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A. \(h=\frac{7}{4}\) या \(h=-\frac{7}{4}\)/\(h=\frac{7}{4}\) or \(h=-\frac{7}{4}\)
Explanation
Simple Explanation
समान मूलों के लिए \(49-16h^2=0\) चाहिए। इससे \(h^2=\frac{49}{16}\), अतः \(h=\pm\frac{7}{4}\)। / For equal roots \(49-16h^2=0\) is needed. This gives \(h^2=\frac{49}{16}\), hence \(h=\pm\frac{7}{4}\).
क्योंकि \(p\neq1\), इसलिए ((p-1)2>0) और (D<0) है। ऋणात्मक विविक्तकर वास्तविक मूल नहीं देता। / Since \(p\neq1\), ((p-1)2>0) and (D<0). A negative discriminant gives no real roots.
समान मूलों के लिए \(36-9h^2=0\) चाहिए। इससे \(h^2=4\), अतः \(h=\pm2\)। / For equal roots \(36-9h^2=0\) is needed. This gives \(h^2=4\), hence \(h=\pm2\).
A. \(q=\frac{5}{2}\) या \(q=-\frac{5}{2}\)/\(q=\frac{5}{2}\) or \(q=-\frac{5}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
समान मूलों के लिए \(25-4q^2=0\) होना चाहिए। इससे \(q^2=\frac{25}{4}\), अतः \(q=\pm\frac{5}{2}\)। / For equal roots \(25-4q^2=0\) is needed. This gives \(q^2=\frac{25}{4}\), hence \(q=\pm\frac{5}{2}\).
A. (D=9), दो वास्तविक परिमेय असमान/(D=9), two real rational distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=152-4(1)(54)=9) है। (9) पूर्ण वर्ग है, इसलिए मूल परिमेय और असमान हैं। / Here (D=152-4(1)(54)=9). Since (9) is a perfect square, the roots are rational and distinct.
A. (D=25), दो वास्तविक परिमेय असमान/(D=25), two real rational distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=92-4(1)(14)=25) है। (25) पूर्ण वर्ग है, इसलिए मूल परिमेय और असमान हैं। / Here (D=92-4(1)(14)=25). Since (25) is a perfect square, the roots are rational and distinct.
किसी भी वास्तविक (t) के लिए \(t^2+4>0\), इसलिए (D<0) है। अतः वास्तविक मूल (0) होंगे। / For any real (t), \(t^2+4>0\), so (D<0). Hence the number of real roots is (0).
A. मूल हमेशा वास्तविक और भिन्न होंगे/Roots will always be real and distinct
Explanation
Simple Explanation
किसी भी वास्तविक (r) के लिए \(2r^2+3>0\) है। इसलिए मूल हमेशा वास्तविक और भिन्न होंगे। / For every real (r), \(2r^2+3>0\). Therefore the roots will always be real and distinct.
A. (D=9), दो वास्तविक परिमेय असमान/(D=9), two real rational distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=72-4(1)(10)=9) है। धनात्मक पूर्ण वर्ग से परिमेय असमान मूल मिलते हैं। / Here (D=72-4(1)(10)=9). A positive perfect square gives rational distinct roots.
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान/Two real rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
(D=49) धनात्मक पूर्ण वर्ग है। इसलिए मूल वास्तविक, परिमेय और असमान होंगे। / (D=49) is a positive perfect square. So the roots are real, rational, and distinct.
विविक्तकर हमेशा \(D=b^2-4ac\) होता है। परीक्षा में सूत्र लिखने से पहले (a), (b), (c) पहचानें। / The discriminant is always \(D=b^2-4ac\). In exams identify (a), (b), and (c) before using the formula.
(D=(-3)2-4(2)(1)=1) है। धनात्मक विविक्तकर असमान वास्तविक मूल देता है। / The value is (D=(-3)2-4(2)(1)=1). A positive discriminant gives distinct real roots.
यहां (D=(-11)2-4(3)(2)=97) है। परीक्षा में (a,b,c) सही पहचानकर (D) निकालें। / Here (D=(-11)2-4(3)(2)=97). In exams, identify (a,b,c) correctly while finding (D).
यहां (D=(-7)2-4(2)(1)=41) है। परीक्षा में (D) निकालते समय (a,b,c) सही पहचानें। / Here (D=(-7)2-4(2)(1)=41). In exams, identify (a,b,c) correctly while finding (D).
यहां (a=1), (b=-4), (c=4), इसलिए (D=(-4)2-4(1)(4)=0)। परीक्षा में संकेत सहित (b) रखें। / Here (a=1), (b=-4), (c=4), so (D=(-4)2-4(1)(4)=0). In exams, use (b) with its sign.
यहां \(D=b^2-4ac=400-400=0\) है। इसलिए इसके दोनों वास्तविक मूल बराबर होंगे। / Here \(D=b^2-4ac=400-400=0\). Therefore its two real roots will be equal.
बराबर वास्तविक मूलों के लिए (D=0) होता है। डिस्क्रिमिनेंट से मूलों की प्रकृति जल्दी पता चलती है। / For equal real roots (D=0). The discriminant quickly tells the nature of roots.
\(x^2+x+12=0\) के लिए \(D=1^2-4\cdot1\cdot12=-47\) है। विवेचक में (4ac) पूरा घटाएं। / For \(x^2+x+12=0\), \(D=1^2-4\cdot1\cdot12=-47\). Subtract the full (4ac) in the discriminant.
\(x^2+x+9=0\) के लिए \(D=1^2-4\cdot1\cdot9=-35\) है। विवेचक में (4ac) पूरा घटाएं। / For \(x^2+x+9=0\), \(D=1^2-4\cdot1\cdot9=-35\). Subtract the full (4ac) in the discriminant.
\(x^2+x+6=0\) के लिए \(D=1^2-4\cdot1\cdot6=-23\) है। विवेचक में (4ac) पूरा घटाएं। / For \(x^2+x+6=0\), \(D=1^2-4\cdot1\cdot6=-23\). Subtract the full (4ac) in the discriminant.
\(x^2+x+3=0\) के लिए \(D=1^2-4\cdot1\cdot3=-11\) है। विवेचक निकालते समय (4ac) पूरा घटाएं। / For \(x^2+x+3=0\), \(D=1^2-4\cdot1\cdot3=-11\). Subtract the full (4ac) while finding the discriminant.
\(x^2+x+4=0\) के लिए \(D=1^2-4\cdot1\cdot4=-15\) है। विवेचक निकालते समय (4ac) पूरा घटाएं। / For \(x^2+x+4=0\), \(D=1^2-4\cdot1\cdot4=-15\). Subtract the full (4ac) while finding the discriminant.
\(D=1^2-4\cdot4\cdot6=1-96=-95\), इसलिए विवेचक ऋणात्मक है। (4ac) की गणना सावधानी से करें। / \(D=1^2-4\cdot4\cdot6=1-96=-95\), so the discriminant is negative. Calculate (4ac) carefully.
यहाँ (D=(-20)2-4\cdot25\cdot4=400-400=0) है। (D=0) समान मूलों का संकेत देता है। / Here (D=(-20)2-4\cdot25\cdot4=400-400=0). (D=0) indicates equal roots.
\(D=2^2-4\cdot3\cdot7=4-84=-80\), इसलिए विवेचक ऋणात्मक है। (4ac) की गणना पूरी करें। / \(D=2^2-4\cdot3\cdot7=4-84=-80\), so the discriminant is negative. Calculate (4ac) completely.
यहाँ (D=(-12)2-4\cdot9\cdot4=144-144=0) है। (b) ऋणात्मक हो तो भी \(b^2\) धनात्मक होता है। / Here (D=(-12)2-4\cdot9\cdot4=144-144=0). Even if (b) is negative, \(b^2\) is positive.
\(D=3^2-4\cdot2\cdot5=9-40=-31\), इसलिए यह ऋणात्मक है। गणना में (4ac) को पूरा निकालें। / \(D=3^2-4\cdot2\cdot5=9-40=-31\), so it is negative. Calculate the full (4ac) term carefully.
यहाँ \(D=b^2-4ac=4^2-4\cdot4\cdot1=0\) है। विवेचक में (a,b,c) सही पहचानना जरूरी है। / Here \(D=b^2-4ac=4^2-4\cdot4\cdot1=0\). Correctly identifying (a,b,c) is necessary for the discriminant.
C. कोई वास्तविक मूल नहीं होता/It has no real roots
Explanation
Simple Explanation
(D<0) होने पर वास्तविक मूल नहीं होते। विवेचक नकारात्मक हो तो वास्तविक संख्या रेखा पर मूल नहीं मिलते। / When (D<0), there are no real roots. A negative discriminant gives no roots on the real number line.
(D=0) होने पर दोनों वास्तविक मूल समान होते हैं। ऐसे प्रश्नों में (D) की तुलना (0) से करें। / When (D=0), both real roots are equal. In such questions, compare (D) with (0).
(D>0) होने पर दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं। विवेचक का चिन्ह मूलों की प्रकृति बताता है। / When (D>0), the equation has two distinct real roots. The sign of the discriminant tells the nature of roots.
विवेचक \(D=b^2-4ac\) होता है। इसे याद रखने से मूलों की प्रकृति समझना आसान होता है। / The discriminant is \(D=b^2-4ac\). Remembering it helps in understanding the nature of roots.
(D=\(2\sqrt{7}\)2-4\cdot1\cdot6=28-24=4)। अपरिमेय गुणांक होने पर भी विविक्तकर परिमेय हो सकता है। / (D=\(2\sqrt{7}\)2-4\cdot1\cdot6=28-24=4). Even with an irrational coefficient, the discriminant can be rational.
अचर बहुपद के लिए (r+4=0) और (r-1=0) दोनों चाहिए, जो साथ संभव नहीं हैं। सभी चर वाले पद हटने चाहिए। / For a constant polynomial, both (r+4=0) and (r-1=0) are needed, which is impossible together. All variable terms must vanish.
अचर पद केवल \(3\cdot5=15\) से आता है। अचर पद के लिए अचर भागों का गुणन देखें। / The constant term comes only from \(3\cdot5=15\). For the constant term, multiply the constant parts.
स्थिर बहुपद में चर का पद नहीं होता, इसलिए (7) स्थिर बहुपद है। अशून्य स्थिर बहुपद की घात (0) होती है। / A constant polynomial has no variable term, so (7) is a constant polynomial. A non-zero constant polynomial has degree (0).
अचर बहुपद के लिए (n-2=0) और (n+1=0) दोनों चाहिए, जो साथ संभव नहीं हैं। सभी चर वाले पद हटने चाहिए। / For a constant polynomial, both (n-2=0) and (n+1=0) are needed, which is impossible together. All variable terms must vanish.
अचर पद केवल ((-2)(-1)=2) से आता है। अचर पद के लिए अचर भागों का गुणन देखें। / The constant term comes only from ((-2)(-1)=2). For the constant term, multiply the constant parts.
अचर बहुपद के लिए (m+1=0) और (m-2=0) दोनों चाहिए, जो साथ संभव नहीं हैं। सभी चर वाले पद हटने चाहिए। / For a constant polynomial, both (m+1=0) and (m-2=0) are needed, which is impossible together. All variable terms must vanish.
अचर पद केवल ((-3)\cdot1=-3) से आता है। अचर पद के लिए अचर पदों का गुणन देखें। / The constant term comes only from ((-3)\cdot1=-3). For the constant term, multiply the constant parts.
\(x^2\) का गुणांक (-7) और अचर पद (-11) है, इसलिए योग (-18) है। संकेत सहित जोड़ना न भूलें। / The coefficient of \(x^2\) is (-7) and the constant term is (-11), so the sum is (-18). Do not forget to add with signs.
अशून्य अचर बहुपद की घात (0) होती है। अचर संख्या का अर्थ घात (0) से जुड़ा है। / A non-zero constant polynomial has degree (0). A constant number is linked with degree (0).
A. घात (3), नियत पद (-4)/Degree (3), constant term (-4)
Explanation
Simple Explanation
सबसे बड़ी घात (3) है और बिना (x) वाला पद (-4) है। इसलिए सही जोड़ी घात (3), नियत पद (-4) है। / The highest power is (3) and the term without (x) is (-4). So the correct pair is degree (3), constant term (-4).
गैर-शून्य नियत बहुपद की घात (0) होती है। इसे शून्य बहुपद से अलग रखें। / The degree of a non-zero constant polynomial is (0). Keep it separate from the zero polynomial.
(2x+1) में चर (x) है इसलिए यह नियत बहुपद नहीं है। नियत बहुपद में चर वाला पद नहीं होता। / (2x+1) contains the variable (x), so it is not a constant polynomial. A constant polynomial has no variable term.
अशून्य अचर बहुपद की घात (0) होती है। शून्य बहुपद से इसे अलग रखें। / A non-zero constant polynomial has degree (0). Keep it separate from the zero polynomial.
कोई अलग नियत पद नहीं है, इसलिए नियत पद (0) है। केवल (x) वाले पद को नियत पद न मानें। / There is no separate constant term, so the constant term is (0). Do not treat a term containing (x) as constant.
(x) का गुणांक (3) और नियत पद (4) है। क्रमशः पूछे गए क्रम का ध्यान रखें। / The coefficient of (x) is (3), and the constant term is (4). Keep the asked order in mind.
\(2x^2+7x=0\) में \(x^2\) पद है और स्थिर पद अनुपस्थित है। स्थिर पद न होने पर भी समीकरण द्विघात हो सकता है। / In \(2x^2+7x=0\), the \(x^2\) term is present and the constant term is absent. An equation can be quadratic even without a constant term.
A. शून्यकों का गुणनफल \(-3\sqrt{2}\) है/The product of zeroes is \(-3\sqrt{2}\)
Explanation
Simple Explanation
एकक द्विघात में स्थिर पद शून्यकों का गुणनफल होता है। यहाँ \(\alpha\beta=-3\sqrt{2}\) है। / In a monic quadratic, the constant term is the product of zeroes. Here \(\alpha\beta=-3\sqrt{2}\).
एकक बहुपद में स्थिर पद शून्यकों का गुणनफल होता है। यहाँ गुणनफल (\(a+\sqrt{b}\)\(a-\sqrt{b}\)=a-2-b) है। / In a monic polynomial, the constant term is the product of zeroes. Here the product is (\(a+\sqrt{b}\)\(a-\sqrt{b}\)=a-2-b).
स्थिर पद शून्यकों के गुणनफल के बराबर है। (\(2\sqrt{2}\)\(3\sqrt{2}\)=12) है। / The constant term equals the product of the zeroes. (\(2\sqrt{2}\)\(3\sqrt{2}\)=12).
रेखा (y=5) (x)-अक्ष के समानांतर है और उससे नहीं मिलती। इसलिए कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। / The line (y=5) is parallel to the (x)-axis and does not meet it. So it has no real zero.
A. यह (x)-अक्ष के समांतर है और उसे नहीं काटता/It is parallel to the (x)-axis and does not cut it
Explanation
Simple Explanation
(p(x)=5) कभी (0) नहीं होता इसलिए शून्यक नहीं है। टिप: अशून्य स्थिर बहुपद का शून्यक नहीं होता। / The value (p(x)=5) is never (0) so it has no zero. Tip: a non-zero constant polynomial has no zero.
A. क्योंकि (y) हमेशा (-3) रहता है/Because (y) always remains (-3)
Explanation
Simple Explanation
(p(x)=-3) का (y)-मान कभी (0) नहीं होता। इसलिए ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता और कोई शून्यक नहीं है। / For (p(x)=-3), the (y)-value is never (0). So the graph does not cut the (x)-axis and has no zero.
(p(x)=5) का ग्राफ (x)-अक्ष के समानांतर रेखा है जो (x)-अक्ष को नहीं काटती। इसलिए इसका कोई शून्यक नहीं है। / The graph of (p(x)=5) is a line parallel to the (x)-axis and does not cut it. Hence it has no zero.
A. दो भिन्न वास्तविक और अपरिमेय मूल/Two distinct real and irrational roots
Explanation
Simple Explanation
(D=18) धनात्मक है लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए मूल वास्तविक भिन्न और अपरिमेय होंगे। परीक्षा में (D) के पूर्ण वर्ग होने की जांच भी करें। / (D=18) is positive but not a perfect square, so the roots are real, distinct, and irrational. In exams, also check whether (D) is a perfect square.
जब (D=0) होता है, तब दोनों मूल समान और वास्तविक होते हैं। परीक्षा में इसे repeated roots भी कहा जा सकता है। / When (D=0), both roots are equal and real. In exams, these may also be called repeated roots.
द्विघात समीकरण ax-2+bx+c=0 का भेदक \(D=b^2-4ac\) होता है। यदि \(D<0\), तो समीकरण के वास्तविक संख्या में कोई मूल नहीं होते; इसके स्थान पर दो संयुक्त जटिल (complex conjugate) मूल होते हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प C (2) तब सही होता है जब \(D>0\) — तब दो अलग वास्तविक मूल मिलते हैं। परिक्षा टिप: पहले भेदक की गणना करें; उसके साइन से तुरंत वास्तविक मूलों की संख्या पता चल जाती है (D>0 → 2, D=0 → 1, D<0 → 0)। / For a quadratic ax-2+bx+c=0 the discriminant is \(D=b^2-4ac\). If \(D<0\), there are no real roots; instead the equation has two complex conjugate roots. The closest distractor C (2) would be correct only when \(D>0\), which gives two distinct real roots; when \(D=0\) there is one repeated real root. Exam tip: compute the discriminant first — its sign immediately tells you the number of real roots (D>0 → 2, D=0 → 1, D<0 → 0).
बहुपद (x-2-2ax+\(a^2-b\)) होगा। इसका विविक्तकर (4a-2-4\(a^2-b\)=4b) है। / The polynomial is (x-2-2ax+\(a^2-b\)). Its discriminant is (4a-2-4\(a^2-b\)=4b).
A. हमेशा वास्तविक और भिन्न/Always real and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(a-5)2-4\(a^2-10a+21\)=16>0) है। इसलिए हर वास्तविक (a) के लिए मूल वास्तविक और भिन्न हैं। / Here (D=4(a-5)2-4\(a^2-10a+21\)=16>0). Therefore the roots are real and distinct for every real (a).
A. हमेशा वास्तविक और भिन्न/Always real and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=\(-2\ell\)2-4\(\ell^2-9\)=36>0) है। इसलिए हर वास्तविक \(\ell\) के लिए मूल वास्तविक और भिन्न हैं। / Here (D=\(-2\ell\)2-4\(\ell^2-9\)=36>0). So for every real \(\ell\), roots are real and distinct.
क्रमागत पदों का समान अंतर अंकगणितीय श्रेणी की मुख्य पहचान है। परीक्षा में पहले अंतर जांचें। / A constant difference between consecutive terms is the key sign of an arithmetic progression. In exams first check the differences.
यह स्थिति अलग-अलग समांतर रेखाएँ बनाती है। इसलिए युग्म असंगत होता है। / This condition forms distinct parallel lines. Therefore, the pair is inconsistent.
स्थिर बहुपद में चर नहीं होता। (-7) शून्य से भिन्न स्थिर बहुपद है। / A constant polynomial has no variable. The number (-7) is a non-zero constant polynomial.
शून्य से भिन्न स्थिर बहुपद की घात (0) होती है। (9) को \(9x^0\) माना जा सकता है। / A non-zero constant polynomial has degree (0). The number (9) may be written as \(9x^0\).
