Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
आयत का क्षेत्रफल \(\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई}\) होता है। इसलिए \((x+4)(x-3)=154\), अर्थात् \(x^2+x-166=0\)। द्विघात सूत्र से \(x=\frac{-1\pm\sqrt{665}}{2}\) प्राप्त होता है। आयत की चौड़ाई धनात्मक होने के लिए \(x>3\) होना चाहिए, इसलिए मान्य हल \(x=\frac{\sqrt{665}-1}{2}\) है। परीक्षा में आयामों की धनात्मकता जाँचना न भूलें; ऋणात्मक या अमान्य मूल स्वीकार नहीं किया जाता। / The area of a rectangle is length multiplied by breadth. Thus, \((x+4)(x-3)=154\), which gives \(x^2+x-166=0\). Using the quadratic formula, \(x=\frac{-1\pm\sqrt{665}}{2}\). Since the breadth \((x-3)\) must be positive, we require \(x>3\), so the valid value is \(x=\frac{\sqrt{665}-1}{2}\). In such problems, always check that both dimensions are positive; an inadmissible root cannot represent a rectangle.
मान लें कि आयत की चौड़ाई \(x\) सेमी है। तब लंबाई \(x+3\) सेमी होगी। क्षेत्रफल के अनुसार \(x(x+3)=180\), अतः \(x^2+3x-180=0\)। इसका गुणनखंडन \((x+15)(x-12)=0\) है, इसलिए \(x=12\) या \(x=-15\)। लंबाई को धनात्मक होना चाहिए, इसलिए \(-15\) अस्वीकार कर \(x=12\) सेमी लिया जाता है। परीक्षा-युक्ति: आयामों से जुड़े प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को हमेशा संदर्भ के आधार पर हटाएँ। / Let the breadth of the rectangle be \(x\) cm. Its length is then \(x+3\) cm. Using the area, \(x(x+3)=180\), so \(x^2+3x-180=0\). Factoring gives \((x+15)(x-12)=0\), hence \(x=12\) or \(x=-15\). Since a length cannot be negative, \(-15\) is rejected and the breadth is 12 cm. Exam tip: In geometrical word problems, discard any negative root because dimensions must be positive.
मान लें कि हाल की चौड़ाई \(x\) मीटर है। तब उसकी लंबाई \(x+2\) मीटर होगी। क्षेत्रफल के अनुसार \(x(x+2)=168\), अर्थात \(x^2+2x-168=0\)। इसका गुणनखंडन \((x+14)(x-12)=0\) है, इसलिए \(x=12\) या \(x=-14\)। लंबाई-चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः चौड़ाई 12 मीटर है। 10 मीटर लेने पर क्षेत्रफल \(10\times12=120\) वर्ग मीटर होगा, इसलिए वह विकल्प गलत है। परीक्षा-युक्ति: आयाम से संबंधित प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें। / Let the breadth of the hall be \(x\) metres. Its length will then be \(x+2\) metres. Using the area, \(x(x+2)=168\), so \(x^2+2x-168=0\). Factoring gives \((x+14)(x-12)=0\), yielding \(x=12\) or \(x=-14\). Since a length cannot be negative, the breadth is 12 metres. For example, 10 metres would give an area of \(10\times12=120\) square metres, so it is not correct. Exam tip: reject any negative root when solving for a physical dimension.
मान लें कि चौड़ाई \(x\) मीटर है। तब लंबाई \(2x+2\) मीटर होगी। क्षेत्रफल के आधार पर \(x(2x+2)=180\), अर्थात् \(x^2+x-90=0\)। इसका गुणनखंड \((x+10)(x-9)=0\) है, इसलिए \(x=9\) या \(x=-10\)। लंबाई और चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकतीं, अतः चौड़ाई \(9\) मीटर है। परीक्षा टिप: आयाम से संबंधित प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को हमेशा अस्वीकार करें। / Let the breadth be \(x\) metres. Then the length is \(2x+2\) metres. Using area, \(x(2x+2)=180\), which gives \(x^2+x-90=0\). Factoring, \((x+10)(x-9)=0\), so \(x=9\) or \(x=-10\). Since a length cannot be negative, the breadth is \(9\) metres. Exam tip: In dimension-based problems, reject any negative root as physically meaningless.
एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 9 मीटर अधिक है। यदि लंबाई 4 मीटर और चौड़ाई 3 मीटर बढ़ा दी जाए, तो नया क्षेत्रफल 1190 वर्ग मीटर हो जाता है। आयत की मूल चौड़ाई कितनी है?
मूल चौड़ाई को \(x\) मीटर मानें। तब मूल लंबाई \(x+9\) मीटर होगी। बढ़ाने के बाद नई लंबाई \(x+13\) और नई चौड़ाई \(x+3\) होगी। इसलिए \((x+13)(x+3)=1190\), अर्थात् \(x^2+16x-1151=0\)। द्विघात सूत्र से \(x=\frac{-16\pm\sqrt{4860}}{2}=-8\pm9\sqrt{15}\) मिलता है। लंबाई धनात्मक होने के कारण \(x=-8+9\sqrt{15}\) मीटर लिया जाएगा; ऋणात्मक मूल मान्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: आयामों में वृद्धि होने पर पहले नए आयाम लिखकर क्षेत्रफल का समीकरण बनाइए। / Let the original breadth be \(x\) m. Then the original length is \(x+9\) m. After the increases, the new length and breadth are \(x+13\) and \(x+3\) m, respectively. Thus, \((x+13)(x+3)=1190\), which gives \(x^2+16x-1151=0\). Using the quadratic formula, \(x=\frac{-16\pm\sqrt{4860}}{2}=-8\pm9\sqrt{15}\). Since a breadth must be positive, the valid value is \(x=-8+9\sqrt{15}\) m; the other root is negative. Exam tip: write the changed dimensions carefully before forming the area equation.
चौड़ाई 9 इकाई है। प्रश्न के अनुसार लंबाई \(4(9-3)=4\times6=24\) इकाई होगी। इसलिए क्षेत्रफल \(\text{लंबाई}\times\text{चौड़ाई}=24\times9=216\) वर्ग इकाई है। 108 लेने पर लंबाई और चौड़ाई का सही गुणनफल नहीं बनता। परीक्षा में ऐसे वाक्यांशों में पहले कोष्ठक के भीतर का मान निकालें, फिर दिए गए गुणक से गुणा करें। / The breadth is 9 units. According to the statement, the length is \(4(9-3)=4\times6=24\) units. Therefore, the area is \(\text{length}\times\text{breadth}=24\times9=216\) square units. The value 108 does not result from multiplying the correct length and breadth. In such questions, first evaluate the quantity inside the brackets and then apply the stated multiplier.
मान लें कि चौड़ाई \(x\) इकाई है। तब लंबाई \(2x\) इकाई होगी। क्षेत्रफल के आधार पर \(x \times 2x=242\), अर्थात् \(2x^2=242\), इसलिए \(x^2=121\) और \(x=\pm 11\)। लंबाई और चौड़ाई धनात्मक होने के कारण चौड़ाई \(11\) इकाई है। \(22\) आयत की लंबाई होगी, चौड़ाई नहीं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक माप के प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें। / Let the breadth be \(x\) units. Then the length is \(2x\) units. Using area, \(x\times 2x=242\), so \(2x^2=242\), giving \(x^2=121\) and \(x=\pm 11\). Since length and breadth must be positive, the breadth is \(11\) units. The value \(22\) represents the length, not the breadth. Exam tip: reject the negative root when solving measurement problems.
मान लें कि आयत की चौड़ाई \(x\) इकाई है। तब लंबाई \(x+5\) इकाई होगी। क्षेत्रफल से \(x(x+5)=204\), अर्थात् \(x^2+5x-204=0\)। इसका गुणनखंड \((x-12)(x+17)=0\) है, इसलिए धनात्मक चौड़ाई \(x=12\) इकाई और लंबाई \(12+5=17\) इकाई होगी। 12 इकाई चौड़ाई है, लंबाई नहीं। परीक्षा युक्ति: आयामों के लिए ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें। / Let the breadth be \(x\) units. Then the length is \(x+5\) units. From the area, \(x(x+5)=204\), so \(x^2+5x-204=0\). Factoring gives \((x-12)(x+17)=0\); hence the positive breadth is \(12\) units and the length is \(12+5=17\) units. Thus, 12 units is the breadth, not the length. Exam tip: reject the negative root because a rectangle’s dimensions must be positive.
चौड़ाई 8 है। इसलिए लंबाई = \(3(8-2)=3\times6=18\)। अतः आयत का क्षेत्रफल = लंबाई \(\times\) चौड़ाई = \(18\times8=144\) वर्ग इकाई। ध्यान रखें कि “चौड़ाई में से 2 घटाकर उसकी 3 गुनी” का अर्थ \(3(8-2)\) है, न कि \(3\times8-2\)। / The breadth is 8, so the length is \(3(8-2)=3\times6=18\). Therefore, the area is length \(\times\) breadth = \(18\times8=144\) square units. Exam tip: “three times the number obtained by subtracting 2” means \(3(8-2)\), not \(3\times8-2\).
मान लीजिए आयत की चौड़ाई \(x\) इकाई है। तब उसकी लंबाई \(3x\) इकाई होगी। क्षेत्रफल के सूत्र से \(x\times 3x=180\), अर्थात \(3x^2=180\)। इसलिए \(x^2=60\) और चूँकि चौड़ाई धनात्मक होती है, \(x=\sqrt{60}=2\sqrt{15}\) इकाई। अतः सही उत्तर विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: लंबाई और चौड़ाई जैसे मापों के लिए द्विघात समीकरण का केवल धनात्मक मूल लें। विकल्प C \(15\) लेने पर \(3x^2=675\), जो दिए गए क्षेत्रफल से मेल नहीं खाता। / Let the breadth be \(x\) units. Then the length is \(3x\) units. Using the area formula, \(x\times 3x=180\), so \(3x^2=180\). Hence, \(x^2=60\), and since a breadth must be positive, \(x=\sqrt{60}=2\sqrt{15}\) units. Therefore, option A is correct. Exam tip: For dimensions such as length and breadth, select only the positive root of the quadratic equation. Option C, \(15\), does not satisfy the given area because \(3(15)^2\neq 180\).
मान लेते हैं कि बगीचे की चौड़ाई \(x\) इकाई है। तब लंबाई \(x+8\) इकाई होगी और \(x(x+8)=240\), अर्थात् \(x^2+8x-240=0\)। इसका गुणनखंड \((x-12)(x+20)=0\) है, इसलिए \(x=12\) या \(x=-20\)। लंबाई और चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकतीं, इसलिए चौड़ाई 12 इकाई है। परीक्षा टिप: क्षेत्रफल वाले आयत के प्रश्नों में पहले एक आयाम को \(x\) मानकर दूसरा आयाम लिखें और ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें। / Let the breadth be \(x\) units. Then the length is \(x+8\) units, so \(x(x+8)=240\), giving \(x^2+8x-240=0\). Factoring, \((x-12)(x+20)=0\), so \(x=12\) or \(x=-20\). Since a length cannot be negative, the breadth is 12 units. Exam tip: In rectangle-area problems, assign \(x\) to one dimension, express the other in terms of \(x\), and reject any negative root.
मान लें कि चौड़ाई \(x\) इकाई है। तब लंबाई \(x+3\) इकाई होगी और \(x(x+3)=70\), अर्थात \(x^2+3x-70=0\)। इसका गुणनखंड \((x+10)(x-7)=0\) है। चौड़ाई धनात्मक होने के कारण \(x=7\) लिया जाएगा, इसलिए लंबाई \(7+3=10\) इकाई है। \(-10\) को चौड़ाई नहीं माना जा सकता। परीक्षा-युक्ति: आयामों से संबंधित प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें। / Let the breadth be \(x\) units. Then the length is \(x+3\) units, so \(x(x+3)=70\), or \(x^2+3x-70=0\). Factoring gives \((x+10)(x-7)=0\). Since a breadth must be positive, \(x=7\), and the length is \(7+3=10\) units. The root \(-10\) is not physically meaningful. Exam tip: In geometry word problems, reject roots that make a length or breadth negative.
एक आयत की लंबाई \\(2x+1\\) और चौड़ाई \\(x-4\\) है। यदि उसका क्षेत्रफल \\(45\\) वर्ग इकाई है, तो इस स्थिति को दर्शाने वाला सही द्विघात समीकरण कौन-सा है?
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई, इसलिए \\((2x+1)(x-4)=45\\)। बाईं ओर का विस्तार करने पर \\(2x^2-8x+x-4=2x^2-7x-4\\) मिलता है। अतः \\(2x^2-7x-4=45\\), यानी \\(2x^2-7x-49=0\\)। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: क्षेत्रफल वाले प्रश्नों में पहले गुणनफल का समीकरण बनाएँ और फिर सभी पदों को एक ही तरफ लाकर शून्य के बराबर करें। / The area of a rectangle is length × breadth, so \\((2x+1)(x-4)=45\\). Expanding the product gives \\(2x^2-8x+x-4=2x^2-7x-4\\). Therefore, \\(2x^2-7x-4=45\\), which simplifies to \\(2x^2-7x-49=0\\). Hence, option A is correct. Exam tip: For area-based questions, first form the product equation and then bring all terms to one side to make it equal to zero.
एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 7 इकाई अधिक है और उसका क्षेत्रफल 120 वर्ग इकाई है। यदि चौड़ाई \(x\) इकाई है, तो \(x\) के लिए बनने वाला द्विघात समीकरण कौन-सा है?
चौड़ाई \(x\) इकाई है, इसलिए लंबाई \(x+7\) इकाई होगी। क्षेत्रफल के अनुसार \(x(x+7)=120\)। विस्तार करने पर \(x^2+7x=120\), अतः \(x^2+7x-120=0\) प्राप्त होता है। विकल्प B में 7 घटाया गया है, जबकि लंबाई चौड़ाई से 7 अधिक दी गई है। परीक्षा टिप: आयत के प्रश्नों में पहले लंबाई और चौड़ाई के व्यंजक लिखकर उनका गुणन क्षेत्रफल के बराबर रखें। / The breadth is \(x\) units, so the length is \(x+7\) units. Using area, \(x(x+7)=120\). On expanding, \(x^2+7x=120\), so \(x^2+7x-120=0\). Option B incorrectly subtracts 7, whereas the length is 7 more than the breadth. Exam tip: In rectangle word problems, first express both dimensions and set their product equal to the area.
