज्य गुणनखंड से वर्ग और मूल संख्या की विभाज्यता जोड़ी जाती है / In both, a prime factor connects divisibility of the square and the original number
B दोनों में केवल सम संख्या का नियम लगता है / Both use only the even-number rule
C दोनों में (q=0) माना जाता है / In both, (q=0) is assumed
D दोनों में वर्गमूल को पूर्णांक मानते हैं / In both, the square root is assumed integer
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. दोनों में अभाज्य गुणनखंड से वर्ग और मूल संख्या की विभाज्यता जोड़ी जाती है / In both, a prime factor connects divisibility of the square and the original number
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) में (3) और \(\sqrt{5}\) में (5) अभाज्य हैं। / In \(\sqrt{3}\), (3) is prime, and in \(\sqrt{5}\), (5) is prime.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों में यदि वर्ग अभाज्य से विभाज्य है, तो मूल संख्या भी विभाज्य होगी। / In both, if the square is divisible by the prime, the original number is also divisible by it.
Step 3
Exam Tip
यही साझा तर्क प्रमाण को आगे बढ़ाता है। / This common logic moves the proof forward.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों का सही अंतर बताता है?
Which option gives the correct difference between the proofs of \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{5}\)?
#proof comparison
#sqrt2 sqrt5
#class 10
A \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलता है, \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है / In \(\sqrt{2}\), common factor (2) is found; in \(\sqrt{5}\), common factor (5) is found
B दोनों में साझा गुणनखंड (3) मिलता है / In both, common factor (3) is found
C \(\sqrt{2}\) में (5), \(\sqrt{5}\) में (2) मिलता है / In \(\sqrt{2}\), (5) is found; in \(\sqrt{5}\), (2) is found
D दोनों में कोई विरोधाभास नहीं मिलता / In both, no contradiction is found
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलता है, \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है / In \(\sqrt{2}\), common factor (2) is found; in \(\sqrt{5}\), common factor (5) is found
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) से गुणनखंड (2) आता है। / In \(\sqrt{2}\)'s proof, factor (2) comes from \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(p^2=5q^2\) से गुणनखंड (5) आता है। / In \(\sqrt{5}\)'s proof, factor (5) comes from \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
मूल के अंदर की संख्या मुख्य गुणनखंड बनती है। / The number under the root becomes the key factor.
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कौन सा विकल्प तीनों प्रमाणों में वर्ग करने का मुख्य उद्देश्य बताता है?
Which option tells the main purpose of squaring in all three proofs?
#squaring purpose
#irrationality proof
#class 10
A वर्गमूल हटाकर \(p^2=nq^2\) जैसा समीकरण पाना / To remove the square root and get an equation like \(p^2=nq^2\)
B हर को शून्य बनाना / To make the denominator zero
C अंश और हर को बराबर करना / To make numerator and denominator equal
D दशमलव विस्तार निकालना / To find decimal expansion
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वर्गमूल हटाकर \(p^2=nq^2\) जैसा समीकरण पाना / To remove the square root and get an equation like \(p^2=nq^2\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) में वर्गमूल हटाने के लिए वर्ग करते हैं। / In \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\), we square to remove the square root.
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(p^2=nq^2\) जैसा समीकरण मिलता है। / This gives an equation like \(p^2=nq^2\).
Step 3
Exam Tip
यही समीकरण आगे विभाज्यता और विरोधाभास देता है। / This equation gives divisibility and contradiction later.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में समान अंतिम विचार है?
Which statement is the common final idea in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#common proof idea
#irrationality proof
#class 10
A सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना / Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
B वर्गमूल का धनात्मक होना / The square root being positive
C हर का शून्य न होना / Denominator being non-zero
D अंश और हर का पूर्णांक होना / Numerator and denominator being integers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना / Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
Step 1
Concept
तीनों में संख्या को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न लिखते हैं। / In all three, the number is assumed rational and written as a lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
अंत में अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलता है। / At the end, a common factor is found in numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
यही सरलतम रूप से विरोधाभास बनाता है। / This contradicts lowest form.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में वर्ग करने का मुख्य उद्देश्य क्या है?
What is the main purpose of squaring in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#squaring purpose
#irrationality proof
#class 10
A वर्गमूल हटाकर विभाज्यता वाला समीकरण पाना / To remove the square root and get a divisibility equation
B हर को शून्य बनाना / To make the denominator zero
C संख्या को ऋणात्मक बनाना / To make the number negative
D अंश और हर को बराबर बनाना / To make numerator and denominator equal
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वर्गमूल हटाकर विभाज्यता वाला समीकरण पाना / To remove the square root and get a divisibility equation
Step 1
Concept
\(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) में वर्गमूल हटाने के लिए वर्ग करते हैं। / We square \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) to remove the square root.
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(p^2=nq^2\) जैसा समीकरण मिलता है। / This gives an equation like \(p^2=nq^2\).
Step 3
Exam Tip
इसी समीकरण से विभाज्यता और विरोधाभास की शुरुआत होती है। / This equation starts the divisibility and contradiction steps.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में प्रयुक्त मुख्य विरोधाभास को सही बताता है?
Which option correctly states the main contradiction used in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#common contradiction
#irrationality proof
#class 10
A सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना / Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
B वर्गमूल का धनात्मक होना / The square root being positive
C हर का शून्य न होना / Denominator not being zero
D अंश और हर का पूर्णांक होना / Numerator and denominator being integers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना / Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
Step 1
Concept
परिमेय मानकर संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। / After assuming rationality, the number is written as a lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में अंश और हर में साझा गुणनखंड मिल जाता है। / The proof finds a common factor in numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में ऐसा होना असंभव है। / This is impossible for a lowest-form fraction.
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कौन सा विकल्प तीनों प्रमाणों में गलत सोच को दिखाता है?
Which option shows a wrong idea in all three proofs?
#common misconception
#square root
#proof
#class 10
A वर्गमूल को उसके अंदर की संख्या के बराबर मान लेना / Treating the square root as equal to the number inside it
B संख्या को परिमेय मानकर शुरू करना / Starting by assuming the number rational
C दोनों ओर वर्ग करना / Squaring both sides
D साझा गुणनखंड से विरोधाभास लेना / Taking contradiction from a common factor
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Correct Answer
A. वर्गमूल को उसके अंदर की संख्या के बराबर मान लेना / Treating the square root as equal to the number inside it
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}=2\), \(\sqrt{3}=3\), या \(\sqrt{5}=5\) लिखना गलत है। / Writing \(\sqrt{2}=2\), \(\sqrt{3}=3\), or \(\sqrt{5}=5\) is wrong.
Step 2
Why this answer is correct
सही विधि में परिमेय मानकर भिन्न रूप लिया जाता है और वर्ग किया जाता है। / The correct method assumes rationality, writes a fraction, and squares.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर न मानें। / Do not treat a square root as equal to the number inside.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) तीनों के प्रमाणों में समान है?
Which option is common in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#common method
#contradiction
#class 10
A तीनों में पहले संख्या को परिमेय मानते हैं / In all three, the number is first assumed rational
B तीनों में (q=0) मानते हैं / In all three, (q=0) is assumed
C तीनों में वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर लिखते हैं / In all three, the square root is written equal to the number inside
D तीनों में दशमलव से प्रमाण पूरा करते हैं / In all three, the proof is completed by decimals
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Correct Answer
A. तीनों में पहले संख्या को परिमेय मानते हैं / In all three, the number is first assumed rational
Step 1
Concept
तीनों प्रमाण विरोधाभास विधि पर आधारित हैं। / All three proofs are based on contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए शुरुआत में संख्या को परिमेय मानते हैं। / So the number is first assumed rational.
Step 3
Exam Tip
फिर इसी मान्यता से असंभव साझा गुणनखंड मिलता है। / Then this assumption leads to an impossible common factor.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में सही अंतर बताता है?
Which option correctly states a difference between the proofs of \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\)?
#proof comparison
#sqrt2 sqrt3
#class 10
A \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलता है, जबकि \(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) मिलता है / In \(\sqrt{2}\), common factor (2) is found, while in \(\sqrt{3}\), common factor (3) is found
B दोनों में साझा गुणनखंड (5) मिलता है / Common factor (5) is found in both
C दोनों में कोई विरोधाभास नहीं आता / No contradiction occurs in either
D \(\sqrt{2}\) में (3), \(\sqrt{3}\) में (2) मिलता है / In \(\sqrt{2}\), (3) is found; in \(\sqrt{3}\), (2) is found
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलता है, जबकि \(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) मिलता है / In \(\sqrt{2}\), common factor (2) is found, while in \(\sqrt{3}\), common factor (3) is found
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) आता है, इसलिए (2) मुख्य है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), \(p^2=2q^2\) appears, so (2) is key.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) आता है, इसलिए (3) मुख्य है। / In the proof of \(\sqrt{3}\), \(p^2=3q^2\) appears, so (3) is key.
Step 3
Exam Tip
मूल के अंदर की संख्या प्रमाण का गुणनखंड बनती है। / The number under the root becomes the proof factor.
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तीनों प्रमाणों में (p) और (q) को सहअभाज्य क्यों लिया जाता है?
Why are (p) and (q) taken as coprime in all three proofs?
#coprime
#lowest form
#irrationality proof
#class 10
A क्योंकि परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है / Because a rational number is written as a fraction in lowest form
B क्योंकि (p) और (q) हमेशा बराबर होते हैं / Because (p) and (q) are always equal
C क्योंकि (q=0) होना चाहिए / Because (q) should be (0)
D क्योंकि (p) और (q) अपरिमेय होते हैं / Because (p) and (q) are irrational
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Correct Answer
A. क्योंकि परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है / Because a rational number is written as a fraction in lowest form
Step 1
Concept
परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जाती है। / A rational number is written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में इसे सरलतम रूप में लेते हैं, इसलिए (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। / In the proof, it is taken in lowest form, so (p) and (q) are coprime.
Step 3
Exam Tip
बाद में साझा गुणनखंड मिलने से यही शर्त टूटती है। / Later, a common factor breaks this condition.
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कौन सा विकल्प तीनों प्रमाणों में गलत तरीका है?
Which option is a wrong method in all three proofs?
#common mistake
#irrationality proof
#class 10
A वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर मान लेना / Taking the square root equal to the number under it
B परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) लिखना / Assuming rational and writing \(\frac{p}{q}\)
C दोनों ओर वर्ग करना / Squaring both sides
D साझा गुणनखंड से विरोधाभास दिखाना / Showing contradiction using common factor
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Correct Answer
A. वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर मान लेना / Taking the square root equal to the number under it
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) को क्रमशः (2), (3), और (5) के बराबर मानना गलत है। / Treating \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) as (2), (3), and (5) is wrong.
Step 2
Why this answer is correct
सही विधि में परिमेय मानकर भिन्न रूप लेते हैं और वर्ग करते हैं। / The correct method assumes rationality, writes a fraction, and squares.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर न लिखें। / Do not write a square root equal to the number under it.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में समानता दिखाता है?
Which option shows a similarity between the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#sqrt3 sqrt5
#similarity
#prime rule
#class 10
A दोनों में अभाज्य गुणनखंड का नियम प्रयोग होता है / Both use the prime factor divisibility rule
B दोनों में केवल सम संख्या का नियम प्रयोग होता है / Both use only the even number rule
C दोनों में हर शून्य माना जाता है / In both, denominator is assumed zero
D दोनों में वर्गमूल को पूर्णांक मानते हैं / In both, the square root is assumed integer
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Correct Answer
A. दोनों में अभाज्य गुणनखंड का नियम प्रयोग होता है / Both use the prime factor divisibility rule
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) में (3) और \(\sqrt{5}\) में (5) अभाज्य हैं। / In \(\sqrt{3}\), (3) is prime; in \(\sqrt{5}\), (5) is prime.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों प्रमाणों में वर्ग से मूल संख्या पर विभाज्यता लाने का नियम उपयोग होता है। / Both proofs use divisibility from square to original number.
Step 3
Exam Tip
यही दोनों का मुख्य समान तर्क है। / This is their main common logic.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में अंतर को सही दिखाता है?
Which option correctly shows a difference between the proofs of \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{5}\)?
#proof comparison
#sqrt2 sqrt5
#class 10
A \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलता है, \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है / In \(\sqrt{2}\), common factor (2) is found; in \(\sqrt{5}\), common factor (5) is found
B दोनों में कोई साझा गुणनखंड नहीं मिलता / No common factor is found in either
C \(\sqrt{2}\) में (5), \(\sqrt{5}\) में (2) मिलता है / In \(\sqrt{2}\), (5) is found; in \(\sqrt{5}\), (2) is found
D दोनों में (q=0) मिलता है / In both, (q=0) is found
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलता है, \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है / In \(\sqrt{2}\), common factor (2) is found; in \(\sqrt{5}\), common factor (5) is found
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में संख्या (2) मुख्य गुणनखंड बनती है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), (2) is the key factor.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में संख्या (5) मुख्य गुणनखंड बनती है। / In the proof of \(\sqrt{5}\), (5) is the key factor.
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग प्रमाणों में मूल के अंदर की संख्या पर ध्यान दें। / Pay attention to the number under the root in each proof.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में सामान्य अंतिम विचार है?
Which option is the common final idea in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#common proof idea
#irrationality
#class 10
A सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना / Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
B वर्गमूल को दशमलव में बदलना / Converting the square root to decimal
C हर को शून्य सिद्ध करना / Proving denominator zero
D संख्या को पूर्ण वर्ग मानना / Assuming the number is a perfect square
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Correct Answer
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना / Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
Step 1
Concept
तीनों में संख्या को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न लिखते हैं। / In all three, the number is assumed rational and written in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
अंत में अंश और हर में (2), (3), या (5) साझा गुणनखंड मिलता है। / At the end, numerator and denominator share (2), (3), or (5).
Step 3
Exam Tip
यही सामान्य विरोधाभास है। / This is the common contradiction.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में सहअभाज्य मानने की भूमिका क्या है?
What is the role of assuming coprime numbers in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#coprime
#contradiction
#irrationality proof
#class 10
A साझा गुणनखंड मिलने पर विरोधाभास दिखाना / To show contradiction when a common factor is found
B वर्गमूल का दशमलव निकालना / To find the decimal of the square root
C हर को शून्य बनाना / To make the denominator zero
D संख्या को पूर्ण वर्ग बनाना / To make the number a perfect square
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Correct Answer
A. साझा गुणनखंड मिलने पर विरोधाभास दिखाना / To show contradiction when a common factor is found
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। / A rational number is written as a fraction in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम भिन्न में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 3
Exam Tip
बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी शर्त से विरोधाभास बनाता है। / Later, a common factor contradicts this condition.
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यदि (r) अभाज्य है और \(r\mid x^2\), तो अपरिमेयता के प्रमाणों में कौन सा नियम प्रयोग किया जाता है?
If (r) is prime and \(r\mid x^2\), which rule is used in irrationality proofs?
#prime divisibility
#proof rule
#class 10
A \(r\mid x\)
B \(x\mid r\)
C \(x=r^2\)
D (r=x+1)
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Correct Answer
A. \(r\mid x\)
Step 1
Concept
अभाज्य गुणनखंड वर्ग में जोड़े के रूप में आते हैं। / Prime factors in a square occur in pairs.
Step 2
Why this answer is correct
यदि अभाज्य (r), \(x^2\) को विभाजित करता है, तो (x) को भी विभाजित करेगा। / If prime (r) divides \(x^2\), then it also divides (x).
Step 3
Exam Tip
यही नियम \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में काम आता है। / This rule is used in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\).
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में समान सोच को सबसे अच्छी तरह बताता है?
Which option best describes the common idea in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#sqrt3 sqrt5
#common idea
#irrationality proof
#class 10
A परिमेय मानकर उसी अभाज्य गुणनखंड को अंश और हर दोनों में दिखाना / Assume rational and show the same prime factor in both numerator and denominator
B दशमलव मान निकालकर उत्तर लिखना / Find the decimal value and write the answer
C वर्गमूल को पूर्णांक मान लेना / Treat the square root as an integer
D अंश और हर को बराबर मान लेना / Assume numerator and denominator are equal
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Correct Answer
A. परिमेय मानकर उसी अभाज्य गुणनखंड को अंश और हर दोनों में दिखाना / Assume rational and show the same prime factor in both numerator and denominator
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) में गुणनखंड (3) और \(\sqrt{5}\) में गुणनखंड (5) काम करता है। / Factor (3) works in \(\sqrt{3}\) and factor (5) works in \(\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
परिमेय मान्यता से वही गुणनखंड अंश और हर दोनों में आ जाता है। / The rational assumption makes that same factor appear in both numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
यही साझा गुणनखंड सरलतम रूप से विरोध करता है। / This common factor contradicts lowest form.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों के लिए सही है?
Which statement is correct for the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#common pattern
#irrationality proof
#class 10
A तीनों में पहले परिमेय मानकर सरलतम भिन्न लिखते हैं / In all three, we first assume rationality and write a lowest-form fraction
B तीनों में पहले संख्या को शून्य मानते हैं / In all three, we first assume the number is zero
C तीनों में केवल दशमलव मान लिखते हैं / In all three, we only write decimal values
D तीनों में वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर मानते हैं / In all three, we take the square root equal to the number under it
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. तीनों में पहले परिमेय मानकर सरलतम भिन्न लिखते हैं / In all three, we first assume rationality and write a lowest-form fraction
Step 1
Concept
तीनों प्रमाण विरोधाभास विधि पर आधारित हैं। / All three proofs are based on contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
शुरुआत में संख्या को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। / At the start, the number is assumed rational and written as a lowest-form fraction.
Step 3
Exam Tip
फिर साझा गुणनखंड से विरोधाभास दिखाया जाता है। / Then a common factor gives a contradiction.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में कौन सी बात अंत में असंभव सिद्ध होती है?
In the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\), what becomes impossible at the end?
#common contradiction
#irrationality proof
#class 10
A सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड होना / The numerator and denominator of a lowest-form fraction having a common factor
B \(\sqrt{2}\) का वर्ग (2) होना / The square of \(\sqrt{2}\) being (2)
C (3) और (5) का अभाज्य होना / (3) and (5) being prime
D भिन्न का हर शून्य न होना / The denominator of a fraction not being zero
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Correct Answer
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड होना / The numerator and denominator of a lowest-form fraction having a common factor
Step 1
Concept
शुरुआत में भिन्न को सरलतम रूप में लेते हैं। / At the beginning, the fraction is taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
अंत में अंश और हर में साझा गुणनखंड मिल जाता है। / At the end, a common factor is found in numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में ऐसा होना असंभव है, इसलिए विरोधाभास बनता है। / This is impossible for a lowest-form fraction, so a contradiction occurs.
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कौन सा नियम \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में समान रूप से उपयोगी है?
Which rule is equally useful in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#prime divisor
#proof rule
#class 10
A यदि अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करती है, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती है / If a prime divides a square, it also divides the original number
B हर वर्गमूल परिमेय होता है / Every square root is rational
C हर भिन्न अपरिमेय होती है / Every fraction is irrational
D यदि संख्या धनात्मक है, तो वह पूर्ण वर्ग है / If a number is positive, it is a perfect square
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यदि अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करती है, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती है / If a prime divides a square, it also divides the original number
Step 1
Concept
(3) और (5) दोनों अभाज्य हैं। / (3) and (5) are both prime.
Step 2
Why this answer is correct
यदि ये \(a^2\) को विभाजित करते हैं, तो (a) को भी विभाजित करेंगे। / If they divide \(a^2\), they also divide (a).
Step 3
Exam Tip
यही नियम साझा गुणनखंड तक ले जाता है। / This rule leads to the common factor.
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\(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (3) और (5) का कौन सा गुण काम आता है?
Which property of (3) and (5) is useful in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#prime numbers
#sqrt3 sqrt5 proof
#class 10
A दोनों अभाज्य संख्याएं हैं / Both are prime numbers
B दोनों पूर्ण वर्ग हैं / Both are perfect squares
C दोनों सम संख्याएं हैं / Both are even numbers
D दोनों शून्य हैं / Both are zero
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Correct Answer
A. दोनों अभाज्य संख्याएं हैं / Both are prime numbers
Step 1
Concept
(3) और (5) अभाज्य संख्याएं हैं। / (3) and (5) are prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
अभाज्य गुणनखंड अगर किसी वर्ग को विभाजित करे, तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है। / If a prime factor divides a square, it also divides the original number.
Step 3
Exam Tip
इसी गुण से साझा गुणनखंड वाला विरोधाभास बनता है। / This property creates the common-factor contradiction.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (p) और (q) किस प्रकार की संख्याएं मानी जाती हैं?
In the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\), what type of numbers are (p) and (q) taken to be?
#coprime integers
#rational form
#class 10
A पूर्णांक और सहअभाज्य / Integers and coprime
B अपरिमेय और बराबर / Irrational and equal
C दशमलव और ऋणात्मक / Decimals and negative
D केवल प्राकृतिक और बराबर / Only natural and equal
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Correct Answer
A. पूर्णांक और सहअभाज्य / Integers and coprime
Step 1
Concept
परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखी जाती है। / A rational number is written as the ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम रूप में वे सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, those integers are coprime.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (p) और (q) पूर्णांक और सहअभाज्य लिखे जाते हैं। / Therefore (p) and (q) are taken as integers and coprime.
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कौन सा कथन \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में उपयोगी है?
Which statement is useful in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#prime factor
#irrationality proof
#class 10
A यदि \(a^2\) किसी अभाज्य संख्या (r) से विभाज्य है, तो (a) भी (r) से विभाज्य है / If \(a^2\) is divisible by a prime (r), then (a) is also divisible by (r)
B यदि \(a^2\) (r) से विभाज्य है, तो (a=0) / If \(a^2\) is divisible by (r), then (a=0)
C हर वर्ग अपरिमेय होता है / Every square is irrational
D हर अभाज्य संख्या पूर्ण वर्ग होती है / Every prime number is a perfect square
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यदि \(a^2\) किसी अभाज्य संख्या (r) से विभाज्य है, तो (a) भी (r) से विभाज्य है / If \(a^2\) is divisible by a prime (r), then (a) is also divisible by (r)
Step 1
Concept
(3) और (5) अभाज्य संख्याएं हैं। / (3) and (5) are prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
किसी वर्ग में अभाज्य गुणनखंड हो तो मूल संख्या में भी वह गुणनखंड होता है। / If a prime factor divides a square, it also divides the original number.
Step 3
Exam Tip
इसी से (p) और (q) में साझा गुणनखंड सिद्ध होता है। / This helps prove a common factor in (p) and (q).
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में कौन सी विधि सामान्य है?
Which method is common in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#method of contradiction
#irrationality
#class 10
A विरोधाभास विधि / Method of contradiction
B प्रत्यक्ष गणना विधि / Direct calculation method
C मापन विधि / Measurement method
D आकृति बनाने की विधि / Drawing method
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. विरोधाभास विधि / Method of contradiction
Step 1
Concept
तीनों प्रमाणों में पहले संख्या को परिमेय मानते हैं। / In all three proofs, the number is first assumed rational.
Step 2
Why this answer is correct
फिर साझा गुणनखंड मिलने से विरोधाभास आता है। / Then a contradiction appears through a common factor.
Step 3
Exam Tip
इस प्रकार की सिद्धि को विरोधाभास विधि कहते हैं। / This type of proof is called the method of contradiction.
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