A. अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में/As a product of prime numbers
Step 1
Concept
This theorem is connected with prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
Every positive integer greater than 1 can be written as a product of prime numbers.
Step 3
Exam Tip
In exams, remember it through prime factorisation. चरण 1: यह प्रमेय अभाज्य गुणनखंडन से जुड़ा है। चरण 2: 1 से बड़ी हर धनात्मक पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखी जा सकती है। चरण 3: परीक्षा में इस विचार को अभाज्य गुणनखंडन से जोड़कर याद रखें।
On division by 17, remainders can be from 0 to 16.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, all forms are from (17q) to (17q+16).
Step 3
Exam Tip
Include zero remainder, but do not include 17. चरण 1: 17 से भाग देने पर शेषफल 0 से 16 तक हो सकता है। चरण 2: इसलिए सभी रूप (17q) से (17q+16) तक होंगे। चरण 3: पूरी सूची में शून्य शेषफल शामिल करें, लेकिन 17 शामिल न करें।
On division by 13, remainders can be from 0 to 12.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, all forms are from (13q) to (13q+12).
Step 3
Exam Tip
Include zero remainder, but do not include 13. चरण 1: 13 से भाग देने पर शेषफल 0 से 12 तक हो सकता है। चरण 2: इसलिए सभी रूप (13q) से (13q+12) तक होंगे। चरण 3: पूरी सूची में शून्य शेषफल शामिल करें, लेकिन 13 शामिल न करें।
On division by 11, remainders can be from 0 to 10.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, all forms are from (11q) to (11q+10).
Step 3
Exam Tip
Include remainder 0, but do not include 11. चरण 1: 11 से भाग देने पर शेषफल 0 से 10 तक हो सकता है। चरण 2: इसलिए सभी रूप (11q) से (11q+10) तक होंगे। चरण 3: पूरी सूची में शेषफल 0 शामिल करें, लेकिन 11 शामिल न करें।
On division by 9, possible remainders are from 0 to 8.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, all forms are from (9q) to (9q+8).
Step 3
Exam Tip
Include remainder 0 and do not include remainder 9. चरण 1: 9 से भाग देने पर शेषफल 0 से 8 तक हो सकता है। चरण 2: इसलिए सभी रूप (9q) से (9q+8) तक होंगे। चरण 3: पूरी सूची में 0 शेषफल रखें और 9 शेषफल न रखें।
On division by 6, possible remainders are 0, 1, 2, 3, 4, and 5.
Step 2
Why this answer is correct
So the forms are from (6q) to (6q+5).
Step 3
Exam Tip
Include remainder 0 and do not include 6 in the complete list. चरण 1: 6 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3, 4, 5 हो सकते हैं। चरण 2: इसलिए रूप (6q) से (6q+5) तक होंगे। चरण 3: पूरी सूची में शेषफल 0 शामिल करें और 6 शामिल न करें।
The square remainders are 0, 1, and the remainder of \(2^2=4\), which is 1.
Step 3
Exam Tip
For squares modulo 3, remainder 2 never appears. चरण 1: संख्या को (3q), (3q+1), (3q+2) माना जा सकता है। चरण 2: इनके वर्गों के शेषफल क्रमशः 0, 1 और \(2^2=4\) से 1 होंगे। चरण 3: वर्गों में शेषफल 2 नहीं आता, यह महत्वपूर्ण परीक्षा बिंदु है।
B. (q) पूर्णांक और \(0\le r<b\)/(q) integer and \(0\le r<b\)
Step 1
Concept
In the lemma, (q) is an integer and (r) is the remainder.
Step 2
Why this answer is correct
The key condition is \(0\le r<b\).
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, the remainder condition is the most important clue. चरण 1: प्रमेय में (q) पूर्णांक हो सकता है और (r) शेषफल होता है। चरण 2: शेषफल की मुख्य शर्त \(0\le r<b\) है। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्नों में शेषफल की सीमा सबसे महत्वपूर्ण संकेत है।
When divided by 4, the remainder can be 0, 1, 2, or 3.
Step 2
Why this answer is correct
In (4q+4), the remainder is 4, equal to the divisor, so it is not a standard form.
Step 3
Exam Tip
A remainder is never equal to the divisor. चरण 1: 4 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3 में से होगा। चरण 2: (4q+4) में शेषफल 4 है, जो भाजक के बराबर है, इसलिए यह मानक रूप नहीं है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
The correct condition is \(0\le r<b\), because the remainder can also be zero.
Step 3
Exam Tip
Be careful with (0<r), because it excludes exact division. चरण 1: प्रमेय का मुख्य नियम है (a=bq+r)। चरण 2: शेषफल के लिए सही सीमा \(0\le r<b\) होती है, क्योंकि शेषफल शून्य भी हो सकता है। चरण 3: परीक्षा में (0<r) देखकर सावधान रहें, क्योंकि वह शून्य शेषफल को छोड़ देता है।
When divided by 2, the remainder can only be 0 or 1.
Step 2
Why this answer is correct
An odd number is not exactly divisible by 2, so the remainder is 1 and the form is (a=2q+1).
Step 3
Exam Tip
For even-odd questions, take 2 as the divisor. चरण 1: 2 से भाग देने पर शेषफल 0 या 1 ही हो सकता है। चरण 2: विषम संख्या 2 से पूरी तरह विभाजित नहीं होती, इसलिए शेषफल 1 होगा और रूप (a=2q+1) बनेगा। चरण 3: सम और विषम के सवालों में 2 को भाजक मानना उपयोगी रहता है।
\(867=255\times3+102\), and (102<255), so the quotient is 3 and the remainder is 102.
Step 3
Exam Tip
In exams, always check that the remainder is smaller than the divisor. चरण 1: बड़े अंक को छोटे अंक से विभाजित करें। चरण 2: \(867=255\times3+102\) और (102<255), इसलिए भागफल 3 और शेषफल 102 है। चरण 3: परीक्षा में हमेशा जांचें कि शेषफल भाजक से छोटा हो।
On division by (9), remainders can be from (0) to (8).
Step 2
Why this answer is correct
In (9q+9), the remainder is (9), which equals the divisor.
Step 3
Exam Tip
It should be written correctly as (9(q+1)). चरण 1: (9) से भाग देने पर शेषफल (0) से (8) तक हो सकते हैं। चरण 2: (9q+9) में शेषफल (9) है, जो भाजक के बराबर है। चरण 3: इसे सही रूप में (9(q+1)) लिखा जाना चाहिए।
On division by (8), remainders can be from (0) to (7).
Step 2
Why this answer is correct
So in (8q+r), (r=0,1,2,3,4,5,6,7).
Step 3
Exam Tip
Do not include (8q+8) while writing standard forms. चरण 1: (8) से भाग देने पर शेषफल (0) से (7) तक हो सकते हैं। चरण 2: इसलिए रूप (8q+r) में (r=0,1,2,3,4,5,6,7) होगा। चरण 3: सामान्य रूप लिखते समय (8q+8) शामिल न करें।
On division by (13), remainders can be from (0) to (12).
Step 2
Why this answer is correct
The total number of these values is (13).
Step 3
Exam Tip
For a divisor (b), the number of possible remainders is (b). चरण 1: (13) से भाग देने पर शेषफल (0) से (12) तक हो सकते हैं। चरण 2: इन मानों की कुल संख्या (13) है। चरण 3: किसी भाजक (b) के लिए संभावित शेषफलों की संख्या (b) होती है।
The next number is (5q+1), so the remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
In consecutive numbers, remainders increase in order and then return to (0). चरण 1: संख्या (5q) के रूप में है। चरण 2: अगली संख्या (5q+1) होगी, इसलिए शेषफल (1) है। चरण 3: लगातार संख्याओं में शेषफल क्रम से बढ़ते हैं और फिर (0) पर लौटते हैं।
After the greatest remainder, the next number has remainder (0) again. चरण 1: संख्या को (4q+3) लिखें। चरण 2: अगली संख्या (4q+4=4(q+1)+0) होगी। चरण 3: सबसे बड़े शेषफल के बाद अगली संख्या पर शेषफल फिर (0) हो जाता है।
On division by (3), possible remainders are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
In (3q+3), the remainder is (3), which equals the divisor.
Step 3
Exam Tip
It should be written correctly as (3(q+1)). चरण 1: (3) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2) हो सकते हैं। चरण 2: (3q+3) में शेषफल (3) है, जो भाजक के बराबर है। चरण 3: इसे सही रूप में (3(q+1)) लिखना चाहिए।
Remainder (0) means the number is exactly divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
A number exactly divisible by (2) is even.
Step 3
Exam Tip
The general form of an even number is (2q). चरण 1: शेषफल (0) होने का अर्थ है संख्या (2) से पूरी तरह विभाजित है। चरण 2: (2) से पूरी तरह विभाजित संख्या सम होती है। चरण 3: सम संख्या का सामान्य रूप (2q) होता है।
Remainder (1) on division by (2) means the number has the form (2q+1).
Step 2
Why this answer is correct
A number of the form (2q+1) is odd.
Step 3
Exam Tip
To identify an odd number, focus on remainder (1). चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल (1) का अर्थ है संख्या (2q+1) के रूप में है। चरण 2: (2q+1) रूप वाली संख्या विषम होती है। चरण 3: विषम संख्या पहचानने के लिए शेषफल (1) पर ध्यान दें।
On division by (12), remainders can be from (0) to (11).
Step 2
Why this answer is correct
Their total number is (12).
Step 3
Exam Tip
For a divisor (b), the number of possible remainders is (b). चरण 1: (12) से भाग देने पर शेषफल (0) से (11) तक हो सकते हैं। चरण 2: इनकी कुल संख्या (12) है। चरण 3: किसी भाजक (b) के लिए संभावित शेषफलों की संख्या (b) होती है।
On division by (6), the possible remainders are (0,1,2,3,4,5).
Step 2
Why this answer is correct
So the number is written as (6q+r) using these remainders.
Step 3
Exam Tip
While forming general forms, list all possible remainders in order. चरण 1: (6) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2,3,4,5) हो सकते हैं। चरण 2: इसलिए संख्या (6q+r) में इन शेषफलों को रखकर लिखी जाएगी। चरण 3: सामान्य रूप बनाते समय सभी संभावित शेषफल क्रम से लिखें।
When dividing by (10), the remainder must be less than (10), so values from (0) to (9) are possible.
Step 3
Exam Tip
Do not include the divisor among possible remainders. चरण 1: शेषफल (0) से शुरू हो सकता है। चरण 2: (10) से भाग देने पर शेषफल (10) से छोटा होना चाहिए, इसलिए (0) से (9) तक मान संभव हैं। चरण 3: संभावित शेषफलों में भाजक को शामिल न करें।
The greatest remainder is (b-1). चरण 1: शेषफल हमेशा (9) से छोटा होना चाहिए। चरण 2: (9) से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक (8) है। चरण 3: सबसे बड़ा शेषफल (b-1) होता है।
On division by (7), remainders can be from (0) to (6).
Step 2
Why this answer is correct
There are (7) possible remainders in total.
Step 3
Exam Tip
For a divisor (b), the number of possible remainders is (b). चरण 1: (7) से भाग देने पर शेषफल (0) से (6) तक हो सकते हैं। चरण 2: कुल (7) शेषफल मिलते हैं। चरण 3: किसी भाजक (b) के लिए संभावित शेषफलों की संख्या (b) होती है।
On division by (3), possible remainders are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
In (3q+3), the remainder is (3), which equals the divisor.
Step 3
Exam Tip
It should be written as (3(q+1)). चरण 1: (3) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2) हो सकते हैं। चरण 2: (3q+3) में शेषफल (3) है, जो भाजक के बराबर है। चरण 3: इसे (3(q+1)) के रूप में लिखना चाहिए।
On division by (4), possible remainders are (0,1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
In (4q+4), the remainder is (4), which equals the divisor.
Step 3
Exam Tip
Such a form should be written as (4(q+1)). चरण 1: (4) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2,3) हो सकते हैं। चरण 2: (4q+4) में शेषफल (4) है, जो भाजक के बराबर है। चरण 3: ऐसे रूप को (4(q+1)) लिखना चाहिए।
The remainder is always less than the divisor, so division by (6) gives remainders from (0) to (5).
Step 3
Exam Tip
Do not include the divisor itself while listing possible remainders. चरण 1: शेषफल (0) से शुरू हो सकता है। चरण 2: शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है, इसलिए (6) से भाग में (0) से (5) तक शेषफल मिलते हैं। चरण 3: संभावित शेषफल लिखते समय भाजक को शामिल न करें।
On division by (7), the possible remainders are (0,1,2,3,4,5,6).
Step 2
Why this answer is correct
There are (7) possible remainders in total.
Step 3
Exam Tip
For a divisor (b), the number of possible remainders is (b). चरण 1: (7) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2,3,4,5,6) हो सकते हैं। चरण 2: कुल (7) संभावित शेषफल हैं। चरण 3: किसी भाजक (b) के लिए संभावित शेषफलों की संख्या (b) होती है।
If the number is exactly divisible by (12), the remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
The smallest possible remainder is always (0). चरण 1: शेषफल (0) से शुरू हो सकता है। चरण 2: यदि संख्या (12) से पूरी तरह विभाजित हो, तो शेषफल (0) होगा। चरण 3: सबसे छोटा संभव शेषफल हमेशा (0) होता है।
On division by (12), the greatest possible remainder is (12-1=11).
Step 3
Exam Tip
When asked for the greatest remainder, think of (b-1). चरण 1: शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है। चरण 2: (12) से भाग देने पर सबसे बड़ा शेषफल (12-1=11) होगा। चरण 3: सबसे बड़ा शेषफल पूछे तो तुरंत (b-1) सोचें।
On division by (2), the remainder can only be (0) or (1).
Step 2
Why this answer is correct
So the forms are (2q) or (2q+1).
Step 3
Exam Tip
This is the basis for identifying even and odd numbers. चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल केवल (0) या (1) हो सकता है। चरण 2: इसलिए संख्याएँ (2q) या (2q+1) के रूप में होंगी। चरण 3: यही आधार सम और विषम संख्या पहचानने में काम आता है।
On division by (4), the possible remainders are (0,1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
Hence the forms are (4q,4q+1,4q+2,4q+3).
Step 3
Exam Tip
These forms are very useful in questions related to even and odd numbers. चरण 1: (4) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2,3) हो सकते हैं। चरण 2: इसलिए संख्या के रूप (4q,4q+1,4q+2,4q+3) होंगे। चरण 3: ऐसे रूप सम और विषम संख्याओं से जुड़े सवालों में बहुत काम आते हैं।
On division by (3), the possible remainders are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, the number can be written as (3q+0, 3q+1, 3q+2).
Step 3
Exam Tip
Build general forms using possible remainders. चरण 1: (3) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2) हो सकते हैं। चरण 2: इसलिए संख्या (3q+0, 3q+1, 3q+2) के रूप में लिखी जा सकती है। चरण 3: सामान्य रूप बनाते समय संभावित शेषफलों को आधार बनाएं।
When a number is divided by (5), the remainder must be smaller than (5).
Step 2
Why this answer is correct
The remainder may also be (0), so the possible remainders are (0,1,2,3,4).
Step 3
Exam Tip
Remember that a remainder is never equal to the divisor. चरण 1: किसी संख्या को (5) से भाग देने पर शेषफल (5) से छोटा होना चाहिए। चरण 2: शेषफल (0) भी हो सकता है, इसलिए संभावित शेषफल (0,1,2,3,4) हैं। चरण 3: याद रखें, शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
On division by (2), the remainder can be (0) or (1).
Step 2
Why this answer is correct
So the number becomes (2q+0) or (2q+1).
Step 3
Exam Tip
These forms identify even and odd numbers. चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल (0) या (1) हो सकता है। चरण 2: इसलिए संख्या (2q+0) या (2q+1) बनती है। चरण 3: इन्हीं रूपों से सम और विषम संख्या पहचानी जाती है।
Only (0) satisfies this range, so the remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
Use the inequality range to solve such questions. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<1\) होगी। चरण 2: इस सीमा में केवल (0) आता है, इसलिए शेषफल (0) होगा। चरण 3: सीमा वाली असमानता लगाकर ऐसे प्रश्न हल करें।
The lemma connects dividend, divisor, quotient, and remainder.
Step 2
Why this answer is correct
The correct form is (a=bq+r), where the remainder is at least (0) and less than the divisor.
Step 3
Exam Tip
Always check the range of the remainder in exams. चरण 1: प्रमेय में भाज्य को भाजक, भागफल और शेषफल से जोड़ा जाता है। चरण 2: सही रूप (a=bq+r) है और शेषफल हमेशा (0) से बड़ा या बराबर तथा भाजक से छोटा होता है। चरण 3: परीक्षा में शेषफल की सीमा जरूर जांचें।
The remainder is always at least zero and less than the divisor.
Step 3
Exam Tip
In exams, always check the range of the remainder. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका में (a=bq+r) लिखा जाता है। चरण 2: यहां शेषफल हमेशा शून्य से बड़ा या बराबर और भाजक से छोटा होता है। चरण 3: परीक्षा में शेषफल की सीमा जरूर जांचें।
A. 1 से बड़ी धनात्मक पूर्ण संख्याएं/Positive integers greater than 1
Step 1
Concept
This theorem is stated for positive integers greater than 1.
Step 2
Why this answer is correct
Every such number can be prime factorised.
Step 3
Exam Tip
1 is not included in the usual prime factorisation statement. चरण 1: यह प्रमेय 1 से बड़ी धनात्मक पूर्ण संख्याओं के लिए कहा जाता है। चरण 2: ऐसी हर संख्या का अभाज्य गुणनखंडन किया जा सकता है। चरण 3: 1 को सामान्य अभाज्य गुणनखंडन में शामिल नहीं किया जाता।
This theorem is related to writing numbers as products of prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
Every positive integer greater than 1 can be written as a product of primes.
Step 3
Exam Tip
In this chapter, connect it with factorisation and HCF. चरण 1: यह प्रमेय संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में लिखने से जुड़ा है। चरण 2: हर 1 से बड़ी धनात्मक पूर्ण संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 3: इस अध्याय में इसे गुणनखंडन और महत्तम समापवर्तक से जोड़कर पढ़ें।
A. धनात्मक पूर्णांक जो 1 से बड़े हों/Positive integers greater than 1
Step 1
Concept
This theorem is about writing positive integers greater than 1 as products of primes.
Step 2
Why this answer is correct
So it discusses numbers greater than 1.
Step 3
Exam Tip
Do not include 1 in the usual prime factorisation statement. चरण 1: यह प्रमेय 1 से बड़ी धनात्मक पूर्ण संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में लिखने से जुड़ा है। चरण 2: इसलिए सही चर्चा ऐसी संख्याओं की है जो 1 से बड़ी हों। चरण 3: 1 को इस प्रमेय के सामान्य अभाज्य गुणनखंडन में शामिल न करें।
A. हर धनात्मक पूर्णांक (a) को (bq+r) के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ \(0 \le r < b\)/Every positive integer (a) can be written as (bq+r) where \(0 \le r < b\)
Step 1
Concept
The main form of Euclid’s division lemma is (a=bq+r).
Step 2
Why this answer is correct
The remainder is greater than or equal to (0) and less than the divisor.
Step 3
Exam Tip
In theory questions, remembering the range of the remainder is important. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय का मुख्य रूप (a=bq+r) है। चरण 2: इसमें शेषफल (0) से बड़ा या बराबर और भाजक से छोटा होता है। चरण 3: सैद्धांतिक प्रश्नों में शेषफल की सीमा याद रखना जरूरी है।
Euclid’s division lemma is applied to two positive integers.
Step 2
Why this answer is correct
(b) is the divisor and it cannot be zero.
Step 3
Exam Tip
For the dividing number, positivity and non-zero value are necessary. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय दो धनात्मक पूर्णांकों के लिए लगाई जाती है। चरण 2: (b) भाजक है और वह शून्य नहीं हो सकता। चरण 3: भाग देने वाली संख्या के लिए धनात्मकता और अशून्यता जरूरी है।
In it, (a) and (b) are positive integers and \(b \ne 0\).
Step 3
Exam Tip
While reading the question, pay attention to the type of numbers involved. चरण 1: यह प्रमेय दो धनात्मक पूर्णांकों के लिए प्रयोग की जाती है। चरण 2: इसमें (a) और (b) धनात्मक पूर्णांक होते हैं और \(b \ne 0\) होता है। चरण 3: प्रश्न पढ़ते समय संख्या के प्रकार पर ध्यान दें।
A. दो धनात्मक पूर्णांकों के विभाजन को सही रूप में लिखने में/Writing the division of two positive integers in correct form
Step 1
Concept
This lemma explains the basic structure of division.
Step 2
Why this answer is correct
It helps write the dividend, divisor, quotient, and remainder in the form (a=bq+r).
Step 3
Exam Tip
In the chapter on real numbers, it becomes a base for later methods. चरण 1: यह प्रमेय विभाजन की मूल रचना समझाता है। चरण 2: इसकी मदद से (a=bq+r) रूप में भाज्य, भाजक, भागफल और शेषफल को लिखा जाता है। चरण 3: वास्तविक संख्याओं के अध्याय में यह आगे की विधियों का आधार है।
A. (b) धनात्मक पूर्णांक और शून्य से अलग होना चाहिए/(b) must be a positive integer and non-zero
Step 1
Concept
The divisor cannot be zero in division.
Step 2
Why this answer is correct
In the lemma, (b) is taken as a positive integer.
Step 3
Exam Tip
Division by zero is not valid, so avoid such options. चरण 1: विभाजन में भाजक शून्य नहीं हो सकता। चरण 2: प्रमेय में (b) धनात्मक पूर्णांक माना जाता है। चरण 3: शून्य से भाग देना मान्य नहीं होता, इसलिए ऐसे विकल्प से बचें।
A. हर धनात्मक पूर्णांक को भाजक के गुणज और शेषफल के योग के रूप में लिखा जा सकता है/Every positive integer can be written as a multiple of the divisor plus a remainder
Step 1
Concept
The lemma gives a systematic way to express division.
Step 2
Why this answer is correct
In (a=bq+r), (bq) is a multiple of the divisor and (r) is the remainder.
Step 3
Exam Tip
In meaning-based questions, understand both the formula and the words. चरण 1: प्रमेय विभाजन को व्यवस्थित रूप में लिखने का तरीका देता है। चरण 2: (a=bq+r) में (bq), भाजक का गुणज है और (r) शेषफल है। चरण 3: अर्थ आधारित प्रश्नों में सूत्र के साथ शब्दों को भी समझें।
A. प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक (a) और (b) के लिए (a=bq+r) लिखा जा सकता है/For every positive integer (a) and (b), (a=bq+r) can be written
Step 1
Concept
The lemma says that for positive integers, (a=bq+r) can be written.
Step 2
Why this answer is correct
The condition \(0 \le r < b\) is necessary.
Step 3
Exam Tip
While reading statements, eliminate wrong options using the remainder condition. चरण 1: प्रमेयिका कहती है कि धनात्मक पूर्णांकों के लिए (a=bq+r) लिखा जा सकता है। चरण 2: इसमें \(0 \le r < b\) जरूरी शर्त है। चरण 3: कथन पढ़ते समय शेषफल वाली शर्त से गलत विकल्प हटाएं।
In Euclid’s Division Lemma, (a) and (b) are positive integers.
Step 2
Why this answer is correct
The divisor (b) cannot be zero, so (b>0).
Step 3
Exam Tip
In division questions, first check the divisor condition. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका में (a) और (b) धनात्मक पूर्णांक माने जाते हैं। चरण 2: भाजक (b) शून्य नहीं हो सकता, इसलिए (b>0) होना चाहिए। चरण 3: भाग से जुड़े प्रश्नों में भाजक की शर्त पहले देखें।
