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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Expert Level 39

यदि किसी द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=(r-2)^2-9\) है, तो कोई वास्तविक मूल न होने के लिए \(r\) का कौन-सा अंतराल सही है?

If the discriminant of a quadratic equation is \(D=(r-2)^2-9\), which interval of \(r\) results in no real roots?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(-1<r<5\)

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। इसलिए \((r-2)^2-9<0\), अर्थात \((r-2)^2<9\)। इससे \(-3<r-2<3\) और अतः \(-1<r<5\) प्राप्त होता है। सीमांत मान \(r=-1\) और \(r=5\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए वहाँ एक समान वास्तविक मूल होता है। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ के लिए हमेशा \(D<0\) जाँचें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Thus, \((r-2)^2-9<0\), or \((r-2)^2<9\). This gives \(-3<r-2<3\), and hence \(-1<r<5\). At the endpoints \(r=-1\) and \(r=5\), \(D=0\), so the equation has one repeated real root; therefore option C is not correct. Exam tip: use \(D<0\) for no real roots, \(D=0\) for equal real roots, and \(D>0\) for two distinct real roots.

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यदि किसी द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=(r-2)^2-9\) है, तो कोई वास्तविक मूल न होने के लिए \(r\) का कौन-सा अंतराल सही है? / If the discriminant of a quadratic equation is \(D=(r-2)^2-9\), which interval of \(r\) results in no real roots?

Correct Answer: A. \(-1<r<5\). Explanation: द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। इसलिए \((r-2)^2-9<0\), अर्थात \((r-2)^2<9\)। इससे \(-3<r-2<3\) और अतः \(-1<r<5\) प्राप्त होता है। सीमांत मान \(r=-1\) और \(r=5\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए वहाँ एक समान वास्तविक मूल होता है। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ के लिए हमेशा \(D<0\) जाँचें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Thus, \((r-2)^2-9<0\), or \((r-2)^2<9\). This gives \(-3<r-2<3\), and hence \(-1<r<5\). At the endpoints \(r=-1\) and \(r=5\), \(D=0\), so the equation has one repeated real root; therefore option C is not correct. Exam tip: use \(D<0\) for no real roots, \(D=0\) for equal real roots, and \(D>0\) for two distinct real roots.