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वर्ग का क्षेत्रफल \((a+b)^2\) होता है और चार भाग मिलकर \(a^2+2ab+b^2\) देते हैं। परीक्षा में बड़े वर्ग को छोटे भागों में बांटकर देखें। / The area of the square is \((a+b)^2\) and its parts give \(a^2+2ab+b^2\). Exam tip: split the big square into smaller parts.
दो बराबर आयतों का क्षेत्रफल \(ab+ab=2ab\) है। इसलिए कुल क्षेत्रफल \(a^2+2ab+b^2\) होगा। / The two equal rectangles have area \(ab+ab=2ab\). So the total area is \(a^2+2ab+b^2\).
क्षेत्रफल \((x+3)^2\) है और \((a+b)^2\) से \(x^2+6x+9\) मिलता है। परीक्षा में \(2ab\) वाला मध्य पद न भूलें। / The area is \((x+3)^2\) and \((a+b)^2\) gives \(x^2+6x+9\). Exam tip: do not miss the middle term \(2ab\).
बड़े वर्ग से छोटे वर्ग का क्षेत्रफल घटता है इसलिए \(a^2-b^2\) मिलता है। परीक्षा में हटाए गए भाग को घटाना याद रखें। / The smaller square is subtracted from the larger square so we get \(a^2-b^2\). Exam tip: remember to subtract the removed part.
अंतर के वर्ग का मॉडल \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) दिखाता है। परीक्षा में अंतर और योग दोनों कारक देखें। / The difference of squares model shows \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Exam tip: look for both difference and sum factors.
वर्ग का क्षेत्रफल \((a-b)^2\) होता है। इसे फैलाने पर \(a^2-2ab+b^2\) मिलता है। / The area of the square is \((a-b)^2\). Expanding it gives \(a^2-2ab+b^2\).
दो \(ab\) क्षेत्र घटते हैं और \(b^2\) एक बार वापस जुड़ता है। इसलिए \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) है। / Two \(ab\) areas are subtracted and \(b^2\) is added back once. So \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).
आयत का क्षेत्रफल \((x+2)(x+5)\) है। भागों से \(x^2+5x+2x+10=x^2+7x+10\) मिलता है। / The rectangle area is \((x+2)(x+5)\). Its parts give \(x^2+5x+2x+10=x^2+7x+10\).
\(x^2+8x+16\) को \((x+4)^2\) लिखा जाता है। परीक्षा में \(2 \times 4=8\) देखकर पहचानें। / \(x^2+8x+16\) is written as \((x+4)^2\). Exam tip: identify it using \(2 \times 4=8\).
छोटे वर्ग की भुजा \(5\) है और \(2 \times 5x=10x\) है। इसलिए बड़ी भुजा \(x+5\) होगी। / The small square has side \(5\) and \(2 \times 5x=10x\). So the big side is \(x+5\).
\((p+q)^2\) में दो बराबर आयत \(pq\) और \(pq\) होते हैं। परीक्षा में मध्य पद \(2pq\) याद रखें। / In \((p+q)^2\), there are two equal rectangles \(pq\) and \(pq\). Exam tip: remember the middle term \(2pq\).
चार भाग \(m^2\), \(mn\), \(mn\) और \(n^2\) होते हैं। \(m^2-n^2\) अलग सर्वसमिका से जुड़ा है। / The four parts are \(m^2\), \(mn\), \(mn\), and \(n^2\). \(m^2-n^2\) belongs to another identity.
\((8-1)(8+1)=8^2-1^2=64-1=63\) है। परीक्षा में पास के पूर्ण वर्ग का उपयोग करें। / \((8-1)(8+1)=8^2-1^2=64-1=63\). Exam tip: use a nearby perfect square.
\((10+2)^2=10^2+2 \times 10 \times 2+2^2=144\) है। परीक्षा में चारों भागों का योग करें। / \((10+2)^2=10^2+2 \times 10 \times 2+2^2=144\). Exam tip: add all four parts.
कुल क्षेत्रफल \(36+24+24+16=100\) है। यह \((6+4)^2\) का दृश्य मॉडल है। / The total area is \(36+24+24+16=100\). This is the visual model of \((6+4)^2\).
\((100-1)^2=10000-200+1=9801\) है। परीक्षा में घटाव वाले वर्ग में \(2ab\) घटता है। / \((100-1)^2=10000-200+1=9801\). Exam tip: in a subtraction square \(2ab\) is subtracted.
C. छोटे \(s\) वाले वर्ग का क्षेत्रफल/Area of the small \(s\)-square
Explanation
Simple Explanation
\(s^2\) उस छोटे वर्ग का क्षेत्रफल है जिसकी भुजा \(s\) है। परीक्षा में हर भाग को उसकी दोनों भुजाओं से पहचानें। / \(s^2\) is the area of the small square whose side is \(s\). Exam tip: identify each part from its two sides.
\((x-2)^2=x^2-4x+4\) में \(x^2\) और \(4\) धनात्मक हैं। परीक्षा में वर्ग पद हमेशा धनात्मक देखें। / In \((x-2)^2=x^2-4x+4\), \(x^2\) and \(4\) are positive. Exam tip: square terms are positive.
\((a+b)^2\) के मॉडल में दो \(ab\) आयत होते हैं। इनका योग \(2ab\) बनाता है। / The model of \((a+b)^2\) has two \(ab\) rectangles. Their sum forms \(2ab\).
दो भाग लंबाई में और दो भाग चौड़ाई में लेने से \(2 \times 2=4\) भाग बनते हैं। परीक्षा में ग्रिड मॉडल बनाना आसान तरीका है। / Two parts in length and two parts in breadth make \(2 \times 2=4\) parts. Exam tip: drawing a grid model is easy.
भागों से \(x^2\), \(4x\), \(x\) और \(4\) मिलते हैं। \(x\)-पदों का योग \(5x\) है। / The parts are \(x^2\), \(4x\), \(x\), and \(4\). The sum of the \(x\)-terms is \(5x\).
स्थिर भाग \(3 \times 2=6\) से मिलता है। परीक्षा में संख्या वाले भागों का गुणन अलग से करें। / The constant part comes from \(3 \times 2=6\). Exam tip: multiply the number parts separately.
वर्ग ग्रिड में \(ab\) और \(ba\) दो समान भाग होते हैं। इसलिए उनका योग \(2ab\) बनता है। / In the square grid, \(ab\) and \(ba\) are two equal parts. So their sum becomes \(2ab\).
तीन वर्ग पद \(a^2\), \(b^2\) और \(c^2\) होते हैं। परीक्षा में वर्ग पद और आयत पद अलग पहचानें। / There are three square terms \(a^2\), \(b^2\), and \(c^2\). Exam tip: identify square terms and rectangle terms separately.
हर दिशा में \(3\) भाग हैं इसलिए कुल \(3 \times 3=9\) खंड बनेंगे। परीक्षा में पंक्ति और स्तंभ का गुणन करें। / There are \(3\) parts in each direction so \(3 \times 3=9\) sections form. Exam tip: multiply rows and columns.
यह \((a+b)^2\) का विस्तार है। इसलिए भुजा \(a+b\) वाला वर्ग सही मॉडल है। / This is the expansion of \((a+b)^2\). So the square with side \(a+b\) is the correct model.
\(a^2-2ab+b^2\) का रूप \((a-b)^2\) है। परीक्षा में ऋण चिह्न देखकर घटाव वाला वर्ग पहचानें। / The form \(a^2-2ab+b^2\) is \((a-b)^2\). Exam tip: identify the subtraction square from the negative sign.
यहां \(2ab=2 \times 10 \times 3=60\) है। परीक्षा में मध्य भाग दो बराबर आयतों से आता है। / Here \(2ab=2 \times 10 \times 3=60\). Exam tip: the middle part comes from two equal rectangles.
छोटे वर्ग की भुजा \(5\) है इसलिए क्षेत्रफल \(5^2=25\) होगा। परीक्षा में छोटे वर्ग को अलग पहचानें। / The small square has side \(5\), so its area is \(5^2=25\). Exam tip: identify the small square separately.
\((a-b)^2\) में \(2ab\) घटता है। यहां घटने वाला पद \(2 \times 20 \times 2\) है। / In \((a-b)^2\), \(2ab\) is subtracted. Here the subtracted term is \(2 \times 20 \times 2\).
\((x+3)(x+6)=x^2+6x+3x+18=x^2+9x+18\) है। परीक्षा में स्थिर पद के कारक देखें। / \((x+3)(x+6)=x^2+6x+3x+18=x^2+9x+18\). Exam tip: check the factors of the constant term.
A. बड़े \(a\) वर्ग से छोटे \(b\) वर्ग को हटाना/Removing the smaller \(b\)-square from the larger \(a\)-square
Explanation
Simple Explanation
\(a^2-b^2\) में छोटे वर्ग का क्षेत्रफल बड़े वर्ग से घटता है। परीक्षा में अंतर के वर्ग और वर्गों के अंतर में फर्क रखें। / In \(a^2-b^2\), the smaller square area is subtracted from the larger square. Exam tip: distinguish square of difference and difference of squares.
छोटे वर्ग की भुजा \(7\) है इसलिए क्षेत्रफल \(7^2=49\) होगा। परीक्षा में संख्या के वर्ग को स्थिर पद समझें। / The small square has side \(7\), so its area is \(7^2=49\). Exam tip: treat the square of the number as the constant term.
\((x-4)^2=x^2-2 \times x \times 4+16=x^2-8x+16\) है। परीक्षा में घटाव वाले मध्य पद का ध्यान रखें। / \((x-4)^2=x^2-2 \times x \times 4+16=x^2-8x+16\). Exam tip: take care of the negative middle term.
बड़े वर्ग की भुजा \(50\) है इसलिए उसका क्षेत्रफल \(50^2=2500\) है। परीक्षा में बड़े वर्ग से शुरुआत करें। / The big square has side \(50\), so its area is \(50^2=2500\). Exam tip: start with the large square.
\((50-1)^2\) में छोटा वर्ग \(1^2\) है। परीक्षा में घटाए गए छोटे भाग को पहचानें। / In \((50-1)^2\), the small square is \(1^2\). Exam tip: identify the small subtracted part.
क्षेत्र मॉडल में छोटे भागों के क्षेत्रफल जोड़कर कुल क्षेत्रफल मिलता है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में भागों का योग करें। / In an area model, areas of smaller parts are added to get total area. Exam tip: add the parts in such questions.
A. पहले में भाग जोड़े जाते हैं और दूसरे में कुछ भाग घटाए जाते हैं/In the first parts are added and in the second some parts are subtracted
Explanation
Simple Explanation
\((a+b)^2\) जोड़ का मॉडल है जबकि \((a-b)^2\) घटाव का मॉडल है। परीक्षा में संकेत से मॉडल पहचानें। / \((a+b)^2\) is an addition model while \((a-b)^2\) is a subtraction model. Exam tip: identify the model from the sign.
वर्ग की भुजा (a+b) है इसलिए क्षेत्रफल ((a+b)2) होता है। परीक्षा में वर्ग की भुजा पहले पहचानें। / The side of the square is (a+b), so area is ((a+b)2). Exam tip: identify the side of the square first.
((x+3)2) में बीच का पद \(2\cdot x\cdot 3\) होता है। परीक्षा में दो समान आयतों को जोड़ना न भूलें। / In ((x+3)2), the middle term is \(2\cdot x\cdot 3\). Exam tip: do not forget the two equal rectangles.
हटाने वाले मॉडल में बची भुजा (a-b) होती है। परीक्षा में घटाव वाले वर्ग को ((a-b)2) से जोड़ें। / In a removal model, the remaining side is (a-b). Exam tip: connect the subtraction square with ((a-b)2).
क्षेत्रफल ((a+b)(a-b)) है जो \(a^2-b^2\) बनता है। परीक्षा में योग और अंतर का गुणन याद रखें। / The area is ((a+b)(a-b)), which becomes \(a^2-b^2\). Exam tip: remember product of sum and difference.
कुल क्षेत्रफल \(x^2+4x+4\) है जो ((x+2)2) है। परीक्षा में इकाई टाइलों से संख्या पहचानें। / The total area is \(x^2+4x+4\), which is ((x+2)2). Exam tip: identify the number from unit tiles.
चारों भागों को जोड़ने पर \(m^2+2mn+n^2\) मिलता है। परीक्षा में समान (mn) भागों को साथ जोड़ें। / Adding the four parts gives \(m^2+2mn+n^2\). Exam tip: combine the equal (mn) parts.
शेष क्षेत्रफल \(a^2-b^2\) है और यह ((a+b)(a-b)) के बराबर है। परीक्षा में काटकर जोड़ने वाले मॉडल को समझें। / The remaining area is \(a^2-b^2\), which equals ((a+b)(a-b)). Exam tip: understand the cut-and-rearrange model.
बीच का पद \(2\cdot y\cdot 5=10y\) है। परीक्षा में ((a+b)2) में (2ab) पर ध्यान दें। / The middle term is \(2\cdot y\cdot 5=10y\). Exam tip: focus on (2ab) in ((a+b)2).
(16) को \(4^2\) मानने पर बीच का पद \(2\cdot x\cdot 4=8x\) है। परीक्षा में स्थिर पद का वर्गमूल देखें। / Taking (16) as \(4^2\), the middle term is \(2\cdot x\cdot 4=8x\). Exam tip: check the square root of the constant term.
क्षेत्रफल ((r+2)(r+3)) है जो \(r^2+5r+6\) बनता है। परीक्षा में आयत के चार भाग जोड़ें। / The area is ((r+2)(r+3)), which becomes \(r^2+5r+6\). Exam tip: add the four parts of the rectangle.
((a-b)2=a-2-2ab+b-2) इसलिए शेष जोड़ \(2ab-b^2\) से जुड़ता है। परीक्षा में घटे हुए भाग को ध्यान से पढ़ें। / Since ((a-b)2=a-2-2ab+b-2), the missing part relates to \(2ab-b^2\). Exam tip: read the removed part carefully.
((2x+1)2) में \(2\cdot 2x\cdot 1=4x\) आता है। परीक्षा में पहले पद का वर्ग \(4x^2\) लिखें। / In ((2x+1)2), \(2\cdot 2x\cdot 1=4x\) appears. Exam tip: write the square of the first term as \(4x^2\).
अंतर के वर्ग मॉडल में आयत की भुजाएँ योग और अंतर होती हैं। परीक्षा में \(a^2-b^2\) को ((a+b)(a-b)) से जोड़ें। / In the difference of squares model, the rectangle sides are sum and difference. Exam tip: connect \(a^2-b^2\) with ((a+b)(a-b)).
((k-4)2=k-2-8k+16) होता है। परीक्षा में घटाव वाले वर्ग में बीच का पद ऋणात्मक रखें। / ((k-4)2=k-2-8k+16). Exam tip: keep the middle term negative in a subtraction square.
भुजा (a+b) वाला वर्ग इन तीन भागों में बंटता है। परीक्षा में क्षेत्रफल जोड़कर पहचान लिखें। / A square of side (a+b) is divided into these three parts. Exam tip: write the identity by adding areas.
((x+1)2=x-2+2x+1) में (x) वाली दो आयतें होती हैं। परीक्षा में दोनों दिशाओं की आयतें गिनें। / In ((x+1)2=x-2+2x+1), there are two (x)-rectangle tiles. Exam tip: count rectangles in both directions.
यह अंतर के वर्ग का मॉडल है। परीक्षा में हटाए गए छोटे वर्ग को \(b^2\) मानें। / This is the difference of squares model. Exam tip: treat the removed small square as \(b^2\).
पहले भाग (3x) का वर्ग \(9x^2\) होता है। परीक्षा में गुणांक का भी वर्ग करें। / The square of the first part (3x) is \(9x^2\). Exam tip: square the coefficient too.
\(9=3^2\) और बीच का पद (6z) है इसलिए भुजा (z+3) है। परीक्षा में अंतिम पद से छोटी भुजा पहचानें। / Since \(9=3^2\) and the middle term is (6z), the side is (z+3). Exam tip: identify the smaller side from the last term.
((a+5)(a-5)=a-2-25) होता है। परीक्षा में समान संख्या के योग और अंतर को पहचानें। / ((a+5)(a-5)=a-2-25). Exam tip: identify the sum and difference of the same number.
दो समान आयतों का योग (7x+7x=14x) है। परीक्षा में समान आयतों को अलग अलग न छोड़ें। / The sum of the two equal rectangles is (7x+7x=14x). Exam tip: do not leave equal rectangles separate.
((x-1)2=x-2-2x+1) में बीच का पद ऋणात्मक होता है। परीक्षा में ऋण चिह्न को सुरक्षित रखें। / In ((x-1)2=x-2-2x+1), the middle term is negative. Exam tip: keep the negative sign safe.
\(36=6^2\) और \(2\cdot x\cdot 6=12x\) है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग की जाँच करें। / \(36=6^2\) and \(2\cdot x\cdot 6=12x\). Exam tip: check the perfect square pattern.
छोटे कोने का क्षेत्रफल \(2\cdot 5=10\) है। परीक्षा में संख्यात्मक भागों का गुणन करें। / The small corner area is \(2\cdot 5=10\). Exam tip: multiply the numerical parts.
((a+2b)2) में बीच का पद \(2\cdot a\cdot 2b=4ab\) है। परीक्षा में दूसरे पद का वर्ग \(4b^2\) लिखें। / In ((a+2b)2), the middle term is \(2\cdot a\cdot 2b=4ab\). Exam tip: write the square of the second term as \(4b^2\).
\(c^2-d^2\) को काटकर ((c+d)(c-d)) आयत बनाया जा सकता है। परीक्षा में बड़ा वर्ग और छोटा वर्ग पहचानें। / \(c^2-d^2\) can be rearranged into a ((c+d)(c-d)) rectangle. Exam tip: identify the big and small squares.
छोटे कोने की भुजा (7) है इसलिए क्षेत्रफल (49) है। परीक्षा में स्थिर भाग का वर्ग लें। / The small corner side is (7), so its area is (49). Exam tip: square the constant part.
((-3)2=9) होता है इसलिए अंतिम पद धनात्मक है। परीक्षा में ऋण संख्या का वर्ग धनात्मक होता है। / ((-3)2=9), so the last term is positive. Exam tip: the square of a negative number is positive.
भाग (2u), (5u) और (10) से संख्याएँ (2) और (5) मिलती हैं। परीक्षा में कोने के गुणन से दोनों संख्याएँ मिलाएँ। / The parts (2u), (5u), and (10) show the numbers (2) and (5). Exam tip: match the numbers using the corner product.
(4x-2=(2x)2) और \(9=3^2\), बीच का पद (12x) है। परीक्षा में दोनों वर्ग पद पहचानें। / (4x-2=(2x)2) and \(9=3^2\), with middle term (12x). Exam tip: identify both square terms.
\(a^2\) का अर्थ भुजा (a) वाले वर्ग का क्षेत्रफल है। परीक्षा में क्षेत्रफल और भुजा में अंतर रखें। / \(a^2\) means the area of a square of side (a). Exam tip: keep the difference between area and side clear.
((x+2)2) के भाग \(x^2\), (2x), (2x), (4) हैं। परीक्षा में मॉडल के हर भाग को अलग पहचानें। / The parts of ((x+2)2) are \(x^2\), (2x), (2x), and (4). Exam tip: identify every part of the model separately.
बचा क्षेत्रफल \(a^2-b^2\) है जिसे वर्गों का अंतर कहते हैं। परीक्षा में हटाने को घटाव से जोड़ें। / The remaining area is \(a^2-b^2\), called difference of squares. Exam tip: connect removal with subtraction.
क्षेत्रफल (x(x+6)=x-2+6x) है। परीक्षा में आयत का क्षेत्रफल लंबाई गुणा चौड़ाई लें। / The area is (x(x+6)=x-2+6x). Exam tip: use length times breadth for rectangle area.
((s+4)2) में दो समान आयत (4s) और (4s) होते हैं। परीक्षा में सममिति से दोनों आयत गिनें। / In ((s+4)2), there are two equal rectangles (4s) and (4s). Exam tip: count both rectangles using symmetry.
यह ((a-b)2) को दृश्य रूप से दिखाता है। परीक्षा में शेष अंदरूनी वर्ग की भुजा (a-b) देखें। / This visually shows ((a-b)2). Exam tip: observe the side (a-b) of the remaining inner square.
बाहरी सीमा की भुजा (a+b) है इसलिए क्षेत्रफल ((a+b)2) है। परीक्षा में बाहर की भुजा से कुल क्षेत्रफल लिखें। / The outer boundary has side (a+b), so the area is ((a+b)2). Exam tip: write the total area from the outside side.
A. दोनों एक ही वर्ग का क्षेत्रफल दिखाते हैं/Both show the area of the same square
Explanation
Simple Explanation
एक रूप भागों का योग है और दूसरा बाहरी भुजा से क्षेत्रफल है। परीक्षा में एक ही चित्र से दोनों रूप निकालें। / One form is the sum of parts and the other is area from the outer side. Exam tip: get both forms from the same diagram.
यह योग और अंतर का गुणन है इसलिए \(x^2-4\) मिलता है। परीक्षा में ((x+a)(x-a)) को पहचानें। / This is a product of sum and difference, so it gives \(x^2-4\). Exam tip: identify ((x+a)(x-a)).
\(b^2\) भुजा (b) वाले छोटे वर्ग का क्षेत्रफल है। परीक्षा में वर्ग पद को उसी भुजा के वर्ग से जोड़ें। / \(b^2\) is the area of the small square with side (b). Exam tip: connect a square term with the square of its side.
(c(a+b)=ac+bc) होता है। परीक्षा में एक भुजा को दो भागों में बाँटकर क्षेत्रफल जोड़ें। / (c(a+b)=ac+bc). Exam tip: split one side into two parts and add areas.
\(9=3^2\) और बीच का पद (-6x) है इसलिए भुजा (x-3) है। परीक्षा में ऋणात्मक बीच पद से घटाव पहचानें। / Since \(9=3^2\) and the middle term is (-6x), the side is (x-3). Exam tip: identify subtraction from the negative middle term.
कुल टाइलें \(x^2+2x+1\) देती हैं। परीक्षा में दो (x) टाइलें ((x+1)2) बनाती हैं। / The total tiles give \(x^2+2x+1\). Exam tip: two (x) tiles form ((x+1)2).
क्षेत्रफल \(10^2-4^2=100-16=84\) है। परीक्षा में पहले वर्ग करें फिर घटाएँ। / The area is \(10^2-4^2=100-16=84\). Exam tip: square first, then subtract.
अंतिम पद \(8^2=64\) है। परीक्षा में स्थिर भाग का वर्ग अंतिम पद होता है। / The last term is \(8^2=64\). Exam tip: the square of the constant part becomes the last term.
दो समान आयतों के क्षेत्रफल (ab) और (ab) मिलकर (2ab) बनाते हैं। परीक्षा में बीच पद को आयतों से जोड़ें। / Two equal rectangles of areas (ab) and (ab) combine to form (2ab). Exam tip: connect the middle term with rectangles.
यह योग और अंतर का आयत है इसलिए क्षेत्रफल \(x^2-9\) है। परीक्षा में समान संख्या (3) देखकर वर्गों का अंतर पहचानें। / This is a sum-and-difference rectangle, so the area is \(x^2-9\). Exam tip: notice the same number (3) to identify difference of squares.
वर्ग को दो छोटे वर्गों और दो आयतों में बांटने पर कुल क्षेत्र \(a^2+2ab+b^2\) मिलता है। परीक्षा में वर्ग का क्षेत्र पहचान से जोड़ें। / Splitting the square into two smaller squares and two rectangles gives \(a^2+2ab+b^2\). Exam tip: connect square area with the identity.
क्षेत्र मॉडल में \(x^2\), दो \(3x\) आयत और \(9\) वर्ग मिलते हैं। परीक्षा में बीच का पद दो समान आयतों से आता है। / The area model has \(x^2\), two \(3x\) rectangles, and \(9\). Exam tip: the middle term comes from two equal rectangles.
बड़े वर्ग के क्षेत्र \(a^2\) में से छोटे वर्ग का क्षेत्र \(b^2\) घटता है। परीक्षा में हटाए गए भाग को घटाव मानें। / The smaller area \(b^2\) is subtracted from the larger area \(a^2\). Exam tip: treat the removed part as subtraction.
आयत का क्षेत्र \((a+b)(a-b)\) होता है जो \(a^2-b^2\) के बराबर है। परीक्षा में लंबाई और चौड़ाई को गुणा करें। / The rectangle area is \((a+b)(a-b)\), which equals \(a^2-b^2\). Exam tip: multiply length and breadth.
\((x-2)^2\) में \(x^2\), घटे हुए दो \(2x\) भाग और \(4\) जुड़ता है। परीक्षा में ऋण चिह्न का ध्यान रखें। / In \((x-2)^2\), there is \(x^2\), two subtracted \(2x\) parts, and \(4\) added. Exam tip: watch the negative sign.
दोनों \(pq\) आयत मिलकर \(2pq\) बनाते हैं। परीक्षा में समान आयतों को जोड़ना न भूलें। / The two \(pq\) rectangles combine to make \(2pq\). Exam tip: do not forget to add equal rectangles.
वर्गीय भागों में \(m^2\) और \(n^2\) आते हैं और \(m>n\) हो तो \(m^2\) बड़ा होगा। परीक्षा में वर्गीय और आयताकार भाग अलग पहचानें। / The square parts are \(m^2\) and \(n^2\), and if \(m>n\), then \(m^2\) is larger. Exam tip: distinguish square and rectangular parts.
दिए गए भागों का कुल क्षेत्र \(x^2+10x+25\) है। परीक्षा में दो \(5x\) आयतों को \(10x\) लिखें। / The total area is \(x^2+10x+25\). Exam tip: write two \(5x\) rectangles as \(10x\).
दो \(4y\) घटने से बीच का पद \(-8y\) बनता है। परीक्षा में \(4^2=16\) याद रखें। / Subtracting two \(4y\) parts gives the middle term \(-8y\). Exam tip: remember \(4^2=16\).
\((6+2)^2\) में \(6^2\), दो \(6\times2\) और \(2^2\) जुड़ते हैं। परीक्षा में संख्यात्मक मॉडल से पहचान समझें। / In \((6+2)^2\), \(6^2\), two \(6\times2\) parts, and \(2^2\) are added. Exam tip: understand the identity using numerical models.
\((a+b)^2\) के वर्ग मॉडल में दो बराबर आयत \(ab\) के होते हैं। परीक्षा में बीच का कुल क्षेत्र \(2ab\) लिखें। / In the square model of \((a+b)^2\), two equal rectangles are \(ab\). Exam tip: write the total middle area as \(2ab\).
लंबाई को \(r\) और \(s\) में बांटने पर क्षेत्र \(r^2+rs\) मिलता है। परीक्षा में वितरण नियम को क्षेत्र से जोड़ें। / Splitting the length into \(r\) and \(s\) gives area \(r^2+rs\). Exam tip: connect distributive law with area.
टाइलों के क्षेत्र सीधे जुड़कर \(x^2+7x+12\) बनाते हैं। परीक्षा में समान टाइलों की संख्या गिनें। / The tile areas add directly to make \(x^2+7x+12\). Exam tip: count like tiles.
भाग \(x^2\), \(3x\), \(2x\) और \(6\) हैं। परीक्षा में \(3x+2x=5x\) जोड़ें। / The parts are \(x^2\), \(3x\), \(2x\), and \(6\). Exam tip: add \(3x+2x=5x\).
दो \(t\) आयतों के कारण बीच का पद \(2t\) बनता है। परीक्षा में \(1^2=1\) भी जोड़ें। / Because of two \(t\) rectangles, the middle term is \(2t\). Exam tip: also add \(1^2=1\).
यह अंतर के वर्गों की दृश्य व्याख्या है। परीक्षा में पुनर्व्यवस्था से \((a+b)(a-b)\) याद रखें। / This is the visual explanation of difference of squares. Exam tip: remember the rearrangement as \((a+b)(a-b)\).
\((10-3)^2\) में \(10^2-2\times10\times3+3^2\) होता है। परीक्षा में \(2ab\) वाला घटाव न भूलें। / \((10-3)^2\) equals \(10^2-2\times10\times3+3^2\). Exam tip: do not forget the subtraction of \(2ab\).
C. वर्ग पद और आयत पद/Square terms and rectangle terms
Explanation
Simple Explanation
ऐसे मॉडल में \(a^2\), \(b^2\), \(c^2\) जैसे वर्ग और \(ab\), \(bc\), \(ca\) जैसे आयत आते हैं। परीक्षा में क्षेत्र पदों को आकार से पहचानें। / Such a model has squares like \(a^2\), \(b^2\), \(c^2\) and rectangles like \(ab\), \(bc\), \(ca\). Exam tip: identify area terms by shape.
\(4x\) और \(2x\) के साथ कोना \(8\) बताता है कि संख्याएं \(4\) और \(2\) हैं। परीक्षा में कोने के गुणनफल को देखें। / With \(4x\) and \(2x\), the corner \(8\) shows the numbers are \(4\) and \(2\). Exam tip: look at the product in the corner.
A. क्योंकि इसके भाग मिलकर भुजा \(a+b\) का वर्ग बनाते हैं/Because its parts form a square of side \(a+b\)
Explanation
Simple Explanation
दो वर्ग और दो आयत मिलकर पूरा वर्ग बनाते हैं। परीक्षा में पूर्ण वर्ग त्रिपद को चित्र से पहचानें। / Two squares and two rectangles form one complete square. Exam tip: identify a perfect square trinomial from the figure.
B. भुजा \(p+q\) वाला वर्ग/Square with side \(p+q\)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग का क्षेत्र भुजा के वर्ग के बराबर होता है। परीक्षा में \((p+q)^2\) के लिए वर्ग सोचें। / The area of a square equals the square of its side. Exam tip: think of a square for \((p+q)^2\).
दो \(ab\) आयतों का योग \(2ab\) है। परीक्षा में हर भाग का क्षेत्र जोड़ें। / The sum of two \(ab\) rectangles is \(2ab\). Exam tip: add the area of every part.
\((z-1)^2=z^2-2z+1\) में अंतिम वर्ग पद \(1\) धनात्मक है। परीक्षा में वर्ग किए गए पद का चिह्न धनात्मक रखें। / In \((z-1)^2=z^2-2z+1\), the last square term \(1\) is positive. Exam tip: keep the squared term positive.
कुल क्षेत्र \(a^2+ab\) है जिसे \(a(a+b)\) लिखा जा सकता है। परीक्षा में सामान्य गुणनखंड को चित्र से पहचानें। / The total area is \(a^2+ab\), which can be written as \(a(a+b)\). Exam tip: identify the common factor from the diagram.
भागों का योग \(x^2+6x+5\) है जो \((x+5)(x+1)\) से मिलता है। परीक्षा में बाहरी आयाम पढ़ें। / The sum of parts is \(x^2+6x+5\), which matches \((x+5)(x+1)\). Exam tip: read the outside dimensions.
क्षेत्र मॉडल में एक ही आकृति का क्षेत्र अलग रूपों में लिखा जाता है। परीक्षा में दोनों रूपों को बराबर रखें। / In an area model, the same figure's area is written in different forms. Exam tip: keep both forms equal.
वर्ग मॉडल में \(x\) और \(y\) से बने दो बराबर आयत आते हैं। परीक्षा में इन्हें \(2xy\) में बदलें। / The square model has two equal rectangles made from \(x\) and \(y\). Exam tip: convert them into \(2xy\).
B. भुजा \(x+4\) वाला वर्ग/Square with side \(x+4\)
Explanation
Simple Explanation
दोनों आयाम बराबर हों तो आकृति वर्ग होती है। परीक्षा में बराबर लंबाई और चौड़ाई को वर्ग मानें। / When both dimensions are equal, the figure is a square. Exam tip: treat equal length and breadth as a square.
दो \(ab\) पट्टियां हटने से कुल घटाव \(2ab\) होता है। परीक्षा में बाद में \(b^2\) वापस जुड़ता है। / Two \(ab\) strips are removed, so the total subtraction is \(2ab\). Exam tip: \(b^2\) is added back later.
\((7+3)^2=7^2+2\times7\times3+3^2=100\) होता है। परीक्षा में पहचान से मानसिक गणना करें। / \((7+3)^2=7^2+2\times7\times3+3^2=100\). Exam tip: use identities for mental calculation.
यह \((12-2)^2\) का रूप है। परीक्षा में \(a^2-2ab+b^2\) को \((a-b)^2\) पहचानें। / This is the form of \((12-2)^2\). Exam tip: identify \(a^2-2ab+b^2\) as \((a-b)^2\).
A. आयाम \(9+4\) और \(9-4\)/Dimensions \(9+4\) and \(9-4\)
Explanation
Simple Explanation
अंतर के वर्गों में आयाम \((a+b)\) और \((a-b)\) बनते हैं। परीक्षा में \(9^2-4^2=(13)(5)\) करें। / In difference of squares, dimensions become \((a+b)\) and \((a-b)\). Exam tip: compute \(9^2-4^2=(13)(5)\).
आयत को \(x\) और \(6\) चौड़ाई वाले भागों में बांटने पर \(x^2+6x\) मिलता है। परीक्षा में वितरण को क्षेत्र के रूप में देखें। / Splitting the rectangle into parts with widths \(x\) and \(6\) gives \(x^2+6x\). Exam tip: see distribution as area.
एक \(ab\) भाग ऊपर और एक \(ab\) भाग बगल में होता है। परीक्षा में दोनों को जोड़कर \(2ab\) लिखें। / There is one \(ab\) part above and one \(ab\) part beside. Exam tip: add both as \(2ab\).
ये टाइलें मिलकर भुजा \(x+y\) का वर्ग बनाती हैं। परीक्षा में पूर्ण वर्ग की बाहरी भुजा पहचानें। / These tiles form a square of side \(x+y\). Exam tip: identify the outer side of a perfect square.
दो \(2x\) आयतों से \(4x\) बनता है और \(2^2=4\) है। परीक्षा में छोटे वर्ग की भुजा देखें। / Two \(2x\) rectangles make \(4x\), and \(2^2=4\). Exam tip: check the side of the small square.
A. क्षेत्र मॉडल में लंबाई और चौड़ाई का गुणन प्रयोग होता है/Area model uses multiplication of length and breadth
Explanation
Simple Explanation
क्षेत्र मॉडल गुणन और जोड़ को चित्र में दिखाता है। परीक्षा में क्षेत्र को लंबाई गुणा चौड़ाई मानें। / An area model shows multiplication and addition in a diagram. Exam tip: take area as length times breadth.
छोटे वर्ग की भुजा \(4\) है, इसलिए उसका क्षेत्र \(4^2=16\) है। परीक्षा में स्थिर संख्या का वर्ग करें। / The small square has side \(4\), so its area is \(4^2=16\). Exam tip: square the constant number.
स्थिर कोना \(2\times5=10\) से बनता है। परीक्षा में अंतिम स्थिर पद को कोने के क्षेत्र से जोड़ें। / The constant corner is formed by \(2\times5=10\). Exam tip: connect the final constant term with the corner area.
दो आयताकार भाग \(x\) और \(4x\) मिलकर \(5x\) बनाते हैं। परीक्षा में \(x\) वाले पद जोड़ें। / Two rectangular parts \(x\) and \(4x\) combine to make \(5x\). Exam tip: add the \(x\)-terms.
वर्ग का क्षेत्र \((u-v)^2\) है जो \(u^2-2uv+v^2\) बनता है। परीक्षा में बीच का पद ऋणात्मक रखें। / The square area is \((u-v)^2\), which becomes \(u^2-2uv+v^2\). Exam tip: keep the middle term negative.
\(15^2-5^2=(15+5)(15-5)=20\times10=200\) है। परीक्षा में अंतर के वर्गों से तेज गणना करें। / \(15^2-5^2=(15+5)(15-5)=20\times10=200\). Exam tip: calculate quickly using difference of squares.
\(8x\) दो बराबर \(4x\) आयतों में बंटता है, इसलिए \(4^2=16\) जोड़ा जाता है। परीक्षा में आधे गुणांक का वर्ग करें। / \(8x\) splits into two equal \(4x\) rectangles, so \(4^2=16\) is added. Exam tip: square half the coefficient.
A. तीन भागों में बंटा वर्ग/A square divided into three parts
Explanation
Simple Explanation
तीन भागों वाला वर्ग हर दो भागों के दो बराबर आयत बनाता है। परीक्षा में जोड़ीदार आयतों को दोगुना करें। / A square divided into three parts creates two equal rectangles for each pair. Exam tip: double the paired rectangles.
\((20-1)^2=400-40+1=361\) होता है। परीक्षा में पास की बड़ी संख्या से घटाव मॉडल अपनाएं। / \((20-1)^2=400-40+1=361\). Exam tip: use the subtraction model from the nearby large number.
C. जब क्षेत्र \(a^2-b^2\) को आयत \((a+b)(a-b)\) से दिखाएं/When area \(a^2-b^2\) is shown by rectangle \((a+b)(a-b)\)
Explanation
Simple Explanation
\(a^2-b^2\) के आयत मॉडल में बीच का \(2ab\) पद रद्द रूप में नहीं आता। परीक्षा में अलग पहचान को अलग मॉडल से जोड़ें। / In the rectangle model of \(a^2-b^2\), the middle \(2ab\) term does not appear. Exam tip: connect each identity with its own model.
दोनों आयतों का क्षेत्र \(6x\) और \(6x\) है, इसलिए कुल \(12x\) है। परीक्षा में समान आयतों को दोगुना करें। / The two rectangles have areas \(6x\) and \(6x\), so the total is \(12x\). Exam tip: double equal rectangles.
\(49=7^2\) और \(14x=2\times7\times x\) है। परीक्षा में अंतिम पद की वर्गमूल से भुजा पहचानें। / \(49=7^2\) and \(14x=2\times7\times x\). Exam tip: identify the side from the square root of the last term.
\((a+b)^2\) में सभी भाग बिना खाली जगह के बड़ा वर्ग बनाते हैं। परीक्षा में बाहरी भुजा को पहले पढ़ें। / In \((a+b)^2\), all parts form a large square without gaps. Exam tip: read the outer side first.
C. पदों का आकार और अर्थ साफ दिखाई देता है/The shape and meaning of terms become clear
Explanation
Simple Explanation
दृश्य मॉडल से हर पद का क्षेत्र समझ में आता है। परीक्षा में चित्र से सूत्र की पुष्टि करें। / A visual model helps us understand the area of each term. Exam tip: verify the formula through the diagram.
वर्ग का क्षेत्रफल ((x+1)2) है और विस्तार \(x^2+2x+1\) मिलता है। परीक्षा में दो (x) आयतों को जोड़ना याद रखें। / The area is ((x+1)2), and the expansion is \(x^2+2x+1\). Exam tip: remember to add the two (x)-rectangles.
छोटे वर्ग की भुजा (2) है इसलिए क्षेत्रफल \(2^2=4\) होगा। परीक्षा में स्थिर पद को छोटे वर्ग से जोड़ें। / The small square has side (2), so its area is \(2^2=4\). Exam tip: connect the constant term with the small square.
((p+5)2) में दो (5p) आयत और (25) छोटा वर्ग होता है। इसलिए क्षेत्रफल \(p^2+10p+25\) है। / In ((p+5)2), there are two (5p) rectangles and a small square (25). So the area is \(p^2+10p+25\).
वर्ग का क्षेत्रफल ((a-b)2) होता है। विस्तार करने पर \(a^2-2ab+b^2\) मिलता है। / The area of the square is ((a-b)2). On expanding, it gives \(a^2-2ab+b^2\).
\(a^2-b^2\) में बड़े \(a^2\) वर्ग से छोटा \(b^2\) वर्ग हटता है। परीक्षा में घटाए गए वर्ग को पहचानें। / In \(a^2-b^2\), the smaller \(b^2\) square is removed from the larger \(a^2\) square. Exam tip: identify the removed square.
दो आयतों का कुल क्षेत्रफल \(2\cdot10\cdot1=20\) है। परीक्षा में मध्य भाग को दो बराबर आयतों से जोड़ें। / The total area of the two rectangles is \(2\cdot10\cdot1=20\). Exam tip: link the middle part with two equal rectangles.
स्थिर भाग \(2\cdot4=8\) से मिलता है। परीक्षा में संख्या वाले भागों का गुणन अलग से करें। / The constant part comes from \(2\cdot4=8\). Exam tip: multiply the number parts separately.
A. लंबाई (x+3) और चौड़ाई (x+4)/Length (x+3) and breadth (x+4)
Explanation
Simple Explanation
((x+3)(x+4)=x-2+4x+3x+12=x-2+7x+12) है। परीक्षा में मध्य पद के लिए दोनों (x)-भाग जोड़ें। / ((x+3)(x+4)=x-2+4x+3x+12=x-2+7x+12). Exam tip: add both (x)-parts for the middle term.
बड़े वर्ग की भुजा (10) है इसलिए उसका क्षेत्रफल \(10^2=100\) है। परीक्षा में बड़े और छोटे वर्ग अलग पहचानें। / The large square has side (10), so its area is \(10^2=100\). Exam tip: identify large and small squares separately.
तीन पंक्तियां और तीन स्तंभ मिलकर \(3\cdot3=9\) क्षेत्र बनाते हैं। परीक्षा में पंक्तियों और स्तंभों को गुणा करें। / Three rows and three columns make \(3\cdot3=9\) regions. Exam tip: multiply rows and columns.
\(a^2\), \(b^2\), और \(c^2\) अलग-अलग वर्गों के क्षेत्रफल हैं। परीक्षा में वर्ग पद और आयत पद अलग पहचानें। / \(a^2\), \(b^2\), and \(c^2\) are areas of separate squares. Exam tip: identify square terms and rectangle terms separately.
(ab) और (ba) बराबर क्षेत्रफल वाले दो आयत हैं। परीक्षा में गुणन के क्रम से क्षेत्रफल नहीं बदलता। / (ab) and (ba) are two rectangles with equal area. Exam tip: the order of multiplication does not change area.
वर्ग मॉडल में दो (uv) आयत होते हैं। इसलिए विस्तार \(u^2+2uv+v^2\) है। / The square model has two (uv) rectangles. Therefore the expansion is \(u^2+2uv+v^2\).
((20-2)2) में छोटा वर्ग \(2^2=4\) है। परीक्षा में दो आयत घटाने के बाद छोटा वर्ग जोड़ें। / In ((20-2)2), the small square is \(2^2=4\). Exam tip: after subtracting two rectangles, add the small square.
((x+2)(x+4)=x-2+4x+2x+8=x-2+6x+8) है। परीक्षा में स्थिर पद के कारक देखें। / ((x+2)(x+4)=x-2+4x+2x+8=x-2+6x+8). Exam tip: look at the factors of the constant term.
((x-5)2) में दो (5x) आयत घटते हैं और (25) जुड़ता है। इसलिए \(x^2-10x+25\) मिलता है। / In ((x-5)2), two (5x) rectangles are subtracted and (25) is added. So \(x^2-10x+25\) is obtained.
दो आयतों का कुल क्षेत्रफल \(2\cdot7x=14x\) है। इसलिए छोटे वर्ग की भुजा (7) है। / The total area of the two rectangles is \(2\cdot7x=14x\). So the side of the small square is (7).
B. वर्ग हटाने और पुनर्व्यवस्था मॉडल/Square removal and rearrangement model
Explanation
Simple Explanation
बड़े वर्ग से छोटा वर्ग हटाकर बचे क्षेत्र को आयत में सजाया जाता है। इससे ((a-b)(a+b)) मिलता है। / The smaller square is removed from the larger square and the remaining area is arranged as a rectangle. This gives ((a-b)(a+b)).
((25-1)(25+1)=252-12=625-1=624) है। परीक्षा में मध्य संख्या का वर्ग लेकर (1) घटाएं। / ((25-1)(25+1)=252-12=625-1=624). Exam tip: square the middle number and subtract (1).
दो आयतों का कुल क्षेत्रफल \(2\cdot2a\cdot3=12a\) है। परीक्षा में गुणांक सहित भुजा लें। / The total area of the two rectangles is \(2\cdot2a\cdot3=12a\). Exam tip: take the side along with its coefficient.
बड़े वर्ग का क्षेत्रफल \(4x^2\), मध्य भाग (12x), और छोटा वर्ग (9) है। परीक्षा में तीनों भाग जोड़ें। / The larger square area is \(4x^2\), the middle part is (12x), and the small square is (9). Exam tip: add all three parts.
स्थिर भाग \(1\cdot6=6\) से बनता है। परीक्षा में संख्या वाले छोटे आयत को देखें। / The constant part is formed by \(1\cdot6=6\). Exam tip: observe the small number rectangle.
((x+2)(x+3)=x-2+3x+2x+6=x-2+5x+6) है। परीक्षा में दो कारकों का योग (5) और गुणन (6) देखें। / ((x+2)(x+3)=x-2+3x+2x+6=x-2+5x+6). Exam tip: check that the two factors add to (5) and multiply to (6).
(30+2=32) और क्षेत्रफल \(32^2=1024\) है। परीक्षा में क्षेत्र मॉडल से भागों का योग भी कर सकते हैं। / (30+2=32), and the area is \(32^2=1024\). Exam tip: you can also add the parts of the area model.
((a-b)2) में (2ab) घटता है। यहां घटने वाला क्षेत्र \(2\cdot50\cdot3\) है। / In ((a-b)2), (2ab) is subtracted. Here the subtracted area is \(2\cdot50\cdot3\).
(x-2-4x+4=(x-2)2) है। परीक्षा में ऋण मध्य पद देखकर घटाव वाला वर्ग पहचानें। / (x-2-4x+4=(x-2)2). Exam tip: identify the subtraction square from the negative middle term.
A. क्योंकि कोना दो बार हट जाता है/Because the corner is removed twice
Explanation
Simple Explanation
घटाव मॉडल में \(b^2\) कोना दो बार हट जाता है। सही क्षेत्र के लिए उसे एक बार वापस जोड़ा जाता है। / In the subtraction model, the \(b^2\) corner is removed twice. It is added back once for the correct area.
A. भुजा (x) वाले वर्ग से भुजा (3) वाला वर्ग हटाना/Removing a square of side (3) from a square of side (x)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2-9=x^2-3^2\) है। इसलिए (x) वर्ग से (3) वर्ग हटाने का मॉडल सही है। / \(x^2-9=x^2-3^2\). Therefore removing a square of side (3) from a square of side (x) is correct.
दो आयतों का कुल क्षेत्रफल \(2\cdot3\cdot2=12\) है। परीक्षा में मध्य भाग को दो समान आयत मानें। / The total area of the two rectangles is \(2\cdot3\cdot2=12\). Exam tip: treat the middle part as two equal rectangles.
((5+2)2) का वर्ग मॉडल \(5^2\), \(5\cdot2\), \(5\cdot2\), और \(2^2\) चार भाग देता है। परीक्षा में चारों भाग जोड़ें। / The square model of ((5+2)2) gives four parts \(5^2\), \(5\cdot2\), \(5\cdot2\), and \(2^2\). Exam tip: add all four parts.
\(81=9^2\) और दो (9x) आयत मिलकर (18x) देते हैं। इसलिए पूरा वर्ग ((x+9)2) है। / \(81=9^2\), and the two (9x) rectangles give (18x). So the whole square is ((x+9)2).
दो समान आयतों का कुल क्षेत्र (8x) और छोटे वर्ग का क्षेत्र (16) है। परीक्षा में बीच का पद दो आयतों से बनता है। / The two equal rectangles have total area (8x), and the small square has area (16). Exam tip: the middle term comes from two rectangles.
छोटे वर्ग की भुजा (6) है और बड़ा भाग (x) है। परीक्षा में बाहरी भुजा भागों का योग लें। / The small square has side (6), and the large part is (x). Exam tip: take the sum of the side parts.
प्रत्येक आयत का क्षेत्र (5a) है इसलिए कुल (10a) होगा। परीक्षा में समान आयतों को दोगुना करें। / Each rectangle has area (5a), so the total is (10a). Exam tip: double the equal rectangles.
दो (3y) पट्टियां घटती हैं और (9) वापस जुड़ता है। परीक्षा में ((a-b)2) में बीच का पद ऋणात्मक रखें। / Two (3y) strips are subtracted, and (9) is added back. Exam tip: keep the middle term negative in ((a-b)2).
बड़े वर्ग से छोटे वर्ग का क्षेत्र घटता है और शेष आयत में बदला जा सकता है। परीक्षा में अंतर के वर्गों को पुनर्व्यवस्था से जोड़ें। / The small square area is subtracted from the large square, and the remainder can be rearranged into a rectangle. Exam tip: link difference of squares with rearrangement.
दो समान आयतों का क्षेत्र (pq) और (pq) होता है। परीक्षा में इन्हें जोड़कर (2pq) लिखें। / The two equal rectangles have areas (pq) and (pq). Exam tip: add them to write (2pq).
यह ((x+1)2) का क्षेत्र है। परीक्षा में (1) को \(1^2\) और (2x) को दो (x) आयतों से पहचानें। / This is the area of ((x+1)2). Exam tip: identify (1) as \(1^2\) and (2x) as two (x) rectangles.
चार भाग \(a^2\), (7a), (3a) और (21) हैं। परीक्षा में बाहरी संख्याओं का योग और गुणनफल देखें। / The four parts are \(a^2\), (7a), (3a), and (21). Exam tip: check the sum and product of the outside numbers.
((10+2)2=100+40+4=144) होता है। परीक्षा में वर्ग पहचान से तेज गणना करें। / ((10+2)2=100+40+4=144). Exam tip: use square identities for fast calculation.
किसी वर्ग का क्षेत्र उसकी भुजा के वर्ग के बराबर होता है। परीक्षा में ((u-v)2) को घटाव वाले वर्ग से जोड़ें। / The area of a square equals the square of its side. Exam tip: connect ((u-v)2) with a subtraction square.
छोटे वर्ग का क्षेत्र (36) है इसलिए उसकी भुजा (6) है। परीक्षा में अंतिम पद की वर्गमूल लें। / The small square has area (36), so its side is (6). Exam tip: take the square root of the last term.
A. क्योंकि वे बराबर और विपरीत चिन्ह वाले होते हैं/Because they are equal and have opposite signs
Explanation
Simple Explanation
एक पद (rs) और दूसरा (-rs) होता है, इसलिए वे कट जाते हैं। परीक्षा में संयुग्म गुणन में बीच के पदों को देखें। / One term is (rs) and the other is (-rs), so they cancel. Exam tip: watch the middle terms in conjugate multiplication.
आयत को (x) और (9) भागों में बांटने पर \(x^2\) और (9x) मिलते हैं। परीक्षा में वितरण नियम को क्षेत्र से समझें। / Splitting the rectangle into (x) and (9) parts gives \(x^2\) and (9x). Exam tip: understand the distributive law through area.
(2x) का वर्ग \(4x^2\) और दो आयतों का कुल क्षेत्र (4x) है। परीक्षा में गुणांक का वर्ग करना न भूलें। / The square of (2x) is \(4x^2\), and the two rectangles have total area (4x). Exam tip: do not forget to square the coefficient.
\(16=4^2\), इसलिए (a-2-16=(a+4)(a-4)) है। परीक्षा में घटाए गए वर्ग की भुजा पहचानें। / Since \(16=4^2\), (a-2-16=(a+4)(a-4)). Exam tip: identify the side of the subtracted square.
छोटे वर्ग की भुजा (5) है इसलिए उसका क्षेत्र (25) है। परीक्षा में ऋणात्मक भाग का वर्ग धनात्मक होता है। / The small square has side (5), so its area is (25). Exam tip: the square of the negative part is positive.
भुजा (a+b) वाला वर्ग \(a^2\), (ab), (ab) और \(b^2\) में बंटता है। परीक्षा में चार भागों को जोड़कर पहचान बनाएं। / A square of side (a+b) splits into \(a^2\), (ab), (ab), and \(b^2\). Exam tip: add the four parts to form the identity.
(4) और (5) से (4x), (5x) और (20) बनते हैं। परीक्षा में कोने का क्षेत्र संख्यात्मक भागों का गुणनफल होता है। / The numbers (4) and (5) make (4x), (5x), and (20). Exam tip: the corner area is the product of numerical parts.
पूर्ण वर्ग में \(x^2\) और (9) के साथ दो (3x) आयत भी होते हैं। परीक्षा में बीच का (6x) पद न छोड़ें। / A complete square has two (3x) rectangles along with \(x^2\) and (9). Exam tip: do not omit the middle term (6x).
एक ही वर्ग का क्षेत्र बाहर से ((a+b)2) और अंदर से \(a^2+2ab+b^2\) मिलता है। परीक्षा में एक ही क्षेत्र के दो रूप याद रखें। / The same square has outside area ((a+b)2) and inside area \(a^2+2ab+b^2\). Exam tip: remember two forms of the same area.
A. लंबाई (a+b) और चौड़ाई (a) वाला आयत/Rectangle with length (a+b) and breadth (a)
Explanation
Simple Explanation
आयत का क्षेत्र (a(a+b)) है और भागों का योग \(a^2+ab\) है। परीक्षा में सामान्य गुणनखंड को चित्र से पहचानें। / The rectangle area is (a(a+b)), and the sum of parts is \(a^2+ab\). Exam tip: identify the common factor from the figure.
यह संयुग्म गुणन है और बीच के पद कट जाते हैं। परीक्षा में ((a+b)(a-b)=a-2-b-2) पहचानें। / This is a conjugate product, and the middle terms cancel. Exam tip: identify ((a+b)(a-b)=a-2-b-2).
छोटे वर्ग की भुजा (2) है इसलिए क्षेत्र \(2^2=4\) होगा। परीक्षा में स्थिर भाग का वर्ग करें। / The small square has side (2), so its area is \(2^2=4\). Exam tip: square the constant part.
\(25=5^2\) और \(-10x=-2\times x\times5\), इसलिए भुजा (x-5) है। परीक्षा में ऋणात्मक बीच का पद देखें। / Since \(25=5^2\) and \(-10x=-2\times x\times5\), the side is (x-5). Exam tip: look at the negative middle term.
अंतर के वर्गों में आयाम ((a+b)) और ((a-b)) बनते हैं। परीक्षा में \(6^2-2^2=8\times4\) करें। / In difference of squares, the dimensions become ((a+b)) and ((a-b)). Exam tip: compute \(6^2-2^2=8\times4\).
B. लंबाई (x+5) और चौड़ाई (x) वाला आयत/Rectangle with length (x+5) and breadth (x)
Explanation
Simple Explanation
आयत का क्षेत्र (x(x+5)=x-2+5x) है। परीक्षा में सामान्य (x) को चौड़ाई की तरह देखें। / The rectangle area is (x(x+5)=x-2+5x). Exam tip: see the common (x) as the breadth.
हर अलग जोड़ी के दो समान आयत बनते हैं इसलिए (bc) दो बार आता है। परीक्षा में जोड़ीदार आयत गिनें। / Each different pair forms two equal rectangles, so (bc) appears twice. Exam tip: count paired rectangles.
\(64=8^2\) और \(16x=2\times8\times x\), इसलिए भुजा (x+8) है। परीक्षा में अंतिम पद की वर्गमूल से जांचें। / Since \(64=8^2\) and \(16x=2\times8\times x\), the side is (x+8). Exam tip: check using the square root of the last term.
ये सभी वर्ग या आयत के क्षेत्र को दर्शाते हैं। परीक्षा में पहचान के पदों को क्षेत्र भागों की तरह समझें। / All these represent areas of squares or rectangles. Exam tip: understand identity terms as area parts.
ये पद ((r+s)2) के क्षेत्र मॉडल से आते हैं। परीक्षा में (2rs) को दो समान आयतों से पहचानें। / These terms come from the area model of ((r+s)2). Exam tip: identify (2rs) from two equal rectangles.
((9+1)2) में \(9^2\), दो (9) आयत और \(1^2\) जुड़ते हैं। परीक्षा में दो समान आयतों को न भूलें। / In ((9+1)2), \(9^2\), two (9) rectangles, and \(1^2\) are added. Exam tip: do not forget the two equal rectangles.
A. आयत ((x+3)(x+4)) में/In the rectangle ((x+3)(x+4))
Explanation
Simple Explanation
छोटा कोना \(3\times4=12\) से बनता है। परीक्षा में आयत मॉडल में स्थिर पद को कोने से जोड़ें। / The small corner is formed by \(3\times4=12\). Exam tip: connect the constant term with the corner in a rectangle model.
\(4=2^2\), इसलिए भुजा (2) का छोटा वर्ग हटाया गया है। परीक्षा में घटाए गए वर्ग की भुजा निकालें। / Since \(4=2^2\), a small square of side (2) has been removed. Exam tip: find the side of the subtracted square.
छोटा वर्ग \(7^2=49\) और दो आयतों का कुल \(2\times7x=14x\) है। परीक्षा में स्थिर भाग को वर्ग और आयत दोनों में उपयोग करें। / The small square is \(7^2=49\), and the two rectangles total \(2\times7x=14x\). Exam tip: use the constant part in both square and rectangles.
B. अंतर के वर्गों की पहचान/Difference of squares identity
Explanation
Simple Explanation
(122-82=(12+8)(12-8)) से तुरंत क्षेत्र मिलता है। परीक्षा में अंतर दिखे तो योग और अंतर का गुणन करें। / (122-82=(12+8)(12-8)) gives the area quickly. Exam tip: when a difference appears, multiply sum and difference.
क्रॉस आयत (6x) और (x) हैं, जिनका योग (7x) है। परीक्षा में दोनों (x) आयत जोड़ें। / The cross rectangles are (6x) and (x), whose sum is (7x). Exam tip: add both (x) rectangles.
(b) का वर्ग बनने से \(b^2\) धनात्मक रहता है। परीक्षा में केवल बीच का पद ऋणात्मक होता है। / Because (b) is squared, \(b^2\) remains positive. Exam tip: only the middle term is negative.
दोनों भागों के क्षेत्र \(x^2\) और (8x) हैं। परीक्षा में जुड़ी आकृतियों के क्षेत्र जोड़ें। / The areas of the two parts are \(x^2\) and (8x). Exam tip: add the areas of joined shapes.
बीच का कुल पद (20x) है इसलिए प्रत्येक आयत (10x) का होगा। परीक्षा में बीच के पद को दो बराबर भागों में बांटें। / The total middle term is (20x), so each rectangle has area (10x). Exam tip: split the middle term into two equal parts.
B. भुजा (x) के वर्ग से भुजा (5) का वर्ग हटाकर/By removing a square of side (5) from a square of side (x)
Explanation
Simple Explanation
यह अंतर के वर्गों की दृश्य रचना है। परीक्षा में हटाए गए वर्ग के बाद बचा भाग आयत बनता है। / This is the visual construction of difference of squares. Exam tip: after removing the square, the remaining part forms a rectangle.
मुख्य भाग \(a^2\), (ab), (ab) और \(b^2\) होते हैं। परीक्षा में चारों क्षेत्र भाग गिनें। / The main parts are \(a^2\), (ab), (ab), and \(b^2\). Exam tip: count all four area parts.
((2x+3)2) में \(4x^2\), दो (6x) और (9) आते हैं। परीक्षा में दोनों समान आयत जोड़ें। / In ((2x+3)2), \(4x^2\), two (6x), and (9) appear. Exam tip: add both equal rectangles.
तीनों अलग भुजा भागों के अपने-अपने वर्ग बनते हैं। परीक्षा में वर्गीय भाग और आयताकार भाग अलग पहचानें। / Each of the three side parts forms its own square. Exam tip: distinguish square parts and rectangular parts.
(x) को (2x) और (5) से गुणा करने पर \(2x^2+5x\) मिलता है। परीक्षा में चौड़ाई को दोनों भागों से गुणा करें। / Multiplying (x) by (2x) and (5) gives \(2x^2+5x\). Exam tip: multiply the breadth by both parts.
B. यह बीजीय पदों को क्षेत्रों के रूप में दिखाता है/It shows algebraic terms as areas
Explanation
Simple Explanation
दृश्य मॉडल में वर्ग और आयत बीजीय पदों का अर्थ समझाते हैं। परीक्षा में चित्र को सूत्र से जोड़ें। / In a visual model, squares and rectangles explain the meaning of algebraic terms. Exam tip: connect the diagram with the formula.
(112-12=(11+1)(11-1)=12\times10=120) है। परीक्षा में अंतर के वर्गों से तेजी से हल करें। / (112-12=(11+1)(11-1)=12\times10=120). Exam tip: solve quickly using difference of squares.
क्योंकि (2+3=5), भुजा (x+5) बनती है और क्षेत्र \(x^2+10x+25\) होता है। परीक्षा में पहले भुजा के भाग सरल करें। / Since (2+3=5), the side becomes (x+5), and the area is \(x^2+10x+25\). Exam tip: simplify side parts first.
A. दोनों अभिव्यक्तियां बराबर होती हैं/Both expressions are equal
Explanation
Simple Explanation
एक ही आकृति का क्षेत्र बदलता नहीं है, इसलिए दोनों रूप बराबर होते हैं। परीक्षा में यही विचार बीजीय पहचान का आधार है। / The area of the same figure does not change, so both forms are equal. Exam tip: this idea is the basis of an algebraic identity.
भुजा (a+1) है इसलिए क्षेत्रफल ((a+1)2) होगा। परीक्षा में चारों भागों का योग देखें। / The side is (a+1), so the area is ((a+1)2). Exam tip: check the sum of all four parts.
दो (3x) आयत और \(9=3^2\) मिलकर ((x+3)2) बनाते हैं। परीक्षा में छोटा वर्ग भुजा बताता है। / Two (3x) rectangles and \(9=3^2\) form ((x+3)2). Exam tip: the small square tells the side part.
यह योग और अंतर का गुणन है इसलिए \(p^2-16\) मिलता है। परीक्षा में \(4^2\) को पहचानें। / This is the product of sum and difference, so it gives \(p^2-16\). Exam tip: identify \(4^2\).
छोटे कोने की भुजा (6) है इसलिए उसका क्षेत्रफल (36) है। परीक्षा में स्थिर भाग का वर्ग लें। / The small corner has side (6), so its area is (36). Exam tip: square the constant part.
दो आयतों का योग \(2\cdot m\cdot 2=4m\) होता है। परीक्षा में बीच के दोनों आयत जोड़ें। / The sum of the two rectangles is \(2\cdot m\cdot 2=4m\). Exam tip: add both middle rectangles.
बचा क्षेत्रफल (b-2-c-2=(b+c)(b-c)) है। परीक्षा में वर्गों के अंतर को आयत से जोड़ें। / The remaining area is (b-2-c-2=(b+c)(b-c)). Exam tip: connect difference of squares with a rectangle.
\(4=2^2\) और बीच का पद (4x) है इसलिए भुजा (x+2) है। परीक्षा में अंतिम पद का वर्गमूल देखें। / Since \(4=2^2\) and the middle term is (4x), the side is (x+2). Exam tip: check the square root of the last term.
((-5)2=25) होता है इसलिए अंतिम पद धनात्मक है। परीक्षा में ऋण संख्या का वर्ग धनात्मक रखें। / ((-5)2=25), so the last term is positive. Exam tip: keep the square of a negative number positive.
\(25=5^2\) और \(2\cdot u\cdot 5=10u\) है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग रूप पहचानें। / \(25=5^2\) and \(2\cdot u\cdot 5=10u\). Exam tip: identify the perfect square form.
छोटे कोने का क्षेत्रफल \(2\cdot 6=12\) है। परीक्षा में संख्यात्मक भागों का गुणन करें। / The small corner area is \(2\cdot 6=12\). Exam tip: multiply the numerical parts.
A. भुजाएँ (a) और (b) वाले आयत/Rectangles with sides (a) and (b)
Explanation
Simple Explanation
दोनों समान भागों का क्षेत्रफल (ab) होता है। परीक्षा में बीच के पद (2ab) को दो आयतों से समझें। / Both equal parts have area (ab). Exam tip: understand the middle term (2ab) through two rectangles.
\(16=4^2\) है इसलिए (k-2-16=(k+4)(k-4)) होता है। परीक्षा में वर्गों का अंतर पहचानें। / Since \(16=4^2\), (k-2-16=(k+4)(k-4)). Exam tip: identify difference of squares.
क्षेत्रफल (t(t+7)=t-2+7t) है। परीक्षा में आयत की दोनों भुजाएँ गुणा करें। / The area is (t(t+7)=t-2+7t). Exam tip: multiply both sides of the rectangle.
((a-b)2=a-2-2ab+b-2) होता है। परीक्षा में घटाव वाले मॉडल में मध्य पद ऋणात्मक रखें। / ((a-b)2=a-2-2ab+b-2). Exam tip: keep the middle term negative in a subtraction model.
प्रत्येक आयत की भुजाएँ (q) और (8) हैं इसलिए क्षेत्रफल (8q) है। परीक्षा में एक आयत और दोनों आयतों में अंतर रखें। / Each rectangle has sides (q) and (8), so its area is (8q). Exam tip: distinguish one rectangle from both rectangles.
\(36=6^2\) और मध्य पद (-12z) है इसलिए भुजा (z-6) है। परीक्षा में चिन्ह मध्य पद से पहचानें। / Since \(36=6^2\) and the middle term is (-12z), the side is (z-6). Exam tip: identify the sign from the middle term.
स्थिर पद \(1\cdot 9=9\) है। परीक्षा में कोने के छोटे आयत को स्थिर पद मानें। / The constant term is \(1\cdot 9=9\). Exam tip: treat the small corner rectangle as the constant term.
A. क्योंकि (2a) और (-2a) कट जाते हैं/Because (2a) and (-2a) cancel
Explanation
Simple Explanation
योग और अंतर के गुणन में समान मध्य पद विपरीत चिन्हों से कटते हैं। परीक्षा में कटने वाले पद पहचानें। / In product of sum and difference, equal middle terms cancel with opposite signs. Exam tip: identify the cancelling terms.
छोटे कोने का क्षेत्रफल (49) है इसलिए उसकी भुजा (7) है। परीक्षा में क्षेत्रफल का वर्गमूल लें। / The small corner area is (49), so its side is (7). Exam tip: take the square root of the area.
A. भुजाएँ (s) और (5) वाले वर्ग/Squares with sides (s) and (5)
Explanation
Simple Explanation
\(25=5^2\) है इसलिए यह भुजा (s) और (5) वाले वर्गों का अंतर है। परीक्षा में घटाए गए वर्ग की भुजा पहचानें। / Since \(25=5^2\), it is the difference of squares with sides (s) and (5). Exam tip: identify the side of the removed square.
छोटे कोने की भुजा (2) है इसलिए क्षेत्रफल (4) है। परीक्षा में स्थिर भाग को अलग वर्ग करें। / The small corner has side (2), so its area is (4). Exam tip: square the constant part separately.
कुल मध्य भाग \(2\cdot x\cdot 4=8x\) है। परीक्षा में दो समान आयतों का योग करें। / The total middle part is \(2\cdot x\cdot 4=8x\). Exam tip: add the two equal rectangles.
(a(2a+1)=2a-2+a) होता है। परीक्षा में एक भुजा को दोनों भागों से गुणा करें। / (a(2a+1)=2a-2+a). Exam tip: multiply one side by both parts of the other side.
((x-2)2) में मध्य भाग \(2\cdot x\cdot -2=-4x\) है। परीक्षा में घटाव वाले भाग का चिन्ह रखें। / In ((x-2)2), the middle part is \(2\cdot x\cdot -2=-4x\). Exam tip: keep the sign of the subtraction part.
बचा क्षेत्रफल \(9^2-2^2=81-4=77\) है। परीक्षा में पहले दोनों वर्गों का क्षेत्रफल निकालें। / The remaining area is \(9^2-2^2=81-4=77\). Exam tip: find the areas of both squares first.
कटाकर सजाने से आकार बदलता है पर क्षेत्रफल वही रहता है। परीक्षा में पुनर्व्यवस्था में क्षेत्रफल सुरक्षित रहता है। / Rearrangement changes the shape but keeps the area the same. Exam tip: area is preserved in rearrangement.
छोटे भाग की भुजा (3b) है इसलिए क्षेत्रफल \(9b^2\) है। परीक्षा में गुणांक का भी वर्ग करें। / The small part has side (3b), so its area is \(9b^2\). Exam tip: square the coefficient too.
दोनों भुजाएँ समान हैं इसलिए यह भुजा (x+5) वाले वर्ग का मॉडल है। परीक्षा में समान भुजाएँ देखकर वर्ग पहचानें। / Both sides are equal, so it is a square model of side (x+5). Exam tip: identify a square from equal sides.
यह ((x-4)2=x-2-8x+16) का घटाव मॉडल है। परीक्षा में दो पट्टियों का कुल (8x) समझें। / This is the subtraction model of ((x-4)2=x-2-8x+16). Exam tip: understand the two strips as total (8x).
चार भागों में (3x) और (4x) जैसे पद आते हैं। परीक्षा में आयत को चार क्षेत्रों में बाँटें। / The four parts include (3x) and (4x). Exam tip: divide the rectangle into four regions.
यह भुजा (a+b) वाले पूरे वर्ग का क्षेत्रफल है। परीक्षा में भागों के योग को बाहरी भुजा से मिलाएँ। / It is the area of the whole square with side (a+b). Exam tip: match the sum of parts with the outer side.
यह ((x+y)2) का विस्तार है इसलिए बाहरी भुजा (x+y) है। परीक्षा में दो (xy) आयत देखें। / This is the expansion of ((x+y)2), so the outer side is (x+y). Exam tip: look for two (xy) rectangles.
\(5\cdot 6=30\) और (5+6=11) है। परीक्षा में स्थिर गुणन और मध्य योग दोनों जाँचें। / \(5\cdot 6=30\) and (5+6=11). Exam tip: check both constant product and middle sum.
बड़े वर्गाकार भाग की भुजा (2a) है इसलिए क्षेत्रफल \(4a^2\) है। परीक्षा में पूरे पद (2a) का वर्ग करें। / The large square part has side (2a), so its area is \(4a^2\). Exam tip: square the whole term (2a).
भुजा (x+10) वाले वर्ग में छोटे कोने का क्षेत्रफल \(10^2=100\) होता है। परीक्षा में बाहरी भुजा से मॉडल पहचानें। / In a square of side (x+10), the small corner area is \(10^2=100\). Exam tip: identify the model from the outer side.
\(9=3^2\) है इसलिए हटाए गए छोटे वर्ग की भुजा (3) है। परीक्षा में हटे हुए क्षेत्रफल का वर्गमूल लें। / Since \(9=3^2\), the side of the removed small square is (3). Exam tip: take the square root of the removed area.
\(25=5^2\) है इसलिए कुल मध्य पद \(2\cdot x\cdot 5=10x\) होगा। परीक्षा में दोनों बराबर आयत जोड़ें। / Since \(25=5^2\), the total middle term is \(2\cdot x\cdot 5=10x\). Exam tip: add both equal rectangles.
((h+6)(h-6)=h-2-36) है। परीक्षा में योग और अंतर का गुणन तुरंत पहचानें। / ((h+6)(h-6)=h-2-36). Exam tip: quickly identify product of sum and difference.
कुल मध्य पद (20x) है इसलिए प्रत्येक आयत (10x) है। परीक्षा में कुल मध्य पद को दो बराबर भागों में बाँटें। / The total middle term is (20x), so each rectangle is (10x). Exam tip: divide the total middle term into two equal parts.
(5) और (8) का गुणन (40) और योग (13) है। परीक्षा में कोना और मध्य पद साथ मिलाएँ। / The numbers (5) and (8) have product (40) and sum (13). Exam tip: match the corner and middle term together.
A. भुजा (a) वाले वर्ग से/From a square of side (a)
Explanation
Simple Explanation
\(a^2\) भाग भुजा (a) वाले छोटे वर्ग का क्षेत्रफल है। परीक्षा में हर पद का आकार पहचानें। / The \(a^2\) part is the area of a small square of side (a). Exam tip: identify the shape for each term.
मध्य पद \(2\cdot x\cdot 2y=4xy\) है। परीक्षा में दूसरे भाग (2y) को पूरा मानें। / The middle term is \(2\cdot x\cdot 2y=4xy\). Exam tip: treat the second part (2y) as a whole.
((x-7)2) में बीच का पद (-14x) और अंतिम पद (49) है। परीक्षा में \(2\cdot 7\) याद रखें। / In ((x-7)2), the middle term is (-14x) and the last term is (49). Exam tip: remember \(2\cdot 7\).
A. वर्गों के अंतर का मॉडल/Difference of squares model
Explanation
Simple Explanation
\(x^2-y^2\) को काटकर ((x+y)(x-y)) आयत बनाया जा सकता है। परीक्षा में हटाए गए वर्ग को देखें। / \(x^2-y^2\) can be cut and rearranged into a ((x+y)(x-y)) rectangle. Exam tip: observe the removed square.
A. क्योंकि दोनों उसी एक वर्ग का क्षेत्रफल बताते हैं/Because both describe the area of the same square
Explanation
Simple Explanation
एक ही वर्ग को बाहर से और भागों से पढ़ने पर समान क्षेत्रफल मिलता है। परीक्षा में यही दृश्य प्रमाण का मुख्य विचार है। / Reading the same square from outside and from parts gives equal area. Exam tip: this is the main idea of visual proof.
