(A) has 3 elements, so \(A \times A\) has 9 pairs.
Step 2
Why this answer is correct
A reflexive relation must contain 3 self-pairs, while the remaining (9-3=6) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
Hence the number of reflexive relations is \(2^6=64\). चरण 1: (A) में 3 तत्व हैं, इसलिए \(A \times A\) में (9) युग्म होंगे। चरण 2: परावर्ती संबंध में 3 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं, बाकी (9-3=6) युग्म चुने या छोड़े जा सकते हैं। चरण 3: इसलिए कुल संख्या \(2^6=64\) होगी।
Reflexivity fixes 4 diagonal pairs, so (16-4=12) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
Each optional pair has two choices, giving \(2^{12}\). चरण 1: 4 तत्वों के लिए \(A \times A\) में (16) युग्म होंगे। चरण 2: परावर्ती होने के लिए 4 विकर्ण युग्म निश्चित रहेंगे, इसलिए वैकल्पिक युग्म (16-4=12) हैं। चरण 3: हर वैकल्पिक युग्म के लिए दो चुनाव हैं, अतः संख्या \(2^{12}\) है।
In a reflexive relation, (n) self-pairs are compulsory, so \(n^2-n\) pairs are free.
Step 3
Exam Tip
Therefore the number is \(2^{n^2-n}\). चरण 1: \(A \times A\) में \(n^2\) युग्म होते हैं। चरण 2: परावर्ती संबंध में (n) अपने-अपने युग्म अनिवार्य होते हैं, इसलिए बाकी \(n^2-n\) युग्म स्वतंत्र हैं। चरण 3: इसलिए कुल परावर्ती संबंध \(2^{n^2-n}\) होते हैं।
For (A), the required pairs are ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)).
Step 2
Why this answer is correct
Only ((3,3)) is missing in the given relation.
Step 3
Exam Tip
So adding one pair is enough. चरण 1: (A) के लिए ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) जरूरी हैं। चरण 2: दिए गए संबंध में केवल ((3,3)) अनुपस्थित है। चरण 3: इसलिए एक युग्म जोड़ना पर्याप्त है।
A reflexive relation needs self-pairs for (a,b,c,d).
Step 2
Why this answer is correct
((a,a)) and ((c,c)) are present, but ((b,b)) and ((d,d)) are missing.
Step 3
Exam Tip
Identifying missing diagonal pairs is the key. चरण 1: परावर्ती संबंध में (a,b,c,d) सभी के अपने-अपने युग्म चाहिए। चरण 2: ((a,a)) और ((c,c)) दिए हैं, पर ((b,b)) और ((d,d)) नहीं हैं। चरण 3: अनुपस्थित विकर्ण युग्मों को पहचानना ऐसे प्रश्नों की कुंजी है।
A. क्योंकि हर (a) के लिए \(a\le a\) सत्य है/Because \(a\le a\) is true for every (a)
Step 1
Concept
To test reflexivity, put ((a,a)) in the rule.
Step 2
Why this answer is correct
Every number is equal to itself, so \(a\le a\) is true.
Step 3
Exam Tip
In a \(\le\) relation, the equality part gives reflexivity. चरण 1: परावर्ती जांच में ((a,a)) को नियम में रखना होता है। चरण 2: हर संख्या अपने बराबर होती है, इसलिए \(a\le a\) सत्य है। चरण 3: \(\le\) वाले संबंध में बराबरी का भाग परावर्ती गुण देता है।
Under (a<b), (1<1) is false, so ((1,1)) is not formed.
Step 3
Exam Tip
Strict inequality does not include self-pairs. चरण 1: परावर्ती संबंध के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) चाहिए। चरण 2: नियम (a<b) में (1<1) असत्य है, इसलिए ((1,1)) नहीं बनेगा। चरण 3: कठोर असमानता में अपने-अपने युग्म नहीं आते।
A. हाँ, क्योंकि (a-a=0) और (0) (3) से विभाज्य है/Yes, because (a-a=0) and (0) is divisible by (3)
Step 1
Concept
For reflexivity, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
Then (a-b=a-a=0), and (0) is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
In difference-based relations, quickly test (a-a). चरण 1: परावर्ती जांच में (b=a) रखें। चरण 2: तब (a-b=a-a=0) मिलता है, और (0) (3) से विभाज्य माना जाता है। चरण 3: अंतर आधारित संबंधों में (a-a) तुरंत जांचें।
A. क्योंकि (a+a=2a) सम होता है/Because (a+a=2a) is even
Step 1
Concept
Reflexivity needs ((a,a)) for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
For ((a,a)), the sum is (a+a=2a), which is even.
Step 3
Exam Tip
If the rule asks for an odd sum, self-pairs are not included. चरण 1: परावर्ती होने के लिए ((a,a)) हर (a) के लिए होना चाहिए। चरण 2: ((a,a)) में योग (a+a=2a) है, जो सम होता है। चरण 3: यदि नियम विषम योग मांगता है, तो अपने-अपने युग्म शामिल नहीं होंगे।
A. हर (a) के लिए \(a \equiv a \pmod{2}\)/For every (a), \(a \equiv a \pmod{2}\)
Step 1
Concept
Reflexivity compares a number with itself.
Step 2
Why this answer is correct
Any number has the same remainder as itself when divided by (2).
Step 3
Exam Tip
Treat \(a \equiv a \pmod{2}\) as the basic test in congruence relations. चरण 1: परावर्ती गुण में संख्या की तुलना उसी संख्या से होती है। चरण 2: किसी भी संख्या का (2) से भाग देने पर शेषफल अपने-आप के बराबर ही रहेगा। चरण 3: \(a \equiv a \pmod{2}\) को मापांक संबंधों में मूल जांच मानें।
A. क्योंकि ((1,1)) शामिल नहीं होगा/Because ((1,1)) will not be included
Step 1
Concept
Reflexivity requires all self-pairs, including ((1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
The rule requires the first element to be even, but (1) is not even.
Step 3
Exam Tip
Missing even one self-pair makes the relation non-reflexive. चरण 1: परावर्ती होने के लिए ((1,1)) सहित सभी अपने-अपने युग्म चाहिए। चरण 2: नियम में पहला तत्व सम होना चाहिए, लेकिन (1) सम नहीं है। चरण 3: किसी एक अपने-अपने युग्म का न होना भी परावर्ती गुण को असफल कर देता है।
Reflexivity requires every (a) to be related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
Every natural number (a) divides itself because \(a=a\times1\).
Step 3
Exam Tip
In divisibility questions, remember self-divisibility. चरण 1: परावर्ती गुण के लिए हर (a) को अपने-आप से संबंधित होना चाहिए। चरण 2: हर प्राकृतिक संख्या (a) अपने-आप को विभाजित करती है क्योंकि \(a=a\times1\)। चरण 3: विभाज्यता वाले प्रश्नों में अपने-आप विभाजन को न भूलें।
In a self-pair ((a,a)), (a=b), so self-pairs are not included.
Step 3
Exam Tip
Distinguish proper divisor from ordinary divisibility. चरण 1: वास्तविक भाजक में \(a\ne b\) की शर्त होती है। चरण 2: अपने-आप वाले युग्म ((a,a)) में (a=b) होता है, इसलिए वे शामिल नहीं होंगे। चरण 3: वास्तविक भाजक संबंध को साधारण विभाज्यता से अलग पहचानें।
A. हाँ, क्योंकि हर (X) के लिए \(X\subseteq X\)/Yes, because \(X\subseteq X\) for every (X)
Step 1
Concept
Here the elements are subsets, not ordinary numbers.
Step 2
Why this answer is correct
Every subset (X) is a subset of itself, so (XRX) is true.
Step 3
Exam Tip
In subset relations, read the base family carefully. चरण 1: यहां तत्व साधारण संख्याएं नहीं, बल्कि उपसमुच्चय हैं। चरण 2: हर उपसमुच्चय (X) अपने-आप का उपसमुच्चय होता है, इसलिए (XRX) सत्य है। चरण 3: उपसमुच्चय संबंध में आधार परिवार को ध्यान से पढ़ें।
A. क्योंकि \(X\subset X\) असत्य है/Because \(X\subset X\) is false
Step 1
Concept
\(X\subset Y\) means proper subset.
Step 2
Why this answer is correct
No set is a proper subset of itself.
Step 3
Exam Tip
In exams, clearly distinguish \(\subset\) and \(\subseteq\). चरण 1: \(X\subset Y\) वास्तविक उपसमुच्चय को दर्शाता है। चरण 2: कोई समुच्चय अपने-आप का वास्तविक उपसमुच्चय नहीं होता। चरण 3: \(\subset\) और \(\subseteq\) के अंतर को परीक्षा में जरूर पहचानें।
In absolute value relations, the distance from an element to itself is zero. चरण 1: परावर्ती जांच के लिए (b=a) रखें। चरण 2: (|a-a|=0) और \(0\le0\) सत्य है। चरण 3: परिमाण वाले संबंधों में अपने-आप का अंतर शून्य होता है।
A. क्योंकि (|a-a|=0), जो (0) से बड़ा नहीं है/Because (|a-a|=0), which is not greater than (0)
Step 1
Concept
For reflexivity, ((a,a)) must satisfy the rule.
Step 2
Why this answer is correct
(|a-a|=0), and (0>0) is false.
Step 3
Exam Tip
Self-distance is zero, so it fails a strict positive condition. चरण 1: परावर्ती होने के लिए ((a,a)) नियम में फिट होना चाहिए। चरण 2: (|a-a|=0) है और (0>0) असत्य है। चरण 3: दूरी शून्य होने वाले अपने-अपने युग्म अक्सर कठोर धनात्मक शर्त में नहीं आते।
A. हर (a) के लिए (a+a=2a) सम है/For every (a), (a+a=2a) is even
Step 1
Concept
For a self-pair, the sum becomes (a+a).
Step 2
Why this answer is correct
(a+a=2a) is always even, whether (a) is even or odd.
Step 3
Exam Tip
In parity-of-sum relations, first check (2a). चरण 1: अपने-अपने युग्म के लिए योग (a+a) बनेगा। चरण 2: (a+a=2a) हमेशा सम होता है, चाहे (a) सम हो या विषम। चरण 3: योग की समता वाले संबंध में पहले (2a) देखें।
So none of the self-pairs are in the original relation.
Step 3
Exam Tip
To make it reflexive, add all ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)). चरण 1: दिए गए नियम में ((a,a)) के लिए (a+a=2a) सम होगा, विषम नहीं। चरण 2: इसलिए कोई भी अपने-अपने युग्म मूल संबंध में नहीं आएगा। चरण 3: परावर्ती बनाने के लिए ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) सभी जोड़ने होंगे।
A. \(R\cap S\) परावर्ती है/\(R\cap S\) is reflexive
Step 1
Concept
Both relations contain ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 2
Why this answer is correct
The intersection keeps pairs common to both, so all self-pairs remain.
Step 3
Exam Tip
The intersection of two reflexive relations is reflexive. चरण 1: दोनों संबंधों में ((1,1),(2,2),(3,3)) मौजूद हैं। चरण 2: प्रतिच्छेद में वे युग्म रहेंगे जो दोनों में समान हैं, इसलिए सभी अपने-अपने युग्म रहेंगे। चरण 3: दो परावर्ती संबंधों का प्रतिच्छेद परावर्ती रहता है।
A. \(R\cup S\) परावर्ती होगा/\(R\cup S\) will be reflexive
Step 1
Concept
Both (R) and (S) contain all self-pairs of (A).
Step 2
Why this answer is correct
The union contains all pairs from both relations, so the self-pairs remain.
Step 3
Exam Tip
The union of reflexive relations is always reflexive. चरण 1: (R) और (S) दोनों में (A) के सभी अपने-अपने युग्म हैं। चरण 2: संघ में दोनों संबंधों के सभी युग्म आ जाते हैं, इसलिए अपने-अपने युग्म भी रहेंगे। चरण 3: परावर्ती संबंधों का संघ हमेशा परावर्ती होता है।
A. यह जरूरी नहीं कि परावर्ती हो/It need not be reflexive
Step 1
Concept
(S) contains all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
In (R-S), pairs of (S) are removed, so self-pairs may also be removed.
Step 3
Exam Tip
In difference of relations, check whether compulsory pairs are being removed. चरण 1: (S) में सभी अपने-अपने युग्म होते हैं। चरण 2: (R-S) में (S) के युग्म हट जाते हैं, इसलिए अपने-अपने युग्म भी हट सकते हैं। चरण 3: अंतर वाले प्रश्नों में अनिवार्य युग्म हट रहे हैं या नहीं, यह जरूर देखें।
Since (R) is reflexive, (R) contains all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
Because \(R\subseteq T\), those self-pairs are also in (T).
Step 3
Exam Tip
A super-relation of a reflexive relation within \(A\times A\) is also reflexive. चरण 1: (R) परावर्ती है, इसलिए (R) में सभी अपने-अपने युग्म हैं। चरण 2: \(R\subseteq T\) होने से वे सभी युग्म (T) में भी होंगे। चरण 3: परावर्ती संबंध का कोई अधिसम संबंध भी परावर्ती होगा, यदि वह \(A\times A\) के अंदर है।
A. (T) का परावर्ती होना निश्चित नहीं है/Reflexivity of (T) is not guaranteed
Step 1
Concept
(R) has all self-pairs, but (T) may be a smaller part of (R).
Step 2
Why this answer is correct
Some self-pairs may be removed while forming (T).
Step 3
Exam Tip
Reflexivity is not automatically preserved in sub-relations. चरण 1: (R) में अपने-अपने युग्म हैं, पर (T) (R) का छोटा भाग हो सकता है। चरण 2: (T) बनाते समय कुछ अपने-अपने युग्म हट सकते हैं। चरण 3: उपसम संबंध में परावर्ती गुण अपने-आप नहीं बचता।
Adding an extra pair does not remove these required pairs.
Step 3
Exam Tip
Reflexivity is not destroyed by adding pairs within \(A\times A\). चरण 1: (R) में पहले से सभी अपने-अपने युग्म हैं। चरण 2: अतिरिक्त युग्म जोड़ने से ये जरूरी युग्म हटते नहीं हैं। चरण 3: परावर्ती गुण जोड़ने से खराब नहीं होता, जब तक आधार \(A\times A\) में रहता है।
Removing ((3,3)) means (3) is not related to itself.
Step 3
Exam Tip
Removing even one compulsory pair destroys reflexivity. चरण 1: पहचान संबंध में सभी अपने-अपने युग्म होते हैं। चरण 2: ((3,3)) हटाने से (3) अपने-आप से संबंधित नहीं रहेगा। चरण 3: एक भी अनिवार्य युग्म हटे तो परावर्ती गुण समाप्त हो जाता है।
If a self-pair is removed from the universal relation, reflexivity fails. चरण 1: \(A\times A\) में सभी अपने-अपने युग्म होते हैं। चरण 2: ((2,2)) हटाने से एक जरूरी युग्म गायब हो गया। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध से अपने-अपने युग्म हटे तो परावर्ती गुण टूट जाता है।
The removed pairs ((1,2)) and ((2,3)) are not self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
((1,1),(2,2),(3,3)) still remain in the relation.
Step 3
Exam Tip
Removing only non-diagonal pairs does not break reflexivity. चरण 1: हटाए गए युग्म ((1,2)) और ((2,3)) अपने-अपने युग्म नहीं हैं। चरण 2: ((1,1),(2,2),(3,3)) अभी भी संबंध में रहेंगे। चरण 3: केवल गैर-विकर्ण युग्म हटाने से परावर्ती गुण नहीं टूटता।
The universal relation \(A\times A\) has \(4^2=16\) pairs.
Step 3
Exam Tip
The difference is (16-4=12). चरण 1: न्यूनतम परावर्ती संबंध में 4 युग्म होंगे। चरण 2: सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) में \(4^2=16\) युग्म होंगे। चरण 3: अंतर (16-4=12) है।
The number of reflexive relations is \(2^{25-5}=2^{20}\).
Step 3
Exam Tip
The ratio is \(2^{25}:2^{20}=2^5:1\). चरण 1: कुल संबंधों की संख्या \(2^{25}\) है। चरण 2: परावर्ती संबंधों की संख्या \(2^{25-5}=2^{20}\) है। चरण 3: अनुपात \(2^{25}:2^{20}=2^5:1\) होगा।
The fraction is \(\frac{2^6}{2^9}=\frac{1}{8}\). चरण 1: कुल संबंध \(2^9\) होंगे। चरण 2: परावर्ती संबंध \(2^{9-3}=2^6\) होंगे। चरण 3: भाग \(\frac{2^6}{2^9}=\frac{1}{8}\) है।
(A) has 3 elements, so 3 self-pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
Out of the 4 pairs, 3 must be ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 3
Exam Tip
The remaining one may be any non-diagonal pair. चरण 1: (A) में 3 तत्व हैं, इसलिए 3 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: कुल 4 युग्मों में से 3 निश्चित रूप से ((1,1),(2,2),(3,3)) होंगे। चरण 3: बाकी एक युग्म कोई गैर-विकर्ण युग्म हो सकता है।
To have exactly 4 pairs, choose 1 pair from the 6 non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
The number is \(\binom{6}{1}=6\). चरण 1: 3 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: कुल 4 युग्म चाहिए, इसलिए 6 गैर-विकर्ण युग्मों में से 1 युग्म चुनना होगा। चरण 3: संख्या \(\binom{6}{1}=6\) होगी।
To have 5 total pairs, choose 2 from the 6 non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
The number is \(\binom{6}{2}=15\). चरण 1: परावर्ती होने के लिए 3 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं। चरण 2: कुल 5 युग्म चाहिए, इसलिए 6 गैर-विकर्ण युग्मों में से 2 युग्म चुनेंगे। चरण 3: संख्या \(\binom{6}{2}=15\) होगी।
For 6 total pairs, choose 2 from (16-4=12) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
The count is \(\binom{12}{2}=66\). चरण 1: 4 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: कुल 6 युग्म चाहिए, इसलिए (16-4=12) गैर-विकर्ण युग्मों में से 2 चुनने होंगे। चरण 3: संख्या \(\binom{12}{2}=66\) है।
A. हाँ, क्योंकि \(a^2=a^2\)/Yes, because \(a^2=a^2\)
Step 1
Concept
For reflexivity, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
Then \(a^2=b^2\) becomes \(a^2=a^2\), which is true.
Step 3
Exam Tip
In equality-based rules, test equality of an element with itself. चरण 1: परावर्ती जांच में (b=a) रखें। चरण 2: तब \(a^2=b^2\) का रूप \(a^2=a^2\) बनता है, जो सत्य है। चरण 3: बराबरी आधारित नियमों में अपने-आप की बराबरी तुरंत जांचें।
A. नहीं, क्योंकि ((1,1)) नियम पूरा नहीं करता/No, because ((1,1)) does not satisfy the rule
Step 1
Concept
Reflexivity requires ((a,a)) for every real (a).
Step 2
Why this answer is correct
Taking (a=1), \(1^2+1^2=2\), not 0.
Step 3
Exam Tip
One counterexample is enough to show it is not reflexive. चरण 1: परावर्ती होने के लिए हर वास्तविक (a) पर ((a,a)) चाहिए। चरण 2: (a=1) रखने पर \(1^2+1^2=2\), जो 0 नहीं है। चरण 3: एक प्रतिउदाहरण मिलने पर संबंध परावर्ती नहीं होता।
((-1)2=(-1)2), \(0^2=0^2\), and \(1^2=1^2\) are all true.
Step 3
Exam Tip
Extra pairs like ((-1,1)) may exist, but reflexivity depends on self-pairs. चरण 1: हर तत्व के लिए अपने-आप की जांच करें। चरण 2: ((-1)2=(-1)2), \(0^2=0^2\), और \(1^2=1^2\) सभी सत्य हैं। चरण 3: अतिरिक्त युग्म जैसे ((-1,1)) हों, फिर भी परावर्ती गुण अपने-अपने युग्मों से तय होता है।
A. क्योंकि ((1,1)) के लिए \(1+1\ne4\)/Because for ((1,1)), \(1+1\ne4\)
Step 1
Concept
Reflexivity needs all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
((2,2)) satisfies the rule, but ((1,1)) and ((3,3)) do not.
Step 3
Exam Tip
Having some self-pairs is not enough; all are needed. चरण 1: परावर्ती होने के लिए सभी अपने-अपने युग्म चाहिए। चरण 2: ((2,2)) नियम पूरा करता है, पर ((1,1)) और ((3,3)) नहीं करते। चरण 3: कुछ अपने-अपने युग्म मिलना पर्याप्त नहीं, सभी चाहिए।
A. हाँ, क्योंकि अधिकतम (a+a=8) होता है/Yes, because the maximum (a+a) is 8
Step 1
Concept
For self-pairs, check (a+a).
Step 2
Why this answer is correct
The largest element in (A) is 4, so the maximum self-sum is (4+4=8), which satisfies the rule.
Step 3
Exam Tip
In finite sets, checking the largest self-sum is useful. चरण 1: अपने-अपने युग्मों के लिए (a+a) देखना होगा। चरण 2: (A) में सबसे बड़ा तत्व 4 है, इसलिए अधिकतम (4+4=8) है, जो नियम पूरा करता है। चरण 3: सीमित समुच्चय में सबसे बड़े अपने-अपने योग की जांच उपयोगी होती है।
For ((4,4)), (4+4=8), but the rule requires (8<8), which is false.
Step 3
Exam Tip
In strict inequalities, boundary self-pairs may be missing. चरण 1: परावर्ती संबंध में ((4,4)) भी जरूरी है। चरण 2: ((4,4)) के लिए (4+4=8), पर नियम (8<8) नहीं मानता। चरण 3: कठोर असमानता में सीमा पर आने वाला युग्म छूट सकता है।
A. क्योंकि हर संख्या की सम-विषम प्रकृति अपने-आप से समान होती है/Because every number has the same parity as itself
Step 1
Concept
When a number is compared with itself, it remains the same.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore any (a) has the same parity as itself.
Step 3
Exam Tip
In relations based on the same property, self-check is usually simple. चरण 1: अपने-आप से तुलना करने पर संख्या वही रहती है। चरण 2: इसलिए किसी भी (a) की सम-विषम प्रकृति (a) के साथ समान होगी। चरण 3: समान गुण पर आधारित संबंधों में अपने-आप की जांच आसान होती है।
A. हाँ, क्योंकि (|a-a|=0) सम है/Yes, because (|a-a|=0) is even
Step 1
Concept
For reflexivity, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
(|a-a|=0), and (0) is even.
Step 3
Exam Tip
In parity-of-difference relations, remember the zero difference. चरण 1: परावर्ती जांच में (b=a) रखना होता है। चरण 2: (|a-a|=0), और (0) सम संख्या है। चरण 3: अंतर की समता वाले संबंध में शून्य अंतर को याद रखें।
A. क्योंकि (|a-a|=0), जो विषम नहीं है/Because (|a-a|=0), which is not odd
Step 1
Concept
Reflexivity requires every ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
(|a-a|=0), and 0 is not odd.
Step 3
Exam Tip
If the rule requires an odd difference, self-pairs are absent. चरण 1: परावर्ती होने के लिए हर ((a,a)) चाहिए। चरण 2: (|a-a|=0) होता है और 0 विषम नहीं है। चरण 3: यदि नियम विषम अंतर मांगता है, तो अपने-अपने युग्म अनुपस्थित होंगे।
A. हाँ, क्योंकि सबसे छोटा अपने-अपने योग (1+1=2) है/Yes, because the smallest self-sum is (1+1=2)
Step 1
Concept
Check (a+a) for self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The smallest (a) here is 1, so the minimum self-sum is 2.
Step 3
Exam Tip
Since \(2\ge2\) is true, all self-pairs are included. चरण 1: अपने-अपने युग्मों के लिए (a+a) की जांच करें। चरण 2: सबसे छोटा (a) यहाँ 1 है, इसलिए न्यूनतम अपने-अपने योग (2) है। चरण 3: \(2\ge2\) सत्य है, अतः सभी अपने-अपने युग्म शामिल होंगे।
Missing one required self-pair makes the relation not reflexive. चरण 1: ((1,1)) पर नियम जांचें। चरण 2: (1+1=2), और (2>2) असत्य है। चरण 3: एक जरूरी अपने-अपने युग्म छूटने से संबंध परावर्ती नहीं रहता।
The identity relation \(I_A\) is exactly the set of all self-pairs.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(I_A\subseteq R\) is always true. चरण 1: परावर्ती (R) में सभी अपने-अपने युग्म होते हैं। चरण 2: पहचान संबंध \(I_A\) इन्हीं अपने-अपने युग्मों का समूह है। चरण 3: इसलिए \(I_A\subseteq R\) हमेशा सही है।
A. नहीं, क्योंकि \((3,3)\notin R\)/No, because \((3,3)\notin R\)
Step 1
Concept
\(I_A\) contains ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 2
Why this answer is correct
The given (R) does not contain ((3,3)), so \(I_A\subseteq R\) is false.
Step 3
Exam Tip
Every pair of the identity relation must be present. चरण 1: \(I_A\) में ((1,1),(2,2),(3,3)) होते हैं। चरण 2: दिए गए (R) में ((3,3)) नहीं है, इसलिए \(I_A\subseteq R\) असत्य है। चरण 3: पहचान संबंध का हर युग्म मिलना जरूरी है।
A reflexive relation on 4 elements must contain 4 self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
Since there are 7 total pairs, the remaining (7-4=3) pairs can be non-diagonal.
Step 3
Exam Tip
Subtract compulsory diagonal pairs from total pairs. चरण 1: परावर्ती संबंध में 4 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: कुल 7 युग्म हैं, इसलिए बाकी (7-4=3) युग्म गैर-विकर्ण हो सकते हैं। चरण 3: कुल युग्मों में से अनिवार्य विकर्ण युग्म घटाएं।
A. यह जानकारी परावर्ती होने से विरोध नहीं करती/This does not contradict reflexivity
Step 1
Concept
Reflexivity makes only self-pairs compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) is a non-diagonal pair, so its absence does not break reflexivity.
Step 3
Exam Tip
In exams, do not treat non-diagonal pairs as compulsory. चरण 1: परावर्ती गुण केवल अपने-अपने युग्मों को अनिवार्य करता है। चरण 2: ((1,2)) गैर-विकर्ण युग्म है, इसलिए इसका न होना परावर्ती गुण को नहीं तोड़ता। चरण 3: परीक्षा में गैर-विकर्ण युग्मों को अनिवार्य न मानें।
